otpornost materijala ii - skripta - ismet hajduk
TRANSCRIPT
OTPORNOST MATERIJALA II SKRIPTA
Skripta
Otpornost materijala II 2
1. TORZIJA
Skripta
Otpornost materijala II 3
Obostrano uklješteni štap prikazan na slici opterećen je momentima torzije M1=50 kNm i M2=30 kNm. Potrebno je odrediti:
a) Naprezanja u tački E. b) Ugao zaokreta presjeka C.
RJEŠENJE
Uslov ravnoteže:
x A 1 2 B
A B 1 2
M 0 M M M M 0
M M M M 50 30 20 kNm
OSNOVNI SISTEM
= − + + =+ = − = − =
ZADATAK br. 1
Skripta
Otpornost materijala II 4
B
Uslov kompaktibilnosti deformacija:
0ϕ =
1 2 2 B B
p1 p1 p2 p1 p2
1 2 2 B B
p1 p1 p2 p1 p2
4 46 41
p1
4 4 4 461 2
p2
M a M a M a M a M 2a G 0
G I G I G I G I G I a
M M M M 2M 0
I I I I I
d (120 mm) I 20,358 10 mm
32 32
d d 120 100 I 10,54 10
32 32 32 32
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − − − = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− − − − =
π ⋅ π ⋅= = = ⋅
π ⋅ π ⋅ π ⋅ π ⋅= − = − = ⋅ 4
6 4p2
p2 p16 4p1
1 2 2 B Bp1
p1 p1 p1 p1
B B
A B A
mm
I 10,54 10 mm 0,518 I 0,518 I
I 20,358 10 mm
M M M M 2M I
I 0,518 I I 0,518 I
30 50 30 4,861 M M 7,8 kNm
0,518
M M 20 kNm M 27,8 kNm
⋅= = = ⋅⋅
− − = + ⋅⋅ ⋅
− − = ⋅ = −
+ = =
6t 2
E 6 4p2
6A
C5 6 4p1
2
Naprezanje u tački E:
M d 22,2 10 Nmm 100 mm 105,31 MPa
I 2 210,54 10 mm
Ugao zaokreta presjeka C:
M a 27,8 10 Nmm 600 mm 0,0102 rad
NG I 0,8 10 20,35810 mmmm
⋅τ = ⋅ = ⋅ =⋅
⋅ ⋅ ⋅ϕ = = =⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 5
Čelični cilindrični štap prečnika 2,5 cm ima zadebljanja A i B. Na ova zadebljanja navučena je čelična cijev debljine zidova 1,25 mm. Pri navlačenju cijevi štap je bio uvijen momentima od 75 Nm. Poslije zavarivanja cijevi za zadebljanja štapa uklonjeni su momenti sa njegovih krajeva. Odrediti vrijednost najvećeg tangencijalnog napona u cijevi poslije rasterećenja krajeva štapa. Smatrati da su ispusti A i B ne deformišu.
0
0
RJEŠENJE
Poslije uklanjanja momenta M s krajeva štapa njegov dio između zadebljanja A i B, koji je uvijen
za ugao , teži da se odvije (rastereti), ali ga pri tome sprječava cijev. Prema tome, štap seϕ
cijev
cijev štap
ne odvija
potpuno već samo za ugao za koji se uvija cijev. Pri tome se od strane štapa preko zadebljanja
A i B prenosi na cijev momenat uvijanja M . Takav momenat M , jednakog intenzitet
ϕ
cije
a, očigledno
se prenosi i na štap od strane cijevi. Na taj način za rješavanje ovog zadatka mogu se postaviti dvije
jednačine:
jednačina za ravnotežu:
M v štap t
0 cijev štap
cijev štap0
p,štap p,cijev p,štap
M M
jednačina podudaranja deformacije:
ili :
M l M lM l
I G I G I G
Poslije
= =
ϕ = −ϕ = ϕ
⋅ ⋅⋅− =
⋅ ⋅ ⋅
cijev štap t
p,štap0 t t t
p,štap p,cijev p,štap p,štap p,cijev
0t
skraćenja sa l i G i zamijene M i M izrazom za M dobijamo
IM M M M 1 ,
I I I I I
odakle je:
M M
1
= + = ⋅ +
=p,štap
p,cijev
2t2 2sred
7568,5 Nm
I 1 0,0975
I
Sada se može odrediti tangencijalni napon u cijevi:
M 6850 643 N / cm
2 r t 2 3,14 3,69 0,125
= =++
τ = = =π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ZADATAK br. 2
Skripta
Otpornost materijala II 6
Opruga za vrata od čelične šipke kvadratnog poprečnog presjeka učvršćena je jednim krajem za vrata(u tački A kao) a drugim za štok(u tački B).Naći intenzitet sile P kojom treba vući ručicu vrata da bi se ona otvorila za 90o i ugao za koji treba prethodno uviti šipku, da bi pri otvaranju vrata najveći napon dotigao τdop=500 N/mm2.Dužina šipke je 2 m, dimenzije poprečnog presjeka 6x6 mm.Širina vrata je 1 m.
tmax 2
2t
3t
3
3
t3 5 3
RJEŠENJE
M
hb
h za 1 0,208 , =0,141
b
M 0,208 6 6 500 22 464 Nmm
M P 1000 P 10 Nmm
P 10 22 464
P=22,464 N
1022 464 2M h l 3,092 =G hb 0,141 0,800 10 6 6
τ =α
= α = β
= ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ = ⋅
⋅ =
⋅ ⋅⋅ϕ = =
β ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅818
rad=1,54909 rad2
=88,74ϕ
ZADATAK br.3
Skripta
Otpornost materijala II 7
2. TRAŽENJE UGIBA, MAKSVEL-MOROVA ANALOGIJA, PRAVILO VEREŠČAGINA
Skripta
Otpornost materijala II 8
Za nosač i opterećenje na slici:
a) Izvršiti dimenzioniranje nosača ako mu je poprečni presjek sastavljen iz dva NP profila ako je σd=160 N/mm2.
b) Naći ugib na kraju prepusta Maksvel – Morovom analogijom i provjeriti da li je veći od dozvoljenog vd
C=0,5 mm. c) Eventualno izvršiti dimenzioniranje na ugib.
RJEŠENJE
a)
[
max
63 3
z,pot
4 2z
Dimenzioniranje
M 66,15 kNm
66,15 10 W 413,4 10 mm
160Dimenzioniranje vršimo probanjem:
I proba usvajamo NP 20 I 148 cm ,F 32,2 cm
=
⋅= = ⋅
− = =
2 4
z
3 3z,stv z,pot
I 2 (148 32,2 5,49 ) 2237 cm
2237 W 298 cm W 413,4 cm
7,5
= ⋅ + ⋅ =
= = < =
[ 4 2zII proba usvajamo NP 24 I 248 cm ,F 42,3 cm− = =
2 4
z
3 3z,stv z,pot
I 2 (248 42,3 6,27 ) 3821 cm
3821 W 449 cm W 413,4 cm
8,5
= ⋅ + ⋅ =
= = > =
ZADATAK br. 1
Skripta
Otpornost materijala II 9
[Usvojeno : 2 NP 24
b)
Skripta
Otpornost materijala II 10
3C
12C
C d5 4
C dC C
12C
z,pot dC
EIV 312,5 260 51,5 kNm
M 51,5 10 v 0,67 mm V 0,5 mm
EI 2,0 10 3821 10
Iz ovoga slijedi da je mjerodavno dimenzioniranje na ugib:
Mc) v V
EI
M 51,5 10 I
E V 2,0 1
= − + = −
− ⋅= − = − = > = ⋅ ⋅ ⋅
= ≤
⋅= =⋅ ⋅
[
4 45
4 2z
5150 10 mm0 0,5
probamo NP 28 I 399 cm ,F 53,3 cm
= ⋅⋅
= =
2 4 4
z z,pot I 2 (399 53,3 6,97 ) 5976 cm I 5150 cm= ⋅ + ⋅ = > =
[Usvojeno : 2 NP 28
Za nosač i opterećenje na slici: a) Izvršiti dimenzioniranje nosača kao INP ako je σd=160 N/mm2. b) Naći ugib u tački C Maksvel – Morovom analogijom i provjeriti da li je veći od dozvoljenog
vdC=1,5 mm.
c) Eventualno izvršiti dimenzioniranje na ugib.
RJEŠENJE
a)
ZADATAK br. 2
Skripta
Otpornost materijala II 11
max
63 3 3
z,pot
3z
4z
Dimenzioniranje
M 25,6 kNm
25,6 10 W 160 10 mm 160 cm
160
iz tablica usvajamo INP 18 sa: W 161 cm
I 1450 cm
=
⋅= = ⋅ =
=
=2 A 27,9 cm
b) Sada tražimo ugib u tački C na fiktivnom nosaču:
=
3
C A 1 2
CC
12C
C d5 4
CC d
Cz
M R 2,0 Q 1,0 Q 0,66 55,9 kNm
EIV M
M 55,9 10 v 19,67 mm V 15 mm
EI 2,0 10 1450 10
Iz ovoga slijedi da je mjerodavno dimenzioniranje na ugib:
Mc) v V
EI
M I
E V
= ⋅ − ⋅ − ⋅ =
= −
⋅= − = − = − > = ⋅ ⋅ ⋅
= ≤
=⋅
124 4 4
5d
3z
4z
55,9 101863 10 mm 1863 cm
2,0 10 15
iz tablica usvajamo INP 20 sa: W 214 cm
I 2140 cm
⋅= = ⋅ =⋅ ⋅
=
=2 A 33,5 cm=
Skripta
Otpornost materijala II 12
Za nosač i opterećenje na slici odrediti ugao zaokreta i ugib na kraju prepusta Maksvel – Morovom analogijom.
RJEŠENJE
ZADATAK br. 3
Skripta
Otpornost materijala II 13
C C 3
C 4 4
C C 3 oC 4 4
M M 260 114 374 v 4,34 10 m 4,34 mm
EI 8,6 10 8,6 10
T T 150 57 207 2,407 10 rad 8,275
EI 8,6 10 8,6 10
−
−
+ − −= − = − = = ⋅ = ⋅ ⋅
+ − − −ϕ = = = = − ⋅ = −⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 14
Odrediti ugao zaokreta i ugib presjeka na kraju prepusta kao i ugib presjeka na sredini raspona Maksvel – Morovom grafo – analitičkom metodom.
B
A 2 1
A
B
B 1 2
B
(C) (C)(z)C Cz
x x x
RJEŠENJE
M 0
R 6 P 4 P 2 q 2 1 0
R 20 kN
M 0
R 6 P 4 P 2 q 2 7 0
R 50 kN
M M T q v
EI EI EI
=
⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ==
=
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ==
= = − ϕ = −
ZADATAK br. 4
Skripta
Otpornost materijala II 15
21
22
23
24
25
Ax(z)
B 2 3 4 5
2B
x(
1 2 20 13,3 kNm
21
0,67 20 6,7 kNm21
1,33 40 26,6 kNm2
2 40 80 kNm
1 40 2 40 kNm
2
M 0
1 1 2 R 6 (6 0,67) (4 1,33) 3 2 0
3 3 3
R 62,2 kNm
M
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
=
⋅ + Φ ⋅ − ⋅ − Φ ⋅ + ⋅ − Φ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ =
=
B
z)
2A
2C B 1
CC
x
6 9 2 2x
oC
2C B 1
CC
x
0
R 77,8 kNm
R R 62,2 13,3 48,90 kNm
R
EI
EI 2,0 10 2140 4,28 10 daNcm 4280 kNm
48,90 0,0114 rad 0,6
4280
3 M R 2 2 101,4 kNm
4
M 101,4 v
EI 42
=
=
= − Φ = − =
ϕ = −
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
ϕ = = =
= − ⋅ + Φ ⋅ ⋅ = −
−= − = −
24K A 5
KK
x
0,024 m 2,4 cm80
1 M R 3 (1 2) 0,5 146,6 kNm
3 2
M 146,6 v 0,034 m 3,4 cm
EI 4280
= =
Φ= ⋅ − Φ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
= − = − = − = −
Skripta
Otpornost materijala II 16
Za nosač prikazan na slici Maksvel – Morovom analogijom odrediti ugib i nagib u tački D.
RJEŠENJE
Ugib i nagib u posmatranom presjeku stvarnog nosača je jednak fiktivnom momentu odnosno fiktivnoj
transverzalnoj sili na fiktivnom nosaču koji je opterećen fiktivnim opterećenjem.
q x
x
M tj. v M T
EI
Na sljedećoj slici prikazan je fiktivni nosač opterećen odgovarajućim fiktivnim opterećenjem q, pri
čemu granični uslovi po silama na fiktivnom nosaču odgovaraju graničnim uslo
= = ϕ =
vima po pomjeranjima
na stvarnom nosaču.
20 1
20 2
20 3
Veličine fiktivnih sila su:
1 EI 45 4,5 101,25 kNm
21
EI 30 3,0 45,00 kNm22
EI 22,5 3,0 45,00 kNm3
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
ZADATAK br. 5
Skripta
Otpornost materijala II 17
20 4
C
20
2D0
D0
1 EI 30 1,5 22,5 kNm
2
Iz uslova M 0 dobijamo vrijednost fiktivne reakcije B :
EI B 195 tm
Fiktivne presječne sile u tački D su:
EI T 101,25 195 45,0 45,0 22,5 71,25 kNm
EI M 101,25
Φ = ⋅ ⋅ =
=
=
= − − + + = −
= 3
3DD 4
0
DD0
7,5 195 4,5 45,0 3 45,0 2,5 22,5 1,0 118,13 kNm
Konačne vrijednosti ugiba i nagiba u tački D su:
118,13 118,13 v M 2,363 10 m 0,002363 m 2,363 mm
EI 5 10
71,25 7 T
EI
−
⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
−= − = − = = ⋅ = = ⋅ −ϕ = − = − =
34
1,251,425 10 rad
5 10−= ⋅
⋅
Za zadani nosač i opterećenje prema slici potrebno je grafoanalitičkom metodom odrediti<. a) Ugao zaokreta tačke B. b) Vertikalni pomak tačke A.
RJEŠENJE
ZADATAK br. 6
Skripta
Otpornost materijala II 18
B
2
C
C D
D C
M 0
a q R a
2 R 10 kN R
M R b 10 3 30 kNm
=
⋅ = ⋅
= == ⋅ = ⋅ =
1
2
3
1 20 40 2
3 EI 3EI1 20 20
22 EI EI1 10 15
32 EI EI
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
C
B2 3
B
B
M 0
2 2 2 3 R 2
3 320 4 15
2 R 2EI 3 EI
85 R
3EI
=
Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ + ⋅ = ⋅
=
B BB 3 4
B
A
A B 1
A
A
AA 3 4
85 85T R
3EI 3 30500 10 4,5 10
0,00206 rad
M 0
3M R 2 2
485 40 3
M 2 23EI 3EI 4230
M3EI
230 230w M 0,00559 m
3EI 3 30500 10 4,5 10
−
−
ϕ = = − = − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ϕ = −
=
= ⋅ + Φ ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
=
= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 19
Za nosač promjenjivog poprečnog presjeka potrebno je grafoanalitičkim postupkom odrediti:
a) Vertikalni pomak tačke C. b) Ugao zaokreta presjeka A.
Moment površine drugog reda nosača na dijelu DE triput je veći nego na dijelu nosača AD. a=3,0 m b=2,0 m c=6,0 m F=30 kN q=20 kN/m
RJEŠENJE
( )
D
2 3 1
2
M 0
1 2 1 6 6 6 3 B 9 0
3 3 3
1 B 270 2 90 4 45 7
9
B 15 kNm
=
− Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
=
ZADATAK br. 7
Skripta
Otpornost materijala II 20
Zadatak se može riješiti i koristeći princip superpozicije.
a) samo F 30 kN=
( )
D
F2 1
F
2F
3C,F F 1
3C,F
C,F
M 0
2 1 6 6 3 B 9
3 3
1 120 4 90 7 B
9
B 150 kNm
1 M B 3 3 150 3 90 360 kNm
3
M 360 kNm w
EI EI
=
Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ + ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ =
=
= ⋅ − Φ ⋅ ⋅ = ⋅ − =
= =
Skripta
Otpornost materijala II 21
2F F
2A F
A,F
A B 150 kNm
T A 150 kNm
EI EI EI
= =
ϕ = = =
b) samo q 20 kN / m=
( )
D
q3
2q
3C,q q5
3C,q
C,q
2q q
2A q
A,q
C C,F C,q
M 0
1 6 3 B 9
3
B 135 kNm
1 M 3 B 3 45 135 3 360 kNm
3
M 360 kNm w
EI EI
A B 135 kNm
T A 135 kNm
EI EI EI
konačan rezultat: w w w 0
=
Φ ⋅ ⋅ + = ⋅
=
= Φ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ = −
−= =
= =
− −ϕ = = =
= + =2
A A,F A,q
15 kNm
EIϕ = ϕ + ϕ =
Skripta
Otpornost materijala II 22
Nosač zadatog poprečnog presjeka opterećen je kontinualnim opterećenjem.
a) Odrediti maksimalnu dopuštenu vrijednost opterećenja q ako je σd,pr=120 N/mm2, a σd,z=120 N/mm2.
b) Za tako određeno opterećenje izračunati ugib presjeka M (udaljenog 3 m od oslonca B) ako je E=2,1⋅105 N/mm2.
RJEŠENJE
a)
ZADATAK br. 8
Skripta
Otpornost materijala II 23
2 2 4
z
3g
d 3x
I 148 32,2 13,53 2 (1860 45,7 4,76 ) 11833 cm
11833 W 761 cm
15,54
11833 W 989 cm
11,96
dimenzioniranje
oslonac A tač
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= =
= =
ka C
ZATEZANJE: q 41,986 N / mm ZATEZANJE: q 77,76 N / mm
PRITISAK: q 40,92 N / mm PRITISAK: q 41,41 N / mm
UKUPNO DOZVOLJENO OPTEREĆEN
= == =
JE:
q 40,92 N / mm=
b)
M1 M2M
12
M 5 4
M
M M v
EI
( 130,94 317,3) 10 v 7,499 mm
2,1 10 11833 10
v 7,499 mm
+=
− − + ⋅= = −⋅ ⋅ ⋅
= −
Skripta
Otpornost materijala II 24
Primjenom metode jediničnog opterećenja (Vereščagin) potrebno je odrediti horizontalni i vertikalni pomak tačke C. E=2⋅105 Mpa I=400 cm4 l=5,0 m a=2,0 m
RJEŠENJE
Kako bi dobili vertikalni pomak tačke C postavljamo jediničnu vertikalnu silu V u tačku C u smjeru
traženog pomaka.
Kako bi dobili horizontalni pomak tačke C postavljamo jediničnu horizontalnu silu H u tačku
C u smjeru traženog pomaka.
2 2H VRezultantni pomak tačke C: 0,2109 mδ = δ + δ =
ZADATAK br. 9
Skripta
Otpornost materijala II 25
Po kakvoj krivoj treba prethodno saviti gredu AB koja slobodno leži na dva oslonca da bi pri pomjeranju po njoj sile F, njena napadna tačka ostala za sve vrijeme na nivou oslonaca AB.
RJEŠENJE
Ovaj zadatak riješit ćemo tako što ćemo gredu AB postaviti u horizontalan položaj, opteretiti je silom F
na rastojanju x od oslonca A i nacrtati dijagram momenata. Zatim gredu opteretiti generalisanom silom
F=1 na rastojanju x od oslonca A i riješiti Maksvel-Morov integral (odrediti ugib na mjestu djelovanja
sile F u funkciji x). Na taj način ćemo dobiti krivu po kojoj bi prethodno trebalo saviti gredu da bi ona
nakon opterećenjasilom F na bilo kom mjestu uijek bila u horizontalnom položaju.
1
22 2
1
1 F (l x) x 2 (l x) F (l x) l x 2 (l x)v x x x x
EI l 2 3 l l 2 3 l
F xv (x 2 l x l )
3EI l
⋅ − − ⋅ − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ +⋅
ZADATAK br.10
Skripta
Otpornost materijala II 26
Za nosač i opterećenje na slici primjenom pravila Vereščagina odrediti igib i ugao nagiba u tački C.
RJEŠENJE
ZADATAK br.11
Skripta
Otpornost materijala II 27
C 4
4
C 4
1 2 37,5 3 1 37,5 3 2 80 2 2 80 6 2 v 67,5 6 1 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 38,6 10
808,10 0,009 m 9 mm
8,6 10
1 2 37,5 3 80 6 2 80 2 67,5 6 0,5 2 0,5 1 1
3 2 2 3 28,6 10
431,
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= = =⋅
⋅ ⋅ ⋅ ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅
=4
250,005 rad
8,6 10=
⋅
Odrediti ugib presjeka na sredini grede opterećene prema slici.
RJEŠENJE
2
B
2 2 24 4
B
1 2 q l l 5 l l l l 2 l l l 1 v 2 M M
EI 3 8 2 8 4 4 2 2 3 4 2 2 3
1 5 M l M l 1 5 3 M l v q l = q l
EI 384 24 48 EI 384 48
⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ −
ZADATAK br.11
Skripta
Otpornost materijala II 28
( )
6 24
B 5 4
B
1 5 3 40 10 4000 v 20 4000
384 482,1 10 4250 10
v 7,4696 4,4818 2,9878 m 3 mm 0,3 cm
⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − − = − ≈ − ≈ −
Skripta
Otpornost materijala II 29
3. KOSO SAVIJANJE
Skripta
Otpornost materijala II 30
Dimenzionisati drvenu rožnjaču raspona l=3,2m sistema proste grede za položaj i opterećenje dato na
slici.Odnos širine prema visini presjeka usvojiti 1/2,a dopušteni napon je 2dop 10 N/mmσ = .
