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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA-LA ENSEÑANZA MEDIA

AÑO III Abril - Mayo - Junio 1966 N9 16I

La labor de la C. N. E. M. {Editorial).

La matemática y el profano.D. DE FINETTlpor

Correspondencia entre conjuntos.y. CASULLERAS - M. LAI\’UZApor

Equivalencia de segmentos. Vectores enclidianos.por F. LA MENZA

Teoría moderna y aplicaciones de las probabilidades.por /. MARTINS

La enseñanza de la Geometría en la matemática uni­taria de hoy.

por A. Z. KRIGOWSKA

Sensatez y tontería en un moderno programa de ma­temática escolar.

por H. F. FEHR

Comentarios sobre una experiencia.

La labor de la C. N. E. M.

Crónica - Bibliografía - Noticias ■ Correo

I /I

i /11:

■TEXTOS DE MATEMÁTICA!!.ELEMENTOS í

|lios famosas obras de REPETTO-LINSKENS-FESQUET correspondientes a primero y segundo años del ciclo básico aparecerán en febrero de 1967 completa­mente actualizadas para responder, en un todo, a las directivas impartidas por la Dirección General de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Supe­rior del Ministerio de Educación y Justicia en su circular 84/65 y que son de aplicación a partir del curso lectivo de 1966.

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REVISTA DE MATEMATICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

Publicación trimestrali

Editores: Jóse Banfi - Alfredo B. Bcsio.Consultores: José Babini - Gcorgcs Papy - Luis A. Santalo. Secretaria de Redacción: María E. Fernández Núñez. Secretario Auxiliar: Raúl Fernández Calvo.

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'

iiCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)

Jamile Chaibán El-Kareh (Brasil) Enrique L. Bilbao (San Juan) Nélida I. Melani (Córdoba)Delia R. de Olivencia (Mendoza) José A. Petrocelli (La Plata) Werner Schiller (Catamarca)

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Bernhard Riemann.La enseñanza de la geometría en la matemática unitaria de hoy.La Matemática y el profano.Un nuevo enfoque en la evaluación de la capacidad matemática.

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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

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$ AÑO III Abril - Mayo - Junio 1966 N? 16

La Labor de la C.N.E.M.i ^

Si la experiencia quiere encauzarse debidamente, so debe consti­tuir una comisión permanente, integrada por matemáticos, psicólogos y educadores, que la siga de cerca y resuelva sus dificultades sin demoras. Y además la extienda adecuadamente.

"Dificultades de la Reforma" - ELEMENTOS, Año I, p. 110.

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* La Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, creada a fines de 1964, va a cumplir un año de vida efectiva. Hemos venido informando detalla­damente sobre su labor; nos parece oportuno detenernos a comentarla. Queremos hacerlo lealmente, aunque mucho nos duela ser quizás juicio. Tenemos un alto concepto de cada uno de los miembros de la Cortiisión; no los juzgamos a ellos personalmente, sino a la Comisión como organismo.

Los lectores conocen, a través de nuestros editoriales, las opiniones que sus­tentamos sobre la reforma y los problemas conexos. Con todo, permítasenos insistir en algunas observaciones. Seguimos creyendo que, aceptada la necesidad de una reforma, cabe “dilucidar su carácter, su extensión y sus propósitos, definiéndolos concisa y nítidamente”, como “la mejor manera de evitar excesos y desviaciones”. Y que luego debiera considerarse “la ubicación y la distribución de la reforma en el esquema general de la enseñanza”. Sólo entonces, “perfectamente ubicada y delimi­tada”, se entraría en “el terreno de la acción”.

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un tanto severos en nuestro

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133 -

4

A nuestro juicio la C.N.E.M. ha ido tratando y resolviendo aspectos par- cides del problema sin que se advierta que en su labor se siga un plan orgánico de trabajo. No se conoce cuál será la orientación de la reforma, tan solo se la vislumbra a través de algunas resoluciones. No se ha creído oportuno entrar a dis­cutir proyectos de programas, experimentales o definitivos; hasta ahora,^ apenas se ha prometido —formalmente, eso sí— “estudiar las reformas de fondo . En cam­bio, se ha entrado a considerar un amplio proyecto sobre cambios en los cursos de formación de profesores que, coincidiendo con la opinión de Stone, que transcri­bimos n ís adelante, y con nuestra propia prédica, entendemos debiera ser un paso posterior de su actividad. En fin, nos parece advertir que se corre el riesgo de dejar a un lado lo más importante, lo propiamente específico.

Por otra parte, la Comisión ha aconsejado —-y las autoridades educativas han aceptado— “la introducción de algunos temas nuevos” en los programas vigentes del ciclo básico, desentendiéndose luego de los demás cursos y, lo que es más grave, de la ejecución y el cumplimiento de sus normas, como si su prestigio quedara in­mune e inconmovible, sin afectarle dificultades, desaciertos y omisiones. La Comisión no debe ignorar que mucha gente se ha formado la idea errónea de que con las inclusiones aconsejadas por ella se ha concretado totalmente la pregonada reforma.

Hemos calificado la creación de la C.N.E.M. coimo “un hecho auspicioso”. Reconocemos y valoramos el esfuerzo que honesta y desinteresadamente realizan sus integrantes, con clara conciencia de su responsabilidad científica y social. Pero, tam­bién expusimos nuestras dudas sobre la eficacia de su labor y queremos desecharlas definitivamente por el bien de todos, y muy particularmente por el de nuestras jóvenes generaciones, destinatarios obligadas de todos estos intentos de mejoramiento educativo.

TEMAS DE NUESTRO TIEMPO

La Matemática!} y el Profano”

Bruno DE FINETTl .{Roma, Italia)

Recuerdo, en una película (de Marle­ne Dietrich, si no me equivoco) a Catali­na la Grande rodeada por generales que querían persuadirla a declarar una gue­rra, responder, dejándolos espantados, que quería saber lo que al respecto pen­saba Iván Ivanovich. ¿Pero quién es ése Iván? Es cualquiera de los simples sol­dados que intervendrían en ella.

También en nuestro debate, no me pa­rece admisible dejar a un lado el punto de vista del profano que, pienso, debe­ría preceder a cualquier otro. Así como la guerra no debiera ser un torneo pa­ra superdecorar estrategos, tampoco pue­de concebirse a la escuela en función del docente y de las doctrinas que le gus­taría profesar sino en función de las exi­gencias y de la mentalidad de los estu­diantes y de los efectos benéficos o ne­fastos de las huellas que determinados estudios dejan definitivamente en su for­mación. Por tal motivo, he deseado inter­venir aquí tratando de interpretar el pun­to de vista del profano; pa:a decirlo me­jor, se trata de dos puntos de vista distintos: el del profano educado en la situación actual y el del profano tal cual podría ser si se eliminaran las causas que lo conducen al primero.

otros, matemáticos más o menos especia­listas en ésta, en aquélla o en diversas ramas de la matemática, si acertamos a mirar y a juzgar lo profundo de nuestra personaliaad liberándonos de las incrus­taciones de las pequeñas manías y de­formaciones profesionales. Pero en un sen tido más propio y restringido, entiendo por profano a los que no han tenido y no tendrán en toda su vida ninguna ocasión, o necesidad, o deseo o posibilidad de servirse de la matemática y para los cua­les, por consiguiente, se plantea legíti­mamente la cuestión de si la fatiga deri­vada de la obligación de más o menos vastos y viejos o nuevos programas de matemática en el período escolar es, o puede ser, respectivamente fecunda o es­téril. En el segundo caso surge, pues, la cuestión de si aquélla es la más adaptada y necesaria para los que en cambio de­vendrán, más o menos, matemáticos o emplearán la matemática y si, por su elección o por otro motivo, es igualmente justificable un grave suplicio inútil para todos los demás.

Prefiero anticipar de inmediato cuál será, en síntesis, la conclusión de estas reflsxiones y la respuesta a los interro­gantes planteados:

—el profano tiene toda la razón al juz­gar estéril y odiosa la fatiga que les im­ponen enseñanzas matemáticas inspira­das en los criterios tradicionales (no im­porta que los contenidos sean anticuados o renovados);

—el profano tendría, no obstante, ne­cesidad y le sería útil adquirir un cono­cimiento verdadero y serio, siquiera sea preliminar, de la matemática y de su función en el pensamiento, en la ciencia, en variadísimas aplicaciones;

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.LOS EDITORES '

it "¿Qué haremos después?” Evidentemente, mi propia respuesta es: “Vayamos a las raíces de nuestro problema trazando un plan de estu­dios de matemática moderna, verdaderamente moderno, y formémoslo como la meta en la que todo debe converger” Estoy convencido de que una vez que se haya fijado ese plan como una meta, muchos de los problemas que tienen que resolverse tomarán su lugar y será mucho más fácil atacarlos. Por ejemplo, el problema de preparar los maestros que cumplan su parte en el programa, se hace mucho más claramente definido y mucho más claramente dispuesto a resolver­se. De hecho, hasta que no sepamos lo que nos proponemos enseñar en las escuelas, será difícil decir lo que debemos enseñar como medio de preparar a los futuros maestros. Pero, una vez que "sepamos la res­puesta a la primera pregunta, la respuesta a la segunda se hace en gran medida evidente y pronto puede concretarse y ponerse en práctica.

MARSHALL H. STONE ¿Qué vendrá después?

(La Educación, 37-38, Washington, 1965)

- 134 -

I\

1NUESTRAS TESIS EN UNA ANALOGIA

PRELIMINARa:

J

Se me preguntará qué entiendo por profano y por qué nos debemos preocu­par justamente de él. Quisiera responder que profanos somos todos: también nos-

1 * El prof. DE FINETTl, reconocido especialista en cálculo de probabilidades, actúa en la Universidad de Roma y so de-dica a las aplicaciones de la matemática en el campo económico social. Esto artículo ha sido tomado do SCUOLA E CITTÁ (sepl.-oct. 1965).

ii

135 -

Bontempslli (con el que concuerdo) por­que también contiene el diagnóstico de la causa. En electo, escribía así: ("Tem­po", marzo 1943, “Coloquios")... "he teni­do oportunidad de observar que en esta incomprensión de la matemática la gente es a menudo sincera, pero también me he convencido de que la culpa es sólo del modo con que ella es enseñada. Lo diíícil no es comprender la matemática, es hacerla comprender. . comprendida se volvería, para todo escolar, la más apasionante de las disciplinas".

Ciertamente, se podría repetir para to­das las materias: que la lepra de la pe­destre y pedante degradación de la en- señaiza escolar llega a gastar cualquier

también es verdad que,. en

—una enseñanza atenta a tales finali­dades de intsrés general, sería (a mi jui­cio; aquí, naturalmente, no hablo en nombre del profano) mucho más útil que la tradicional, también para los que qui­sieran o debieran p:oseguir el estudio de la matemática para la especialidad que han elegido.

El espíritu y la motivación de estas clusiones pueden, quizás bastante eficaz­mente, ser ilustrados desde ahora me­diante una analogía. A menudo los espe­cialistas (especialmente los matemáticos) se parecen a los alpinistas que, hablan­do de la montaña, parecen concebirla exclusivamente como una ocasión para desplegar la habilidad de los pasajes de sexto grado; pero es muy natural que una visión tan unilateral aparezca como insensata y nada airayente a quien no

la montaña y no haya sido in­teresado informándolo de los otros as­pectos. Mucho más eficaces y persuasi­vas resultarían sin duda informaciones de tal género más completas y significa­tivas que conduzcan a conocer y apre­ciar gradualmente la belleza de los pai­sajes y la amplitud de los horizontes, la salubridad dsl aire y el bálsamo del silencio, las cuestiones científicas, eco­nómicas y sociales relativas a la mon­taña y, en fin, también el placer de los paseos y —para algunos pocos— de los escalamientos.

La enssñanza dañosa es la equivalente —en nuestro ejemplo— a la obligación de un comienzo precoz y maquinal de un adiestramiento que se presume úiil para sólo unos pocos futuros campeones de la montaña, pero que es impuesto a todos, mientras deja a un lado todo lo que de la montaña sería útil que todos supieran, en particular los escaladores más que nadie.

chos profanos a considerar que la llama­da "regla de tres" (!) constituye la veta más sublime de la matemática, y la ter­minología ficticia referente a la forma es­crita (numerador, denominador, monomio, binomio, etc.) usada como si tuviese sig­nificado efectivo, volviendo incomprensi­ble, confusa o deformada la idea del sen­tido que pueda tener el uso de símbolos y, por ejemplo, el "cálculo literal".

Y se podría continuar con los ejemplos, sea en tal nivel elemental como en cual­quier otro; también creo que sin limita­ciones de espacio o de tiempo el material para tales recriminaciones no acabaría nunca. Pero sólo quiero referirme cita que me viene a la mente cuando pienso en la matemática escolar, una cita de origen desconocido para mí (Dorothy L. Sayers, Have his carease) hallada en "Theory of Probability" de Harold Jef- freys: "Puedo creer una cosa sin com­prenderla. Todo es cuestión de adiestra­miento". (Pág. 401)-

Esta frase vuelve siempre a mi mente con una penosa sensación de desaliento, porque me parece que expresa integral­mente la deformación fundamental —| qui­zás cuándo se la podrá eliminar!— que está efectivamente, aunque no en forma declarada, en la base de toda la furiosa concepción didáctica tradicional: habituar a aprender y creer sin comprender.

Este concepto de aprender sin compren­der parece de tal modo convalidado por la costumbre, que los estudiantes hallan natural ser constreñidos a recordar en el examen decenas o centenares de fórmu­las o teoremas, pero se aterrorizan si al­guien es tan "malo" que pretende que tengan por lo menos una vaga idea de qué significa la más fácil de las cosas que en términos papagallescos saben re­petir quizás perfectamente. Invitados a aclarar, en general parafrasean las fra­ses aprendidas de memoria desfigurando más o menos el sentido, pero quedando desesperadamente atrapados, incluso tro­pezando, en su estructura literal, antes que atender al sentido y tratar de expli­carlo con palabras apropiadas o con fi­guras y ejemplos. Y también los docentes parecen estar de acuerdo con tal estado de cosas (quizás sin culpa si, como creo, la culpa es de la mentalidad que tam­bién infecta a las comisiones para los

exámenes de licenciatura ('). ¿O círculo vicioso?

Una objeción común contra la tesis de que se deben hacer comprender los argu­mentos (además de la repetición de enun­ciados o la manipulación de fórmulas) es que ello vuelve al estudio demasiado difícil y que la lentitud consiguiente impe­diría desarrollar el programa; en parti­cular, recuTir, para aclarar, a ejemplos traídos de otros campos (física, biología, estadística, economía, a veces geometría en cuestiones de aritmética y viceversa) antes que ayudar obstaculizaría y crearía mucha confusión. Es difícil hacer entender a quien vive en esta rutina escuálida, que aprender sin comprender (aunque sean muchas cosas) vale cero y por lo tanto es algo esencialmente ineducativo, de modo que aprender a comprender poco y bien ya sería bastante mejor. Pensar lo contrario, sería considerar economía bien entendida comprar un auto sin motor atendiendo sólo al hecho de que, indu­dablemente, costaría menos o, para recu­rrir a un ejemplo clásico, reelaborado en variadas formas, ordenar directamente en el restaurante un plato con un esqueleto de pescado, porque también si en cambio se ordena un pescado y se lo come, el re­sultado final es el mismo. ¿Cuestión de gustos?

Pero, por otra parte, no estoy ni siquie­ra convencido de la afirmada "mayor fa­cilidad" de aprender bovinamente sin comprender; al contrario, estoy seguro que sería mucho más fácil aprender mu­chas cosas comprendiéndolas más que sin comprenderlas, con tal que se comen­zase a hacerlas comprender, así como es más fácil caminar erectos que andar a gatas para cualquiera que haya aprendi­do a hacerlo, por más que en una ocasión singular sea más fácil continuar gateando para quien nunca haya aprendido a estar de pie como un bípedo.

Una objeción opuesta, que se me ha he­cho, es que sería más instructivo, para el estudiante inteligente, descubrir, por si mismo, las cosas que debe comprender, que hallarlas ya expuestas, por el docen­te o el libro de texto, para hacerlas com­

es un

con-

/ a una'

cosa; pero matemática, extirpar toda traza de signi- ifcado, todo motivo de interés, todo estí­mulo para la inteligencia es un objetivo

facilidad se logra perfectamente.conozca

que conTemas diversos son traiados como com­partimientos estancos, y a menudo se trata más bien del mismo argumento re­tomado con métodos diversos sin hacer notar que se trata de meros disfraces.

Todo se reduce, de la peor manera po­sible, a formalismo árido y vacío, y por añadidura a la habilidad de manipular maquinalmente fórmulas monstruosas ba­sadas en reglitas mnemotéemeas dignas de analfabetos, a las cuales, para com­pletar la obra, se reduce aquel formalis­mo. Se complican las cosas fáciles y las cosas obvias se hacsn aparecer como misteriosas, para permitir preocupaciones críticas que (no siendo ni pudiendo lograr que lo sean, sentidas ni comprendidas por los muchachos, y volviéndose en ge­neral abstrusas y confusas también para los docentes) llegan a constituir tabúes incomprensibles, perturbadores y dese­ducativos. El total está sazonado con ter-

!

!

!

minologías ridiculamente pomposas y re­dundantes, gracias a las cuales hechos obvios —demasiados obvios para poder ser formulados sin hacerlos aparecer me­nos obvios de lo que eran antes de hablen- de ellos— vienen revestidos de enuncia­dos extensos, obligando a quienes los repiten de memoria a volverse o fingirse tan cretinos que no advierten que son globos inflados.

Basta recordar las ampulosas reglas sobre las proporciones que inducen a mu-

APRENDER SJN COMPRENDER, Y SUSCONSECUENCIASQue, en la situación actual, los profa­

nos conserven —salvo rarísimas excep­ciones— un provecho menos que nulo y un recuerdo menos que negativo de la enssñanza matemática recibida, es se­guramente una comprobación que pode­mos hacer a cada momento, yo y todos. No habría, pues, necesidad de testimo­nios, pero me gusta citar el de Máximo

6

\¡(1) Y en fin, a los preparadores de temas escritos (y

no sólo para tales exámenes, sino para habilitacio­nes, etc.) de tipo estereotipado (geometría).

- 136 - - 137 -

¿Cómo debiera haberlo aprendido conservar un recuerdo grato de los es­fuerzos hechos (alegres esfuerzos intelec­tuales, no pesadillas alucinantes ni fa­tiga animal)?

Podría incluso no recordar nada en de­talle, pero haber conservado lo esencial y que en general, quien sabe re­petir todos los detalles, nunca ha sabido reconocer; debería ser siempre matemáti­co sin saberlo, en el modo de ver las co­sas, de proyectarse aunque sea en el sub­consciente los problemas, de bosquejar ra­zonamientos, de reflexionar críticamente, de discutir con otros, así como el émulo de Monsieur de la Palisse que, cada vez que escribía, ignoraba que lo hacía en prosa. Debiera ser culto con respecto a la cien­cia, en particular a la matemática, como bien lo dice Calogero. P)

Eso no consiste en nada que sea particu­larmente necesario, pero tiene de todo un poco, y conviene ejemplificar abundan­temente: saber ver lo esencial para es­quematizar una situación; saber elegir el camino más simple y rápido para aferrar un problema y resolverlo; advertir cuán­do es insuficiente o adecuada o ilusoria la precisión con que es indicado o bus­cado un dato; orientarse en una ciudad pensándola bidimensional como sobre el plano (| cuántos no son más que seres mo- nodimensionales, que sólo ven calles y confluencias casuales de callesl); intuir los esfuerzos (presiones, torsiones, flexio­nes, etc.) en una estructura dada con so­licitaciones dadas (por ejemplo, prever sí, y dónde, puede una cosa correr el riesgo de romperse apoyándola de cierto modo); tener una idea de la cantidad de casos en cuestiones de tipo combinatorio y cómo calcularla o estimarla; razonar y compor­tarse interpretando no del todo errónea o aventuradamente la "ley de los grandes números"; saber comprender diagramas

(3) GUIDO CALOGERO, Scuola sotto inchlesta (Ei- naudi; Torino, 1957), pp. 31-37.

en escala natural o logarítmica; asociar instintivamente a cada curva o figura nu­merosos ejemplos concretos; de cada pro­blema (también, por ejemplo, los econó­micos, los contables, etc) concebir una es- quematización geométrica, comprender dónde valen y qué significan las condicio­nes, por ejemplo, de linealidad o de con­vexidad y qué conclusiones dependen de ellas; no excederse en reminiscencias ma­temáticas ni intentar respuestas a ultranza en cuestiones propuestas y, a falta de nada mejor, quedarse callados.

