Математика. Исследование...

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Д.В. Айдаркин

МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Методические указания

по выполнению лабораторных работ

Ульяновск 2011

ББК В161.5я7

А 37

Айдаркин, Д. В. Математика. Исследование функций : метод. указания по

выполнению лабораторных работ / Д. В. Айдаркин. Ульяновск : УВАУ ГА(И),

2011. 36 с.

Содержат основные теоретические сведения, образцы выполнения двух ла-

бораторных работ по разделу «Математический анализ» с использованием спе-

циального компьютерного обеспечения. Даны рекомендации по оформлению

отчета о проделанной работе, контрольные вопросы для самопроверки, вариан-

ты заданий и перечень рекомендуемой литературы.

Предназначены для курсантов первого курса УВАУ ГА(И) всех специализаций

и направлений подготовки.

Печатаются по решению Редсовета училища.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие сведения ........................................................................................................... 3

Рекомендуемая литература ........................................................................................ 3

Лабораторная работа № 1 ........................................................................................... 4

Лабораторная работа № 2 ......................................................................................... 23

© Айдаркин Д.В., 2011

© Ульяновское высшее авиационное училище

гражданской авиации (институт), 2011

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Данное учебно-методическое пособие предназначено для курсантов перво-

го курса, изучающих курс математики в Ульяновском высшем авиационном

училище гражданской авиации. Для более глубокого освоения методов иссле-

дования функций одной и нескольких переменных, а также получения навы-

ков применения этих методов для решения конкретных задач рабочей про-

граммой по дисциплине «Математика» предусмотрено два лабораторных

занятия по разделу «Математический анализ», которые проводятся в компью-

терных классах.

Специально разработанный пакет программ «Исследование функций» со-

стоит из компьютерных лабораторных работ по темам:

– «Исследование функции одной переменной» (Graph_1.exe);

– «Исследование функции нескольких переменных» (Graph_2.exe).

Кроме того, пакет включает 30 вспомогательных графических файлов, необ-

ходимых для визуализации графиков исследуемых функций нескольких пере-

менных.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа : учеб. для втузов /

А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – 13-е изд., стер. – СПб. : Изд-во «Лань»,

2006. – 736 с.

2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие

для вузов. В 2 ч. Ч. 1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. –

7-е изд., испр. – M. : Оникс : Мир и образование, 2009. – 368 с.

3. Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие для

вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. – М. : АСТ : Астрель, 2008. – 656 с.

4. Пискунов, Н. С. Дифференциальные и интегральные исчисления : учеб.

для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2005. – 416 с.

5. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : полн. к /

Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2009. – 608 с.

Айдаркин Д. В. Математика. Исследование функций. Метод. указания по выполнению лабораторных работ.

© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2012 г 3

Лабораторная работа № 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Образец выполнения лабораторной работы

Чтобы приступить к выполнению лабораторной работы «Исследование

функции одной переменной», необходимо запустить приложение Graph_1.exe.

При этом открывается исходная форма приложения, в которой указано назва-

ние лабораторной работы, а также направление подготовки и специализация

обучаемых, для которых предназначена данная работа.

Рис. 1

После щелчка левой клавишей мыши по кнопке «Приступить к выполнению

работы» или нажатия на кнопку [Enter] на клавиатуре пользователь получает

доступ к следующему окну, в котором ему предлагается ввести в соответству-

ющие поля свою фамилию и инициалы, номер учебной группы и номер выпол-

няемого варианта (рис.1). Последнее поле является обязательным. Указав но-

мер одного из 15 различных вариантов, нужно щелкнуть по кнопке «Далее».



В ходе выполнения данной лабораторной работы необходимо исследовать

функцию одной переменной и построить ее график. После щелчка по кнопке

«Далее» на экране появляется уравнение заданной функции, а также рекомен-

дуемый порядок ее исследования (рис. 2).

Рис. 2

Нужно переписать уравнение функции и порядок исследования в лист отче-

та по лабораторной работе, чтобы использовать их в дальнейшем. В рассматри-

ваемом примере требуется провести исследование функции

1

2

x

xy .

При выполнении лабораторной работы рекомендуется параллельно выпол-

нять исследование функции в листе отчета и в окне приложения.

На первом этапе необходимо найти область определения заданной функции

и записать ее в лист отчета. Например, заданная функция определена при 1x ,

т.е. на множестве ;11 ;x .