RJEŠENJE
x dopz y
1 1
34
z
34
y
6x dop
4 4
3 3
sin cos M y z
I I
b 1 b za = y b , z , h=2b
h 2 2
b 8b 2 I b
12 3
2b b 1 I b
12 6
0,866 0,5 b 8 10 b 10,0
2 1 2b b3 6
10392000 12000000 10,0
b b
ϕ ϕσ = ⋅ + ⋅ ≤ σ
= =
⋅= =
⋅= =
σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ≤ σ =
+ =
322392000
b 13,08 10 mm10
b=14 cmUSVOJENO:
h=2b=28 cm
= = ⋅
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 31
Dimenzionisati dati nosač ako je h/b=2 i 2dop 15 N/mmσ = .Za tako dimenzionisan nosač odrediti
položaj neutralne ose i u opasnom presjeku ekstremne vrijednosti normalnih napona.
RJEŠENJE
max
0z max
0y max
3 3 .y 4z
x dop zz y
0
x maxz
M 48 kNm
M M cos30 0,866 M 41,57 kNm
M M sin 30 0,5 M 24,00 kNm
MM bh b 8b y z h=2b, I 0,666b
I I 12 12
cos30 M
I
=
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤ σ = = =
σ = ⋅0 3 .
4dop y
y
6 6
x . .4 4
3 3. .
sin30 hby z I 0,166b
I 12
41,57 10 24,00 10 b b 15,0
20,666b 0,166b
41570000 24000000 b 8957 10 b=20,76 10 mm
150 0,666 150 0,166 2
+ ⋅ ≤ σ = =
⋅ ⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤
= + = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
4 4z y
b=22 cmUSVOJENO: I 156 170 cm ; I =39 042 cm
h=2b=44 cm
=
ZADATAK br.2
Skripta
Otpornost materijala II 32
0 0
z y
0z
y
6 6C Dx x 4 4
C D 2x x
Položaj neutralne ose:
cos30 sin 30 y z 0
I I
I y tg30 z
I
y 2,30 z
41,57 10 24,00 10 220 110
156170 10 39042 10
5,9 6,8 12,7 N/mm
⋅ + ⋅ =
= − ⋅ ⋅
= ⋅
⋅ ⋅− σ = σ = − ⋅ − ⋅⋅ ⋅
− σ = σ = − − = −
Za konzolu i opterećenje na slici:
a)Izvršiti dimenzioniranje kao INP ako je 2dop 160 N/mmσ = ,a orjentacioni odnos Wz/Wy=8,
b)Za usvojeni presjek u uklještenju odrediti položaj neutralne ose i nacrtati dijagram normalnog napona.
RJEŠENJE
2
z,max
y,max
ql M (Fcos 3 ) 27,70 kNm
2 M Fsin 3 3,00 kNm
= − α ⋅ + = −
= − α ⋅ = −
ZADATAK br.3
Skripta
Otpornost materijala II 33
( )
y,maxz,maxAx x,max dop
z y
6 6
x,maxz y
A 6 6x x,max
z
3z,pot
z
MM
W W
27,70 10 3,0 10 160
W W
1 27,70 10 8 3,0 10 160
W
W 323,125 cm
Iz tablica: ODGOVARA INP 24 : I 4250 c
σ = σ = + ≤ σ
⋅ ⋅σ = + ≤
σ = σ = ⋅ + ⋅ ⋅ ≤
=
= 4 4y
4 4z y
6 6
x,max 3 3
2 2x,max dop
m ; I 221cm
W 354 cm ; W 41,7 cm
27,70 10 3,0 10
354 10 41,7 10
79,0 72,0 151,0 N/mm 160 N/mm
P
=
= =
⋅ ⋅σ = +⋅ ⋅
σ = + = < σ =
x
yz
y z
oložaj neutralne ose dobije se kada se izraz za izjednači sa nulom,tj.
MI y z
I M
y tg z tg 2,08 64 ,35
y=2,08 z
σ
= − ⋅ ⋅
= ϕ ⋅ ϕ = ϕ =
⋅
Skripta
Otpornost materijala II 34
Za gredu i opterećenje na slici,odrediti: a)Apsolutnu(max)vrijednost normalnog napona, b)Položaj neutralne ose u opasnom presjeku grede.
RJEŠENJE
44
z y
yzx
z y
Max.vrijednost normalnog napona na gredi javit će se u tački C ili u tački D. U daljim razmatranjima
uzet ćemo tačku D kao mjerodavnu.
d d 20 cm ; r= 10 cm
2
r I I 7854 cm
4MM
y zI I
= =
π= = =
σ = ⋅ + ⋅ x ... iz 0 dobivamo položaj neutralne oseσ =
ZADATAK br.4
Skripta
Otpornost materijala II 35
z y
6 6
4 4
y=r sin ; z=r cos
M 6,24 kNm ; M 1,8 kNm
6,24 10 1,8 10 100 sin 100 cos 0
7854 10 7854 10 7,94 sin 2,29 cos
tg 0,2884 =16 ,09 =90 73 ,91
y=r
⋅ ϕ ⋅ ϕ
= =
⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ϕ + ⋅ ⋅ ϕ =⋅ ⋅
⋅ ϕ = ⋅ ϕ
ϕ = ϕ α − ϕ =
⋅
yzmax
z y
6 6
max 4 4
2max
sin ; z=r cos
MM y z
I I
6,24 10 1,8 10 100 0,961 100 0,277
7854 10 7854 10
8,26 N/mm
α ⋅ α
σ = ⋅ + ⋅
⋅ ⋅σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅
σ =
Odrediti tačke presjeka u kojima se javljaju ekstremna naprezanja i njihove vrijednosti. F=10 kN l=5 m a=20 cm=0,2 m
2 2
2 2
T 2
2 2
T 2
RJEŠENJE
A 2a a a 3a
aa 2a a 52 y a
63aa 3
a 2a a 72 2 z a63a
= ⋅ + =
+ ⋅= =
+= =
ZADATAK br.5
Skripta
Otpornost materijala II 36
( )
2 23 32 2 4 4
y
32 232 2 4 4
z
2yz
a a a 7 2a a 3 7 11 I a a 2a a a a 146 666 cm
12 2 6 12 2 6 12
2a aa a a 5 5 11 I a a 2a a a a 146 666 cm
12 2 6 12 6 12
a 7 I 0 a a
2 6
⋅ ⋅ = + ⋅ − + + ⋅ − = =
⋅⋅ = + ⋅ − + + ⋅ − = =
= + −
( )
2 4
4 4
yz
4 4y z
1,2 y z
a 5 3 7 5 1a 0 2a a a a a a
2 6 2 6 6 3
Glavne osi momenata površine drugog reda:
1 12 a 2 a2I 3 3 tg2 = 2 90 45
11 11I I 0a a12 12
1 1 I I I
2
− + + − − =
⋅ ⋅α − = − = − = ∞ α = α =
− −
= + ±
( ) ( )2 2 4 4 4y z yz
4 41
4 42
yz
1 11 1 1 11 1I I 4 I 2 a 2 a a
2 2 12 2 3 12 3
5 I a 200 000 cm
47
I a 93 333 cm12
I 0
− + = ⋅ ⋅ ± ⋅ ⋅ = ±
= =
= =
=
4
1
42
B B B 34 41 2
Položaj neutralne ose:
5aI 154 tg tg tg45 2,14286 65
7I 7a12
Ekstremna naprezanja su u tačkama B i D:
2acos45 sin 45 2 2a Fl 46 M z y Fl
5 7I I 2 5aa a4 12
ϕ = − α = − = − = − ϕ = −
− σ = + = + = − +
3
3 3
B
3
D D D 3 3 34 41 2
D
2 18 Fl 18 10 10 5
7 35 35a 0,2
3,21 MPa
2acos 45 sin 45 2 2a Fl 4 2 38 Fl 38 10 10 56 M z y Fl
5 7I I 2 5 7 35 35a a 0,2a a4 12
6,78 MPa
⋅ ⋅ = − = −
σ = −
⋅ ⋅ σ = + = + = + = =
σ =
B
B
D
B
7 5 7 2 5 2 z a cos 45 a sin 45 a a 2a
6 6 6 2 6 2
5 7 5 2 7 2 2 y a cos 45 a sin 45 a a a
6 6 6 2 6 2 6
5 7 5 2 7 2 z a cos 45 a sin 45 a a 2a
6 6 6 2 6 2
7 5 7 2 5 2 2 y a cos45 a sin 45 a a a
6 6 6 2 6 2 6
− − − −= + = + = −
− − −= − = + =
= + = + =
= − = − =
Skripta
Otpornost materijala II 37
Za nosač i opterećenje prema slici potrebno je odrediti maksimalna normalna naprezanja i položaj neutralne osi, te skicirati dijagram normalnih naprezanja. Dimenzije poprečnog presjeka zadane su u milimetrima.
RJEŠENJE
o
y
y
(F cos ) l 60 cos50 4M
4 4M 38,57 kNm
⋅ α ⋅ ⋅ ⋅= =
=
o
z
z
(F sin ) l 60 sin 50 4M
4 4M 45,96 kNm
⋅ α ⋅ ⋅ ⋅= =
=
ZADATAK br. 6
Skripta
Otpornost materijala II 38
3 36 4
y
3 36 4
z
6 4y o o
6 4z
160 100 80 60 I 11,8933 10 mm
12 12
100 160 60 80 I 31,5733 10 mm
12 12
Položaj neutralne osi:
I 11,8933 10 mm tg tg tg50 24,18
I 31,5733 10 mm
⋅ ⋅= − = ⋅
⋅ ⋅= − = ⋅
⋅ϕ = − ⋅ α = − ⋅ ϕ = −⋅
6 6
y zmax max max 6 4 6 4min y z
maxmin
2x,max
2x,min
M M 38,57 10 Nmm 45,96 10 Nmm z y 50 mm 80 mm
I I 11,8933 10 mm 31,5733 10 mm
(162,15 116,45)
278,6 N/mm
278,6 N/mm
⋅ ⋅σ = ± ⋅ + ⋅ = ± ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ σ = ± +
σ =
σ = −
Skripta
Otpornost materijala II 39
Izvršiti dimenzioniranje nosača prikazanog na slici ako je σd=160 N/mm2. U tački C nacrtati dijagram normalnog napona u odnosu na neutralnu osu.
RJEŠENJE
ZADATAK br. 7
Skripta
Otpornost materijala II 40
3 32 2 2 2 4
z
3 32 2 2 2 4
y
2 2 4zy
1,2
t 27t t 4t I 4t (0,857t) 3t (1,143t) 9,44 t
12 12
t 64t t 3t I 4t (0,643t) 3t (0,857t) 9,44 t
12 12
I 4t 0,857t 0,643t 3t 0,85t 1,143t 5,143 t
9,44 9,44 9,44 9,44 I
2
⋅ ⋅= + + ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅= + + ⋅ + ⋅ =
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −
+ −= ±
( )
22 4
41,2
41
42
zy
z y
max
1,max
2,
( 5,143) t2
I 9,44 5,143 t
I 14,583 t
I 4,297 t
2 I tg2
I I
2 90 45
Dimenzioniranje
M 40 kNm
M 40 cos45 28,28 kNm
M
+ − ⋅ = ± ⋅
=
=⋅
ϕ = = −∞−
ϕ = − ϕ = −
=
= ⋅ =
max
1 2x,max
1 2
1 2
2 1
6 6
x,max 4 4
40 sin 45 28,28 kNm
M M(2) (1) 0 položaj neutralne ose
I I
M I (1) (2) 0,295 (2)
M I
16 43
28,28 10 28,28 10 (2) (1) 160
14,583 t 4,297 t
'1' 2,643t sin 0
= ⋅ =
σ = ⋅ + ⋅ = −
= − ⋅ ⋅ = − ⋅
α = −
⋅ ⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤
= ⋅ ϕ −
6 6
x,max 4 4
63
1 2x,max
1
,357t cos 1,617t
'2 ' 2,643t cos 0,357t sin 2,121t
28,28 10 28,28 10 2,121t 1,617t 160
14,583 t 4,297 t
14,755 10 t t 45,18 mm
160
USVOJENO: t 46 mm
M M (2)
I
⋅ ϕ == ⋅ ϕ + ⋅ ϕ =
⋅ ⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤
⋅= =
=
σ = ± ⋅ ± d2
6A 2x 4
6 6B 2x 4 4
(1)I
28,28 10 1,919 46 129,75 N/mm
4,297 36
28,28 10 28,28 10 2,121 46 1,617 46 151,58 N/mm
14,583 46 4,297 36
⋅ ≤ σ
⋅σ = − ⋅ ⋅ = −⋅
⋅ ⋅σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 41
Greda trouglastog poprečnog presjeka na slici izložena je savijanju momentom M=1,2 kNm u ravni koja je paralelna strani A-B grede.Odrediti položaj neutralne ose i napon u tjemenima trougla.Odrediti
takođe najveći intenzitet momenta M pri savijanju grede u vertikalnoj ravni,ako je 2dop 10 N/mmσ = .
ZADATAK br.8
Skripta
Otpornost materijala II 42
yzx x
z y
y yz z
z y z y
3 34
z
3 3
y
RJEŠENJE
MM y z iz 0 dobivamo položaj neutralne ose
I I
M MM I y z =0 y= z - jednačina neutralne ose
I I M I
bh 12 15 I 1125 cm
36 36
b h 12 15 I 540
48 48
σ = ⋅ + ⋅ σ =
⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
⋅= = =
⋅= = = 4
z
y
cm
6 tg 0,4 = 21 ,80141
15
M M cos 1,114 kNm
M Msin 0,4457 kNm
0,4457 1125 y= z y=0,8336 z tg =0,8336 =39 ,81
1,114 540
α = = α −
= α == α = −
−− ⋅ ⋅ ⋅ ϕ ϕ
6A 2zx 4
z
6 6yB 2z
x 4 4y z
yC zx
z y
2x
M 1,114 10 y 100 9,9 N/mm
I 1125 10
M M 0,4457 10 1,114 10 z y 60 50 9,9 N/mm
I I 540 10 1125 10
MM y z 0
I I
Dijagram normalnog napona N/mm prikazan je na slje
⋅σ = = ⋅ =⋅
⋅ ⋅σ = − − = − ⋅ − ⋅ = −⋅ ⋅
σ = − + =
σ dećoj slici:
2dop z
4dop zA 6z
x A dop zz A
z
10 N/mm , M ?
IM 10 1125 10 y M 1,125 10 Nmm=1,125 kNm
I y 100
M M 1,125 kNm
σ = =
σ ⋅ ⋅ ⋅σ = ≤ σ = = = ⋅
= =
Skripta
Otpornost materijala II 43
4. DIFERENCIJALNA JEDNAČINA ELASTIČNE LINIJE
Skripta
Otpornost materijala II 44
Napisati jednačinu elastične linije za dati nosač:
2x
2x
B
2 2
x1
x2
RJEŠENJE
M (z)d v dif.jedn.elastične linije
EIdz
POLJE A-1 0 z l/2
l 3 M 0 A l-q l 0
2 43
A= ql8
qz 3 qz M (z) A z qlz
2 8 2POLJE 1-B l/2 z l
M (z) A z
= − →
≤ ≤
Σ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ − = −
≤ ≤
= ⋅ −2
2 21
x x12
2 31
x 1
3 4
x 1 1 2
ql l 3 ql l(z ) qlz (z )
2 4 8 2 4
0 z l/2
d v 3 qz EI M (z) qlz
8 2dz
dv 3 z qz EI ql C
dz 8 2 6
3 z qz EI v ql C z C
8 6 24
l/
− = − − − ≤ ≤
= − = − −
= − − +
= − − + +
22
x x22
2 2 22
x 3
23 3 2
x 2 3 4
1 2 3 4
2 z l
d v 3 ql l EI M (z) qlz (z )
8 2 4dz
dv 3 z ql z ql EI ql z C
dz 8 2 2 2 8
3 ql ql EI v qlz z z C z C
48 12 16
Integracione konstante C ,C ,C ,C odredit ćemo iz početnih u
≤ ≤
= − = − − −
= − − + +
= − − + + +
1 2
1 2
slova,a oni su:
l 1) za x= v v
2l
2) za x= v ' v '2
=
=
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 45
1
2
3 4 3 2 2
1 2 3 4
2 3 3 2 2
1 3
2
3) za x=0 v 0
4) za x=l v 0
3 l ql l 1 l ql l l 1) ql C C ql C C
8 48 24 16 2 48 8 16 4 2
3 l ql 3 l ql l ql l 2) ql C ql C
8 8 48 8 8 2 8 8 2
3)C 0
4)
==
− ⋅ − + ⋅ + = − − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
− ⋅ − + = − ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
23 2
3 4
3 31 3
4
2 4
1 qlql l l C l C
48 16
Kada jedn. 1 do 4 rješimo dobijemo:
9 17 C ql C ql
384 384
ql C 0 C
384Kada ovo uvrstimo u jednačine elastične linije dobijemo:
− − ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= =
= = −
43 3
1x x
2 43 2 3
2x x
1 ql qz 1 9 v z ql z
EI 16 24 EI 384
1 1 ql 1 17 ql v qlz z ql z
EI 48 16 EI 384 384
= − ⋅ − + ⋅
= − − ⋅ + + −
Za nosač i opterećenje na slici: a) Napisati i odrediti jednačinu elastične linije, b) U tački A odrediti ugao nagiba, c) Odrediti ugib u tački B.
RJEŠENJE
a)
ZADATAK br.2
Skripta
Otpornost materijala II 46
( )
22
z A
22
2
2 31
.3 4
I 1 2
z A
z
I POLJE 0 x 2,5
qxa) M R x 38,40x 5x
2
d v EI =- 38,40x-5x
dxdv 5
EI =19,20x x +Cdx 3
EIv =6,4x -0,416x +C x+C
II POLJE 2,5 x 5,5
M =R x-q 2,5(x-1,25)-P(x-2,5)
M =38,40x-25x
≤ ≤
= ⋅ − = −
−
≤ ≤
⋅ ⋅
( )2
2
2
3
3 23 2
II 3 4 3 4
I
+31,25-35x+87,5=-21,6x+118,75
d v EI =- -21,6x+118,75 =-21,6x+118,75
dx
dv -21,6x EI = +118,75x+C
dx 2
-21,6x 118,75x EIv = + +C x+C =-3,6x +59,375x +C x+C
6 2KONTURNI USLOVI:
1) za x=0 v
I II
I II
II
0
2) za x=2,5 v v
3) za x=2,5 v ' v '
4) za x=5,5 v 0
====
2
3 4 3 21 3 4
2 3 21 3
3 23 4
2
1 3
1)C 0
2) 6,4 2,5 0,416 2,5 C 2,5 3,6 2,5 59,375 2,5 C 2,5 C
3) 19,20 2,5 1,66 2,5 C 10,8 2,5 118,75 2,5 C
4)3,6 5,5 59,375 5,5 C 5,5 C 0
1) C 0
2)2,5C 2,5C
=
− ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ +
− ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ +
⋅ − ⋅ + ⋅ + =
=
− − 4
1 3
3 4
1 3
4 3
3 3 3
3 3
C 231,10
3)C C 135,00
4)5,5C C 1197,15
3)C C 135 sada ovo uvrstimo u jedn.br.2)
4)C 5,5C 1197,15
2,5(C 135) 2,5C 5,5C 1197,15 231,10
5,5C 1303,55 C 237
iz
= −− = −
+ =
= − = − +
− − + − = −
= = −
1 4 3.) C = 102 iz4.) C 106,35− =
Skripta
Otpornost materijala II 47
.3 4
I
3 2II
I POLJE
EIv 6,4x -0,416x 102x
II POLJE
EIv =-3,6x +59,375x 237x+106,35
= −
−
3A 4
.3 4
I
I
3B 4
b) Ugao nagiba u tačci A:
dv EI 102
dx102
2,08 10 rad5 10
c) Ugib u tačci B:
EIv 6,4 2,5 -0,416 2,5 102 2,5
EIv 100 16,276 255 171,276
171,276 v 3,425 10 m 0,34
5 10
−
−
=
ϕ = = ⋅⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅= − − = −
= − = − ⋅ = −⋅
2 cm 3,42 mm= −
Za gredu konstantne krutosti opterećenu prema slici,integracijom diferencijalne jednačine elastične linije,odrediti vrijednost max ugiba i nagiba.
RJEŠENJE
0
22
x 0
Intenzitet opterećenja na proizvoljnom rastojanju z od oslonca A je:
z q(z)= q (1)
la vrijednost momenta savijanja je:
1 z z m (z) q l 1 (2)
6 l l
Uvrštavanjem ovog izr
⋅
= ⋅ −
aza u jednačinu elastične linije,dobijamo:
ZADATAK br.3
Skripta
Otpornost materijala II 48
2'' x
2x
2'' 2
x 0
2 2' 3
x x 0 1
3 24
x 0 1 2
m (z)d v v
EIdz
1 z z EI v q l 1
6 l l
1 z 1 z EI v EI q l 1 C
12 l 2 l
1 z 3 z EI v q l 1 C z C
36 l 10 l
Integracione konstante C
= = −
= − ⋅ −
= ϕ = − − +
= − − + +
1 2
32 1 0
2 430
x
x
i C odredit ćemo iz graničnih uslova:
v(0)=0 7 C 0 ; C q l
v(l)=0 360
Unošenjem ovih vrijednosti u izraze za i v,dobijamo:
q l z z EI (z) 7 30 15
360 l l
EI v
= =
ϕ
ϕ = − +
2 440
2 4
x
2
1
q l z z z(z) 7 10 3
360 l l l
Max. ugib javit će se tamo gdje je nagib jednak nuli tj:
z z EI (z) 0 ili 7-30 15 0
l l
rješenjem se dobije:
z 1,730
l
= − +
ϕ = + =
=
2
2
42 40
maxx
z3 ; 0,2697
l
zPošto je,0 < < 1,moguće je samo drugo rješenje tj:
l
z 0,2697 0,5193
l
Vrijednost max. ugiba iznosi:
q l v v(0,5193 l)= 0,5193(7 10 0,5193 3 0,5193 )
360EI
=
= =
= ⋅ − ⋅ + ⋅
40
maxx
30
maxx
30
maxx
q l v 0,00652
EI
Max. nagib javit će se kod desnog oslonca tj:
q l (l) (7 30 15)
360EI
q l
45EI
=
ϕ = ϕ = − +
ϕ = −
Skripta
Otpornost materijala II 49
Čelična greda poprečnog presjeka INP profila,raspona l=6m,opterećena je kontinuiranim teretom q(x) koji je raspodijeljen po zakonu trougla(kao na slici).Najveći intenzitet q0=60 kn/m'.Izabrati poprečni presjek grede ako je sdop=160 N/mm2 i naći max. ugib kao i mjesto na kom se on nalazi.
