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Lequel utiliser ?
Pourquoi ?
Intervalle de fluctuation
Intervalle de confiance
1
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Des questions qui se posent
Q1: Dans un pays, 10 % des plages étaient atteintes par des algues toxiques. On a modifié le
processus de rejets chimiques : on admet que le nouveau processus de rejet, très différent du précédent, pourrait modifier cette proportion.
On prend un échantillon aléatoire de 150 prélèvements, on constate que 18 présentent
des traces d’algues toxiques. Peut-on penser que le nouveau traitement a un impact sur le pourcentage de plages polluées ?
Pour toutes les questions :
Est-ce au programme ?
Quels sont les outils qui vont permettre de répondre à ces questions ?
2
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Q2: Partie 1
Pour analyser l’effet d’un polluant sur l’environnement, on procède par prélèvement
aléatoire d’échantillons (randomisation des surfaces).
On tire un échantillon de taille 100 et on constate que 11 parcelles présentent des traces de
polluant.
Le service communication se réjouit et affirme que la proportion de 12 % n’est pas
atteinte.
Une association s’élève en faux et affirme au contraire qu’on peut penser que l’hypothèse
de 17 % qu’elle avance depuis longtemps n’est pas contredite.
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Partie 2
Sous la pression des habitants, la municipalité demande au service statistique de définir
une procédure permettant d’affirmer :
- qu’on peut raisonnablement penser que la proportion de parcelles polluées est 12%
- que penser que cette proportion de 17% est déraisonnable
Que proposez vous?
4
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Q3 :
Un industriel fabrique des smartphones.
Pour contrôler la qualité de la production, il en teste 200 : 92% fonctionnent
correctement. Que peut-on conclure pour l’ensemble de la production?
Durant 6 mois, l’entreprise de smartphones travaille à améliorer la qualité de sa
production.
Un nouvel échantillon de 200 smartphones est prélevé : 97% fonctionnent correctement.
Est-il raisonnable de penser que la production s’est améliorée?
5
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Q4 :
La proportion d’ampoules à économie d’énergie non-conformes dans la production
d’une entreprise est p = 0,07.
L’entreprise souhaite fournir des lots d’ampoules pour lesquels elle puisse «garantir»
qu’environ 95% d’entre eux ont une fréquence d’ampoules non-conformes entre 0,06
et 0,08.
Quelle est la taille du lot à prendre pour répondre à cette contrainte?
6
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Intervalles de fluctuation
Dans une population un caractère est présent dans une proportion p.
A chaque échantillon (avec remise) de taille n, on associe la
fréquence de ce caractère dans l’échantillon. On définit ainsi une
variable aléatoire Fn.
Définir un intervalle de fluctuation de Fn au seuil 𝟏 − 𝜶,
c’est déterminer un intervalle In tel que 𝑷 𝑭𝒏 ∈ 𝑰𝒏 ≥ 𝟏 − 𝜶
Remarque : on choisit souvent 𝛼 = 5%
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En classe de seconde
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
fréq
uen
ces o
bserv
ées
valeurs de p
intervalles de fluctuation à 95% pour n = 50
approché
approché
𝐼𝑛 = 𝑝 −1
𝑛, 𝑝 +
1
𝑛≈ 0,4586 ; 0,7414
8
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En classe de première
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
fréq
uen
ces o
bserv
ées
valeurs de p
intervalles de fluctuation à 95% pour n = 50
exact
exact
𝐼𝑛 =𝑎
𝑛,
𝑏
𝑛=
23
50,
36
50= 0,46 ; 0,72
9
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En classe de terminale
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
fréq
uen
ces o
bserv
ées
valeurs de p
intervalles de fluctuation à 95% pour n = 50
asymptotique
asymptotique
𝐼𝑛 = 𝑝 − 1,96𝑝 1 − 𝑝
𝑛, 𝑝 + 1,96
𝑝 1 − 𝑝
𝑛
10
𝐼𝑛 ≈ 0,4642 ; 0,7358
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De la seconde à la terminale
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
fréq
uen
ces o
bserv
ées
valeurs de p
intervalles de fluctuation à 95% pour n = 50
exact
exact
approché
approché
asymptotique
asymptotique
11
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L’effet de la taille des échantillons sur les approximations
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Fré
quence
f o
bserv
ée
Proportion p dans la population
Intervalle de fluctuation à 95 % pour des échantillons de taille 30
a/n
b/n
p -1/rac(30)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Fré
quence
f o
bserv
ée
Proportion p dans la population
Intervalle de fluctuation à 95 % pour des échantillons de taille 100