Затем нужно определить вид функции и отметить соответствующий пункт в

окне приложения, щелкнув по нему левой клавишей мыши. После того как вы-

бор будет сделан, следует нажать на кнопку «Далее» (рис. 3).

Рис. 3

Если курсант сделал неверный выбор, то на экране появится сообщение об

этом, выделенное красным цветом. Кроме того, в левом нижнем углу окна при-

ложения имеется счетчик ошибок, который увеличивает на единицу свое значе-

ние после каждого неверного ответа во время выполнения лабораторной работы.

Исследуемая в примере функция не является четной, так как не выполнено

условие xyxy :

xy

x

x

x

xxy

11

22

.

Аналогичной проверкой убедимся, что она также не является нечетной, так

как xyxy . То есть это функция общего вида.



На следующем этапе необходимо исследовать функцию на непрерыв-

ность. Если функция имеет точки разрыва, то сначала нужно указать их ко-

личество. Рассматриваемая в примере функция имеет одну точку разрыва при

1x (рис. 4).

Рис. 4

Если исследуемая функция имеет две или более точек разрыва, то на экране

появится соответствующее число полей ввода, в которые следует ввести

найденные абсциссы в порядке возрастания. При выполнении лабораторной ра-

боты все дробные значения следует указывать с точностью до 0,001. При выпол-

нении вычислений можно использовать встроенный в операционную систему

калькулятор, доступ к которому легко получить, нажав на кнопку «Калькуля-

тор».

Для проверки приведенных значений нужно щелкнуть на соответствующую

кнопку. Если имеется ошибка, то курсор автоматически перемещается в поле,



содержащее неверное значение, появляется предупреждающее сообщение, а

счетчик допущенных ошибок увеличит свое значение на единицу.

Затем, проверив координаты точек разрыва функции, нужно вычислить в

листе отчета односторонние пределы в этих точках и классифицировать каж-

дую точку разрыва по отдельности, выбрав один из приведенных вариантов в

окне приложения с помощью левой клавиши мыши (рис. 5).

Рис. 5

Для рассматриваемого примера в точке 1x имеется бесконечный разрыв

(разрыв 2-го рода), так как

1

limlim2

0101 x

xy

xx и

1limlim

2

0101 x

xy

xx.

На четвертом этапе исследования функции нужно определить уравнения

асимптот графика функции. Курсант, выполняющий лабораторную работу,



должен построить систему координат в листе отчета, аналогичную той, что

приведена в окне приложения, и делать в ней все требуемые построения.

Сначала нужно указать количество вертикальных асимптот и проверить это

число, нажав на соответствующую кнопку. Если приведенное значение пра-

вильно, то на экране появится необходимое количество полей для ввода урав-

нений вертикальных асимптот (рис. 6). Для проверки приведенных уравнений

нужно щелкнуть на кнопку «Проверить».

Рис. 6

Функция 1

2

x

xy имеет единственную вертикальную асимптоту, уравнение

которой 1x .

Если указанные уравнения вертикальных асимптот верны, то в окне прило-

жения появится сообщение об этом, и курсант получит возможность их постро-

ить, щелкнув по кнопке «Асимптоты». В системе координат окна приложения

асимптоты изображены отрезками прямых красного цвета.



Для того чтобы составить уравнение наклонной асимптоты, необходимо по-

следовательно указать угловой коэффициент k и начальную ординату b этой

асимптоты, каждый раз проверяя введенные значения. Для рассматриваемого

примера получим

1

1limlim

x

x

x

xfk

xx,

11

lim1

lim1

limlim222

x

x

x

xxxx

x

xkxxfb

xxxx.

Если все параметры найдены правильно, то пользователь может построить

наклонную асимптоту в системе координат окна приложения, нажав на кнопку

«Асимптота» (рис. 7).

Рис. 7



На следующем этапе исследования функции курсант должен найти произ-

водную первого порядка, записать ее в лист отчета и выбрать верный, на его

взгляд, вариант среди тех, которые приведены на экране. Для проверки сделанного

выбора нужно щелкнуть на соответствующую кнопку (рис. 8). Если допущена

ошибка, то следует повторить выбор производной заданной функции.

Рис. 8

Для рассматриваемого примера имеем

2

2

2

22

2

22

1

2

1

22

1

12

1

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xy .

