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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE
PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE
Thainá Pölzl
2020
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE
PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE
Thainá Pölzl
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro,
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador: Prof. Benjamin Ernani Diaz
Rio de Janeiro
Dezembro de 2020
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE
PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE
Thainá Pölzl
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
Prof. Benjamin Ernani Diaz, Dr. Eng.
Prof.ª Flávia Moll de Souza Judice, D. Sc.
Prof. Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO DE 2020
ii
Pölzl, Thainá
Métodos para Determinação dos Esforços Hiperestáticos
de Protensão em uma Laje Cogumelo com Protensão
Aderente/ Thainá Pölzl. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola
Politécnica, 2020.
XVII, 94 p.:il.; 29,7 cm.
Orientador: Benjamin Ernani Diaz
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Civil, 2020.
Referências Bibliográficas: p. 74-76
1. Concreto Protendido 2. Esforços Hiperestáticos de
Protensão 3. Laje Cogumelo.
I. Diaz, Benjamin Ernani; II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III.
Métodos para Determinação dos Esforços Hiperestáticos de
Protensão em uma Laje Cogumelo com Protensão Aderente.
iii
DEDICATÓRIA
À minha irmã, Clara.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por ter me guiado até este momento e me ajudado ao longo da
minha trajetória.
À minha irmã, Clara, pessoa mais incrível que eu conheço e que dá o real sentido
à palavra fraternidade. Obrigada por todo o carinho e cumplicidade.
Aos meus pais, Rosângela e Marcos, por sempre me apoiarem a realizar meus
sonhos e pelo suporte durante a vida acadêmica.
Aos meus avós, Pedro, Amanda, Kurt e Brazina, por me mostrarem a importância
da educação e por investirem em mim. Provavelmente eu não teria as mesmas conquistas
sem a presença de vocês.
Agradeço à Ana Paula, um presente que a UFRJ me deu e que levarei para a vida.
Obrigada por todo o carinho, pelas risadas, pela compreensão com os furos nos finais de
semana e por compartilhar os sufocos durante a formação e início da vida profissional.
Ao meu orientador, Ernani Diaz, que sempre foi muito solícito e disposto a me
ensinar. Obrigada pela simpatia, por me receber nos finais de semana para me guiar
durante todo o trabalho e por me inspirar profissionalmente e como pessoa. Às
professoras, Flávia Moll e Mayra Perlingeiro, por aceitarem participar da banca e pelas
sugestões e comentários feitos que ajudaram a aprimorar o texto.
Agradeço também à Raissa L. S. de Toledo pelo auxílio durante a modelagem
computacional e por me ensinar ferramentas sem as quais o desenvolvimento do trabalho
não seria possível.
Aos profissionais da Casagrande Engenharia e da SEEL Engenharia que muito me
ensinaram durante o período de estágio.
Por fim, agradeço à UFRJ, que me forneceu educação gratuita e de excelência, e
a todos os professores que me ensinaram a técnica da profissão, me inspiraram e me
mostraram que é possível aprender tudo o que quisermos. Tenho muito orgulho de ter me
formado nesta instituição e espero contribuir para seu crescimento.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil.
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS HIPERESTÁTICOS DE
PROTENSÃO EM UMA LAJE COGUMELO COM PROTENSÃO ADERENTE
Thainá Pölzl
Dezembro/2020
Orientador: Benjamin Ernani Diaz
A utilização de lajes em concreto protendido como solução estrutural já é usual no país,
especialmente no projeto de estruturas de edificações de shoppings. O projeto exige uma
análise cuidadosa dos esforços gerados pela protensão, sobretudo quando não há simetria
e regularidade no projeto de arquitetura. Uma das complexidades do problema advém da
necessidade de determinação dos esforços hiperestáticos de protensão, também
denominados esforços secundários na literatura norte-americana, que são provocados em
parte pelas reações de apoio induzidas pela tendência de deformação da estrutura
estaticamente indeterminada com o tensionamento dos cabos protendidos. O método das
cargas equivalentes é considerado por alguns autores como o mais apropriado para o
cálculo dos esforços de protensão, porém esta metodologia se torna de difícil aplicação
prática por conta da geometria irregular dos pavimentos. Este trabalho efetua um estudo
comparativo com vários métodos para determinação das solicitações de protensão, como
a modelagem física dos cabos da estrutura, a substituição desses por cargas equivalentes
e um método alternativo que utiliza deformações e curvaturas calculadas pela teoria de
membranas e placas para simular o efeito da protensão. O estudo foi feito mediante a
análise de um modelo em elementos finitos num programa comercial de uma laje
cogumelo protendida com cordoalhas aderentes. O pavimento utilizado como exemplo
possui quatro vãos em cada direção, cujos comprimentos são de 6,5 m e 8,0 m para os
vãos externos e internos, respectivamente. Todos os métodos forneceram resultados com
boa precisão no que diz respeito à ordem de grandeza dos valores e ao comportamento
dos diagramas de esforços.
Palavras-chave: Concreto Protendido. Esforços Hiperestáticos de Protensão. Laje
Cogumelo.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the Engineer degree.
METHODS FOR THE DETERMINATION OF PRESTRESSING HYPERSTATIC
FORCES IN A MUSHROOM SLAB WITH BONDED PRESTRESSING
Thainá Pölzl
December/2020
Advisor: Benjamin Ernani Diaz
The use of prestressed concrete slabs as a structural solution is usual in Brazil, especially
in the design of shopping mall building structures. The project requires a careful analysis
of the internal forces caused by prestressing, mainly when there is no symmetry and
regularity in the architectural design. One of the complexities of the problem comes from
the need to determinate the hyperstatic internal forces, also designated as secondary
internal forces by the American technical literature, which are imposed in part by the
reaction forces induced by the deformation of the hyperstatic structure, caused by the
prestressing action. The equivalent load method is generally considered as the most
appropriate procedure for their determination. However, this method is very laborious to
be applied in an irregular slab geometry. This work presents a comparative study of
different methods for determining the internal forces due to prestressing, such as, the
physical modeling of the cables, the application of equivalent loads and an alternative
method that applies deformations and curvatures obtained by the membrane and plate
theory, to simulate the prestressing effects. The study is performed with the help of a
finite element model of a mushroom slab with bonded strands created by a commercial
program. The floor, used as an example, has four spans in both directions. The external
and internal spans are 6.5 m and 8 m long, respectively. All the studied methods led to
adequate results, regarding numerical values and behavior of the corresponding diagrams.