En suma, lo que cuenta es lo que ha sido digerido, no lo que ha sido almace­nado simplemente. Y la prueba para dis­tinguir las dos eventualidades es extre­madamente severa (o, por lo menos, soy propenso a considerarla tal para mi ate­nuante, dado que me ocurre muchas ve- zes encontrarme en defecto yo mismo); las cosas almacenadas reafloran intactas (o deterioradas) ante un estimulo que las busca; las cosas digeridas colaboran aunque no lo sepamos (y a menudo nos damos cuenta después) a aclarar nuestras ideas entreviendo la solución o el camino para lograrla con el esímulo del interés por una cuestión, sin que hubiéramos ad­vertido el nexo. Lo importante es que de tal manera los conocimientos no sólo pue­den conservarse más o menos bien sino también proliferar, enseñando a intentar razonamientos por analogías, a aplicar y escoger vías de ataque según conceptos que resultaron fecundos en condiciones semejantes. En suma, el profano debiera ser alentado a pensar "more geométrico" siempre que ello sea apropiado (y a com­prender cuándo lo es y cuándo no); co­mo prueba de su éxito en matemática se elegirán muchas preguntas extrañas al programa desarrollado, pero que debie-

resultar más accesibles para quienes hayan asimilado bien ese programa u otro educativo equivalente.

paraal máximo resultado deseable con ei

mínimo esfuerzo así como (según entien­do ocurre con los conceptos tradicionales) al esfuerzo máximo para el resultado mí­nimo (por no decir pésimo).

Pero se produciría, he dicho, una apli­cación integral y bien entendida de las

ideas; al decir integral, quiero de-

varprender. Pero bien pocos disfrutan de privilegio, y además si fueran ayudados a comprender esas cosas,, ellos (y cierta-

muchos otros) podrían mucho mas proficuamente ejercitar su capacidad, profundizando y extendiendo las reflexio­nes ulteriores para las cuales las expli­caciones dadas serían el punto de partida.

LA TENDENCIA RENOVADORA EN ACCION

ese

menteque es

nuevascir que la prejucial preeminente importan­cia del "comprender" intuitivo (si bien cada vez más rígidamente sometido a ve­rificaciones formales) debe ser reconocida siempre y dondequiera (también en la universidad y aún entre los investigado­res) y no sólo como concesión para los muchachos, y que el derrocamiento de los compartimentos estancos debiera ser más general sea entre las teorías mate­máticas (como aritmética, geometría) o entre la matemática y todas las otras cien­cias, separadamente de las cuales la ma­temática no tendría razón de ser; al de­cir bien entendida entiendo aludir al de­ber de conjurar el peligro mortal de quo las ideas unificadoras se mantengan ex- presables en forma axiomática, con ves­timenta abstracta.

En este último caso, el profano no gana­ría absolutamente nada; estaría siempre obligado a habituarse a aprender y creer sin comprender, a recitar insulsas mara­ñas llamadas definiciones, enunciados, teoremas, corolarios y así sucesivamente, a pensar que está "razonando" cuando maneja símbolos respetando las reglas del juego impuesto. Sólo serán diferentes ciertos vocablos que intervienen en la confección de esas marañas: serán ani­llos y filtros, mapas y monoides, adhe­rencias y estructuras, y tantas otras be­llas palabras que después de haber flo­recido quizás brillantemente en el exa­men, el profano acaso alguna vez las sentirá asomar a la memoria, solemnes y misteriosas, junto a sinécdoque y paral 1- pomenos, enfiteusis y abracadabra; des­pués de reir acaso se pondrá a pensar cuáles de ellas son reminiscencias "mate­máticas".

Las concepciones matemáticas moder­nas son ricas en gérmenes fecundos de renovación, pero, con todo, no me parece que conduzcan necesariamente a remover los inconvenientes de fondo, que estén exentas de aberraciones, susceptibles in­cluso de agravar en otro sentido la situa­ción.

Las ideas inspiradas en el conocimien­to del profundo significado psicológico del aprender y del comprender —no pasi­vamente ni trivialmente en la forma lógi­co-mnemónica— aportan una vivificante corriente de aire fresco y sano en lo que concierne a los métodos didácticos, basa­dos en el feliz diálogo instructivo entre intuición y razonamiento, entre experimen­tación y sistematización lógica (2).

Las ideas inspiradas en la tendencia unificadora de la matemática moderna (o, por lo menos, particularmente intensas en corrientes modernas), tienen el gran­dioso mérito de querer sustituir el despres­tigiado fárrago de teorizuelas cargadas de repeticiones, superposiciones, lagunas, discontinuidades, laceraciones, remiendos, por un todo simple y admirablemente conexo y sintético.

El profano tendrá ciertamente todo por ganar, sea como economía, sea como efi­ciencia de aprendizaje, con una aplica­ción cada vez más integral, pero bien en­tendida, de estas ideas que podrían lle- ------------- _ .,]

C2) Como ejemplo de desarrollos inspirados en ta­los conceptos (y ciertamente mejorables si se ade­cúan los programas) véase: para la escuela media, I nu­men y Geometría Intuitiva (Firenze, La Nuova Italia), do EMMA CASTELNUOVO; para los institutos técnicos comerciales. La matemática per le applicazioni nomiebe, de B. DE FINETTI y F. MINISOLA; para la Universidad (Facultad de Economía y Comercio), Ma.» temático logico-intuitiva (Roma, Cremonese), de B. DE FINETTI. El lector podra deducir, por analogía, en qué modo podrían aplicarse, en otras escuelas sos, criterios de este género.

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3 /T\ ran

j¡ (Continuará)

DE LO QUE NECESITA EL PROFANO O O Oeco-

En cambio, ¿qué debiera recordar el profano para poder sentirse satisfecho de la poca o mucha matemática que habrá aprendido en el curso de sus estudios?

io cur-

i - 139 -- 138 -

sí:

ORIENTACION”Correspondencia

Ejemplo 7. El producto de un segmento y una circunferencia es una superficie cilindrica.

Los elementos del conjunto A suelen llamarse elementos originales.Ejemplo 9.

Sea el conjunto A = \ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \

t

entre Conjuntos”f

J. CASULLERAS - M. LANUZA (Madrid, España)

óNDado1 — PRODUCTO DE CONJUNTOS V*A

1 2 3 4 5 6f c = cara le 2c 3c 4c 5c 6c

ADefinición: Se llama producto de dos conjuntos A y B al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) de elementos con el primero a e A y el segundo b e B, y se escribe A X B.

Ejemplo 1.A = -¡m, n, k} B = -jp, q¡- A X B =

•{mp, mq, np, nq, kp, kq¡- Es cómodo escribir el producto de dos

conjuntos mediante una tabla de doble entrada:

n >moneda ■{ *4-4-4

1 2 i

= cruz 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6-|-Ejemplo 5 Echando dos dados se pue­

den presentar los siguientes resultadosA 5 $

2 —CORRESPONDENCIAS ENTRE DOS CONJUNTOS I=-el*m?nloi or«gm4|f}

Segundo dado

1 2 3 4 5 6El conjunto producto viene represen­

tado por los vértices de la cuadrícula.Consideremos la correspondencia defi­

nida por el subconjunto señalado en la figura.

A cada elemento del conjunto original le asignamos como homólogos a todos sus múltiplos comprendidos en el con­junto II:

1 - 1 2-2 3-3 4-4 5-5 6-61-2 2-4 3-61-3 2-61-41-5

Un subconjunto C C A X B del pro­ducto de dos conjuntos A y B establece una correspondencia entre dichos con­juntos, cuando se consideran homólogos un elemento a e A y uno b s B siempre que (a, b) e C. Función y transformación

sinónimos de correspondencia. .

Ejemplo 8. A = ]a1 a2 a3 a.t a5 aGJ- B = -jbi b2 b3 b.i

En el producto A« X B consideremos el subconjunto constituido por los elementos señalados con *

A 1i*_. 2

k Primer dado < 3m ní P fmp \

np kq 45 soni

l q [mq nq kq 6.o simplemente Ejemplo 6 La habitual presentación de

los puntos del plano mediante un sistema de coordenadas cartesianas equivale a considerar el plano como producto de los dos conjuntos de puntos de dos rectas.

A

km n

ípB b.|lq ☆ ☆ 1—6

En el ejemplo 8, a cada elemento delun solo ho-

b;iR B 1 b2 ☆Ejemplo 2. Consideremos el producto N X N del conjunto de los números na­turales por sí mismo:

2 conjunto original corresponde mólogo (puede suceder que algún elemen­to del conjunto original carezca de homó­logos, como sucede con aG, ó que algún elemento del 2? conjunto no sea homólogo de ninguno del Io como sucede con b.,).

En el ejemplo 9, a cada elemento del conjunto original corresponde un subcon­junto formado por uno o más elementos. Así: 2 - \2, 4, 6}

El subconjunto formado por los homó­logos de un elemento del conjunto origi­nal se denomina IMAGEN de dicho ele-

☆☆bP(a,bN a, a2 a» a.j a* cíe,b

i 1 2 3 4.(1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) .

N j 2 (2,1) (2.2) (2,3) (2,4) .] 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3.4)

i 1 Ai iC = -¡(a, b,) (a2 b2) (a3 b,) (cl, b3) (a5 b3)¡-I

~ R *A cada elemento de A corresponde el

elemento de B expresado a continuación:ai — bia2 — b2 a3- ’bi a4 — b3 a5 -*■ b3

Los elementos bi, b2, bj, b3, b3 son res­pectivamente homólogos de ai, a2, a3,

IN X N consta de todos los pares or­

denados de números naturales.Ejemplo 3. A <f> = <f>

Ejemplo 4. Considérese el juego de azar consistente en echar un dado y una moneda; los casos que pueden presen­tarse son:(*) Estos Apuntes de Matemática Moderna de la Di­

rección General de Eseñanza Media de España comenzaron a publicarse en ELEMENTOS en el nú­mero 14. (N. de los E.)

! En particular, el producto de dos seg­mentos se puede considerar como un rectángulo, o también como un parale- logramo.

".

mentó.Así: en el ejemplo 8 los elementos ai,

tienen una imagen consti-cr2, a3, a.t, a-3 tuida por un solo elemento y la imagende a5 es 0.

En el ejemplo 9, la imagen de cada elemento es el conjunto de sus múltiplos menores o iguales que 6.

-- -Pp 7b --,*P a.,, a.-,.Una correspondencia f entre los con-

la forma1B BI

juntos A y B se expresa enA ~A

t A - B o bien: f: A B

- 141- 140 -

¡

i

CCAXB establece una corresponden- f

cia A B. Este mismo subconjunto C, tomando como original cada elemento b e B y como homólogos de b aquellos a e A tales que (a, b) e C establece correspondencia B -* A que diremos in­versa de la primera y designaremos por f*1,

Ejemplo 10. Los conjuntos A y B son ambos, el segmento [0, 1] (incluido el 0 y el 1). A X B es un cuadrado.

El conjunto C C A X B es un triangulo limitado por la diagonal y dos lados del cuadrado-

X E [Y, 1]Observaciones: I. — En el caso de que

la correspondencia sea una aplicación, su inversa puede no serlo, como sucede en los ejemplos 13 y 14.

II. — La inversa de una corresponden­cia que no sea aplicación puede ser aplicación.

Ejemplo 15. Si hacemos corresponder a cada provincia, los municipios encla­vados en la misma tenemos una corres­pondencia que no es aplicación.

Su inversa hace corresponder a cada municipio la provincia a que pertenece Esta correspondencia es una aplicación.

III. — La inversa de una aplicación bi- yectiva es una aplicación biyectiva (ejem­plo 12).

EJERCICIOS: Estudiar las siguientes co­rrespondencias y sus inversas:

a) A cada triángulo del plano se le hace corresponder su área.

b) A cada par de rectas del plano se le hace corresponder todos los pun­tos que equidistan de ellas.

6

<una

No se excluye la posibilidad de quo varios elementos de A tengan una mis­ma imagen en B.

Ejemplo 13. Si a cada individuo se le hace corresponder su padre, tenemos

aplicación de la humanidad en sí

f*1B —► A

La correspondencia inversa de la con* siderada en el ejemplo 8 es la siguiente:

bi - ^ ai, a3 ¡- 'b2 -*■ a2 b3 -*■ -¡ a4, aG \ b.j — <f>

En el ejemplo 9 la correspondencia in­versa asigna como homólogos de caca elemento de

B<;* una

misma-En esta aplicación todo elemento tiene

un solo homólogo (su padre). La imagen de la correspondencia es el conjunto de los padres. Varios elementes pueden te­ner un mismo homólogo (los hermanos).

:

UO X

A

Al elemento x e A corresponden todos los y e B con y < x.

La imagen del elemento x es el seg­mento de B [0, x].

La unión de las imágenes de los ele­mentos del conjunto original constituyen un subconjunto (que puede ser todo el conjunto B) llamado imagen de la co­rrespondencia f.

En los ejemplos 9 y 10, la imagen de la correspondencia es el conjunto B.

El conjunto B, que contiene las imáge­nes del conjunto original, suele llamarse breve, aunque impropiamente, conjunto imagen.

f.Ejemplo 14. En la aplicación de la recta X sobre la recta Y, definida por ia curva de la figura, a cada elemento x e X

11. 2, 3, 4, 5, 6¡-a sus divisores.

En el ejemplo 10 la correspondencia inversa asigna a cada elemento y del segmento [0, 1] todos los x ^ y, o sea:I*

f-Y* '2 \ O O O

corresponde una y e Y Todo elemento Y e Y es imagen de uno o varios ele­mentos x e X.

Definiciones: I. — Si en una aplicación

ALGO SOBRE NÚMEROS

En 1742, en una carta a Eider, Goldbach enunció te proposición: Todo número par es la suma de dos números primos. Esta proposición es equivalente a la si­guiente: Todo número natural superior 5 es suma de tres números primos. El teorema de Goldbach no ha podido ser demostrado.

En 1922. Hardy y Littlewood mostraron, admitiendo una hipótesis no esta­blecida, que todo número impar bastille grande, es suma de tres números primos. En 1937, Vinogradov demostró completamente esta proposición, y sus trabajos fueron continuados por Linnik y Tchudakov. Otros trabajos en este lema se debena Pipping, Estcrnutnn, Van der Corput.

Se ha podido demostrar que todo número natural puede obtenerse como suma de un número limitado de números primos. Usando el teorema de Vinogradov, se ha logrado que el límite pueda ser tomado igud a 4 cuando el entero es bastante

. grande (Schnirelmann, 1930; Ilicci7 1936; Richert, 1941; Shapiro y Varga, 1951).

P. Montel

3. — APLICACIONES

Tienen especial importancia las corres­pondencias entre dos conjuntos A y B, en que todo elemento de A tiene un homó­logo y uno sólo en B.

Estas correspondencias se llaman Apli­caciones o Funciones Uniformes.

Ejemplo 11. La correspondencia entre N y N definida por n n- es una aplicación.

La imagen de esta aplicación es el subconjunto de N formado por los cua drados perfectos.

Ejemplo 12. Si proyectamos ortogonal­mente los puntos de una recta r sobre otra recta r' tenemos una aplicación del conjunto R de los puntos de r sobre el conjunto R' de los puntos de r\

La imagen de esta aplicación es R'.

f! A-*B?todo elemento de B que sea imagen de uno de A lo es de uno solo, la aplicación se llama invectiva.

II. — Si en una aplicación, todo ele­mento de B es imagen de uno o vanos de A, la aplicación se llama exhaustiva.

La aplicación del ejemplo 14 es exhaus-

Ii

í

..L tiva.

III. — Si una aplicación es inyectiva y exhaustiva, se llama biyectiva, o tam­bién correspondencia biunívoca.

La aplicación del ejemplo 12 es biyec­tiva.

14. — CORRESPONDENCIA INVERSA

Hemos visto que un subconjunto

- 142 - - 143 -

J

Teorema 1. La polencia entre segmen­tos orientados es una equivalencia. Demostración:

a) La relación es reflexiva, [1], [2],

ÁA' AA' < = > pm(AA') = pm(AA')

b) Es simétrica i porque si es AA’ ^ BB',

entonces también es BB' ZX AA', por­

que, [1], pm(AB') = pm(BA') implica

pm(BA') = pm(AB').

Para demostrar la propiedad transitiva conviene emplear coordenadas cartesia­nas (3).

Sea, entonces, En un espacio euclidiano de n ^ 1 dimensiones (n, natural) en el que fijamos un sistema (0;x¡) de dichas coordenadas: n = 1 en la recta y (0;x0 el sistema; n = 2 en el plano y (0; x]f xj n = 3, en el espacio y (0; Xj, xJ( x3) el sistema, y así siguiendo.

Recordando que las coordenadas del punto medio de un segmento Atí, conte­nido en En, están dadas por la semisuma de las coordenadas homónimas de sus extremos, si es M ese punto medio y mi sus coordenadas, entonces:

mi = i (ai + bi) donde a( y b| son, respectivamente, las coordenadas de A y B.

c) La relación es transitiva, o sea,

si es AA' ^ BB' ^ BB' ^ CC,

resulta AA' ZX CC'» cualesquiera que sean estos tres seg­mentos de E„.

Nota: El teorema que acabamos de probar es general. Pero, por su impor­tancia en el cálculo vectorial demostra­remos separadamente el

Teorema 2. Dos segmentos orientados nulos cualesquiera son equipolentes.

—*■ —*

Pues, si esos segmentos son AA y BB,“4 »-4

es [2], pm(AB) = pm(BA), lo que implica,

' [1], AA ZX BB-Obsérvese que esta importante propie­

dad suele ser comúnmente postulada o sobrentendida.

Además, utilizando la propiedad [2], es fácil probar que si A, A', B, B' son cuatro puntos de E,„ y si existe una cual­quiera de las cuatro equipolencias si­

guientes: Aa' Z BB', AB Z? A'B',

jCa Z eFb, BA Z B'A', existen las otras tres. (s)

2. VECTORES EUCUDIANOSLa "polencia" entre segmentos orien­

tados euclidianos, por ser una equiva­lencia» establece una partición (S.ZX ) C‘) del conjunto S, de segmentos, en clases de segmentos equipolentes entre sí, tales que uno cualquiera de ellos determina o todos los demás de su clase. Este seg­mento que puede ser elegido a volun­tad, es el representante de la clase.

Cada una de las clases de (S,ZX ) define una nueva entidad geométrica llamada "vector euclidiano", o simplemente "vec­tor"; y se llama "vector de un segmento orientado" a la clase que el segmento

representa. En símbolos, sii AA' es el representante de una clase de (S, Ü) y X, Y son puntos cualesquiera de un es­pacio euclidiano, entonces es

V (X;Y), vect. (AA') = -j XY | XY ZÜ AA' \ [5] donde (X;Y) significa "par ordenado". ^

Utilizando para estos vectores, la có­moda y práctica notación de Grassmann, podemos escribir también:

vect. (AA') = A' — A debiéndose respetar para el cálculo las reglas resultantes de las relaciones [4].

La definición de equipolencia segmen­taria aquí adoptada es la que nos ha

Equipolencia de segmentos

Vectores euclidianosFRANCISCO LA MENZA

(Buenos Aires)

Ejemplo: los segmentos de los dos pa- siguisntes para los cuales es

A A' = BB', son respectivamente equipo­lentes.

La relación geométúca de polencia entre segmentos orientados de rectas eu- clidianas es una equivalencia, funda- damento del cálculo vectorial euclidiano. Las propiedades que la caracterizan —reflexividad, simetría y transitividad— aparentemente claras a la intuición sen­sorial, se admiten, en general, como evidentes. Las dos primeras son conse­cuencias, casi inmediatas del paralelis­mo y de la congruencia de segmentos; pero no la tercera que implica la rela­ción de concordancia (l) entre segmentos orientados, en la cual la transitividad no es evidente si en lo abstracto se en­tiende por tal una afirmación que es inmediaía consecuencia lógica de otras.

