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Opération et systèmes de décisionFaculté des Sciences de l’administration

MQT-21919 Probabilités et statistique

L’échantillonnage et les distributions d'échantillonnage

Chapitre 7

LecturesLectures

Volume du cours : Chapitre 7

Volume recommandé: "Statistique en gestion et en économie", Martel et Nadeau, 4.1, 4.2, 4.3 et pages 179-183

Exemple: U-RéussiteExemple: U-Réussite L’université U-Réussite reçoit 7,000 applications par

année provenant d’éventuels étudiants. Le formulaire de demande d’admission inclut le score d’un test d’aptitude (SAT) ainsi que l’information sur le lieu de résidence de l’étudiant. Le directeur des admissions aimerait avoir une idée :

– du score moyen SAT des postulants, et

– de la proportion des postulants qui sont résidents de la province?

Il y a deux façons d’obtenir cette information.

Option #1: effectuer un recensement des 7,000 postulants– Scores SAT

– Moyenne de la population

– Écart-type de la population

– Les postulants résidants de la province

• Proportion de la population

xi

7 000990

,

xi

7 000990

,

( ),xi

2

7 00080 ( )

,xi

2

7 00080

p 5 040

7 0000 72

,

,,p

5 040

7 0000 72

,

,,

Exemple: U-RéussiteExemple: U-Réussite

Option #2: Prendre un échantillon de 50 postulants Données obtenues d’un échantillon aléatoire simple de 50

postulants

No. Postulant Score Résidant

1 Connie Reight 1025 Oui

2 Willie Haggard 950 Oui

3 Fannie Lennox 1090 Non

4 Eric Pacman 1120 Oui

5 Winona Jiver 1015 Oui

. . . .

. . . .

50 Kevin Costmore 965 Non

Total 49,850 34 Oui


L’inférence statistiqueL’inférence statistique

Le but de l’analyse statistique est d’apporter de l’information sur des phénomènes insuffisamment connus– tirer des conclusions ou prendre des décisions plus éclairées

Analyse d’une masse de données numériques concernant le phénomène étudié– résultat de l’observation d’une partie de la population

concernée Avec de bonnes méthodes d’échantillonnage, les

résultats provenant d’un échantillon fourniront une “bonne” estimation des caractéristiques de la population

L’inférence regroupe l’ensemble des méthodes qui, à partir d’un échantillon prélevé de la population, permettent de tirer des conclusions soit sur les paramètres d’une variable étudiée dans cette population, soit sur la distribution ou tout autre aspect de cette variable. Deux grandes parties composent l’inférence statistique :

• L’estimation de paramètres

• Les tests d’hypothèses

L’inférence statistiqueL’inférence statistiqueL’inférence statistiqueL’inférence statistique

L’estimation ponctuelleL’estimation ponctuelle

Estimer un paramètre, une moyenne (), une variance (2), une proportion (p) etc., c’est chercher une valeur approchée en se basant sur les résultats d’un échantillon.

Lorsqu'une caractéristique d'une population (un paramètre) est estimée par un seul nombre déduit des résultats de l’échantillon, ce nombre est appelé une estimation ponctuelle du paramètre.– C'est une variable statistique

Estimations ponctuelles– comme estimateur ponctuel de

– s comme estimateur ponctuel de

– comme estimateur ponctuel de p

Note: D’autres nombres aléatoires auraient identifié d’autres postulants

xx

pp

99750850,49

50

i

xx 997

50850,49

50

i

xx

2,7549

097,27749

)( 2

xx

s i 2,7549

097,27749

)( 2

xx

s i

68,05034 p 68,05034 p


Rappel - paramètres d'une Rappel - paramètres d'une populationpopulation

Moyenne de la variable aléatoire X, valeur espérée de X, espérance de X, (X), X signifient la même chose. On peut aussi simplement écrire s’il y a seulement une variable aléatoire X

Variance de la variable aléatoire X, Var(X), X, (X)

signifient la même chose. On peut aussi simplement écrire s’il y a seulement une variable aléatoire X

