«ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»

учитель :МБОУСОШ №37г. Новокузнецк Кривошеева Любовь Валерьевна

Определение

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим log

ax b

0a Где 1a , Оно имеет единственное решение

bx a при любом b.

Равносильные уравнения.

Определение 1. Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают. Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (например и ) или если оба уравнения не имеют корней (например , и )

2х 2 2 4 0x x

5 03x

2 5 10 0x x

Определение 2. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения то второе уравнения называют следствием первого.

f x g x

p x q x

Например, уравнение является следствием уравнения , в то же время уравнение

не является следствием уравнения .

2 4 0x x

2 2 80

x xx

2 0x 5 2 5x x x

Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения и .

f x g x

f x g x

Основные методы решения логарифмических уравнений

1)по определению логарифма;например, уравнение loga х = b (а > 0, а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb.

2) функционально-графический метод;

3) метод потенцирования;Под потенцированием понимается

переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

4. Метод введение новой переменной.

5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Этапы решения уравнения

•Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной

•Решить уравнение, выбрав метод решения

•Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ

Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решенияУравнение Решение

1 и 0 ,log а) aabxa

.1 и 0 ,)(log б) aabxfa

.1 и 0

, )(log)(log в)

aa

xgxf aa

bxfxg )(log г) )(

bax baxf )(

).()(

,0)(

,0)(

xgxf

xg

xf

bxgxf

xg

xg

)()(

,1)(

,0)(

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

.)(

,0)(baxf

xf

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.

Данное уравнение равносильно следующей системе

.)(

,1)(,0)(

,0

bxf

xfxf

b

c

Решить уравнения:

1. log3(5х – 1) = 2.

2. log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3.

3. log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).

4. logx–19 = 2.

.4

,2

,2,1

;9)1(

,11,012

x

x

xx

x

xx

5. log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

ax

xa log

1log

log2х – 2 logх2 = –1

Решение: ОДЗ: x > 0, х ≠ 1Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Решить уравнения:

;7log61log7 xx

3log21log3 xx

.23log)1(log 13 xx

Введение новой переменной

,0)(log)(log2 CxfBxfA aa

где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа.  Пусть t = loga f(x), tR. Уравнение

примет вид t2 + Bt + C = 0.Решив его, найдём х из подстановки t = loga

f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, tR.

Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

4)(loglog2 23

23 xx

Решение. Найдём область определения уравнения

.0;0

,0

;0

,02

x

x

x

x

x

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

.4)(log||log4 233 xx

Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно

.4)(log)(log4 233 xx