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Opération et systèmes de décisionFaculté des Sciences de l’Administration

MQT-21919 Probabilités et statistique

Estimation par intervalle

Chapitre 8

LecturesLectures

Volume obligatoire: Chapitre 8

Volume recommandé, Statistique en gestion et économie: sections 4.4.2 et 4.4.4 ainsi que pages 227-242

Résumé des distributions Résumé des distributions

d’échantillonnage ded’échantillonnage de Si n est grand (plus grand que 30), alors suit

une loi Normale et:– Si la valeur de est connue alors:

– Si la valeur de est inconnue alors:

Si n est petit (plus petit que 30), et X suit une loi normale, et:– Si la valeur de est connue alors:

– Si la valeur de est inconnue alors:

),(2

n

sNx

),(2

nNx

x

),(2

nNx

1x

t( n )s

n

x

2xx

L’estimation par intervalle de L’estimation par intervalle de confianceconfiance

Les estimations ponctuelles, bien qu’utiles, ne fournissent aucune information concernant la précision des estimations c’est-à-dire qu’elles ne tiennent pas compte de l’erreur possible dans l’estimation, erreur attribuable aux fluctuations d’échantillonnage.



Moyenne, , est inconnue

Population Échantillon aléatoire

Je suis confiant à 95% que est entre 40 & 60.

Moyenne = 50

Échantillon


Consiste à construire, autour de l’estimation ponctuelle, un intervalle qui aura une grande probabilité (1-) de contenir la vraie valeur du paramètre.



Intervalle de confiance

Valeur de la statistique calculée à partir de l’échantillon

Limite inférieure Limite supérieure

Forte probabilité que le paramètre se trouve quelque part à l’intérieur de l’I. de C.

Affirmations à propos de l’erreur Affirmations à propos de l’erreur d'échantillonnaged'échantillonnage

La connaissance de la distribution d’échantillonnage de nous permet de tirer des conclusions sur l’erreur échantillonnale même si on ne connaît pas la vraie valeur de

La probabilité que l’intervalle de confiance contienne la vraie valeur du paramètre est de 1-.– 1- is est le coefficient de confiance

– (1-)*100% est le seuil de confiance

xx

La marge d’erreur ELa marge d’erreur ELa marge d’erreur ELa marge d’erreur E

Intervalle de confianceValeur de la statistique

Limite inférieure Limite supérieure

La marge d’erreur E (précision)La moitié de la largeur de l’intervalle

xx

Lorsque la taille de l'échantillon est grande (n ≥ 30) et la variance de la population de X est connue, on obtient un intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- en utilisant l’équation suivante:

Ceci est aussi vrai pour de petits échantillons lorsque la variable aléatoire X suit une loi normale et que la variance de X est connue.

Estimation par intervalle de la moyenne de la Estimation par intervalle de la moyenne de la population: grand échantillonpopulation: grand échantillon


1.. 22

nzx

nzxP

Ça vient du fait que: ),(2

nNx

Estimation par intervalle de la moyenne Estimation par intervalle de la moyenne de la population: grand échantillonde la population: grand échantillon

Lorsque (n ≥ 30) et est connu, l’intervalle de confiance pour est

1 - est le coefficient de confiance z/2 est la valeur de z qui correspond à une surface de /2 sous la

queue supérieure de la distribution de la loi normale centrale réduite

Cet intervalle a une probabilité de 1- de contenir le vrai paramètre

Ceci est aussi vrai pour de petits échantillons lorsque la variable aléatoire X suit une loi normale et que la variance de X est connue.

2/x zn

2/x zn

La précision de l’estimation : Il y a une probabilité de 1 - que la valeur de la moyenne échantillonnale fournisse une marge d’erreur de ou moins.

z/2 est la valeur telle que

P(Z> z/2)=/2 où Z suit

une loi normale centrée réduite

La marge d'erreur E (précision)La marge d'erreur E (précision)

/2/2 /2/21 - de toutesles valeurs de1 - de toutesles valeurs de

z x /2z x /2Distribution échantillonnale de

Distribution échantillonnale de xx

xx

xxz/2-z/2

xx

U-Mart a 260 magasins à travers le pays. Ils évaluent le potentiel d’un emplacement d’un nouveau magasin basé sur le revenu annuel moyen des gens qui composent le marché ciblé de ce nouveau magasin. On sait que = $5 000. La taille de l’échantillon est n = 64.

