optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „bella d.o.o.“oliver.efri.hr/zavrsni/345.b.pdf ·...

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

DUNJA POTKRAJAC

OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA

D.O.O.“

DIPLOMSKI RAD

RIJEKA, 2013.

SVEUČILIŠTE U RIJECI

EKONOMSKI FAKULTET

OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA

D.O.O.“

DIPLOMSKI RAD

Predmet: Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje

Voditelj: prof. dr. sc. Ljiljana Lovrić

Studentica: Dunja Potkrajac

Smjer: Poduzetništvo

Matični broj:0081111727

Rijeka, rujan, 2013.

1. UVOD ________________________________________________________________ 1

1.1. Predmet i problem istraživanja ________________________________________ 1

1.2. Radna i pomoćne hipoteze ____________________________________________ 1

1.3. Svrha i ciljevi rada __________________________________________________ 2

1.4. Znanstvene metode __________________________________________________ 2

1.5. Struktura rada _____________________________________________________ 3

2. LINEARNO PROGRAMIRANJE __________________________________________ 4

2.1. Osnove linearnog programiranja ______________________________________ 7

2.2. Standardni problemi maksimuma i minimuma __________________________ 8

2.3. Kanonski model linearnog programiranja ______________________________ 11

2.4. Metode linearnog programiranja _____________________________________ 13

2.4.1. Grafička metoda ____________________________________________________________ 14 2.4.2. Simpleks metoda ____________________________________________________________ 17

2.5. Analiza osjetljivosti _________________________________________________ 23

3. UPRAVLJANJE PROIZVODNJOM I ZALIHAMA __________________________ 25

3.1. Općenito o zalihama ________________________________________________ 26

3.2. Upravljanje zalihama _______________________________________________ 26

4. OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA D.O.O.“ __ 29

4.1. Postavljanje problema ______________________________________________ 30

4.2. Rješenje problema __________________________________________________ 37

4.2.1. Izvješće o rješenju ___________________________________________________________ 42 4.2.2. Izvješće o analizi osjetljivosti __________________________________________________ 45

5. ZAKLJUČAK _________________________________________________________ 49

LITERATURA ____________________________________________________________ 51

INTERNET IZVORI _______________________________________________________ 52

POPIS TABLICA __________________________________________________________ 53

POPIS SLIKA _____________________________________________________________ 53

POPIS GRAFIKONA _______________________________________________________ 54

Optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“

1

1. UVOD

Dinamika promjena okoline i kompleksnost djelovanja njezinih utjecajnih čimbenika na

poslovanje poduzeća presudno diktiraju potrebu razvoja brzog, efikasnog i efektivnog

sustava odlučivanja. Suvremena turbuletna okolina prisiljava menadžment da sve češće

donosi presudne odluke za vitalnost poduzeća. Prioritetni cilj menadžmenta u takvim

uvjetima je optimizacija poslovanja poduzeća kao sustava.

Svako odlučivanje je vezano uz realizaciju ciljeva. Svakodnevni problemi s kojima se

susreće menadžment odnose se na alokaciju resursa, organizaciju transporta, upravljanje

zalihama, izbor proizvodnog asortimana, raspored rada, marketinška istraživanja itd.

Postoji čitav niz aktivnosti u kojima se resursi mogu koristiti, ali osnovna karakteristika

resursa je njihova ograničenost. Sve aktivnosti zahtijevaju više resursa nego što se ima

na raspolaganju.

1.1. Predmet i problem istraživanja

Upravo kod ograničenih resursa menadžer treba donijeti odluku o aktivnostima za koje

se treba opredijeliti, s tim da se ograničeni resursi ne smiju prekoračiti i sve to s ciljem

dobivanja najpovoljnijeg rezultata odabrane aktivnosti. Jedan od načina uspješnog

rješavanja ovog problema i donošenja ispravne odluke je linearno programiranje.

Problem istraživanja ovog diplomskog rada je određivanje optimalne količine

proizvodnje i zaliha uz primjenu linearnog programiranja.

Predmet istraživanja ovog rada je specifikacija matematičkog modela proizvodnje s

ciljem optimizacije količine proizvodnje i zaliha u poduzeću „Bella d.o.o.“.

1.2. Radna i pomoćne hipoteze

Predmet istraživanja oblikuje hipotezu diplomskog rada. Razne mogućnosti koje je

donijela primjena linearnog programiranja u poduzeća omogućila je poduzetnicima


2

olakšano poslovanje i suradnju s poslovnim korisnicima i što je najbitnije od svega,

smanjenje troškova i veću učinkovitost poslovanja.

Radna hipoteza: Primjenom linearnog programiranja moguće je donositi optimalne

poslovne odluke kod definiranja količine proizvodnje i zaliha.

Iz radne hipoteze moguće je postaviti nekoliko pomoćnih hipoteza:

Teorijska i praktična znanja o linearnom programiranju omogućuju rješavanje

različitih praktičnih problema.

Ciljanom analizom podataka proizvodnog poduzeća moguće je definirati sve

parametre koji su značajni kod postavljanja optimizacijskog modela

minimizacije ukupnih troškova proizvodnje i zaliha.

Korištenjem linearnog programiranja menadžer može donositi optimalne odluke

s ciljem minimizacije troškova proizvodnje i zaliha.

1.3. Svrha i ciljevi rada

U ovom radu kao svrha istraživanja postavlja se primjena linearnog programiranja u

donošenju poslovnih odluka u proizvodnom pogonu jednog poduzeća.

Cilj rada jest istražiti optimalnu proizvodnju proizvoda korištenjem matematičkog

modela optimizacije. Žele se utvrditi optimalne količine šećerne paste koje se trebaju

proizvesti u razdoblju od šest mjeseci s ciljem minimizacije ukupnih troškova

proizvodnje.Optimalne količine definiraju se s obzirom na očekivanu potražnju i

potrebne zalihe.

1.4. Znanstvene metode

U ovom diplomskom radu korištene su u odgovarajućim kombinacijama slijedeće

znanstvene metode: induktivna i deduktivna metoda, metoda analize i sinteze, metoda


3

klasifikacije, metoda matematičkog modeliranja, metoda optimizacije, metoda analize

osjetljivosti, metoda deskripcije i komparativna metoda.

1.5. Struktura rada

Rezultati istraživanja predočeni su u četiri međusobno povezana dijela.

U Uvodu su navedeni problem i predmet istraživanja, radna hipoteza i pomoćne

hipoteze, svrha i ciljevi istraživanja, znanstvene metode i obrazložena je struktura rada.

Naslov drugog dijela rada je Linearno programiranje. U tom dijelu rada govori se o

osnovama linearnog programiranja, standardnom problemu maksimuma i minimuma,

kanonskom modelu linearnog programiranja, metodama linearnog programiranja i na

kraju kratko o analizi osjetljivosti.

Naslov Upravljanje proizvodnjom i zalihama nositelj je trećeg dijela. Treći dio je

obrađen kroz dvije cjeline: općenito o zalihama i upravljanje zalihama

U četvrtom, najopsežnijem dijelu rada, s naslovom Optimizacija proizvodnje i zaliha u

poduzeću „Bella d.o.o.“ prvo se definiraju problemi vezani uz troškove proizvodnje i

zaliha, a potom se model formulira i matematički. Rješenja modela su prikazana u

programu Excel Solver. Između ostalog prikazana su i dva najvažnija izvješća koje

donosi Excel Solver, a to su Izvješće o rješenju i Izvješće o analizi osjetljivosti.

U posljednjem dijelu Zaključku, dana je sinteza rezultata istraživanja kojima je

dokazivana postavljena radna hipoteza.


4

2. LINEARNO PROGRAMIRANJE

Poslovno odlučivanje je proces izabiranja smjera, odnosno načina djelovanja između

više alternativa rješavanja nekog problema, a rezultira donošenjem odluka. Suštinu

odlučivanja čini uspoređivanje cilja s ishodima pripremljenih alternativa, od kojih se

izabire ona koja daje ishod najbliži cilju određenog problema. Odlučivanje je u

prosuđivanje o najboljem rješenju određenoga problema na temelju informacija o

njegovim uzrocima i efektima rješenja na ostvarivanje ciljeva poduzeća. Zato donošenje

kvalitetnih odluka zahtijeva logičan i sustavan pristup. Veliku pomoć suvremenom

menadžmentu u procesima odlučivanja, odnosno u upravljanju poslovanjem poduzeća,

pruža linearno programiranje kao optimizacijska tehnika.

Linearno programiranje jedna je od najvažnijih disciplina operacijskih istraživanja.

Operacijska istraživanja predstavljaju primjenu matematičkih metoda u modeliranju i

analizi sustava, kao pomoć u poslovnom odlučivanju (Lovrić, 2009, str.10). Proces

operacijskih istraživanja mogao bi se svesti na slijedeće korake (Barković, 1997, str. 8):

formulacija problema (postavljanje granica sustava koji se istražuje),

konstrukcija modela,

modelsko računanje

te primjena.

Zadaća operacijskih istraživanja leži u rješavanju realnih problema, pri tome uključuje

matematiku, programiranje, elektroničku obradu podataka, organizacija podataka,

pribavljanje podataka, tehnike strukturiranja i klasificiranja, kreativne tehnike, odnosno

vlastite metode i tehnike da bi se model mogao strukturirati i riješiti. (Barković, 1997,

str. 8).