Keywords: Prestressed Concrete. Hyperstatic Internal Forces. Mushroom Slab.
vii
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS .................................................................................................... ix
LISTA DE TABELAS ................................................................................................. xvi
LISTA DE SÍMBOLOS ............................................................................................. xvii
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................1
1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO ........................................................................1
1.2 OBJETIVO E METODOLOGIA .....................................................................3
1.3 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO..............................................................4
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................5
2.1 CONCEITOS GERAIS .....................................................................................5
2.2 ESFORÇOS DE PROTENSÃO .......................................................................7
2.3 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO
........................................................................................................................9
2.3.1 Método 1: modelagem física dos cabos ...................................................9
2.3.2 Método 2: cargas equivalentes ..............................................................11
2.3.3 Método 3: deformações e curvaturas ...................................................13
2.4 PROCEDIMENTOS PARA SEPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DE
PROTENSÃO ..............................................................................................16
3 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA .......19
3.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ...................................................................19
3.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE .................................................................21
3.3 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1 ......................................................................22
3.4 APLICAÇÃO DO MÉTODO 2 ......................................................................25
3.5 APLICAÇÃO DO MÉTODO 3 ......................................................................27
viii
3.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS .............................................28
4 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA LAJE .......31
4.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ...................................................................31
4.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE .................................................................35
4.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE (PROCESSO APROXIMADO) ...37
4.4 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1 ......................................................................38
4.5 APLICAÇÃO DO MÉTODO 2 ......................................................................48
4.6 APLICAÇÃO DO MÉTODO 3 ......................................................................57
4.7 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS .............................................61
4.8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS (QUANTO À DIFICULDADE
DE APLICAÇÃO) .......................................................................................67
4.9 CRÍTICA SOBRE O MÉTODO APROXIMADO UTILIZADO NO PRÉ-
DIMENSIONAMENTO (SECTION CUT) ..................................................68
4.10 COMENTÁRIOS ADICIONAIS ...................................................................69
5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ................72
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................74
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ..............................................................................76
APÊNDICE A – MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA .............................77
APÊNDICE B – CÁLCULO DAS CURVATURAS NA VIGA ................................81
APÊNDICE C – TRAÇADO DOS CABOS DA LAJE EM ELEVAÇÃO ...............83
APÊNDICE D – CÁLCULO DAS CARGAS EQUIVALENTES DA LAJE ...........85
APÊNDICE E – CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES E CURVATURAS DA LAJE
................................................................................................................................89
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Montagem de laje lisa com cabos de protensão no interior de bainhas
metálicas – Sistema aderente (BAUSCHER, 2018). .........................................................1
Figura 1.2 - Laje lisa com capitéis. (JAISAN, 2020). .......................................................2
Figura 2.1 – Procedimento de pré-tração (a) Cabos tensionados entre ancoragens externas
(b) Concreto moldado e curado (c) Cabos liberados e tensão transferida (GILBERT et al.,
2017). .................................................................................................................................5
Figura 2.2 - Procedimentos de pós-tração aderente (a) Concreto moldado e curado (b)
Cabos tracionados e protensão transferida (c) Cabos ancorados e injetados. (Adaptada de
GILBERT et al., 2017). .....................................................................................................6
Figura 2.3 - Monocordoalha engraxada. ............................................................................6
Figura 2.4 – Momentos induzidos pela protensão em uma viga contínua (a)
Excentricidade do cabo em relação ao centroide (b) Momento isostático (c) Momento
hiperestático devido às reações hiperestáticas (d) Momento total de protensão. ..............8
Figura 2.5 - Cargas equivalentes para vãos de extremidade (Adaptado de EMERICK,
2005). ...............................................................................................................................11
Figura 2.6 – Cargas equivalentes para vãos internos (Adaptado de EMERICK, 2005)..13
Figura 2.7 - Simbologia e convenção dos esforços para membranas e placas (Adaptado
das definições do programa empregado). ........................................................................15
Figura 3.1 -Seção transversal da viga celular com eixos locais de referência (dimensões
em cm). ............................................................................................................................19
Figura 3.2 - Elevação da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).
.........................................................................................................................................20
Figura 3.3 – Numeração das barras até o eixo de simetria da viga. ................................21
Figura 3.4 – Eixos globais e locais da viga. ....................................................................22
Figura 3.5 – Modelo inicial da viga hiperestática - Método 1 – Cabos modelados
x
fisicamente como frames. ................................................................................................22
Figura 3.6 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de
apoio na viga hiperestática (em kN) – Método 1.............................................................23
Figura 3.7 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m) e reações
de apoio na viga isostática (em kN) - Método 1 ..............................................................23
Figura 3.8 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -
Método 1 – Procedimento B. ...........................................................................................24
Figura 3.9 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas
em kN - Método 1 - Procedimento A. ............................................................................24
Figura 3.10 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -
Método 1 – Procedimento A. ...........................................................................................24
Figura 3.11 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 2 – Cabos substituídos por
carregamento equivalente (em kN.m). ............................................................................25
Figura 3.12 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de
apoio na viga hiperestática (em kN) - Método 2. ............................................................26
Figura 3.13 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kNm) e
reações de apoio na viga isostática (em kN) - Método 2. ................................................26
Figura 3.14 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -
Método 2 – Procedimento B. ...........................................................................................26
Figura 3.15 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações
hiperestáticas (em kN) - Método 2 – Procedimento A. ...................................................27
Figura 3.16 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) -
Método 2 – Procedimento A. ...........................................................................................27
Figura 3.17 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 3 – Cabos substituídos pela
aplicação de curvaturas. ...................................................................................................27
Figura 3.18 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) e
xi
forças hiperestáticas (em kN) - Método 3. ......................................................................28
Figura 3.19 – Sobreposição dos diagramas de momentos hiperestáticos de protensão
obtidos por diferentes metodologias. ...............................................................................29
Figura 4.1 - Planta baixa da laje protendida com eixos globais e locais de referência
(dimensões em cm). .........................................................................................................33
Figura 4.2 - Corte A-A’ com eixos globais e locais de referência (dimensões em cm). .33
Figura 4.3 – Disposição dos cabos em planta e número de cordoalhas de cada cabo
(dimensões em cm). .........................................................................................................34
Figura 4.4 – Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Vista 3D).
.........................................................................................................................................35
Figura 4.5 – Eixos globais e locais do programa no trecho central da laje com a
representação do capitel...................................................................................................36
Figura 4.6 - Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Plano XY).
.........................................................................................................................................36
Figura 4.7 – Modelo geral de análise da laje com eixo globais de referência (Plano XZ).