RJEŠENJE
max
2dop
max max maxx dop z,pot
z dop
63 3
z,pot
2
Dimenzioniranje
M 138,56 kNm
160 N/mm
M M = W
W
138,56 10 W 866 10 mm
160
ODGOVARA: INP 34 sa A=86,8 cm
=
σ =
σ ≤ σ =σ
⋅= = ⋅
3z
4z
2z(x)
2z
W 923 cm
I 15 700 cm
Traženje ugiba :
Md v
EIdx
=
=
= −
ZADATAK br.4
Skripta
Otpornost materijala II 50
3
2
2z
23
2z
2 4
1z
3 5
1 2z
1 2
2
560x xd v 3
EIdx
d v 1 5 60x x
EI 3dx
dv 1 60x 5x C
dx EI 2 12
1 60x 5x v C x C
EI 6 60
Konstante C i C određujemo iz graničnih uslova:
za x=0 v=0 C 0
−= −
= − −
= − − +
= − − + +
=5
31
4 42 2
1
5 43 2
z
42 4 2
z
l za x=l v=0 10 l C l 0
12
l l C 10 l 10 l
12 12
1 x l v 10x 10 l x
EI 12 12
1 5 l v ' 30x x 10 l
EI 12 12
za v'=0 dobi
⋅ − + ⋅ =
= − + = −
= − − + −
= − − + −
( ) ( )
max
42 4 2
4.4 2 2
.4 2
2 2
1,2 1,2 1. .
ja se mjesto za v
5 l 30x x 10 l 0
12 12
l 0,416x 30x 10 l 0
12
0,416x 30x 252 0
30 900 420 30 21,9 x x x 7,89(ne zadovoljava)
0,833 0,833
− + − =
− − + =
− + =
± − ±= = =
2
5 12 53 3
max 5 4z
max
x 3,12m (zadovoljava)
1 x 1 10 3,12 v 10x 252x 10 3,12 252 3,12
EI 12 122 10 15700 10
507 v
=
⋅= − − − = − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= −
12
5 4
1016,1 mm
2 10 15700 10= −
⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 51
Odrediti ugib slobodnog kraja A grede AB, uklještene krajem B i opterećene teretom koji se mijenja po zakonu trougla. Odrediti i ugao obrtanja poprečnog presjeka u tački A.
RJEŠENJE
3
0 0
Primijenimo metod Maksvel Mora. Intenzitet tereta u proizvoljnom presjeku je
x x q(x) q ;M(x) q .
l 6lZamislimo da u tački A djeluje jedinična sila P 1 ; M x.
−
= ⋅ = − ⋅
= = −
l 430
A
0
Traženi ugib:
q l1 q x f ( x)dx .
EI 6l 30EI
Radi određivanja ugla zaokreta poprečnog presjeka A
zamislimo da tamo djeluje M 1 ; tu će vrijednost imati M i u pr
⋅⋅= − ⋅ − =
=
l 320
A
0
oizvoljnom presjeku.
Traženi ugao zaokreta:
q l1 q x ( 1)dx .
EI 6l 24EI
⋅⋅θ = − ⋅ − =
ZADATAK br.5
Skripta
Otpornost materijala II 52
Odrediti ugib i ugao obrtanja slobodnog kraja konzole (tačka A), opterećene teretom koji se mijenja po zakonu trougla.
RJEŠENJE
lx x
A
0
x 0
3
xx 0
l 3 40 0
A
0
Ugib i ugao nagiba dobit ćemo primjenom Maksvel-Morovog integrala:
M M v ds
EI
x q q
l
x M q M x
6l
q x q l1 v xdx
EI 6l 30 EI
Ugao zaokreta dobit ćemo kad u tački A
⋅= ⋅
= ⋅
= − ⋅ = −
⋅ ⋅= − ⋅ =⋅
0
0
postavimo momenat M 1.
Momenat u presjeku x bit će M 1.
=
=
ZADATAK br.6
Skripta
Otpornost materijala II 53
lxx
A
0
l 330
A
0
4 12
A 5 4
9o
A 5 4
M M1 ds
EI 1
q l1 q x ( 1)dx
EI 6l 24 EI
10 3 10 v 5,994 mm
30 2,1 10 2140 10
10 27 10 0,0250 rad 1,434
24 2,1 10 2140 10
⋅θ = ⋅
⋅⋅θ = − ⋅ − =⋅
− ⋅ ⋅= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅θ = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 54
5. STATIČKI NEODREĐENI NOSAČI
Skripta
Otpornost materijala II 55
Dimenzionirati stub datoga okvira kao INP profil,ako je 2dop 160 N/mmσ = .
RJEŠENJE
Prvo odabiremo statički određeni sistem i umjesto st.nepoznatih apliciramo(stavimo) odgovarajuće
nepoznate.
HB
1p1 11 1p 1
11
0
X 0 X
Δ =Δ
⋅ δ + Δ = = −δ
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 56
( )1p
1p
11
11
1
1 160 4 2 40 1 2 5 5 3200 200
EI 2 2 EI
3000
EI1 5 5 2 1 125
2 5 5 10 5 2 250EI 2 3 EI 3
333
EI
3000X 9 kN
333
⋅ ⋅ Δ = ⋅ ⋅ − ⋅ = −
Δ =
⋅ δ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ +
δ =
= − = −
max
xmax dop
x
Štap je napregnut sljedećim silama: F=120 kN
M 45 kNm
max MF - Osnovna formula za dimenzioniranje pošto pretpostavljamo da n
A W
=
σ = + ≤ σ
xmax dop
x
43
xdop
ema
izvijanja
max M - uproštena formula za dimenzioniranje za ovakav slučaj naprezanja
W
max M 45 10 W 281,25 cm
1600
USVOJEN
σ ≈ ≤ σ
⋅= = =σ
3x
2
3 62 2
max dop2 3
O : INP 24 sa W 354 cm
A=46,1 cm
Kontrola napona:
120 10 45 10 26,0 127,1 153,1 N/mm 160 N/mm
46,1 10 354 10
=
⋅ ⋅σ = + = + = < σ =⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 57
Grede A-B i C-D vezane su na sredini raspona i jedna od njih(greda A-B) raspona l1,momenta inercije I1 opterećena je kontinualnim opterećenjem q.Raspon druge grede C-D je l2,a moment inercije I2.Izračunati vrijednost sile na dodiru greda A-B i C-D(tačka E).
RJEŠENJE
E ECD AB
4 3E E1 2AB(q) CD(X)
1 2
3E 1AB(X)
1
3 4 3 42 1 1 1
3 32 1 1 1 2
11 2
v v
5ql Xl v v
384EI 48EI
Xl v
48EI
Xl 5ql Xl 5ql X=
48EI 384EI 48EI l l8I
I I
=
= =
= −
= −
+
ZADATAK br.2
Skripta
Otpornost materijala II 58
Za dati kontinualni nosač ABC uraditi sljedeće: a) Nacrtati dijagrame M i T,
b) Odrediti dimenzije poprečnog presjeka ako je on dat i ako je 2dop 180 N/mmσ = .
RJEŠENJE
1Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sistemu od vanjskog opterećenja i od statički nepoznate X
imaju sljedeći oblik:
1C 1
2
C 11
C 1p
I I I 1,25
I
1,7143 3,0 2 1,7143 4,0 2 EI 1,7143 1,7143 1,25 7,837
2 3 2 364,29 1,5 2 4,29 1,5 68,58 4,0 2
EI 0,8571 64,29 1,5 1,2857 1,4286 1,7143 1,252 3 2 2 3
2 19,99 4,0
3
= =
⋅ ⋅δ = ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅δ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
+ ⋅
C 1p
1p11 1 1p 1
11
0,8571 1,25
EI 27,55 123,99 4,60 195,94 57,11 409,19
409,19X 0 X 52,21 kN
7,837
⋅ ⋅
δ = + + + + =
δδ + δ = = − = − =
δ
ZADATAK br.3
Skripta
Otpornost materijala II 59
Dijagram momenata savijanja na statički neodređenom nosaču je:
max
2dop
Mjerodavni momenat savijanja za dimenzioniranje i prvog dijela(A-B) i drugog dijela(B-C):
M 20,92 kNm - momenat savijanja nad osloncem B
180 N/mm
=
σ =
[
6pot 3 3z
3z
4z 1
2 4z 2
stvz
20,92 10 W 116,2 10 cm - za dio A-B i B-C
180
dio A-B
odgo var a INP 16
sa W 117 cm
I 935 cm I
dio B-C
I proba 2 NP 16
I 2 85,3 24,0 4,34 1074 cm I
W
⋅= = ⋅
=
= =
= + ⋅ = =
[
3 potz
41 2
4z
119 cm W
USVOJENO: 2 NP 16
I 1,25I 1342 cm
odgo var a : INP 18 sa I 1450 cm
USVOJENO: INP 18
= ≈
= =
=
Skripta
Otpornost materijala II 60
Za nosač prikazan na slici nacrtati dijagrame presječnih sila zanemarujući uticaj normalnih i transverzalnih sila na deformaciju.
RJEŠENJE
Nosač je jedanput statički neodređen.Za statički nepoznatu veličinu usvajamo oslonački moment u tački
A.Usvojeni osnovni sistem je prikazan na sljedećoj slici.
1
1 11 10 11 10
21 01
11 100S
Statički nepoznatu veličinu X odredićemo iz deformacijskog uslova:
X 0 , gdje su i Maxwell-ovi uticajni koeficijenti,koji su dati izrazima:
M MM ds , ds
EI EI
δ + δ = δ δ
δ = δ =S
0 1
1 0 1
gdje su M i M momenti savijanja u osnovnom sistemu(koji je statički određen) od zadatog vanjskog
opterećenja,odnosno od statički nepoznate sile X =1,0.Dijagrami M i M su nacrtani na sljedećoj sli
ci:
ZADATAK br.4
Skripta
Otpornost materijala II 61
11
10
101
11
Koristeći Vereščaginovo pravilo("množeći dijagrame momenata"),imamo:
4 0,5 2 5 0,5 2 EI 4 0,5 0,5 0,5 0,5 1,75
2 3 2 3100 4,0 0,5 100 5,0 2
EI 0,5 0,5 216,672 3 2 3
216,67X 12
1,75
⋅ ⋅δ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ δ = − + − ⋅ = −
δ −= − = − =δ
0 1 1
3,81 kNm
Moment savijanja u proizvoljnom presjeku zadatog sistema dobijemo pomoću izraza:
M=M X M
Dijagrami presječnih sila prikazani su na sljedećoj slici:
+
Za zadati nosač na slici odrediti vertikalno pomjeranje tačke 3.Svi štapovi su kružnog poprečnog presjeka poluprečnika R.Za pop.presjek u uklještenju izračunati max.ekvivalentni napon prema III hipotezi.
ZADATAK br.5
Skripta
Otpornost materijala II 62
RJEŠENJE
Nosač je jedanput statički neodređen i za statički nepoznatu veličinu usvajamo silu veze u čvoru 2.
1 11 10
C i zi zj z yi yj y ti tj t
S S S
4 4
C yik zik tik
Statički nepoznatu odredit ćemo iz uslova: X 0
EI M M ds M M ds M M ds (i=1,2,...; j=0,1,...)
R R I I I ; I
4 2
Redukovane dužine štapova rač
⋅ δ + δ =
δ = + +
π π= = = =
C C Czik ik yik ik tik ik
zik yik tik
zik yik ik tik ik ik
unaju se pomoću sljedećih izraza:
I I EI S S S S S S
I I GI
1 1 S S S S S 1,25 S
0,4 2
Redukovanedužine sada su:
= = =
= = = ⋅ = ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 63
.
C 11
C 10
1 .
1 2 4,0 4,0 2 EI 3,0 3,0 3,0 4,0 3,0 5,0 3,0 75,33
2 3 2 31 3 1 2
EI 45 3,0 3,0 200 4,0 4,0 45 5,0 3,0 1842,923 4 2 3
1842,92X 24,5 kN
75,33
⋅δ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
δ = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = −
−= − =
y y t tz zi z y
z y tS S S
M M M MM MdS dS dS
EI EI GIδ = + +
C i z z0 z y y0 y
S S
3C i C 3
12
3 3 5 9
e
(u našem slučaju je 0)
EI M M dS M M dS
102 4,0 2 EI EI v 4,0 544 kNm
2 3
544 10 v 2,176 mm
2,5 10 10
Max.napon javit će se u tački 4 u poprečnom presjeku I-I:
δ = +
⋅δ = = ⋅ =
⋅δ = = =⋅ ⋅
σ =
2 2
62
9
62
t 9
2 2e
2e
4
102 10 377,7961 19,26 N/mm
210
28,5 10 377,7961 2,69 N/mm
22 10
19,26 4 2,69
19,99 N/mm
σ + τ
⋅σ = ⋅ =
⋅τ = ⋅ =⋅
σ = + ⋅
σ =
Skripta
Otpornost materijala II 64
Za zadati nosač odrediti vertikalno pomjeranje napadne tačke sile F.Svi štapovi su kružnog poprečnog presjeka poluprečnika R.
1
RJEŠENJE
Nosač je jedanput statički neodređen i za statički nepoznatu veličinu usvajamo silu veze u čvoru 4.
Osnovni sistem i svi potrebni dijagrami za određivanje statički nepoznate veličine X prikazani su
na sljedećim slikama:
ZADATAK br.6
Skripta
Otpornost materijala II 65
1
1 11 10
C ij zi zj z yi yj y ti tj t
S S S
Statički nepoznatu X odredit ćemo iz uslova:
X 0 ... 1
gdje je:
EI M M ds M M ds M M ds (i=1,2,..., j=0,1,...) ... 2
Redukovane dužine štapova su date
⋅ δ + δ =
δ = + +
C C Czik ik yik ik tik ik
zik yik tik
4 4
zik yik tik
4
C
zik yik ik
izrazima:
I I EI S S S S S S
I I GI
Kako je u našem slučaju:
R R I I I
4 2
Ra ako usvojimo: I
4dobijamo :S S S
= ⋅ = ⋅ = ⋅
π π= = =
π=
= =
tik ik
1 1S = S
0,4 2
Vrijednosti redukovanih dužina su date na sljedećoj slici:
⋅ ⋅
C 11
C 10
Shodno izrazu 2 dobijamo:
3,0 3,0 2 6,0 6,0 2 EI 3,0 6,0 3,0 7,5 3,0 148,5
2 3 2 31 3 360 6,0 2
EI 45 3,0 3,0 90 6,0 3,0 6,0 45 7,5 3,0 7053,753 4 2 3
Kada ovo uvrstimo u jednačinu 1 dobijamo:
⋅ ⋅δ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅δ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = −
1
7053,75 X 47,5 kN
148,5
Sada osnovni sistem izgleda kao na sljedećoj slici,kao i dijagrami momenata savijanja i torzije:
−= − =
Skripta
Otpornost materijala II 66
y tz y tzi
z y tS S S
z y t
Sada traženo pomjeranje možemo dobiti pomoću izraza:
M M M MM M dS dS dS ... 3
EI EI GI
gdje su: M ,M i M statički uticaji u zadatom sistemu uslijed jedinične generalisane sile ko
δ = + +
z y t
ja ne
odgovara traženom generalisanom pomjeranju(u našem slučaju jedinična vertikalna sila u tački 3).
Može se pokazati da bi se dobio potpuno isti rezultat ako bi se umjesto veličina M ,M i M u
izr z0 y0 t0azu 3 uzele veličine M ,M i M tj.uticaji uslijed jedinične generalisane sile u osnovnom
sistemu.Poslije izvedenih transformacija jednačina 3 prelazi u oblik:
z0 y0 t0C i z z y y t t
S S S
EI M M ds M M ds M M ds
Na sljedećoj slici su nacrtani dijagrami momenata savijanja i torzije u osnovnom sistemu uslijed jedi-
-nične vertikalne sile u tački 3.
δ = + +
3C i C 3
5 2C z y
12
i 3 5 9
3,0 90 2 75 6,0 2 EI EI v 3,0 90 6,0 6,0 3,0 6,0 5085 kNm
2 3 2 3
EI EI EI 3 10 kNm
5085 10 v 16,95 mm
3 10 10
⋅ ⋅ δ = = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + =
= = = ⋅
⋅δ = = =⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 67
Kraj konzole A-B vezan je pomoću elastične zatege E-B sa sredinom proste grede C-D.Greda i kozola su istog poprečnog presjeka.Površina poprečnog presjeka zatege je A=30 cm2, dok su greda i kozola izrađene od INP 20.Izračunati: a) Silu u zatezi E-B, b) Max. normalni i max. tangencijalni napon na gredi C-D i nacrtati im dijagrame.
RJEŠENJE
a)
C-D A-BE B
3C-DE
4 3A-B 1 1B
4 331 1
9
Nosač je jedanput statički neodređen i rješit ćemo ga iz sljedećeg uslova:
v h v
X l X h v ; h
48EI EA
q l X l v
8EI 3EI
q l X lX l X h
48EI EA 8EI 3EI
X 64 10
48
+ Δ =
⋅ ⋅= Δ =
⋅ ⋅= −
⋅ ⋅⋅ ⋅+ = −
⋅ ⋅E
3
4
X 2 10
2140 10 E
⋅ ⋅+⋅ ⋅
12
2 4
20 16 10
30 10 8 2140 10 E
⋅ ⋅=⋅ ⋅ ⋅ ⋅
9
4
X 8 10
3 2140 10 E
⋅ ⋅−⋅ ⋅
.5 62,304 X+0,666X 18,688 10 124,6104X X=10 kN⋅ = ⋅ −
ZADATAK br.7
Skripta
Otpornost materijala II 68
b)
Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka:
4 3z z
z1
3z2
3z3 z2
3z4
I 2140 cm W 214 cm
S 0
S (1,13 9) 9,435 95,95 cm
S S 95,95 cm
S (1,13 9 9,435) 0,75 8,87 4,435 125,45 cm
Maximalni normalni napon i tangencijalni naponi po t
= ==
= ⋅ ⋅ =
= =
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
61 2max
max x max 4z
1
3 32 2max z2
4z 2
3 33 max z3
4z 3
ačkama 1,2,3 i 4:
M 10 10 y 10 10 46,7 N/mm
I 2140 10
0
T S 5 10 95,95 10 0,25 N/mm
I t 2140 10 9 10
T S 5 10 95,95 10 2,99 N/
I t 2140 10 0,75 10
⋅σ = σ = = ⋅ ⋅ =⋅
τ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
3 34 2max z4
max 4z 4
mm
T S 5 10 125,45 10 3,91 N/mm
I t 2140 10 0,75 10
Dijagrami normalnog i tangencijalnog napona su:
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = τ = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 69
Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame momenata.
RJEŠENJE
4 9 2z1 z1
4 9 2z2 z1
I 24 - I 4250 cm EI 8925 10 Nmm
I 20 - I 2140 cm EI 4494 10 Nmm
= = ⋅
= = ⋅
Progib tačke D uslijed sile F:
D
z1
12
9
1 1 2v 10 2 2 2
EI 2 3
33,33 10 = 3,73 mm
8925 10
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ =⋅
Progib tačke E uslijed opterećenja na gredi AB: Progib tačke E od momenta je 0.
ZADATAK br.8
Skripta
Otpornost materijala II 70
12
E 9z2
1 1 2 2 1 84,375 10v 2 22,5 3 1,5 3 11,25 1,5 18,78 mm > (5+3,73)=8,73 mm
EI 2 3 3 2 4494 10
Sistem je statički neodređen.
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = ⋅
OSNOVNI SISTEM
Dopunski uslov:
F X1 q X1D D E E
FD D
qE E
3 3 12X1 1 1 1D 19
z1
3 3 12X1 1 2 1E 19
z2
1 1
1
5
v 3,73 mm
v 18,78 mm
X l X 4 102,39X
3EI 3 8925 10
X l X 6 101,00X
48EI 48 4494 10
3,73 2,39X 5 18,78 1,00X
X 2,96 kN
Δ + Δ + = Δ − Δ
Δ = =
Δ = =
⋅ ⋅ ⋅Δ = = =⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅Δ = = =⋅ ⋅
+ + = −
=
Dijagrami momenata su prikazani na sljedećoj slici:
Skripta
Otpornost materijala II 71
Konzola CD uklještena je u tački D, a u tački C zavarena je za gredu AB. Odrediti ugib tačke C ako je poprečni presjek konzole INP 20, a poprečni presjek grede INP 30, a opterećenje je kao na slici.
C CC-D A-B
RJEŠENJE
Zadatak je jedanput statički neodređen i riješit ćemo ga iz sljedećeg uslova:
v v=
4 3 12 3
5 4 5 4 5 4 5 4
4 5
4
4
20 2000 X 2000 11 20 10 X 4000
8 2 10 2140 10 3 2 10 2140 10 6 2 10 9800 10 48 2 10 9800 10
9,346 6,230 x 10 1,871 6,803 10 X
7,475 6,9103 10 X
X 10,817 10 N 10,817 kN
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ =
4 3
C20 20
4C
C
q l X lv
8EI 3EI
v 9,346 6,230 10 10,817
v 2,607 mm
−
⋅ ⋅= −
= − ⋅ ⋅=
ZADATAK br. 9
Skripta
Otpornost materijala II 72
Za dati nosač i opterećenje na slici nacrtati dijagrame M, T i N. U presjeku udaljenom od oslonca A 2m nacrtati dijagram normalnog napona.