U povijesti razvoja linearnog programiranja bilježe se razna postignuća poznatih

matematičara. Prve primjene linearnog programiranja uslijedile su u vojnom području, a

razvile su se u Drugom svjetskom ratu iz vojnih potreba. Ograničene resurse trebalo je u

ratu rasporediti na različite vojne aktivnosti i operacije. Pri tom je trebalo postići što


5

bolje efekte pa su pozvani znanstvenici da primjene znanstveni pristup u rješavanju

takvih problema. Upravo odatle i dolazi naziv operacijska istraživanja (Andrijić, 2002,

str. 134).

Znanstvenici koji su pridonijeli razvoju linearnog programiranja su: ruski matematičar

L. V. Kantorović, koji je postavio prve formulacije problema linearnog programiranja u

svojoj knjizi „O organizaciji i planiranju proizvodnje“ (1939.) te F. L. Hitchock (1941.)

koji je objavio studiju o transportnom problemu linearnog programiranja.Tvorcem

linearnog programiranja smatra se i G.B. Dantizing. Dantizing je 1947. godine razvio

metodu, tzv. simpleks proceduru za potrebe rješavanja različitih problema američkog

zrakoplovstva.Iste godine svoj doprinos je dao Newman razvojem teorije

dualnosti.Nakon toga uslijedili su pokušaji primjene linearnog programiranja u

problemima industrije.

Danas je primjena linearnog programiranja raznolika. Tipični problemi koji se najčešće

rješavaju primjenom metode linearnog programiranja su (Dalić, 1994., str. 22):

Raspored proizvodnje i politika zalihe. Radi se o utvrđivanju takve veličine i

rasporeda proizvodnje da se zadovolji potraživanja i minimiziraju troškovi

proizvodnje i zaliha;

Financijska analiza- odabir optimalnog portfolia, tj. portfolia kojim će se

maksimizirati povrat od investicija;

Alokacija fiksnog marketing budžeta na elemente marketing miksa tako da

se maksimiziraju efekti marketing napora;

Problem transporta određenih količina na određena mjesta tako da se

minimiziraju transportni troškovi;

Problem rasporeda osoblja na određene zadatke tako da se maksimizira

mjera njihove uspješnosti.

Linearno programiranje je metoda kojom se maksimizira (minimizira) neka funkcija

cilja kad postoji određen broj ograničenja.U zadacima linearnog programiranja susreću

se s tri kategorije čimbenika s kojima se koristi menadržer prilikom određivanja

optimalnog rješenja (Petrić, 1979, str.18) :


6

Čimbenici koji su zadani u uvjetima gospodarenja, proizvodnje, potrebama i

troškovima (ulazni čimbenici);

Čimbenici koje karakterizira rezultat djelatnosti, akcije...(izlazni čimbenici);

Čimbenici koje karakterizira proces rada, tehnologije, uzajamne veze i odnose,

strukturu i karakteristike resursa, organizacija...(strukuralni čimbenici).

Linearno programiranje predstavlja metodu određivanja takve kombinacije uzajamno

povezanih čimbenika (Grafikon 1.), koja od niza mogućih kombinacija predstavlja

najpovoljniju, odnosno, traži se takva kombinacija koja će pored toga što će zadovoljiti

dana ograničenja zadovoljiti i kriterij optimalnosti (Petrić, 1979, str.18).

Grafikon 1. Optimalno rješenje linearnog programiranja

Izvor: Izradila studentica na temelju (Petrić, 1979, str.18)

Problemi linearnog programiranja se obično rješavaju pomoću računala, umjesto

grafičkim i algebarskim tehnikama.Razvojni alat u oblikovanju kvantitativnih poslovnih

modela je Excel Solver. To je najznačajniji alat u računalnom programu Excel za

uporabu u operacijskim istraživanjima (Infosustav, 2009, str. 3).

Strukturalni čimbenici

Ulazni čimbenici

Izlazni čimbenici

OPTIMALNO

RJEŠENJE


7

Solver predstavlja dodatak proračunskoj tablici Excel koji automatizira rješavanje

problema koji uključuju mnoge varijabilne stanice i pomaže u nalaženju kombinacija

varijabli koje ciljnu stanicu podižu na najveću ili najmanju vrijednost. Pri rješavanju

problema Solver također omogućava određivanje jednog ili više ograničenja – uvjeta

koji moraju biti ispunjeni kako bi rješenje bilo zadovoljavajuće (Infosustav, 2009, str.

3).

2.1. Osnove linearnog programiranja

Naziv linearno programiranje sastoji se od dvije riječi, riječ linearno - odnosi se na

funkciju cilja koju opisuje svojstvo linearnosti, dok riječ programiranje podrazumijeva

planiranje. Sukladno navedenom, linearno programiranje podrazumijeva planiranje

aktivnosti koja će omogućiti najbolji, optimalan izbor unutar ograničenih resursa.

Model linearnog programiranja sastoji se od funkcije cilja i ograničenja. U ovim

matematičkim relacijama postoje parametri i varijable. U jednom konkretnom

linearnom modelu parametri su konstante, koje naravno mogu uzeti bilo koju vrijednost,

a varijable predstavljaju količine koje treba odrediti rješavanjem modela (Pavlović,

2005,str. 139).

Nadalje, prema Pavloviću (2005, str. 139) za rješavanje realnih problema potrebno je

zadovoljiti određene pretpostavke:

Mora postojati jasan cilj koji se može kvantitativno izraziti;

Moraju postojati ograničeni izvori resursa i udjela na tržištu;

Moraju postojati alternativna rješenja;

Mora postojati uzajamna međuovisnost izražena linearno.

U općenitom slučaju problem matematičkog programiranja može se definirati na

slijedeći način (Babić, 2010, str. 70):

Max(Min){∫ |


8

Dakle, radi se o određivanju maksimuma (ili minimuma) neke funkcije od n varijabli

( ), gdje je X vektor iz prostora kojemu se te varijable komponente, tj.

X=[

]

Pri tome je funkcija cilja ili kriterija, a vektor X pripada nekom skupu S. Skup S

definiran je ograničenjima zadanog problema. Skup S naziva se skup mogućih rješenja.

Ukoliko je S= , radi se o optimalizaciji bez ograničenja, tj. vektor X može biti bilo

koji vektor iz prostora

Ukoliko je ( ) linearna funkcija od n varijabli (dakle, u njoj se sve varijable

na prvu potenciju i nema umnožaka varijabli),a ograničenja koja definiraju skup S su

također linearna, tada se govori o linearnom programiranju (Babić, 2010, str. 70).

2.2. Standardni problemi maksimuma i minimuma

Opći je problem optimizacije, a to znači maksimizacija ili minimizacija linearne

funkcije u tome da se pronađe njezim optimum zavisno od funkcije cilja i uz uvjet

linearnih ograničenja varijabli. Opća struktura linearnog programa izražena u formi

linearnog modela ima slijedeći oblik (Babić, 2010, str.131):

Optimalizirati:

pod uvjetom da:


9

Kod toga predstavlja n varijabli odlučivanja i cilj je utvrditi vrijednosti tih koje

optimiziraju (maksimiziraju ili minimiziaju) funkciju cilja koja je:

kod čega je simbol c poznati koeficijent (konstanta, parametar) profita ili troškova.

Optimalizacija je pod određnim ograničenjima. Tako je i prethodni generalni problem

pod ograničenjima. Radi se o m ograničenja, a tri znaka (≤, =, ≥) se koriste kako bi se

jednim od njih označilo o kojem se ograničenju radi (Babić, 2010, str.131).

Koeficijent je poznat kao konstanta iskorištavanja resursa, budući da on

predstavljaju količinu resursa korištenu za aktivnost j. Vrijednost , ,...

predstavljaju raspoloživost svakoga od m resursa, a koji stoje menadžeru na

raspolaganju.Za bilo koji problem koeficijenti su poznati pa se koristi linearno

programiranje kako bi se pronašla najbolja vrijednost varijable (Babić, 2010, str.131).

Što se tiče standardnog problema maksimuma linearnog programiranja, to je problem u

kojem su sva ograničenja (osim uvijeta nenegativnosti) tipa “ “, odnosno, u općenitom

slučaju n varijabli on je oblika (Babić, 2010,str. 71):

Max ∑

∑

Slijedi prikaz i u matričnom obliku:

Max

AX B

X 0


10

Problem linearnog programiranja prema Babiću je moguć ako postoji barem jedan

vektor X koji zadovoljava uvijete. Takav vektor zove se mogući vektor ili moguće

rješenje danog problema linearnog programiranja. Skup svih takvih vektora, tj. skup S=

{ | } naziva se skup mogućih rješenja danog problema. Moguć

vektor je optimalan ako maksimizira linearnu funkciju, tj. je optimalan (optimalno

rješenje problema LP), ako vrijedi:

X S

Svakom problemu maksimuma pridružen je i određeni problem minimuma koji se zove

dual originalnog problema. Naravno, ukoliko je početni problem bio problem

minimuma, tada je njegov dual odgovarajući problem minimuma.On se javlja u

slijedećem obliku:

Min ∑

∑

Ili u matričnom obliku:

Min

Sva ograničenja imaju oblik “ “. U dualu se javlja novi vektor, i to vektor Y. Taj

vektor ima n ograničenja i m varijabli, za razliku od originala, gdje je Y (Babić,

2010,str. 73).