a/n
b/n
p -1/rac(100)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Fré
quence
f o
bserv
ée
Proportion p dans la population
Intervalle de fluctuation à 95 % pour des échantillons de taille 1 000
a/n
b/n
p -1/rac(1000)
12
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L’intervalle de fluctuation
Intervalle de fluctuation = prise de décision sur la qualité d’un
échantillon
Population
Proportion p
Echantillon
Fréquence Fn
p connu
IF
13
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Intervalle de fluctuation = prise de décision (confirmation ou non de
la supposition)
Population
Proportion p
Echantillon
Fréquence Fn
p supposé
IF
L’intervalle de fluctuation
14
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Population
Proportion p
Echantillon
Fréquence Fn
p inconnu
IC
Intervalle de confiance = estimation de p
Les intervalles de confiance
15
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Intervalle de fluctuation = prise de décision
Population
Proportion p
Echantillon
Fréquence Fn
p connu ou supposé
p inconnu
IF
IC
Intervalle de confiance = estimation
Deux intervalles pour deux problématiques
16
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La problématique des intervalles de fluctuation et de confiance
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
fréq
uen
ces o
bserv
ées
valeurs de p
intervalles de fluctuation à 95% pour n = 50
asymptotique
asymptotique
IC
IF
17
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Les différences entre S et ST
Intervalle de fluctuation
(p connu ou supposé)
Intervalle de confiance
niveau de confiance 95% (f observé)
2nde Conditions: n ≥25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8
seuil de 95 %
Forme:
Sensibilisation
1ère Conditions : aucune.
Forme obtenue à l’aide de la loi binomiale :
IF exact
Term
Conditions: n ≥ 30, np ≥ 5 et n (1 - p) ≥ 5.
IF asymptotique
Forme:
Seuil 1- α
Forme:
Seuil 95%
Conditions: n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1- p) ≥ 5.
Forme:
Forme :
n
ppup
n
ppup
)1(,
)1(
nf
nf
1,
1
n
ppp
n
ppp
)1(96,1,
)1(96,1
n
fff
n
fff
)1(96,1,
)1(96,1
np
np
1,
1
S
ST
S ES
ES ST 18
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Une différence entre S et ST
Quand , n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1- p) ≥ 5 il est courant de faire les calculs impliquant une variable binomiale en la remplaçant par une variable suivant une loi normale de mêmes espérance et variance.
Seul le programme de STI2D-STL mentionne cette pratique, qui ne doit donc pas être mise en œuvre dans les autres filières où tous les calculs de probabilités se font à la calculatrice en utilisant la loi exacte (au programme), quelle qu’elle soit.
(document ressource page 21)
19
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Revenons aux exemples
20
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L’utilisation classique de l’intervalle de fluctuation:
rejet ou non d’une hypothèse sur une proportion
Q1:
Dans un pays, 10% des plages étaient atteintes par des algues toxiques. On a modifié le processus de rejets chimiques : on admet que le nouveau processus de rejet, très différent du précédent, pourrait modifier cette proportion.
On prend un échantillon aléatoire de 150 prélèvements, on constate que 18 présentent des traces d’algues toxiques. Peut-on penser que le nouveau traitement a un impact sur le pourcentage de plages polluées ?
21
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Réponse
1) On fait l’hypothèse que la proportion de plages polluées après la mise en œuvre
du procédé est p = 10%
2) On considère l’échantillon de n = 150 plages et on détermine la fréquence de
plages polluées : f = 18/150 = 0,12
3) On détermine l’intervalle de fluctuation I au seuil de 95% correspondant à n, p :
4) On prend une décision : f = 18/150 appartient à 0,047 ; 0,153
On en déduit qu’au seuil de 95% on ne rejette pas l’hypothèse que p = 10% ; le
hasard seul peut expliquer la différence entre les valeurs 10% de p et 12% de f
0,1 − 1,960,1×0,9
150; 0,1 +1,96
0,1×0,9
150= 0,047 ; 0,153
22
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Q2: Partie 1
Pour analyser l’effet d’un polluant sur l’environnement, on procède par prélèvement
aléatoire d’échantillons (randomisation des surfaces).
On tire un échantillon de taille 100 et on constate que 11 parcelles présentent des
traces de polluant.
Le service communication se réjouit et affirme que la proportion maximale de 12 %
n’est pas atteinte.
Une association s’élève en faux et affirme au contraire qu’on peut penser que
l’hypothèse de 17 % qu’elle avance depuis longtemps n’est pas contredite.