B BABC BD
4 31 1 2
z z 2
12 9 3
5 4 5 4 5 2
BV
RJEŠENJE
v l
q l x l x l5
384 EI 48EI EA
5 40960 10 x 512 10 x 3 10
384 2 10 2140 10 48 2 10 2140 10 2 10 33,5 10
x( R ) 49,923 kN
= Δ
⋅ ⋅ ⋅⋅ − =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
ZADATAK br. 10
Skripta
Otpornost materijala II 73
2
4 4z z
62
x,max 3min
Dijagram normalnog napona
10 2M(x 2) 15,038 2 10,076 kN
2
INP 20 I 2140cm W 214cm
10,076 1047,08 N / mm
214 10
⋅= = ⋅ − =
= =
⋅σ = ± =⋅
Nosač AC na slici, čiji je poprečni presjek INP 36 vezan je u tački B za oprugu BD, čija je krutost 20kN/cm. Odrediti intenzitet opterećenja q ako je σdop=145 N/mm2, a E=2,1⋅105 N/mm2.
RJEŠENJE
ZADATAK br. 11
Skripta
Otpornost materijala II 74
t
t
xB B q tAC opr AC B B opr
xq tB B
q1 q2B B B
2q1B
z z
2q2B
z
x v v v v
kx
v vk
v v v
1 1 2 q 6 1 92,1669q v 7,69q 6 1,71 6 1,285 7,69q 4,5 1,71
EI 2 3 8 2 EI
1 1 2 q 4,5 v 5,82q 6 1,71 4,5 1,2
EI 2 3 8
= Δ = − Δ =
− =
= +
⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
t
z
Bz
x tB t t
z z
912t t
5 4 5 4
t
1 62,0q85 5,82q 4,5 1,71
2 EI
154,1669q v
EI
23,0721x1 1 1 v 2,57x 6 1,71 2,57x 4,5 1,71
EI 2 2 EI
23,0721 10 x x154,1669 10
20002,1 10 19610 10 2,1 10 19610 10
x
+ ⋅ ⋅ ⋅ =
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅⋅ − =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
[ ]3,5308q kN=
6
3
6,9818 10 q 145
1090 10 q 22,63 kN / m
⋅ ⋅ ≤⋅
=
Skripta
Otpornost materijala II 75
Prosta greda A-B vezana je u tački C za vješaljku.Odrediti za koliko možemo da povećamo temperaturu da bi naponi ostali u dozvoljenim granicama.
Podaci za profile:
[4 3
min z
min z
NP 20 INP 40
I 148 cm W 1460 cm
i 2,14 cm I 29 210 cm
= =
= = 4
2A=32,3 cm
RJEŠENJE
C CAB CD
33max
max dop3z z z
4dop2
i
min
v l - uslov zadatka
A-B
X lM X l X 10 104 1,712 10 XW W 4W 4 1460 10
C-D
X X 3,0959 10 X
A 32,3 10
l 500 233 100 ... važi Ojlerov iz
i 2,14
−
−
= Δ
⋅⋅ ⋅ ⋅σ = = = = = ⋅ ≤ σ
⋅ ⋅
σ = = = ⋅ ≤ σ⋅
λ = = = >
3 2 3dop
2 2 5 43min
krit 2 2i
krit
raz za kritičnu silu
A-B
1,712 10 X 140 N/mm X=81,775 10 N=81,775 kN
C-D
EI 2,1 10 148 10 x 122,698 10 122,698kN
l 5000
x 122,698 X= 47,19 kN
n 2,6
USVOJENO : X=4
−⋅ ≤ σ = ⋅
π π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =
= =
7,19 kN
ZADATAK br.12
Skripta
Otpornost materijala II 76
C CAB CD
3C 1AB
z
C 2CD 2
2
31 2
2z 2
3 3 31 2
2 5 4z 2
v l - uslov iz koga ćemo naći temperaturu
X l v
48EI
X l l t l
EA
X l X l t l
48EI EA
X l X l 47,19 10 10000 47,19 t l
48EI EA 48 2,1 10 29210 10
= Δ
⋅=
⋅Δ = α ⋅ Δ ⋅ −
⋅ ⋅= α ⋅ Δ ⋅ −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅α ⋅ Δ ⋅ = + = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3
5 2
2
7
10 5000
2,1 10 32,3 10
t l 16,0272 0,3479
125 10 t 5000 16,3751 t 262 C−
⋅⋅ ⋅ ⋅
α ⋅ Δ ⋅ = +
⋅ ⋅ Δ ⋅ = Δ =
Skripta
Otpornost materijala II 77
RJEŠAVANJE KONTINUALNIH NOSAČA METODOM TROMOMENTNIH JEDNAČINA
Za zadati kontinualni nosač nacrtati dijagrame presječnih sila.
RJEŠENJE
1 1 AA B
L D1 1 2 2 B B
A B C
2
C
A
LB
3 3D 2B
Klapejronove jednačine za zadati nosač,glase:
l l R 2M M 6
2I 2I 2I
l l l l R R M 2M M 6 gdje su:
2I 2I I I 2I I
4 M 20 160 kNm
2
R 0
R 0
ql 20 10 R
24 2
+ = −
+ + + = − +
= − ⋅ = −
=
=
⋅= = 2
A B
A B
A
B
833,33 kNm4
Kada ovo uvrstimo u Klapejronove jednačine,dobijemo:
2M M 0
M 6M 680
Rješavanjem ovih jednačina,dobijemo:
M 61,82 kNm
M 123,63 kNm
Dijagrami presječnih sila prikazani su
=
+ =+ = −
== −
na sljedećoj slici:
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 78
Za zadati kontinualni nosač nacrtati dijagrame presječnih sila.
RJEŠENJE
B C
3
B C
C B
Pošto su i nosač i opterećenje simetrični,onda je M M .Zbog ovoga je dovoljno napisati jednu
jednačinu triju momenata:
12 5 2M (5 6) M 6 6
24 M M 13,4 kNm
Mjesto max.momenta:
A-q x=0
x
=
⋅+ + ⋅ = −
= = −
⋅
2
A 27,2= 2,27 m
q 12
q 2,27maxM=A 2,27- 30,8 kNm
2
Dijagrami presječnih sila su:
= =
⋅⋅ =
ZADATAK br.2
Skripta
Otpornost materijala II 79
Skripta
Otpornost materijala II 80
6. SLOŽENA NAPREZANJA
Skripta
Otpornost materijala II 81
Za zadati nosač i opterećenje prema slici potrebno je odrediti potrebnu širinu presjeka b ako je σdop=160 Mpa. F=70 kN q=25kN/m a=100 cm =30o
RJEŠENJE
x
A A y
Cx x
2
B Cy Cy
2
C B B
x 0 G 70 cos30 60,62 kN
M 0 R G 17,5 kN
x 0 R G 60,62 kN
3 M 0 25 17,5 2 R 3 R 25,83 kN
2
3 M 0 25 17,5 5 R 3 R 66,6
2
= = ⋅ = = = =
= = =
= ⋅ − ⋅ = ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = ⋅ =
7 kN
Mjerodavan presjek za dimenzioniranje bit će presjek B:
M 35 kNm; N 60,62 kN; T 49,17 kN= = =
ZADATAK br. 1
Skripta
Otpornost materijala II 82
( )
33
3 3 5y
Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka:
b A 140 b b 140 20 44b
5
bb 120
b 140 1 45 I 140 120 b 1,134667 10 b
12 12 12 5
Potrebnu širinu presjeka dobivamo iz uslova maks
= ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ ⋅ = − = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅
N M dopy
dop5
5 5dop
5
5dop
imalnih normalnih naprezanja:
N M h
A I 2
N M 70
44b 1,134667 10 b
N 1,134667 10 44M 70 44 1,134667 10 b
N 1,134667 10 44M 70 b
44 1,134667 10
b 143,56 mm
σ = σ + σ = + ⋅ ≤ σ
+ ⋅ ≤ σ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ≤ σ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅≥σ ⋅ ⋅ ⋅
≥
Za štapni konzolni nosač kružnog poprečnog presjeka prečnika D=5 cm potrebno je: a) Nacrtati dijagrame presječnih sila. b) Odrediti kritičan presjek na nosaču mjerodavan za dimenzioniranje, te kritičnu tačku na
poprečnom presjeku.
c) Odrediti dopuštenu sili F prema IV hipotezi o slomu ( )2 2ekv 3σ = σ + τ
RJEŠENJE
a) Dijagrami presječnih sila
ZADATAK br. 2
Skripta
Otpornost materijala II 83
b) Kritičan presjek nalazi se na ležaju.
N 2 2
M 3 3 3
N M 2 3
T4 3 3
p
N 2 F 2 F 8 F 0,1019F
A A D D4
M 2 F l 64 F l 64 25 F 4,0744F
W D D 532
8 64 F l F 4,1763F
D DM D 2 F l D 32 l 32 25
F F 2,0372FI 2 2D D 5
32
c) Dopuštena s
⋅ ⋅σ = = = = ⋅ =π π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = = = = ⋅ =π ⋅ π ⋅ π ⋅
⋅ ⋅σ = σ + σ = ⋅ + =π π ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =π ⋅ π ⋅ π ⋅
2 2 2 2EKV dop dop dop
3dop2 2
dop
ila F prema II i V teoriji čvrstoće:
Druga teorija čvrstoće:
1 1 1 0,3 1 0,3 4 4,1763F 4,1763 4 2,0372 F
2 2 2 21 N
5,25418 F 18 10cm cm
F 3426 N
Peta teorija čv
− ν + ν − +σ = ⋅ σ + ⋅ σ + τ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ σ
⋅ ⋅ ≤ ⋅
≤
2 2 2 2EKV dop dop
3dop2 2
dop
rstoće:
3 4,1763 3 2,0372 F
1 N 5,4674 F 18 10
cm cm F 3292 N
σ = σ + τ = + ⋅ ≤ σ
⋅ ⋅ ≤ ⋅
≤
Skripta
Otpornost materijala II 84
Izvršiti dimenzioniranje nosača gradilišne ograde ako joj je poprečni prejsek prstenastog oblika debljine stijenke t=4 mm, a σdop=160 Mpa. U tački C konstruisati (nacrtati) dijagram normalnog napona.
RJEŠENJE
max
max
zmax d
z
1
4 44 3
z z
3 6maxx 2 3
Dimenzioniranje: tačka C
M 3,71 kNm
N 1,5 kN
MN
A W
D 93 mm D 93 8 85 mm
93 85 I 110,96cm W 23,862cm
64 64
1,5 10 3,71 10
11,184 10 23,822 10
== −
σ = − − ≤ σ
= = − =
π π= − = =
⋅ ⋅σ = − − = −⋅ ⋅
2
3 6min 2x 2 3
157,1 N / mm
1,5 10 3,71 10 154,2 N / mm
11,184 10 23,822 10
⋅ ⋅σ = − + =⋅ ⋅
ZADATAK br. 3
Skripta
Otpornost materijala II 85
Konzola AB opterećena je kontinuiranim opterećenjem q=15 kN/m i aksijalnom silom F=200 kN. Izračunati najveći normalni napon ako je poprečni presjek INP 16.
2
3z
2 2
z max
3 62z
max 2 3z
3 6z
max 2z
RJEŠENJE
za I NP 16 A 22,8 cm
W 117 cm
q l 15 l m m 7,5 kNm
2 2
mF 200 10 7,5 10 151,8 N/mm
A W 22,8 10 117 10
mF 200 10 7,5 10
A W 22,8 10 117
=
=
⋅ ⋅= = = =
⋅ ⋅σ = + = + =⋅ ⋅
⋅ ⋅σ = − = −⋅ ⋅
23
23,6 N/mm10
=
ZADATAK br. 4
Skripta
Otpornost materijala II 86
Dimenzionirati konzolu AB opterećenu prema slici kao INP profil ako je σdop=160 N/mm2.
RJEŠENJE
zmax
z
x
z
3 62
x,max dz
3z
MF y
A I
F F cos15 15 0,966 14,5 kN
m F sin15 5,8 15 0,259 5,8 22,5 kNm
14,5 10 22,5 10 145 N / mm
A W
Iz tablica : odgovara I NP 18 sa: W 161 cm
σ = − ± ⋅
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅σ = − ± ≤ σ =
=
2 A 27,9 cm=
ZADATAK br. 5
Skripta
Otpornost materijala II 87
3 62
x,max 2 3
kontrola napona :
14,5 10 22,5 10 5,2 139,7 144,9 145,0 N / mm
27,9 10 161 10
Kod dimenzioniraja sa valjanim profilima uvijek se zanemaruje uticaj aksijalne sile, a usvoji se poznati
odnos
⋅ ⋅σ = − ± = − − = − ≤⋅ ⋅
zz
y
z
Wza i onda se dobije potrebni otporni momenat W , ali se iz tablica uzima nešto veći otporni
W
momenat W od potrebnog zbog toga što prilikom dimenzioniranja nismo uzimali u obzir uticaj
aksijalne sile.
Čelični štap ABC kvadratnog poprečnog presjeka 3x3 cm,čija je osa polukružna linija,krajem C je uklješten u zid,a na slobodnom kraju opterećen silom P=1 kN(kao na slici).Odrediti max. ekvivalentne napone u poprečnim presjecima B i C štapa po hipotezi najvećeg smičućeg napona.Taokođer,odrediti vertikalno pomjeranje tačke A.
RJEŠENJE
f
Sila P izaziva savijanje i torziju štapa ABC.U proizvoljnom poprečnom presjeku "mn"
nagnutom prema poprečnom presjeku A pod uglom (vidi sliku),je momenat savijanja:
M P HA PR sin ,
a momenat torzije:
ϕ
= ⋅ = ϕ
t M P HK PR(1 cos ).= ⋅ = − ϕ
ZADATAK br.6
Skripta
Otpornost materijala II 88
f t
. .2 2f
max 3 3f
U poprečnom presjeku B, za = , M M PR.Najveći normalni napon uslijed savijanja u tom 2
presjeku iznosi:
M 6PR 6 1 20 4,44 kN/cm 44,44 N/mm
W a 3
Najveći tangencijalni napon uslijed torzi
πϕ = =
⋅ ⋅σ = = = = =
2 2tmax 3 3
t
je u istom presjeku je:
M PR 1 20 3,56 kN/cm 35,6 N/mm (za kvadratni pop.presjek =0,208)
W a 0,208 3
Maximalni ekvivalentni napon prema III hipotezi o čvrstoći materijala za presjek B
⋅τ = = = = = ββ ⋅ ⋅
III 2 2 2 2 2ekv max max
f t max max
2
iznosi:
max 4 44,44 4 35,6 83,93 N/mm
U poprečnom presjeku C, za = , M 0, M 2PR.Pr ema tome je 0,a 2 2 35,6
71,2 N/mm .Pr oračunski napon za taj presjek je:
ma
σ = σ + τ = + ⋅ =
ϕ π = = σ = τ = ⋅ τ = ⋅ =
=III 2 2ekv max maxx 4 2 2 71,2 142,4 N/mm
Poprečni presjek C se nalazi u težim uslovima nego presjek B.
σ = τ = ⋅ τ = ⋅ =
Pomjeranje kraja A štapa ABC u pravcu djelovanja sile P određujemo pomoću Kastiljanove
teoreme.Pri tome uzimamo u obzir potencijalnu energiju savijanja i torzije štapa.Za element štapa d
22tf
f tf t
22tf
f tf t
u-
-žine ds=Rd potencijalna energija savijanja i torzije iznosi:
M RdM Rd dU dU
2EI 2GI
Potencija ln a energija zapremine cijelog štapa iznosi:
M RM R U= U U
2EI 2GI
ϕ
ϕϕ+ = +
+ = +
0
tftf
tA
f t0
44 2 4t t
f t
d
Po Kastiljanovoj teoremi:
MM M RM R PU P f = dP 2EI GI
M M aPošto je R sin , R(1 cos ), G=8 10 N/mm 0,4E, I , I a ,
P P 12gdje je za kvadratni poprečni pr
π
π
⋅ ϕ
∂ ∂ ∂∂ ∂ = + ⋅ ϕ
∂
∂ ∂= ϕ = − ϕ ⋅ = = = α ⋅
∂ ∂
3 22
A 40
3 3 4
4 4 4 3
esjek =0,14 (iz tablica),pa je:
PR (1 cos ) f = 12sin d
0,4Ea
3 PR E 3 3,14 1,0 20 2 10 2 2 0,514 cm
2Ga E 3 2 10 2 8 10 0,14
π
α
− ϕϕ + ⋅ ϕ = α
π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + = + = α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 89
Za dati nosač prikazan na slici nacrtati dijagrame presječnih sila i odrediti ekstremne vrijednosti normalnih napona na dijelu nosača CD.
RJEŠENJE
Dijagrami presječnih sila
ZADATAK br. 7
Skripta
Otpornost materijala II 90
Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka su:
( )
21
22
21 2
T
T
3 3 3 2 2 4z
A 2 1,5 7,0 1,0 20,0 41,0 cm
A 1,5 8 12,0 cm
A A A 53,0 cm
12 ( 11,5) z 2,604 cm
53,0
12 ( 9,25) y 2,094 cm
53,0
1 I 8 20 7 17 8 1,5 41,0 2,094 12 7,156 3264 cm
12
= ⋅ ⋅ + ⋅ =
= ⋅ =
= + =⋅ −= = −
⋅ −= = −
= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
( )3 3 2 2 3 2 4y
4xy
22
1,2
1
1 1I 20 1,0 2 1,5 7 2 7 1,5 4,0 41,0 2,604 1,5 8 12 8,896 1715 cm
12 12
I 2 7 1,5 4,0 9,25 41,0 2,604 2,094 12 ( 8,896) ( 7,156) 1764 cm
3264 1715 3264 1715 I (1764)
2 2
I
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − =
+ − = ± +
= 4
42
2 2 21 1
4416 cm
I 563 cm
2 1764 tg2 2,2776
3264 1715
2 66 30 33 15
sin 0,5468 cos 0,8373
Poluprečnici elipse inercije:
4416 i i 9,128 cm i i 83,32 cm
53ξ ξ
=⋅ϕ = =
−ϕ = ϕ =
ϕ = ϕ =
= = = = =
Skripta
Otpornost materijala II 91
2 2 22 2
x
563 i i 3,259 cm i i 10,62 cm
53
Proizvoljni poprečni presjek na dijelu CD nosača, izložen je momentu savijanja M 16,0 kNm i
normalnoj sili N 6,928 kN. Ovo naprezanje je ekvivalentno ek
η η= = = = =
== −
zy
sentričnom naprezanju silom
pritiska istog intenziteta sa napadnom tačkom A koja leži na y osi, a na rastojanju:
M 16,0 e 0,2309 m 23,09 cm
N 69,28
Koordinate napadne tačke sile A u sistemu glavn
= − = − = =−
A A
A A
2 2
2 2
0
2
0
ih osa su:
e y sin 23,09 0,5468 12,63 cm
e y cos 23,09 0,8373 19,33 cm
Jednačina neutralne ose glasi:
e e 1+ 0
i i
gdje su:
i 3,259 0,841 cm
e 12,63
i
e
ξ
η
ξ η
η ξ
η
ξ
ξ
η
= ξ = ⋅ ϕ = − ⋅ = −
= η = ⋅ ϕ = ⋅ =
⋅ ξ + ⋅ η =
ξ = − = − =−
η = −29,128
4,31 cm19,33
Maksimalni naponi javit će se u tačkama E i F koje su najudaljenije od neutralne ose.
U koordinatnom sistemu z0y imaju koordinate:
E(2,104, 12,094)
F(3,1
= − = −
E
E
F
04, 7,906)
U koordinatnom sistemu 0 imamo:
z cos y sin
=z sin y cos
2,104 0,8373 12,094 0,5468 4,85 cm
2,104 0,5468 12,094 0,8373 11,27 cm
3,104 0,8373 7,906
−
ξ ηξ = ⋅ ϕ + ⋅ ϕμ ⋅ ϕ + ⋅ ϕ
ξ = ⋅ − ⋅ = −η = ⋅ + ⋅ =ξ = ⋅ + ⋅
F
z E,F E,F2 2
3 3 3E 2z 2 4 4
Fz
0,5468 6,92 cm
3,104 0,5468 7,906 0,8373 4,92 cm
e eF1+
A i i
69,28 10 69,28 10 19,33 10 69,28 10 12,63 1011,27 10 4,85 10 122,62 N/mm
53 10 4416 10 563 10
69,
η ξ
ξ η
=η = ⋅ − ⋅ = −
σ = ⋅ ⋅ η + ⋅ ξ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −
⋅ ⋅ ⋅
σ = −3 3 3
22 4 4
28 10 69,28 10 19,33 10 69,28 10 12,63 104,92 10 6,92 10 109,4 N/mm
53 10 4416 10 563 10
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 92
Za dati nosač odrediti u kojim tačkama se javljaju ekstremne vrijednosti ekvivalentnih napona, koristeći četvrtu hipotezu o slomu materijala.(Teorija najvećeg deformacionog rada pri promjeni oblika).
ZADATAK br.8
Skripta
Otpornost materijala II 93
RJEŠENJE
( )
IV 2 2ekv max max
z,maxK 2 2 1 1x
z z
z,maxL 2 2 1 1x
z z
t tmax
p p
22
3 ... četvrta hipoteza
MF F F l
A W A W
MF F F l
A W A W
M M D d ... zanemaruje se uticaj T-ne sile = 0,7
W I 2 D
D A 1
4
σ = σ + τ
⋅σ = − + = − +
⋅σ = − − = − −
τ = = ⋅ Ψ =
π= − Ψ ( )
( ) ( )
( )
22 2
4 34 4
z
34 3
z
3p z
3 6K 2x 2 3
L 2x
max L K
101 0,7 40 cm
4
D 2 D W 1 1
64 D 32
10 W 1 0,7 74,6 cm
32
W 2W 149,2 cm
80 10 5 0,42 10 20 28,1 8,1 N/mm
40 10 74,6 10
20 28,1 48,1 N/mm
5 0
π= − =
π π= − Ψ ⋅ = − Ψ
π= − =
= =
⋅ ⋅ ⋅σ = − + = − + =⋅ ⋅
σ = − − =
⋅τ = τ = τ =6
23
IV 2 2 2 2 2ekv,K K K
IV 2 2 2 2 2ekv,L L L
,66 1022,1 N/mm
149,2 10
3 8,1 3 22,1 39,1 N/mm
3 48,1 3 22,1 61,5 N/mm
⋅ =⋅
σ = σ + τ = + ⋅ =
σ = σ + τ = + ⋅ =
Skripta
Otpornost materijala II 94
Za nosač i opterećenje:
a) Izvršiti dimenzioniranje nosača ako je σdop=160 N/mm2. b) Nacrtati dijagram normalnog napona u tački C (sila F djeluje u težištu poprečnog presjeka).