L’écart-type (X) ou X est la racine carrée de la variance. On peut aussi simplement écrire s’il y a seulement une variable aléatoire X


Terminologie :– Statistique :

• Toute mesure (caractéristique) calculée à partir des données provenant d’un échantillon, e.g. :

– Moyenne, écart-type, proportion de l’échantillon

– Paramètre :

• Toute mesure (caractéristique) calculée à partir de l’ensemble des données d’une population, e.g. : p

– Moyenne, écart-type, proportion de la population

x ,s, p

L’estimation ponctuelleL’estimation ponctuelle

Dans l’estimation ponctuelle on utilise les données de l’échantillon afin de calculer une valeur d’une statistique de l’échantillon qui sert d’estimation du paramètre de la population

On dit que est l’estimateur ponctuel de la moyenne de la population .

s est l’estimateur ponctuel de l’écart-type de la population .

est l’estimateur ponctuel de la proportion de population p.

xx

pp


Raisons pour faire un échantillonnage au lieu d’un recensement :

– Lorsque la population est très grande

– Par souci d’économie

– Si le test est destructif

– Obtenir de l’information rapidement


Si on considère le processus de choisir un échantillon aléatoire comme une expérience aléatoire, les statistiques sont des descriptions numériques de résultats d'expérience.

– sont donc des variables aléatoires

– Excel: estimation.xls

x ,s, p

x ,s , p

La moyenne d’un échantillon aléatoireLa moyenne d’un échantillon aléatoire

étant une variable aléatoire, on peut alors parler de distribution de probabilité et de valeurs caractéristiques de cette v.a.

n

x

x

n

ii

1

La distribution d’échantillonnage de est la distribution

de probabilité de toutes les valeurs possibles

des moyennes d’échantillons

xx

xx

xx

xx

Distribution d’échantillonnageDistribution d’échantillonnage

Comme toute variable aléatoire, la statistique a une valeur espérée, un écart-type et une distribution de probabilité

La distribution d’échantillonnage est la distribution de probabilité d’une statistique.

La distribution d’échantillonnage peut fournir des informations probabilistes sur l’écart entre la statistique calculée à partir de l’échantillon et la valeur réelle du paramètre de la population

x

x

L'espérance E( ) = = où est la moyenne de la populationLa variance : VAR ( ) = n (population infinie)

VAR ( ) = (population finie)

où 2 est la variance de la population

– Une population finie est considérée comme infinie si n/N < 0,05.– est le facteur de correction à utiliser si n/N > 0,05

1

2

N

nN

n

Paramètre de la distribution d'échantillonnage deParamètre de la distribution d'échantillonnage de

x

( ) / ( )N n N 1( ) / ( )N n N 1

xx

x

x

Théorème central limiteThéorème central limite

En sélectionnant à partir d’une population, des échantillons aléatoires simples de taille n, la distribution d’échantillonnage de la moyenne d’échantillon peut être approchée par une distribution de probabilité normale, lorsque la taille de l’échantillon devient importante.

x

Lorsque la variance de la population est connue et que l’échantillon prélevé est grand (n 30), alors grâce au théorème central limite:

Ceci est aussi vrai lorsque l'échantillon est petit et que la variable aléatoire X suit une loi normale

),(2

nNx

Distribution d’échantillonnage de Distribution d’échantillonnage de x

Exemple :

X = taille

n = 25 observations

Quelle est la probabilité que la taille moyenne de l’échantillon soit supérieure à 172 cm ?

2170 25X N( cm, cm )


Lorsque la variance de la population est inconnue et que l’échantillon prélevé est grand (n 30), alors grâce au théorème central limite:

),(2

n

sNx


Exemple :

n = 400 observations d'une variable aléatoire X

Quelle est la probabilité que la moyenne de l’échantillon soit supérieure à 10,25, si la moyenne E(X) =10 et la variance échantillonnale est 4?


