ORIGAMI E GEOMETRIA - ORIGAMI E GEOMETRIA Breve storia degli origami Tetraedro Modello1 1) Istruzioni origami 2) Analisi geometrica 3) Interpretazione analitica Modello2 1) Istruzioni origami

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  • 1

    ORIGAMI E GEOMETRIA

    Breve storia degli origami

    Tetraedro

    Modello1

    1) Istruzioni origami 2) Analisi geometrica 3) Interpretazione analitica

    Modello2

    1) Istruzioni origami 2) Analisi geometrica

    Conclusioni geometriche

    La costruzione del rettangolo 1 nel linguaggio della geometria analitica

  • 2

    Breve storia degli origami

    Sebbene gli origami siano tuttoggi sinonimo di Giappone, la prima traccia di questa tradizione

    arriva dalla Cina, dove la carta venne prodotta fin dal 200 come alternativa economica alla seta.

    Larte cinese del piegare la carta fu conosciuta come Zhezhi e fu portata con la carta in Giappone

    nel VI secolo da monaci buddisti cinesi.

    Gli origami iniziarono cos a diffondersi in Giappone. La stessa parola giapponese origami la

    composizione di due parole: ori, che significa piegare, e gami che significa carta. Questa arte fu

    per molti secoli (e lo ancora) un popolare passatempo per i bambini giapponesi.

    E questo sarebbe rimasto se non fosse stato per loperaio giapponese Akira Yoshizawa. Nato nel

    1911 da una famiglia di produttori di latte, Akira si appassion agli origami da piccolo ma, come

    molti bambini, li abbandon gradualmente crescendo e trovando nuove attivit che occupavano il

    suo tempo. Tuttavia, a differenza degli altri bambini, riaccese la sua passione per gli origami subito

    dopo i ventanni. Aveva iniziato a lavorare in una fabbrica, dove insegnava la Geometria ai giovani

    operai, e realizz che gli origami potevano essere un modo semplice e efficace per insegnare ai suoi

    studenti i concetti di angolo, linea e forma.

    Con la pratica, Yoshizawa svilupp alcune tecniche pionieristiche come quella del wet folding

    (letteralmente piega bagnata) che permetteva schemi pi complicati e la possibilit di realizzare su

    un singolo foglio un maggior numero di curve. Il suo lavoro fece partire il rinascimento degli

    origami. Le sue nuove tecniche cambiarono gli origami da passatempo a forma darte.

    Con il disegno di schemi sempre pi complessi, questa arte inizi ad attirare linteresse dei

    matematici che avevano la stessa idea di Yoshizawa: cera una grande intersezione tra larte di

    piegare la carta e la Geometria. Gli studi matematici riguardanti gli origami finalmente portarono a

    un nuovo approccio ai due problemi suddetti le cui radici, molti anni prima, risalivano a differenti

    culture e differenti continenti.

    Per concludere il nostro discorso introduttivo, necessario precisare che lorigami pu realizzare

    modelli sia partendo da un unico foglio che partendo da pi fogli (= moduli) opportunamente

    combinati insieme.

    Il nostro lavoro si collega a questa ricerca di interazione tra la piegatura della carta e la geometria e

    in modo particolare si occupa della realizzazione di poliedri regolari.

    Unattenta osservazione delle piegature eseguite per ottenere la forma geometrica desiderata si

    rivela un ottimo strumento di applicazione di nozioni geometriche basilari.

    Dei cinque solidi platonici, tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro, solo il

    tetraedro, il cubo e lottaedro possono essere realizzati con luso di un solo foglio di carta (esistono,

    comunque, anche le forme modulari) mentre il dodecaedro e licosaedro possono essere realizzati

    solo con origami modulare.

    ------------------

    Illustriamo ora la costruzione con il metodo origami del tetraedro, evidenziandone le possibili

    implicazioni geometriche.

  • 3

    Tetraedro

    I modelli studiati sono 2: modello1 e modello2 e per ciascuno sono previste le istruzioni origami e

    la relativa analisi geometrica.

    modello1

    Istruzioni origami

    Fase 1

    Da un foglio quadrato ricavare un foglio rettangolare di dimensioni 1 x 3

    (rettangolo A della figura in basso)

    Dal foglio quadrato bisogna creare

    un

    rettangolo 1 x 3

    e da questo rettangolo si realizza il

    tetraedro

    A

  • 4

    Fase 2

    Dal foglio 1 x3 al tetraedro

    Analisi geometrica

    Nella figura qui sotto rappresentata la costruzione, che attraverso le piegature corrispondenti alle

    rette illustrate, porta alla realizzazione del rettangolo ( in rosso nella figura).

    Giustifichiamo la costruzione, facendo riferimento alle lettere della figura.