RJEŠENJE
ZADATAK br. 9
Skripta
Otpornost materijala II 95
3 32 2 2 2 4
z
3 32 2 2 2 4
y
2 2 4zy
1,2
t (5t) t 4t I 5t (1,33t) 4t (1,67t) 30,74 t
12 12
t (4t) t 5t I 5t (0,67t) 4t (0,83t) 10,74 t
12 12
I 4t 0,83t 1,67t 5t 1,33t 0,67t 10 t
30,74 10,74 30,74 10,74 I
2 2
⋅ ⋅= + + ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅= + + ⋅ + ⋅ =
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −
+ −= ±
( )
22 4
41,2
41
42
zy
z y
1 2x,max d
1 2
max
1,max
( 10) t
I 20,74 14,14 t
I 34,88 t
I 6,6 t
2 I 20 tg2 1
I I 20
2 45 22 5
M MF (2) (1)
A I I
M 42,54 kNm
M 42,
+ − ⋅ = ± ⋅
=
=
⋅ −ϕ = = = −−
ϕ = − ϕ = −
σ = − ± ⋅ ± ⋅ ≤ σ
=
=
2,max
1 2x
1 2
2 1
1 2
6
x,max
54 cos 22 5 39,29 kNm
M 42,54 sin 22 5 16,27 kNm
Fjednačina neutralne ose (kad bi zanemarili član ):
AM M
(2) (1) 0I I
M I (2) (1) 2,187 (1)
M I
65 42
39,29 10
3
⋅ =
= ⋅ =
−
σ = − ⋅ − ⋅ =
= − ⋅ ⋅ = − ⋅
α = −
⋅σ =
6
4 4
6 6
x,max 4 4
63
16,27 10(2) (1) 160
4,88 t 6,6 t
'1' 3,83t sin 0,17t cos 1,3082t
'2 ' 3,83t cos 0,17t sin 3,6035t
39,29 10 16,27 10 3,6035t 1,3082t 160
34,88 t 6,6 t
7,284 10 t t 3
160
⋅⋅ + ⋅ ≤
= ⋅ ϕ − ⋅ ϕ == ⋅ ϕ + ⋅ ϕ =
⋅ ⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤
⋅= = 5,70 mm
USVOJENO: t 36 mm=
Skripta
Otpornost materijala II 96
1 2x,max d
1 2
3 6 6Ax 2 4 4
M MF (2) (1)
A I I
za tačku A:
'1' 2,17t sin 1,17t cos 1,911t
'2 ' 2,17t cos 1,17t sin 1,557t
50 10 39,29 10 16,27 10 1,557 36 1,911 36 1
9 36 34,88 36 6,6 36
σ = − ± ⋅ ± ⋅ ≤ σ
= ⋅ ϕ + ⋅ ϕ == ⋅ ϕ − ⋅ ϕ =
⋅ ⋅ ⋅σ = − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ ⋅
2
3 6 6B 2x 2 4 4
42,84 N/mm
50 10 39,29 10 16,27 10 3,6035 36 1,3082 36 151,83 N/mm
9 36 34,88 36 6,6 36
⋅ ⋅ ⋅σ = − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 97
Za nosač i opterećenje koje djeluje u ravni y-ose ,odrediti: a)U kritičnom presjeku nosača nacrtati dijagram normalnog napona , b)U presjeku 1-1 odrediti dijagram normalnog napona (skicirati) kao i položaj neutralne ose, c)Za položaj neutralne ose n1-n1 odrediti tačku jezgra presjeka ,a za ostale položaje neutralnih osa skicirati tačke i jezgro presjeka.
RJEŠENJE
Dijagrami presječnih sila su prikazani na sljedećoj slici:
ZADATAK br.10
Skripta
Otpornost materijala II 98
a)
2
4
4
1 1 1
1
1
F 24,2 cm
I 637 cm , i 5,13 cm
I 112 cm , i 2,15 cm
tg 0,442 23 ,84543 sin 0,40427
cos 0,91464
40 ,16534
ξ ξ
η η
=
= =
= =
α = α = α =α =
β =
, =66 ,15457γ
L
y
y y
Kritičan presjek je presjek u tački B ,gdje su sljedeće presječne sile:
M=60,09 kNm
N=49,07 kN
M 60,09 e 1,22458 m - fiktivni ekscentricitet
N 49,07
e e cos 1,12 m , e e sξ η
= − = − = −
= ⋅ α = − = ⋅
2 2
0
2 2
0
in 0,4951 m
Otsječci neutralne ose na glavnim osama su:
i 2,15 0,0413 cm
e 112
i 5,13 0,5315 cm
e 49,51
η
ξ
ξ
η
α = −
ξ = − = − =−
η = − = − =−
3 6 6E 2x 2 4 4
Fx
Maksima ln i naponi javit će se u tačkama E i F koje su najudaljenije od neutralne ose.
49,07 10 60,09 10 0,40427 60,09 10 0,91464 3,44 10 4,10 10 1901N/mm
24,2 10 637 10 112 10
49,07
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅⋅σ =
3 6 62
2 4 4
10 60,09 10 0,40427 60,09 10 0,914647,50 10 5,25 10 2842 N/mm
24,2 10 637 10 112 10
⋅ ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 99
.
y
y y
2 22 2
0 0
3 6Ex 2
M 13,00b) e 1,733
N 7,50
e e cos 1,585 e e sin 0,7007
i i2,15 5,13 0,0292 cm 0,3756 cm
e 158,5 e 70,07
7,50 10 13,00 10 0,40427
24,2 10 637
ξ η
η ξ
ξ η
−= − = − = −−
= ⋅ α = − = ⋅ α = −
ξ = − = − = η = − = − =− −
⋅ ⋅ ⋅σ = − +⋅ ⋅
62
4 4
3 6 6F 2x 2 4 4
13,00 10 0,914643,44 10 4,10 10 410 N/mm
10 112 10
7,50 10 13,00 10 0,40427 13,00 10 0,91464 7,50 10 5,25 10 616 N/mm
24,2 10 637 10 112 10
Dijagram normalnog napona u presjeku 1-1 prik
⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅
azan je na sljedećoj slici:
1
01 011
2 22 2
01 01
c) 90 66 ,15 457
2,34 2,34 2,558 cm 5,788 cm
cos cos
i i2,15 5,13 e 1,81 cm e 4,55 cm
2,558 5,788η ξ
ξ η
γ = − α =
ξ = − = − η = − = −α γ
= − = − = = − = − =ξ − η −
Skripta
Otpornost materijala II 100
Za dati nosač i opterećenje na slici: a) Izvršiti dimenzioniranje ako je σdop=10 N/mm2, a poprečni presjek pravougaoni sa odnosom strana h/b=1,5, b) U kritičnom presjeku nacrtati dijagram normalnog napona.
RJEŠENJE
Dijagrami presječnih sila prikazani su na sljedećoj slici:
ZADATAK br.11
Skripta
Otpornost materijala II 101
maxmax zx
z
2
a) Pretpostaviti ćemo dimenzije poprečnog presjeka,pa ćemo za te iste dimenzije izvršiti kontrolu napona.
Pretpostavka: b=9 cm , h=13,5 cm
Kontrola napona:
M N
W A
A 9 13,5 121,5 cm
σ = − −
= ⋅ =2 2
3z
6 3max 2 2x dop3 2
bh 9 13,5 W 273,4 cm
6 6
2,39 10 11,01 10 8,74 0,906 9,646 N/mm 10,0 N/mm
273,4 10 121,5 10
Pretpostavljene dimenzije poprečnog presjeka zadovoljavaju,pa ćemo ih i usvojiti.
⋅= = =
⋅ ⋅σ = − − = − − = − < σ =⋅ ⋅
b=9 cmUSVOJENO:
h=13,5 cm
b) Kritični presjek je kod oslonca B,na kojem smo i vršili dimenzioniranje,a dijagram ima sljedeći oblik:
Za zadati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame presječnih sila,a zatim u poprečnim presjecima 1-1 i 2-2 izvršiti analizu napona.
ZADATAK br.12
Skripta
Otpornost materijala II 102
RJEŠENJE
Dijagrami presječnih sila su:
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka su:
PRESJEK 1-1
( )( )
3 3 4 4x
3 3 4 4y
43 3
x
43 3
y
Ax
B C E 3 3x x x
D 3 3 3x
y
1I 30 50 22 38 21,190 10 cm
121
I 50 30 38 22 7,878 10 cm12
21,190 10W 8,476 10 cm
25
7,878 10W 5,252 10 cm
15
S 0
S S S 30 6 22 3,960 10 cm
S 3,960 10 2 19 4 9,5 5,404 10 cm
S
= ⋅ − ⋅ = ⋅
= ⋅ − ⋅ = ⋅
⋅= = ⋅
⋅= = ⋅
=
= = = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅D F
y
C B 3 3y y
E 3 3 3y
0 S
S S 4 50 13 2,6 10 cm
S 2,6 10 2 6 11 5,5 3,326 10 cm
= =
= = ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 103
PRESJEK 2-2
Komponentalni naponi su :
PRESJEK 1-1
4
A 2z(Mx) 3
4A 2z(My) 3
Tyzy(A)
2 3Ty 2zy(B) 4
2 3Tyzy(C) 4
16 10 18,88 daN/cm
8,476 10
48 10 91,39 daN/cm
5,252 10
0
16 10 3,96 10 1,0 daN/cm
21,190 10 30
16 10 3,96 10 3,74 daN/c
21,190 10 8
⋅σ = =⋅
⋅σ = =⋅
τ =
⋅ ⋅ ⋅τ = =⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅τ = =⋅ ⋅
2
2 3Ty 2zy(D) 4
Tx Txzx(D) zx(F)
2 3Tx 2zx(C) 4
2 3Tx 2zx(B) 4
Txzx(E)
m
16 10 5,404 10 5,10 daN/cm
21,190 10 8
0
24 10 2,6 10 1,58 daN/cm
7,878 10 50
24 10 2,6 10 6,60 daN/cm
7,878 10 12
24 1
⋅ ⋅ ⋅τ = =⋅ ⋅
τ = τ =
⋅ ⋅ ⋅τ = =⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅τ = =⋅ ⋅
⋅τ =2 3
24
0 3,326 108,44 daN/cm
7,878 10 12
⋅ ⋅ =⋅ ⋅
A F 2z z
Ekstremne vrijednosti normalnog napona javit će se u tačkama A i F tj.:
18,88 91,39 110,27 daN/cmσ = −σ = + =
PRESJEK 2-2
2 2N 2 Ty 2 Tyz(I) zy(G),max zy(G)2 2
4 4Mx 2 Mtz(I) zy(G)3 3
24 10 3 16,0 10 1,60 daN/cm 1,60 daN/cm
215 10 15,0 10
80 10 16,0 10 64,0 daN/cm 15,0 d
12,5 10 10,665 10
⋅ ⋅σ = − = − τ = ⋅ = = τ⋅ ⋅⋅ ⋅σ = − = τ = =⋅ ⋅
2
4My 2 Mt 2z(I) zx(H)3
aN/cm
48 10 64,0 daN/cm 0,838 15,0 12,57 daN/cm
7,5 10
⋅σ = − = τ = ⋅ =⋅
Skripta
Otpornost materijala II 104
2z(J)
Ty Mtzy(G) zy(G),max zy(G)
Ekstremna vrijednost normalnog napona javit će se u tački J, tj.:
1,6 64,0 64,0 129,60 daN/cm
Maximalni komponentalni napon u tački G iznosi:
1,60 15,0 16,6
σ = − − − = −
τ = τ + τ = + = 20 daN/cm
Dijagrami napona su sljedeći:
PRESJEK 1-1
PRESJEK 2-2
Skripta
Otpornost materijala II 105
Dimenzionisati nosač A-B kao pravougli presjek sa odnosom strana h/b=2 ako je
2dop 140 N/mmσ = .Proračun provesti po trećoj hipotezi o slomu materijala.(Hipoteza najvećeg
smičućeg napona).
RJEŠENJE
III 2 2ekv dop
z 1
t 2
tmax 2
1 max
4 ... treća hipoteza
M F l 8 0,9 7,20 kNm
M F l 8 1,2 9,60 kNm
M za h/b=2 0,246 ; =0,795
h b
σ = σ + τ ≤ σ
= ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ =
τ = α = ηα ⋅ ⋅
τ = η⋅ τ
ZADATAK br.13
Skripta
Otpornost materijala II 106
maxmax
z
2 33
z
6 6 6
max 3 3 3
6 6
max 2 3
6 6
1 3
M
W
bh 4b 2 W b
6 6 3
7,2 10 21,6 10 10,8 10
2 / 3b 2b b
9,6 10 19,5 10 - ako se zanemari uticaj tangencijalne sile
0,246 2b b b
19,5 10 15,5 10 0,795 =
b
σ = ±
= = =
⋅ ⋅ ⋅σ = = =
⋅ ⋅τ = =⋅ ⋅
⋅ ⋅τ = ⋅3
2 26 6 6III 2 2ekv,L max 1 3 3 3
6III 2ekv,K max max 3
IIIekv,K
b
10,8 10 15,5 10 32,83 10 4 4
b b b
39,0 10 4 2
b
Iz gore navedenog proizilazi da je za dimenzioniranje mjerodavno pa imamo:
⋅ ⋅ ⋅σ = σ + τ = + =
⋅σ = τ = τ =
σ6
III 2ekv,K dop3
39,0 10140 N/mm b=65,30 mm
b
b=66 mmUSVOJENO:
h=2b=132 mm
⋅σ = ≤ σ =
Za zadati stub i opterećenje na slici izračunati maksimalni ekvivalentni napon za presjek u uklještenju prema IV hipotezi o slomu materijala.Sila F djeluje u ravni paralelnoj sa ravni z-x.
ZADATAK br.14
Skripta
Otpornost materijala II 107
RJEŠENJE
x
z
t z
y z x
z x
tmax K,N 2
m
F Fsin 45 70,71 kN
F Fcos 45 70,71 kN
M F 0,08 5,66 kNm
M F 3,0 F 0,10 205,06 kNm
M F 0,08 5,66 kNm
M za h/b=1,25 =0,2195 , =0,9295
hb
= =
= =
= ⋅ == ⋅ − ⋅ =
= ⋅ =
τ = τ = α ηα
τ
62
ax K,N 2 3
2M,I max
32x
0 2
34
z
34
y
5,66 105,036 N/mm
0,2195 20 16 10
0,9295 5,036 4,68 N/mm
F 70,71 10 2,21 N/mm
A 20 16 10
20 16 I 6826,7 cm
12
20 16 I 10666,7 cm
12
⋅= τ = =⋅ ⋅ ⋅
τ = η⋅ τ = ⋅ =
⋅σ = − = − = −⋅ ⋅
⋅= =
⋅= =
6' 2zx 4
z
6y'' 2
x 4y
M 5,66 10 y 8 10 6,63 N/mm
I 6826,7 10
M 205,06 10 z 10 10 192,24 N/mm
I 10666,7 10
⋅σ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅
⋅σ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅
Skripta
Otpornost materijala II 108
7. SLOŽENA NAPREZANJA (UGIBI I NAPONI PO HIPOTEZAMA)
Skripta
Otpornost materijala II 109
Za nosač i opterećenje na slici odrediti totalno pomjeranje tačke 3.
4 2E=2,5 10 N/mm
E=2,5
G
⋅
RJEŠENJE
Geometrijske karakteristike poprečnih presjeka štapova nosača date su tabelarno:
Štap Iz (m4) Iy (m
4) It (m4)
1 21,190x10-4 7,878x10-4 -
2 31,250x10-4 11,250x10-4 28,188x10-4
Ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila na deformaciju,izraz za generalisano pomjeranje
glasi:
y yi t tiz zii
z y ts s s
C i z zi z y yi y t ti t
s s s
C C Cz y t
z y t
M M M MM M ds + ds + ds ... 1
EI EI GI
odnosno,
EI M M ds + M M ds + M M ds ... 2
gdje je,
I I EI ds ds ; ds ds ; ds ds
I I GI
ili redukovan
⋅ ⋅⋅δ =
δ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
C C Cz,ik ik y,ik ik t,ik ik
z,ik y,ik t,ik
3 4C C
e dužine štapova glase:
I I EI S s ; S s ; S s ... 3
I I GI
Ako se za I usvoji I 10 m tada su redukovane dužine sračunate prema izrazu 3 date na sljedećoj
s
−
= = =
=lici:
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 110
Dijagrami presječnih sila usljed zadatog opterećenja i usljed generalisanih jediničnih sila su prikazani na
sljedećoj slici:
Skripta
Otpornost materijala II 111
C 3 C 1
3 7 3
C 3 C 2
Koristeći izraz 2 dobijamo komponentalna pomjeranja tačke 3 koja iznose:
4,4444 5,0 EI u EI 48 533,33
2533,33
u 0,021333 m=2,133 cm2,5 10 10
0,9438 16 2 1,600 80 2 EI v EI 2
3 3 2 3
−
⋅= δ = ⋅ =
= =⋅ ⋅
⋅ ⋅= δ = ⋅ + ⋅
3 7 3
C 3 C 3
3 7 3
5 4,4345 16 2 362,79
362,79 v 0,01451 m=1,451 cm
2,5 10 10
2,5387 48 2 EI w EI 2 4,4444 48 2 507,900
2 3507,900
w 0,0203 m=2,03 cm2,5 10 10
Totalno pomjeranje tačke 3 izno
−
−
+ ⋅ ⋅ =
= =⋅ ⋅
⋅= δ = − ⋅ − ⋅ ⋅ = −
= − = −⋅ ⋅
2 2 2 2 2 23 3 3 3
si:
u v w 2,133 1,451 2,03 3,28 cmΔ = + + = + + =
Dimenzionirati dati nosač kvadratnog poprečnog presjeka .Raditi dio po dio nosača koristeći treću
hipotezu o slomu materijala,ako je 2dop 130 N/mmσ = .
ZADATAK br.2
Skripta
Otpornost materijala II 112
RJEŠENJE Dio C-D
Cz,max 3
6 6z,max
y,max 3 3z
M F l 18 0,2 3,6 kNm
M 3,6 10 21,6 10
W a a6
= ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅σ = = =
Dio B-C
t 3
By,max y 2
6 6y,maxB
z,max z 3 3y
6 6t
max 3 3 3
M F l 3,6 kNm
M M F l 18 0,4 7,2 kNm
M 6 7,2 10 43,2 10
W a a
M 3,6 10 17,31 10 ... zanemaruje se uticaj transverzalne sile
a 0,208 a a
= ⋅ =
= = ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅σ = σ = = =
⋅ ⋅τ = = =α ⋅ ⋅
III 2 2K,ekv
2 26 6IIIK,ekv 3 3
6IIIK,ekv 3
4
43,2 10 17,31 10
a a
55,36 10
a
σ = σ + τ
⋅ ⋅σ = +
⋅σ =
Skripta
Otpornost materijala II 113
Dio A-B
Bz t
2Az
Bz,max z
By y
yE zx,max x
z y
M M 3,6 kNm
25 0,6 M 3,6 0,9 kNm
2
M M 3,6 kNm
M M 7,2 kNm
MM F
W W A
= =
⋅= − = −
= =
= =
σ = σ = + +
6 6 6 6 6
x,max 3 3 3 3 3
x,max
kod dimenzioniranja se zanemaruje
3,6 10 7,2 10 21,6 10 43,2 10 64,8 10
a a a a a6 6
Analizirajući naponska stanja u svim tačkama zaključujemo da je za dimenzioniranje mjerodavno
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = + = + =
σ
6
x,max dop3
63
6 32 2
x,max dop3 2
(presjek B).
64,8 10 130
a
64,8 10 a a=79,28 mm USVOJENO: a=80 mm
130
Kontrola napona:
64,8 10 18 10 126,5 2,8 129,3 N/mm 130 N/mm
80 80
⋅σ = ≤ σ =
⋅=
⋅ ⋅σ = + = + = < σ =
Skripta
Otpornost materijala II 114
Dimenzionirati izlomljenu konzolu koja se sastoji iz dva međusobno okomita dijala kao pravougli poprečni presjek sa odnosom strana h/b=2.Proračun provesti po trećoj hipotezi o slomu materijala,a
dozvoljeni napon je 2dop 80 N/mmσ = .
RJEŠENJE
t
Bx,max
Cz,max z
Cy,max y
M 2 0,5 1 kNm
M 2 0,5 1 kNm
M M 2 0,5 1 kNm
M M 4 0,2 0,8 kNm
Dijagram momenata savijanja i torzije ima sljedeći oblik:
= ⋅ =
= ⋅ =
= = ⋅ =
= = ⋅ =
ZADATAK br.3
Skripta
Otpornost materijala II 115
Naponsko stanje poprečnog presjeka je prikazano na sljedećoj slici:
Cz,maxMz
x,maxz
2 33 3
z y
6 6Mzx,max 3
3
6 6Myx,max 3
3
Naponsko stanje u tački B nije kritično pa ga nećemo ni razmatrati.