Proponemos aquí una solución bas­tante simple del problema.

res

[4]

[3 j

/1. SEGMENTOS EQUIPOLENTES

Como también los de este par de seg­mentos nulos:Definición: Se dice que un segmento

orientado es equipolente, o que tiene la misma "polencia" que otro segmento orientado, cualesquiera que ellos sean, nulos o no, sii los dos segmentos deter­minados por el origen de cada uno de ellos con el extremo del otro tienen el mismo punto medio.

En símbolos, si AA' y BB' son dos seg­mentos orientados, entonces:

A A' ZX BB" < = > pm (AB*) = pm (BA')

AA^BBPero no son equipolentes los de estos

otros pares:

!i

En efecto, de la hipótesis AA' ZX BB’,j •4

pm(bA'), y porse tiene, [1], pm(AB') = tanto, [3], es: í (a* + b¡') = $ (bj

—4 ^ “4 ^

Por las mismas razones, de BB' CC

ai').

*4¿ *-4 “4

se tiene: pm(BC') = pm(CB') yi (bi 4- Ci') = Mci + Bi').

Sumando miembro a miembro 1 a s igualdades numéricas y cancelando, re­sulta:

i

[1]donde "ZÜ " es el símbolo de la polencia(2)

“4

entre segmentos y pm (PQ) significa "pun--4

to medio del segmento PQ". Luego

pm (PQ) = pm (QP) = pm (PQ) [2] para todo par de puntos P y Q.

[6]¿ (ai 4” ci#) = * (ci 4" a»

—V “4

o sea pm(AC') = pm(CA').

La cual implica, [ 1 ], A A' ZX CC • W

145 -

■ 1

4■

elemento neutro que es el vector nulo, la clase de todos los segmentos

orientados nulos la cual (Teor. 2) per te­la partición (S, Z ).

parecido mejor para tratar la cuesáón. Es simple, intuitiva, general, válida para segmentos orientados no nulos y nulos, y para un espacio euclidiano de cual­quier número de dimensiones. En ellas sólo se hace uso, al emplear coordena­das cartesianas, del punto medio de un segmento, punto que es invariante, en virtud del teorema de Tales, en las pro­yecciones paralelas del segmento sobre rectas.

De esta definición se deducen en for­ma fácil, clara y rigurosa, las nociones fundamentales del cálculo vectorial ordi­nario. Por ejemplo, la equipolencia de segmentos orientados no nulos implica las tres relaciones siguientes que la ca­racterizan:

a) dos segmentos orientados no nulos equipolentes son paralelos;

b) iienen un mismo sentido, es decir son acordes (T);

c) sus correspondientes segmentos ab­solutos o sea no orientados, soncongruentes.

Estas tres relaciones no bastan para determinar el conjunto V, de todos los vectores euclidianos» porque V es un grupo aditivo (V, -¡-) y, por tanto, tiene

un r; b) el segmento AB no es coplanar En símbolos, si AB es el segmento — nulo o no nulo— O es el punto exterior y M = pm(AB) se tiene:

cono sear(s).

br.ece aSi se parte de las relaciones a), b) y

c) para definir el conjunto V, es menes­ter, pues, postular la existencia del vector nulo. Por otro lado, para definir la equi­valencia de dos de esos vectores,' que se denota con y se trata como una legítima igualdad, es preciso probar que es una equivalencia, o sea que las rela­ciones a)- b) y c) son equivalencias. En geometría se demuestra que a) y c) lo son; pero no se demuestra que también lo sea b), es decir la concordancia de segmentos orientados paralelos no nulos. Ensaye la p’ueba el lector, si le gusta meditar seriamente sobre estas cuestio­nes y verá que no es nada fácil.

* . O A M B

OM = y2 (OA + OB)

_Demostración: Es muy simple pues, deAM = MB, O e AB y O exterior al seg­mento AB, obtenemos sucesivamente OM = OA + ÁM y OM = OB — MB, que implican 2 OM = O A •+- OB, luego [3].

TEOREMA III. Dos segmentos orienta­dos cualesquiera equipolentes a un ter­cero, son equipolentes entre sí.

Por ser la equipolencia segmentaria, como lo hemos demostrado en I. SEG­MENTOS EQUIPOLENTES. Teorema 1.. reflexiva y simétrica, basta probar que también es transitiva:

Y jr V.

r ISAA * V [3]

En el caso a) los elementos proyectantes son rectas; en el caso b), planos, los cua­les son subespacios de E3. (En el caso ge­neral de un espacio En, son subespacios de E„.)

Tracemos por el punto A, la paralela a la recta r; por ser no paralela a la recta AB,: sostén de AB, corta a los elementos proyectantes en sendos puntos Xo y B0 formándose los triángulos semejantes AX0X y ABnB, donde X es un punto dado cualquiera de AB.

Entonces, por tratarse de segmentos no nulos, se tiene:

AXo

Opinamos que el profesor de matemá­tica debe saber cuándo es conveniente o no postular una proposición demos­trable, psro no debe ignorar la demos­tración o, por lo menos, la existencia de ésta- Para aquellos alumnos, que se des­tacan, nada hay más estimulante que una prueba difícil.

BB'^CC' =>: ÁA'ITCC’A A' Z BB*Demostración: Trataremos primeramen­

te el caso de segmentos colineales, o sea contenidos en un espacio Ei, de una sola dimensión. Por tanto:

✓\A'X' AXAX _>

A'B' AB AB0 = AB'

AB0 AB por ser AX0 = A'X'

de donde resulta:l5) Esta breve nota terminaba aquí. A pedido de los

editores de ELEMENTOS, he agregado la segunda parte, por pareccrlos a ellos que podría ser útil al lector.

‘•el El símbolo (S, significa partición del con­

junto S, mediante " .

Dos segmentos orientados no nulos paralelos son acordes sii, siendo colineales, sus puntos están dispuestos en un mismo sentido del sostén común; si ro son colineales, pertenecen a un mismo serni- plano respecto de la recta de sus orígenes. Dos do tales segmentos no acordes, so llaman discor­des.

(J) Esta observación me ha sido comunicada per mi colega y amigo el doctor Juan Blaquier. Véase,

BLAQUIER-CAMPI, Funciones de varias variables y geometría analítica, C.E.I. "La línea recta"; Buenos Aires, 1963.

(') Suele emplearse otros símbolos para esta rela­ción, como " | ". El que usamos aquí tiene la ventaja do evocar la igualdad, el paralelismo y la concordancia de sentidos de los dos segmentos.

W Se puede dar una demostración puramente geo­métrica sin recurrir a la geometría analítica; pero es un poco más larga que ésta. (Véase NOTA). Véase PAPY, Mathómatique Modorne, vol. 1, pá­gina 345; Didier; Bruxelles-París, 1963.

[4]AA' = BB' = CC' = rAB' es la recta sostén. Tomemos en r un pun­

to O exterior al segmento que contiene a los tres segmentos dados. Se tiene:

[1]AXA'X' =AB

AA' Z BB' <=>AB[2]A'X'AX =

pm(AB') = pm(BA') = M,

por definición de segmentos equipolentes, y OM = i/o (OA + OBW/zCOB+OA') [5]

por TEOREMA II.

Análogamente:

A'B'

Este par de igualdades determina entre AB y AB' un caso muy particular y sim­ple de homeomorfismo, una de las trans­formaciones más importantes de la Topo­logía.

Para X=M==pm(AB) en [1], resulta X'= M'= pm(A'B') y viceversa, para X'===M' en [2], se obtiene X = M.

TEOREMA II. La distancia del punto medio de un segmento a otro punto cual­quiera de su sostén y exterior al segmen­to dado, es la semisuma de las distancias del referido punto exterior a cada uno de los extremos del segmento.

NOTA

Damos ahora una demostración geomé­trica prometida de la equipolencia seg­mentaria.

TEOREMA I. El punto medio de la pro­yección paralela no singular 0) de un segmento sobre una recta es la proyec­ción del punto medio del segmento.

Demostración. Sean: AB el segmento, r la recta, A'B' la proyección de AB,M = pm (AB) y M'= pm(A'B').

Si es r//AB, sostén del segmento, la

proposición es inmediata; también lo es para un segmento nulo:

BB' Z CC' <=>A / 6/ AA./// z r pm(BC') = pm(CB') = P

y OP = ^(CB+OC) = y2(OC -f OB') [6]iA Ai o

A' * o•Por tanto podemos referirnos

tos no nulos ni paralelos a la recta r.

En tal caso hay dos posibilidades: a) el segmento AB es coplanar con la recta

Sumando miembro a miembro las igualdades [5] y [6], cancelando, resul-a segmen­ta:

YAOK + OC) = %(OC + OA') = CQ donde (TEOREMA II) es:

- 146 - - 147 -

pm(AiB'i) = pm(BjA'i,)

y pm(BiC'i) = pm(CiB'i)

lo que implica, por ser segmentos coli- neales:

O =55 pm(AC') == pm(CA')Luego, por definición de segmentos

ÁA’^CC'.

I

Teoría moderna y aplicaciones

de las probabilidades”

equipolentesConsideremos finalmente el caso en

los tres segmentos dados están en un espacio E„ de n > 1 dimensiones. Pro­yectemos paralelamente, mediante sub­espacios de En — rectas en Eo, planos en E3<..., hiperplanos en En — los tres seg­mentos sobre la recta r de En y sean

!queÁ,A\ ZtC.C1! <=>_____ _ _____ »

pm(AiC'i) = pm(CiA'i).

Pero esta última igualdad a su vez, porTEOREMA I y definición de segmentosequipolentes, implica

pm(AC') = pm(CA') <==> A A' CC.

Lo que prueba la tesis.

(1) los elementos proyectantes no son paralólos al sos­tén del segmento.

(2) Podemos elegir r no secante de AB por comodi­dad, pero la demostración vale también cuando r es secante de AB.

JOAO MARTINS (San Pablo, Brazil)

A,A7* BiB'i -CiC'i sus respectivas pro-í *yecciones.

10. APROXIMACIONES DE STIRLING Aproximaciones de Stirling:De las hipótesis:

A A' Ü BÍ? < = > pm(ÁK) = pm(BA')

BB' U CC' < = > pm(BC') = pm(CB') se desprende, por TEOREMA I:

)Para calcular los factoriales se utilizan

fórmulas aproximadas en el caso de que los espacios de eventos, o los eventos, cuyas probabilidades se pretenden cal­cular, presentan un elevado número de puntos de ocurrencia. En estos casos, el cálculo directo de los factoriales puede presentarse muy trabajoso, o hasta im­practicable.

Las aproximaciones de Stirling proveen resultados perfectamente satisfactorios, por lo menos para la gran mayoría de las aplicaciones.

De primer orden:

n! = (2;r)’/2 nn + 1/2 e -"

De segundo orden:

n! = (2jt)1/2 nn + 1/2 e -n +

\

donde e representa la base de los loga­ritmos neperianos y n = 0, 1, 2,

La aproximación de primer orden es suficiente en la mayoría de los casos, según se desprende de un simple exa­men de la tabla comparativa que sigue:

O O Ot

LAS NUEVAS MATEMÁTICAS TEMEN ESTAR VOLVIÉNDOSE VIEJAS

n! Aprox. de ler. orden

Porcentaje de error

Aprox. de 29 orden

Porcentaje de error

nuna llave poderosa para el cambio en el curriculum de matemática en el país desde 1955, El cúmulo de críti­cas que el Grupo ha hecho para que se efectúen dichos cambios se ha escuchado en años recientes.

El Profesor Begle aclara en su carta que su reque­rimiento de ¡deas debe entenderse como una invitación para todos aquellos que estén interesados en el asunto.

"Nos gustaría" —dice— "tomar nota de las suges­tiones de todos aquellos que estén interesados en la matemática que se enseñe en nuestros colegios o es­cuelas."

Pide que toda sugestión, comentario o idea le sea enviado al Cedar Hall, Stanford University, Slanford, California, U.S.A.

El citado educador explica que la decisión de co­menzar planes y experiencias de largo aliento, corre el peligro de que la nueva matemática de los últimos años se "congele" dentro de un nuevo molde ortodoxo que ocasionaría otros trastornos dentro de pocos años.

En estos años han arreciado ataques a la nueva matemática desde todas direcciones y a menudo se han señalado conclusiones contradictorias.

Se ha apelado a la opinión pública para ayudar a crear nuevas ideas por una mejor y más moderna "nueva matemática" para las escuelas nac.cnales. En tal sentido, existe una solicitud del grupo de mayor influencia en la enseñanza revolucionaria de la mate­mática de la última década. Este reclamo de ¡deas está contenido en una carta dirigida al "Science Maga- zine" (Revista Científica: por el Prof. H. G. Begle, director del S.M.S.G. (School Mathematics Study Group) de la Universidad de Stanford, California. El Dr. Begle explica que ha resuelto reunir comisiones que busquen formulcr un programa enteramente mo­derno para la "nueva matemática" desde el 79 al 129 grado inclusive de la enseñanza secundario. Dichas co­misiones se encargarán asimismo de preparar el ma­terial de enseñanza para reemplazar los textos del S.M.S.G., usados por millones de americanos en estos últimos años.

Esto puede ocasionar un nuevo debate entre educa­dores, matemáticos, padres y otras personas interesa­das en cuanto a lo que debe enseñarse en las escuelas del país.

1,1802.10= 3,5986.10° 9,3249.10157

- 2 %120 1,2001.10- 3,6287.10° 9,3326-10137

- 0,01 % - 0,005 %

5- 1 %3,6288.10°

9,3326.1015710

0,11 %100

iProblema: (n!)2 = (2 n)V2 . (2n)-u + 1/2 . e[(2 jt)*- . nn + * . e “ n] 3 = 2-’« .

— 2'Á J 27- . jtl= . n1'- — (n jt) ~ - . 2-“.

/- 2n

Emplsando la aproximación de Stir­ling de primer orden: a) obtener el valor aproximado de b) dar el valor

numérico aproximado de (2u\100. Vn/

Solución b):

x = 2200 / (100 jt)*para n —!

ln x = 200 . ln 2 — ln 10 — l/2 ln jc

= 200 . 0,693 — 2,302 — */2 . 1,144

= 135,726 = 58 ln 10 + ln 9.92

x = 9.92 . 105S.

Solución a):

<2n)! / (2n — n)! n! = (2n)! :C) =CONCEPTOS ABSTRACTOSUNA LLAVE PODEROSA

Algunos críticos se han molestado por el énfasis de la matemática moderna en los conceptos abstractos

(Sigue en la página 154)El Grupo, financiado principalmente por la Fundación

Nacional de Ciencias de los Estados Unidos, ha sido(*) Véase ELEMENTOS, año III, pp. 70/6. (N. de los E.)•:

149 -- 148 -¡

I//

/ 1

distintas de escoger k entre las haya ocurrido. Por ejemplo, si en la pri­mera observación la probabilidad de salir bola azul es: P (Á¿) = nA / n, si saliera bola blanca en la primera vez, la probabilidad de A2, "bola azul en la se- gund avez", será P (Ao/Bj) = nA/n-l.

Entretanto, la probabilidad de bola azul en la segunda vez, habiendo salido cola azul en la primera es

P (A,/Aj) = p (Ai Ao) j p (Ai)= (nA-l) / ín-1)

Obsérvese que en este caso r ^ n. En casos como éste, se dice que se trata de observaciones repetidas dependientes.

En el caso b), como hay reposición, el número de observaciones puede ser cual­quiera y la probabilidad de obtener una bola azul en una observación es siempre P (A) = nA / n. Este caso se llama de observaciones repetidas independientes.

todas las distribuciones de igualmente probables, ¿qué proporción de familias con 8 hijos exactamente, se dsbe esperar que tengan 4 niños y 4 niñas?Solución:

La respuesta al problema propuesto, consiste en lo siguiente: en una gran población de N familias con 8 hijos, si n es el número de aquellas que tienen 4 niños y 4 niñas, la razón esperada es n/N.

Considerándose, por ejemplo, niña co­mo éxito, se tiene que la razón pedida es n/N=probabilidad de que en 8 na­cimientos ocurran 4 éxitos.

Siendo entonces p=l/2 la probabili­dad de éxito, se tiene por lo tantob (4; 8, í') = (?) l/2‘ . 1/21 = 35/128

2? — Muestre que, para x entero po­sitivo,

maneras r, está dado por (k).

En cada combinación de k cajas, las nA bolas azules pueden ser dispuestasde An modos (arreglos simples) diferen-

Ates. En las *r-k cajas vacías de cada com­binación, las n-nA bolas blancas, pueden

IV. — OBSERVACIONES REPETIDAS sexos sean

1. Preliminares.El problema de las observaciones repe­

tidas desempeña un papel importante en la teoría de las probabilidades. Las ob­servaciones repetidas consisten en un experimento de naturaleza estadística que es esencialmente una secuencia de ob­servaciones, en cada una de las cuales puede ocurrir uno entre r eventos deter­minados Ai, Ao, ... Ar­

mando esos r eventos son estadística­mente independientes, se tienen observa­ciones repetidas independientes. En ese ceso las probabilidades pi, p2, ..pr de los eventos Ai, A2, ... Ar no dependen del número de observaciones. En otros términos, la probabilidad de ocurrencia del evento Ai, que es p,, tiene el mismo valor en todas las observaciones, ocu­rriendo lo mismo con los demás eventos.

Las observaciones repetidas indepen­dientes, en el caso particular en que pueden ocurrir solos dos eventos, A, y Ao, son llamadas observaciones repetidas de Bemoulli.

y—

ser dispuestas de A„-n modos diferentes, A r k r-k lo que da un total de (k) . A„ . Arn.„

puntos de ocurrencia. A APor tanto, la probabilidad del evento

en cuestión, está dada porP (AJ = Q An . Añil / A„

ASe puede verificar que

(£) An - A ’nll / Al =

0 C7-J / Q 8. Número de éxitos en un muestreo con reposición (Distribución binomial)

En el problema de observaciones repe­tidas en que apenas pueden ocurrir dos eventos (observaciones repetidas de Ber- noulli), se puede considerar uno de los eventos como éxito y en consecuencia el otro como fracaso. Háblase entonces del número k de éxitos en r observaciones.

En el problema del párrafo anterior, en una observación simple con reposición, sólo existen dos posibilidades represen­tadas por los eventos: A-“bola azul" con probabilidad p = nA/n; B-“bola blanca" con probabilidad q = nu/n, satisfacién­dose la condición p + q = 1.

Si se conviene en que la ocurrencia de bola azul representa un éxito en la observación, se tiene que el número k de éxitos en r observaciones repetidas independientes, tiene probabilidad

b (k; r, p) = U P Q • Obsérvese que esta expresión repre­

senta el término de orden k del polino­mio que constituye el desarrollo de la r-ésima potencia del binomio p + q. Luego,

(r-l) + O = P+1)Respuesta al caso b), con. reposición.El número de puntos del espacio en

este caso está dado por nr. Razonando nuevamente con la fila de r cajas, hay

como en el caso anterior, (k) modos dis­tintos de escoger simultáneamente k ca­jas. Para cada una de esas posibilidades, las nA bolas azules pueden ser distri­buidas en las k cajas, de nA modos diferentes (pues como ahora hay repo­sición, los arreglos son con repetición).

Las r-k cajas que quedan vacías en cada combinación de k cajas, pueden entonces ser ocupadas por bolas blancas de (n-nA)r*,c modos distintos.

El número de puntos del evento “mues­tra de k bolas azules" (con reposición) es, pues(k) • ni .. (n-nA)r k y su probabilidad

P (Ai.) = (k) . nA (n-nA)r*k / nr == (k) (ni / n) (n-nA)r"k/nr*k =

Demostración:De la definición de coeficiente bino­

mial

(r — 1) = x! / (r—1) ! (x — r—1) ! =I) ! =

= x ! / r ! (x — r) ! [r / (x— r + 1)]. x

Por otro lado, (r) = xl / r! (x — r)!

Así: (r!x) + (*) = [xl /rl (x — r)]

[(r / x — r + 1) -f 1 ] = [r! / r! (x — r)! ]

[(x+ 1) / (x —r + 1)] = (x+ D! /r! (x —r+1)! = (x + r)

39 — Mostrar que perra a y k enteros positivos se puede escribir

(-£) = (—l)u P + jf-1)

2. Muestreo simple, ordenado.

El muestreo simple constituye un pro­blema básico en la teoría estadística, por constituir un prototipo pa:a la solución de muchos problemas.

