15.1 압력 15.2 깊이에 따른 압력의 변화 15.3 압력의 측정 15.4 부력과 아르키메데스의 원리 15.5 유체 동역학 15.6 유선과 연속 방정식 15.7 베르누이 방정식

15장. 유체역학

숭실대학교 일반물리 강의자료 최신대학물리학 5판, Serway & Jewett 북스힐

물질의 세 가지 기본적인 상태:

고체(solid) : 부피와 모양이 분명함

액체(Liquid) : 부피는 가능하나 모양이 일정치 않음

이러한 정의는 어딘가 좀 인위적임

기체(gas) : 담을 수 없음, 부피나 모양을 정할 수 없음

물질의 상태

아스팔트, 유리, 프라스틱은 보통 상태에서는 고체이나, 긴 시간으로 보면 액체처럼 흐르는 것으로 보임.

거의 모든 물체는 온도나 압력에 따라서 고체, 액체, 기체(또는 이 상태들의 결합)상태 모두를 가질 수 있음.

일반적으로 어떤 물질에 외력이 작용해서 형태를 변화시키는데 걸리는 시간에 따라 물질은 고체, 액체 또는 기체로 결정할 수 있다.

제멋대로 배열된 분자들의 집합체로서, 분자들 간의 매우 약한 응집력과 용기 벽이 작용하는 힘에 의해 유체 상태가 유지된다.

유체(fluid)

유체는 액체와 기체를 포함한다.

15.1 압력 Pressure

점성이 없다고 가정

유체를 단순한 모델로 다룸:

층밀리기 힘에 버티지 못함

유체는 면에 수직한 힘만 작용한다.

짧은 시간 동안에 일어나는 엄청나게 많은 충돌이 표면에 작용하는 일정한 크기의 매우 큰 힘이 된다.

유체가 표면에 작용하는 힘은 유체 분자들이 표면에 충돌하기 때문

유체 분자들이 물체의 표면에 충돌할 충격량-운동량 정리와 뉴턴의 제3법칙에 따라 표면에 힘을 가하는 것.

표면의 넓이 전체에 작용하는 힘을 이용하여 압력(pressure)이라고 하는 새로운 물리량을 약속(정의)한다.

유체의 압력을 측정하는 간단한 장치

유체가 접촉한 표면에 단위면적당 작용하는 힘

단위는 파스칼

압력(pressure)

F는 유체가 피스톤에 작용한 힘이고 A가 피스톤 표면의 면적이라면 압력은 단위면적당 작용하는 힘

압력은 스칼라양임.

힘의 크기에 비례함

압력을 이르키는 힘의 방향은 힘이 작용하는 면에 수직함

면적이 매우 크면 큰 힘도 작은 압력으로 나타남.

지표 위의 대기는 지표와 지표에 있는 모든 물체에 압력을 작용함

대기압(Atmospheric pressure)

유체는 깊이에 따라 압력이 증가함

바다나 호수에서 깊이 들어갈수록 압력이 증가

대기압은 위로 갈수록 감소

유체가 용기 속에서 정지해 있다면, 유체의 모든 부분은 정적 평형상태에 있음

깊이가 같은 모든 점은 압력이 같아야 함

그렇지 않으면, 유체는 평형상태에 있지 않게됨

15.2 깊이에 따른 압력의 변화 Variation of Pressure with Depth

정지해 있는 밀도가 ρ 인 액체

액체가 들어 있는 깊고 넓은 큰 그릇 속의 원통형 부분에서

그 단면적은 A

윗 표면에서 깊이 d 인 곳에서 시작해서 아래로 d + h 인 깊이까지

그 부분은 평형상태에 있음

원통형 외부의 유체가 원통의 표면 모든 점에 수직하게 힘을 작용함

수평한 힘은 서로 지워짐

원통형 외부의 유체가 원통의 표면 모든 점에 수직하게 힘을 작용함

수평한 힘은 서로 지워짐

원통의 윗면과 아랫면에 작용하는 세 힘은

윗면에서 아래로 작용하는 힘, P0A

아랫면에서 위로 작용하는 힘, PA

아래로 작용하는 무게, Mg

유체가 평형상태에 있으므로:

유체의 질량은 M = Vρ = Ah 이고, 무게는 Mg = ρgAh :

유체의 윗면이 대기에 노출되어 있으면, Po는 유체 표면에 작용하는 압력이므로 그것은 대기압이다.

유체 내의 압력은 깊이 h에만 의존한다.

용기의 모양에 관계없이 깊이만 같은 모든 점은 압력이 같다.

밀폐된 유체에 작용하는 압력의 변화는 유체 내의 모든 점과 용기의 벽에 전달되어야만 한다.

파스칼(Pascal)의 법칙

표면에서의 압력 변화는 유체 내의 모든 점에 전달되어야 한다.