M
W
bh 4b 2 1 W b ; W b
6 6 3 3
1,0 10 1,5 10
2 bb3
0,8 10 2,4 10
1 bb3
za
σ =
= = = =
⋅ ⋅σ = =
⋅ ⋅σ =
6 6C tmax,L 2 3 3
6 6
1 max 3 3
6 6 6Mz My K
K x,K x,K ekv3 3 3
L 2 2ekv x,L L
h/b=2 =0,246 =0,795
M 1,0 10 2,033 10
hb 0,246 2b b
2,033 10 1,62 10 0,795
b b
1,5 10 2,4 10 3,9 10
b b b
2, 4
α η
⋅ ⋅τ = = =α ⋅
⋅ ⋅τ = η⋅ τ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅σ = σ + σ = + = = σ
σ = σ + τ =2 26 6 6
3 3 3
Lekv
4 10 2,033 10 4,72 104
b b b
Mjerodavno za dimenzioniranje .
⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ =
σ
Skripta
Otpornost materijala II 116
6 6L 2 3ekv dop3
4,72 10 4,72 1080 N/mm b= 38,92 mm
80b
b=4 cmUSVOJENO:
h=2b=8 cm
⋅ ⋅σ = ≤ σ = =
Za nosač na slici odrediti pomjeranje tačke C ,primjenom pravila Vereščagina.
RJEŠENJE
34 7 4
z
34 7 4
z
3 7 4t
10 30 I 10 22,5 10 mm
12
10 30 I 10 2,5 10 mm
12
I 0,267 300 100 8,01 10 mm
Dijagrami presječnih sila usljed zadatog opterećenja i usljed generalisanih jediničnih sila su prikazan
⋅= ⋅ = ⋅
⋅= ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
i na
sljedećoj slici:
ZADATAK br.4
Skripta
Otpornost materijala II 117
( )z t
.12 12
5 7 4 7
u 0 - u pravcu x ose
1 1 2 1 2 1 v= 10 1 1 15 1,5 1,5 10 1,5 1
EI 2 3 2 3 GI
1 1 v 3,33 11,25 10 15 10
2 10 22,5 10 8 10 8,01 10
v 2,665 mm - u pravcu y ose
w=0 - u prav
=
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
cu z ose
ukupni ugib: =v=2,665 mm - u vertikalnom pravcu(obrnuto od pozitivnog pravca y ose)δ
Skripta
Otpornost materijala II 118
8. IZVIJANJE
Skripta
Otpornost materijala II 119
Čelični štapovi kružnog poprečnog presjeka pridržavaju apsolutno krutu gredu zglobno vezanu u tački A i opterećenu prema slici. Izračunati vrijednost stvarnog koeficijenta sigurnosti 'n' pri izvijanju pritisnutog štapa.
A
2 1
1 2
11 2
2
1 2
1 2
2
2
1
RJEŠENJE
M 0
F 0,8 F 0,5 F 1,0 M 0
2F F 4,8 .......1
l 1,0 l 2 l
l 0,5
F l F l 2
EA EA
F 2F ....... 2
Rješenjem jednačina 1 i 2 dobićemo:
5 F 48
F 9,6 kN
F 19,2 k
=⋅ − ⋅ − ⋅ − =
+ =
Δ = Δ = ΔΔ
⋅ ⋅= ⋅
=
⋅ =
==
4
zz y 2
i
min
N
dI d64 i iA 4d
4l 60
120 100 pa važi izraz za Ojlerovu kritičnu silu2i4
⋅ π
= = = =⋅ π
λ = = = > −
ZADATAK br. 1
Skripta
Otpornost materijala II 120
45 2 4
2min
KR 2 2 2i
KR
ST
22,1 10 10E I 64 F 45217 N 45,217 kN
l 60 10
F 45,217 n 2,355
F 19,2
⋅ π⋅ ⋅ π ⋅ ⋅⋅ π ⋅= = = =⋅
= = =
Vitki štap dužine l=17 m vezan je zglobno na jednom kraju, a uklješten na drugom kraju i pritisnut je silom F=540 kN. Poprečni presjek je sastavljen iz dva NP profila 28.
a) Odrediti razmak NP nosača tako da momenat inercije za osu y bude 15% veći nego za osu z. b) Izračunati računski (stvarni) normalni napon i napon σdi ako je σd=160 N/mm2.
1
1
y z
2 22
y y 1
4z z
2
RJEŠENJE
a) I 1,15 I
b bI 2 I F 2 399 53,3 798 26,65 b
2 4
I 2I 2 6280 12560 cm
798 26,65 b 1,15 12560 b 22,63 cm a b 2 2,53 17,57 cm
Usvojeno: a 18 cm
= ⋅
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅
= = ⋅ =
+ ⋅ = ⋅ = = − ⋅ ==
zmin
iE
min
E
i
v
0
I 12560b) i 10,85
F 106,6
l 0,7 1700,0110 92,93
i 10,85
110 11,184 iz tablica dobijamo: N 0,492 N
92,93
kritični normalni naponN
normalni napon na granici razvlačenja
F 540
A
= = =
⋅λ = = = λ =
λ λ = = = = = λ ω σ= =σ
⋅σ = =3
22
2di d
2 20 di
1050,65 N / mm
2 53,3 10
N 0,492 160 78,72 N / mm
50,65 N / mm 78,72 N / mm - pa presjek zadovoljava.
=⋅ ⋅
σ = ⋅ σ = ⋅ =
σ = < σ =
ZADATAK br. 2
Skripta
Otpornost materijala II 121
Čelični štap dužine l=2 m zglobno je vezan na krajevima i opterećen pritiskujućom silom F=200 kN. Odrediti dimenzije poprečnog presjeka ako je σd=145 N/mm2:
d) Kao puni kružni presjek. e) Kao prstenasti presjek sa odnosom d/D=0,6=Ψ. f) Pokazati koji je od ova dva presjeka ekonomičniji i za koliko?
dop
32 2
potd
2 2
min
i
min
RJEŠENJE
Fa) 1 kod pritisnutih štapova kod kojih je u pitanju stabilnost
A
I PROBA: 2
F 2 200 10A 27,6 10 mm
145
d 27,6 10 4A d 6 cm
4
I di 1,5 cm
A 4l 200
133i 1,5
za 13
ω⋅σ = ≤ σ ω > →
ω =
ω⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅σ
π ⋅ ⋅= = =π
= = =
λ = = =
λ =
32 2
potd
2pot
min
i
min
3 iz tablica 3,25
3,25 2,0II PROBA: 2,6
2
F 2,6 200 10A 35,86 10 mm
145
A 4 35,86 10 4d 6,8 cm
I di 1,7 cm
A 4l 200
118i 1,7
za 118 iz tablica 2,56 2,6 zadovoljava
USVOJENO
ω =
+ω = ≈
ω⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅σ
⋅ ⋅ ⋅= = =π π
= = =
λ = = =
λ = ω = →
2
:
d 6,8 cm
A 35,86 cm
=
=
ZADATAK br. 3
Skripta
Otpornost materijala II 122
( )
( )
44
z y
32 2
pot
2
2
2 2min
i
min
Db) I 1 I
64
I PROBA: 1,6
1,6 200 10A 22,08 10 mm
145
4 22,08 10D 6,64 cm
1 0,6
D 6,64i 1 1 0,6 1,94 cm
4 4l 200
103i 1,94
za 103 iz tablica 1,94
1,94 1II PROBA:
π= ⋅ − ψ =
ω =
⋅ ⋅= = ⋅
⋅ ⋅= =π ⋅ −
= ⋅ + ψ = ⋅ + =
λ = = =
λ = ω =
+ω =
( )
32 2
pot
2
2
2min
i
min
,61,8
2
1,8 200 10A 24,8 10 mm
145
4 24,8 10D 7,04 cm
1 0,6
7,04i 1 0,6 2,06 cm
4l 200
97i 2,06
za 97 iz tablica 1,78 1,8 zadovoljava
USVOJENO:
D 7,
=
⋅ ⋅= = ⋅
⋅ ⋅= =π ⋅ −
= ⋅ + =
λ = = =
λ = ω = ≈ →
=
2
0 cm
d 7,04 6 cm
A 24,84 cm
c) Ekonomičniji je prstenasti poprečni presjek.
= ⋅
=
Skripta
Otpornost materijala II 123
Odrediti minimalnu dužinu štapa B-C ako je on trougaonog poprečnog presjeka kao na slici. Pri rješavanju sistema statički zanemariti deformacije stuba na raspored unutrašnjih sila.
A
4V 4B 1
4V 4B 2 min y
V V0 B B
B C 0B C
RJEŠENJE
M 0
a 30 2,5 5,25 R 4,0 50 2,5 50 1,5 0 I 416,6 cm
24
393,75 125 75 a R =148,44 kN I 138,8 cm I I
4,0 72
R R sin 60 S
S sin 60−
−
=
⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = = =
+ += = = = =
= =2
2
B C
yy
3B C
2d
E
EE
ii
min
10 A 50 cm
2
S 171,40 kN
I i 1,6 cm
A
S 171,40 10 N 0,190
A 50 10 180
za N 0,190 i 92,93 2,10
2,10 92,93 195,153
l l
i
−
−
= =
=
= =
⋅= = =⋅ σ ⋅ ⋅
= λ = λ =λλ = λ = λ ⋅ λ = ⋅ =
λ
λ = = λ min
i
i 195,153 1,6 325,25 cm
l l
USVOJENO: l 325 cm
⋅ = ⋅ =
=
=
ZADATAK br. 4
Skripta
Otpornost materijala II 124
Vertikalni stub dužine l=3,75 m sastavljen je od četiri čelična L profila koji su uzajamno čvrsto spojeni i opterećen na izvijanje silom F=600 kN. Krajevi stuba vezani su zglobno. Treba izabrati prikladni profil štapa ako je zadano σd=160 N/mm2.
E
32 2 2
potd
RJEŠENJE
I PROBA
N 0,5 92,93 uvijek je isto
F 600 10 A 75 10 mm 75 cm
0,5 160N
Iz tablica zaključujemo da tu površinu možemo dobiti ako uzmemo četiri profila
L100x100x10 mm
= λ = −
⋅= = = ⋅ =⋅⋅ σ
21
4z
21
2 4z
zmin z
i
min
sa F 19,2 cm .
I 177 cm e 2,82 cm
Pri ovome za cijeli poprečni presjek imamo:
A 4 F 4 19,2 76,8 cm
I 4 177 19,2 (2,82 0,5) 1555 cm
I 1555 i i 4,50 cm
A 76,8
l
i
=
= =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ + ⋅ + =
= = = =
λ = E i
E
2di d
32
stv 2
1 37583,33 92,93 l =375 cm
4,50
83,33 0,897 N 0,663
92,93
N 0,663 160 106,1 N / mm
F 600 10 78,1 N / mm
A 76,8 10
što je znatno manje od dopuštenog pa je zato oda
⋅= = λ =
λλ = = = =λ
σ = ⋅ σ = ⋅ =
⋅σ = = =⋅
32 2
potd
brani poprečni presjek premalo opterećen
II PROBA
0,5 0,663 N 0,58 ¨0,6
2
F 600 10 A 62,50 10 mm iz tablica odabrano: 4L90x90x9
0,6 160N
+= = ≈
⋅= = = ⋅ ⋅⋅ σ
ZADATAK br. 5
Skripta
Otpornost materijala II 125
2 41 z y
21
2 4z y
zmin z y
iE i
min
F 15,5 cm I I 116 cm e 2,54 cm
A 4 F 4 15,5 62,0 cm
I I 4 116 15,5 (2,54 0,5) 1036 cm
I 1036 i i i 4,09 cm
F 62,0
l 1 375 91,69 92,93 l =375
i 4,09
= = = =
= ⋅ = ⋅ =
= = ⋅ + ⋅ + =
= = = = =
⋅λ = = = λ =
E
2di d
32 2
stv di2
cm
91,69 0,99 N 0,605
92,93
N 0,605 160 96,8 N / mm
F 600 10 96,7 N / mm 96,8 N / mm
A 62,0 10
USVOJENO 4L 90x90x9 mm
λλ = = = =λ
σ = ⋅ σ = ⋅ =
⋅σ = = = < σ =⋅
Kolika je dopuštena veličina sile pritiska u štapu rešetkastog nosača koji se sastoji od dva čvrsta vezana profila L prema slici, ako je zadato: l=3,4 m, d=12 mm, σd=190 N/mm2. Štap je na oba kraja zglobno vezan.
d d
RJEŠENJE
Dopuštenu vrijednost sile određujemo pomoću formule:
F A N
Da bismo našli N treba naći , a za tu svrhu treba izračunati najmanji glavni poluprečnik inercije
poprečnog presjeka štapa.
= ⋅ ⋅ σ
λ
L 4z z
L 2 L 2 4y y
z y
zmin z
I 2 I 2 148 296 cm
I 2 I e F 2 71,0 (1,91 0,6) 15,1 332,26 cm
I I pa je najmanji poluprečnik inercije:
I 296 i i 3,13 cm
F 2 15,1
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ = <
= = = =⋅
ZADATAK br. 6
Skripta
Otpornost materijala II 126
iE i
min
E
2 3d d
l 340 108,63 92,93 l =340 cm
i 3,13
108,63 1,17 iz tablica N 0,498
92,93
F A N 2 15,1 10 0,498 190 285,75 10 N 285,75 kN
λ = = = λ =
λλ = = = =λ
= ⋅ ⋅ σ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
Izvršiti dimenzioniranje nosača AB koji je u tački A oslonjen zglobno, a u tački B uklješten. Poprečni presjek je od dva NP profila na razmaku od 10 cm. Odrediti i kritičnu silu, ako je σd=160 N/mm2.
[
i
i
potd
32 2 2
pot
RJEŠENJE
l 0,7 l
l 0,7 550 385 cm
Dimenzionisanje
Dimenzionisanje vršimo probanjem postupkom:
I PROBA
0,5
F A
85 10 A 10,62 10 mm 2 NP50 sa A 2 7,12 cm
0,5 160
I
= ⋅= ⋅ =
κ
κ =
=κ ⋅ σ
⋅= = ⋅ = ⋅⋅
4 2 4min z y
min z
iE
min
E
I 2 26,4 52,8 cm I 2 (9,12 6,37 7,12) 596 cm
52,8 i i 1,91 cm
14,24
l 385 201 92,93
i 1,91
201 2,16 0,203
92,93
II PROBA
0,35
= = ⋅ = = ⋅ + ⋅ =
= = =
λ = = = λ =
λλ = = = κ =λ
κ =
ZADATAK br. 7
Skripta
Otpornost materijala II 127
[
potd
32 2
pot
4min z
min z
iE
min
E
F A
85 10 A 15,17 cm 2 NP65 sa A 2 9,03 cm
0,35 160
I I 2 57,5 115 cm
115 i i 2,49 cm
18,06
l 385 154,6 92,93
i 2,49
154,6 1,66 iz tabl
92,93
=κ ⋅ σ
⋅= = = ⋅⋅
= = ⋅ =
= = =
λ = = = λ =
λλ = = = λ
[
d
32
stv 2
2 2di d d stv
2 2 5 43min
KRIT 2 2i
ica 0,315
F 85 10 47,06 N / mm
A 2 9,03 10
0,315 160 50,4 N / mm 47,06 N / mm
EI 3,14 2 10 115 10 F 152,9 10 kN
l 3850
USVOJEN PRESJEK: 2 NP65
κ =
⋅σ = = =⋅ ⋅
σ = κ ⋅ σ = ⋅ = > σ =
π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅
Izvršiti dimenzioniranje kosnika grede na slici ako mu je poprečni presjek INP profil a σd=160 N/mm2.
B D
2B D d
B Dpot
d
32 2
pot
RJEŠENJE
Štap B D je izložen sili S i dimenzionira se na izvijanje:
I PROBA
0,5
S 70,69 kN =160 N / mm
S A
70,69 10 A 883 mm 8,83 cm odabrano INP 10
0,5 160
−
−
−
−
κ =
= σ
=κ ⋅ σ
⋅= = = ⋅2 4
y y A 10,6 cm I 12,2 cm i 1,07 cm= = =
ZADATAK br. 8
Skripta
Otpornost materijala II 128
iE i
min
E
32 2
pot
2 4y y
l 566 92,93 l =565 cm
i
566 6,09 0,10
92,93
II PROBA
0,5 0,1 0,3
2
70,69 10 A 14,72 10 mm odabrano INP 14
0,3 160
A 18,3 cm I 35,2 cm i 1,40 cm
λ = = λ =
λλ = = = κ =λ
+κ = =
⋅= = ⋅ ⋅
= = =
E
E
32 2
pot
2y
E
565 403 92,93
1,40
403 4,33 0,10
92,93
III PROBA
0,12
70,69 10 A 36,81 10 mm odabrano INP 22
0,12 160
A 39,5 cm i 2,02 cm
565 297 92,9
2,02
λ = = λ =
λλ = = = κ =λ
κ =
⋅= = ⋅ ⋅
= =
λ = = λ =
E
32 2
pot
2y
E
E
3
297 3,19 0,10
92,93
IV PROBA
0,1
70,69 10 A 44,18 10 mm odabrano INP 24
0,1 160
A 46,1 cm i 2,20 cm
565 256 92,93
2,20
256 2,76 0,12
92,93
λλ = = = κ =λ
κ =
⋅= = ⋅ ⋅
= =
λ = = λ =
λλ = = = κ =λ
32
stv 2
2 2di d d stv
5
F 70,69 10 15,33 N / mm
A 46,1 10
0,125 160 20 N / mm 15,33 N / mm
USVOJENO : INP 24
⋅σ = = =⋅
σ = κ ⋅ σ = ⋅ = > σ =
Skripta
Otpornost materijala II 129
Potrebno je dimenzionirati štap BC sistema opterećenog prema slici.Štap je pravougaonog poprečnog presjeka(odnos stranica je b/h=0,8).
2
RJEŠENJE
Dužina štapa BC je:
l= 3 2 3 2⋅ =
Iz uslova ravnoteže dobivamo silu u štapu BC:
A BC
BC
M 0 S sin 3 F 4
4F S 18,86 kN (sila pritiska)
3sin
= α ⋅ = ⋅
= =α
2BC
BC,kr i2
22min BC i2
i
22BC i i
min BC i min2 2i
2 3BC i i
min 2
Dimenzioniranje prema kriteriju stabilnosti:
SE k / A
A
E i A S k
l
S k lE I S k I
l E
S k l 18,86 10 I
E
πσ = ≥ ⋅λπ ≥
π ≥ ≥π
⋅ ⋅≥ =π
29 4
2 11
3 39
4min min 3
94
3 (3 2)491,38 10 m
2,1 10
hb h (0,8h) 12 I I 491,38 10 h I
12 12 0,8
12 h 491,38 10
0,512
h 0,058 m
h=6,0 cm USVAJAMO:
b=0,8h=4,8 cm
−
−
−
⋅ = ⋅π ⋅ ⋅
⋅= = ≥ = ⋅ ≥
≥ ⋅
≥
ZADATAK br.9
Skripta
Otpornost materijala II 130
2BC BC BC BCp2
p
3BC
6p
Dimenzioniranje prema kriteriju čvrstoće:
S S S S h
A bh 0,80,8h
S 18,86 10 h 0,0106 m =1,06 cm
0,8 0,8 210 10
Nije mjerodavno za dimenzioniranje.
Usvajamo prvobitno i
σ = = = ≤ σ ≥σ
⋅≥ = =σ ⋅ ⋅
zračunate dimenzije prema kriteriju stabilnosti:
h=6,0 cm
b=0,8h=4,8 cm
Skripta
Otpornost materijala II 131
9. SAVIJANJE KRIVIH ŠTAPOVA
Skripta
Otpornost materijala II 132
Za krivu konzolu prikazanu na slici konstruisati dijagram normalnog napona u uklještenju.Odrediti vrijednost max.smičućeg napona.
RJEŠENJE
( ) ( ) ( )o M F R sin ; N F sin ; T F cosϕ = ⋅ ⋅ ϕ ϕ = − ⋅ ϕ ϕ = ⋅ ϕ
( )M N
v
u
o
3
6M1
M y N 3 T =
e A R y A 2 F
h 0,40 R 3,997
r ln 4,20 ln 3,80lnr
e r R 4,000 3,997 0,003 m=0,3 cm
S=e A=20 40 0,3=266,67 cm
600 10
266,67 10
⋅σ = σ = τ⋅ +
= = =−
= − = − =
⋅ ⋅ ⋅
⋅σ =⋅
23
6M 22 3
20,33 10108,9 N/mm
420 10
600 10 19,66 10 116,4 N/mm
380 10266,67 10
⋅⋅ =⋅
⋅ ⋅σ = − ⋅ = −⋅⋅
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 133
3N 21,2 2
21
22
3max 2zy 2
150,0 10 1,9 N/mm
800 10
108,9 1,9 108 N/mm
116,4 1,9 118,3 N/mm
3 T 3 150 10 2,81 N/mm
2 A 2 800 10
⋅σ = − ≈ −⋅
σ = − =
σ = − − = −
⋅τ = = =⋅
Za krivi štap prikazan na slici ,odrediti reakciju u osloncu B,konstruisati dijagrame M i N i naći horizontalno pomjeranje tačke B(pri određivanju deformacije i otpora oslonaca normalnu silu ne uzimati u obzir).
RJEŠENJE Zadatak je jedanput statički neodređen i rješit ćemo ga iz uslova:
11 1 1p
I
I
II
II 0
X 0
M a sin , ds=a d
I POLJE: 04
M 0
II POLJE: 4 2
M M
δ + δ =
= ⋅ ϕ ⋅ ϕπ≤ ϕ ≤
=π π≤ ϕ ≤
= −
ZADATAK br.2
Skripta
Otpornost materijala II 134
2 2 22 3 2 3 311
00 0
4 2 4 22 2 2 22
1p I II 0 0 04
0 04 4
21p 0 0
1 V311
V
sin 2 EI M ds a sin d a a
2 4 4
2 EI M Mds M Mds 0 a sin d M a sin d M a cos M a
2
M a 0,707 M X 0,9 B
aa4
N B cos i
π π π
π π π ππ
ππ π
ϕ ϕ πδ = = ϕ ϕ = − =
δ = + = ⋅ ϕ ϕ + − ⋅ ϕ ϕ = − ⋅ − ϕ = − ⋅
δ − ⋅ ⋅= − = = =πδ
= ϕ
I V
II V 0
u I i u II polju
M B a sin za I POLJE 04
M B a sin M za II POLJE 4 2
π= ⋅ ⋅ ϕ ≤ ϕ ≤
π π= ⋅ ⋅ ϕ − ≤ ϕ ≤
[ ]4 2
20 0BH 0
04
20
BH
M M EI 0,9 sin a (1 cos )ad 0,9 a sin M a(1 cos ) ad
a a
M a 0,042
EI
π π
π
δ = − ϕ − ϕ ϕ + ϕ − − − ϕ ϕ
δ =
Za dati nosač na slici opterećen kontinualnim opterećenjem q=20 kN/m odrediti vertikalni pomak tačke C i nacrtati dijagrame presječnih sila.