Supóngase que una urna contiene n bolas, nA de las cuales son azules y las demás blancas Una muestra de orden r, es decir que contiene r bolas, es sacada ordenadamente; se pregunta cuál es la probabilidad de que la muestra contenga k bolas azules:

a) sierdo el muestreo sin reposición;b) siendo él muestreo con reposición.

Respuesta al caso a), sin reposición.El número de resul iodos disiintos que

pueden ocurrir está daao por el número de arreglos simples de n elementos, to­mados de r en r. Por consiguiente, ei espacio de eventos en este caso tieneA¡¡ puntos. Los puntos del evento “mues­tra de r bolas con k azules" son repre­sentados por las múltiplas de orden r, que contienen k bolas blancas y el nú­mero de ellos puede ser fácilmente ob­tenido. Para ello, basta considerar una íil ü de r cajas, o celdas. El número de

= x ! r / r ! (x — ir

!i

l

!

í

Demostración:

De la definición general de coeficiente binomial

(k) = x (x—1) ... (x — k + l)/k!

y entonces, (“£) = —a (—a —1) ...(— a — k + 1) / k!. Como existen k fac­tores en el numerador del segundo miem­bro, multiplicando los k signos negativos, so obtiene

1 :

°A= £) (^)’[ (1 - + = Ú Pkq'k(p + q)' = 1 = S Q P’1 qr-k-

Las expresiones (u) representan pues los coeficientes binomiales.Problemas

1? — Admitiendo, por hipótesis, que

! En el caso a), en que se hacen r .ob- se-vaciones sucesivas sin reposición, el conocimiento de la probabilidad de la j*ésima observación, conocidos los resul­tados precedentes, depende de lo- que

i- 150 - - 151

; ;

I i iS!

j// ;

Sean n bolas distinguibles distribuidas en N cajas y Ak el evento "una caja contiene k bolas exactamente .

Trátase, en primer lugar, de obtener la probabilidad de Ak, esto es: P (Ak). / '

Las n bolas distinguibles pueden ser distribuidas en las N cajas, ordenadas linealmente, de N" modos distintos. Los puntos del evento Ak, se suponen igual­mente probables. Su número es dado por el número de modos posibles de dispo­ner las n bolas en las N cajas, de modo

cierta caja quede con q bolas

será ciertamente satisíecha para k < 10, y la distribución de Poisson queda

1 1

(- “) = (— l)u a (a + 1) .. (a l- k-1) / k!pero (a -|- k — 1) — k + 1 = a luego:(-») = (— 1)* (a + k — 1) (a + k — 2)

... (a + 1) a/k! = (—l)k (“+k'1)

4. Aproximación de Poisson

De la expresión binomial de Bernoulli,

b (k; n, p) = (") pk qn“k = [ n (n — 1)

... (n — k + 1) / k!] pk (1 — p)

eliminando p con el auxilio de la rela­ción X = np se obtiene:

b (k; n, p) = [n (n — 1) ... (n — k + 1)

/ k!] (—)k (i _ A)»-* = [n (n — 1) ...

(n — k + 1) / nl¡] (—)“ (1------- )"'kJ n n

Supóngase entonces que una urna con­tiene n objetos perteneciente a k clases diferentes:/

ni objetos de la clase Ci n._, objetos de la cíase C2

P(k,/0 = e * Xk / k! = —e k!

I? El evento "al menos 3 bolas en una determinada caja" está dado por A3 y A.j (J ... |J Agou. pero como los eventos Ak son mutuamente excluyenos, la pro­babilidad de su unión es la suma de sus probabilidades. Luego, suponiéndose vá­lida la distribución de Poisson para iodos los valores de k se tiene

nk objetos de la clase Ckl Extrayendo una muestra de orden r (esto

es aue contiene r objetos), con reposición, se quiere saber cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A (rJf r2, ... ru) consistente en:

.

in — k

Ti objetos de la clase Ci r2 objetos de la clase C„

que una exactamente.

Supóngase entonces que en una cierta caja son colocadas k bolas. ¿De cuantos modos se pueden sacar estas k bolas de entre las n? La respuesta es (¡í).

rk objetos de la clase CkP (X) = P (A3 A, ... A3oo) =

1 k= ..__ v __© i- — :» k!

pero P (X) puede ser escrita, por ejemplo.

í* 1 1 —— K*Evidentemente 2

1 = 1

í — k 1 — 1

500 n¡ = n v , = rCada una de esas posibles elecciones

debe ser asociada a todas las maneras posibles de disponer las n — k bolas res­tantes en las otras N — 1 cajas.

fnúmero del n puntos de } = (k) (n — l)n'"k

Ak JConsecuentemente P(Ak) = NAk/Nn =

= (n) (N—l)”-VNn = ñ (1 — L)»* k k N N

Pero también se puede pensar que, al distribuirse al acaso las n bolas en las N cajas, escogida una de éstas se puede considerar éxito, que una bola caiga en la misma caja (y por tanto fracaso si cae en cualquiera de las demás). Como las N cajas son igualmente probables para las n bolas, la probabilidad de éxito es N'1. La colocación de las n bolas corres­ponde a n observaciones repetidas inde­pendientes. Por tanto, la probabilidad de que una determinada caja, contenga exactamente k bolas, es:

P(Ak) = b(k;n A) = (n) (-L)* (1— -Í)»-k N k N N

que coincide con el resultado anterior. Por los datos del problema, N = 500,' n = 500, k = 3,4, ... 500.

La condición n » A es satisfecha, pues X — np y en el presente caso p = N'1.

I X La probabilidad de que, extraído al acaso de la urna, un objeto sea de la clase1 r k = 50 1 1 1Como lím [n (n — 1) .. (n — 1) / nk] = 1 k — 500

5 — Ik — 51 k! J

P (X) = — I — ri-\ Ci es pi = ni/n (Evento A])C2 es p-j = n2/n (Evento A2)

Ck es pi; = nk/n (Evento Ak)

El número X de maneras posibles de extraer, con reposición, una muestra de r objetos distintos, de modo que:

la clase Ci se presenta rt veces la clase C2 se presenta r2 veces

k —s x e I k = 3 k1

Para el primer término del paréntesis, la condición k « n está satisfecha y el segundo término es completamente des­preciable respecto del primero, de modo que se puede escribir

n » k Así Na-Xy también lím (1 ~ —l""11 = e se

n 00 11tiene que en una vecindad del límite

O p“ (1 — p)"'k = e 1 V1 / k! =

= e _np (pn)k/k!

Paro: un conjunto dado de valores de k, cuyo extremo superior sea k„ la apro­ximación será pues tanto mejor cuanto mejor sean satisfechas simultáneamente las relaciones n» kH y n » X.

Evidentemente, la segunda de ellas implica que sea p « 1 pues X = np. En la práctica se utiliza ordinariamente esa

i

aproximación cuando se tiene p ^ y-

Problema

Un libro de 500 páginas contiene 500 errores tipográficos. Calcular la proba­bilidad de que una página contenga por lo menos tres errores tipográficos.

Solución:

Para resolver este problema se puede pensar que 500 bolas distinguibles son distribuidas al acaso en 500 cajas y pro­curar determinar la probabilidad de que escogida una caja al acaso ésta contenga 3 o más bolas.

Xk

1 k—50 1^12 —

© k — .'5 k!

1coP (X) = _ V

e k = 3 k! Finalmente, con tres cifras significativas la clase Ck se presenta rk veces.

se obtiene considerando la partición de los r objetos en las k clases.P(X) = —U + — + — 4-

3 !e L 4 4x5 4x5x6J.1-1

r!! — fri, r2, ..., rk)Así, X =.1 rri r2! ... rk!

X es, por tanto, el número de puntos del evento A (n, r2, . .., rk). Falta ahora, de­terminar la probabilidad de cada uno de esos puntos.

Para eso considérese que esos X pun­tos son aquéllos de la intersección de los k eventos estadísticamente indepen­dientes:

I (1,000 + 0,250 + 0,050 +í 1,630 X 10i

^ 1,308 X 10-1 —!+ 0,008) = = 8,02 X 10-*

1,630\

. 5 Distribución multinomialLa distribución multinomial correspon

de al caso general de observaciones repetidas independientes. La distribución binomial se refiere a observaciones repe­tidas independientes en que hay sola­mente dos posibilidades: éxito y fracaso. En la distribución multinomial se consi­dera un número finito cualquiera de po­sibilidades.

.

= Ai aparece ri veces en las i-Ai, ri

observacionesAo, ro = Ao aparece r2 veces en las r observaciones

in

de modo que: = — =1 « 500.iN = Ak aparece rk veces en las rAk, r

La condición n >£> k, como n = 500, k

- 152 - - 153 -

1 ¡cifras significativas. De las 10 lecturas efectuadas, correspondientes a las 10 lí­neas,

CUESTIONES DIDACTICASLa Enseñanza de la Geometría en

la Matemática Unitaria de Hoy()

Las rj apariciones del evento Aj cons­tituyen Tj eventos estadísticamente inde­pendientes y por el párrafo 4 del capítulo II (*), se tiene: 3 terminaron en 0

„ 5/

2riP (A,,r,) = p,

P (A2,r2) = p2

„ en una de las5 u

otras cifras.

Siendo los 10 dígitos igualmente proba­bles para representar la última cifra de cada lectura, ¿cuál es la probabilidad de queazar? Este es evidentemente un caso de distribución multinomial con k = 3

'ru

P (Ak,rk) = pi;La probabilidad de cada uno de los X puntos de la intersección Ai,rI# A2,r2,| ... Ak,rk es por tanto:

P (Ai,r,) P (Ao.ro) ... P (Ak,rk) =j = k

i Anna Z. KRYGOWSKA(Cracovia, Polonia)

secundaria. La enseñanza de la matemá­tica es una educación en el sentido am­plio, cuyos fines, tareas, posibilidades, responsabilidades, no concluyen en la educación para la matemática pura. La educación para la matemática es sólo una parte de la educación por la mate-; mática. Muchos de los aspectos forma- tivos, culturales, prácticos, etc., que que­dan fuera de la matemática como cien­cia y que pueden quedar fuera del domi­nio del interés del investigador, se en­cuentran por el contrario a menudo en el centro mismo del interés pedagógico. Los componentes de la educación por la matemática pueden ser muy diversos, como, por ejemplo, el aprendizaje del razonamiento preciso, por un lado, y la educación para la visión del espacio, por el otro. El profesor de matemática no puede cerrar los ojos a las necesi­dades prácticas de la vida social, a la profesión o a los estudios futuros de sus alumnos, a la correlación de su ense­ñanza con la enseñanza de otras mate­rias que se estudian en la escuela, et­cétera. Todos estos puntos de vista nos sugieren y aún nos obligan a inte­grar en la educación por la matemática, cierto conjunto de conocimientos llama­dos geométricos, ciertas habilidades para aplicar prácticamente dichos conocimien­tos, como así también una terminología apropiada que hoy ha penetrado en casi todos los dominios de la vida, en todas las profesiones y en cada nivel de la técnica.

Dejemos a un lado estos aspectos prác­ticos. Refiriéndome a ellos, quisiera se­ñalar esta verdad trivial expresada ya en este sentido: "la mina" de la geometría elemental no aparece como agotada en el ámbito de la enseñanza.

este resultado fuese obtenido porEn cada cambio de la historia de la

enseñanza de la matemática es carac­terístico encontrar antes que nada una batalla concentrada en torno de la ense­ñanza de la geometría. Este hecho se hace comprensible si se tiene conciencia de la metodología equívoca de la geo­metría que se enseña en la escuela, el punto más sensible de la matemática llamada escolar.

r:i = 5rs = 2= 3•!

81ri FkPir’Pl • Pü ... Pie Pi = pj = —; p.-!--------i = 1

Todos los X puntos tienen pues la mis­ma probabilidad, de modo que

Prob. A (ri, r2 ... rk) ===: P (Ai,ri, A2,r2 ... A]',rk) =

1010I

10!La Prob A (3, 2, 5) =

3' 2! 5!La historia se repite y hoy, cuando nos

encontramos frenie a un nuevo cambio, es precisamente la enseñanza de la geo­metría la que provoca una ferviente discusión.

Pero esta vez aparece un elemento nuevo: el problema de la existencia

. misma de la geometría escolar como un ente delimitado y autónomo de las otras materias de la enseñanza. "¿Se puede aún salvar la geometría y qtié se puede salvar de ella?" Esta cuestión planteada por un profesor, matemático y pedagogo bien conocido, T. Fletcher, refleja eviden­temente, en su formulación defensiva, la situación dentro de la ciencia contempo­ránea, a saber, "la decadencia inevita-

• ble" —cito aquí a Bourbaki— de la geo­metría elemental como disciplina autó¿ noma y viviente. "Para el matemático profesional —declara Bourbaki— la mina está agotada, puesto que allí no hay más problemas de estructuras susceptibles de resonar sobre otras partes de la mate­mática." (l)

Evidentemente, este hecho no implica en absoluto que "la mina esté agotada"

el alumno de escuela primaria o

(1/10)» (1/10)2 (8/10)5 = 0,0082r! ri ro rk

Pt • Pj ... PieLa expresión obtenida para la proba­

bilidad de A (ri, r2, . . rk) con 2‘k = r representa el término general del des­arrollo de

rjl r2.! ... rk!

j = k)=(. r P.ri1. . • • Fk

i = 1 (pi + pj 4- ... 4- \YDe ahí la denominación de disiribu-'

ción multinomial.Se puede mostrar que la expresión

multinomial tiene valor máximo cuando ri, r2, ... rk satisfacen las desigualdades

ProblemaCon auxilio de un sistema micrométri-

co, a partir de una línea de referencia, fueron medidas las distancias de 10 líneas de un espectro de emisión obtenido en una placa fotográfica. El sistema emplea­do permitía la lectura directa de cuatro r . Pi < r¡ ^ (r + k — 1) pj

(Continuará)

íli

(*) Véase ELEMENTOS, año ¡II, pp. 21-27. (N. de los E.)

I

:l

(Viene de ¡a página 148)

tales como la noción de conjunto (una colección de objetos relacionados o ideas) o los axiomas básicos de la Aritmética. Han argüido que este énfasis sobre la lógica pura y sobre la abstracción está por encima del entendimiento de muchos de los maestros y profe­sores y fuera de la competencia necesaria para el cálculo elemental que neces;ta el alumno.

Otro grupo do críticos se queja de que mucho de la nueva matemática no es realmente esencial para la mayoría de la gente y sólo es muy necesaria para aquellos jóvenes que serón matemáticos profesionales. Algunos de estos críticos defienden la "vieja matemá­tica", incluyendo el álgebra tradicional y la geometría plana común, tan útil por rozones culturales y porque ella satisface las necesidades en variados campos de la vida adulta.

En el otro extremo están los críticos que han atacado la nueva matemática sin miramientos. Señalan que las innovaciones introducidas en la enseñanza en las es­cuelas primarias y secundarías de los Estados Unidos en la última década consisten principalmente en ideas que tienen más do un siglo. Desearían hacer una ma­temática moderna realmente nueva, introduciendo en la enseñanza elemental y media cursos de los adelan­tos más modernos, incluyendo los que se han descu­bierto en la última década.

i

peeráEL PROGRAAAA CAMBRIDGE (*) Traducción de! original en francés, aparecido en

"Mathematica et Pacdagogia" N<? 23 (1962), realizada pot la profesora Irma Dumrauf, asistente de Papy en el C.B.P.M. (N. de los E.).

(1) Nicolás Bourbaki, "Éléments d'histoire des ma- thématiques"; Hermann; París, 1960. Pág. 142/43.

;: Una convención de educadores llevada o cabo en

Cambridge, Massachussets, hace pocos años, recomendó una reforma radical de! curriculum de matemática.

(Sigue a la página 169)

- 155 -- 154 -

/

/*

tructuras descubiertas por la vía geométrica, a los otros capítulos de la matemática que se enseña, y viceversa;

c) la posibilidad de proseguir por el método del descubrimiento;

d) la garantía de la posibilidad del aprendizaje eficaz de los conocimien­tos tradicionalmente llamados "geo­métricos" y prácticamente necesa­rios; la garantía de la posibilidad de desarrollar en el curso de esta enseñanza la visión del espacio y la capacidad de absorber las situa­ciones reales en esquemas geomé­tricos apropiados, a fin de resolver los problemas prácticamentes impor­tantes.

Toda nuestra experiencia prueba que, en la enseñanza de la geometría eucli- diana en su concepción tradicional, la realización de estos postulados no sería fácil. Detengámonos por el momento en esia cuestión, antes de dar ciertos ejem­plos para ilustrar concretamente los pos­tulados que acabo de mencionar. El curso de geometría ocupaba, y ocupa todavía hoy, una posición singular en la mate­mática llamada escolar. La obra esplén­dida de la antigüedad, la primera pre­sentación deduciiva conocida, concierne a la geometría. Esta prioridad histórica ha creado un mito didáctico según el cual es precisamente la geometría ele­mental —en su construcción euclidiana— la que sería particularmente adaptada para introducir al alumno en el procedi­miento del método axiomático. De allí proviene un cierto aislamiento espléndido de la geometría con respecto a los otros asuntos matemáticos tratados en la es­cuela. Esta autonomía se conserva aún hoy, pese a la alteración de la pura concepción antigua, pese a los caballos de Troya, los números reales y las trans­formaciones, introducidos en la geometría sintética de los manuales escolares por ciertos autores valientes y geómetras "desleales"' del siglo XIX.

La revisión metodológica de los funda­mentos de la matemática nos ha reve­lado la noción de la estructura definida axiomáticamente, así como el sentido, e! alcance y los límites del método axiomá­tico. A la luz de esta revisión, vemos claramente que la geometría elemental.

tricas. La actividad de esquematización puesta en juego en las situaciones favo­rables que la enseñanza puede y debe crear, revela al alumno ciertas estructu­ras matemáticas subyacentes. La toma de conciencia de estas estructuras abre la posibilidad de acceso a la esqusma- lización, no sólo perceptiva, sino también conceptual, de las relaciones en cuestión, seguida por la integración de las ideas así asimiladas al conjunto de estructuras matemáticas.

Para evitar todos los malentendidos po­sibles hay que señalar que, hablando de la vía geométrica de acceso a la mate­mática moderna, no pienso en ningún curso conocido elaborado en los textos usuales ni tampoco excluyo a priori nin­guna concepción en este terreno. Por lo contrario, esta vía geométrica puede ser utilizada en la enseñanza de diversas maneras. Ella puede constituir el eje de orientación de construcciones metodoló­gicas extremadamente opuestas: en apa­riencia tanto en la geometría de situa­ciones en el sentido de C. Gattegno (3), como en un curso deductivo en el sentido de G. Choquet (’), para dar un ejemplo. Lo mismo en lo concerniente a la posición de la enseñanza de la geometría en la totalidad de la matemática escolar. Se puede empalmar la vía geométrica con la red de todas las vías posibles en un curso unitario de matemática o formar un curso de geometría lógicamente cons­truido como un capítulo aparte. El pro­blema queda abierto. La enseñanza mo­derna de la geometría pue,e por lo tanto, referirse a contenidos diversos y puede tener diferentes formas. Lo que se postula esencialmente es:

a) la riqueza potencial de las estruc­turas matemáticas fundamentales subyacentes y su amplia explota­ción en el curso de esta enseñanza;

b) la frontera abierta, es decir, la fa­cilidad de "exportación" de las es-

Así, el desarrollo de las intuiciones—en el serí-

Eliminando estos aspectos, por otra parte muy importantes, nos será más fácil concentrar la atención sobre lo esen­cial del problema que vamos a encarar. Volvamos de nuevo al fragmento de la historia de la matemática de Bourbaki, ya citado parcialmente.

Pese a la decadencia evidente de la geometría clásica, "es una prueba muy sugestiva conservar tal cual la termino­logía que, en el caso de los espacios de 2 y 3 dimensiones, provenía de la geo­metría clásica, y extenderla al caso n- dimensional, y aún a los espacios de dimensión infinita. Excedida como cien­cia autónoma y viviente, la geometría clásica se ha transfigurado en un len­guaje universal de la matemática temporánea, de una flexibilidad y didad incomparables". (-) En este sentido, la matemática moderna representa el triunfo postumo de la geometría elemen­tal sintética, hecho que no debe ser descuidado en la discusión sobre la modernización de la enseñanza de la matemática.