.........................................................................................................................................37
Figura 4.8 – Seções de dimensionamento em que foi utilizado o Section Cut................38
Figura 4.9 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 1 – Cabos
modelados como tendons - Vista 3D. ..............................................................................39
Figura 4.10 – Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL - Método 1 – Cabos
modelados como tendons - Plano XY. ............................................................................40
Figura 4.11 – Exemplo de definição do cabo de protensão da laje na direção X. ...........40
Figura 4.12 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje
na direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 1. ...........................................................41
Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão em (em kN.m/m) na
laje na direção 2 (M22)- MODINICIAL - Método 1. .....................................................41
xii
Figura 4.14 – Reações de apoio nos pilares da laje (em kN) devidas ao carregamento de
protensão - MODINICIAL - Método 1. ..........................................................................42
Figura 4.15 – Modelo da laje isostática externamente com engastamento central -
MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D. ...............................................................43
Figura 4.16 – Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de
apoio dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D. .................................43
Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devido às
reações de apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 1 –
Procedimento A. ..............................................................................................................44
Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devidos às
reações de apoio dos pilares na direção 2 (M22) -MODISO REAÇÕES - Método 1 –
Procedimento A. ..............................................................................................................44
Figura 4.19 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na
laje na direção 1 (M11)- MODISO CABOS - Método 1. ...............................................45
Figura 4.20 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na
laje na direção 2 (M22)- MODISO CABOS - Método 1. ...............................................45
Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje
na direção 1 (M11) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1. ...........46
Figura 4.22 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1. ...............47
Figura 4.23 - Momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na direção 1
(M11) – (MODINICIAL -MODISO CABOS)- Método 1 – Procedimento B. ...............47
Figura 4.24 – Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje
na direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CABOS) - Método 1 – Procedimento
B. .....................................................................................................................................48
Figura 4.25 - Carregamento equivalente por área (em kN/m²) devido aos cabos
concentrados na direção X. ..............................................................................................51
xiii
Figura 4.26 – Carregamento equivalente por área em (kN/m²) devido aos cabos
distribuídos na direção Y. ................................................................................................51
Figura 4.27 – Cargas equivalentes concentradas (em kN) devidas aos cabos nas
ancoragens – Plano XY. ..................................................................................................52
Figura 4.28 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas
ancoragens – Plano XZ. ...................................................................................................52
Figura 4.29 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas
ancoragens – Plano YZ. ...................................................................................................52
Figura 4.30 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 2. ................................................................53
Figura 4.31 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) - MODINICIAL - Método 2. ................................................................53
Figura 4.32 - Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de
apoio dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 2 – Vista 3D. .................................54
Figura 4.33 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às
reações de apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 2 –
Procedimento A. ..............................................................................................................55
Figura 4.34 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às
reações de apoio dos pilares na direção 2 (M22) - MODISO REAÇÕES - Método 2 –
Procedimento A. ..............................................................................................................55
Figura 4.35 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2
– Procedimento B. ...........................................................................................................56
Figura 4.36 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2
– Procedimento B. ...........................................................................................................56
Figura 4.37 - Modelo da laje isostática externamente com engastamento central -
xiv
MODISO CABOS – Método 1 – Vista 3D. ....................................................................57
Figura 4.38 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 3 –
Deformações e curvaturas - Vista 3D. .............................................................................59
Figura 4.39 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) – MODINICIAL - Método 3. ...............................................................60
Figura 4.40 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) – MODINICIAL - Método 3. ...............................................................60
Figura 4.41 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - Método 1 – Procedimento A. .............................................................62
Figura 4.42 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - Método 1 – Procedimento B...............................................................63
Figura 4.43 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - Método 2 – Procedimento A. ............................................................63
Figura 4.44 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - Método 2 – Procedimento B..............................................................64
Figura 4.45 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - Método 3. ...........................................................................................64
Figura 4.46 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) - Método 1 – Procedimento A. .............................................................65
Figura 4.47 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) - Método 1 – Procedimento B...............................................................65
Figura 4.48 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) - Método 2 – Procedimento A. .............................................................66
Figura 4.49 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) - Método 2 – Procedimento B...............................................................66
Figura 4.50 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
xv
direção 2 (M22) - Método 3. ...........................................................................................67
Figura 4.51 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje
na direção 1 (F11) - Método 3. ........................................................................................70
Figura 4.52 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje
na direção 2 (F22) - Método 3. ........................................................................................70
Figura 4.53 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 1 (F11)
- MODINICIAL - Método 1. ...........................................................................................71
Figura 4.54 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 2 (F22)
- MODINICIAL - Método 1. ...........................................................................................71
xvi
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Propriedades geométricas e dos materiais da viga. ....................................21
Tabela 3.2 – Momentos hiperestáticos na viga (em kN.m) obtidos em cada método. ....29
Tabela 3.3 – Diferença relativa entre os resultados dos esforços hiperestáticos na viga.
.........................................................................................................................................29
Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais empregados na laje. ........................................34
Tabela 4.2 – Solicitações médias no elemento de área “1” devidas à protensão (Obtido do
MODISO CABOS – Método 1) ......................................................................................58
Tabela 4.3 – Momentos hiperestáticos na laje (em kN.m/m) obtidos com os diferentes
métodos. ...........................................................................................................................61
Tabela 4.4 - Diferença relativa entre os resultados dos métodos aplicados à laje. ..........61
xvii
LISTA DE SÍMBOLOS
𝐴 Área da seção transversal do elemento estrutural
𝑒 Excentricidade do cabo em relação ao centroide do elemento estrutural
𝐸 Módulo de elasticidade do material
𝐺 Módulo de elasticidade transversal do material
ℎ Espessura da laje
𝐼 Inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro
𝐿 Comprimento do vão
𝑀 Momento fletor
𝑀𝐶 Momento fletor dos cabos de protensão
𝑀𝑃 Momento fletor total de protensão
𝑀𝑃𝐼 Momento fletor isostático ou primário de protensão
𝑀𝑃𝐻 Momento fletor hiperestático ou secundário de protensão
𝑁 Esforço axial
𝑃 Força aplicada em um cabo ou cordoalha de protensão
𝛾 Deformação devida ao cisalhamento
𝜀 Deformação devida ao esforço axial
𝜃 Inclinação do cabo ou cordoalha de protensão
𝜅 Curvatura
𝜈 Coeficiente de Poisson
𝜎 Tensão devida ao esforço axial
𝜏 Tensão devida ao esforço cisalhante
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTO E MOTIVAÇÃO
O concreto protendido permite a elaboração de estruturas com maiores vãos e
menor quantidade de pilares quando comparado com o concreto armado. A solução com
protensão também possibilita a execução de edificações com elementos mais esbeltos e
que podem ser construídos em menos tempo, por conta da velocidade na desforma e na
retirada de escoramentos.
A combinação entre o concreto e as armaduras ativas resulta em um melhor
aproveitamento de ambos os materiais. O aço é dúctil e age em alta tensão e o concreto,
que é um material pouco dúctil, consegue aumentar sua capacidade resistente ao ser
comprimido na etapa construtiva. A pré-compressão dos elementos de concreto tem o
intuito de diminuir ou eliminar as tensões de tração que provocariam sua fissuração, o
que gera uma maior eficiência na utilização da seção. Em decorrência disso, o uso da
protensão tem se mostrado vantajoso em estruturas sob carregamentos expressivos ou que
necessitam vencer grandes vãos por ocasião de sua utilização, como vigas de obras de
arte especiais e lajes lisas amplas, sendo as últimas comuns em estruturas de shoppings e
hotéis. No mais, a grande vantagem econômica é a possibilidade de usar aços de elevada
resistência, da ordem de até 2100 MPa na ruptura.
A Figura 1.1 ilustra uma laje lisa na fase de montagem dos cabos. A Figura 1.2
apresenta a laje lisa com capitéis, também denominada laje cogumelo, após a
concretagem e a operação de protensão.
Figura 1.1 – Montagem de laje lisa com cabos de protensão no interior de bainhas metálicas –
Sistema aderente (BAUSCHER, 2018).
2
Figura 1.2 - Laje lisa com capitéis. (JAISAN, 2020).
Apesar da solução estrutural de lajes com cordoalhas protendidas já ser
empregada no país, ainda não há muita clareza por parte dos projetistas quanto aos
conceitos relativos aos esforços hiperestáticos de protensão em lajes e aos métodos
empregados para sua determinação. Isso se deve à escassez de literatura relacionada ao
tema em português.
Nas estruturas isostáticas, a protensão, que é um carregamento autoequilibrado,
não gera reações de apoio. Sendo assim, não surgem as solicitações hiperestáticas. No
caso de estruturas estaticamente indeterminadas, como é o caso da maioria das lajes para
piso de edificações, os apoios são solicitados devido à tendência de deformação da
estrutura após a aplicação da tração nos cabos e fazem surgir as solicitações hiperestáticas.