11

2.3. Kanonski model linearnog programiranja

Kanonski model može biti problem maksimuma ili problem minimuma, ali je

karakteristika da su sva ograničenja u obliku jednadžbi, odnosno oblika “ = “(osim

uvjeta nenegativnosti). Ovakav problem naročito je pogodan za primjenu različitih

metoda rješavanja problema linearnog programiranja. Oblik tog problema je (Babić,

2010, str. 88):

Max (Min)

AX=B

X

Standardni i kanonski problem ekvivalentni su u smislu da se uvijek jedan može

transformirati u drugi, što povlači da se rješavanjem jednog od tih problema može dobiti

i rješenje drugog problema. Drugim rječima to znači da je svako rješenje jednog od tih

problema takođeri i rješenje drugog problema (Babić, 2010, str. 89).

Naime, uvjet AX=B može se zamijeniti s dva ekvivalentna uvjeta u obliku nejednadžbi,

odnosno s:

AX B

-AX -B

Očito je da ta dva uvjeta ( ) daju početni uvjet AX=B, pa se umjesto

kanonskog dobio standardni problem. Matematički rečeno, negativnost varijabli i razina

ograničenja ne predstavljaju poseban problem, ali u ekonomskim primjenama i

objašnjenima to nema smisla jer raspoloživi resursi i njihova upotreba ne mogu biti

negativni (Pavlović, 2005,str. 142).

Kada se standardni oblik želi pretvoriti u kanonski, potrebno je nastupiti malo drugačije.

U tom slučaju potrebno je nejednadžbu AX B zamijeniti sa jednadžbom

AX + U = B


12

i dodatnim zahtjevom

U 0

Budući da se želi nejednadžbu pretvoriti u jednadžbu, mora se lijevoj strani te

nejednadžbe dodati neka nenegativna veličina, tj. vektor U 0. Vektor U je vektor

dodatnih varijabli ili oslabljenih varijabli (egl. slack variables), za razliku od

komponenata vektora X, koji se zove strukturna varijabla (Babić, 2010,str. 89).

Primjer u nastavku transformira strandardni problem maksimuma i njegov dual u

ekvivalentni kanonski problem. Dakle, maksimizira se funkcija cilja:

z = 3

uz uvjete

5

+

U nastavku slijedi prikaz tri različita rješenja:

a) Kanonski problem originalnog standardnog problema maksimuma:

Maksimizacija funkcije cilja:

z = 3 +7

Uz uvjete:

5

+ =3

b) Dualni problem glasi:


13

Minimizacije funkcije cilja:

w = 7

Uz uvjete:

7

c) Kanonski model duala glasi:

Minimizacije funkcije cilja:

w =7

Uz uvjete:

5

3

2.4. Metode linearnog programiranja

Problem linearnog programiranja može se riješiti na razne načine. Jedne od osnovnih

metoda linearnog programiranja su grafička metoda - za probleme s najviše dvije

strukturne varijable te algebarska odnosno simpleks metoda.


14

2.4.1. Grafička metoda

Grafičko rješavanje problema linearnog programiranja prikazati će se na slijedećem

primjeru.

Max (2 )

Skup točaka koje zadovoljavaju dana ograničenja (nejednadžbe) je neki podskup skupa

(ravnine) (Babić, 2010, str. 79). Takav skup točaka se naziva, kao što je već

istaknuto, skupom mogućih rješenja. Očito je taj skup (skup S) neki konveksni skup u

. Naime, on je presjek 5 poluravnina, koje su konveksni skupovi, i kao takav je i sam

konveksni skup.

Uvjeti nenegativnosti definiraju dvije poluravnine ( ), odnosno presjek tih

dviju poluravnina je prvi kvandrant koordinatnog sustava, uključujući pozitivni dio

koordinatnih osi i ishodište.Ostale 3 poluravnine nalaze se ispod ili iznad odgovarajućih

pravaca (Babić, 2010, str.79) .

U nastavku se razmatra slijedeća nejednadžbu (Babić, 2010, str.79), tj.

Budući da je predznak uz varijablu pozitivan, a znak nejednakosti “ “, skup svih

točaka (vektora) u koje zadovoljavaju tu nejednadžbu nalazi se ispod i na pravcu

3 .

Analogno,


15

je poluravnina ispod pravca , a treća nejednadžba predstavlja skup svih

točaka ispod i na pravcu .

Skup mogućih rješenja u ovom primjeru je konveksni skup poliedar ABCDE, pri čemu

se ekstremne točke tog poliedra određuju kao sjecišta odgovarajućih pravaca

(hiperravnina). To su:

A(0,0), B(7,0), C(6,3), D(4,5) i E(0,6).

Skup mogućih rješenja prikazan je na slici 1.

Slika 1. Skup mogućih rješenja – poliedar ABCDE

Izvor: Babić, 2010, str. 80

Svaka točka iz skupa S (uključujući i rubne točke) zadovoljava 3 uvjeta zadane

nejednadžbe i uvjete nenegativnosti. Tih točaka očito ima beskonačno mnogo. Zadatak

linearnog programiranja (Babić, 2010, str. 80) je od tih beskonačno mnogo točaka

izabrati jednu (ili možda više njih) za koju zadana funkcija ima maksimalnu ili

minimalnu vrijednost.


16

Funkcija cilja je linearna funkcija dviju varijabli z = ƒ( ) i njen grafički prikaz je

neka ravnina u prostoru Problem linearnog programiranja sastoji se u tome da se

odredi maksimalna vrijednost te funkcije cilja, odnosno (Babić, 2010, str.80)

Max z = ƒ

ali samo za one točke iz koje se nalaze u skupu mogućih rješenja S. Budući da se

treća koordinata (aplikata z) u prostoru mjeri na vertikalnoj osi, očito treba odrediti

onu točku iz skupa S kojoj je projekcija na tu ravninu maksimalno udaljena od

horizontalne ravnine .

Dakle, odrediti optimalno rješenje problema linearnog programiranja sa dvije varijable

znači odrediti onu točku (točke ) iz skupa S koja je najviše (maksimalno) udaljena

od ravnine z=ƒ ) u prostoru (Babić, 2010, str.81).

Ovisno o nagibu te ravnine vidi se da optimalno rješenje može biti samo neka (jedna ili

više njih) od rubnih točaka konveksnog poliedra S. Ukoliko je to samo jedna točka,

onda to mora biti neka od ekstremnih točaka. Ako se slučajno taj maksimum postiže u

dvije ekstremne točke tada vrijedi i za bilo koju točku na njihovoj spojnici (konveksna

kombinacija tih ekstremnih točaka) (Babić, 2010, str.81).

Taj zaključak vrijedi i u slučaju više varijabli, odnosno vrijedi tvrdnja (Babić, 2010,

str.81):

Ako je skup mogućih rješenja problema linearnog programiranja konveksni poliedar,

tada ekstrem uvijek postoji, i postiže se u jednoj od ekstremnih točaka. Ako se ekstrem

postiže u dvije ekstremne točke tada se postiže i za svaku njihovu konveksnu

kombinaciju.Ako S nije konveksni poliedar ekstrem može i ne postojati, ali ako postoji,

postiže se također u jednoj od ekstremnih točaka ili u više njih.


17

Dakle, u primjeru, dovoljno je izračunati vrijednost funkcije cilja u svim ekstremnim

točkama i tamo gdje je vrijednost maksimalna je optimalno rješenje. Dakle:

z(A)=z(0,0)=0

z(B)=z(7,0)=14

z(C)=z(6,3)=27

z(D)=z(4,5)=33

z(E)=z(0,6)=30

Optimalna točka je točka D (4,5),tj. optimalna vrijednost funkcije cilja je 33.

Optimalno rješenje je moguće naći i grafički putem pomoću funkcije cilja.

2.4.2. Simpleks metoda

Za razliku od grafičke metode, simpleks metoda može služiti za rješavanje problema s

bilo kojim brojem varijabli i ograničenja. Primjenom simpleks metode moguće je neki

problem rješiti i ručno. Praktično je izvedivo kad problem ima vrlo malo broj varijabli

pa se uzima da problem sa 4 i više varijabli i ograničenja treba prepustiti kompjuterima.

Simpleks metoda zahtjeva definiranje ograničenja u obliku jednakosti. Svaka

nejednakost oblika “manji od“ može se pretvoriti u jednakost dodavanjem varijable čija

vrijednost odražava razliku između lijeve i desne strane i koja se naziva dodatna ili

“slack“ varijabla. U ograničenju kojemu je dodana dopunska varijabla - ta varijabla ima

koeficijent 1, dok u ostalim ograničenjima ta varijabla ima koeficijent nula (ne smije

utjecati na druga ograničenja jer je uloga te varijable da se od nejednadžbe dobije

jednadžba). U funkciji cilja ta varijabla ima koeficijant nula (ne smije utjecati na

vrijednost funkcije cilja) (Pavlović, 2005, str. 153).

Bazično rješenje koje ujedno zadovoljava uvjete nenegativnosti čini bazično moguće

rješenje. Simpleks metoda može se opisati kao „Iterativna procedura za pomicanje


18

jednog ka drugom bazično mogućem rješenju sve dok se ne pronađe optimalno

rješenje“(Dalić, 1994, str.24).