¿En qué consiste, en realidad, la flexi­bilidad y la comodidad incomparables del lenguaje geométrico del cual se ha­bla en el fragmento citado. Evidente­mente, se podrían destacar los aspectos técnicos del lenguaje en cuestión y su simplicidad estructural. Pero lo que es esencial es el eco de las intuiciones es­paciales primitivas y muy profundas que resuena en el estilo del lenguaje mate­mático moderno. El papel de estas intui­ciones activas sobre los niveles elevados de abstracción, por intermedio de una jerarquía complicada de analogías, no se agota en la forma verbal, dada la interacción creadora del lenguaje, del pensamiento y de la imaginación. Es a la riqueza potencial de las estructuras fundamentales generales subyacentes, a lo que la geometría elemental debe su triunfo postumo. La mayor parte de estas estructuras quedaron escondidas durante muchos siglos bajo la ferina rígida de Euclides, pero fueron puestas en eviden­cia por los matemáticos del siglo XIX. I.as transformaciones y la investigación de sus invariantes desempeñaron en ello un papel decisivo.

(2) Op. Cit., pág. 145.

geométricas fundamentales tido mencionado— en el alumno y la formación de su lenguaje geométrico su­ficientemente rico y flexible, conservan su importancia desde el punto de vista de la matemática moderna.

Por otra parte sería falso también des­de otro punto de vista, identificar la decadencia de una teoría, que después de haber cumplido su deber en el desa­rrollo de la matemática, se vuelve muer­ta y pasada de moda, con la negación de la vía genética —en sentido psicoló­gico— que conduce las percepciones es­paciales y las acciones concretas, a través de esquematización es jerárquicas, a las estructuras matemáticas. Esta vía existe y —a mi modo de ver— no debe ser descuidada en la enseñanza moderna.

1

::

;

;

con-como-

Si la matemática de hoy se ha reve­lado unitaria en lo concerniente al objeto de su investigación —las estructuras— y unitaria en lo concerniente a su método —el método axiomático—, las vías psi­cológicas de acceso genético a esta ma­temática unitaria son múltiples, diferentes y variables, lo mismo que los aspectos de la realidad —que nos son accesi­bles— son múltiples, diferentes y varia­bles. La educación para el pensamiento matemático contemporáneo no consiste —a mi modo de ver— en la elección de una vía única que conduzca directamen­te al mundo de las estructuras abstractas de la matemática unitaria. Por lo con­trario, hay que mostrar al alumno que hay múltiples vías de acceso —las vías totalmente naturales y familiares— a la misma estructura matemática y que, fi­nalmente, es precisamente esta estructura matemática el propio objeto de sus estu­dios bajo las diferentes formas.

•f-ii

:

Una de las vías de acceso a la mate­mática unitaria es la que en adelante llamaré la vía geométrica. En el nivel inferior, ella se caracteriza por el proce­dimiento de esquematización basado en la analogía perceptiva de las relaciones espaciales y concretado en los dibujos y la construcción de modelos espaciales. Conduce así a los

I!

(3) C. Gattegno, "la pédagogie des mathémati. ques", en "L'enseignement des mathématiques"; De- lachaux-Níestlé; París, 1955. (Hay versión española, comentada en ELEMENTOS, año I, pp. 158/9. (N. de los E.).

(4) G. Choquet, "Sur l'enseigneme-nt de la géo- métrie élémentaire'", op. cit. y "Recherche d'une axio- matiquo commode au premier enseignement de la ge- ométrie"; Editions A. P. M.; París, 1961.

I

esquemas perceptivos, llamados figuras geométricas, y a los esquemas de acción, es decir, a las trucciones y las transformaciones geomé-

cons-

!- 157 -;- 156 -

!ti

/ I//

Gracias a la polivalencia de la teoría y a la multiplicidad de sus interpreta­ciones familiares al alumno, éste com­prende el ssntido mismo de la axiomá­tica como definición de la estructura común a los diferentes modelos. En esta situación, la precisión del razonamiento

postulada a priori ni impuesta por el profesor, sino que ella proviene natu­ralmente de la comprensión adecuada del tema que se estudia. Gracias a la simplicidad formal de los axiomas, como así también a la simplicidad de las pri­meras demostraciones, es posible concen­trar el pensamiento del alumno sobre el procedimiento del propio método axio­mático. Interpretado en los diferentes modelos —provistos de la estructura en­carada—

en su concepción tradicional, no es ya el modelo de la teoría axiomática que se adaptaría bien a las posibilidades y necesidades de la enseñanza escolar. Y comprobamos además que. desde el pun­to de vista de la ciencia moderna, ella proporciona a los alumnos una imagen errónea del método axiomático y de su propio tema de estudio.

Este estado de cosas parece bien prensible a la luz de la concepción derna de la estructura, como así también a la luz de las experiencias tendientes a encontrar las condiciones óptimas de la iniciación de los alumnos en el método axiomático. Los resultados de las prime­ras investigaciones, si bien muy restrin­gidas —y que continuarán de una ma­nera más sistemática— nos autorizan ya a formular una hipótesis de trabajo refe­rente a la elección del sistema de axio­mas de iniciación en el pensamiento axiomático moderno. Según esta hipóte­sis, la axiomática de iniciación debe satisfacer las siguientes condiciones:

3) simplicidad formal (Pocos

1. V x (x £ E - 3 y, z: y, z s E A y^ézAxvyAxvz)

2. V x, y (x, y e E A x v y -*• y v x)3. V x, y [x, y 6 E A x v y no (y f x))4. V x (x 8 E x f x)5. Y x, y (x, y 8 E A x f y y f x)6. V x, y, z (x, y, z e E A x f y A y f

z X f z)

Esta lista es una información I sobre una de las estructuras de las que está provisto el conjunto E. Imaginemos invitado A. Él puede hacer una investi­gación sobre el conjunto E utilizando métodos diferentes; puede, por ejemplo, interrogar a los invitados y observar sus reacciones; puede también deducir las conclusiones basándose en los hechos establecidos en el transcurso de la obser­vación. Sus conocimientos referentes al conjunto E pueden ser muy ricos y muy diversos. La información I no es más que una pequeña parte, sin importancia es­pecial, de dichos conocimientos.

Imaginemos ahora otra persona B que no participa de la reunión. B obtuvo la información I y no tiene posibilidades de procurarse otras informaciones referente al conjunto E; pero conoce el significado particular de los símbolos E, v, f. Para ampliar sus conocimientos referentes a E, sólo le queda un camino: la deducción. Por ejemplo, utilizando la información I, puede deducir: "Si x v y A y f z enton­ces no (x f z)". Utilizando el significado de los símbolos, puede concluir: "Si el número de invitados es impar, entonces ellos pertenecen al menos a tres fami­lias", etc. En la conciencia de B la in­formación I es univalente. Pero, jatención! Haciendo su deducción —a las buenas o a las malas— B obtiene resultados polivalentes. Dichos resultados se apli­can a cada conjunto E que satisface a las premisas obtenidas por B en el trcms-

. curso de su razonamiento.

Imaginemos, por fin, un tercer perso­naje C, que encontró la información I y que no conoce ni su origen ni el signi­ficado de los símbolos E, v, f. Él quiere también descifrar esta información. Pue­de tener la suerte de hallar la interpre­tación adecuada a la situación original; pero también puede encontrar otras posi­bilidades. Por ejemplo:

E x f yx v y(Conjunto de...)

x tiene la misma pro­fesión que y

personas invi­tadas a la

velada

x tiene por vecino a y

no esx es del mis­mo sexo que ycom-

mo-:■

! x — y | = 1núm. enteros x — y es parun

x 1 y A 1*1 = lYi

: vectores con­currentes (en el mismo pto.)

x, y son colineales

x, y tienen el mismo oficio

obreros que trabajan en grupos; cada grupo com­prende 3 per­sonas de ofi­cios distintos

x, y pertene­cen al mis­mo grupo A x 4 y

teorema simple, deducido mediante un razonamiento también sim­ple, el alumno obtiene gratuitamente una serie de teoremas nuevos, a menudo poco intuitivos y complicados, dentro de los dominios ya conocidos. Puede apreciar así el alcance práctico del método axio­mático, como así también su rigor. (Estas condiciones se realizan, por ejemplo, en la axiomática de los reticulados y es precisamente esta axiomática la que he­mos elegido para la verificación de nues­tras hipótesis de trabajo. Ellas han sido confirmadas totalmente por las primeras experiencias, bastante restringidas otra! parte, ptro

un

;

C ve, pues, que la información I es polivalente. El número de personas invi- tades es finito; pero puede ser, por ejem­plo, par. El de obreros es necesariamente un múltiplo de 3. El conjunto de los nú­meros enteros es numerable; el de los vectores, no numerable. La información I define una estructura común a modelos distintos y no isoformos. Tomar concien­cia de este hecho tiene una gran impor­tancia. C comprende que el único objeto de la deducción basada sobre la infor­mación I es la estructura definida por I.

Comparemos estas tres metodologías ficticias de los tres personas ficticios A, B y C. Para A, la deducción es un mé­todo, entre otros, que se puede aplicar a la situación dada. Para B es el método único, pero impuesto por las condiciones desfavorables a la investigación experi­mental directa, que puede ser más ade­cuada al objeto de esta investigación. Por lo contrario, C no sólo deduce, sino que piensa axiomáticamente. Para él, la deducción no es una de las múltiples posibilidades no impuesta por las condi­ciones de la investigación ,sino que es un método totalmente adecuado al ob­jeto de esta investigación, es decir, a la estructura definida axiomáticamente. El rigor del razonamiento se hace natural.

axiomasexpresados en un lenguaje simbólico no complicado.);

2) polivalencia evidente (Debe ser fácil encontrar modelos diferentes de la estructura definida por esta axiomá­tica en el dominio del conocimiento familiar del alumno; estos modelos son naturales, esto es, su construc­ción no es artificiosa, sino que están presentes y preparados en el pen­samiento del alumno, bien conocidos por él.);

3) simplicidad de los primeros razona­mientos (Las demostraciones de los primeros teoremas deben ser simples y deben poder ser desarrolladas estrictamente como lógicas de la teoría.);

4) facilidad de

porque continuarán).

Puede ser que los postulados mencio­nados parezcan mejor fundados si u> considera a la luz de una "anécdota me­todológica", que me sirve para explicar a mis alumnos la diferencia entre deduc­ción y método axiomático. Imaginemos un grupo de personas que se reúnen para pasar una velada. El dueño de casa indica a los invitados sus lugares en la mesa; de esta manera provee al conjunto E de invitados de una relación v: "tener por vecino". Considera también la rela­ción f: "pertenecer a la misma familia que". Cada persona tiene dos vecinos; los vecinos no pertenecen a la misma familia. La situación puede ser descrita simbólicamente de la siguiente manera Geemos: " x v y", "x tiene por vecino ay"; "x f y", "x pertenece a la misma familia que y":

se los!i

¡'i!

consecuencias

encontrar aplicaciones interesantes (La interpretación de los teoremas en los diferentes modelos conducirá a teoremas

j¡ Inuevos intere­

santes, no triviales e inesperados por el alumno.);

5) importancia de la estructura enca­rada (La teoría no debe ser inven­tada solamente para la enseñanza, sino que debe presentar una estruc­tura importante y conocida.).

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;

Ii

- 158 - - 159 -U

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cío de esquemas perceptivos que concep­tuales. Los primeros teoremas parecen 'evidentes" a los alumnos y sus demos­traciones son arlificales, y para el alum­no, superíluas, lo cual está bien caracte­rizado po: las expresiones de los mucha­chos: "Hoy, durante la clase de tría, demostramos que dos triángulos que son iguales, son iguales".

Las condiciones de una "buena axiomá­tica de iniciación" no se dan pues en la enseñanza de la geometría. En cuencia, la geometría clásica délo único de una teoría deductiva en la enseñanza de la matemática, no pue­de dar al alumno más que una imagen errónea de un método tan importante den­tro de la matemática y de sus aplicacio­nes. De esta manera, la autonomía y la posición privilegiada de la geometría sin­tética clásica dent'o de la construcción del curso escolar pierden la motivación metodológica puesta siempre en evidencia por los partidarios fieles de Euclides. Sus ilusiones han impedido por mucho tiempo enriquecer y modernizar la educación del alumno p:omedio por la enseñanza de la matemática, dada la atomización del sentido de los conceptos generales en la geometría clásica presentados a menudo por migajas. (Por ejemplo, los alumnos recitan las definiciones de ángulo conve­xo, de polígono convexo, de poliedro con­vexo, pero nunca han oído decir que el círculo es convexo). Las definiciones nerales basadas en la noción de conjun­tos de puntos son metodológicamente ex­trañas al sistema deductivo de los ele­mentos de Euclides. Pero semejantes fricciones no son comprensibles en un curso moderno de geometría. Ellas pier­den: aquí su sentido metodológico y, des­de el punto de vista de la enseñanza son artificiales y aun nocivas para el pensa­miento matemático del alumno. Tuve la ocasión de exponer mis observaciones y opiniones —concernientes a los resulta­dos de la penuria de la geometría eucli- diana enseñada en la escuela— en "Ma- thematica et Paedagogia" (°). Por lo tan­to no es necesario repetirlos aquí. Lo que ahora nos interesa es el hecho evidente

(Sigue en la página 164)

(6) A. Z. Krygov/ska, "Quelques problémes concor- nant l'enseigemcnt de la géomótrie"; Mcthematica ot Paedagogia, 18; 1959.

Se comprende que r.o se puede utilizar nada fuera de los axiomas, si se quiere estudiar la estructura definida precisa­mente por estos axiomas.

¿En qué situación hay que ubicar a nuestro alumno principiante en la geome­tría llamada deductiva? Parecería que se encuentra en la situación del señor A de nuestra anécdota; el profesor trata de convencerlo que el único método adecua­do es la deducción. He aquí el ejemplo típico de la argumentación: "Cuando las propiedades geométricas descubiertas in­tuitivamente se hacen más complicadas, uno podría preguntarse si son aún y siem­pre totalmente verdaderas. La sola intui­ción es a menudo insuficiente. Tomemos un ejemplo simple: hemos observado, me­diante plegados, que las tres alturas de un cierto triángulo pasan por un mismo punto. ¿Es una casualidad? ¿Debemos es­te resultado a una torpeza feliz? ¿Será aún cierto en un triángulo suficientemente "achatado"? ¿Y para el triángulo que tie­ne como vértices los extremos superiores de esta página y el centro de la estrella polar? Nos cuesta persuadirnos. Y aunque estuviésemos seguros, estaríamos lejos de poder convencer fácilmente a alguien que dude. Es la lógica la que va a introducir en la geometría el orden y el rigor que la caracteriza" (**'). Gracias a semejantes ex­plicaciones, el alumno se siente ubicado en la situación de B: hay objetos geomé­tricos —entre los que se encuentran les triángulos que tienen un vértice en la es­trella pola:— que no se pueden estudiar directamente y, por consiguiente, con ellos hay que hacer deducciones basándose en una lista restringida de conocimientos es­tablecidos intuitivamente. Ahora dejo a un lado la discusión sobre esta argumen­tación; pero quiero señalar que lo esen­cial de esta situación es que el pensa­miento axiomático de C no se encontrará en nuestra enseñanza.

Es claro que la enseñanza de la geo­metría en su construcción clásica no abre las puertas a la idea de la axiomática en **l sentido moderno. La axiomática de Eu- clides-Hilbert, aun estando adaptada al uso de la enseñanza, es pesada y com­plicada. La teoría es univalente; su objeto se presenta al alumno más como un muñ­

ís) A. Delessert, "Géométrio plañe"; Editions SPES (1960); pp. 14/5.

EN LOS PRIMEROS PASOSSensatez y Tontería

Programa de Matemática Escolar1 Jen un ernogeome-

HOWARD F. FEHR (Nueva York, EE. UU.)

to en matemática como en pedagogía, para la formulación de nuevos y mejores programas da matemática para la es­cuela elemental. Cualquier programa que no proporcione a cada niño o niña, hasta donde él o ella puedan aprender una educación básica para la vida en una sociedad democrática, no merece nues­tra consideración.

¿Cuálas son algunos de los elementos que carecen de sentido en los nuevos programas de las escuelas elementales?

Hoy se introducen en muchos progra­mas los conjuntos, usando las notaciones de letras y de llaves. Los niños luchan para hacer las llaves curvilíneas cuando debieran aprender los símbolos numéri­cos. La notación de conjuntos y los sim­bolismos y cualquier teoría de opera­ciones con conjuntos, no tiene significa­ción genuino para el aprendizaje de la matemática de la escuela elemental. No hay nada mágico o necesario en el uso da la palabra "conjunto".

Podemos usar la palabra "conjunto" o cualquiera de sus sinónimos, por ejem­plo, "colección", "clase", "grupo", “reu­nión", etc., en relación, primero con objetos físicos y luego, en una etapa posterior, con números y puntos. El reco­nocimiento de colecciones de cosas es esencial, pero la teoría de conjuntos no lo es en el aprendizaje de la matemá­tica escolar.

conss- como mo- Si hay una expresión que hoy está de

actualidad y que, sin embargo, es muy nebulosa, ambigua y ca'ente de signi­ficado para muchas personas, ella es "matemática moderna" o "la nueva ma­temática".

La matemática moderna, ejemplificada en' tópicos tales como álgebra lineal, topología de conjuntos puntuales, siste­mas matemáticos finitos, tsoría de con­juntos y otros similares, es un sistema de conocimiento extremadamente abs­tracto, lógico, axiomático y bien estruc­turado. No hay tonterías en estas ramas de la matemática. Su estudio es empren­dido por estudiantes que se especializan en matemática y ciencias en los últimos años universitarios y en cursos de gra­duados. No hay lugar para ellos —nin­gún lugar— en la matemática de la escuela elemental. No obstante, parte de esta matemática tiene implicaciones en la manera de concebir el número (arit­mética) y el espacio (geometría) que inci­den en la forma en que se debiera ense­ñar aritmética y geometría a los niños de la escuela elemental.

Hay bastante tontería en alguno de los nuevos programas de la escuela ele­mental. Exista, de parte de algunos ma­temáticos que han asumido un papel

la redacción de estos tremenda falta de com-

S

|

ge-

res-

Simportante en programas, una prensión acerca de cómo aprenden _ los niños y qué necesitan aprender.

Para que no haya ningún malenten­dido, el autor confirma su fe en la apli­cación de los nuevos conocimientos, tan-

i

Innecesaria lógica formal.

La introducción de la lógica formal en la matemática escolar elemental, carece también de sentido. Tablas de verdad, valores de verdad y conectivos lógicos, son del todo innecesarios para la adqui­sición de conceptos y usos correctos de la aritmética y de la geometría física.

(*) Este trabajo fue originalmente publicado por febrero de 1966. HoyTHE ARITHMETIC TEACHER, en

publicamos en la versión de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi, el resumen aparecido en THE EDUCATIONAL D1GEST, año XXXI, N? 8, Ann Arbor, (Michigan), 1966. (N. de los E.)

I

- 161- 160 - ;;.

construcción geométrica euclidiaña es el colmo de lo absurdo si se intenta obte-

habilidad o conocimiento útil. En realidad, todo el desarrollo de la geome­tría de Euclides puede ser prudentemente relegado al estudio de los especialistas, pues hoy hay maneras muy superiores a la geometría euclidiaña para estudiar el espacio.

Ot:o ejemplo mayúsculo de tontería es el intento de formalizar la estructura de la aritmética, esto es, enunciar leyes formales e intentar construir y extender la aritmética mediante el uso de estas leyes. Ahora bien, para la comprensión, es esencial reconocer los principios im­plicados en las operaciones con números. Pero enumerar explícitamente las leyes conmutativa, asociativa y distributiva de manera formal (algebraica), desmenuzar cada algoritmo en una cadena de razo­namientos aplicando estas leyes, desta­car las leyes de identidad del cero y del uno ,es meramente sustituir la vieja en­señanza mecánica por un nuevo forma­lismo mecánico.Ausencia de propósitos planificados.

En muchos de los llamados programas de nueva matemática para la escuela elemental, hay un conocimiento superfi­cial de la teoría de conjuntos, lógica y terminología matemática, presentado con ausencia completa de propósitos bien concebidos hacia los cuales podría diri­girse ese conocimiento. Hay también un descuido casi total de la necesidad de la mayoría de los niños de una educa­ción que los desarrolle como individuos que puedan llevar una satisfactoria vida de colaboración en una sociedad que evoluciona. Es una tontería, casi rayana en la insanidad, enseñar un programa de tópicos matemáticos interesantes —no importa si modernos o tradicionales— que. carezca completamente de objetivo.