Estas devem ser levadas em conta no dimensionamento da estrutura no Estado Limite
Último (ELU), de acordo com a norma NBR 6118 (2014).
Segundo EMERICK (2005), o método das cargas equivalentes proposto de
forma aproximada por LIN (1963), a título de exemplo, é considerado um dos métodos
mais apropriados para o cálculo das lajes protendidas. O procedimento consiste em
substituir os cabos de protensão por carregamentos equivalentes que balanceiam uma
parcela da carga externa atuante. Entretanto, a aplicação desse método se torna complexa
no caso de lajes com irregularidades geométricas, já que nessas estruturas a malha de
elementos finitos também se torna irregular, o que dificulta a aplicação do carregamento
equivalente no programa de análise.
Além disso, a metodologia não permite a determinação direta das solicitações
hiperestáticas na estrutura, uma vez que os esforços obtidos quando aplicada a carga
3
equivalente são compostos por duas parcelas: o esforço isostático e o hiperestático. O
mesmo ocorre quando os cabos são modelados fisicamente dentro da laje por meio de
elementos finitos. Dessa forma, após a aplicação dos dois métodos, ainda é necessário
realizar a separação dos esforços isostáticos e hiperestáticos por meio de um
procedimento adicional.
1.2 OBJETIVO E METODOLOGIA
Este trabalho pretende realizar um estudo comparativo entre três métodos para
determinação dos esforços hiperestáticos em uma laje cogumelo com protensão aderente.
Toda a análise estrutural é feita por um programa comercial de elementos finitos.
No primeiro método, os cabos são introduzidos fisicamente no modelo da laje
por meio de elementos lineares, aos quais são aplicadas as deformações relativas à tensão
imposta pela protensão. Nesse caso, o modelo fica completo, uma vez que é composto
pela laje de concreto e pela armadura ativa. Já no segundo método, emprega-se o conceito
das cargas equivalentes, no qual os cabos de aço tracionados são substituídos por seu
carregamento correspondente. Por fim, analisa-se o resultado obtido pelo terceiro método,
que consiste em uma alternativa aos demais. Em tal caso, o efeito gerado pela protensão
no concreto é simulado por meio de deformações e curvaturas impostas ao modelo.
A metodologia empregada consiste em analisar, inicialmente, o caso de uma viga
contínua protendida em seção celular com três vãos, cujos comprimentos são de 66 m e
80 m, para os vãos externos e interno, respectivamente. A determinação dos esforços de
protensão é realizada considerando, em essência, os mesmos métodos aplicados à laje. O
estudo da viga tem como objetivo esclarecer os conceitos necessários para o entendimento
do problema principal do trabalho, uma vez que a viga é um elemento linear e, por essa
razão, sua análise é mais simples do que a da laje.
Posteriormente, é avaliado o comportamento de uma laje cogumelo quando
submetida a métodos análogos àqueles empregados na viga. O pavimento a ser analisado
é simétrico com dimensões em planta de 29 m × 29 m. Há quatro vãos em cada direção,
cujos comprimentos são de 6,5 m e 8 m para os vãos externos e internos, nesta ordem. A
laje tem 20 cm de espessura e, na região dos pilares, são dispostos capitéis de 2 m × 2 m
com altura de 40 cm.
Tanto a laje quanto a viga foram pré-dimensionadas e são apresentadas com sua
geometria, número de cordoalhas e traçado dos cabos já definidos. No entanto, o
4
dimensionamento completo não é apresentado porque não faz parte do escopo do
trabalho, visto que este tem por objetivo a realização de um estudo comparativo entre os
métodos já citados.
No caso da laje, apresenta-se, no item 4.3, como foi realizada a determinação
aproximada dos esforços hiperestáticos para o pré-dimensionamento da estrutura. O
procedimento aproximado foi empregado porque a armadura de protensão da laje
necessitou ser determinada antes da realização deste estudo.
Deve-se notar que este trabalho se refere ao caso de uma laje cogumelo, isto é,
uma laje com capiteis. Sendo assim, o estudo envolve maiores dificuldades de análise e
de dimensionamento quando comparado com o de uma laje lisa (de espessura constante).
Isso porque o trecho do capitel precisa ser estudado de forma diferenciada dos demais
trechos da laje, com menor espessura.
1.3 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO
No segundo capítulo é feita a revisão bibliográfica. Inicialmente, são
apresentados os conceitos gerais da protensão. Em seguida, são explicados os três
métodos utilizados neste trabalho para determinar os esforços advindos dos cabos
protendidos em um modelo de elementos finitos. Por fim, são expostos dois
procedimentos para realizar a separação entre as parcelas hiperestática e isostática do
esforço de protensão.
No terceiro capítulo, os métodos são aplicados em uma viga protendida em seção
celular. O estudo da viga tem como objetivo esclarecer a metodologia e os conceitos
necessários ao estudo de uma laje, sendo esta última uma estrutura plana mais complexa
do que a viga. Após a aplicação dos métodos, é realizada a comparação entre os
resultados.
No quarto capítulo, é apresentado o objeto principal de estudo deste trabalho: a
laje cogumelo protendida com protensão aderente. A essa estrutura, são aplicados
métodos análogos àqueles aplicados na viga.
No quinto capítulo, são relatadas as conclusões acerca dos resultados obtidos e
são feitas sugestões para trabalhos futuros.
5
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONCEITOS GERAIS
Segundo PFEIL (1984), “a protensão pode ser definida como o artifício de
introduzir, numa estrutura, um estado prévio de tensões, de modo a melhorar sua
resistência ou seu comportamento, sob ação de diversas solicitações”.
A protensão tem o objetivo de combater os momentos fletores que decorrem,
basicamente, do carregamento permanente e da sobrecarga que atuam nas estruturas.
Além disso, pode ser utilizada para melhorar o desempenho em serviço, ao controlar a
fissuração e reduzir flechas.
De acordo com ALVES (2018), a protensão é introduzida por meio do
tracionamento dos cabos ou cordoalhas de aço, que possuem tensão de ruptura elevada e
baixa relaxação. O carregamento pode ser efetuado antes ou depois da concretagem,
sendo denominado de pré ou pós-tração, respectivamente.
A pré-tração é de uso comum em vigas pré-fabricadas e em pistas de protensão.
Neste caso, as cordoalhas são tracionadas na região da fôrma, com trajetória retilínea ou
poligonal, e ancoradas externamente. Posteriormente, o concreto é lançado e, somente
após atingir a resistência necessária para suportar os esforços de protensão, ocorre a
liberação das ancoragens com a introdução da protensão por aderência entre os materiais
(Figura 2.1).
Figura 2.1 – Procedimento de pré-tração (a) Cabos tensionados entre ancoragens externas (b)
Concreto moldado e curado (c) Cabos liberados e tensão transferida (GILBERT et al., 2017).
Em relação à pós-tração, a protensão ainda pode ser subdividida em: aderente,
não aderente interna e não aderente externa.
6
Na pós-tração aderente (Figura 2.2), os cabos podem seguir traçado parabólico
em elevação no interior das bainhas metálicas, que têm sua posição definida em fase
anterior à concretagem. Depois da cura do concreto, as cordoalhas são protendidas e os
dutos de protensão são preenchidos com injeção de calda de cimento sob pressão.