Dakle, to je metoda kojom se iz koraka u korak poboljšava rješenje. Može se reći da se

algoritam simpleks metode sastoji od četiri koraka:

1. Konstruira se neko inicijalno (početno) moguće rješenje;

2. Primjenjuje se test da se odredi je li to optimalno rješenje;

3. Ako rješenje nije optimalno, metoda daje uputu kako ići do boljeg rješenja;

4. Nakon mnogo koraka dolazi se do optimalnog rješenja ili se utvrđuje da ono ne

postoji.

Simpleks metoda radi samo s kanonskim problemom. Naime, prikazano je da se svaki

standardni problem može prevesti u njemu ekvivalentan kanonski problem, odnosno

rješavanjem kanonskog problema dobiva se i rješenje standardnog problema(Babić,

2010, str.121).

Dakle, prvi korak simpleks metode je utvrđivanje početnog rješenja. Način formiranja

početnog rješenja ovisi o tome je li zadani problem maksimuma ili minimuma, kao i je

li problem zadan u početnoj formi, tada ga prethodno treba na nju svesti, s time da

postoje neke posebnosti u problemu transformacije funkcije cilja u različitim tipovima

problema: maksimum ili minimum, opći ili standardni.

U slučaju da je zadan problem maksimuma, polazi se od rješenja u kojem je najmanja

dopustiva vrijednost strukturnih varijabli, a time i najmanja vrijednost funkcije cilja,

vrijednost nula. Ta se vrijednost u svakom slijedećem koraku povećava. Ako je pak

zadani problem minimuma, tada se polazi od najvećeg mogućeg rješenja i ono se

postupno smanjuje.

Nakon formiranja početnog rješenja pristupa se njegovom poboljšanju. Poboljšano

početno rješenje se podvrgava ispitivanju optimalnosti. Ukoliko nije, tada se to rješenje

također poboljšava. Svaki takav korak naziva se iteracija. Kada se utvrdi da je dobiveno


19

rješenje optimalno ili da optimalno rješenje ne postoji, tada je primjena metode

završena.

Ukoliko je dobiveno rješenje optimalno, tada slijedi očitavanje optimalnih vrijednosti,

kako varijabli tako i funkcije cilja, kako originalnog problema tako i njegovog duala.

Konačno dobiveno rješenje treba i protumačiti (Brajdić, 2006, str. 104).

Detaljan opis i primjena simpleks metode je moguće prikazati:

U tabelarnom obliku

Bez tabelarnog oblika

Kao praktičniji, odnosno prihvatljiviji, prikazuje se prvi način u tabelarnoj formi i to

kao početni problem maksimuma(Tablica 1.).

Tablica 1. Početna simpleks tablica za standardni problem maksimuma

... 0 0 ... 0

Baza ... ... B B/

0 ... 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 ... 0 0 ... 1

... ... Z=0

...

...

Izvor: Brajdić, 2006, str. 113

su jedinični – vektori s m komponentama. Svi navedeni vektori- strupci (osim B) su

zapravo elementi vektora A = [ ]i I=[ ] iz kanonskog modela,

koje se dobiva transformacijom standardnog modela na način kako je opisano u teoriji

linearnog programiranja. I je jedinična matrica reda (m,m) (Brajdić, 2006, str. 106).


20

U toj se notaciji transformirani standardni model u kanonski problem može pisati kao

(Brajdić, 2006, str. 107):

MaxZ = C ' X + 0 U

X , U

Ova tablica zapravo predstavlja početno rješenje za standardni problem maksimuma.

Iz tablice proizlazi (Brajdić, 2006, str. 107):

1. U bazi se nalazi m vektora- stupaca, i to svi vektori U, koji predstavljaju

jedinične vektore- stupce iz m – dimenzionalnog vektorskog prostora

2. Mogu se očitavati moguća rješenja standardnog problema maksimuma, i to

polazeći od toga da pojedinim vektorima odgovaraju istovrsne varijable i to:

a) Vektorima iz baze odgovaraju

b) Vektorima koji nisu u bazi

.

Tada se vrijednosti vektora koji su u bazi (tj. bazičnih vektora), odnosno

odgovarajućih varijabli, očitavaju na homolognom mjestu u vektor- stupcu

B. U početnom rješenju su dodatne varijable u bazi pa je:

.


21

Kod vektora koji nisu u bazi (nebazične vektore), njihove vrijednosti su

jednake nula. U početnom rješenju nema niti jedne strukturne varijable pa je

za strukturne varijable

.

3. Ukoliko se očitane vrijednosti za strukturne i dodane varijable uvrste u funkciju

cilja

Z=

dobiva se

Z= = 0

Vrijednost nula se nalazi kao vrijednost funkcije cilja za početna bazična

rješenja u samoj tablici, i to na mjestu zadnje vrijednosti u retku , tj. u koloni

vektora-stupca B. Na istom mjestu se i u svim ostalim iteracijama također nalazi

vrijednost funkcije cilja za dobiveno moguće bazično rješenje, tj. za dobivene

bazične varijable, uključujući naravno i samo optimalno rješenje (Brajdić, 2006,

str. 107).

4. Vrijednosti dualnih varijabli se nalaze u retku ,tj. u stupcima koji se

odnose na dodatne vektore .

U tabeli se osim početnog rješenja nalazi i sve potrebno za (Brajdić, 2006, str. 108):

Testiranje je li dobiveno početno rješenje optimalno, odnosno ima li uopće

optimalnog rješenja;

Dobivanje novog mogućeg rješenja.

To se realizira primjenom simpleks algoritma, kao dijela simpleks metode. To znači da

se na dobiveno početno rješenje, kao i na sva druga rješenja, sve do dobivanja


22

optimalnog rješenja ili konstatacije da optimalno rješenje ne postoji, primjenjuje

simpleks algoritam. Simpleks algoritam ima niz zajedničkih elemenata za sve tipove

problema linearnog programiranje, ali i svojih posebnosti. Proces testiranja je li

dobiveno rješenje i optimalno poseban je za pojedine tipove problema, dok je proces

dobivanja novog rješenja zajednički svim tipovima problema linearnog programiranja.

Ukratko, za standardni problem maksimuma simpleks algoritam ima slijedeće korake

(Brajdić, 2006, str. 112):

1. Testira se je li dobiveno rješenje i optimalno na slijedeći način:

Izračunaju se vrijednosti u predzadnjem retku ( );

Dobivene vrijednosti su potrebne da se izračunaju vrijednosti u retku

;

Ukoliko su svi elementi u retku tada je dobiveno rješenje i

optimalno. Ukoliko je barem jedan od elemenata , tj. ako

dobiveno rješenje nije optimalno, tada se prelazi na drugi korak

nalaženja novog mogućeg rješenja.

2. Nalaženje novog rješenja, nove baze, pri čemu se dijelom primjenjuju osnovna

pravila iz Gaussovog algoritma za rješavanje sustava od m x n jednadžbi. Sam

postupak izgleda ovako:

Prvo se traži vektor – stupac koji treba ući u bazu, tj. koji treba

zamijeniti jedan od bazičnih vektor- stupca;

Zatim se traži vektor koji izlazi iz baze, odnosno vektor na čije mjesto

ulazi vektor koji je izabran u prethodnom koraku.Ukoliko se desi da su

svi koeficijenti u izabranom vektoru- stupcu koji ulazi u bazu negativni,

tada se postupak prekida, jer bi se za funkciju cilja dobilo infinitno

rješenje;

Traži se novo rješenje i to tako da se primjenjuje dio Gaussovog

algoritma na način da se na sjecištu vektora koji ulazi i vektora koji izlazi


23

treba dobiti jedinica, a svi ostali elementi vektora-stupca koji ulazi

moraju biti nula;

Zatim se ponovno primjenjuje prvi korak, tj. testira se je li dobiveno

rješenje optimalno;

Cjelokupni postupak se ponavlja dok se ne dođe do optimalnog rješenja,

tj. sve dok sve vrijednosti u retku nisu pozitivne ili nula.

2.5. Analiza osjetljivosti

Veliko značenje prema Barkoviću (1997.) imaju analize koje se nadovezuju na

optimalno rješenje. Nakon pronalaženja optimalog rješenja problema linearnog

programiranja, i prije nego se pristupi realizaciji, vrši se postoptimalna analiza

problema. Osim toga, može se doći do raznih promjena u matematičkom modelu, ili

neki od podataka nije bio točan pa je zgodnije izvršiti postoptimalnu analizu, nego

ponovno rješavati cijeli problem.

Dakle, kod korištenja modela linearnog programiranja donosilac odluke želi znati što se

događa s optimalnim rješenjem ako se izvrše neke promjene ulaznih parametara modela

(Babić, 2010, str. 201). Želi se ispitati koliko se mogu promijeniti početni parametri, a

da to ne utječe na promjenu optimalnog rješenja.Cilj analize osjetljivosti je proučiti

mijenjanje rješenja nekog problema ukoliko se mijenjaju parametri samog problema.

Neka od najčešćih pitanja koja se pojavljuju kod analize osjetljivosti odnoseći se na

ovaj diplomski rad su sljedeća:

1. Unutar kojeg raspona, tj. unutar kojih granica se može kretati trošak proizvodnje

pakiranja šećerne paste po mjesecima, a da pri tome količine (broj pakiranja)

šećerne paste budu optimalne?