Exemple: U-MartExemple: U-Mart


Supposons que la moyenne échantillonnale soit $21 100. Pour =5%, la marge d’erreur est 1,96 où =625, ce qui correspond à $1 225

L’estimation par intervalle de est [$21,100 + $1225], ou [$19 875 à $22 325]

On est confiant à 95% que cet intervalle contient la moyenne de la population

La probabilité que la moyenne échantillonnale donne une erreur d’ au plus $1 225 est donc de 95%

xx

x x x x



Exemple :

X = salaire horaire N(= 9)

n = 36

= 25 $

I. de C. à 95 % pour ?

xx

Lorsque la taille de l'échantillon est grande (n ≥ 30) et la variance de la population de X est inconnue, on obtient un intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- en utilisant l’équation suivante:



1.. 22

n

szx

n

szxP

),(2

n

sNx Ça vient du fait que:


Lorsque la taille de l'échantillon est grande (n ≥ 30) et la variance de la population de X est inconnue, l'intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- est :

1 - est le coefficient de confiance, s est l'écart-type de l'échantillon

z/2 est la valeur de z qui correspond à une surface de /2 sous la queue supérieure de la distribution de la loi normale centrale réduite

Cet intervalle a une probabilité de 1- de contenir le vrai paramètre

2/

sx z

n

2/

sx z

n

Lorsque la taille de l'échantillon est petite (n <30) et X suit une loi normale de variance inconnue, on obtient un intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- en utilisant l’équation suivante::

L’estimation par intervalle de confiance L’estimation par intervalle de confiance pour pour

L’estimation par intervalle de confiance L’estimation par intervalle de confiance pour pour

1.. 22

n

stx

n

stxP

Ça vient du fait que: 1x

t( n )s

n

Estimation par intervalle de la moyenne de la Estimation par intervalle de la moyenne de la population: petit échantillon(population: petit échantillon(nn < 30) < 30)

L’intervalle de confiance est

où:

1 - = le coefficient de confiance

(1 - )*100 % = le seuil de confiance

t/2 = est la valeur t qui donne une surface de /2 dans la queue supérieure d’une distribution t avec n - 1 degrés de liberté

s = est l’écart-type de l’échantillon

2

1s

x t nn

Exemple: location Exemple: location d’appartementd’appartement

Un reporter pour un journal étudiant est en train de rédiger un article sur le coût du logement près du campus. Un échantillon de 10 appartements (trois et demi) dans un rayon de 1 km de l’université a permis d’estimer le coût moyen du loyer mensuel à 350 par mois et un écart type de 30. Quel est l’intervalle de confiance de 95% pour la moyenne des loyers mensuels? Supposons que les loyers suivent une loi normale.

Valeur t – pour un coefficient de confiance de 0,95 , 1 - = 0,95, = 0,05, et

/2 = 0,025.

– t0,025 est basé sur n - 1 = 10 - 1 = 9 degrés de liberté. Dans la table de la distribution t on trouve que t0,025 = 2,262.

Degrees Area in Upper Tail

of Freedom .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . .

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

. . . . . .

Degrees Area in Upper Tail

of Freedom .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . .

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

. . . . . .


Degrés

de liberté

Surface sous la queue supérieure

[ $ 350 + $ 21,46]

ou [$328,54 à $371,46]

Nous sommes confiants à 95% que la moyenne des loyers mensuels (le vrai paramètre de la population , se trouve entre $328,54 et $371,46.

x ts

n 0 025,x t

s

n 0 025,

350 230

10 ,262350 2

30

10 ,262


Exemple :

n = 25 sur N()

= 15

s2 = 9

I. de C. à 95 % pour ?

L’estimation par intervalle de confiance L’estimation par intervalle de confiance pour pour petit échantillon(petit échantillon(nn < 30) < 30)

L’estimation par intervalle de confiance L’estimation par intervalle de confiance pour pour petit échantillon(petit échantillon(nn < 30) < 30)

xx

Estimation par intervalle de la moyenne de la Estimation par intervalle de la moyenne de la population: petit échantillon(population: petit échantillon(nn < 30) < 30)

Population ne suit pas une loi normale

La seule option est d’augmenter la taille de l’échantillon à n > 30 et utiliser les procédures d’estimation par intervalle pour un grand échantillon

Population suit une loi normale et est connu

Utiliser les procédures pour un grand échantillon

Population suit une loi normale et est inconnu

L’estimation par intervalle est basée sur une distribution appelée la distribution t ou de Student

Résumé des intervalles de confiance deRésumé des intervalles de confiance de

Si n est grand (plus grand que 30), et :– si la valeur de est connue alors:

– si la valeur de est inconnue alors:

Si n est petit (plus petit que 30), la population suit une loi normale et:– si la valeur de est connue alors:

– si la valeur de est inconnue alors:

x

2/x zn

2/x zn

2/

sx z

n

2/

sx z

n

2/x zn

2/x zn

2

1s

x t nn

Détermination de la taille de l’échantillon en Détermination de la taille de l’échantillon en fonction de la précision désiréefonction de la précision désirée

Dans le cas où 2 est connue, la grandeur de n a une influence directe sur la largeur de l’intervalle de confiance pour et donc sur la précision de l’estimation ainsi obtenue.

Taille de l’échantillon: n = ?

Trop grande:Exige trop de ressources

Trop petite:Pas assez précis

Détermination de la taille de l’échantillon en fonction Détermination de la taille de l’échantillon en fonction de la précision désiréede la précision désirée

Quelle est la taille n de l’échantillon qui permettrait d’affirmer qu’en utilisant un estimateur ponctuel, l’erreur commise pour un coefficient de confiance 1- serait moindre que la marge d’erreur E?

E est la quantité ajoutée et soustraite de l’estimation ponctuelle afin d’obtenir une estimation par intervalle. C'est la précision.

E= l’erreur maximale commise pour un coefficient de confiance 1- (marge d’erreur)

nzE

.2

Si on fixe E alors on peut déduire la taille n comme suit :



22 .

E

zn

Exemple: U-MartExemple: U-Mart Supposons que l’équipe de gestion de U-Mart

veuille obtenir une estimation de la moyenne de la population avec une probabilité de 0,95 que l’erreur d’échantillonnage soit $500 ou moins. Quelle est la taille de l’échantillon nécessaire pour obtenir cette précision?


Au seuil de confiance de 95% , z0,025 = 1,96.

On se souvient que = 5 000 donc,

en résolvant pour n on obtient

On a besoin d’un échantillon de 384 pour arriver à une précision de + $500 à un seuil de confiance de 95%

n ( ,96) ( )

( )

1 5000

500384

2 2

2n

( ,96) ( )

( )

1 5000

500384

2 2

2

Lorsque n est grand:

L’estimation par intervalle de confiance L’estimation par intervalle de confiance pour pour pp

L’estimation par intervalle de confiance L’estimation par intervalle de confiance pour pour pp

2 2

1 11

p( p ) p( p )P p z p p z

n n

Ça vient du fait que:1

p( p )

p N p,n

Estimation par intervalle pour la proportion Estimation par intervalle pour la proportion de populationde population

L’intervalle de confiance est:

où: 1 - est le coefficient de confiance

z/2 est la valeur z correspondant à une surface /2 sous la queue supérieure de la distribution normale centrée réduite

est la proportion échantillonnale

2

1/

p( p )p z

n

2

1/

p( p )p z

n

pp

Exemple Sciences Po. Inc.Exemple Sciences Po. Inc. Sciences Po. Inc. (SPI) est une compagnie qui se

spécialise dans les sondages politiques. À l’aide de sondages téléphoniques, les interviewers demandent aux citoyens pour qui ils voteraient si les élections avaient lieu aujourd’hui. Récemmment, SPI a trouvé que 220 votants sur 500 voterait pour un candidat particulier. SPI veut estimer l’intervalle de confiance à 95% pour la proportion des votants qui sont en faveur de ce candidat.

où n = 500, = 220/500 = 0,44, z/2 = 1,96

[0,44 ± 0,0435]

SPI est confiant à 95% que la proportion des votants qui favoriseront ce candidat est entre

0,3965 et 0,4835.

2

1/

p( p )p z

n

2

1/

p( p )p z

n

pp

0 44 1 0 440 44 1 96

500

, ( , ), ,

0 44 1 0 440 44 1 96

500

, ( , ), ,

Exemple Sciences Po. Inc.Exemple Sciences Po. Inc.

Considérons la taille d’échantillon nécessaire pour estimer avec un niveau de précision donné, la proportion de la population. Si on connaît la valeur spécifique de p alors :

Sinon, on peut approximer p par si cette donnée est disponible

Pour p totalement inconnue, on sait que la valeur maximale du produit pq est de 0,25, on peut alors approximer:

Taille d’échantillon pour la proportion d’échantillonTaille d’échantillon pour la proportion d’échantillonTaille d’échantillon pour la proportion d’échantillonTaille d’échantillon pour la proportion d’échantillon

2

22 )1(

E

ppzn

2

22

4E

zn

pp

Supposons que SPI veuille une probabilité 0,99 que la proportion d’échantillon se retrouve en dedans de ±0,03 de la proportion de la population. Quelle taille d’échantillon n est nécessaire pour obtenir cette précision?