    1. M ed N sono rispettivamente punti medi dei lati del quadrato a cui appartengono. Il punto P il

    punto medio di AM e il segmento PQ parallelo ad MN.

    La piegatura MR porta il punto A nel punto A della retta PQ: A dunque il simmetrico di A

    rispetto a MR. Sia O il punto di intersezione fra le rette RA e MN. Si ha . Nel triangolo rettangolo MPA lipotenusa MA il doppio del cateto PM perci langolo di 60. Si riconosce allora che:

  • 5

    Il triangolo RMO dunque equilatero ed

    .

    E stato cosi realizzato il rettangolo desiderato, evidenziato in rosso nella figura.

    Se poniamo 2. Consideriamo ora la costruzione del tetraedro: lavoriamo nel rettangolo ABCD, dove sono

    state realizzate le piegature EF, RS, GH che lo dividono in quattro strisce uguali.

    La striscia superiore portata sulla seconda e la striscia inferiore sulla terza in modo che A e D

    vanno a coincidere con R, e B e C vanno a coincidere con S; otteniamo il rettangolo a doppio strato

    GHFE.

    Le piegature GI e HJ portano rispettivamente E in E e F in F sul segmento RS.

    Il punto E il simmetrico di E rispetto a GI e F il simmetrico di F rispetto ad HJ. Nel triangolo

    rettangolo ERG si ha:

    perci ; il triangolo IGU, ottenuto prolungando il segmento IE, dunque equilatero e, analogamente, lo il triangolo JVH.

  • 6

    Si ha:

    , allora anche

    .

    I tre triangoli IGU, JVH e TUV, con T punto medio di EF, sono equilateri e lo sono anche TIU e

    JTV; tutti questi sono i triangoli che sono stati ottenuti con i piegamenti successivi visti nella fase

    operativa.

    Nella figura sottostante, compaiono colorati in rosso, i triangoli che formeranno il tetraedro:

    Uninteressante osservazione riguarda la relazione tra le dimensioni del foglio utilizzato per

    costruire il tetraedro e i triangoli equilateri che potranno essere in esso contenuti.

    Il confronto con il modello 2, costruito da un foglio di carta di dimensioni differenti, consentir di

    osservare una diversa disposizione dei triangoli equilateri.

  • 7

    modello2

    Fase1

    Dal foglio quadrato bisogna creare un

    rettangolo 1 x 2 (foglio A4)

    e da questo rettangolo si realizza il tetraedro

    Istruzioni origami

    Fase 1

    Da un foglio quadrato ricavare un foglio rettangolare di dimensioni 1 x 2

    (rettangolo B della figura in basso)

    B

  • 8

    Fase 2

    Dal foglio 1 x2 al tetraedro

    Analisi geometrica

    1. Nella figura che segue sono rappresentate le piegature che portano, a partire dal foglio

    quadrato, al rettangolo in cui il rapporto fra le dimensioni .

    Giustifichiamo la costruzione, facendo riferimento alle lettere della figura.

    .

    La piegatura AR porta il punto B sul punto B della diagonale AC: B il simmetrico di B rispetto ad

    AR. Il triangolo CBR rettangolo ed isoscele, la retta BE, parallela ad AB, passante per B,

    perpendicolare a BC, perci E il punto medio di RC: dunque FE la piegatura, parallela ad AB

    che porta C in R.

  • 9

    Se N la proiezione di B sul lato AB, il triangolo ANB rettangolo isoscele, si ha:

    Poich si ha

    Concludiamo cos che il rettangolo ABEF il rettangolo richiesto.

    Se poniamo

    Il rettangolo A4, che usato in tutto il mondo con leccezione degli Stati Uniti dAmerica,

    appunto un rettangolo in cui il rapporto fra le dimensioni . Un aspetto affascinante del rettangolo A4 che, tagliato a met lungo il lato maggiore, genera due

    rettangoli a lui simili, quindi ancora rettangoli A4. Perch?

    Quanto abbiamo visto fino ad ora suggerisce un procedimento, illustrato dalla figura che segue, che

    permette, dato un quadrato, di costruirne uno di area doppia.

  • 10

    2. Ritorniamo alla realizzazione del tetraedro.

    Le prime tre piegature del foglio 1 x 2 sono, come nel modello precedente, parallele alla dimensione maggiore del rettangolo, rispettivamente secondo il punto medio della dimensione

    minore del rettangolo e poi secondo i punti medi delle relative met della stessa dimensione.

    Come nel caso precedente la striscia e la striscia inferiore sono portate rispettivamente sulla seconda

    e sulla terza in modo che A e D vanno a coincidere con R, e B e C vanno a coincidere con S;

    otteniamo il rettangolo a doppio strato GHFE.

    La piegatura HJ porta F in F sulla piegatura RS.

    Il punto F il simmetrico di F rispetto a HJ. Nel triangolo rettangolo FSH si ha:

    perci

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