ZADATAK br.3
Skripta
Otpornost materijala II 135
RJEŠENJE
2 2
2 2 2
I POLJE: 0 45
M FR(1 cos )
N Fcos
T Fsin
II POLJE: 45 90
1 1 M FR(1 cos ) q(R cos 45 R cos ) FR(1 cos ) q(2,121 R cos )
2 2
M FR(1 cos ) 0,25qR 0,707qR cos 0,5qR cos
N Fcos
≤ ϕ ≤= − ϕ= − ϕ= ϕ
≤ ϕ ≤
= − ϕ − − ϕ ⋅ = − ϕ − − ϕ ⋅
= − ϕ − + ϕ − ϕ
= −
qR(cos45 cos ) cos
T Fsin qR(cos45 cos ) sin
Momenti od fiktivne sile F=1,0 u tački C:
I POLJE:0 45 II POLJE:0 45
ϕ + − ϕ ⋅ ϕ
= ϕ − − ϕ ⋅ ϕ
≤ ϕ ≤ ≤ ϕ ≤
4 22 2 2
C
04
M 0,5R(1 cos ) M 0,5R(1 cos )
EI FR(1 cos )0,5R(1 cos ) Rd FR(1 cos ) 0,25qR 0,707qR cos 0,5qR cos
π π
π
= − ϕ = − ϕ
δ = − ϕ − ϕ ⋅ ϕ + − ϕ − + ϕ − ϕ ⋅
[ ]4 2 2
3 2 3 2 4C
04 4
23 2
4
0,5R(1 cos ) Rd
EI 0,5FR (1 cos ) d 0,5FR (1 cos ) d 0,125qR (1 cos )d
0,3535qR (cos cos )d
π π π
π π
π
π
⋅ − ϕ ϕ
δ = − ϕ ϕ + − ϕ ϕ + − ϕ ϕ +
+ ϕ − ϕ ϕ −
2
4 2 3
4
3 4C
C
12
C C5 4
0,25qR (cos cos )d
Rješavanjem gornjeg integrala dobijemo:
0,5EI 0,356FR 0,06qR
0,5EI 310,6
310,6 10 10,63 mm
0,5 2 10 29210 10
π
π
ϕ + ϕ ϕ
δ = +δ =
⋅δ = δ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Presječne sile:
M( =0 ) 0 T( =0 ) 0 N( =0 ) 42,43 kN
M( =45 ) 3
ϕ = ϕ = ϕ = −
ϕ =
7,27 kNm T( =45 ) 30,0 kN N( =45 ) 30,0 kN
M( =90 ) 82,30 kNm T( =90 ) 0 N( =90 ) 0
Dijagr
ϕ = ϕ = −
ϕ = ϕ = ϕ =
ami presječnih sila prikazani su na sljedećoj slici:
Skripta
Otpornost materijala II 136
Skripta
Otpornost materijala II 137
10. JEZGRO PRESJEKA
Skripta
Otpornost materijala II 138
Stub poprečnog presjeka prikazan na slici opterećen je u tački A, silom pritiska F=2000 kN.
a) Odrediti maksimalnu vrijednost normalnog napona. b) Nacrtati jezgro presjeka.
RJEŠENJE
a) Pošto je presjek simetričan u odnosu na osu z to, je osa z ujedno i glavna centralna osa inercije.
ZADATAK br. 1
Skripta
Otpornost materijala II 139
( )
( )
1
2
12 2
4 28 4
z
4 32 2 2
y
Položaj težišta presjeka je definisan veličinom z , tj. :
1 40 280
2 3 z 5,39 cm1
120 802
Momenti inercije su:
120 1 I 2 40 2 0,1557 10 cm
12 12
120 1 1 I 120 5,39 80 2 40 2 80 5
12 36 2
− ⋅ ⋅= = −
− ⋅
= − ⋅ ⋅ = ⋅
= − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ 8 4
2 2 4 2
8 8
z y4 4
40 2,39 0,1525 10 cm
3
Površina poprečnog presjeka je:
1 A 120 80 1,12 10 cm
2Glavni poluprečnici inercije su:
0,1557 10 0,1525 10 i 37,29 cm i 36,90 cm
1,12 10 1,12 10
+ = ⋅
= − ⋅ = ⋅
⋅ ⋅= = = =⋅ ⋅
yz2 2y z
2 2y
0z
2 2z
0y
Jednačina neutralne ose glasi:
ee 1 z y 0
i i
gdje su:
i 36,90 z 252,69 cm
e 5,39
i 37,29 y 16,39 cm
e 84,85
z y 1 (Sad nam je određen položaj neut
252,69 16,39
+ ⋅ + ⋅ =
= = − = −
= = − = −
+ =− −
y zA,B A,B A,B2 2
z y
ralne linije)
Ekstremne vrijednosti normalnog napona javiće se u tačkama A i B, koje su najudaljenije od neutralne linije:
e eF 1 y z
A i i
Napadna tačka sile u sistemu z, y i
σ = − ⋅ + ⋅ + ⋅
A z
A y
22
A 4 2 2
B
B
2
B 4
ma koordinate:
z 5,39 cm e
y 60 2 84,85 cm e
2000 10 84,85 5,39 1 84,85 5,39 110,69 daN / cm
1,12 10 37,29 36,90
z 5,39 cm
y 60 2 84,85 cm
2000 10 84, 1
1,12 10
= =
= = =
⋅σ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ =
= − = −
⋅σ = − ⋅ +⋅
22 2
2 2min A max B
85 5,39( 84,85) 5,39 74,22 daN / cm
37,29 36,90
110,69 daN / cm 74,22 daN / cm
⋅ − + ⋅ =
σ = σ = − σ = σ =
Skripta
Otpornost materijala II 140
Iz definicije jezgra presjeka, tjemena jezgra presjeka su napadne tačke sile, čije neutralne ose tangiraju
poprečni presjek. Zbog simetrije poprečnog presjeka i odgovarajuće jezgro će biti simetrično,
1 1 2 2
pa je
dovoljno posmatrati samo neutralne ose n n i n n .− −
0i 0i i i
zi yi
2 2y z
zi yi0i 0i
1 1
01 01
z i y odsječci neutralne ose n n na glavnim centralnim osama inercije i
e i e koordinate odgovarajućeg tjemena jezgra
i i e e
z y
neutralna osa n n :
z y 5,3
− − ξ η−
= =
−
= =2 2
z1 y1
2 2
02 02
2 2
z2 y2
9 60 2 90,24 cm
36,90 37,29 e 15,09 cm e 15,41 cm
90,24 90,24
neutralna osa n n :
z y 60 2 5,39 79,46 cm
36,90 37,29 e 17,40 cm e 17,50 cm
79,46 79,46
+ =
= − = − = − = −
−
= = − =
= − = − = − = −
Skripta
Otpornost materijala II 141
Vitki štap dužine l=17 m vezan je zglobno na jednom kraju, a uklješten na drugom kraju i pritisnut je silom F=540 kN. Poprečni presjek je sastavljen iz dva NP profila 28.
c) Odrediti razmak NP nosača tako da momenat inercije za osu y bude 15% veći nego za osu z. d) Izračunati računski (stvarni) normalni napon i napon σdi ako je σd=160 N/mm2.
21
22
2 23 1 2 3
C
C
3 3 32
x
RJEŠENJE
a) F 45 5 225 cm
F 65 5 325 cm
F 10 5 50 cm F=F F F 600 cm
7,5 50 x 0,625 cm
60035 325 50 65
y 24,375 cm600
45 5 5 65 10 5 I 225 24,375 325
12 12 12
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ = + + =− ⋅= = −
⋅ + ⋅= =
⋅ ⋅ ⋅= + + + ⋅ + 2 2
4x
4 4x
3 3 32 2 2
y
4y
10,625 50 40,625
I 468 114427 104 133681 36689 82519 367888 cm
I 36,79 10 cm
5 45 65 5 5 10 I 225 0,625 325 0,625 50 6,875
12 12 12
I 37968 677 416 88 127 957 40233 cm
⋅ + ⋅
= + + + + + =
= ⋅
⋅ ⋅ ⋅= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅
= + + + + + =
ZADATAK br. 2
Skripta
Otpornost materijala II 142
4 4y
2xy
4xy
4 4xy
22 4
1,2
I 4,02 10 cm
I 225 ( 24,375) 0,625 325 10,625 0,625 50 40,625 ( 6,875)
I 3427 2158 13965 15234 cm
I 1,52 10 cm
36,79 4,02 36,79 4,02 I 1,52 10 20,
2 2
= ⋅
= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
= − + − = −
= − ⋅
+ + = ± + ⋅ = ( ) 4
4 4 4 41 2
1 2 x y
o o
4
1
4
2
405 16,41 10
I 36,81 10 cm I 3,99 10 cm
I I I I
40,80 40,81
1,52 2 tg2 0,09276
36,79 4,02
2 5 302 2 65
36,81 10b) i 24,77 cm
600
3,99 10 i 8,1
600
± ⋅
= ⋅ = ⋅+ = +
=
⋅ϕ = =−
ϕ = ϕ =
⋅= =
⋅= = 5 cm
c)
Skripta
Otpornost materijala II 143
Za zadati poprečni presjek na slici odrediti i nacrtati jezgro presjeka:
g) Analitički. h) Grafički.
2
t
33 2 2 4 4
z
33 4 4
y
RJEŠENJE
a) A 60 12 48 12 1296 cm
60 12 ( 6) 48 12 ( 36) y 19,33 cm
1296
1 12 48 I (60 12 ) 60 12 (19,33 6) 48 12 (24 7,33) 40,7232 10 cm
12 12
1 48 12 I (12 60 ) 22,2912 10 cm
12 12
= ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −= = −
⋅= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = ⋅
⋅= ⋅ ⋅ + = ⋅
4
z 2
4
y 2
2 2
2 2y z
yz2 2y z
40,7232 10 i 17,73 cm
12,96 10
22,2912 10 i 13,11 cm
12,96 10
Jednačina centralne elipse inercije glasi:
z y 1
i i
ee 1 z y 0 jednačina neutralne ose
i i
Jezgro presjeka:
Za k
⋅= =⋅
⋅= =⋅
+ = −
+ ⋅ + ⋅ = −
i
2 2y z
z y0 0
0 0 i i
arakteristične tangente presjeka, koordinate tjemena A jezgra presjeka su:
i i e e
z y
y i z su odsječci neutralne ose n n na koordinatnim osama z i y:
= =
−
ZADATAK br. 3
Skripta
Otpornost materijala II 144
1 1
2 2
3 3
4 4
n n : y 19,33 cm
n n : z 30,0 cm
40,67 7,33 n n : y 7,33 (z 30)
6 30z y
y 2,0z 52,67 126,335 52,67
n n : y 40,67 cm
Koordinate tjemena jezgra
− =− = −
− −− − = +− +
= − − + =− −
− = −
1 1 01 01
2
1 z1 y1
2 2 02
:
n n : z y 19,33 cm
17,73 A : e 0 e 16,26 cm
19,33
n n : z 30 cm
− =→ ∞ =
−= = = −
− = − 02
2
2 z2 y2
3 3 03 03
2
3 z3
y
13,11 A : e 5,73 cm e 0
30
n n : z 26,335 cm y 52,67 cm
13,11 A : e 6,52 cm
26,335
=→ ∞
= − = =−
− = − = −
= − =−
2
y3
4 04 044
2
4 z4 y4
17,73 e 5,97 cm
52,67
n n : z y 40,67 cm
17,73 A : e 0 e 7,73 cm
40,67
= − =−
− =→ ∞ = −
−= = =−
Skripta
Otpornost materijala II 145
3 3 3
b) Grafičko određivanje jezgra
Pr ikazat ćemo samo određivanje tačke jezgra A za položaj ose n n , a postupak je isti i za ostale
tačke jezgra.
−
Skripta
Otpornost materijala II 146
11. EKSCENTRIČNI PRITISAK
Skripta
Otpornost materijala II 147
Kameni stub sa specifičnom težinom γ = 20 kN/m3 opterećen je kao što je prikazano na slici.
a) Odrediti najveće i najmanje normalne napone pritiska u najnižem njegovom poprečnom presjeku i naznačiti tačke u kojima se oni javljaju.
b) Nacrtati dijagrame normalnog napona po uklještenim stranama. c) Nacrtati dijagram normalnog napona u odnosu na neutralnu osu bez uticaja sopstvene težine.
3
3
3
z
y
38 4
z
RJEŠENJE
a) P 1500 kN
20kN m
V 2 3 6 36 m
A = 200 300 60000 cm
G = V = 20 36 720 kN
m F 0,20m 1500 0,20 300 kNm
m F 0,25m 1500 0,25 375 kNm
300 200 I 2 10 cm
12
=
γ =
= ⋅ ⋅ =
⋅ =γ ⋅ ⋅ =
= ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ =
⋅= = ⋅
38 4
y
yz
z y
3 3 6 6Az 2 2 12 12
A 2z
Bz
200 300 I 4,5 10 cm
12mmG F
y + zA A I I
720 10 1500 10 300 10 375 10 100 10 + 150 10
60000 10 60000 10 2 10 2 10
0,12 0,25 0,15 0,125 0,095 N/mm
0
⋅= = ⋅
σ = + + ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = − − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
σ = − − + + = −
σ = − 2 A 2max z
C 2 C 2z min z
D 2z
,12 0,25 0,15 0,125 0,345 N/mm 0,095 N/mm
0,12 0,25 0,15 0,125 0,645 N/mm 0,645 N/mm
0,12 0,25 0,15 0,125 0,395 N/mm
− + − = − σ = σ = −
σ = − − − − = − σ = σ = −
σ = − − − + = −
ZADATAK br. 1
Skripta
Otpornost materijala II 148
b)
yz2 2
y z
2 2y z
0 0z y
8y2 2
y 4
82 2z
z 4
z y
8
0 4
eec) 1 z y 0 - jednačina neutralne ose
i i
i i z y
e e
I 4,5 10 i 7500 cm
A 6 10
I 2 10 i 3333,3 cm
A 6 10 e = 25 cm e 20 cm
2 10 z 3
6 10
+ ⋅ + ⋅ =
= − = −
⋅= = =⋅
⋅= = =⋅
− =
⋅= − =⋅ 0
3333,300 cm y 166,67 cm
20
= − = −
A 2z
C 2z
0,25 0,15 0,125 0,025 N/mm
0,25 0,15 0,125 0,525 N/mm
σ = − + + =
σ = − − − = −
Skripta
Otpornost materijala II 149
Nacrtati dijagram normalnog napona na temeljoj spojnici stuba ako su mu poprečni presjek i opterećenje dati na sljedećoj slici. Sila F=150 kN djeluje u tački A.
2
3 34
z
3 34
y
2 2zz z
y 2 2y y
RJEŠENJE
A 60 35 2 15 50 600 cm
5 35 50 5 I 2 36250 cm
12 12
35 60 15 50 I 2 317500 cm
12 12
I 36250 i 7,773 cm i 60,42 cm
A 600
I 317500 i 23,00 cm i 529,17 cm
A 600
Je
= ⋅ − ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅= ⋅ + =
⋅ ⋅= − ⋅ =
= = = =
= = = =
yzz y2 2
y z
2y
0z
2z
0y
dnačina neutralne ose glasi:
ee 1 z y 0 e 27 cm e 8 cm
i i
i 529,17 z 19,60 cm
e 27
i 60,42 y 7,55 cm
e 8
Maksimalni naponi javljaju se u tačkama C i D koje su
+ ⋅ + ⋅ = = − =
= − = − =−
= − = − = −
C C
D C
z
y
najviše udaljene od neutralne ose:
C: z 30cm y 17,5cm
D: z 30cm y 17,5cm
m F 0,08 150 0,08 12,0 kNm
m F 0,27 150 0,27 40,5 kNm
= = −= − =
= ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ =
ZADATAK br. 2
Skripta
Otpornost materijala II 150
yC zx C C
z y
3 6 6Cx 2 4 4
C 2x
yD zx D D
z y
3 6Dx 2 4
mmF y z
A I I
150 10 12 10 40,5 10 17,5 10 30 10 2,5 5,79 3,83
600 10 36250 10 317500 10
7,12 N/mm
mmF y z
A I I
150 10 12 10 1
600 10 36250 10
σ = − + ⋅ + ⋅
⋅ ⋅ ⋅σ = − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − + +⋅ ⋅ ⋅
σ =
σ = − + ⋅ + ⋅
⋅ ⋅σ = − − ⋅⋅ ⋅
6
4
D 2x
40,5 107,5 10 30 10 2,5 5,79 3,83
317500 10
12,12 N/mm
⋅⋅ − ⋅ ⋅ = − − −⋅
σ = −
Nacrtati dijagram normalnog napona na temeljoj spojnici stuba ako su mu poprečni presjek i opterećenje dati na sljedećoj slici. Sila F=350 kN djeluje u tački A.
ZADATAK br. 3
Skripta
Otpornost materijala II 151
2 2 2
T 2
3 3 34 4 4
x
3 3 32 2 2 2 2
y
RJEŠENJE
3t 0,5t 5t 3,5t 5t 6,5t x 3,96t
13t
GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE:
t 27t 5t t t 125t I 13,083t 13,08 10 cm
12 12 12
3t t 5t t t 125t I 3t (3,46t) 5t (0,46) 5t (
12 12 12
− ⋅ − ⋅ − ⋅= = −
⋅ ⋅ ⋅= + + = = ⋅
⋅ ⋅ ⋅= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 4
4 4y
2
42 2x
x 2 x2
4y 2 2
y 1 y2
2,54) 80,31 t
I 80,314 10 cm
F 13102 cm
I 13,08 10 i 10,03 cm i i 100,61 cm
F 13 10
I 80,31 10 i 24,85 cm i i 617,77 cm
F 13 10
Jednačina neutralne ose glasi:
x y
p q
= ⋅
= ⋅
=
⋅= = = = =⋅
⋅= = = = =⋅
+
2y
2x
1 a 2,54t 25,4 cm b 10 cm
i 617,77 p 24,32 cm
a 25,4
i 106,61 q 10,06 cm
b 10
Maksimalni naponi javljaju se u tačkama C i D koje se najudaljenije od neutralne ose:
C :
= = − = − = −
= − = − =−
= − = − =−
C C
D C
x
y
2 4 4C 2z 2 4 4
x 39,6 cm y 15 cm
D : x 30,4 cm y 25 cm
M 350 0,1 35 kNm
M 350 0,254 88,9 kNm
350 10 35 10 88,9 10 15 39,6 57,05 daN / cm
13 10 13,08 10 80,31 10
= == − = −
= ⋅ == ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅σ = − + ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ ⋅
2 4 4D 2z 2 4 4
350 10 35 10 88,9 10 25 30,4 127,47 daN / cm
13 10 13,08 10 80,31 10
⋅ ⋅ ⋅σ = − − ⋅ − ⋅ = −⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 152
Zidani stub presjeka 30x50 cm opterećen je ekscentričnom silom P=150 kN kao na slici. Proračunati normalne napone u kontaktnoj spojnici pod pretpostavkom da materijal ne podnosi zatezanje. Zanemariti sopstvenu težinu stuba. Ukoliko σstv bude veće od σd=3 N/mm2 izvršiti dimenzioniranje. Mijenjati samo h.
RJEŠENJE
Krak jezgra presjeka na z osi iznosi:
h 8,33 cm 15 cm,
6što znači da sila djeluje izvan jezgra presjeka i da će se na temeljnoj spojnici pojaviti naponi zatezanja.
Da se oni ne pojave, sila t
= <
maxmin
11
12
3
max
2 2min d
reba djelovati na konturi jezgra presjeka, tj. tad će biti:
h a h 3 a 30 cm
3 e 5 cm ekscentricitet
N eN
A 30 1010
6 0
3,3 N / mm 3 N / mm pa moramo povećati
= = ⋅ =
= −⋅σ = − ±
⋅ ⋅
σ =
σ = − > σ = − −
maxmin
3 6
2 3
max
2 2min d
min
dimenzije poprečnog presjeka
pretpostavljamo h=54 cm
150 10 9 10 1,39 1,39
1080 10 6480 10 0
2,78 N / mm 3 N / mm
usvojeno: b 30 cm;h 54 cm
za h 52 cm 3,02 N / mm
⋅ ⋅σ = − ± = − ±⋅ ⋅
σ =
σ = − < σ = −
= =
= σ = − 2
ZADATAK br. 4
Skripta
Otpornost materijala II 153
Kran za podizanje i prenošenje tereta do 80 kN oslanja se na betonski temelj pri čemu osa AB krana prolazi kroz težište temelja. Uzimajućida napadna linija težine krana, jednaka 180 kN (bez težine tereta P i protiv tereta Q) siječe površinu poprečnog presjeka temelja u tački C na rastojanju 0,6 m od ose AB, odrediti dimenziju stranice a temelja tako da u njegovoj osnovi ne nastupe naponi zatezanja. Odrediti koliki će biti specifični pririsak na tlo pri izabranoj vrijednosti za a. Zapreminska težina betona iznosi 22 kN/m3.
