JOU SKOOL SE NAAM

PUNTE: 150

TYD: 3ure

Hierdie vraestel bestaan uit 13 bladsye, ’n inligtingsblad en ’n antwoordeboek.

MATH.2

WISKUNDE V2

SEPTEMBER 2016

NASIONALESENIOR SERTIFIKAAT

GRAAD 12

INSTRUKSIES EN INLIGTING

Lees die volgende instruksies aandagtig deur voordat jy die vraestel beantwoord.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Hierdie vraestel bestaan uit 11 vrae.

Beantwoord AL die vrae in die SPESIALE ANTWOORDEBOEK wat voorsien word.

Dui ALLE berekeninge, diagramme, grafieke ensovoorts wat jy gebruik het om dieantwoorde te bepaal, duidelik aan.

Slegs antwoorde sal NIE noodwendig volpunte verdien NIE.

Indien nodig, rond antwoorde tot TWEE desimale plekke af, tensy anders vermeld.

Diagramme is NIE noodwendig volgens skaal geteken NIE.

Jy mag 'n goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar (nie-programmeerbaar en nie-grafies) gebruik, tensy anders vermeld.

'n INLIGTINGSBLAD met formules is aan die einde van die vraestel ingesluit.

Skryf netjies en leesbaar.

Blaai om asseblief

Gr 12 Wiskunde V2 3 September 2016

VRAAG 1

Leerders is gevra om aan te dui hoe lank (tot die naaste minuut) dit hulle gewoonlik neem om elke oggend vanaf hulle huis tot by die skool te kom. Die resultate word in die tabel hieronder aangetoon:

Tyd in minute Aantal leerders

5 < t 10 160

10 < t 15 150

15 < t 20 110

20 < t 25 60

25 < t 30 45

30 < t 35 15

1.1 Voltooi die kumulatiewe frekwensie kolom in die ANTWOORDEBOEK wat voorsien word. (2)

1.2 Skets die ogief (kumulatiewe frekwensie grafiek) van hierdie data op die rooster wat in die ANTWOORDEBOEK voorsien word. (4)

1.3 Bereken die gemiddelde tyd wat dit hierdie leerders neem om soggens by die skool te kom. (2)

1.4 Bereken die standaardafwyking van hierdie data. (2)

1.5 Gebruik die ogief om te bepaal ongeveer hoeveel leerders langer as een standaardafwyking vanaf die gemiddelde tyd neem om soggens by die skool te kom. (3)

[13]

Blaai om asseblief

Gr 12 Wiskunde V2 4 September 2016

VRAAG 2

Die tabel toon die totale aantal atlete en die totale aantal medaljes wat sommige lande verwerf het tydens die 2012 Somer Olimpiese Spele.

(Inligting volgens: http://www.wow.com/wiki/2012_London_Olympics)

Land Aantal atlete Aantal medaljesVSA 530 103

China 396 88

Groot Brittanje 541 65

Rusland 436 79

Suid-Korea 245 28

Duitsland 392 44

Frankyk 330 34

Australia 410 35

Suid-Afrika 133 6

Kanada 277 18

Nederland 175 20

Nieu-Zeeland 184 13

2.1 Bereken die vergelyking van die kleinste kwadrate-regressielyn van die data in die tabel. (3)

2.2 Bereken die korrelasiekoëffisiënt van die data. (1)

2.3 Skat hoeveel medaljes (tot die naaste heelgetal) ʼn land met 350 atlete verwerf het. (2)

2.4 Beskryf die verband tussen die aantal atlete van ‘n land wat deelgeneem het en die aantal medaljes wat verwerf is. (1)

[7]

Blaai om asseblief

Gr 12 Wiskunde V2 5 September 2016

VRAAG 3

In die diagram hieronder is ABC ʼn gelykbenige driehoek met A(-2;1) en B(4 ; 9). AB = BC en BC is ewewydig aan die y-as.