Если производная первого порядка найдена правильно, можно приступить к

поиску критических точек заданной функции. Количество найденных критиче-

ских точек необходимо ввести в соответствующее поле и нажать на кнопку

«Проверить». Если приведенное значение верно, то на экране появится необходи-



мое количество полей ввода для координат критических точек (рис. 9). Для пере-

хода к следующему полю ввода можно использовать клавиши [Enter] или [Tab].

После того как все координаты указаны, следует нажать на кнопку «Проверить».

Если имеется ошибка, то курсор автоматически перемещается в поле, содержа-

щее неверное значение, и появляется предупреждающее сообщение.

Рис. 9

Найденная производная первого порядка 2

2

1

2

x

xxy равна нулю, если

022 xx , то есть при 0x и 2x . Эта производная не существует при 1x .

Таким образом, исследуемая функция имеет три критических точки.

Затем необходимо исследовать функцию на монотонность, указывая интер-

валы возрастания и убывания функции в листе отчета (рис. 10) и выбирая соот-

ветствующий пункт в окне приложения (рис. 11).



Рис. 10

Рис. 11

Итак, рассмотренная в примере функция убывает при 2 ;11 ;0 x и воз-

растает при ;20 ;x .

Определив интервалы монотонности, следует перейти к поиску экстремумов

заданной функции. Количество локальных минимумов и максимумов функции

необходимо ввести в соответствующие поля, каждый раз нажимая на кнопку

«Проверить». Если приведенные значения правильны, то на экране последова-

тельно появляются поля ввода для абсцисс минимумов и максимумов исследу-

емой функции. Если курсант верно указал абсциссу экстремума, то соответ-

ствующая ордината вычисляется программой и отображается в окне

приложения, а сама точка экстремума будет выделена в системе координат окна

приложения зеленым цветом (рис. 12).



Из рис. 10 видно, что исследуемая функция имеет один локальный макси-

мум при 0x и один локальный минимум при 2x . После вычисления соот-

ветствующих значений функции получим 42min yy и 00max yy .

Рис. 12

Нажав на кнопку «Далее», следует перейти к поиску производной второго поряд-

ка, выбирая один из предложенных вариантов и проверяя сделанный выбор (рис. 13).



Рис. 13

Для рассматриваемого примера получим

4

22

2

2

1

122122

1

2

x

xxxxx

x

xxy

33

22

3

2

1

2

1

42242

1

22122

xx

xxxx

x

xxxx.

Если допущена ошибка, то на экран будет выведено сообщение об этом, счет-

чик допущенных ошибок увеличит свое значение на единицу, а пользователю будет

предложено повторить выбор производной второго порядка заданной функции.

Если вторая производная найдена правильно, можно перейти к поиску точек,

в которых она равна нулю или не существует (рис. 14), а затем определить ин-

тервалы, на которых график исследуемой функции является выпуклым или во-

гнутым. Проверка каждого введенного значения и переход к последующим эта-

пам работы осуществляется так же, как описано выше для первой производной.



Рис. 14

Найденная производная второго порядка 31

2

xy не может равняться

нулю, и она не существует при 1x . Таким образом, найдена одна критическая

точка, которая не может быть точкой перегиба, так как она не принадлежит об-

ласти определения исследуемой функции.

С помощью знаков второй производной определим, что при 1x график

функции является выпуклым, а при 1x он будет вогнутым (рис. 15).

Рис. 15

В завершение шестого этапа исследования функции необходимо указать ко-

личество точек перегиба графика функции и абсциссу точки перегиба, если она

имеется, с точностью до 0,001. Если искомая абсцисса указана правильно, то

соответствующая ордината точки перегиба вычисляется программой и отобра-



жается в окне приложения, а сама точка перегиба будет выделена в системе ко-

ординат окна приложения малиновым цветом.

Рис. 16

На последнем этапе исследования функции нужно вычислить координаты

дополнительных точек графика (их должно быть не менее десяти). Для этого

следует указать в соответствующем окне абсциссу произвольной точки графика

функции и нажать на кнопку «Вычислить». Программа вычисляет ординату ис-

комой точки (если это не точка разрыва) и отображает ее синим цветом в си-

стеме координат окна приложения (рис. 16). Для перехода к новой точке графи-

ка нужно щелкнуть по кнопке «Далее». Если по ошибке указать координату

точки разрыва функции, то программа не будет производить никаких вычисле-

ний, а на экране появится предупреждающее сообщение.