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Si p = 0,12 Si p = 0,17
Les intervalles de fluctuations asymptotiques : Utilisation des formules
𝑝 − 1,96𝑝 × 1 − 𝑝
𝑛; 𝑝 +1,96
𝑝 × (1 − 𝑝)
𝑛
[ 0,056 ; 0,183] pour p=0,12 [ 0,096 ; 0;243] pour p=0,17
24
Les intervalles de fluctuations asymptotiques :
[ 0,056 ; 0,184] pour p=0,12 [ 0,096 ; 0,245] pour p=0,17
ST
S
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Si p = 0,12 Si p = 0,17
Les intervalles de fluctuations exacts :
f = 0,11 est dans les deux intervalles de fluctuation exacts :
[ 0,06 ; 0,18] pour p=0,12 [ 0,10 ; 0;24] pour p=0,17
Avec f = 0,11 l’intervalle de confiance de p au niveau 95% est :
[ 0,01 ; 0;21] en TS
[ 0,048 ; 0,172] en TSTI/TSTL 25
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Une remarque :
dans un débat contradictoire, on définit et propose le protocole
aux deux parties avant la prise d’information
Pas de conclusion possible…
26
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Partie 2
Sous la pression des habitants, la municipalité demande au service statistique de définir
une procédure permettant de penser :
- qu’on peut raisonnablement penser que la proportion de parcelles polluées est 12%
- Que penser à une proportion de 17% est déraisonnable
Que proposez vous?
27
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On propose de déterminer n tels que les deux intervalles de fluctuations soient disjoints
𝑝1 − 1,96𝑝1(1−𝑝1)
𝑛 𝑝1+1,96
𝑝1(1−𝑝1)
𝑛 𝑝2 − 1,96
𝑝2(1−𝑝2)
𝑛 𝑝2 + 1,96
𝑝2(1−𝑝2)
𝑛
Ce qui se traduit par 𝑝1 + 1,96𝑝1(1−𝑝1)
𝑛≤ 𝑝2 − 1,96
𝑝2(1−𝑝2)
𝑛
Ce qui donne avec 𝑝1 = 0,12 et 𝑝2 = 0,17 , 𝑛 > 754
Ce n’est pas la procédure la « moins coûteuse », mais toute autre ne relève
pas du programme de la classe terminale
28
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Q4 : la proportion d’ampoules à économie d’énergie non-conformes dans la production d’une entreprise est p = 0,07. L’entreprise souhaite fournir des lots d’ampoules pour lesquels elle puisse «garantir» qu’environ 95% d’entre eux ont une fréquence d’ampoules non-conformes entre 0,06 et 0,08.
Quelle taille du lot à prendre pour répondre à cette contrainte?
29
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Traduction : Si on note Fn la variable qui à un lot de n ampoules associe la fréquence d’ampoules défectueuses, on va chercher un intervalle In autour de 0,07 tel que p( Fn appartient à In) ≥ 0,95 L’intervalle de fluctuation à 95% répond à la question On cherche n tel que Ln ≤ 0,02 où Ln est la longueur de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%
soit, : avec p = 0,07
D’où n ≥ 2501 Un conditionnement par lot d’au moins 2501 ampoules convient
0,06511,96 0,01
(1,96)² 0,0651d'où
(0,01)²
n
n
30
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Une première utilisation:
l’estimation d’une proportion inconnue
Q3 : Un industriel fabrique des smartphones. Pour contrôler la qualité de la production, il en teste 200 : 92% fonctionnent correctement. Qu’en conclure sur l’ensemble de la production?
31
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Ici: n = 200 et f = 0,92.
On détermine l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95%:
[0,882 ; 0,958].
On conclut que la probabilité que p soit dans [0,882 ; 0,958] est au moins égale à 0,95:
NON !
p est un réel fixe qui est ou qui n’est pas dans [0,882 ; 0,958]: il n’y a pas d’aléatoire ici.
On conclut qu’à partir de cet échantillon de 200 smartphones, la proportion de smartphones fonctionnant correctement sur l’ensemble de la production est dans l’intervalle [0,882 ; 0,958] au niveau de confiance de 95%.
32
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33
Intervalle de confiance et probabilité :
- il n’y a pas un intervalle de confiance, mais autant que de valeurs obtenues de la
fréquence f
S
ST
- la probabilité n’est pas dans le résultat mais dans la démarche :
si on note 𝐹𝑛 la variable aléatoire fréquence définie sur chaque
échantillon, on a pour 𝑛 assez grand :
𝑃(𝑝 ∈ 𝐹𝑛 −1
𝑛; 𝐹𝑛 +
1
𝑛) ≥ 0,95
Ou mieux :
𝑃(𝑝 ∈ 𝐹𝑛 − 1,96𝐹𝑛 1 − 𝐹𝑛
𝑛; 𝐹𝑛 + 1,96
𝐹𝑛 1 − 𝐹𝑛
𝑛) ≥ 0,95
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Une seconde utilisation : la notion de différence significative
Durant 6 mois, l’entreprise de smartphones travaille à améliorer la
qualité de sa production. Un nouvel échantillon de 200 smartphones
est prélevé: 97% fonctionnent correctement. Est-il raisonnable de
penser que la production s’est améliorée?