Figura 2.2 - Procedimentos de pós-tração aderente (a) Concreto moldado e curado (b) Cabos
tracionados e protensão transferida (c) Cabos ancorados e injetados. (Adaptada de GILBERT et
al., 2017).
Na pós-tração não aderente interna são empregadas cordoalhas engraxadas em
bainha plástica de polietileno de alta densidade (PEAD) (Figura 2.3). Após a
concretagem, as monocordoalhas, que geralmente apresentam trajetória sinuosa ou
retilínea, são protendidas. Nesse caso, não há desenvolvimento de aderência entre os
cabos e o concreto como ocorre na protensão aderente.
Figura 2.3 - Monocordoalha engraxada.
Por fim, existe o sistema de pós-tração não aderente externa que costuma ser
utilizado em projetos de reforço estrutural e em vigas de seção celular. Os cabos são
dispostos externamente ao elemento estrutural e sua trajetória é controlada por
desviadores de aço ou concreto. Nessa situação, não há desenvolvimento de aderência
7
entre o elemento de concreto e os cabos, sendo toda a carga transferida nos pontos de
desvio e de ancoragem.
No caso das lajes para pisos de edificações, normalmente são utilizados dois
sistemas: a pós-tração aderente e a não-aderente interna. A primeira solução costuma ser
menos empregada do que a segunda por conta de seu procedimento executivo. Isso se
deve, especialmente, ao fato de que o uso do sistema aderente implica em uma
concretagem mais cuidadosa para evitar danos à bainha, além da operação de protensão
precisar ser realizada em etapas. Do ponto de vista estrutural, EMERICK (2005) afirma
que a solução com cordoalhas aderentes é mais eficiente, já que a laje se comporta melhor
quanto à distribuição de fissuras.
2.2 ESFORÇOS DE PROTENSÃO
Um aspecto essencial a ser estudado nas estruturas protendidas são os esforços
de protensão. Estes são compostos por dois fatores: os esforços isostáticos e os
hiperestáticos, também denominados pela bibliografia americana de esforços primários e
secundários, respectivamente. A separação em dois fatores é válida para todas as
solicitações (momento fletor, força cortante, força normal). Entretanto, para não haver
repetição, são conceituados apenas os momentos fletores de protensão, uma vez que os
demais esforços podem ser definidos de forma análoga. Desse modo, o momento total de
protensão nas estruturas elásticas lineares é dado pela Equação (2.1).
𝑀𝑃 = 𝑀𝑃𝐼 + 𝑀𝑃
𝐻 (2.1)
sendo:
𝑀𝑃 − momento fletor total de protensão;
𝑀𝑃𝐼 − momento fletor isostático de protensão;
𝑀𝑃𝐻 − momento fletor hiperestático de protensão.
O momento isostático é o esforço decorrente da aplicação da força dos cabos
com uma dada excentricidade e inclinação em relação ao centroide da seção transversal
do elemento. Por ser interno ao sistema estrutural, não é levado em consideração na
combinação do momento solicitante de cálculo para o dimensionamento no ELU. O
momento isostático também pode ser conceituado como o esforço que atua no concreto
8
quando os suportes redundantes são retirados da estrutura hiperestática, ou seja, é o
esforço na estrutura isostática. Ele é calculado, no caso das vigas contínuas, por meio do
produto entre a componente perpendicular da força de protensão em relação a seção e sua
excentricidade em relação ao centroide.
O esforço hiperestático surge nas estruturas estaticamente indeterminadas, em
que o número de reações de apoio é, usualmente, maior que as equações gerais de
equilíbrio. Após a operação de protensão, os vínculos da estrutura, ao impedir a livre
deformação, produzem reações de apoio que são conhecidas como reações hiperestáticas.
A Figura 2.4 apresenta os dois fatores que compõem o momento total de
protensão em uma viga contínua reta, com o objetivo de promover um melhor
entendimento do conceito. Cabe dizer que a análise foi efetuada desprezando as
deformações de cisalhamento.
Figura 2.4 – Momentos induzidos pela protensão em uma viga contínua (a) Excentricidade do
cabo em relação ao centroide (b) Momento isostático (c) Momento hiperestático devido às
reações hiperestáticas (d) Momento total de protensão.
O tensionamento de estruturas isostáticas não faz surgir reações de apoio, já que
a protensão consiste num carregamento autoequilibrado. Desse modo, não são gerados
esforços hiperestáticos. Sendo assim, o momento total de protensão no concreto na
estrutura isostática, que é numericamente igual ao momento isostático, está em equilíbrio
com o momento dos cabos de protensão em relação ao centroide da seção, conforme
explicitado na Equação (2.2).
9
𝑀𝑃 + 𝑀𝑐 = 0 (2.2)
sendo:
𝑀𝐶 − momento dos cabos de protensão em relação ao centroide;
𝑀𝑃 − momento das tensões no concreto causadas pela protensão.
Há necessidade de enfatizar esses conceitos. Os esforços definidos como
isostáticos de protensão representam a resultante, em relação ao centroide, das tensões no
concreto na seção de referência. Nesta seção de referência, a soma dos esforços isostáticos
existentes no concreto e no aço causados pela protensão são nulos, conforme apresentado
na relação (2.2). Por isso, os esforços aplicados no concreto, neste caso, podem ser
determinados de forma simples ao se calcular os esforços resultantes das forças dos cabos
de protensão.
Observa-se que neste trabalho são utilizadas as palavras “esforços” e
“solicitações” para designar as forças normais, os cortantes, e os momentos fletores e
torsores. Nas bibliografias e nas normas consultadas foram encontradas as duas
nomenclaturas, por isso ambas foram empregadas.
2.3 MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO
2.3.1 Método 1: modelagem física dos cabos
Em um programa de análise, é possível introduzir fisicamente os cabos de
protensão no modelo estrutural por meio de objetos lineares denominados na literatura
inglesa como tendons ou mediante o emprego de frames. Os primeiros consistem nos
próprios cabos de protensão, já os frames são elementos de pórtico espacial que
geralmente são utilizados para modelagem de pilares e vigas.
Os tendons podem ser definidos como elementos ou como cargas. No primeiro
caso, o efeito da protensão é imposto por meio de um encurtamento aplicado nos cabos.
Ao efetuar a análise da estrutura automaticamente pelo programa, há a geração de
deformações dos elementos de concreto, o que gera uma perda na força de protensão
aplicada inicialmente por meio do encurtamento. Além disso, é possível visualizar as
forças atuantes nos cabos. Já quando as cordoalhas são estabelecidas como cargas, as
perdas por encurtamento elástico não são determinadas pelo programa de análise e os
cabos não têm seus esforços apresentados.
10
Na situação em que os cabos são definidos como frames, tem-se um
comportamento similar aquele apresentado pelos tendons modelados como elementos, ou
seja, é possível verificar a perda por encurtamento elástico e a força atuante nas seções.
Neste trabalho, optou-se pela utilização de frames para os cabos da viga e de
tendons definidos como elementos para os cabos da laje. Destaca-se que os dois objetos
trabalham de maneira equivalente e a variação na escolha da forma de representação tem
apenas como objetivo facilitar o processo de modelagem, uma vez que cabos com
trajetória poligonal são facilmente modelados como frames.