Paramètres de la population:– scores

– Proportion de résidants dans la population

xi

7 000990

,

xi

7 000990

,

( ),xi

2

7 00080 ( )

,xi

2

7 00080

p 5 040

7 0000 72

,

,,p

5 040

7 0000 72

,

,,

Example: U-RéussiteExample: U-Réussite

La distribution échantillonnale de pour les scores SAT

xx


E x( ) 990E x( ) 990

8011 3

50x ,

n

80

11 350

x ,n

xx

La distribution échantillonnale de pour les scores SAT– Quelle est la probabilité qu’un échantillon aléatoire

simple de 50 postulants fournira une estimation du score SAT moyen dans un intervalle de plus ou moins 10 de la vraie valeur ? En d’autres termes quelle est la probabilité que soit entre 980 et 1000?

• Distribution normale puisque la taille de l’échantillon est plus grande que 30 et que l’écart-type de la population est connu

• P(980≤ ≤1000)

• On définit Z la variable normale centrée réduite

xx


xx

xx

P(-0,88≤Z ≤0,88)

À l’aide de la table de probabilité pour la loi normale centrée réduite on obtient:

z = 10/11,3 = 0,88, on a une surface = (0,3106)(2) = 0,6212

xx

La distribution échantillonnale de La distribution échantillonnale de

xx

10001000980980 990990

Aire = 0,3106Aire = 0,3106Aire = 0,3106Aire = 0,3106


xx

-0,88 0,88

La distribution échantillonnale de est la distribution de toutes les valeurs possibles des proportions échantillonnales

Espérance de

où:

p = est la proportion de la population

La distribution d’échantillonnage deLa distribution d’échantillonnage de

pp

pp

E p p( ) E p p( )

pp

pp

Distribution d’échantillonnage deDistribution d’échantillonnage de

Écart-type de

Population Finie Population infinie

– est l’écart-type de la proportion estimée

pp

pp

pp p

nN nN

( )11

pp p

nN nN

( )11 p

p pn

( )1 pp p

n ( )1

p p

si n/N ≤0,05 On utilise la formule de la population infnie (plus grande variance)

Cas spécial : la distribution d'échantillonnage de d’un échantillon de taille n > 30 suit (approximativement) une distribution Normale


finie) n(populatio

infinie) n(populatio

1

)1(,

)1(,

N

nN

n

pppNp

n

pppNp

Si X prend seulement la valeur 1 ou 0

pp

pp

Distribution d’échantillonnage pour les résidants de la province

pp

72,0)( ppE 72,0)( ppE


0 72 1 0 720 0635

50p

, ( , ),

Distribution d’échantillonnage pour les résidants de la province

Quelle est la probabilité qu’un échantillon aléatoire simple de 50 postulants fournira une estimation de la proportion des postulants qui est à plus ou moins 0,05 de la vraie proportion?

C’est-à-dire quelle est la probabilité que soit entre 0,67 et 0,77? P(0,67≤ ≤0,77)

On définit Z la variable normale centrée réduite


pp

pp

pp

Distribution d’échantillonnage des résidants de la province

P(-0,79≤Z ≤0,79)

Pour z = 0,05/0,0635 = 0,79, la surface = (0,2852)(2) = 0,5704.

La probabilité est de 0,5704 que la proportion de l’échantillon sera à l’intérieur de +/-0,05 de la proportion de la population

0,770,770,670,67 0,720,72

Surface = 0,2852Surface = 0,2852Surface = 0,2852Surface = 0,2852

pp

Exemple: U-RéussiteExemple: U-Réussitepp

-0,79 0,79

ExempleExemple

p = 0,8 (proportion de Canadiens satisfaits du libre échange)

n = 100 personnes interrogées

Quelle est la probabilité que la proportion des personnes interrogées satisfaites du libre échange soit supérieure ou égale à 0,9 ?

)1(

,xou

n

pppNp

suit une loi Normale de moyenne 0,8 et écart-type 0,04xx

n/N plus petit que 0,05, population infinie

ExempleExemple

Pour estimer l’âge moyen d’une population de 4000 employés, un échantillon aléatoire de 40 employés est sélectionné. Quelle est la probabilité que l’âge moyen des employés de l’échantillon soit compris entre l’âge moyen de la population 2 si l’on sait que l’écart type de la population est de 8,2 ans?