유압프레스

면적이 A1인 작은 피스톤에 힘 가 작용

압력은 액체 내의 모든 곳을 통하여 면적 A2까지 전달된다

액체는 힘 를 큰 피스톤에 작용

양쪽 피스톤에서의 압력은 같으므로

P=F1A1=F2A2

파스칼의 법칙을 응용

자동차 정비 공장에서 사용하는 리프트(사진)는 대부분 압축 공기를 사용한다. 단면의 반지름이 5.00cm인 원형 피스톤으로 압축 공기를 밀어 넣어 반지름이 15.0cm인 두 번째 피스톤에 압력을 전달하는 리프트가 있다.

힘에 대한 식을 사용:

(A) 무게가 13 300N인 차를 들어올리기 위해 압축 공기가 가해야 할 힘은 얼마인가?

자동차 리프트 예제 15.1

풀이

(B) 이런 크기의 힘을 작용하기 위해 공기의 압력은 얼마로 해야 하는가?

압력을 구한다:

(C) 리프트를 비고립계로 간주하고 입구에서 공급된 에너지가 출구에서 일한 에너지와 같음을 보여라.

부피를 같게 놓으면:

입구에서의 일과 출구에서의 일의 비를 구한다:

풀이

풀이

너비가 w인 댐 뒤에 물이 높이 H 만큼 차 있다(그림). 물이 댐에 작용하는 전체 힘을 구하라.

깊이 h 에서 물에 작용하는 압력을 계산한다:

진한 색 부분의 면적 dA=w dy 에 작용하는 힘을 구한다:

댐에 작용하는 전체 힘을 구하기 위해 적분한다:

댐에 작용하는 힘 예제 15.2

풀이

기압계(barometer): 대기압을 측정하는 장치 한쪽 끝이 막힌 관에 수은을 채우고 수은이 담긴 그릇에 거꾸로 세워 놓는다.

관이 막혀 있는 윗 부분에 거의 완벽한 진공이 생긴다.

대기압은 Po = ρHggh 로 계산된다.

1 atm = 0.760 m(of Hg)

열린관 압력계: U-자 모양의 관 한쪽 끝은 대기 중에 노출되어 있다.

다른 끝은 압력을 측정하고자 하는 곳에 연결되어 있다.

B 점의 압력은 Po + ρgh 이다.

15.3 압력의 측정 Pressure Measurements

A점과 B 점의 압력은 같아야 한다. 파스칼의 원리

A에서의 압력은 기체의 미지 압력이다.

B점의 압력을 P 라 하면:

P 와 P0의 차이가 ρgh 이다.

P = P0 + ρgh

압력 P 를 절대압력(absolute pressure)이라 하고, 차이 P-P0를 계기압력(gauge pressure)이라 한다.

부력(buoyant force)

어떤 물체에 작용하는 부력은 그 물체에 의해 밀려난 유체의 무게와 같다.

유체에 떠 있거나 잠겨 있는 물체에 그 유체가 위로 작용하는 힘.

아르키메데스(Archimedes)의 원리

14.4 부력과 아르키메데스의 원리 Buoyant Forces and Archimedes’s Principle

액체 속에 잠긴 딱딱한 물체가 있다:

그 물체의 윗 면에 작용하는 압력은 아래로 PtopA 의 힘을 작용한다.

그 물체의 아랫 면에 작용하는 압력은 위로 PbottomA의 힘을 작용한다.

그 결과 전체 물체에 작용하는 압력에 의한 연직방향의 힘은 무게와 같아야 한다. 즉,

밀도가 ρfluid 인 유체 속에 완전히 잠긴 물체의 경우

알짜 힘= 부력 + 중력

B − Fg =(ρfluid − ρobject)g Vobject

유체의 표면에 떠 있는 물체의 경우

그 물체는 부분적으로 잠긴 것이다.

물체에 의해 밀려난 유체의 무게는 유체 속에 잠긴 부분의 물체의 무게와 같으므로:

ρobjectg Vobject = ρfluid g Vdisplaced

왕으로부터 왕관이 순금인지를 판별해 달라는 요청을 받은 아르키메데스는 이 문제를 해결하기 위해 그림과 같이 왕관의 무게를 공기 중과 물속에서 측정했다. 이때 공기 중에서는 7.84 N이었고, 물속에서는 6.84 N이었다고 하자. 아르키메데스는 왕에게 어떻게 대답했을까?