A força de protensão nos cabos, em ambas as situações, foi aplicada por meio de
deformação equivalente calculada pela Lei de Hooke (Equação (2.3)), válida para
materiais linearmente elásticos, tal que:
𝜀 =𝜎
𝐸 (2.3)
sendo:
𝜀 − deformação;
𝜎 − tensão;
𝐸 − módulo de elasticidade longitudinal do material.
A Equação (2.3) pode ser transformada na Equação (2.5) por meio da substituição
da tensão pela razão entre força e área (Equação (2.4)).
𝜎 =𝑁
𝐴 (2.4)
𝜀 =𝑁
𝐴 ∙ 𝐸 (2.5)
onde:
𝑁 − esforço axial na seção transversal;
𝐴 − área da seção transversal.
A partir da análise estrutural do modelo com cabos, são determinados os esforços
de protensão no concreto. Se a estrutura for hiperestática, são obtidos da análise os
esforços totais de protensão, sendo necessário recorrer a um procedimento adicional para
separar os esforços hiperestáticos dos isostáticos. Os procedimentos adotados neste
trabalho são explicitados no item 2.4.
11
2.3.2 Método 2: cargas equivalentes
O método das cargas equivalentes, ou equilibrantes, é considerado por alguns
autores como o mais apropriado para o cálculo de estruturas protendidas e pode ser usado
tanto em vigas quanto em lajes. A ideia geral do método consiste em substituir o efeito
dos cabos por suas cargas correspondentes aplicadas ao concreto.
Quando as armaduras ativas seguem trajetória poligonal ou retilínea em elevação,
sem a presença de sinuosidades, a carga a ser aplicada nos pontos de desvio e de
ancoragem pode ser determinada por meio de cálculo simples e que considera apenas a
angulação e a excentricidade do cabo em relação ao centroide.
Por outro lado, se os cabos apresentarem trajetória parabólica, a determinação da
carga equivalente é mais complexa. As formulações utilizadas nesta situação costumam
desprezar o efeito da inversão da curvatura dos cabos sobre os pilares, no entanto, são
apresentadas neste trabalho as fórmulas que consideram esse efeito, com o objetivo de
obter maior acurácia nos resultados. Todas as expressões apresentadas foram obtidas do
trabalho de NAAMAN (1982) apud EMERICK (2005). Nos casos em que não se exija
acurácia elevada, pode-se optar pela formulação aproximada apresentada por LIN (1963),
que foi aplicada, por exemplo, na dissertação de PERLINGEIRO (1998).
2.3.2.1 Carregamento equivalente para os vãos de extremidade
Quando os cabos de protensão seguem trajetória parabólica em elevação nos vãos
extremos, conforme apresentado na Figura 2.5, as cargas equivalentes são calculadas a
partir das Equações (2.6) a (2.10). Nota-se que nas expressões apresentadas há
continuidade nas tangentes aos cabos entre as várias parábolas definidas.
Figura 2.5 - Cargas equivalentes para vãos de extremidade (Adaptado de EMERICK, 2005).
12
𝑞𝐵1 =2𝑃 ∙ (𝛽1 − 𝛽) ∙ 𝑒
(𝛼𝐿)2 (2.6)
𝑞𝐵2 =2𝑃 ∙ 𝜆 ∙ 𝑒
𝐿2 (2.7)
𝑞𝐵3 =−2𝑃 ∙ 𝜇 ∙ 𝑒
𝐿2 (2.8)
𝜆 =1 + 𝛽1
(1 − 𝛼) ∙ (1 − 𝛼 − 𝛼1) (2.9)
𝜇 =1 + 𝛽1
(1 − 𝛼) ∙ 𝛼1 (2.10)
sendo:
𝑃 − força de protensão;
𝑒 − excentricidade do cabo em relação ao centroide da seção no apoio direito;
𝐿 − comprimento do vão;
𝛼1 − constante que define a parcela do vão referente a cada trecho de parábola
(usualmente varia entre 0,05 e 0,15, no caso de lajes protendidas);
𝛼 − assim como 𝛼1, é uma constante que define a parcela do vão referente a cada trecho
de parábola;
𝛽 − constante multiplicadora da excentricidade na seção da ancoragem (quando o cabo é
ancorado no centroide da seção, 𝛽 é igual a zero).
2.3.2.2 Carregamento equivalente para os vãos internos
Quando os cabos seguem trajetória parabólica em elevação nos vãos internos,
conforme mostra a Figura 2.6, as cargas equivalentes são determinadas a partir das
Equações (2.11) e (2.12). Nota-se que nas expressões apresentadas também há
continuidade nas tangentes aos cabos.
Após o cálculo e a aplicação do carregamento equivalente à protensão no modelo,
pode-se prosseguir com a análise estrutural, que tem como resultado os esforços totais de
protensão. Assim como no primeiro método, em que é feita a modelagem física dos cabos,
é necessário recorrer a procedimentos adicionais cujo objetivo é realizar a separação entre
os esforços isostáticos e hiperestáticos.
13
Figura 2.6 – Cargas equivalentes para vãos internos (Adaptado de EMERICK, 2005).
𝑞𝐵1 =−4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒
𝛼2𝐿2 (2.11)
𝑞𝐵2 =4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒
(12 − 𝛼2)𝐿2
(2.12)
onde:
𝛼2 − constante que define a parcela do vão referente a cada trecho de parábola
(usualmente varia entre 0,05 e 0,15, no caso de lajes protendidas);
𝛽2 − constante multiplicadora da excentricidade na seção do meio do vão;
2.3.3 Método 3: deformações e curvaturas
O efeito da protensão também pode ser simulado por meio de deformações e
curvaturas devidas aos esforços provocados pela protensão. Como foi exposto no item
2.2, quando o tensionamento é aplicado em uma estrutura estaticamente determinada,
apenas surgem os esforços isostáticos e as deformações e curvaturas ocorrem sem
restrição. Entretanto, quando se impede o deslocamento dos elementos com a inclusão de
apoios que tornam a estrutura hiperestática externamente, surgem os esforços
hiperestáticos.
14
À vista disso, uma forma de determinar os esforços hiperestáticos de maneira
direta no modelo de análise consiste em aplicar as deformações e curvaturas produzidas
pelos esforços isostáticos na estrutura hiperestática.
O cálculo das deformações e das curvaturas em vigas e lajes se baseia em teorias
diferentes. Os itens a seguir apresentam as fórmulas utilizadas neste trabalho para cada
caso.
2.3.3.1 Deformações e Curvaturas em vigas
A deformação axial em uma viga submetida à uma solicitação de compressão pode
ser determinada conforme a Equação (2.5). Já a curvatura de um elemento linear pode ser
obtida pela Equação (2.13), apresentada, por exemplo, em TIMOSHENKO e GERE
(1983).
𝜅 =𝑀
𝐸 ∙ 𝐼 (2.13)
sendo:
𝜅 − curvatura da viga;
𝑀 − momento fletor;
𝐼 − inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro da viga.
A convenção de sinais do programa adotado define como positiva a deformação
que aumenta o comprimento de um elemento sem restrição. Já a curvatura positiva é
aquela ocasionada por um momento fletor positivo, que produz compressão na parte
superior da seção. É importante destacar que a convenção de sinais para a curvatura difere
daquela empregada em livros clássicos de Resistência dos Materiais.
