Vremenski neovisne Greenove funkcije« Napredna kvantna mehanika »

Ivo Batistić

Fizički odsjek, PMF

Sveučilište u Zagrebu

predavanja 2011

Pregled predavanja

Uvod

Primjeri

Definicija

Greenova funkcije se može definirati kao riješenje nehomogene

parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDJ):

[

ν − H(~r)]

G (~r ,~r ′, ν) = δ(~r −~r ′)

gdje je ν općenito neki kompleksni broj, a

H(~r) = npr.(

−ı~a · ~∇)

ili ~∇2 ili(

~∇2 − V (~r))

ili . . .

hermitski diferencijalni operator.

Riješenje se traži u određenom prostornom Ω te ono morazadovoljavati rubne uvjete za ~r i ~r ′ na rubovima područja.

Potpuni skup vlastitih funkcija

Hermitičnost diferencijalnog operatora pretpostavlja da imapotpuni skup vlastitih funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu:

H(~r) ϕn(~r) = en ϕn(~r)

koje su

ortonormirane:∫

Ωd~r ϕ⋆

n(~r)ϕm(~r) = δnm

Integracija ide preko područja u kojem se traži rješenje PDJ.

i zadovoljavaju relaciju kompletnosti:

∑

n

ϕ⋆n(~r)ϕn(~r

′) = δ(~r −~r ′)

Nabrajanje vlastitih funkcija

Indeks n označava jedan ili više indeksa koji označavajuvlastite funkcije.

Indeksi n mogu biti diskretni ili kontinuirani ili diskretni ikontinuirani (oboje).

Sumacija po indeksima u slučaju kontinuiranog spektrapredstavlja integraciju.

Napomena:

Kontinuirani spektar se pojavljuje kada je područje Ω beskonačno.Integraciju po indeksima treba napraviti tako da se integral dobijekao granični slučaj sumacije za konačno područje koje ekspandira ubeskonačnost.

Apstraktni vektorski prostor

Uvodi se pojam apstraktnog vektorskog prostora u kojem bazu činevlastite funkcije diferencijalnog hermitskog operatora.Koristimo slijedeće (Diracove) oznake:

ϕn(~r) = 〈~r |ϕn〉

ϕ⋆n(~r) = 〈ϕn|~r〉

δ(~r −~r ′) H(~r) = 〈~r |H|~r ′〉

G (~r ,~r ′, ν) = 〈~r |G (ν)|~r ′〉

δ(~r −~r ′) = 〈~r |~r ′〉

1 =

∫

d~r |~r〉〈~r | =∑

n

|ϕn〉〈ϕn|

Greenova funkcija je operator koji ima matrični prikaz u vektorskojbazi koja se koristi.

Apstraktni vektorski prostor

U apstraktnom vektorskom prostoru naša PDJ glasi:

(ν − H) G = 1

Vlastite funkcije su prostorna reprezentacija vlastitih vektora:

H|ϕn〉 = en |ϕn〉

i oni zadovoljavaju relaciju ortogonalnosti:

〈ϕn|ϕm〉 = δnm

U tom zamišljenom vektorskom prostoru Greenova funkcija je:

G (ν) =1

ν − H= (ν − H)−1

Greenova funkcija u apstraktnom vektorskom prostoru

Tada vrijedi da je:

G (ν) =1

ν − H=

1

ν − H1 =

1

ν − H

(

∑

n

|ϕn〉〈ϕn|)

=∑

n

1

ν − H|ϕn〉〈ϕn| =

∑

n

1

ν − en|ϕn〉〈ϕn|

=∑

n

|ϕn〉1

ν − en〈ϕn|

odnosno matrično prikazano:

G (~r ,~r ′, ν) = 〈~r |G (ν)|~r ′〉 =∑

n

ϕn(~r)1

ν − enϕ⋆

n(~r′)

Napomena: U slučaju kontinuiranog spektra sumacija predstavljaintegraciju!

Svojstva Greenove funkcije

G (ν) je analitička funkcija u kompleksnoj ν ravnini,

osim u polovima koji predstavljaju spektar (vlastite vrijednosti)hermitskog operatora.

Polovi su na realnoj osi (hermitičnost operatora)

G (ν) je hermitski operator za realni ν.

G (~r ,~r , ν) je realno za realni ν (dijagonalni elementi).

Iz izraza za Greenovu funkciju (GF) izlazi da vrijedi:

G ⋆(~r ,~r ′, ν) = G (~r ′,~r , ν⋆)

Svojstva Greenove funkcije - kontinuirani spektar

U slučaju kontinuiranog spektra:

na realnoj osi kompleksne ν ravnine nalazi se rez u područjuspektra vlastitih vrijednosti.

Definiramo ove granične funkcije:

G±(~r ,~r ′, ω) = limη→+0

G (~r ,~r ′, ω ± ıη)

koje postoje ali se razlikuju.

Vrijedi da je:

G−(~r ,~r ′, ω) = [G+(~r ′,~r , ω)]⋆

Svojstva Greenove funkcije

Razlika između G+ i G− je:

G (~r ,~r ′, ω) = G+(~r ,~r ′, ω)− G−(~r ,~r ′, ω)

= −2πı∑

n

δ(ω − en) ϕ⋆n(~r

′)ϕn(~r)

gdje smo rabili:

limy→+0

1

x ± ıy= P

1

x∓ ıπδ(x)

Dijagonalni element razlike je proporcionalan lokalnoj

spektralnoj gustoći:

(~r , ω) =∑

n

δ(ω − en) |ϕn(~r)|2

odnosno gustoći stanja:

g(ω) =

∫

Ωd~r (~r , ω) =

∑

n

δ(ω − en)

Svojstva Greenove funkcije

Poznavajući spektralnu gustoću:

(~r ,~r ′, ω) =∑

n

δ(ω − en) ϕ⋆n(~r

′)ϕn(~r)

može se rekonstruirati Greenova funkcija:

G (~r ,~r ′, ν) =ı

2π

∫ +∞

−∞dω

(~r ,~r ′, ω)ν − ω

Laplaceova jednadžba (d=3)

U ovom primjeru će se razmotriti Greenova funkcija za Laplaceovujednadžbu.Pretpostavljamo da je:

H(~r) = −∆.

Područje koje se promatra je cjelokupni prostor te se kao rješenjaproblema vlastitih vrijednosti pojavljuju ravni valovi:

〈~r |~k〉 = 1√V

eı~r ·~k

koji imaju kao vlastite vrijednost:

en = ~k2

pozitivne realne brojeve (uključujući i nulu).

Laplaceova jednadžba (d=3)

Jednadžba koju zadovoljava Greenova funkcija je:

(ν +∆) G (~r ,~r ′, ν) = δ(~r −~r ′)

Iz prethodno izvedenog, znamo da je rješenje:

G (~r ,~r ′, ν) =

∫

d3k

(2π)3eı(~r−~r

′)·~k

ν − ~k2

= · · · = 1

ı4π2

1

R

∫ +∞

−∞dk

k eıkR

ν − k2= · · · =

= − 1

4π

eı√

zR

R(za Im(z) > 0)

gdje je:R = |~r −~r ′| udaljenost između točaka

Laplaceova jednadžba (d=3)

Također:

G±(ω) = − 1

4π

e±ı√ωR

R(za

√ω i ω > 0)

odnosno:

G (ω) = − 1

4π

e−√

|ω|R

R(za

√

|ω| > 0 i ω < 0)

Naravno ako je ω=0 dobiva se dobro poznati rezultat:

G (~r ,~r ′) = − 1

4π

1

|~r −~r ′|

iz elektrostatike.