물 속에 있는 왕관에 평형식을 적용하면:

위 식을 B에 대해 풀고 아는 값을 대입하면:

왕관의 밀도를 구한다:

수치를 대입한다:

유레카(Eureka!) 예제 15.3

풀이

유체동역학(Fluid dynamics)

유체운동의 두 가지 형태 : 흐름(flow) & 난류(turbulence)

운동하는 유체를 연구

정상류(층류) (steady (laminar) flow)

유체의 각 입자가 매끄러운 경로를 따르면서 서로 다른 입자의 경로가 그림에서처럼 교차되지 않는 흐름

15.5 유체 동역학 Fluid Dynamics

난류(turbulence): 아주 작은 소용돌이 영역으로 일어나는 불규칙한 흐름

• 예를 들어 강물이 흐르다가 바위나 다른 장애물을 만날 때 강물의 흐름이 흰거품을 내면서 엉키는 경우

• 흐름이 어떤 임계속도 이상일 때 일어난다.

점성(Viscosity)

• 유체 내의 내부 마찰 => 난류를 일으킴

• 내부 마찰 또는 점성력은 이웃하는 유체의 두 층이 서로 상대 운동할 때의 저항과 관련이 있다

• 점성은 비보존력을 나타내므로 유체의 이웃하는 두 층이 서로 미끄러질 때 운동 에너지의 일부가 내부 에너지로 전환된다.

이상유체(ideal fluid) 의 네 가지 가정

1. 비점성(nonviscous)—내부마찰을 무시 2. 비압축성(incompressible)—밀도가 변하지 않는다고 가정 3. 정상 흐름(steady)—각 점의 속도가 일정하게 유지됨 4. 비회전성 흐름(irrotational)—어느 점에서도 각운동량을 갖지 않음

정상류에서 입자가 지나가는 경로를 유선(streamline)이라 한다.

입자의 속도는 유선에 접한다.

유선은 교차되지 않는다.

관 속의 입자들은 정상류의 유선을 따라 흐른다.

주어진 시간 동안 A1을 지나가는 유체의 질량은 같은 시간 동안 A2를 지나는 유체의 질량과 같다.

이상유체 운동의 분석

유체가 비압축성이므로, 부피가 일정함:

이상유체의 연속방정식

관 내의 모든 점에서의 유체의 속력과 관의 단면적의 곱은 일정하다.

15.6 유선과 연속방정식 Streamlines and the Continuity Equation for Fluids

정원사가 지름이 2.50cm인 호스를 이용해서 30.0L의 양동이에 물을 채운다. 정원사가 양동이를 다 채우는 데 1.00분이 걸렸다. 이제 단면의 넓이가 0.500cm2인 노즐을 호스에 연결해서, 지상 1.00m 높이에서 수평으로 물을 뿌린다면, 물은 수평으로 얼마나 멀리 날아가는가?

호스에서 물의 속력에 대해 푼다.

부피 흐름률을 계산한다.

호스의 단면의 넓이를 구한다.

정원에 물주기 예제 15.5

풀이

연속방정식을 v2 에 대해 푼다:

수치를 대입한다:

물의 한 부분을 일정가속도운동을 하는 입자로 간주:

수치를 대입:

물이 땅에 닿는 시각에 대해 푼다:

수평위치를 구한다:

유체가 어떤 영역을 통과하는 동안 속력이 변하거나 지표로부터의 고도가 변하게 되면, 유체의 압력 또한 이런 변화에 따라서 같이 변하게 된다.

유체의 속력, 압력, 고도 사이의 관계는 1738년 스위스 물리학자 다니엘 베르누이 (Daniel Bernoulli)에 의해 처음으로 유도되었다.

15.7 베르누이 방정식 Bernoulli’s Equation

베르누이 방정식

색칠한 두 부분의 부피는 같다.

유체에 해준 알짜 일은:

이 일의 일부는 유체요소의 운동에너지의 변화에 사용되고, 나머지 일부는 중력위치에너지의 변화에 사용된다:

W = ∆K + ∆U

ρ = m/V의 관계를 사용하여 정리하면

베르누이 방정식

스킨 스쿠버가 작살 총을 가지고 사냥을 하고 있다. 사고로 총을 쏴서 작살이 유람선의 옆면에 구멍을 냈다. 구멍은 수면으로부터 아래로 10.0m에 생겼다. 구멍을 통해 유람선 안으로 들어가는 물의 속력은 얼마인가?

들어오는 물의 속력 v1을 구하기 위해 베르누이 방정식을 풀어서 값을 구한다.

유람선의 침몰 예제 15.6

풀이

밀도 ρ인 액체가 담긴 통의 한 면에 바닥으로부터 y1인 곳에 작은 구멍이 나 있다. 그림과 같이 구멍의 지름은 통의 지름에 비해 매우 작다. 액체 위의 공기의 압력은 P로 일정하게 유지된다. 구멍으로부터 h의 높이에 액체면이 있을 때, 이 구멍을 통해 흘러나오는 액체의 속력을 구하라.

A2&A1이므로 액체는 윗부분에서 거의 정지해 있고, 그곳의 압력은 P이다. 구멍에서의 압력 P1은 대기압 P0과 같다. 베르누이 방정식을 지점 1과 2에 적용한다.

토리첼리의 법칙 예제 15.7

풀이