Se entiende que la educación matemá­tica, especialmente en el nivel de instruc­ción de la escuela elemental, está diri­gida hacia la educación general —desa­rrollo intelectual que abarca todas las ramas del saber— de cada escolar, sin tener en cuenta sus ambiciones poste­riores en la vida.

Es necesario enfocar agudamente los propósitos de la enseñanza y los obje­

tivos que deben lograrse para todos los niños:

1) La matemática tiene hoy mavor po­tencialidad que nunca para contribuir a la educación liberal. Pero tenemos la obligación de reemplazar las partes importantes y fuera de actualidad de la matemática por conceptos más recientes, generales y potentes.

2) En el pasado, y en mayor extensión en nuestros días, la utilidad de la mate­mática en asuntos prácticos ha sido el factor importante de su vitalidad como asignatura escolar. Pero los extensos programas experimentales han ignorado hasta ahora casi completamente las apli­caciones y la relación de la asignatura con la instrucción científica. La reforma matemática en la pasada década ha estado, en su mayor parte, en manos de matemáticos puros. Esto era muy apro­piado y muy necesario como un primer paso para hacer a nuestra matemática verdaderamente contemporánea en con­cepto y en espíritu. Esto se ha hecho y, por cierto, con exceso. Lo que alarma es la falta de aplicaciones de esta mate­mática.

3) Otro objetivo, de gran valor para una parte limitada de nuestra población escolar, es una buena preparación para posteriores estudios de matemática. La matemática moderna de un tipo adecua­do ha sido introducida en la escuela secundaria y el programa de la escuela elemental debe preparar a los alumnos concordantemente.

4) Pero aún más importante que la clase de conocimiento a impartir es el tipo de mentalidad que se desea lograr. Una finalidad deseable de la educación formal es lograr una persona que posea libertad de conciencia y que haya desa­rrollado en sí habilidades que le permi­tan dominar la realidad. Es esencial para el estudiante de matemática adquirir la facultad de ser capaz, por su propio ingenio, de aprender más matemática, de resolver nuevos problemas, de adap­tar sus conocimientos pasados a nuevos conocimientos y nuevos puntos de vista y, sobre todo, liberarse de las trabas del yugo de la autoridad.

Experiencias necesarias.En la escuela elemental, un estudio

lógico formal de la matemática no es un medio que permita desattolar esa libertad de conciencia. Antes de que se pueda comprender cualquier estructura formal de la matemática debe haber multitud de experiencias matemáticas en las cuales se desarrollen y apliquen los conceptos, los mecanismos y las rela­ciones. Sólo después de experiencias de este tipo tiene sentido la matemática co­mo estudio de estructuras formales.

Cualquier matemática que se enseñe no sólo debe ser gobernada por la co­lección de conceptos y experiencias que el alumno haya adquirido, sino que de­be adaplarse a la conformación mental o madurez del niño, de manera que pue­da aprender a fondo, con calma y sin apresuramientos. Y tenemos la responsa­bilidad adicional de desarrollar la ma­temática de manera que se la pueda em­plear para estudios superiores. Enton­ces, la matemática que se enseña debe tener, en lo posible, el lenguaje, la es­tructura y los conceptos considerados fun­damentales por los matemáticos de hoy. Éste es el primer criterio para elegir los temas de la asignatura.

Para una mayor eficiencia y economía en nuestra enseñanza, se deberá enca­rarla de manera más amplia y general y usar más conceptos generales unifica- dores, los que, sin embargo, deben estar al alcance de los alumnos. Éste es el segundo criterio.

Finalmente, se desea enseña: una ma­temática que sea agradable y satisfacto­ria —que atraiga estéticamente— para captar el interés de la juventud.

¿Cuál sería entonces un esbozo de un programa contemporáneo sensato?

Toda matemática comienza con el es­tudio de colecciones de objetos. Los ni­ños pueden establecer correspondencias entre conjuntos de objetos (la palabra matemática es "coordinar", pero no ne­cesita, no debe, ser usada). Decimos que los conjuntos que se corresponden exac­tamente tienen el mismo número; los que no se corresponden exactamente reciben números de nombres diferentes. Luego, los conjuntos se ordenan de acuerdo con el número de sus elementos y los nom­bres de los números se disponen en el mismo orden que los conjuntos. Así, ob-

En realidad, los individuos necesitan experiencia y comprensión de los núme-

relaciones numéricas y configuracio­nes geométricas mucho antes de que sientan la necesidad del razonamiento

este conocimiento adquirido y sien-

nerros,

nocontan cómo puede ser dispuesto en estruc­turas formales. Toda investigación sobre el aprendizaje humano indica que hasta

la mente del hombre ha adquirido vasta reserva de conocimientos ex-

que unaperimentales y ha madurado hasta una edad mental de 10 u 11 años, la habili­dad para pensar en un doble camino reflexivo no existe y es imposible com­prender la lógica formal. Para este fin, el uso de los diagramas de Venn en las relaciones entre conjuntos, y de los cálcu­los de Euler en las clasificaciones lógi­cas, es una soberbia tontería antes de una edad mental de 11 años.

La enseñanza de sistemas posicionales de numeración de bases distintas que 10 y de los algoritmos de cálculo en esas otras bases, carece también de sentido. En todas partes del mundo y en todo tipo de comunicación —social, comercial, cien­tífica. etc.— el sistema decimal es el único sistema que usará por lo menos el 95 % de la población, y probablemente lo usará todos los días de su vida. Por supuesto, se usan otros sistemas en las computadoras digitales y en los estudios científicos especiales, pero educar niños de la escuela común de modo que cada uno se convierta en un programador de computadoras, es una tontería.

Es una buena hipótesis suponer que el aprendizaje de sistemas posicionales en otras bases, tales como 4, 5 ó 7, ayu­dará al niño a comprender mejor el sis­tema dscimal, pero, por lo que el autor sabe, esto no ha sido comprobado hasta ahora. Tales generalizaciones en escalas de notación pueden ser diferidas con beneficio hasta la escusla secundaria, donde el uso del álgebra las, convierte en asunto más fácil de comprender.

Enseñar construcciones geométricas mediante la regla, el compás y el len­guaje geométrico de Euclides, es tam­bién una tontería en la escuela elemen-

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tal. Primeramente, muchos niños no tie­nen la habilidad manual necesaria para tales construcciones. Además, aprender a circunscribir un triángulo mediante una

- 163 -- 162 -

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práctica suficiente para obtener destreza tanto en el cálculo como en la solución de problemas.

De manera rnuy semejante, se intro­duce la geometría no métrica como un estudio de los objetos físicos. Aquí, el niño agudiza sus ideas de puntos, seg­mento, línea, figuras geométricas (cua­drado, triángulo, círculo), etc., y las re­giones limitadas por figuras. Entonces, se combina el estudio de la recta con el de los números enteros, construyendo ur.a re­gla o segmenio graduado. Esto lleva al estudio de la medida, en el cual la lon­gitud y el área unen el estudio de la aritmética con el de la geometría. De ahora en adelante, cada una de estas asignaturas se emplea para ayudar al niño a saber más sobre la otra.

Si al término del sexto grado casi todos les niños conocen el sistema de nota­ción decimal, pueden leer y escribir los números enteros y fraccionarios, pueden realizar como un adulto las cuat'o ope­raciones de cálculo con números ente­ros y con fracciones ordinarias y decima­les, tienen un conocimiento intuitivo del raciocinio y de la estructura que funda­mentan estos cálculos, pueden aplicar este conocimiento en forma significativa para la solución de problemas sobre me­didas y porcentajes, y conocen y recono­cen figuras geométricas comunes y re­laciones entre ellas, se habrá obtenido un sobresaliente y notable avance en la educación matemática de la escuela ele- mntal.

tenemos finalmente un conjunto de nom­bres de números que usamos en lugar de los conjuntos de objetos físicos.

Ahora bien, el conjunto ordenado de nombres puede usarse para contar. Se crea de esa manera un sistema repetitivo para nombrar los números. Se desarrolla así un sistema de numeración posicio- nal, decimal, aditivo-multiplicativo, que forma la base de todos los algoritmos de computación de la aritmética. En esa for­ma, se va de los conjuntos a las corres­pondencias, a la correspondencia biuní- voca, al número cardinal y al ordinal, a contar en un sistema de numeración decimal. Esto es aprendizaje estructu­rado.

El aprendizaje se extiende luego para incluir el concepto de adición. Al apren­der las adiciones fundamentales se hace uso intuitivo de las propiedades conmu­tativa y asociativa sin usar estas pala­bras. Así, el niño que ha aprendido 3 + 5 capta inmediatamente que también sabe 5 + 3. Para aprender 6 + 7 escribe 7 como la suma 4 + 3. Enionces 6 + 7 se conviene en 6 + (4 + 3), y esto es lo mismo que (6 + 4) + 3, ó sea 13. Luego, extendiendo estas ideas junto con el prin­cipio de numeración, puede aprender a combinar una serie de números por adi­ción y, finalmente, funcionar en un nivel de madurez, de destreza en el cálculo.

Similarmente, se construyen y extien­den las otras operaciones. Primero se des- ar-ollcm les conceptos, luego los hechos, después los algoritmos y, por fin, una

OPINIONES Y EXPERIENCIASAlgunos Comentarios sobre

Experiencia en Matemática

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una

Se me ha pedido escribir sobre el debíamos rever y tratar de dar un enfoque que llevara a un tratamiento moderno de los temas propuestos, tarea en la cual estamos,- para los temas de 29 año y algunos de ter­cero no teníamos ninguna experiencia en su enseñanza, ni tampoco una experiencia de aprendizaje a la edad en que nuestros alum­nos la iban a tener. La expectativa fue grande y nuestra tarea, a pesar de las dificultades vividas, fue apasionante.

Consideramos que el punto de partida de la experiencia (grupo de alumnos que recibi­mos en primer año) es factor importante para tener en cuenta no sólo en la evaluación de los resultados sino también en la elección de los medios para la conducción del aprendi­zaje. Con respecto a las características de los mismos remito a mis colegas a la lectura de nuestros informes presentados a la Dirección General de Enseñanza Secundaria y de la guía para el profesor que acompaña nuestra pu­blicación "Matemática intuitiva" en prepara­ción por la Editorial Troque!.

Antes de presentar algunas de las expe­riencias vividas en el aula quiero señalar sinté­ticamente los objetivos particulares que nos propusimos:

a) No hacer del programa uno simple trans­misión de conocimientos, sino un enfrenta­miento constante del alumno con situaciones que lo llevarán a la elaboración de sus pro­pias síntesis.

b) Lograr formas de trabajo independiente (acostumbrar a la observación y a! descubri­miento por sí mismo de relaciones).

c) Liberar la capacidad creadora y la ima­ginación (factores importantes en e! progreso de la ciencia).

d) Dar posibilidades en el manejo del pen­samiento y en la adquisición de conocimientos a los alumnos de más alto nivel sin desalentar a los demás.

Nada tan vivo como la clase misma para expresar una forma de trabajo. No se trata

ensayode los nuevos programas de matemática para la escuela secundaria, proyectados por profe­sores de la Universidad de Buenos Aires y el Consejo Nacional de I.C. y T. El ensayo que llevo a cabo en la Escuela Nacional de Co­mercio de Témperley, fue comenzado junto con otros profesores en el año 1963 de modo que su realización tiene una duración de tres añosconsecutivos con lo cual se ha completado el primer ciclo de estudios de la escuela secun­daria.

Confieso que me resulta difícil hacer una síntesis de la tarea realizada hasta el momen­to. ¿Qué escribir para dar una ¡dea de lo que se ha hecho y cómo se ha hecho?

El programa con sus objetivos es conocido, de modo que me parece más útil mostrar algu­nas actividades tal cual se han desarrollado en clase subrayando métodos y los objetivos particulares que nos habíamos propuesto. Digo "habíamos propuesto" porque quiero destacar una forma de trabajo realizada con !as profe­soras que llevan la experiencia en e! Colegio Nacional Almirante Brown de Adrogué y en la Escuela Normal de Lomas de Zamora. Co­legios situados en la misma zona, con un gru­po humano de características semejantes, y nuestra formación análoga nos permitieron realizar un trabajo en equipo intercambiando experiencias de hechos aue se iban repitiendo en los distintos cursos en cuanto a! éxito o fra­caso del tratamiento de determinados temas, del empleo de tal o cual método o material didáctico. La experiencia compartida hace po­sible el reajuste de la tarea, asegura caminos y en definitiva permite seguir adelante al ir superando las dificultades que se presentan en la concreción de un proyecto.

Los problemas que se nos presentaron en los tres cursos fueron distintos: para todos los temas de primer año y algunos de tercero, te­níamos una larga experiencia en la enseñanza clásica lo cual no facilitó nuestra tarea ya que

i

y de las posibilidades del alumno proms- dio, y no siempre están claramente orde­nadas en un sistema. Pero no hay que olvidar que se trata de la modernización en su estado naciente. Hay que analizar críticamente los proyectos de que se tra­te, experimentarlos y mejorarlos. Es evi­dente que habrá que rechazar todo lo que es moderno sólo en apariencia, todo lo que no es más que el resultado de una moda exagerada, de un alejamiento peli­groso de la realidad escolar. Pero es nues­tro deber salvar todo lo que puede faci­litar al alumno el acceso al pensamiento matemático contemporáneo y de probar cada idea que pueda significar un paso adelante.

(Viene de la pág. 160)

de que en la geometría tratada t'adicio- nalmente, la puerta que conduce al mun­do de las estructuras generales de la ma­temática unitaria está prácticamente ce­rrada para el alumno. Puede ser que la conciencia de este estado de cosas haya sugerido la pregunta que referí: “¿Se puede aún salvar a la geometría, y qué se puede salvar de la geometría?".

Felizmente podemos comprobar que ese acento de pesimismo que resuena en Ja misma formulación de la pregunta no está justificado. Encontramos hoy muchas ide­as nuevas en ciertos manuales que tra­tan de romper las trabas de la tradición. Estas ideas no están aún bien elaboradas desde el punto de vista de la enseñanza

A

(Continuará)

— 165 —- 164 -

j

Los alumnos se ponen a 1 raba jar y encuen­dan que es falsa.

—Es falsa; para ser verdadera le falta 360°. (Ha hecho la comprobación).

Los alumnos proponen otro ejercicio y prueban que cada vez que descomponen en dos polígonos faltan 360°, o sea "dos triángu­los", agrega otro alumno. No todos los alum­nos realizan el mismo trabajo; oíros proponen descomponer el polígono en tres polígonos y observan que faltan 720°.

—¡Claro! Por cada división que hagamos van a perder 360°, o sea dos triángulos.

—Explícate.—Al calcular la suma de los ángulos inte­

riores de un polígono siempre se pierden dos triángulos con respecto al número de lados del polígono; entoncos, por cada división, se van a perder dos triángulos más. (Estaba reali­zando en el plano mental la experiencia que lo había llevado a la construcción del cuadro y su expresión correspondía a la acción de su pensamiento; la expresión sintética iba a llegar más adelante).

La situación fue vivida con alegría por la satisfacción sentida ante el propio descubri­miento y ante el poder de la realización. No todos los alumnos pueden llegar al mismo pun­to; son los de más alto nivel los que imaginan y proponen soluciones; éstos son los que en definitiva impulsan el trabajo del grupo y lo hacen avanzar. Como el trabajo se hace con el aporte de todos en la medida de sus po­sibilidades, el descubrimiento se vive como conquista del grupo.

•Indudablemente que para el tratamiento del tema en sí, la prolongación de la clase no tenía importancia, pero se incorporó un mé­todo de trabajo y en lo sucesivo, en correspon­dencias establecidas, iban a averiguar si se conservaba o no la suma. Así iban a proce­der, por ejemplo, al estudiar la relación entre la base de un rectángulo y su área, al man­tener la altura constante, la relación entre los números y sus cuadrados; entre el radio y la longitud de la circunferencia; entre el radio y el área del círculo, etc. El aprendizaje se ha­bía logrado al modificarse la conducta con la .incorporación de nuevos esquemas.

> Aparte de estas consideraciones, quiero des­tacar que, aprovechamos el error como medio para reajustar conocimientos y provocar el aprendizaje. Así, e! alumno toma conciencia de que en una situación de aprendizaje y pro-

—La suma de los ángulos interiores no de­pende de la forma del polígono, sino del número de lados.

—A medida que aumenta el número de la­dos de un polígono aumenta el valor de la suma de los ángulos interiores.

Volcamos esta información en diagramas. El diagrama no sólo fue usado como recurso didáctico, sino que fue permitiendo la fami- liarización del alumno con una situación a la que iba a dar forma y nombre en segundo año:

blemática, puede equivocarse, pero el error no lo angustia ni lo desconcierta, pues sabe también que en su actividad tiene el medio para superarlo. El entrenamiento en este tipo de trabajo le da seguridad, lo cual se ha po­dido observar, en particular, en situaciones de examen.

La imaginación y la intuición son muy fuer­tes a los 12-13 años y es necesario no des­aprovecharlas. El tratamiento de la geometría intuitiva permite poner atención sobre esas capacidades, lo cual no quiere significar au­sencia de razonamiento. Por el contrario, el alumno ha vivido este primer año de mate­mática en la escuela secundaria razonando mucho, lo que, por otro lado, no lo disgusta. Así lo expresa en las respuestas a una encues­ta tomada en el año 1964, en el primer curso. Veamos algunas, correspondientes a la siguien­te pregunta:

—¿Te ha resultado interesante la Matemá­tica en secundaria? ¿Sí o no? ¿Por qué?

—"Sí, me ha resultado interesante por toda la serie de demostraciones que tuve que hacer."

—"Sí, me resultó fácil por todos los razona­mientos que no vi anles."

—"Sí, me ha resultado interesante, porque hay que razonar mucho."

—"Sí, porque es una materia donde no hay que forzar la mente estudiando de memoria, sino que se aprende a medida que uno tra­baja en ella."

—"Sí, me ha resultado interesante, porque todo lo que vimos en la escuela primaria, las fórmulas, por ejemplo, no sabíamos de dónde salían; ahora cada cosa que hacemos tiene una razón."

—"Sí, porque todo lo que aprendamos lo vamos haciendo como si lo descubriéramos nosotros/*

Estas formas de trabajo se han incorpora­do de tal manera que el presentarse ante una situación con imaginación creadora y espíritu crítico, les resulta natural también en segundo y tercer año. El inconveniente está en que hay temas, como conjuntos, que al ser tratados de esta manera, resultan prácticamente inagota­bles, lo que trae como consecuencia el empleo de un número de clases no previsto. Muchos interrogantes se nos presentan a cada mo­mento, sobre todo ante la urgencia de los que consideran como fin primordial, la termina­ción del programa. Interrogantes como los si-

de exponer el desarrollo de ciertos temas que sirvan de clase modelo, sino del aprovecha­miento de ciertas cuestiones que surgen en

"clase-laboratorio" para el logro de los fines propuestos. El grupo humano con el cual nos toca trabajar cada año es un elemento vivo con su propia personalidad. Cada uno rinde en la medida de sus posibilidades. El respeto de la individualidad ha sido la guía de nuestro trabajo, de modo que muchos de los temas no se han dado dos veces en la misma forma; sin embargo, esta posición no nos ha impedido presentar como problema al­gún enfoque que consideramos educativo y que no hubiera surgido espontáneamente en la clase.

Más que los temas en sí, nos interesa el tipo de actividades desarrolladas y de éstas, ac­tividades con futuro, aquellas que permitan me­diante aproximaciones sucesivas la abstrac­ción de un concepto.

ler. año — Año 1965

Tema: Suma de los ángulos interiores y ex­teriores de un polígono.

Actividad propuesta: Completar e! siguien­te cuadro:

unacom-

se

i

*360°

540°

l + E EPolígono I Es importante observar que el diagrama permitió establecer en forma clara la función, la función inversa, y la ecuación con solución única, sin solución o con infinitas soluciones.

El diagrama fue incorporado de tal mane­ra que toda otra situación que permitía un tratamiento análogo, se enfocó desde este punto de vista "para entender mejor", según expresión de los alumnos.Problemas propuestos por los mismos alumnos: ¿Cuántos lados tiene el polígono si la suma de sus ángulos interiores es 900o?, ¿y si es 920o?, ¿y si la suma de los ángulos exterio­res es 360o?, ¿y si es 400o?