2.3.3.2 Deformações e Curvaturas em lajes
No caso das lajes, o cálculo de deformações e curvaturas se baseia na teoria de
membranas e de placas. As formulações apresentadas nesta seção foram adaptadas do
trabalho de GIRKMANN (1956) e levam em consideração a simbologia e a convenção
adotadas pelo programa utilizado de MEF para as lajes (ver Figura 2.7). É importante
dizer que os eixos designados por 1, 2 e 3 são eixos locais definidos para cada elemento
de área do modelo.
15
Figura 2.7 - Simbologia e convenção dos esforços para membranas e placas (Adaptado das
definições do programa empregado).
Para as membranas, que são carregadas por forças axiais contidas em seu plano,
as deformações podem ser calculadas pelas Equações (2.14) a (2.16).
𝜀11 =1
𝐸∙ (𝜎1 − 𝜈𝜎2) (2.14)
𝜀22 =1
𝐸∙ (𝜎2 − 𝜈𝜎1) (2.15)
𝛾12 =1
𝐺∙ 𝜏12 (2.16)
sendo:
𝜀11 − deformação na direção do eixo 1;
𝜀22 − deformação na direção do eixo 2;
𝜎1 − tensão na direção 1 devida à força F11;
𝜎2 − tensão na direção 2 devida à força F22;
𝜈 − coeficiente de Poisson;
𝛾12 − deformação devida ao cisalhamento produzida pela força F12;
𝐺 − módulo de elasticidade transversal;
𝜏12 − componente da tensão cisalhante devida à força F12.
Para as placas, que são elementos carregados por forças normais ao plano e
momentos cujos eixos estão contidos em seu plano, as curvaturas podem ser calculadas
pelas Equações (2.17) a (2.20).
16
𝜅11 =1
𝐾∙ (
𝑀11
1 − 𝜈2− 𝑀22 ∙
𝜈
1 − 𝜈2) (2.17)
𝜅22 =1
𝐾∙ (
𝑀22
1 − 𝜈2− 𝑀11 ∙
𝜈
1 − 𝜈2)
(2.18)
𝜅12 =𝑀12
(1 − 𝜈) ∙ 𝐾
(2.19)
𝐾 =𝐸 ∙ ℎ3
12 ∙ (1 − 𝜈2) (2.20)
sendo:
𝜅11 − curvatura no plano perpendicular à direção 2;
𝜅22 − curvatura no plano perpendicular à direção 1;
𝜅12 − curvatura devido ao momento de torção M12;
𝑀11 − momento fletor por unidade de comprimento com vetor perpendicular à direção 1;
𝑀22 − momento fletor por unidade de comprimento com vetor perpendicular à direção 2;
𝑀12 − momento de torção por unidade de comprimento;
ℎ − espessura da laje.
Cabe salientar que o programa de análise utilizado possui uma definição diferente
dos livros clássicos como TIMOSHENKO (1959) e GIRKMANN (1956) para 𝜅12. Esta
divergência não foi encontrada nos manuais do programa de análise e foi descoberta após
diversos testes.
Para ser introduzida no programa de análise utilizado, a curvatura devida ao
momento M12 deve ser calculada pela Equação (2.21), que apresenta um fator
multiplicativo 2.
𝜅12 =2𝑀12
(1 − 𝜈) ∙ 𝐾 (2.21)
2.4 PROCEDIMENTOS PARA SEPARAÇÃO DOS ESFORÇOS DE PROTENSÃO
De acordo com o que foi descrito nos itens 2.3.1 e 2.3.2, os Métodos 1 e 2, quando
aplicados em uma estrutura hiperestática, fornecem os momentos totais de protensão no
concreto.
Como a viga e a laje a serem estudadas neste trabalho são estruturas estaticamente
indeterminadas, após a análise estrutural, é necessário recorrer a procedimentos para
17
realizar a separação entre as parcelas isostática e hiperestática das solicitações. Ressalta-
se que somente a última parcela deve ser considerada no dimensionamento da estrutura
no ELU e, por isso, há a necessidade de realizar essa separação. Antes de mais nada, é necessário esclarecer que é considerado, para o
desenvolvimento do estudo, que os momentos hiperestáticos são aqueles decorrentes das
reações de apoio hiperestáticas. Além disso, a estrutura isostática externamente, mesmo
com graus de hiperestaticidade interna, é considerada e designada de “estrutura
isostática”. Essas considerações são importantes para o estudo da laje e têm sido a praxe
nas publicações que tratam do assunto.
Neste trabalho, foram empregados dois procedimentos para realizar a separação
dos esforços. No primeiro, denominado de Procedimento A, utilizou-se o conceito de que
as reações de apoio hiperestáticas são as responsáveis pelos esforços hiperestáticos.
Sendo assim, os momentos hiperestáticos podem ser determinados ao aplicar as reações
hiperestáticas, calculadas no modelo estaticamente indeterminado original, em uma
estrutura isostática externamente. Para transformar a estrutura hiperestática em isostática
externamente, o modelo original analisado teve seus apoios retirados e substituídos por
um engaste no ponto central da estrutura (ver Figura 3.9 e Figura 4.15). É evidente que
esta é uma das inúmeras possibilidades de transformar a estrutura original em uma
estrutura sem graus de hiperestaticidade externa. Uma explicação detalhada sobre o
assunto será dada no item 4 deste documento.
Já a segunda metodologia, chamada de Procedimento B, consiste em realizar a
determinação dos momentos hiperestáticos a partir da subtração entre os momentos totais
e os momentos isostáticos de protensão, conforme expresso na Equação (2.1). O momento
total de protensão é o esforço encontrado no modelo estrutural original hiperestático
quando aplicado o carregamento de protensão. Já o momento isostático é o esforço obtido
com a aplicação das forças dos cabos na estrutura isostática externamente. Como os dois
modelos são distintos, a subtração dos esforços não pode ser feita por uma combinação
de carregamentos triviais no programa de análise. Para realizar a subtração de esforços
entre modelos diferentes, foi utilizada a ferramenta Staged Construction, disponibilizada
pelo programa de análise utilizado.
Para isso, foram criados dois casos de carga com a análise do tipo Staged
Construction: no primeiro caso, o carregamento de protensão foi aplicado no modelo
hiperestático; e no segundo caso, o mesmo carregamento foi aplicado em um modelo
18
isostático externamente. Após a análise, são obtidos dois casos de carga em modelos
distintos que podem ser subtraídos por combinação simples.
Cabe lembrar que a designação de esforços isostáticos para as solicitações
encontradas na estrutura externamente isostática e internamente hiperestática, utilizada
no caso da laje, não é estritamente adequada, já que para a obtenção desses esforços é
necessário efetuar um processamento numérico sofisticado com auxílio de um programa
de análise. Na verdade, poder-se-ia designar os esforços, assim obtidos, de uma forma
especial, tal como, “esforços isostáticos”, para lembrar que estas solicitações não podem
ser calculadas pelas regras usuais de estruturas isostáticas, como o simples produto da
força pela excentricidade.