Найденные точки графика функции рекомендуется сразу вносить в лист от-

чета. Это позволит курсанту, выполняющему лабораторную работу, самому по-

строить график исследуемой функции.

После того как будут найдены координаты не менее десяти дополнительных

точек графика функции, становится доступной кнопка «График». Щелкнув по



этой кнопке, пользователь запускает программу построения графика заданной

функции (рис. 17).

Рис. 17

После того как график будет построен в окне приложения, курсант может

вычислить значение функции в любой точке ее области определения, указав

нужную координату в соответствующем поле и нажав на кнопку «Вычислить».

Используя этот инструмент, а также представленный график, следует достроить

в листе отчета график исследуемой функции.

После щелчка по кнопке «Результаты» на экране можно увидеть информа-

ционную панель, на которой приведены данные о пользователе (указанные в хо-

де регистрации фамилия и инициалы курсанта, номер учебной группы и вари-

ант лабораторной работы), а также количество совершенных ошибок и

полученная оценка за работу (рис. 18).



Рис. 18

На данном этапе у курсанта, выполняющего эту работу, должен быть полно-

стью оформлен отчет по лабораторной работе с подробным описанием иссле-

дования заданной функции и построенным графиком этой функции.

Щелчок по кнопке «Выход» завершает работу с описанным приложением.

1.2. Порядок выполнения лабораторной работы

1. Подписать лист отчета, указав в нем свою фамилию и инициалы, номер

учебной группы, название выполняемой лабораторной работы, а также номер

варианта.

2. Записать уравнение исследуемой функции и предлагаемый порядок ее ис-

следования.

3. Найти область определения заданной функции.

4. Определить вид исследуемой функции, проверив, удовлетворяет ли она

условиям четности или нечетности.



5. Исследовать функцию на непрерывность. Найти количество точек разры-

ва и их абсциссы с точностью до 0,001. Классифицировать каждую точку раз-

рыва, вычислив в листе отчета соответствующие односторонние пределы.

6. Определить уравнения вертикальных асимптот графика функции.

7. Найти уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты графика функ-

ции, вычислив в листе отчета величину углового коэффициента и начальной

ординаты этой асимптоты.

8. Найти производную первого порядка заданной функции и координаты

критических точек.

9. Исследовать функцию на монотонность и наличие экстремумов. Указать в

листе отчета найденные интервалы возрастания и убывания, координаты ло-

кальных минимумов и максимумов заданной функции.

10. Найти производную второго порядка исследуемой функции, а также ко-

ординаты точек, в которых она равна нулю или не существует.

11. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции,

найти координаты точек перегиба.

12. Найти точки пересечения графика функции с осями координат, а также

координаты дополнительных точек для построения графика.

13. Построить график исследуемой функции в листе отчета.

14. Полученные результаты исследования функции оформить в виде отчета

и подготовиться к его защите, используя раздел «Образец выполнения лабора-

торной работы» и перечень контрольных вопросов.

1.3. Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе «Исследование функции одной переменной»

должен содержать:

– фамилию и инициалы курсанта, номер учебной группы, название выпол-

няемой лабораторной работы и номер варианта, указанного преподавателем;

– уравнение исследуемой функции;

– область определения заданной функции;

– исследование вида заданной функции;

– исследование вида точек разрыва с помощью односторонних пределов;



– уравнения асимптот графика функции с необходимыми вычислениями уг-

лового коэффициента и начальной ординаты наклонной асимптоты;

– производную первого порядка заданной функции, поиск координат крити-

ческих точек, интервалов монотонности и экстремумов функции;

– производную второго порядка заданной функции, поиск интервалов вы-

пуклости и вогнутости графика функции, координат точек перегиба;

– координаты дополнительных точек для построения графика функции;

– аккуратно построенный график исследуемой функции.

1.4. Варианты заданий

Исследовать функцию одной переменной и построить ее график.

Вариант 1.

2

3

3 x

xy

.

Вариант 2.

2

3

2

1

x

xy .

Вариант 3.

xexy1

.

Вариант 4.

21

2

x

xy .

Вариант 5. 2

2

x

xy .

Вариант 6.

1

222

x

xxy .

Вариант 7. xey 5

1

. Вариант 8.

52

2

x

xy .

Вариант 9. 2

1

2

x

xy .