3.1 Bereken die lengte van AB. (2)

3.2 Bereken die koördinate van C. (2)

3.3 Bereken die koördinate van punt K, die middelpunt van AC. (2)

3.4 Bepaal die vergelyking van AC in die vorm y = mx + c. (3)

3.5 Bereken die grootte van θ. (4)

3.6 Bereken die oppervlakte van ABC. (4)[17]

Blaai om asseblief

K

θ

B (4 ; 9)

C

A (–2 ; 1) x

y

Gr 12 Wiskunde V2 6 September 2016

VRAAG 4

Die diagram hieronder bestaan uit twee sirkels wat mekaar uitwendig raak by C(1 ; –2). Die kleiner sirkel het sy middelpunt O by die oorsprong. Die ander sirkel se middelpunt is D(t ; –6). CA is ʼn gemene raaklyn wat die x-as by A sny. CDE is die middellyn van die groter sirkel.

4.1 Verskaf ʼn rede waarom punte O, C en D op ‘n reguitlyn lê. (2)

4.2 Bereken die gradiënt van OC. (2)

4.3 Toon vervolgens aan dat die waarde van t=3is.. (2)

4.4 Bepaal die vergelyking van die raaklyn AC in die vorm y = mx + c. (3)

4.5 Bereken die koördinate van E. (2)

4.6 Bepaal die vergelyking van ’n sirkel wat deur die punte A(5 ; 0), C en E gaan, in die

vorm ( x−a )2+( y−b )2=r2. (6)

4.7 Indien ’n sirkel met middelpunt D en vergelyking ( x−3 )2+( y+6 )2=r2 die sirkel

met middelpunt O op twee plekke moet sny, gee alle moontlike waardes van r. (4)[21]

Blaai om asseblief

O A

C (1 ;–2)

D (t ;–6)

E

y

x

Gr 12 Wiskunde V2 7 September 2016

VRAAG 5

5.1 As sin 34°=p , bepaal die waarde van elk van die volgende in terme van p , SONDER OM ’N SAKREKENAAR TE GEBRUIK:

5.1.1 sin 214 ° (2)

5.1.2 cos34° . cos(−¿22 ° )+cos56 ° . sin 338 °¿ (4)

5.1.3 cos 68° (2)

5.2 Bepaal die waarde van elk van die volgende uitdrukkings:

5.2.1 cos (90 °−2 θ) . sinθsin2 (180°+θ ) . cos(720 °+θ) (6)

5.2.2 1sin2 2 x

− 1tan22 x (4)

[18]

Blaai om asseblief

Gr 12 Wiskunde V2 8 September 2016

VRAAG 6

In die diagram is die grafiek van f ( x )=−sin 2 x geskets vir die intervalx ϵ [−90 ° ;180° ].

6.1 Skets die grafiek g, waar g ( x )=cos ( x−60 ° ) ,op dieselfde assestelsel vir die interval x ϵ [−90 ° ;180° ] in die ANTWOORDEBOEK. (3)

6.2 Bepaal die algemene oplossing virf ( x )=g ( x ). (5)

6.3 Gebruik jou grafieke om vir x op te los as f ( x ) ≤ g ( x ) vir x ϵ [−90 ° ;180° ] (3)

6.4 Indien grafiek f met 30° na links skuif, gee die vergelyking van die nuwe grafiek wat gevorm word. (2)

6.5 Watter transformasie moet grafiek g ondergaan om grafiek h, waar h(x) = sin x, te vorm? (2)

[15]

Blaai om asseblief

Gr 12 Wiskunde V2 9 September 2016

VRAAG 7

In die diagram hieronder is D, B en C punte op dieselfde horisontale vlak. AC is ʼn vertikale vlagpaal en die lengte van die kabel vanaf D na die toppunt van die paal, A, is p meter.AC ⊥ CD. A DC= θ ; D CB = (90 °−θ) en C BD=2 θ .

7.1 Bewys dat:

BD= pcos θ2sinθ (5)

7.2 Bereken die hoogte van die vlagpaal AC as =30 ° en p=3meter. (2)

7.3 Bereken die lengte van die kabel AB indien verder gegee word dat A DB=70° (5)[12]

Blaai om asseblief

2 θ

90 °−θ

p

C

D B

A

θ

Gr 12 Wiskunde V2 10 September 2016

Verskaf redes by alle bewerings en berekeninge in VRAAG 8, 9, 10 en 11.