2. Unutar kojeg raspona, tj. unutar kojih granica se može kretati trošak zaliha po

mjesecima, a da pri tome količina pakiranja šećerne paste bude optimalna?


24

3. Kada i za koliko dodatna količina šećerne paste dovodi do smanjenja ili

povećanja ukupnih troškova proizvodnje i zaliha?

Analizom osjetljivosti se ispituju promjene u samo jednom parametru. Ukoliko se radi o

promjenama u više parametara, problem je složeniji i potrebno je primijeniti

parametarsko programiranje.


25

3. UPRAVLJANJE PROIZVODNJOM I ZALIHAMA

Zalihe su veoma značajan element poslovanja svake firme. U proizvodnji se govori o

repromaterijalu i zalihama poluproizvoda ili gotovih proizvoda. Kada se govori o

zalihama i o ekstremnim ponašanjima zaliha ističu se tri najčešće vrste (Pavlović, 2005,

str. 53). Može se dogoditi da zaliha uvijek ima dovoljno ili da se poduzeće nalazi na

granici nestanka zaliha ili da ih nikada nema dovoljno pa ih se stalno nastoji nabaviti.

Radi sigurosti, ali i stanja na tržištu bilo bi dobro da repromaterijala, poluproizvoda,

gotovih proizvoda ili robe u trgovini ima uvijek dovoljno tako da je sigurno da će

proizvodnja biti održana ili da će kupci uvijek biti usluženi. U tom slučaju na zalihama

se nalaze zamrznuta obrtna sredstva na koja se plaćaju kamate i tako se povećava

trošak. S druge strane, ako proizvodnja stane zbog nedostatka repromaterijala ili

sirovina tada se poduzeće opet ne ponaša racionalno i troškovi mogu biti znatno veći od

držanja većih zaliha (Pavlović, 2005, str.53).

Dakle, proizvodnja treba biti osigurana, treba imati dovoljno pakiranja na skladištu, a

troškovi trebaju biti minimalni. Drugim riječima, zalihe trebaju biti optimalne, a upravo

to je predmet istraživanja ovog diplomskog rada. Upravljanje zalihama obuhvaća ove

procese: praćenje zaliha, obnavljanje, tj. naručivanje novih zaliha i sprečavanje

ostajanja bez zaliha, koje su bitne za ublažavanje operacija, nabavu i kupovanje (Oblak i

ostali, 2008, str. 173).

Davno je uočen problem upravljanja zalihama i potreba određivanja takve razine zaliha

da su proizvedene količine pravovremene i odgovarajuće uz minimalne troškove. Za to

se koriste različite metode i modeli upravljanja zalihama. Svaki model ili metoda ima

svoje specifičnosti s prednostima i nedostacima (Pavlović, 2005, str. 54).

Matematički model zaliha kao i većinu ostalih modela karakterizira funkcija cilja i

određena ograničenja. Funkcija cilja je najčešće funkcija troškova i određuje se

minimum te funkcije pod određenim pretpostavkama. Upravljanje zalihama je složen


26

proces pa se kao i kod svakog kvantitativnog modela u ekonomiji, ovakav tip modela

treba pojednostaviti.

3.1. Općenito o zalihama

Pod zalihama se podrazumijevaju na određeni dan raspoložive količine sirovina,

materijala, rezervnih dijelova, autoguma i ambalaže. Osnovni smisao zaliha je

osiguranje nesmetanog odvijaja procesa proizvodnje i poslovanja. Zalihe pomažu da se

uskladi vremenska neusklađenost od trenutka njihove nabave do trenutka njihova

angažmana u proizvodnji ili stavljanja na raspolaganje kupcu. U stabilnim uvjetima

dobro opskrbljenog tržišta zalihe mogu biti minimalne, dok se u nestabilnim uvjetima u

smislu fizičkih oskudica ili čestih promjena cijena one moraju formirati na razini koja

osigurava nesmetano poslovanje (Biljan, 2008, str.1).

Osnovna je zadaća proizvođačkog društva pretvaranje sirovina i kupljenih dijelova u

gotovu robu. U svakom društvu trošak prodane robe je zbroj troška nabave i troškova

pretvaranja (ako oni postoje) proizvoda koji se prodaju. Stoga, proizvođač u trošak

prodane robe uključuje trošak materijala i upotrebljenih dijelova, trošak rada te ostale

troškove nastale pri proizvodnji robe koja se prodaje.

3.2. Upravljanje zalihama

Upravljanje zalihama jedan je od najvažnijih logističkih zadataka. Mnogi gospodarski

subjekti suočeni su s problemima koji otežavaju pronalaženje optimalne politike

upravljanja zalihama: nemogućnost predviđanja potražnje, nesiguran proces dobave,

dugo vrijeme isporuke, kratko vrijeme potražnje za određenim proizvodima. S obzirom

na to da investicije poduzeća u zalihama čine obično 30-50% (Autor nepoznat 1, 2008,

Logiko.hr) njihove ukupne imovine, odluke o zalihama znatno utječu na ostale troškove.

Drži li se premalo proizvoda na zalihama, dolazi do nedostatka proizvoda na skladištu,

što uzrokuje gubljenje ugleda poduzeća, pad prodaje te gubitak potrošača. S druge


27

strane, držanje suviše poizvoda ili mnogo proizvoda koji se slabo prodaju povećava

troškove skladištenja, rizik zastarijevanja, mogućnost potkradanja i oštećivanja

proizvoda. Stoga je cilj upravljanja zalihama smanjivanje troškova zaliha na najmanju

moguću mjeru uz održavanje odgovarajuće ponude robe. Optimalna razina zaliha

predstavlja istodobno i optimalne troškove poslovanja u cjelini (Biljan, 2008, str.26).

Upravljanje zalihama važno je za funkcioniranje organizacije, zbog sljedećeg (Autor

nepoznat 2, 2008, super-king.hr):

Svrha zaliha je amortiziranje neravnomjernosti u potrebama materijala – dakle,

nužne su za nesmetano odvijanje poslovnih procesa. Zbog toga, što su veće

zalihe, veća je i sigurnost za nesmetano odvijanje poslovnih procesa, te zalihe

trebaju biti što veće.

Zalihama se angažiraju značajna financijska sredstva. Zbog toga, zalihe trebaju

biti što manje.

Dakle, prisutna su dva suprotna zahtjeva i problem upravljanja zalihama svodi se na

nalaženje takve politike upravljanja zalihama, koja će na najbolji način uskladiti oba

zahtjeva. Optimalno upravljanje zalihama je ono kod kojega su najniži ukupni troškovi

zaliha.

Politika upravljanja zalihama obuhvaća niz pojedinosti (Mesarić, 2008, str. 7) :

planiranje potreba na temelju dinamičkih planova proizvodnje odnosno prodaje,

osiguranje smještaja (odgovarajućeg skladišta),

analizu ponude i potražnje, te ocjenu njihove pouzdanosti,

procjenu optimalnog nabavnog ciklusa,

politiku ugovaranja (uvjete, načine, cijene...),

transportnu politiku,

osiguranje od rizika držanja zaliha,

nomenklatura i šifriranje zaliha,

određivanje računovodstvenih evidencija i izviješća o zalihama,

politiku vrednovanja zaliha kao bilančane stavke i kao stavke troškova itd.


28

Sustavi upravljanja zalihama su (Autor nepoznat 3, 2008, FOI):

Kontinuirani – kretanje zaliha neprestano se prati. Kada stanje zaliha padne na

određenu razinu zalihe se obnavljaju. Naručuje se tzv. ekonomična količina

naručivanja.

Periodički – stanje zaliha se utvrđuje u točno određenim intervalima, npr. tjedan

ili mjesec. U svakom se intervalu naručuje onoliko koliko je potrebno da stanje

zaliha dođe na traženu razinu. Sustav je jednostavan ali osjetljiv na iznenadne

promjene potražnje.

ABC klasifikacija – sve stavke ne sudjeluju u istom obujmu u ukupnim zalihama

Često u gospodarstvu gospodarski subjekt ima više tehnoloških procesa koje može

primjenjivati s različitim intenzitetom. Tendencija svakog gospodarskog subjekta je

maksimizirati ukupan prihod (Crnjac Milić i Crnjac, 2013, str.1).U tržišnoj ekonomiji i

slobodnoj konkurenciji uz ograničenja u tehnološkim procesima i resursima nije

jednostavno naći optimalno rješenje koje će poslužiti kao podloga pri donošenju odluka.

U ovom diplomskom radu nastoji se kroz jedan segment proizvodnje prikazati kako se

pomoću metode linearnog programiranja mogu optimizirati proizvodnja i zalihe.

Dakle, primjer pokazuje kako se uz određena ograničenja mogu postići minimalni

troškovi tog proizvodnog segmenta te kako je time vjerojatno moguće poboljšati

cjelokupno poslovanje poduzeća. Primjer ukazuje na važnost pravovremene i

odgovarajuće količine proizvedenih proizvoda kako bi se održao kontinuitet poslovanja

s postojećim kupcem.


29

4. OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE I ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA

D.O.O.“

Kao vrlo težak i iznimno važan problem koji se susreće kod većine tvornica ističe se

određivanje količine mjesečne proizvodnje. Proizvodni menadžer razmatra niz faktora

npr. kapacitet radne snage, troškovi zaliha i skladištenja, prostorna ograničenja,

potražnja za proizvodima i slično.