La clase hubiera terminado en este punto si ante un problema planteado: "¿Cuánto vale la suma de los ángulos inferiores de un polígono de diecisiete lados?", un alumno no hubiera contestado.-

—Yo lo calculo sumando e! valor de la su­ma de los ángulos interiores de un polígono de diez lados y de otro de siete (estaba apro­vechando resultados anteriores).

—¿Es Ii7 = lio -f I7 verdadera o falsa? (Toda respuesta se somete al juicio de! grupo).

TriánguloCuadriláteroPentágono

í. de n lados

■

Cada alumno realizó un trabajo individual descomponiendo los polígonos en triángulos a partir del cuadrilátero. Por sugerencia de los alumnos se sintetizó con I la suma de los án­gulos interiores y con E la de los exteriores.

El trabajo se realizó sin inconvenientes y se completó con las siguientes observaciones hechas por los alumnos:

—A cada polígono le corresponde un va­lor de la suma de los ángulos interiores.

—A todos los polígonos le corresponde el mismo valor de la suma de los ángulos exte­riores.

—A polígonos de <gual número de Jados le Corresponde el mismo valor de la suma de ángulos interiores.

i

- 167 -:- 166 - 1

!

iordenados que verifican la propiedad; se hicie­ron el diagrama y la tabla correspondientes,- se estudiaron las propiedades, etc., es decir, se abordó este problema con todos los de que se disponía. En el curso se originó discusión cuando se quiso dar la relación por enumeración; según algunos alumnos en el conjunto construido fallaban pares; según otros, no. Parecía que la discusión no iba a

propuso

A partir de un error que es aprovechado, la situación se vio enriquecida.

Segundo año—Año 1964

Uno de los fines propuestos fue manejar operativamente los conocimientos, camino en el que habían sido ejercitados en primer año.

Tema: Regularidad de las operaciones.Actividad: Confección de tablas que defi-

operaciones regulcres o no. Estudio de la regularidad en operaciones conocidas.

Los ejemplos que traen son desafiantes. Uno de los alumnos propone estudiar la regulari­dad en la operación intersección de conjuntos. Se discute en clase y buscan contraejemplos para demostrar la no regularidad. Muchos de los alumnos los buscan por el camino de pre­sentar conjuntos incluidos,- lo hacen trabajo­samente y con esfuerzo. Se discute hasta que un alumno expresa.

—Hay un ejemplo más claro. Pensemos en un conjunto partido en tres clases (dibuja):

Al otro día, se originó en la clase el si­guiente diálogo entre les alumnos:

—Yo puse que an/bn es equivalente a a/b, pero olvidé decir que n debía ser distinto de cero.

—No era necesario, porque si la profesora hablaba de fracciones en el enunciado, de allí se deducía que n no podía ser cero.

Otros alumnos expresaron que ellos habían demostrado que a-J-n/b-hn también pertene­cía a la misma clase de equivalencia que a/b.

—¿Cómo?—Exigiéndole más condiciones,

ad-n

guientes: ¿Será posible acortar el tratamiento de ciertos temas sin que el aprendizaje sienta? ¿Qué núcleos seleccionar y qué orga­nización darles, que permitan más posibili­dades? Muchas preguntas quedan planteadas.

Los temas no ofrecen dificultades ni en se­gundo ni en tercer año, y el alumno trabaja con la misma acritud ds primer año.

se re­

recursos una

tener fin cuando uno de los alumnos razonar así:Segundo año — Año 1965 nan

En segundo año, uno de los temas que re­sultó más rico por las observaciones de los alumnos, fue partición. En efecto, permitió la manifestación de las posibilidades de los dis­tintos alumnos, desde aquellos que pensaron en la existencia o no de la partición, cono­ciendo el número de elementos del conjunto, hasta aquellos otros que trajeron como ejem­plo de partición el conjunto de los vertebrados que estudian en segundo año y descubrieron con alegría el por qué, por ejemplo, en la clase de las aves estudian un animal sola­mente, la paloma, el representante de su clase.

Se pidieron ejemplos de partición y el con­junto que más ejemplos proporcionó fue:

■¡Alumnos de segundo, quinta, de la E. N. C. T. }■, que fue partido según las edades, es­tatura, inicial del apellido, etc. Pero un alum­no presentó su ejemplo así:

—El conjunto de la división de segundo quinta.

Pregunto cuáles son los elementos del con­junto, el alumno corrige su expresión y da el ejemplo de partición. Pero los alumnos han seguido pensando, retoman el ejemplo y ex­presan:

—El conjunto que dio S., anteriormente, no se puede partir.

—¿Por qué?—Porque es un conjunto de un solo ele­

mento.—Si el conjunto es vacío tampoco se pue­

de partir.—Para que el conjunto se pueda partir es

necesario que tenga como mínimo dos elemen­tos y en ese caso el número de clases es dos.

—Si el número de elementos del conjunto es n, el mayor número de clases que se pue­de obtener del mismo es n.

—Si el conjunto tiene un solo elemento, puedo hacer una partición, si tiene tres ele­mentos. ..

a•6—Así: — = — => a(b-f-n) = (a+n)b•¿3 b b-in

•9 por def. de frac, equiv.i

ab-i-an — ab-rnb por prop. distrib. i

an = nb an = bn

a = ba multiplicación, pues n -L o.

—Luego las fracciones son equivalentes, si exijo que a = b.

Es interesante hacer algunas observaciones sobre la encuesta tomada al finalizar el tercer año.

— El conjunto ha quedado dividido en tres clases, con tres elementos en cada clase. Co­mo se trata de una relación de equivalencia, en cada clase los elementos están relaciona­dos de todas las formas posibles; entonces, tenemos en cada clase el producto cartesiano de los elementos que figuran en ella. Luego, en cada clase hay nueve pares ordenados y en la relación 27 pares ordenados. La discu­sión terminó inmediatamente. A la síntesis, al rigor del pensamiento y del lenguaje se llega no por imposición externa, sino como necesi­dad de orden y de comunicación, a medida que la madurez lo permite. Se acepta lo que convence por la fuerza de la razón.

por regul. de la ad. por prop. conmut. por regularidad de

Ningún alumno rechaza la matemática es­tudiada.

Los temas que resultaron más interesantes fueron los de segundo año.

La matemática es una materia en la que hay que hacer un gran esfuerzo.

Los alumnos se manifestaron satisfechos y agradecidos de haber realizado el ensayo.

—Podemos escribir.- A f| B A f| C, pues la intersección es vacía, y sin embargo B £ C.

El silencio sigue a la discusión, silencio que expresa la aceptación de la conclusión. In­mediatamente, muchos alumnos quieren pa­sar a probar la no regularidad de la opera­ción unión entre conjuntos. Nótese que estos alumnos, que empezaron trabajando en un plano concreto en primer año, inclusive ma­nejando material concreto, trabajan ahora en el plano abstracto manejando estos símbolos con naturalidad y seguridad.

Tercer año — Año 1965

Tema: (Prueba escrita): Dadas las fracciones an/bn y a-f-n/b^-n, decidir si pertenecen o no a la misma clase de equivalencia que a/b. Justificar.

LIDIA V. VICENTE Temperley, enero de 1966.

Segundo año — Año 1964(Viene de la pág. 154) caciones de la matemática en los cursos del S.M.S.G.

ampliamente usados en los Estados Unidos. El Prof. Begle explica que las comisiones o grupos de estudio que se reunirán este año están listos para considerar todos las críticos y sugestiones antes de tomar una determinación sobre lo que debe ser la "Matemática Moderna".

:Tema: Relación de equivalencia.

Actividad: Dado el conjunto C = > ó, 7, 4, 20, 12, 10, 9, 5, 11 \ explorar en el mismo la relación R = i (x,y)/x tiene igual resto que y(div. por 3) I. Confeccionar una guía de trabajo.

Se hizo el producto cartesiano C x C y en él se determinó el subconjunto de los pares

Estás recomendaciones están contenidas en un folletoque se conoce generalmente como el "Programa Cam­bridge»".

La carta del Prof. Begle da a entender que sabe que ¿I y sus colaboradores han sido atacados por unos por ir demasiado lejos en los cambios y por otros por no ir suficientemente lejos. Indica también que está enterado de las críticas acerca de la falla de atención en lo que concierne a las computadoras y a las apli-

Harry SCHWARTZ

"New York Times" (20/2/1966:.(Traducción de Marta C. de Piaña y Atilio Piaña).

169 -- 168 -

í

:i

C. N. E. M.La Labor de CRONICA —Las Conferencias de ELEMENTOSker, y se fija como plazo para las respuestas

el 31 de mayo próximo. 5) A pedido del Pre­sidente, Volker informa que los cursos expe­rimentales a cargo de profesores "con expe­riencia" se desarrollan normalmente y que se

de noticias con respecto a los demás.

Reunión del 19 de abril de 1966

Asisten: Babini, González Domínguez, San- taló, Repetto, Martínez de Murguía, Galán, Volker y Hernández. También está presente Besio.

Asuntos tratados: 1! Ante un pedido de in­formación sobre la enseñanza de la matemá­tica en la Argentina, del Prof. E. Begle, del S.M.S.G., de Stanford, California, se resuelve hacerle llegar el infirme expuesto por Volker en el 59 Congreso Brasileño de San Pablo (*), en enero último. 2) A pedido del Consejo Ge­neral de Enseñanza Media, Especial y Superior de la provincia de Córdoba, se resuelve ha­cerle llegar las circulares de la Dirección Gene­ral de Enseñanza Secundaria sobre enseñanza moderna de la asignatura y aconsejarle esta­blecer contacto con la Dirección del IMAF, de Córdoba. 3) Por indicación del Presidente, Vól- ker informa sobre la primera reunión de la Subcomisión de Programas para tratar la en­señanza de la Cosmografía (2). En dicha reu­nión, celebrada con la asistencia de los inge­nieros F. Cernuschi y H. Ottonello, invitados especialmente, se propició separar esa asigna­tura de los programas de matemática y se destacó su contenido cultural y la necesidad de enseñarla en fo\ma ágil y viva. El mismo Volker, y después Hernández, informa sobre la segunda reunión, a la que acudieron como invitados el Ing. Ottonello y los Dres. Sahade e lannini. En ella se comentó la enseñanza de la referida asignatura en los cursos prepara­torios del IMAF y se sostuvo la necesidad de dictar cursos para profesores que se imprimi­rían posteriormente. Se estima que, como con­secuencia de tales cursos, podría modificarse progresivamente el programa de la asignatura, adaptándolo a las exigencias actuales del de­sarrollo de la Astronomía. Como además hubo acuerdo en volver a realizar una nueva reu­nión de la Subcomisión a fines de mayo, para concretar un plan de acción inmediata, se conviene en esperar la celebración de esa nue­va reunión para resolver en definitiva. 4) Se aprueban la fórmula de la encuesta (°) que se dispuso realizar entre los profesores de cur­sos del Profesorado de Matemática y la nota que se dirigirá a los rectores de los estableci­mientos respectivos, redactadas ambas por Vól-

En nuestro número anterior, p. 132, infor­mamos sobre la organización de un ciclo de conferencias y adelantamos los posibles diser­tantes y sus temas respectivos. Hoy podemos agregar que, con la colaboración del Depar­tamento para la Enseñanza de las Ciencias del C.N.I.C.T., se ha podido concretar la iniciativa con el siguiente programa: Junio 14, "Evolu­ción de la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria argentina" por H. Renato W. VOLKER; Junio 28, "Fundamentos de la teoría de conjuntos" por Jorge E. BOSCH; Ju­lio 19, "Relaciones y funciones" por Luis A. SANTALÓ; Agosto 2, "Estructcras" por Enzo GENTILE; Agosto 16, "Transformaciones geo­métricas" por César A. TREJO; Agosto 30, "Es­pacios vectoriales" por Orlando VILLAMAYOR; Septiembre 13, "Probabilidades" por Jorge P. STARICCO; Septiembre 27, "Computadoras" por Manuel SADOSKY y Wilfred O. DURÁN Octubre 11, "Leibniz y la matemática" por Gregorio KLIMOVSKY. Asimismo se dispuso realizar las conferencias en el Salón de Actos de la Escuela Normal "E. S. Zeballos", N9 4, sita en Rivadavia 4950 de esta ciudad. Dadas la calidad de los conferenciantes, todos pres­tigiosos especialistas, y la actualidad e im­portancia de los temas, no debe sorprender que este esfuerzo de ELEMENTOS haya des­pertado un innegable interés en nuestros me­dios docentes y afines. Prueba fehaciente de ello es el numeroso público que concurre a estos actos.

Primera conferencia.- "Evolución de la ense­ñanza de la matemática en la escuela se­cundaria argentina (desde 1900)"

El profesor VOLKER comenzó su disertación aludiendo a los actuales "grandes cambios en la enseñanza de la matemática que implican una revisión de su finalidad, tanto como de sus contenidos y métodos". Señaló que gene­ralmente se concuerda en cuanto a los obje­tivos educativos, culturales e instrumentales, pero que ese acuerdo "desaparece cuando se trata de fijar los contenidos" y que "también suelen presentarse discrepancias —aunque de grado menor— al tratar de convenir los mé­todos".

Su exposición retrospectiva de la enseñanza de la matemática en nuestra escuela secun-

I daría se inició con la "reforma de 1926", pro­piciada por el Prof. Jaime durante el ministerio de Sagarna, al aprobarse nuevos programas para las distintas asignaturas del plan de estu­dios. Detalló ampliamente diferentes aspectos de esa reforma, destacando que los progra­mas, "muy analíticos", trataban de "orientar a los profesores sobre la extensión e impor­tancia de los temas, a la vez que presentar a éstos ordenadamente en una sucesión que no ofrecía reparos lógicos ni metodológicos". Alu­dió luego a la crítica de esos programas que, pese a sus "aciertos evidentes", hicieron los grandes diarios porteños "en comentarios y editoriales apasionados" —que citó fragmen­tariamente— y al eco que esa crítica halló en los estrados legislativos.

"Desde la cómoda perspectiva que dan los cuarenta años transcurridos —agregó más ade­lante VOLKER— y teniendo a nuestro favor todo el caudal de los adelantos hechos en ese lapso en materia de psicología de !a adoles­cencia, técnicas del aprendizaje y nuevos en­foques educativos, no resulta difícil señalar aciertos y defectos de los programas de refe­rencia". Pero los sucesivos cafbios de 1936, 1938, 1940, 1941, 1949, 1953 y 1956, que abordó luego, no lograron borrar el "sello característico" de aquella' reforma.

Finalmente se ocupó de la década actual, que comienza justamente en 1956 con la cons­titución de la Subcomisión Argentina de la C.I.E.M., pasando así revista al informe Ke- meny, los seminarios de Royaumont y de Aar- hus, la reunión de Dubrovnik y la conferencia de Bogotá, para detenerse especialmente en "el plan de acción concreto" elaborado a a> mienzos de 1962, a raíz de la visita de M. H. Stone a nuestro país y con el concurso de éste. Describió luego extensamente la forma en que, "pese al cúmulo de tareas y a las dificultades que implican", se ha abordado el cumplimiento de los seis puntos de este plan, cuya innega­ble influencia en el actual movimiento refor­mista local quedó en evidencia palpable.

Segunda conferencia: "Fundamentos y pro­yecciones de la teoría de conjuntos".

El profesor BOSCH comenzó su conferencia destacando la importancia del "punto de vista

carece6) Santaló se compromete a preparar los pro­gramas actualizados para los cursos experi­mentales de 5? año que deberán desarrollarse en 1967. 7) Galán puntualiza la necesidad de formular explícitamente los objetivos de la en­señanza media y, dentro de ella, la función de la matemática. Estima conveniente precisar tales conceptos antes de la reunión referente a formación de profesores (:!). Se conviene en difundir previamente el desarrollo de su pro­yecto (•) entre los miembros de la Omisión y postergar su tratamiento hasta la próxima reu­nión. 8) Hernández hace conocer un ofreci­miento informal de material didáctico audio-

J

visual, resolviéndose requerir una presentación por nota para tratarlo.i

;

Reunión del 17 de mayo de 1966

Asisten: Babini, González Domínguez, San­taló, Repetto, Martínez de Murguía, Castag- nino, Galán, Volker y Hernández. También es­tán presentes el Inspector de Enseñanza Se­cundaria José E. Encinas y Besio.

Asuntos tratados: 1) Se resuelve aconsejar al Sr. Ministro de Educación la aceptación de las renuncias presentadas por el Ing. Roque SCARFIELLO y el Dr. Oscar VARSAVSKY y so­licitarle la designación de los respectivos reem­plazantes. 2) Se posterga para la reunión pró­xima la discusión de la sugerencia de Encinas de solicitar la designación de un representante del Consejo Nacional de Educación. 3) Se toma conocimiento de la invitación del CNICT al acto inaugural del cursillo de matemática moderna que se dictará en la Escuela Normal de Mer­cedes (B.A.). 4) Se encomienda al Presidente recabar información sobre el Centro de Medios Audiivisuales que ofrece material fílmico fran­cés sobre la enseñanza de la matemática. 5) Se posterga para la reunón próxima la consi­deración de los programas de 59 año para los cursos experimentales. 6) El Presidente solicita a Galán que exponga "los objetivos en que

(Sigue en la página 172)

I

.170 -

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!

c¡a, pero lo hemos logrado en forma tan drás­tica que la hemos purificado también de todo significado". Otro problema es de los concep­tos intuitivos que, como el de conjunto univer­sal, "reaparecen en los diversos sistemas axio­máticos con muy diferentes disfraces, y en al­gunos no reaparecen". Así la existencia del con|unto cniversal "está siempre referida a una determinada teoría" y esta peculiar situación "hace poco aconsejable" introducir esa noción en la enseñanza elemental.

BOSCH dedicó la última parte de su expo­sición a considerar "las proyecciones de la teoría de conjuntos", concluyendo por afirmar que "hoy el punto de vista conjuntista se halla tan plenamente difundido y sistematizado en toda la matemática que es de temer que esté ya a punto de concluir su ciclo histórico". Por lo que, "si nos decidimos a implantarlo en la enseñanza media, conviene que nos apresure­mos; sería triste que lográramos su implanta­ción definitiva cuando ya haya sido superado completamente por la vanguardia del pensa­miento matemático".

NOTA: Estas crónicas dan una pálida idea de las conferencias correspondientes, con las que se desarrolló el ciclo en el mes de junio. Los lectores deben sabor que el texto completo de cada una, como de las veni­deras, se imprime después de pronunciada para satis­facer así a los interesados que no pueden concurrir personalmente a escucharlas. Es un detalle que se ha tenido presente muy especialmente, porque la difusión de estas disertaciones tan valiosas —no es mera retó­rica-- no puede quedar reducida al recinto donde se pronuncian.

conjuntista" en el proceso de la matemática actual, en el que "tiene mucho mayor vigencia que la teoría de conjuntos propiamente dicha". Pasó a ocuparse luego de la "teoría ingenua de conjuntos" —tal como salió de las manos de Cantor— señalando y analizando "dos po­derosas razones para tratar de superarla: la comprensión de la ¡dea de conjunto y las con­tradicciones lógicas surgidas en el seno de la teoría". En el tratamiento de este último punto, consideró la célebre paradoja de Bertrand Russell y destacó la importancia de la obra de G. Frege en la fundamentación lógica de la teoría, y de la aritmética.

Como uno de los procedimientos para evitar las citadas paradojas citó la negación del prin­cipio del tercero excluido, adoptado por los intuicionistas, entre los más destacados de los cuales nombró a Brouwer, Weyl y Heyting. Pero se detuvo más especialmente en la des­cripción de los modelos de sistemas lógico- axiomáticos, considerados desde el punto de vista sintáctico, que ilustró con el ejemplo de la teoría de grupos.

A continuación se ocupó de "la estructura­ción de la teoría de conjuntos como sistema lógico-axiomático" para poder resolver los problemas antecitados de la teoría ingenua, aunque a su vez engendra otros. Con la adop­ción de un sistema sintáctico —el de von Neu- mann-Bernays-Gódel o el de Bourbaki, por ejemplo— "hemos logrado —dijo— purificar a la teoría de todo contacto vil con la experien-

1

Harald CRAMÉR: Elementos de la Teoría de Probabilidades y algunas de sus aplicaciones. AGUI LAR; Madrid, 1963 (3a ed.).