Rép. 0,8764

ExempleExemple

Les revenus annuels des jeunes cadres d’une grande entreprise sont distribués normalement avec un écart type de 800$. S’il y a 10,2% des chances pour que la moyenne d’un échantillon aléatoire de 25 de ces revenus annuels soit inférieure à 25 000 $, quel est le revenu annuel moyen de cette population de jeunes cadres ?

Rép. 25203,2


x- s nt /

Si la variance de la population est inconnue, si la variable X suit une distribution Normale, et si la taille de l’échantillon est petite (n<30), on utilise la statistique suivante :

qui suit la distribution du t (de Student) à n-1 degrés de liberté et qui ressemble à la distribution Normale.

1x

t( n )s

n

x

La distribution du La distribution du tt (de Student) (de Student)

Une distribution du t dépend d’un paramètre appelé degrés de liberté et dénoté n : t(x)

Plus le nombre de degrés de liberté est grand, plus la différence entre la distribution du t et la distribution nomale centrale réduite diminue

Une distribution du t avec plus de degrés de liberté a moins de dispersion.

La moyenne de la distribution du t est zéro et sa variance est (n/(n-2))

La distribution du La distribution du tt de Student de Student

The Student distributionThe Student distribution

Valeur de t: Table 2 dans le livre– Valeur de t value à 9 degrés de liberté. Dans la table, nous trouvons

que pour t = 2.262 la probabilité est 0,025.

Degrés Surface à droite de t

de liberté .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . .

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

. . . . . .

Degrés Surface à droite de t

de liberté .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . .

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

. . . . . .

La distribution de La distribution de tt de Student de Student

Exemple. Pour estimer le montant hebdomadaire moyen dépensépar les familles de 4 personnes pour leur épicerie, on tire un échantillon aléatoire de 25 personnes. On suppose que les montants dépensés sont distribués normalement avec une moyenne = 120 $ et une variance inconnue. Si la variance de l'échantillon de taille 25 est s2 = 36, calculerla probabilité que la moyenne de l'échantillon soit supérieure ou égale à 123 $.

123 120

6 25

x-P (x 123)=P

s/ n /

=P(t 2,5)=0,01

Statistique T

Résumé des distributions d’échantillonnage deRésumé des distributions d’échantillonnage de

Si n est grand (plus grand que 30), alors suit une loi Normale et:– Si la valeur de est connue alors:

– Si la valeur de est inconnue alors:

Si n est petit (plus petit que 30), et X suit une loi normale, et:– Si la valeur de est connue alors:

– Si la valeur de est inconnue alors:

),(2

n

sNx

),(2

nNx

x

),(2

nNx

1x

t( n )s

n

x

2xx

Erreur d’échantillonnageErreur d’échantillonnage

En généralisant à toute la population l’information partielle obtenue d’un échantillon, on introduit une erreur plus ou moins grande appelée “erreur échantillonnale”

La grandeur de cette erreur dépend de la taille d’échantillon et aussi de la façon dont il est tiré

L’échantillon devrait être représentatif– Plusieurs façons de s’assurer de la représentativité

Erreur d’échantillonnageErreur d’échantillonnage

La différence absolue entre un estimateur ponctuel non-biaisé et le paramètre de la population correspondant est appelée erreur d’échantillonnage

C’est le résultat de l’utilisation d’un sous-ensemble de la population (échantillon) au lieu de toute la population pour obtenir des estimations des valeurs de paramètres

Les erreurs d’échantillonnage sont:pour la moyenne échantillonnale

|s - pour l’écart type échantillonnal

pour la proportion échantillonnale

|| x || x

|| pp || pp

Méthodes d’échantillonnageMéthodes d’échantillonnage

Échantillonnage aléatoire simple Échantillonnage systématique Échantillonnage aléatoire stratifié Échantilonnage par grappes

Échantillon aléatoire simpleÉchantillon aléatoire simple

Population finie

– Un échantillon aléatoire simple d’une population finie de taille N est un échantillon sélectionné tel que chaque échantillon possible de taille n a une probabilité égale d’être sélectionné