U nastavku ovog rada prikazuje se na koji način proizvodni menadžer u poduzeću

„Bella“ donosi poslovne odluke. Menadžer koristi optimizacijsku tehniku, tj. linearno

programiranje. Funkciju cilja u ovom slučaju predstavlja minimiziranje ukupnih

troškova (proizvodnja plus zalihe) u provedbi danog zadatka. Količina mjesečne

proizvodnje je problem koji se može prilagoditi rješavanju pomoću linearnog

programiranja. Jednom kad su funkcija cilja i ograničenja postavljeni, inputi se mogu

lako promijeniti za svaki period vremena kako bi se odredio ažurirani raspored

proizvodnje.

Dakle, menadžer prvenstveno želi ostvariti minimalne troškove proizvodnje i zaliha, pa

tako razmatra različite faktore koje utječu na navedene troškove (Grafikon 2.)

Grafikon 2. Faktori koji utječu na troškove proizvodnje i zaliha

Izvor: Izradila studentica

Minimalni troškovi

proizvodnje i zaliha

Kapacitet radne snage

Nabavna cijena materijala

Transport

Maksimalna i minimalna

moguća količina proizvodnje

Ograničeno skladište

...


30

4.1. Postavljanje problema

Poduzeće „Bella d.o.o“ bavi se proizvodnjom šećerne paste za egipatsku depilaciju za

prodaju i to pod ugovorom sa poznatom drogerijom. Šećerna pasta zvana „Pasta strong“

od 120 g najprodavaniji je proizvod (Slika 2.).

Dva puta godišnje menadžer nabave drogerije kontaktira rukovodstvo poduzeća „Bella

d.o.o.“ kako bi dogovorili mjesečne narudžbe za svaki od sljedećih šest mjeseci.

Potražnja drogerije za šećernom pastom varira svaki mjesec ovisno o njihovim

prognozama prodaje, proizvodnim kapacitetima i financijskoj situaciji. Poduzeće „Bella

d.o.o“ je upravo primilo narudžbu za prvih šest mjeseci tekuće 2013. godine i temeljem

toga mora odrediti svoj šestomjesečni plan proizvodnje.

Slika 2. Šećerna pasta „Pasta strong“

Izvor: Arhiva poduzeća „Bella d.o.o.“

Prodajna cijena proizvoda bez PDV-a iznosi 39,92 kn. Mjesečna prodaja se kreće od

1500 do 2000 komada. Uprava nije pažljivo brinula o optimalnom nivou zaliha pa su se


31

obrtna sredstva napotrebno angažirala na zalihama. U Tablici 2. u nastavku su prikazani

podaci o jediničnim troškovima (u kunama), prodaji, maksimalnoj i minimalnoj

mogućoj proizvodnji (u komadima, tj. u pakiranjima) za period od mjeseca siječnja do

lipnja. Na zalihama je 01.01. 2013. bilo 2500 pakiranja šećerne paste1.

Tablica 2. Troškovi, prodaja i proizvodnja

Jedinični

troškovi 1.mjesec 2.mjesec 3.mjesec 4.mjesec 5.mjesec 6.mjesec

Nabava 5,62 5,65 5,60 5,65 5,70 5,65

Proizvodnja 1,43 1,40 1,50 1,52 1,55 1,40

Zalihe 0,05 0,06 0,10 0,12 0,10 0,10

Transport 0,393 0,402 0,52 0,40 0,52 0,42

Ukupni jed.

tr.bez zaliha2

7,44 7,45 7,62 7,57 7,77 7,47

Max.

Proizvodnja 3200 3200 3200 3200 3200 3200

Min.

Proizvodnja 1500 1500 1500 1500 1500 1500

Prodaja 1500 1500 1800 2000 2000 2000

Izvor: Podaci poduzeća „Bella d.o.o.“

Troškovi nabave variraju ovisno o količini koja se naručuje, proizvodnji, zalihama i

transportu i variraju iz mjeseca u mjesec, ovisno o broju efektivnih radnih dana u

odnosu na ukupan broj plaćenih dana, kao i o rasporedu mjesečnih fiksnih troškova.

Ograničenje u vezi maksimalne i minimalne moguće mjesečne proizvodnje odnosi se na

broj radnih dana u mjesecu i mogući dnevni kapacitet, ovisno o broju radnika koji rade

1 Podatak dobiven na temelju službenih dokumenata poduzeća „Bella d.o.o.“.

2 Ukupni jedinični troškovi bez zaliha dobiveni su zbrojem jediničnih troškova nabave, proizvodnje i

transporta. Zbog ograničenog pristupa službenim dokumentima nije moguće prikazati kako su dobiveni

jedinični troškovi.


32

u proizvodnji.Maksimalna količina proizvodnje određena je s obzirom na ograničeni

prostor skladišta. Skladište je moguće proširiti samo uz visoke troškove, no to

trenutačno nikako nije moguće ostvariti.

Poduzeće „Bella d.o.o.“ razmatra dva faktora kod planiranja proizvodnje:

1. Bitno je da dođe do snižavanja troškova zaliha, tj. poželjno je da se svaki mjesec

proizvodi samo onoliko pasti koliko je potrebno za određeni mjesec.

2. Raspoloživi prostor u skladištu je ograničen, a povećati se može samo s velikim

dodatnim troškovima.

Poduzeće „Bella d.o.o.“ smatra da korištenjem linearnog programiranja može odrediti

mjesečni plan proizvodnje koji će minimizirati njegove ukupne troškove za jediničnu

proizvodnju (prosječne troškove) u svakom mjesecu. To znači da menadžment

poduzeća želi odrediti optimalnu količinu proizvodnje paste tijekom 6 mjeseci (siječanj-

lipanj) tako da troškovi budu minimalni. Jedan od ciljeva poduzeća jest i da se zalihe na

kraju razdoblja svedu na količinu od najviše 2100 komada3. Opskrba prodajnog mjesta-

centralnog skladišta obavlja se jednom tjedno pa se zalihe mogu redovito popunjavati i

održavati na nižem nivou nego su bile do sada.

3Postavljeno dodatno ograničenje vezano za zalihe želi ostvariti smanjenje zaliha budući da su zalihe na

kraju prošlog razdoblja, odnosno na dan 01.01.2013., zalihe su iznosile 2500 komada


33

Grafikon 3. Ciljevi poduzeća „Bella d.o.o.“


Postavlja se sljedeće:

Na temelju proizvodnih troškova iz Tablice 2. formira se dio funkcije cilja koji se

odnosi na proizvodne troškove. Troškovi proizvodnje su:

Da bi se u ovaj model uključili i troškovi držanja zaliha uvodi se nova varijabla

prikazana u nastavku:

CILJ - optimalna količina proizvodnje paste u 6 mjeseci, uz minimalne troškove proizvodnje

PODCILJ - zalihe na kraju razdoblja najviše 2100 komada

OSTALI CILJEVI - proizvodnja pakiranja pasti mora biti upravo onoliko koliko je potrebno po pojedinom mjesecu


34

Svaka šećerna pasta koja ostane na zalihama mjesečno predstavlja trošak, a to je

vidljivo u Tablici 2. Računovodstvo poduzeća „Bella d.o.o.“ uzima u obzir zalihe na

kraju mjeseca kao prosječnu vrijednost nivoa zaliha tokom mjeseca. Prema tome, dio

funkcije cilja koja se odnosi na troškove zaliha je sljedeći:

Prema tome, ukupna funkcija cilja kojom se minimiziraju ukupni troškovi prikazana

je u nastavku(Grafikon 4.):

Slijedi postavljanje ograničenja, kod kojih je potrebno prepoznati veze koje postoje

između zaliha na kraju prethodnog mjeseca, tekuće mjesečne proizvodnje i mjesečne

prodaje. To prikazuje jednadžba u nastavku:

Zalihe na kraju prošlog razdoblja, tj. na dan 01.01.2013. su iznosile 2500 komada. U

nastavku se prikazuje broj komada na zalihama po pojedinim mjesecima.

ZA SIJEČANJ:

ZA VELJAČU:


35

Jednadžbe ostalih mjeseci prikazane su u Tablici 3.:

Tablica 3. Zalihe na kraju mjeseca – ograničenja

Mjesec Zalihe na kraju mjeseca

Siječanj

Veljača

Ožujak

Travanj

Svibanj

Lipanj


Dodatno ograničenje vezano uz zalihe na kraju lipnja:

Postavljeno dodatno ograničenje vezano za zalihe želi ostvariti smanjenje zaliha jer

zalihe na kraju prošlog razdoblja, odnosno na dan 01.01.2013., zalihe su iznosile 2500

komada. Dosada razmatrana ograničenja odnose se na potražnju, ona međutim ne

uzimaju u obzir skladišni prostor niti zahtjeve za radnom snagom. Skladišni prostor je

ograničen, a maksimalna proizvodnja šećerne paste prikazana je u Tablici 4.

Ograničenja koja prema tome trebaju vrijediti prikazana su u Tablici 4.


36

Tablica 4. Maksimalna i minimalna proizvodnja šećerne paste

Maksimalna proizvodnja Minimalna proizvodnja


Potrebno je razmotriti i ograničenja vezana uz radnu snagu. Poduzeće zapošljava jednu

radnicu, a mjesečni fond radnih sati iznosi 160 sati. U periodu travanj – lipanj poduzeće

treba angažirati još jednu radnicu (prodaje se više šećerne paste jer je ljeti veća

potražnja). Kapacitet se tada može povećati na 320 sati mjesečno. Svaki komad paste

zahtijeva 0,05 h. Ograničenja radnih sati sada su navedena u Tablici 5.