Вариант 10.

13

4

x

xy .

Вариант 11.

2

34

x

xy

.

Вариант 12.

xey 2

1

.



Вариант 13.

24

5

x

xy

.

Вариант 14.

22

10

xy

.

Вариант 15.

52

3

x

xy .

1.5. Контрольные вопросы

1. Что такое область определения функции?

2. Приведите примеры функций, имеющих точки разрыва. Как классифицируют

точки разрыва?

3. Как найти интервалы возрастания и убывания функции?

4. Что такое экстремум функции? Сформулируйте необходимое условие

существования экстремума функции.

5. Какие точки называются стационарными, а какие критическими? В чем

заключается различие?

6. Сформулируйте достаточные условия существования экстремума функции.

7. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на

отрезке?

8. С помощью какой производной находят интервалы выпуклости и вогну-

тости графика функции? Сформулируйте соответствующее правило.

9. Как найти точки перегиба графика функции?

10. Как найти вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?

11. Перечислите основные этапы исследования функции.



Лабораторная работа № 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2.1. Образец выполнения лабораторной работы

Чтобы приступить к выполнению лабораторной работы «Исследование

функции нескольких переменных», необходимо открыть исходную форму при-

ложения, запустив исполняемый файл Graph_2.exe. Щелкнув левой клавишей

мыши по кнопке «Приступить к выполнению работы» или нажав кнопку [Enter]

на клавиатуре, можно перейти к следующему окну, в котором курсант должен

ввести в соответствующие поля свою фамилию и инициалы, номер учебной

группы и номер выполняемого варианта. Последнее поле является обязательным.

Указав необходимые сведения о себе, следует щелкнуть по кнопке «Далее».

В ходе выполнения данной лабораторной работы нужно исследовать функцию

двух переменных и построить ее график. После щелчка по кнопке «Далее» на

экране появится уравнение заданной функции двух переменных, а также реко-

мендуемый порядок ее исследования (рис. 19).

Рис. 19



Исследование функции предлагается проводить в следующем порядке:

1) найти область определения функции и исследовать ее на непрерывность;

2) найти частные производные первого порядка исследуемой функции по

переменным x и y;

3) найти стационарные точки функции, пользуясь необходимым условием

существования экстремума;

4) найти частные производные второго порядка исследуемой функции по

переменным x и y;

5) вычислить значения производных второго порядка функции в каждой

стационарной точке;

6) исследовать характер каждой стационарной точки с помощью достаточ-

ного условия существования экстремума.

Необходимо переписать уравнение функции и порядок исследования в лист

отчета по лабораторной работе. В качестве примера рассмотрим исследование

следующей функции

33 1282 yxyxz .

Рис. 20



Сначала следует найти область определения заданной функции и исследо-

вать ее на непрерывность, записать полученные результаты в лист отчета, а за-

тем отметить соответствующий пункт в окне приложения, щелкнув по нему ле-

вой клавишей мыши (рис. 20). После того как пользователь сделал свой выбор,

необходимо нажать на соответствующую кнопку для проверки.

Рассматриваемая функция определена при любых значениях x и y, то есть ее

областью определения является вся числовая плоскость. Кроме того, она не имеет

точек разрыва, то есть непрерывна во всех точках своей области определения.

Если курсант в ходе выполнения лабораторной работы сделал ошибку, то на

экране появится сообщение об этом, выделенное красным цветом. Кроме того,

в левом нижнем углу окна приложения имеется счетчик ошибок, которые были

допущены пользователем в течение работы.

На втором этапе исследования функции курсант должен найти частные произ-

водные первого порядка, записать их в лист отчета и выбрать верный, на его взгляд,

вариант среди тех, которые приведены в окне приложения. Каждый раз для провер-

ки сделанного выбора нужно щелкнуть на соответствующую кнопку (рис. 21).

Рис. 21



Для рассматриваемого примера получим

22 24121238 xyyxx

z

,

xyy

z123 2

.

Затем, найдя частные производные xz и yz , следует перейти к поиску ста-

ционарных точек заданной функции. Для этого воспользуемся необходимым

условием существования экстремума

.0

,0

y

x

z

z

Для рассматриваемого примера получим систему уравнений

0312

,024122

2

yx

xy

или

.4

,22

2

yx

xy

Используя первое уравнение системы, приведем второе уравнение к виду

444 xx ,

решением которого являются корни 01 x и 12 x . Вычислив ординаты

002 21 y , 212 2

2 y ,

получим две стационарные точки исследуемой функции 0 ;0M и 2 ;1N .