VRAAG 8

In die diagram is O die middelpunt van die sirkel. A, B, C, D en E is punte op die omtrek van die sirkel. Koorde BE en CD verleng ontmoet by F. C = 100°, F = 35°

en A E B=55 °

8.1 Bereken, met redes, die grootte van elk van die volgende hoeke:

8.1.1 A (2)

8.1.2 E1 (2)

8.1.3 D1 (2)

8.2 Toon aan, met redes, dat AB || CF. (4)[10]

Blaai om asseblief

A

C

D

E

F

O

B

100°

35°

55°

1

1

1

2

2

2

Gr 12 Wiskunde V2 11 September 2016

VRAAG 9

9.1 In die diagram hieronder word ∆ABC en ∆DEF gegee met A = D ; B = E en C = F. Gebruik die diagram in die ANTWOORDEBOEK om

die stelling te bewys wat beweer dat

DEAB

=DFAC . (7)

9.2 In die diagram is ABC ʼn raaklyn aan die sirkel by B. BDEF is ʼn koordevierhoek met DB = BF. BE is getrek en ED verleng sny die raaklyn in A.

Bewys dat:

9.2.1 B1=E2 (3)

9.2.2 BDA ||| EFB (4)

9.2.3 BD2=AD . EF (2)[16]

Blaai om asseblief

F

E

D

C

B

A

#

#

*

*

FE

D

CB

A

Gr 12 Wiskunde V2 12 September 2016

VRAAG 10

In die diagram is P, S, G, B en D punte op die omtrek van die sirkel sodat PS || DG || AC. ABC is ʼn raaklyn aan die sirkel by B. G BC=x .

10.1 Gee ’n rede waarom G1=x . (1)

10.2 Bewys dat:

10.2.1 BE=BP . BFBS (2)

10.2.2 BGP ||| BEG (4)

10.2.3BG2

BP2 =BFBS

(3)

[10]

Blaai om asseblief

FEG

B

D

P S

CA

Gr 12 Wiskunde V2 13 September 2016

VRAAG 11

In die diagram is ABC met D en F punte op BC en E ’n punt op AC sodat EF || AD en

DE || BA. Verder word gegee dat

AEEC

= 54

en DF = 20 cm.

11.1 Bereken, met redes, die lengte van:

11.1.1 FC (3)

11.1.2 BD (4)

11.2 Bepaal die volgende verhouding:

Area ∆ ECFArea ∆ A BC

=(4)[11]

TOTAAL: 150

Blaai om asseblief

20 cm F

E

D CB

A

Gr 12 Wiskunde V2

September 2016

INLIGTINGSBLAD

x=−b±√b2−4 ac2a

A=P(1+ni ) A=P(1−ni) A=P(1−i )n A=P(1+ i)n

T n=a+(n−1 )d Sn=n2 [2 a+(n−1 )d ]

T n=arn−1 Sn=a (rn−1 )

r−1 ; r≠1S∞= a

1−r ; −1<r<1

F=x [ (1+i )n−1 ]

i

f ' ( x )= limh→0

f ( x+h )− f ( x )h

d=√( x2−x1 )2+( y2− y1)

2M

( x1+x22 ;

y1+ y22 )

y=mx+c y− y1=m( x−x1 )m=

y2− y1x2−x1 m=tan θ

( x−a )2+( y−b )2=r2

InABC:

asin A

= bsin B

= csin C

a2=b2+c2−2bc . cos A

oppervlakte Δ ABC= 12

ab . sin C

sin (α +β )=sin α . cos β+cos α .sin β sin (α−β )=sin α .cos β−cosα . sin β

cos ( α+β )=cos α . cos β−sin α . sin β cos ( α−β )=cosα . cos β+sin α . sin β

cos2α=¿ {cos2 α−sin2 α ¿ {1−2 sin2α ¿ ¿¿¿ sin 2α=2 sin α . cosα

x=∑ fxn

σ 2=∑i=1

n

(x i− x )2

n

P( A )=n( A )n (S ) P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B)

Gr 12 Wiskunde V2

September 2016

y=a+bxb=

∑ ( x− x )( y− y )

∑ ( x− x )2