Tablica 5. Raspoloživ broj radnih sati

Mjesec Raspoloživ broj radnih sati

Siječanj

Veljača

Ožujak

Travanj

Svibanj

Lipanj



37

4.2. Rješenje problema

Nakon što je postavljen matematički model pristupa se oblikovanju strukturnog modela

u sučelju proračunske tablice. Stukturni model postavljenog problema, vezan uz

funkciju cilja, tj. uz minimizaciju troškova proizvodnje, prikazuje tablica u

nastavku(Tablica 6.).

Strukturni model se oblikuje u proračunskoj tablici, tj. u programu Excel Solver. Kod

izračunavanja i obavljanja kvantitativne analize danas se koriste razni tabelarni

programi, no i dalje je najpopularnija proračunska tablica Excel (Vukmirović, Čapko,

2009, str.144).

Standardne proračunske tablice, koje rješavaju probleme kvantitativne analize, dodatno

su osnažene specijaliziranim alatima kako bi se proširile njihove mogućnosti. Takav alat

sastoji se od jednog ili više programa koji se izravno mogu dodati na proračunsku

tablicu. Kada se jednom pridodaju, mogu se koristiti kao integralni dio proračunske

tablice (Infosustav, 2009, str. 2).

Kod linearnog programiranja, najčešće korišteni programski razvojni alat, pridruženi

alat ugrađen u proračunske tablice, je upravo Solver. Solver je, dakle, dodatak

proračunskoj tablici Excel i služi kao alat za postizanje optimalnog ili najboljeg rješenja

promjenom više ulaznih podataka uz postavljanje ograničenja.


38

Tablica 6. Postavljanje problema u Excel solveru



39

Na temelju navedenog pokreće se aplikacija Solver unutar programa Excel Solver.

Definira se ciljna varijabla, mijenjajuće varijable te ograničenja(Slika 3.).

Slika 3. Unos podataka u računalni okvir


U ovom primjeru se minimiziraju ukupni troškovi pa se odabire funkcija Equal to

Min.Od potrebnih dodatnih opcija modela u okviru Solver options odabiru se opcije

Assume Linear Model (koristi se linearno programiranje) i Assume Non – Negative (za

količine šećerne paste nije dozvoljena negativna vrijednost) (Slika 4.).


40

Slika 4. Dodatne opcije modela


Kako bi se došlo do rezultata modela odabiru se opcije za prikaz modela optimizacije.

Odabiru se opcije Answer i Sensitivity koje prikazuje Izvješće o rješenju i Izvješće o

analizi osjetljivosti(Slika 5.).

Slika 5. Opcije za prikaz Izvješća


Rezultat optimizacije ovog modela prikazuje se u nastavku (Tablica 7.).


41

Tablica 7. Rezultat minimizacije ukupnih troškova proizvodnje i zaliha



42

Rješenja modela predstavljena su u Izvješću o rješenju (Slika 6.) i Izvješću o analizi

osjetljivosti (Slika 7.).

4.2.1. Izvješće o rješenju

Ovo izvješće uključuje rješenja varijabli, optimalnu vrijednost funkcije cilja te

iskorištenost ograničenja (Slika 6.).


43

Slika 6. Izvješće o rješenju



44

Prema ovim rezultatima vidljivo je da optimalna vrijednost funkcije cilja, tj. minimalni

ukupni troškovi proizvodnje i zaliha iznose 68.869,00 kn. Ti troškovi se ostvaruju uz

proizvodnju od (po mjesecima):

Siječanj – 1500 komada

Veljača – 1500 komada

Ožujak – 1500 komada

Travanj – 1500 komada

Svibanj – 1500 komada

Lipanj – 1500 komada

Minimalni ukupni troškovi proizvodnje i zaliha se ostvaruju uz ovo stanje šećerne paste

na zalihama na kraju svakog mjeseca:

Siječanj – 2500 komada

Veljača – 2500 komada

Ožujak – 2200 komada

Travanj – 1700 komada

Svibanj – 1200 komada

Lipanj – 700 komada

Ovakvom optimalnom proizvodnjom dolazi se do toga da:

količina zaliha na kraju svakog mjeseca jednaka je količini koja odgovara

postavljenim ograničenjima vezanim uz zalihe na kraju razdoblja;

je ostvaren cilj menadžmenta kojim je zalihe na kraju šestog mjeseca trebalo

smanjiti na najviše 2100 komada. Model je pokazao da je optimalnom

proizvodnjom moguće smanjiti zalihe na čak 700 komada na kraju šestog

mjeseca, tj. da preostalih 1400 komada nije iskorišteno;

ograničeni skladišni prostor, koji može zaprimiti maksimalno 3200 komada

šećerne pastom, prema ovim rezultatima će zaprimiti 1500 komada šećerne paste

kroz svih šest mjesecu (siječanj-lipanj).


45

Broj šećerne paste od 1500 komada je jednak upravo minimalnom broju komada

koje poduzeće „Bella d.o.o.“ treba proizvoditi.

Nema potrebe da se zaposli nova radnica jer je za optimalnu proizvodnju

potrebno 75 sati rada. To odgovara tek dijelu fonda radnih sati koje mjesečno

obavi jedna radnica (max. 160 h).

4.2.2. Izvješće o analizi osjetljivosti

Pomoću analize osjetljivosti utvrđuje se osjetljivost optimalnog rješenja na promjenu

jednog parametra u funkciji cilja (OFC) ili jednog parametra na desnoj strani

ograničenja.

U nastavku se najprije objašnjava osjetljivost optimalnog rješenja na promjene

parametara u funkciji cilja, a rezultati su prikazani na slici u nastavku (Slika 7).


46

Slika 7. Izvješće o Analizi osjetljivosti

Izradila studentica


47

Raspon unutar kojeg se može kretati trošak proizvodnje po mjesecima, tako da i dalje

budu optimalane količine šećerne paste kreće se u ovim granicama (pod pretpostavkom

da se ostalo ne mijenja):

Za sječanj: 0 -neograničeno velikog iznosa;

Za veljaču: 0-neograničeno velikog iznosa;

Za ožujak: 0-neograničeno velikog iznosa;

Za travanj: 0 – neograničenog velikog iznosa;

Za svibanj: 0-neograničeno velikog iznosa;

Za lipanj: 0 – neograničeno velikog iznosa.

Raspon unutar kojeg se može kretati trošak zaliha po mjesecima, tako da i dalje budu

optimalne količine šećerne paste kreće se u ovim granicama (pod pretpostavkom da se

ostalo ne mijenja):

Za sječanj: 0-neograničeno velikog iznosa;

Za veljaču: 0-neograničeno velikog iznosa;

Za ožujak: 0-neograničeno velikog iznosa;

Za travanj: 0 – neograničeno velikom iznosa;

Za svibanj: 0 -neograničeno velikog iznosa;

Za lipanj: 0 -neograničeno velikog iznosa.

U nastavku se pojašnjavaju i rezultati vezani uz osjetljivost optimalnog rješenja na

promjene vektora slobodnih članova. Shadow price ili tzv „cijena u sjeni“ označava

veličinu promjene vrijednosti funkcije cilja za povećanje desne strane jednog

ograničenja za 1 jedinicu (marginalna vrijednost resursa), uz sve ostale parametre

nepromijenjene.

Dodatna šećerna pasta na zalihama na kraju siječnju dovodi do povećanja funkcije cilja,

odnosno do povećanja ukupnih troškova proizvodnje i zaliha za 0,53 kn, uz ostale

parametre nepromijenjene.


48

Kod svih ostalih mjeseci dodatna šećerna pasta dovodi do smanjenja ukupnih troškova

proizvodnje i zaliha.Dakle, dualna vrijednost ograničenja vezano za zalihe na kraju

veljače je - 0,48 što znači da svaka dodatna šećerna pasta smanjuje ukupne troškove

proizvodnje i zaliha za 0,48 kn.

U preostalim mjesecima dualna cijena iznosi:

Za ožujak: - 0,42

Za travanj: - 0,32

Za svibanj: - 0,2

Za lipanj: - 0,1

Dualna cijena ovih ograničenja vezana za zalihe na kraju ožujaka, travnja, svibnja i

lipanja pokazuje da svaka dodatna šećerna pasta dovodi do smanjenja fukcije cilja,

odnosno do smanjenja ukupnih troškova proizvodnje i zaliha za 0,42 kn u ožujku, za

0,32 kn u travnju, za 0,2 kn u svibnju te za 0,1 kn u mjesecu lipnju, uz ostale parametre

nepromijenjene.

Intervali vrijednosti za desnu stranu pojedinog ograničenja unutar kojih dualna cijena

ostaje nepromijenjena jesu:

Zalihe na kraju siječnja (300 komada, 2400 komada)

Zalihe na kraju veljače (100 komada, 2200 komada)

Zalihe na kraju ožujka (400 komada, 2500 komada)

Zalihe na kraju travnja (600 komada, 2700 komada)

Zalihe na kraju svibnja (600 komada, 2700 komada)

Zalihe na kraju lipnja (600 komada, 2700 komada)

Broj radnih sati po mjesecima nema utjecaja na ukupne troškove proizvodnje i zaliha.