ST
34
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Avant « amélioration » :
n=200 et f=0,92.
Intervalle de confiance à 95% : [0,882 ; 0,958].
Après « amélioration » :
n=200 et f=0,97.
Intervalle de confiance à 95% : [0,946 ; 0,994].
Conclusion:
[0,882 ; 0,958] et [0,946 ; 0,994] ne sont pas disjoints
La différence entre les deux échantillons n’est pas significative: on ne peut pas affirmer qu’il y a une évolution significative de la qualité de la production au niveau de confiance de 95%.
35
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Ce que disent les programmes
ST
36
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S
ES
37
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S
ES
S
38
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La simulation :
Pour faire comprendre les notions d’intervalle de confiance et de niveau
de confiance
39
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La simulation donne du sens à la notion d’intervalle de confiance par
une visualisation graphique
ST
40
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S
ES
41
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Avec le tableur
42
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Avec R
p = 0,45
44
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Quelle exploitation de cette simulation ?
Donner du sens à la notion d’intervalle de confiance (pas d’unicité)
Mettre en évidence qu’un intervalle de confiance peut ne pas contenir p (mais pas souvent…)
Mettre en évidence que deux intervalles de confiance peuvent être disjoints (mais peu souvent…)
Les peignes
45
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En conclusion
On utilise un intervalle de fluctuation :
Pour prendre une décision sur une valeur de p supposée
On utilise un intervalle de confiance :
Pour estimer une valeur de p inconnue
Pour comparer l’efficacité de deux processus
ST
46
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retour sur la surréservation
47
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Une compagnie aérienne dispose d'un avion de 300 places et vend n réservations.
(n supérieur à 300)
La probabilité qu’un acheteur se présente à l’embarquement est p = 0,9 et l'absence d'une
personne à l'embarquement n'influe pas sur celle d'une autre.
L'objectif est d'évaluer la probabilité de surréservation de cette compagnie, autrement dit le
risque que plus de 300 passagers se présentent à l'embarquement.
On cherche à maitriser le risque de telle façon que la probabilité de surbooking ne dépasse
pas 5%
Quelle est la valeur maximum de n?
Au moins trois moyens de traiter le problème…
48
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En classe de première
Soit Xn la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de
passagers se présentant à l’embarquement
Xn suit une loi binomiale de paramètres (n ; 0,9)
On cherche n tel que
Ce qui se traduit par
95,0)300( nXP
05,0)300( nXP
49
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Avec GeoGebra
Recherche par essais en faisant varier le curseur et les valeurs de n
Avec le tableur
Surréservation.xls
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En classe de terminale
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Ce que propose le document ressource
une utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique
On s’intéresse à la fréquence Xn/n On va chercher une condition moins forte :
Comme n > 300 et p = 0,9 on a np > 5 et n(1- p) > 5 on peut utiliser l’intervalle
de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de Xn/n
et par conséquent P (Xn/n < 300/n) sera supérieure à 0,95 dès que (perte
d’information) [ 0, 300/n ] contiendra l’intervalle de fluctuation
In =
Ce qui se traduit par Que l’on résout et avec p = 0,9 on obtient : la valeur maximum de n est 321
n
ppp
n
ppp
)1(96,1,
)1(96,1
nn
ppp
300)1(96,1
53
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Soit Xn la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de passagers se
présentant à l’embarquement
Xn suit une loi binomiale de paramètres (n ; 0,9)
On cherche n tel que
Or
Ce qui est très proche de
Où Z suit une loi normale centrée réduite
)09,0
9,0300
09,0
9,0(lim)300(lim
n
n
n
nXPXP
n
nn
n
)09,0
9,0300(
n
nZP
95,0)300( nXP
Ce que permet le programme : avec le théorème central mais sans
intervalle de fluctuation
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On remplace alors
par
ce qui se traduit par
ce qui donne
Avec un changement de variable, on obtient que la valeur maximale de n
est 323
95,0)300( nXP
64,109,0
9,0300
n
n
009,064,19,0300 nn
Recherche de la valeur 1,64
95,0)09,0
9,0300(
n
nZP
55
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Pour aller plus loin :
On peut généraliser l’exemple précédent et
- pour un risque a ,
- avec une probabilité p pour chaque passager de venir à l’aéroport
- un avion de taille N assez grande,
déterminer une valeur approchée de la valeur maximale n de réservation à faire
n est alors solution de l’équation
Où T est tel que, si Z suit la loi normale centrée réduite, alors
0)1( nppTpnN
1)( TZP
56