À un seuil de confiance de 99%, z0,005 = 2,576.

Note: Nous avons utilisé =0,44, la meilleure estimation de p. Si aucune information n’est disponible sur p, on utilise alors 0,5 comme valeur pour p, ce qui donne la taille d’échantillon maximale pour cette précision. Si on avait utilisé p = 0,5, le n suggéré aurait été 1843.

nz p p

E

( ) ( ) ( , ) ( , )( , )

( , )/ 2

2

2

2

2

1 2 576 0 44 0 56

0 031817n

z p p

E

( ) ( ) ( , ) ( , )( , )

( , )/ 2

2

2

2

2

1 2 576 0 44 0 56

0 031817


pp

Distribution d’échantillonnage de la variance de l’échantillon ( s2 ) : loi du 2 (Khi-deux)

Si X suit une loi normale alors la statistique:2

212

1 suit ( n )d

( n )s

20

dl: degrés de libertés

Donc la distribution d’échantillonnage de est: 22

1ns

2 1( n )

2 22

1nP s

Loi du Loi du 22 et ses degrés de liberté et ses degrés de liberté

Degrés de liberté = (taille de l’échantillon) - (# de paramètres indépendants à estimer)

Théorème:

Si n augmente indéfiniment (n ) ,

alors: loi du 2 (n) loi N( n, 2n)

n

ii xx

ns

1

22

1

1 1

22

1

2

2

2

~

1

n

n

ii xx

sn

Ex: n = 10, P( (10 dl) > 15,99) = 0,1

15,99

Loi du 2

0

Table 3 p. 694, probabilité dans la queue supérieure

L’estimation par intervalle de confiance L’estimation par intervalle de confiance pour pour 22


Nous utiliserons la statistique suivante :

où:

22 2

12

1n

n s

22 21 2 22

11

n sP

L’estimation par intervalle de confiance pour L’estimation par intervalle de confiance pour 22

L'intervalle de confiance au seuil 1- pour 2 est:

2 2

2 22 1 2

1 1

( -1d.l.) ( -1d.l.)n n

n s n s,



Exemple :

n = 51s2 = 100

Donner l’intervalle de confiance à 95 % pour 2

Une firme spécialisée fait une étude de marché pour déterminer le montant annuel moyen dépensé par les familles québécoises pour l’achat de vitamines. On désire une erreur d’estimation maximale de 2 $ à un seuil de confiance de 90 %. On suppose que l’écart type de la variable considérée est de 7 $. Quelle doit être la taille de l’échantillon prélevé ?

Rép. 33

ExempleExempleExempleExemple

ExempleExemple

Pour évaluer la cote de popularité des émissions télévisées, on procède habituellement par échantillonnage.

On veut estimer la proportion p des ménages (d'une grande population) qui visionnent un talk-show le lundi soir au canal 1 entre 21h30 et 22h30, par l'intermédiaire d'un échantillon aléatoire de taille n. Si on veut que notre erreur d'estimation soit d'au plus 3 % avec une probabilité d'au moins 95%, quelle taille n d'échantillon devrait-on choisir ?Rép. 1068

ExempleExemple

Le service du personnel d’une entreprise choisit au hasard 25 employés et constate que le salaire moyen est de 1500 $ par mois. On suppose que les salaires suivent une distribution normale. On sait par ailleurs que l’écart type de cette distribution est de 100 $.

Estimer le salaire moyen des employés de l’entreprise à l’aide d’un intervalle de confiance à 90 %. [1467,1;1532,9]

Supposons qu’on ignore l’écart type de la population alors qu’on sait que l’écart type de l’échantillon de 25 personnes est de 100$. Estimer le salaire moyen des employés de l’entreprise à l’aide d’un intervalle de confiance à 90 %. [1465,78;1534,22]

On se replace dans le cas où l’écart type de la population est connu (= 100 $). Quelle devrait être la taille minimale de l’échantillon si on veut être certain, à un seuil de confiance de 90 %, que l’erreur reliée à l’utilisation de comme estimateur de , ne dépassera pas 10 $ ? n=269

x

opération et systèmes de décision faculté des sciences de ladministration mqt-21919...

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