Dualna cijena ostaje 0 prilikom povećanja 1 sata rada zaposlenika, uz ostale parametre

nepromijenjene.


49

5. ZAKLJUČAK

Donošenje poslovnih odluka danas nije nimalo lagan zadatak za menadžere poduzeća.

Situacija je posebno specifična kod proizvodnih poduzeća. Menadžeri na takvim

mjestima trebaju vrlo pažljivo razmotriti položaj u kojemu se poduzeće trenutno nalazi,

ali i položaj na kojemu će se poduzeće najvjerovatnije naći u budućnosti.

Turbulentna i nepredvidiva okolina ne dopušta menadžerima da se obrtni kapital

nepotrebno gomila u zalihama, a od svega je ipak najbitnije da se proizvodnja odvija u

okviru očekivanih troškova. S posebnom pažnjom treba pristupiti donošenju odluka u

proizvodnji, tj. kod donošenja odluka o količini proizvoda koje treba proizvesti, te o

načinu za podmirivanje troškova. Menadžeri se tada koriste različitim optimizacijskim

tehnikama s ciljem donošenja što boljih poslovnih odluka.

Također, upravljanje zalihama jedan je od važnih zadataka menadžera. Mnoga poduzeća

suočena su s problemima koji im otežavaju pronalaženje optimalne politike upravljanja

zalihama. Neki od problema su nemogućnost predviđanja potražnje, nesiguran proces

dobave, dugo vrijeme isporuke, kratko vrijeme potražnje za određenim proizvodima,

itd.

Zalihe predstavljaju raspoložive količine sirovina, materijala, rezervnih dijelova,

autoguma i ambalaže na određeni dan. Osnovni smisao zaliha je osiguranje nesmetanog

odvijaja procesa proizvodnje i poslovanja. Zalihe pomažu da se uskladi vremenska

neusklađenost od trenutka njihove nabave do trenutka njihova angažmana u proizvodnji

ili stavljanja na raspolaganje kupcu. Dakle, za poslovanje proizvodnja je od presudne

važnosti i treba biti osigurana, treba imati dovoljno proizvoda na skladištu.

U ovom radu je primjenom modela linearnog programiranja prikazano kako se

specificira model i pripremaju ulazni podaci. Prikupljeni su podaci o dogovorenoj

prodaji s poznatom drogerijom, maksimalno i minimalno mogućoj proizvodnji,

raspoloživom skladišnom prostoru, raspoloživom broju radnih sati itd.


50

Prilikom oblikovanja matematičkog modela definirani su ciljevi koji se trebaju ostvariti:

Odrediti optimalne količine šećerne paste kroz šest mjeseci;

Smanjiti nepotrebno gomilanje zaliha, tj. omogućiti najviše 2100 komada

šećerne paste na skladištu krajem obračunskog razdoblja;

Provedbom postavljenog modela u Excel Solveru dolazi se do zanimljivih rezultata. Ti

rezultati pokazuju da minimalni ukupni troškovi proizvodnje za šest mjeseci iznose

68.869,00 kn, a oni se ostvaruju uz proizvodnju od 1500 komada šećerne paste kroz

prvih šest mjeseci poslovanja. Ova količina proizvodnje zadovoljana upavo minimalnu

proizvodnju poduzeća „Bella d.o.o.“ Osim toga poduzeće treba na zalihama imati

između 700 komada (lipanj) do maksimalno 2500 komada(siječanj, veljača.)

Upravo se navedenom proizvodnjom ostvaruju ciljevi menadžmenta, a to znači da nema

nepotrebnog viška zaliha na kraju mjeseca. Time se ostvaruje i cilj menadžmenta prema

kojemu se smanjuju zalihe krajem šestog mjeseca. Između ostalog, rezultati pokazuju da

nema potrebe za proširivanjem skladišnog prostora, ali i da nema potrebe za

zapošljavanjem nove radnice.


51

LITERATURA

KNJIGE

Andrijić, S., 2002, Matematički modeli i metode programiranja u gospodarskom

društvu, 3. Izdanje, Synopis, Zagreb – Sarajevo

Babić, Z., 2010, Linearno programiranje, Sveučilište u Splitu, Ekonomski fakultet,

Split

Barković, D., 1997, Operacijska istraživanja, Ekonomski fakultet Osijek, Osijek

Biljan, S., 2008, Računovodstvo zaliha, EFRI, Rijeka

Brajdić, I., 2006, Modeli odlučivanja, Sveučilište u Rijeci, Hotelijerski fakultet Opatija,

Opatija

Crnjac Milić, D., Crnjac, M., 2013, Optimizacija proizvodnje kao podloga odlučivanju,

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

Dalić, M., 1994, Interpretacija rezultata Linearnogprogramiranja za managere,

Ekonomski analitičar

Pavlović, I., 2005, Kvantitativni modeli i metode u poslovnom odlučivanju, Sveučilište

u Mostaru, Ekonomski fakultet, Mostar

Petrić, J., 1979, Operaciona istraživanja-knjiga prva, Savremena administracija,

Beograd,

Vukmirović, S., Čapko, Z., 2009, Informacijski sustavi u menadžerskom odlučivanju,

Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka


52

INTERNET IZVORI

Autor neponat 1, 2008, Upravljanje zalihama, Logiko.hr, <http://www.logiko.hr/>

(11.09.2013.)

Autor nepoznat 2, 2008, Super-efikasno upravljanje zalihama, Super-king.hr,

<http://super-king.hr/hr/opce/upravljanje.html> (11.09.2013.)

Autor nepoznat 3, 2008, Upravljanje zalihama, FOI - Fakultet organizacije i

informatike,

<http://www.foi.unizg.hr/CMS_library/kolegij/ppo/prezentacije/Upravljanje_zalihama.p

df> (11.09.2013.)

Infosustav, 2009, Proračunske tablice i računalni alat Solver u matematičkom

modeliranju u rješavaju problema odlučivanja,

EFRI, <http://infosustav1.efri.tripod.com/poglavlje6.pdf> (01.09.2013.)

Mesarić, 2008, Upravljanje zalihama,

<http://oliver.efos.hr/nastavnici/jmesaric/org_rac_p7.pdf> (11.09.2013.)

Oblak i ostali, 2008, Model upravljanja zalihama u poduzeću za preradu drva i

proizvodnju namještaja, University of Ljubljana

<http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=33206> (11.09.2013.)

OSTALI IZVORI

Lovrić, Lj., (2009), Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje, Predavanja-

diplomski studij, Ekonomski fakultet u Rijeci, Rijeka

http://www.logiko.hr/

http://super-king.hr/hr/opce/upravljanje.html

http://www.foi.unizg.hr/CMS_library/kolegij/ppo/prezentacije/Upravljanje_zalihama.pdf

http://www.foi.unizg.hr/CMS_library/kolegij/ppo/prezentacije/Upravljanje_zalihama.pdf

http://infosustav1.efri.tripod.com/poglavlje6.pdf

http://oliver.efos.hr/nastavnici/jmesaric/org_rac_p7.pdf

http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=33206


53

POPIS TABLICA

Broj Naziv tablice Stranica

1.

Početna simpleks tablica za

standardni problem

maksimuma

19.

2. Troškovi, prodaja i

proizvodnja 31.

3. Zalihe na kraju mjeseca –

ograničenja 35.

4. Maksimalna i minimalna

proizvodnja šećerne paste 36.

5. Raspoloživi broj radnih

sati 36..

6. Postavljanje primjera u

Excel Solveru 38.

7.

Rezultat minimizacije

ukupnih troškova

proizvodnje i zaliha

41.

POPIS SLIKA

Broj Naziv slike Stranica

1. Skup mogućih rješenja –

poliedar ABCDE 15.

2. Šećerna pasta „Pasta

strong“ 30.

3. Unos podataka u računalni

okvir 39.

4. Dodatne opcije modela 40.

5. Opcije za prikaz Izvješća 40.

6. Izvješće o rješenju 43.


54

7. Izvješće o analizi

osjetljivosti 46.

POPIS GRAFIKONA

Broj Naziv grafikona Stranica

1. Optimalno rješenje

Linearnog programiranja 6.

2.

Faktori koji utječu na

troškove proizvodnje i

zaliha

29.

3. Ciljevi poduzeća „Bella

d.o.o.“ 33.


55

IZJAVA

kojom izjavljujem da sam diplomski rad s naslovom OPTIMIZACIJA PROIZVODNJE

ZALIHA U PODUZEĆU „BELLA D.O.O.“ izradila samostalno pod voditeljstvom

prof. dr. sc. Ljiljane Lovrić. U radu sam primijenila metodologiju znanstveno-

istraživačkog rada i koristila literaturu koja je navedena na kraju diplomskog rada. Tuđe

spoznaje, stavove, zaključke, teorije i zakonitosti koje sam izravno ili parafrazirajući

navela u diplomskom radu na uobičajen, standardan način citirala sam i povezala s

korištenim bibliografskim jedinicama. Rad je pisan u duhu hrvatskog jezika.

Također, izjavljujem da sam suglasna s objavom diplomskog rada na službenim

stranicama Fakulteta.

Studentica

Dunja Potkrajac

optimizacija proizvodnje i zaliha u poduzeću „bella d.o.o.“oliver.efri.hr/zavrsni/345.b.pdf ·...

Documents