Количество найденных стационарных точек необходимо ввести в соответ-

ствующее поле и щелкнуть по кнопке «Проверить». Если указано верное значе-

ние, то на экране появится соответствующее количество полей ввода для коор-

динат стационарных точек (рис. 22). Для перехода к следующему полю ввода



можно использовать клавиши [Enter] или [Tab]. После того как все координаты

указаны, следует нажать на кнопку «Проверить». Если имеется ошибка, то кур-

сор автоматически перемещается в поле, содержащее неверное значение, и по-

является предупреждающее сообщение.

Рис. 22

Нажав на кнопку «Далее», курсант переходит к поиску частных производ-

ных второго порядка, выбирая каждый раз один из предложенных вариантов и

проверяя сделанный выбор (рис. 23).

Для заданной функции получим

xxxyx

zx 482242412 2

2

2

,

122412 22

yxy

yx

z,

yyyxy

zy 623312 2

2

2

.



Рис. 23

Рис. 24



На следующем этапе исследования функции необходимо вычислить значе-

ния частных производных второго порядка в каждой стационарной точке.

Найденные значения следует ввести в соответствующие поля и проверить их

правильность (рис. 24).

Для исследуемой функции в стационарной точке 0 ;0M имеем

00480 ;0

2

2

Mx

zA ,

120 ;0

2

M

yx

zB ,

0060 ;0

2

2

My

zC .

Если значения частных производных второго порядка в указанной стацио-

нарной точке найдены без ошибок, то пользователю будет предложено иссле-

довать указанную стационарную точку на экстремум с помощью определителя

Гессе. Для рассматриваемого примера получим

14412120012

120

CB

BA.

Если в исследуемой стационарной точке определитель Гессе принимает от-

рицательное значение, то в ней функция не имеет экстремума, то есть данная

точка является седловой или точкой минимакса. Сообщение об этом выводится

на экран, и после щелчка мышью по кнопке «Далее» можно переходить к ис-

следованию следующей стационарной точки (рис. 25).

Во второй стационарной точке 2 ;1N получим

481482 ;1

2

2

Nx

zA ,

122 ;1

2

N

yx

zB ,



12262 ;1

2

2

Ny

zC .

Рис. 25

Тогда определитель Гессе будет равен

4321445761212

1248

CB

BA.

Так как полученное значение определителя больше нуля, то в стационарной

точке 2 ;1N имеется экстремум. Чтобы определить вид экстремума (максимум

или минимум), рассмотрим величину второй производной функции по пере-

менной x в исследуемой стационарной точке. Так как 0482 ;1

NxxzA ,

то в этой точке исследуемая функция имеет максимум (рис. 26). Для проверки

правильности сделанного выбора необходимо нажать на кнопку «Проверить».

Только получив подтверждение о том, что вид экстремума определен правиль-

но, курсант получает возможность перейти к исследованию следующей точки.



Рис. 26

Рис. 27



После того как выполнено исследование всех стационарных точек, можно

увидеть на экране графическое изображение заданной функции двух перемен-

ных, нажав на кнопку «График». На рисунке будет изображена та часть графи-

ка, которая содержит все стационарные точки исследуемой функции (рис. 27).

Можно изменить внешний вид графика функции, щелкнув по кнопке «Рис. 2»

(рис. 28).

Рис. 28

В этом случае график представлен полупрозрачной поверхностью, на кото-

рой изображены линии уровня. Кроме того, график несколько повернут относи-

тельно своего первоначального положения. Это позволит курсанту, выполняю-

щему данную лабораторную работу, взглянуть на график исследуемой функции

с двух разных сторон для того, чтобы составить более полное представление о

его форме.

Можно вернуться к прежнему изображению графика, нажав на кнопку «Рис. 1».

Кроме того, у пользователя имеется возможность вычислить значение функции



в любой точке ее области определения, указав нужные координаты в соответ-

ствующих полях и нажав на кнопку «Вычислить». Используя этот инструмент,

а также один из представленных графиков, курсанту предлагается графически

изобразить в листе отчета исследуемую функцию двух переменных.

Кроме того, следует вычислить значения заданной функции в найденных

точках экстремума. Так для рассматриваемого примера получим:

102 ;1 zzmax .