– Si on replace chaque élément de l’échantillon afin de sélectionner les éléments subséquents, on parle d’échantillonnage avec remise

– L’échantillonnage sans remise est la procédure la plus couramment utilisée

– Dans les projets d’échantillonnage, on utilise des nombre aléatoires générés par ordinateur afin de guider le processus de sélection

Population infinie– Un échantillon aléatoire simple d’une population infinie est un

échantillon choisi tel que:

• Chaque élément sélectionné provient de la même population

• Chaque élément est sélectionné de manière indépendante

– Une population est considérée infinie si elle concerne un processus continu où il est impossible d’énumérer tous les éléments e.g. clients arrivant à un restaurant

– La procédure de sélection par nombre aléatoire ne peut pas être utilisée pour les populations infinies

• Il faut alors concevoir des procédures d’échantillonnage

Échantillon aléatoire simpleÉchantillon aléatoire simple

Échantillon systématiqueÉchantillon systématique

Méthode utilisée seulement si les unités de la population sont déjà classées dans un certain ordre.

Si coûteux de sélectionner un échantillon aléatoire On choisit les unités dans la population à des

intervalles fixes selon le temps, l’espace ou l’ordre d’occurrence.

On sélectionne par exemple au hasard le 1er, et ensuite d’une façon systématique le 101e, 201e, 301e etc.

La méthode consiste à subdiviser la population en sous-groupes relativement homogènes appelés «strates» . Par la suite, on tire de chaque strate un échantillon aléatoire simple; le regroupement de tous ces échantillons partiels constitue l’échantillon de taille n désiré. Approprié lorsque les éléments d’une strate sont semblables, e.g. un âge, un lieu, etc.

Échantillon stratifiéÉchantillon stratifié

Il faut d’abord subdiviser la population en sous-groupes appelés «grappes», chacune représentative de la population;

On tire ensuite un échantillon aléatoire de grappes et on observe tous les individus faisant partie des grappes sélectionnées.

Une grappe fournit une représentation à petite échelle de la population Les éléments d’une grappe sont ne sont pas semblables, e.g. quartier

d’une ville Taille d’échantillon plus grande

Grappe 4

Grappe 1

Grappe 3

Grappe 2

Échantillon par grappesÉchantillon par grappes

Autres méthodes d’échantillonnageAutres méthodes d’échantillonnage

Échantillonnage non-aléatoire : l'analyse utilise son expérience et ses connaissances pour choisir des éléments de la population

– L’échantillonnage de commodité• Étudiants volontaires

– L’échantillonnage subjectif• Personne choisit selon son jugement• Un journaliste choisit 3 ou 4 députés à interviewer

ExempleExemple

Soit X la variable représentant le montant hebdomadaire pour l’épicerie dans une famille de 4 personnes.

X N( 280, 2)

n = 16 familles

s2 = 225

P( 285 $) = 0,1xx

Exemple Exemple On a obtenu d'un échantillon aléatoire de 35 familles de 4 personnes,

l'information suivante concernant les dépenses hebdomadaires en alimentation (que l'on suppose normalement distribuées) :

– Quelle est approximativement la probabilité que la moyenne de l'échantillon de 35 observations soit comprise dans l'intervalle (248,75 , 256,00 ) si l'on suppose que la dépense hebdomadaire moyenne (dans la population) est = 250 $ ? Rép. 0,7622

– Quelle est approximativement la probabilité que la proportion échantillonnale d'un échantillon aléatoire de 50 familles de 4 personnes consacrant au moins 250 $ par semaine pour l'alimentation soit comprise entre 0,4 et 0,65, sachant que les trois quartiles de la distribution des dépenses hebdomadaires pour l'ensemble des familles de 4 personnes sont de 200 $, 250 $ et 300 $ respectivement ? Avant de répondre à cette question, donnez d’abord la distribution d’échantillonnage de cette statistique, ainsi que ses paramètres.

– Rép. 0,90 où

(x i x )2 3500 et x 240 $

1 1 suit 2 200p N ,

opération et systèmes de décision faculté des sciences de ladministration mqt-21919...

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