En el momento actual, en las más diversas actividades, estudios e investigaciones son im­prescindibles conocimientos más o menos pro­fundos de probabilidades y estadística. Por extraña contradicción los planes de importan­tes centros de formación matemática del país no siempre han tenido en cuenta esa necesi­dad. Aún hoy, los Institutos del Profesorado, en su mayoría, no han dado cabida en sus planes al tratamiento particularizado de estos temas. Entre tanto, los profesores secundarios encuentran que sus ex-alumncs que estudian no sólo ciencias exactas y económicas, sino medicina, psicología, sociología, biología, lin­güística, deben aprobar cursos sobre probabi­lidades y estadística.

Las consideraciones anteriores realzan la importancia que tienen los libros sobre el asun­to. El libro a'ei Prof. Cramér, cuyas obras son bien conocidas y apreciadas entre los especia­listas, no supone conocimientos matemáticos avanzados aunque, como loda obra seria, exi­ge lectura reflexiva. Su enfoque es cuidadoso y preciso aunque evita extremar el rigor remi­tiendo a los escrupulosos a obras más avan­zadas como Probability Theory de Feller.

Los cuatro primeros capítulos informan al lector sobre elementos de probabilidad, reglas de adición y multiplicación, pruebas repetidas y problemas sobre juegos de azar sin que falte la referencia histórica.

La segunda parte se ocupa de variables aleatorias y distribuciones discretas y conti­nuas, momentos, desviación y teoremas de Tchebycheff. Dedica un capítulo a las distri­buciones binomial y de Poisson, los teoremas de Bernoulli y De Moivre. También separada­mente estudia la distribución normal de tanta importancia en las aplicaciones. Completa la 29 parte el análisis de distribuciones de dos o más dimensiones, coeficientes de correlación, regresión mínima cuadrática.

La tercera parte analiza las aplicaciones describiendo el tratamiento de material esta­dístico, distribuciones en el muestreo, proble­mas de inferencia, métodos de estimación, in­tervalos de confianza. Incluye notas sobre teo­ría de errores y control estadístico de calidad.

Contiene además seis tablas de las distribu­ciones que aparecen frecuentemente en las aplicaciones. Llamamos la atención sobre la adecuada elección de problemas cuyas solu­ciones figuran también en el texto.

Juan A. Foncuberta

M. QUEYSANNE - A. DELACHET: L'Algébre Moderne. P. U. F.: París, 1963 (5e. édition). El Álgebra Moderna. VERGARA; Barcelona, 1963 (Reimpresión).

Como se advierte, es otro de los títulos de la conocida colección "Que sais-je?" que se traduce al español. Sus autores son profesores de liceos franceses: de otra obra del primero ya nos ocupamos (v. ELEMENTOS, II!, 40); el segundo es autor de varios otros tomitos de la misma colección.

La primera parte se dedica a la introduc­ción histórica del tema: el desarrollo del álge­bra clásica y la génesis del álgebra moderna. Señalan, los autores, que generalmente se concuerda en ubicar el nacimiento del álgebra moderna en 1910, con la memoria de Steinitz sobre la "teoría algebraica de los cuerpos".

El desarrollo sistemático de las nociones fundamentales de la disciplina se encara en la segunda parte, siguiendo la ruta bourba- kista; se tratan, sucesivamente, conjuntos y leyes de composición, con lo que se desembo­ca necesariamente en las estructuras algebrai­cas: grupos, anillos, cuerpos. Luego se anali­zan el isomorfismo y el automorfismo, las re­laciones de equivalencia y los homomorfismos, para concluir con el concepto de extensión o prolongación de conjuntos.

Finalmente, como aplicaciones, se exponen generalizaciones de la noción de número, es­pacios vectoriales, anillos de polinomios, divi­sibilidad en los anillos, ecuaciones algebrai­cas, "para mostrar que las definiciones dadas no son enteramente gratuitas".

Sin pretensiones exageradas y con las limi­taciones voluntariamente impuestas por los autores, que reconocen haber dejado a un lado el álgebra lineal, la teoría de los grupos, la teoría de los invariantes, el álgebra de la lógica, etc., es una obra que cumple honesta-

{Viene de la página 170)fundamenta su proyecto". (’) Galán aclara que los que figuran en ese trabajo son los formulados por el Servicio Nacional de la En­señanza Privada y estima indispensable que la CNEM formule por su parte los que con­sidere convenientes para poder caracterizar su labor. Repetto declara que sería interesante conocer los estudios que está realizando la comisión especial del Instituto Superior del Pro­fesorado. Castagnino manifiesta su acuerdo en redactar una declaración sintética de los fines fundamentales de la enseñanza a la que ce­ñirá su labor la CNEM. Se resuelve encomendar esa tarea a la Subcomisión de Programas. 7) Castagnino sugiere estudiar la posible consti­tución de un centro permanente integrado por profesores con dedicación exclusiva para la actualización continua de la enseñanza de la matemática. Se informa que existe el proyecto,

formulado por el CNICT, de creación del Ins­tituto para la Enseñanza de las Ciencias, que llenaría esa función. 8) Encinas trasmite la in­quietud de los profesores que tienen a su cargo la experiencia piloto, acerca de la evaluación de los resultados obtenidos hasta 3er. año (•') y sugiere efectuar evaluaciones similares los cursos paralelos que aplican las modifica­ciones aconsejadas por la CNEM. (,3) Santaló propone confeccionar un "test" con cuestiones planteadas por personas ajenas a la especiali­dad. Se señala la dificultad para concretarlas y se posterga la discusión sobre el tema.

I

Acon I

(’) Véa» ELEMENTOS, III, p. 126. f) Véase ELEMENTOS, III, p. 122. C) Véase ELEMENTOS, III, p. 122. O Véase ELEMENTOS, III, p. 81. (:) Véase ELEMENTOS, III, p.33. le) Véase ELEMENTOS, III, p. 35

- 172 - 173 ->;

nización metódica y, sobre todo, la indiscu­tible autoridad científica de los Dubreil. Por todo lo cual, opinamos que la incorporación de este título a la bibliografía en español es un acierto editorial.

"modestamente su propósito de servir como introducción al estudio del álgebra moderna". ICIdSP. DUBREIL - M. L. DUBREIL JACOTIN: Leccio-

de Álgebra Moderna. REVERTÉ: Barcelo­na, 1965.nes

1 . A fines de marzo último, el Prof. Eusebio R. SASTRE, becario de San Luis en 1964, co­menzó a dictar un cursillo sobre Relaciones y Cálculo Proposicional en la Escuela Normal de Maestros de Paso de los Libros (Ctes.).

2. Como estaba previsto, a principios de junio se reunió en Lima el Comité Organiza­dor de la 29 Conferencia Interamericana sobre Educación Matemática, del que nos ocupamos en el número anterior, p. 131. Como represen­tante argentino acudió H. R. VÓLKER, quien informó sobre la labor del subcomité que estu­dia el problema de la formación de profesores. Este grupo, que preside J. Babini, prepara un documento de trabajo que servirá como base para la discusión del tema. M. H. STONE in­formó sobre los posibles invitados a disertar en la Conferencia. Hubo acuerdo en los nom­bres de A. REVUZ, H. CARTAN, P. ABELLANAS, G. PAPY y A. LICHNEROWICZ, por Europa, y de E. BEGLE y H. FEHR, por EE.UU. La lista de los participantes argentinos que serán invitados está integrada por A. GONÁLEZ DOMÍNGUEZ o J. BABINI, como alternativa, L. A. SANTALÓ y H. R. VOLKER. También se prevé la concu­rrencia de observadores enviados por los mi­nisterios de educación de cada país. Para ELEMENTOS es satisfactorio advertir varios nombres de matemáticos vinculados a ella.

3. De acuerdo con lo convenido en Lima en la reunión mencionada, el profesor H. R. VÓL­KER, miembro de la delegación argentina ante la Conferencia Interamericana de Ministros de Educación, que se celebró en Buenos Aires a fines de junio, convocada por la Unesco y la Cepal, presentó un proyecto de resolución cu­ya parte dispositiva recomendaba: "Utilizar la cooperación que como cuerpo consultivo puede prestar el Comité Interamericano de Educación Matemática al proyectarse planes concretos de mejoras en la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles educativos. Apoyar al ci­tado Comité en sus esfuerzos por mejoramiento de la enseñanza de la matemática y de sus aplicaciones a la economía, la tecnología y demás ciencias básicas en orden al progreso económico y social". La Comisión Primera de esta Conferencia Interministerial aceptó par­cialmente esta ponencia recomendando "que

en los programas de mejoramiento de la ense­ñanza de las matemáticas en todos los niveles educativos se utilice la cooperación que pueden prestar el CIAEM y otros organismos interna­cionales análogos". Como es sabido, la Con­ferencia interrumpió su labor sin llegar a reali­zar su reunión plenaria; en la reunión privado del 28 de junio, con la que se la dio por fina­lizada, se aprobaron por unanimidad los des­pachos de comisiones.

4. La filial Río de Janeiro —que preside el Prof. Geraldo S. TAVARES CARDOSO- de la A.N.P.P.M., entidad brasileña que agrupa a profesores y estudiosos de matemática, está desarrollando un plan de perfeccionamiento de maestros primarios y profesores de enseñanza media, que comprende cursos y sesiones de es­tudio. Esta labor se realiza en cooperación con la Secretaría de Educación y Cultura del Esta­do de Guanabara. Los cursos para profesores comprenden teoría de conjuntos, álgebra mo­derna, álgebra lineal y lógica matemática. La entidad fluminense proyecta además para di­ciembre próximo la 2° Semana de Estudios y tende ser más que un libro dedicado a los Enseñanza de la Matemática.

5. La Dirección General de Enseñanza Se­cundaria ha organizado cursos para profeso­res de Matemática, cada uno de los cuales in­cluirá todos los temas agregados a los progra­mas del Ciclo Básico por R.M. 1772/65. (V. ELE­MENTOS, año III, pp. 35/8). Dichos cursos estarán a cargo de Nelly V. de Tapia (Esc. Normal "M. Acosta"), Ana G. de Houssay, Au­rora G. de Romero y Lidia V. Vicente (Col. Nac. de Adrogué, B. A.) y Pablo J. Gabba (Esc. de Com. de Melincué, S. F.). Además, Elsa De Mar- tino (Esc. Normal "R. Sáenz Peña") dictará un curso dedicado a la enseñanza de la mate­mática en la escuela primaria, para maestros de los departamentos de aplicación de escue­las normales. La aniciación de los cursos está proyectada para los últimos días de julio y los primeros de agosto próximos.

6. Cursos sobre "los nuevos temas de la matemática moderna", dedicados a profesores que se desempeñan actualmente en el ciclo básico, han sido organizados por el Consejo

(Sigue a la siguiente página)

E. E. MOISE: The number systems of elemen- tary mathematics. ADDISON-WESLEY; Reading, 1966.

Los Dubreil no son unos "recién llegados" al campo del álgebra moderna. En el prefa­cio del "Algebre", fascículo XX de los "Cahiers Scientifiques", señalaba Gastón Julia en 1946, que desde 1938, los Dubreil, estaban hacien­do investigaciones sobre el tema. El volumen que ahora nos ocupa no es la versión espa­ñola de aquel "cuaderno", sino de la obra homónima editada en Francia en 1961, con las correcciones sugeridas por los propios auto­res para esta edición.

Por esta prolongada dedicación a la disci­plina no deben extrañarnos sus opiniones so­bre ella —"seductora por la elegancia de sus métodos y demostraciones"—, en la que "se ve en toda su pureza al razonamiento mate­mático operar sobre una multitud de nociones, de las que no se sabe bien si es mejor decir que cada una es perfectamente simple y na­tural o que el conjunto es un extraordinario producto de la imaginación humana".

Tamaña admiración proviene de quienes han frecuentado a "maestros eminentes" — como Arlin, Noether, van der Waerden, Has- se, Albert, Ore— a través de sus lecciones, memorias o tratados. Es un juicio que por eso no podemos pasar por alto.

Con estos antecedentes, ¿debemos agregar que, a pesar de sus pocos años, puede consi­derarse como clásica a esta obra? Pues bien, la abordamos con ese convencimiento y ad­vertimos el carácter didáctico que han que­rido darle los autores, para los que "no pre­tende ser más que un libro dedicado a los estudiantes". (Por eso han omitido referencias bibliográficas...

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Es una muy reciente publicación de la serie "Science and Mathematics Education', de esta editorial estadounidense, que quiere dar aí estudiante "una breve introducción a la es­tructura, el significado y los usos de los siste-

numéricos elementales", sin pretendermas"enseñarles un curso riguroso sobre los fun­damentos de la matemática".

Por eso, su contenido es "simple y familiar", procurando "presentar a los números como descripciones de propiedades reales de un mundo real" y "empleando el formalismo ma­temático", como un instrumento, "no como un objetivo en sí". Los números naturales se vinculan con la operación de contar, los reales positivos, con el concepto de medida y los reales, con los sistemas de coordenadas.

Se advierte al estudiante que las definicio­nes en matemática "no son meramente de­corativas", sino, más bien, "funcionales", por­que su propósito es facilitar el manejo de los conceptos. "Un gato no necesita establecer una definición de la mosca para poderla ca­zar", pero esto no rige para la matemática, donde la tarea correcta excluye un lenguaje ambiguo.

En la exposición teórica se intercalan unos treinta conjuntos de ejercicios y al final del libro se dan las respuestas de la mitad de ellos. Cabe agregar la adopción de la nota­ción "-x" para indicar "número negativo", porque se considera que ello interpreta mejor su significado y permite comprender mejor a la sustracción. Asimismo se refleja en la obra la tendencia estadounidense a la formación de siglas: CAD (conmutativa-asociativa-distribu- tiba) para las leyes de la multiplicación; SAS (side-angle-side lado-ángulo-lado), ASA (an- gle-side-angle) y SSS (side-side-side) para las condiciones de congruencia de triángulos. (De paso anotemos como signo de la con­gruencia, desusual en nuestro medio).

Resulta obvio agregar que la cuidada pre­sentación es la habitual en las ediciones de Addison-Wesley.

V

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A través de su algo más de cuatrocientas páginas se tratan ordenadamente: leyes de composición, semigrupos, grupos, anillos, cuer­pos, conjuntos ordenados, relículos, axioma de Zorn y equivalentes, anillos noetherianos, plementos de la teoría de los

com-grupos, exten­

siones de cuerpos y ecuaciones algebraicas. Esta exposición está exenta de ejercitación complementaria; no así de los ejemplos ade­cuados. Y bien, entendemos que aquella ausencia no afecta sus innegables méritos, resultantes de la claridad conceptual, la orga-

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- 175 -- 174 -

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' -T:' --*5*Correo de ELEMENTOS m, MYA ESTAMOS

TRABAJANDO

PARA SU

FUTURO

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Editores

José Banfi — Alfredo B. Bcsio

Buenos Aires (Argentina)l'ernández Blanco 2045

ña, residente en Niterói (Estado de Río de Ja­neiro), cuyo entusiasmo por difundir la Revista

prueba más de que el quehacer común salva fronteras y acerca fraternalmente. Es también una muestra clara de que ELEMEN­TOS, a pesar de todo, se extiende fuera del ámbito nacional originario.

Alguna vez se nos ha sugerido incorporar otros aspectos al contenido inicial de la Re­vista. De entre ellos, el más ambicioso es el de la enseñanza de la física. La idea no nos disgusta, pero su ejecución implicaría nuevos inconvenientes. Dejamos aquí abierta una en­cuesta entre nuestros lectores y aguardamos con mucho interés sus opiniones. De ellas de­penderá necesariamente la materialización de esta iniciativa.

Finalmente, una noticia que sin duda entu­siasmará a muchos: hemos logrado que, a partir del próximo número, el Dr. César A. TREJO acepte ocuparse de alender las con­sultas técnicas que algunos lectores suelen ha­cernos. Sería ocioso destacar los méritos per­sonales y científicos de nuestro colaborador permanente. Poder avalar nuestras respuestas con su intervención directa es una gran con­quista que brindamos con verdadera satisfac­ción.

ELEMENTOS completa sus tres años de vida aquejada por la crónica insuficiencia de recur­sos para cumplir su cometido sin contratiem­pos. El número de suscriptores continúa sin al­canzar a ser lo indispensable para que su publicación pueda financiarse sin el apoyo de amigos o avisadores generosos.

Nunca hemos ocultado esta persistente si­tuación a los lectores, colegas nuestros en su mayoría, porque aspiramos a que la subsisten­cia de ELEMENTOS sea considerada como una obra común a la que no debemos permanecer ajenos los que en nuestro país nos dedicamos a la enseñanza de la matemática. Como hace tres años, seguimos creyendo que ELEMENTOS debe ser "realmente un símbolo de mutua co­laboración"; pero tal vez no hayamos logrado que muchos colegas alcancen a comprender la importancia de la obra en que estamos empe­ñados. Siempre hemos creído que es innegable la conveniencia de contar con un órgano de información y de expresión a disposición de todos y de cada uno.

La nómina de nuestros desinteresados co­rresponsales sigue creciendo. Hoy nos compla­cemos en agregar a ella el nombre de Jamile CHAIBAN EL-KAREH, simpática colega brasile-

es una

Cuando este niño sea hombre sea un automóvil, cuando utilice tractor o cualquier otra maquinaria para su trabajo, el adelanto de la téc­nica exigirá para entonces nuevos combustibles, lubricantes y productos químicos derivados del petróleo, que pueden ser totalmente desconocidos hoyAdelantándose a las necesidades del

1 y po-- mañana, la organización mundial de

SHELL estudiaun dedicados a esas tarcas, que signifi­

can una cuantiosa inversión anual de casi cien millones de dólares.Este intenso esfuerzo

y experimenta cons tantcmcntc con miles de elementos y nuevos procesos, para estar a tono con las empresario y

científico, mira al futuro de los niños de hoy, extendiendo los beneficios de la investigación de SHELL a todos Jos países en que actúan sus empre­sas asociadas

exigencias del progreso En 21 centros de investigación disemina­dos en varios países, unos 6.000 téc­nicos y hombres de ciencia de la organización SHELL se encuentran-I

MEDIO SIGLO DE SUPERACION AL SERVICIO DEL PAIS

I00 5ÓXVO0ICODEX 00

... . par3de

(Viene de la página anterior)Nacional de Investigaciones Científicas y Téc­nicas, con la adhesión del Ministerio de Educa­ción y Justicia de la Nación. Para estos cursos, a cargo de los profesores señora de Houssay, señorita Vicente, señora de Tapia, señorita De Martino, señor Gabba y señor Dalmasso, se han elegido las ciudades de La Plata, Quil- mes, Mar del Plata, Mendoza, Mercedes (Bs. Aires) y Paraná. Los dos primeros han comen­zado a principios de junio y se extenderán has­ta mediados de septiembre; el de Mercedes se

inició en mayo y concluirá a principios de julio,- los otros se desarrollarán en la semana del 11 al 16 de julio. Los concurrentes deberán rendir uno prueba de competencia al finalizar el cur­so correspondiente.

7. Los profesores Jorge E. BOSCH y César A. TREJO han organizado nuevos cursos en el C.A.D.E.M., que como los que actualmente es­tán dictando, se desarrollarán en el local de Santa Fe 2763. Estarán dedicados a temas de Álgebra Moderna y Probabilidades y Estadís­tica, respectivamente.

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Una vez más, CODEX presente en la cultura tiene el orgullo de anunciar el primer volumen de su obra “Nueva Matemática”, por los profesores R. P. J. Hernández, M. E. S. de Hernández, H. T. Rabuffetti y A. O. Rojo.Precio del ejemplar $ 1.200.—Ya está en venta en todas las librerías, y en Publex S. A., Maipú 43, Bs. As.(1) Indispensable para el docente, porque responde a todas las modificaciones introducidas y por introducir

en los programas de Matemática.

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2. J. BOSCH: Fundamentos y proyecciones de la teoría de conjuntos.3. L. A. SANTALÓ: Relaciones y funciones.4. J. BABINI: Hacia la matemática5. C.1 A. TREJO: Transformaciones geométricas.6. O. VILLAMAYOR: Espacios vectoriales.7. E. GENTILE: Estructuras.

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