После щелчка на кнопке «Результат» на экране можно увидеть информацион-

ную панель, в которой приведены данные о пользователе (фамилия и инициа-

лы, номер учебной группы и вариант лабораторной работы), а также количе-

ство совершенных ошибок и полученная оценка за работу (рис. 29).

На данном этапе у курсанта, выполнявшего эту работу, должен быть полно-

стью оформлен лист отчета с подробным описанием исследования заданной

функции двух переменных и построенным графиком этой функции.

Щелчок на кнопке «Выход» завершает работу с описанным приложением.

Рис. 29



2.2. Порядок выполнения лабораторной работы

1. Подписать лист отчета, указав в нем свою фамилию и инициалы, номер

учебной группы, название выполняемой лабораторной работы, а также номер

варианта.

2. Записать уравнение исследуемой функции двух переменных и рекоменду-

емый порядок ее исследования.

3. Найти область определения заданной функции.

4. Исследовать функцию на непрерывность.

5. Найти частные производные первого порядка заданной функции ( и ).

6. Найти координаты стационарных точек, используя необходимое условие

существования экстремума.

7. Найти частные производные второго порядка заданной функции ( , и ).

8. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой

стационарной точке.

9. Исследовать каждую стационарную точку на экстремум с помощью до-

статочных условий существования экстремума.

10. Вычислить значения заданной функции в найденных точках экстремума.

11. Построить график исследуемой функции в листе отчета.

12. Полученные результаты исследования функции оформить в виде отчета

и подготовиться к его защите, используя раздел «Образец выполнения лабора-

торной работы» и перечень контрольных вопросов.

2.3. Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе «Исследование функции нескольких пере-

менных» должен содержать:

– фамилию и инициалы курсанта, номер учебной группы, название выпол-

няемой лабораторной работы и номер варианта, указанного преподавателем;

– уравнение исследуемой функции двух переменных;

– область определения заданной функции;

– исследование функции на непрерывность;

– частные производные первого порядка заданной функции;



– поиск координат стационарных точек с помощью необходимого условия

существования экстремума;

– частные производные второго порядка заданной функции;

– исследование каждой стационарной точки на экстремум с помощью доста-

точных условий существования экстремума;

– значения исследуемой функции в найденных точках экстремума, а также

координаты дополнительных точек для построения графика функции;

– аккуратно построенный график заданной функции.

2.4. Варианты заданий

Исследовать функцию нескольких переменных и построить ее график.

Вариант 1.

xyyxz 333 .

Вариант 2. 33 62 yxyxz .

Вариант 3.

yxxyz 6 .


Вариант 5.

102215 22 yxyxxz .

Вариант 6.

10018396 23 yyxxyxz .

Вариант 7. 242 88 yyxz .

Вариант 8.

16322 2423 xxyyyz .

Вариант 9.

559933 2233 yxyxyxz .

Вариант 10.

yxxyz 12 .


Вариант 12. 2423 31222 yyxxxz .

Вариант 13.

76922 yxxyyxz .

Вариант 14.

xyyxz 4185 242 .

Вариант 15.

259933 2233 yxyxxyz



2.5. Контрольные вопросы

1. Приведите примеры функций нескольких переменных.

2. Как найти область определения функции нескольких переменных?

3. Что называется линией и поверхностью уровня?

4. В каком случае функция нескольких переменных является непрерывной

на некоторой области?

5. Как найти частные производные первого и второго порядка функции

нескольких переменных? Приведите примеры.

6. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции

двух переменных. Как найти координаты стационарных точек?

7. Сформулируйте достаточные условия существования экстремума функции

двух переменных. Как составить матрицу Гессе?

8. Как отличить точку экстремума функции нескольких переменных от

седловой точки?

9. Как определить вид экстремума в найденной стационарной точке?

10. Перечислите основные этапы исследования функции нескольких пере-

менных.



АЙДАРКИН

ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ

Методические указания

МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Редактор Т. Е. Мещерякова

Компьютерная верстка Д. А. Мусина

РИО и типография УВАУ ГА(И). 432071, г. Ульяновск, ул. Можайского, 8/8

Подписано в печать 10.08.2011. Формат 6090/16. Бумага офсетная.

Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 3,26.

Тираж 200 экз. Заказ № 269

Математика. Исследование...

Documents