[ ]
T B
K T
y K
yz
RJEŠENJE
G V 22 a 2,4 3,0 158,4 a kN
Pr esječne sile u odnosu na težište u temeljnoj spojnici:
N Q F G G 50 80 180 158,4 a 310 158,4 a kN
M G 0,6 80 8 50 4 548 kNm
M 548 e
N
= γ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
= + + + = + + + ⋅ = + ⋅= ⋅ + ⋅ − ⋅ =
−= − = − [ ]
[ ]2 3y
0 yz
3
22 2y
2
0
2
kNm 548
(310 158,4 a) kN 310 158,4 a
i a 3 z I
e 12
a 3a12 A 3 a i 0,083 a
3 a 12
a a 0,083 a (310 158,4 a) z
2 2 548
548 a 0,16 a (310 158,4 a)
= −− + ⋅ + ⋅
⋅= − =
⋅
= ⋅ = = =⋅
⋅ + ⋅= =
⋅ = + ⋅
ZADATAK br. 5
Skripta
Otpornost materijala II 154
2
2
2
1,2
1 2
y
548 51,6 a 26,39 a
26,39 a 51,6 a 548 0
51,6 51,6 4 548 26,39 51,6 246,0 a
2 26,39 2 26,39
a 3,68 m a 5,64 m nerealno rješenje
USVOJENO: a 3,68 m
N 892,9 kN M 548
= +
+ − =
− ± + ⋅ ⋅ − ±= =⋅ ⋅
= = − −
=
= =
4y
3 62
1 1 6 12
3 62
2 2 6 12
kNm I 12,459 m
892,9 10 548 10 1840 0 N/mm
11,04 10 12,459 10
892,9 10 548 10 1840 0,162 N/mm
11,04 10 12,459 10
−
−
=
⋅ ⋅σ = − + ⋅ ≅⋅ ⋅⋅ ⋅σ = − − ⋅ ≅ −⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 155
Za pravougaoni poprečni presjek dimenzija h=6 cm i b=4 cm koji je opterećen silom pritiska F=10 kN čije je hvatište O(1;1,5)cm, potrebno je nacrtati dijagrame naprezanja i odrediti neutralnu osu presjeka.
2
3 34
x
3 34
y
2 2xx
y2 2y
RJEŠENJE
Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka:
A b h 4 6 24 cm
b h 4 6 I 72 cm
12 12
h b 6 4 I 32 cm
12 12
I 72 i 3,0 cm
A 24I 32
i 1,33 cmA 24
Odsječci neutralne osi
= ⋅ = ⋅ =
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅= = =
= = =
= = =
x y x y
2x
yy
2y
xx
x
a i a računaju se prema sljedećem izrazu (e 1,0 cm e 1,5 cm) :
i 3,0 a 2,0 cm
e 1,5
i 1,33 a 1,33 cm
e 1,0
Naprezanje u nekoj tački poprečnog presjeka računa se po formuli:
= =
= − = − = −
= − = − = −
σ = − y x
y x
M MFx y
A I I
ili ako malo pojednostavimo:
+ ⋅ + ⋅
ZADATAK br. 6
Skripta
Otpornost materijala II 156
y yx xx 2 2
y x x yy x
3Ax 4 2
F e eF e eF F F x y 1 x y 1
I IA A A a ai iAAAA
Naprezanja na rubovima poprečnog presjeka iznose:
10 10 N 2 3tačka A(2,3) 1
1,33 2,024 10 m−
⋅⋅σ = − + + = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ − − ⋅⋅
⋅σ = − ⋅ + +⋅
2
3B 2x 4 2
3Cx 4 2
16,68 MPa 1,668 kN / cm
10 10 N 2 3tačka B(-2,3) 1 4,15 MPa 0,415 kN / cm
1,33 2,024 10 m
10 10 N 2 3tačka C(-2,-3) 1 8,35 MPa 0,835
1,33 2,024 10 m
−
−
= − = −
⋅ − σ = − ⋅ + + = − = − ⋅ ⋅ − − σ = − ⋅ + + = = ⋅
2
3D 2x 4 2
kN / cm
10 10 N 2 3tačka D(2,-3) 1 4,18 MPa 0,418 kN / cm
1,33 2,024 10 m−⋅ − σ = − ⋅ + + = − = − ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 157
Nacrtati dijagram normalnog napona za stub čiji je presjek dat na slici.
2
T
3 32 4
z
3 32 2 4
y
2 2z z
y
RJEŠENJE
A 2 20 2 10 2 80 cm
2 10 2 ( 6) z 3 cm
40 40
10 2 2 10 I 2 2 10 9 4856 cm
12 12
20 2 2 10 I 2 40 3 2 20 3 1066 cm
12 12
4856 i 7,79 cm i 60,70 cm
80
1066 i
= ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ −= = −
+⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅ + =
⋅ ⋅= + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
= = =
= 2 2y3,65 cm i 13,33 cm
80= =
ZADATAK br. 7
Skripta
Otpornost materijala II 158
yzy z2 2
y z
2y
0z
2z
0y
Jednačina neutralne ose glasi:
ee 1 z y 0 e 8,0 cm e 2,0 cm
i i
i 13,33 z 6,67 cm
e 2,0
i 60,70 y 7,59 cm
e 8,0
Maksimalni naponi javljaju se u tačkama A i B koj
+ ⋅ + ⋅ = = =
= = − = −
= = − = −
A A
B B
z
y
yA zz A A
z y
Az
e su najviše udaljene od neutralne ose:
A: z 4,0 cm y 10 cm
B: z 8,0 cm y 10 cm
M F 0,08 200 0,08 16 kNm
M F 0,02 200 0,02 4 kNm
MMF y z
A I I
= == − = −
= ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ =
σ = − − ⋅ − ⋅
σ3 6 6
22 4 4
3 6 6B 2z 2 4 4
200 10 16 10 4 1010 10 4,0 10 72,9 N / mm
80 10 4856 10 1066 10
200 10 16 10 4 10 10 10 8,0 10 37,9 N / mm
80 10 4856 10 1066 10
⋅ ⋅ ⋅= − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅σ = − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
Skripta
Otpornost materijala II 159
Betonski stub koji ima u temelju presjek 20x20 opterećen je prenosnicom. Odrediti najveću dozvoljenu vrijednost sile F ako je dozvoljeni napon na pritisak 0,7 N/mm2, a na zatezanje 0,7 N/mm2. Nacrtati dijagrame normalnog napona.
maxmin
0
0
y z
y y
z
y
z 2zmax 0 d
y
pr 2zmin 0 d
y
33
y
z
RJEŠENJE
'
F težišni napon
AM F e
' z zI I
F e '
W
F eF ' 0,6 N/mm
A W
F eF ' 0,7 N/mm
A W
20 W 1330 cm
6 e 30 10
σ = σ + σ
σ = − −
⋅σ = ± ⋅ = ⋅
⋅σ = ±
⋅σ = σ + σ = − + ≤ σ =
⋅σ = σ − σ = − − ≤ σ = −
= =
= − 20 cm=
ZADATAK br. 8
Skripta
Otpornost materijala II 160
z 2zd
z
3 2
3 2
3
0 2
I slučaj
e 1 F 0,6 N/mm
W A
0,60 F 4785 N
20 10 1
1330 10 400 10
F 4,8 kN
II slučaj
0,70 F 3991 N
20 10 1
1330 10 400 10 F 4,0 kN
usvaja se: F 4,0 kN
F 4,0 10
A 400 10
⋅ − ≤ σ =
= =⋅ −⋅ ⋅
=
= =⋅ +⋅ ⋅
=
=
⋅σ = − = − = −⋅
2
32z
3y
A D 2x
B C 2x
2z
0 0y
0,10 N/mm
F e 4,0 10 20 10 ' 0,60 N/mm
W 1330 10
Napon u stranici A D:
0,1 0,60 0,50 N/mm
Napon u stranici B C:
0,1 0,60 0,70 N/mm
Neutralna osa:
i y z
e
−
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = ± = ± = ±⋅
−
σ = − + =−
σ = − − = −
= − = ∞ =2y
z
2y2
y z
0
i
e
I 13333,3 i 33,33 cm e 20 cm
A 40033,33
z 1,6 cm20
−
= = = = −
= − =−
Skripta
Otpornost materijala II 161
Za dati stub opterećen silama F1 i F2 nacrtati dijagram normalnog napona u odnosu na neutralnu osu. Nacrtati također jezgro presjeka.
z 1
y 1
1 2
RJEŠENJE
M F 0,3 12 kNm
M F 0,125 5 kNm
N F F 70 kN
= ⋅ == ⋅ =
= + =
3 3
5 4z
3 32 4
y
2
y1 zx
z y
3 6 61x 2 5 4 4
25 60 10 50 I 2 2,416 10 cm
12 12
60 25 50 10 I 2 2 50 10 7,5 13542 cm
12 12
A 60 25 2 50 10 500 cm
MMN
A W W
70 10 12 10 5 10 300
500 10 2,416 10 10 1,354 10
⋅ ⋅= − ⋅ = ⋅
⋅ ⋅= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ − ⋅ ⋅ =
σ = − − −
⋅ ⋅ ⋅σ = − − ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
4
y2 zx
z y
3 6 62 2x 2 5 4 4 4
125 7,51 N / mm10
MMN
A W W
70 10 12 10 5 10 300 125 4,71 N / mm
500 10 2,416 10 10 1,354 10 10
⋅ = −⋅
σ = − + +
⋅ ⋅ ⋅σ = − + ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ZADATAK br. 9
Skripta
Otpornost materijala II 162
Jezgro presjeka
Skripta
Otpornost materijala II 163
Temelj poprečnog presjeka na slici, opterećen je vertikalnom silom F=35400 kN u tački A. Nacrtati dijagram napona u temeljnoj spojnici imajući u vidu da tlo ne prenosi napone zatezanja.
( )2
3 3 4y
y
zx 2
y
x1 2
RJEŠENJE
A 12,0 8,0 23,0 8,0 48,00 m
1 I 12 8 2 8 3 896 m
12
896 i 4,320 m
48
Ivični naponi u temeljnoj spojnici su:
eF 1 z
A i
Ivica 1-1
35400 4,10 1 6,0
48 4,32
= ⋅ − ⋅ =
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
= =
σ = − ⋅ + ⋅
σ = − ⋅ − ⋅
2
2x2 2
234,6 kN m (zatezanje)
Ivica 2-2
35400 4,10 1 6,0 1709,60 kN m (pritisak)
48 4,32
Dijagrami napona bit će prikazani na sljedećoj slici:
a)
=
σ = − ⋅ + ⋅ = −
ZADATAK br. 9
Skripta
Otpornost materijala II 164
b)
Pošto tlo ne prenosi napone zatezanja, potrebno je isključiti dio presjeka u kome se javljaju naponi
zatezanja, tako da dijagram napona dobije oblik kao na sljedećoj slici gdje imamo samo napone pritiska:
0
1 2
B 1 1 2 2
01 0 0
2 02 0
Nepoznate veličine i x odredit ćemo iz uslova ravnoteže:
x 0 F F F
M 0 F e F e F c
1 z 2 F 2 8 16 (z 1)
2 z z
1 z 2 F (z 2) 2 (z 1)
2 z
σ = + = = ⋅ + ⋅ = ⋅
σ− = ⋅ ⋅ σ + σ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
σ− = ⋅ − ⋅ ⋅ σ ⋅ = − ⋅
0 0
1
0 0
z
z 222 1 3z 4z e
z 23 3 z 1z
−σ + ⋅ ⋅ σ −= ⋅ = ⋅− −σ + ⋅ σ
Skripta
Otpornost materijala II 165
2
20
30
1 e 2 (z 2)
3
Uslovi ravnoteže sada imaju sljedeći oblik:
(z 12z 12) F ......(1)z
1 (z 36z 48) F c ......(2) c 1,80 m
3 z
Ove dvije jednačine sa dvije nepoznate zamjenom
= + ⋅ −
σ⋅ + − =
σ⋅ ⋅ + − = ⋅ =
3 2
0 2 2
2 20
možemo svesti na jednu jednačinu sa
jednom nepoznatom oblika:
z 5,7z 32,4z 20,4 0
rješenjem iste dobijamo:
F z 35400 9,04
z 12z 12 9,04 12 9,04 12
1795,80 kN / m 1,7958 N/mm
− − + =
⋅ ⋅σ = =+ − + ⋅ −
σ = =
Skripta
Otpornost materijala II 166
12. DIMENZIONIRANJE METODOM GRANIČNE NOSIVOSTI
Skripta
Otpornost materijala II 167
Prostu gredu opterećenu koncentrisanom silom F=70 kN u sredini raspona dimenzionisati:
e) Metodom dopuštenih napona ako je 2d 160 N/mmσ = ,
f) Metodom granične nosivosti ako je koef.opterećenja k=1,8.
h/b=1,5
max
63 3max
z,potdop
2
2 .
2
RJEŠENJE
a) Metoda dopuštenih napona
F l 70 4 M 70kNm
4 4
M 70 10 W 437,5 10 mm
160
bh 437,5=
6
b=10,52cm, h=15,79cmb(1,5b)437,5= b= 1166,6
6 A=166,11cm
⋅ ⋅= = =
⋅= = = ⋅σ
gr
g 2p T
2
p T
2
p
3
2
b) Metoda graničnog opterećenja
F 1,8 F 126 kN
F lM 126 kNm 240 N/mm
4
bhM
4
bhM 240
4
2,25 b240 126,0
4
b 933,3
b=9,77 cm, h=14,65 cm
A=143,13 cm
⋅
= ⋅ =
⋅= = σ =
= ⋅ σ
= ⋅
⋅ ⋅ =
=
ekonomičnost: =13,83%Δ
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 168
Poduprtu konzolu raspona l=4m,opterećenu prema slici dimenzionisati:
a.) Metodom dopuštenih napona ako je h/b=1,5 ,a 2d 160 N/mmσ = ,
b.) Metodom graničnog opterećenja ako je 2T 240 N/mmσ = i koef.opterećenja k=2.
RJEŠENJE
a)
max
maxx,max dop
z
2 23
z,pot
63max
z,potdop
2
Metoda dopuštenih napona
6 6 M F l 80 4 60 kNm
32 32M
W
bh b(1,5b) W 0,375b
6 6
M 60 10 W 0,375b
160
b=100 mm, h=1,5b=150mm
A=150 cm
= ⋅ = ⋅ =
σ = ≤ σ
= = =
⋅= = =σ
ZADATAK br.2
Skripta
Otpornost materijala II 169
gr
grp
grp
2
p T
6
3
2
b) Metoda graničnog opterećenja
F 2F 160 kN
F l3 M
2 4F l 160 4
M 106,67 kNm6 6
bh M = =106,67
4
4 106,67 10 b=
240 2,25
b=92,5 mm, h=138,75 mm
A=128,34 cm
Manji presjek
= =
⋅=
⋅ ⋅= = =
⋅ σ
⋅ ⋅⋅
(lakši) dobije se metodom graničnog opterećenja za: 16,88 %.
Izvršiti dimenzioniranje poduprte konzole metodom graničnog opterećenja ako je odnos strana h/b=2, a koef.opterećenja k=1,8.
x
gr
2 23
pt
2 2 .3
el
2gr
p
3 3p T
3 6
RJEŠENJE
T 0
18,83 10x 0
18,83 x 1,883 m
10
q 1,8 10 18 kN/m'
bh b(2b) W b
4 4
bh b(2b) W 0,66b
6 6
q l 18 125 M 187,5 kNm
12 12
M b b 240
b 240 187,5 10
=− =
= =
= ⋅ =
= = =
= = =
⋅ ⋅= = =
= ⋅ σ = ⋅
⋅ = ⋅6
3187,5 10
b 92,1 mm240
b=93 mmUSVOJENO :
h=2b=186 mm
⋅= =
ZADATAK br.3
Skripta
Otpornost materijala II 170
Odrediti nosivost (Popt) grede,prikazane na slici a), proračunatu prema dozvoljenim opterećenjima i uporediti je sa nosivošću (Pdoz), proračunatoj prema dozvoljenim naponima.Dimenzije: a=0,6 m, b=1,3
m, c=2,0 m , 2doz 140 N/mmσ = .Poprečni presjek grede je INP 22.
RJEŠENJE
T T TT
T
TT
Momenat savijanja pod silom 2P može se izraziti ovako:
2P bc aP c M b M AC AB
l l l
Sila P u trenutku razaranja označena je sa indeksom T, dakle P .Iz napisane jednačine ona se može
odrediti:
M P
= − = − −
=
T T T
TT
(l b)
(2b a)c
Imajući u vidu da je M momenat pri razaranju jednak M 2S , gdje je S statički moment
polovine površine poprečnog presjeka grede za neutralnu osu,dobićemo:
2S (l b) P
(2b a)c
Dozvolje
+−
= σ
σ +=−
Tdoz
dozopt
no opterećenje se može dobiti djeleći opterećenje pri razaranju sa stepenom sigurnosti k.
Ako se uzme da je , imaćemo:k
2S (l b) P
(2b a)c
Za profil INP 22 ,nalazimo u tablici za asor
σ = σ
σ + = −
3
timan valjanih profila :
I I 3400 18,9 ; S= 180 cm ,
S 18,9 18,9
prema tome je:
= = =
ZADATAK br.4
Skripta
Otpornost materijala II 171
[ ] [ ]
opt
dozdoz doz doz doz
2 180 14 460 P 57,96 kN 58 kN
200 200
Pri proračunu prema dozvoljenim naponima možemo napisati(vidi sliku b)):
W 309 14 P 89,8 W P P 48,2 kN
89,8 89,8
P
⋅ ⋅ ⋅ = = ≈ ⋅
⋅ σ ⋅⋅ = ⋅ σ = = =
[ ]doz opt
58 48,2 je manje od P za: 100 16,9 %.
58
− ⋅ =
Skripta
Otpornost materijala II 172
13. ENERGIJA ELASTIČNIH DEFORMACIJA
Skripta
Otpornost materijala II 173
Kružni prsten od sivog lijeva razrezan je radijalno i opterećen prema slici silama F jednake veličine i suprotnog smjera.Potrebno je: a)Izračunati energiju elastične deformacije, b)Za koliko će se povećati razmak δ (koji je prije opterećenja prstena veoma malen),ako je zadato: 5 2 4 2F 30 N, R=60 mm, b=4 mm, h=6 mm, E=1,2 10 N/mm ,G=4,8 10 N/mm= ⋅ ⋅ .
RJEŠENJE
V
a) Deformacioni rad vanjskih sila je:
1 A F ... 1
2Uslijed zadatog opterećenja u presjeku pod uglom djeluju:
-uzdužna sila N
-poprečna sila T
-momenat savijanja M
i prem
= ⋅ δ
ϕ
( ) ( )
2 2 2
AB AB AB
a tome energija elastične deformacije bit će:
1 1 1 U= M ds N ds T ds
2EI 2EA 2GA
Sa slike vidimo da je:
M=F R R cos FR 1 cos
N Fcos
T Fsin
AS S R ds=Rd
pa imamo:
1 U=
2EI
+ +
− ϕ = − ϕ= ϕ= ϕ
= = ϕ ϕ
2 2 22 3 2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 22 3 2 22 2 2
0 0 0
1 1F R (1 cos ) d F sin Rd F cos Rd
2GA 2EA
F R F R F R (1 cos ) d sin d cos d
2EI 2GA 2EA
Izračunavanjem gore navedenih integrala dobivamo:
π π π
π π π
− ϕ ϕ + ϕ⋅ ϕ + ϕ⋅ ϕ =
= − ϕ ϕ + ϕ⋅ ϕ + ϕ⋅ ϕ
ZADATAK br.1
Skripta
Otpornost materijala II 174
222
00
222
00
222
00
2 3 2
3 sin 2 (1 cos ) d 2sin 3
2 4
sin 2 sin d
2 4
sin 2 cos d
2 4
Kada ovo uvrstimo u izraz za energiju deformacija dobivamo izraz koji glasi:
F R F R U= 3
2EI
ππ
ππ
ππ
ϕ ϕ− ϕ ϕ = + − ϕ = π
ϕ ϕϕ⋅ ϕ = − = π
ϕ ϕϕ⋅ ϕ = + = π
⋅ π +
2
2 3 2 2
3
3
F R ... 2
2GA 2EA
b) Izjednačavanjem 1 i 2 imamo :
1 3 F R F R F R F
2 2EI 2GA 2EAdobijamo :
3 FR FR FR
EI GA EA
bhUvrštavanjem u gornji izraz numeričkih vrijednosti, pri čemu je: I=
12
⋅ π + ⋅ π
π π π⋅ δ = + +
π π πδ = + +
= 4 2
3
5 4 5
72 mm , A=24 mm
dobijamo :
3 30 60 30 60 30 60
1,2 10 72 4,8 10 24 1,2 10 24
7,07 mm
Odavde vidimo da su deformacije uslijed N i T veoma male i da se mogu zanemariti.To vrijedi samo o
π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅δ = + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
δ =
nda
ako su dimenzije poprečnog presjeka male u odnosu na druge dimenzije.
Skripta
Otpornost materijala II 175
Sadržaj 1. TORZIJA ............................................................................................................................ 2 2. TRAŽENJE UGIBA, MAKSVEL-MOROVA ANALOGIJA, PRAVILO VEREŠČAGINA ........................................................................................................................ 7 3. KOSO SAVIJANJE .......................................................................................................... 29 4. DIFERENCIJALNA JEDNAČINA ELASTIČNE LINIJE .............................................. 43 5. STATIČKI NEODREĐENI NOSAČI .............................................................................. 54 6. SLOŽENA NAPREZANJA .............................................................................................. 80 7. SLOŽENA NAPREZANJA (UGIBI I NAPONI PO HIPOTEZAMA) ......................... 108 8. IZVIJANJE ..................................................................................................................... 118 9. SAVIJANJE KRIVIH ŠTAPOVA ................................................................................. 131 10. JEZGRO PRESJEKA .................................................................................................. 137 11. EKSCENTRIČNI PRITISAK ..................................................................................... 146 12. DIMENZIONIRANJE METODOM GRANIČNE NOSIVOSTI ............................... 166 13. ENERGIJA ELASTIČNIH DEFORMACIJA ............................................................ 172