Em resumo, para referências neste trabalho, definem-se três métodos de
determinação dos esforços de protensão (Quadro 2.1) e dois métodos de separação das
parcelas que compõem os esforços totais de protensão (Quadro 2.2).
Quadro 2.1 - Métodos de determinação dos esforços de protensão.
Métodos para determinação dos
esforços de protensão Forma de atuação
Método 1 Modelagem física dos cabos
Método 2 Aplicação de cargas equivalentes
Método 3 Aplicação de deformações e curvaturas
Quadro 2.2 - Métodos de separação entre os momentos isostáticos e os momentos hiperestáticos
de protensão.
Métodos de separação dos esforços
totais de protensão Forma de atuação
Procedimento A Aplicar as reações hiperestáticas no
modelo isostático
Procedimento B Subtrair dos momentos totais de protensão,
os momentos isostáticos de protensão
É importante dizer que existem programas comerciais, como o ADAPT-Floor, que
já fornecem os valores dos esforços hiperestáticos automaticamente (AALAMI &,
BOMMER, 1999). No entanto, é importante que o engenheiro tome conhecimento dos
conceitos apresentados para operar o programa com acuidade ou para realizar a separação
dos esforços caso o software disponível não realize a separação.
19
3 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA
Antes de realizar a determinação dos esforços hiperestáticos na laje por meio da
aplicação de três métodos distintos, foi feita análise análoga aplicada a uma viga. O estudo
inicial de um elemento linear teve como objetivo esclarecer os conceitos necessários para
o entendimento do problema principal do trabalho, que são os esforços hiperestáticos na
laje.
Não são consideradas, neste trabalho, as perdas de tensão imediatas e diferidas
nos cabos, de modo a não tornar o estudo mais complexo.
3.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA
A estrutura estudada neste capítulo consiste em uma viga contínua de três vãos,
cujo comprimento total é de 212 m. A viga em seção celular é protendida por meio de 20
cabos de aço CP190-RB, com 12 cordoalhas de 15,2 mm cada, que seguem uma trajetória
poligonal em elevação. A protensão é feita após a concretagem e a força correspondente
a cada cordoalha no tempo zero é de 180 kN, o que gera uma força total de 43.200 kN. A
geometria, as dimensões e os eixos de referência da estrutura são apresentados nas Figuras
3.1 e 3.2.
Nota-se, na Figura 3.2, que o centroide da seção está distante do bordo inferior de
3,05m, e que os cabos apresentam as excentricidades de 1,65m nos apoios centrais e de
2,95m no centro dos vãos.
Figura 3.1 -Seção transversal da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).
20
Figura 3.2 - Elevação da viga celular com eixos locais de referência (dimensões em cm).
21
As propriedades geométricas da seção transversal, bem como as propriedades dos
materiais utilizados no modelo estrutural são apresentadas na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Propriedades geométricas e dos materiais da viga.
Propriedades geométricas da seção
Área [m²] 8,28
Área de cisalhamento (Direção 3) [m²] 5,15
Área de cisalhamento (Direção 2) [m²] 3,49
Centroide [m] 3,05
Constante de torção [m⁴] 44,9
Inércia (Direção 3) [m⁴] 28,6
Inércia (Direção 2) [m⁴] 88,5
Propriedades dos materiais
Aço CP 190-RB
Coeficiente de expansão térmica [1/K] 1,000E-05
Módulo de Elasticidade [MPa] 200000
Resistência na ruptura [MPa] 1900
Concreto fck 35MPa
Coeficiente de Poisson 0,2
Coeficiente de expansão térmica [1/K] 1,000E-05
Módulo de Elasticidade [MPa] 29000
Módulo de Cisalhamento [MPa] 12083
3.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE
A viga descrita foi modelada com elementos de pórtico espacial. A estrutura foi
dividida na longitudinal em 106 barras de 2 m, totalizando o comprimento de 212 m. A
numeração de cada elemento de barra até o eixo de simetria da viga, que foi feita da
esquerda para a direita, é apresentada na Figura 3.3.
Figura 3.3 – Numeração das barras até o eixo de simetria da viga.
O eixo local 1, no programa, segue a direção longitudinal da viga e aponta no
sentido da esquerda para a direita, acompanhando a direção do eixo global X. Já o eixo 2
está contido no plano da seção transversal com seu sentido definido de baixo para cima.
O eixo 3 pode ser obtido por meio da regra da mão direita. A Figura 3.4 ilustra os eixos
globais e locais de um elemento de barra.
22
Figura 3.4 – Eixos globais e locais da viga.
Cabe ressaltar que o modelo descrito consiste em um modelo geral que foi alterado
de acordo com as especificidades de cada método a ser aplicado.
3.3 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1
Nesta situação, a armadura de protensão foi inserida no modelo por meio de
frames. Os cabos, que foram modelados com suas respectivas excentricidades em relação
ao centroide da viga, apresentam-se em vermelho (Figura 3.5).
Figura 3.5 – Modelo inicial da viga hiperestática - Método 1 – Cabos modelados fisicamente
como frames.
O carregamento de protensão foi introduzido nos cabos a partir de uma
deformação axial equivalente à tensão aplicada, calculada conforme a Equação (2.5).
Vale ressaltar que 180 kN é a força aplicada no tempo zero em cada cordoalha de 15,2
mm, que possui 1,4 cm² de área transversal. Desse modo, tem-se que:
𝜀 = −180,0
200.000.000 × 0,0001400= −0,00643 𝑚/𝑚
Devido ao efeito de encurtamento elástico do concreto reproduzido no programa
quando é aplicada a deformação calculada, ocorre uma perda na força dos cabos. Como
os métodos 2 e 3 não reproduzem esse efeito, foi necessário ajustar a deformação para o
valor de -0,00687 m/m, a fim de que cada cordoalha fique com 180 kN. Ou seja, o valor
23
da deformação foi aumentado de forma que as perdas não fossem contabilizadas. O ajuste
foi feito por meio de tentativas.
Após proceder com a análise estrutural do modelo hiperestático com a aplicação
da deformação, são encontrados os momentos totais de protensão na viga de concreto e
as reações de apoio hiperestáticas (Figura 3.6). Destaca-se que o valor apresentado no
diagrama de momentos corresponde ao valor do esforço no eixo de simetria da viga.
Figura 3.6 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de apoio
na viga hiperestática (em kN) – Método 1.
A parcela isostática do esforço de protensão (Figura 3.7) é determinada ao
transformar a estrutura original em uma viga isostática externamente, o que pode ser
realizado retirando-se dois vínculos da estrutura. Neste caso, os apoios centrais foram
suprimidos. As reações de apoio encontradas são nulas, já que a protensão é um
carregamento autoequilibrado.
Figura 3.7 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m) e reações de
apoio na viga isostática (em kN) - Método 1
24
Com os dois diagramas de momentos fletores apresentados, basta realizar a
subtração entre eles, conforme o Procedimento B, para determinar o momento
hiperestático (Figura 3.8). No programa, esse procedimento foi realizado com o auxílio
da ferramenta Staged Construction, uma vez que a subtração entre o resultado de dois
modelos distintos não é obtida por uma combinação de carregamentos usuais.
Figura 3.8 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método 1
– Procedimento B.
Também é possível encontrar o momento hiperestático por meio de um outro
artifício que foi denominado de Procedimento A. Este consiste na aplicação das reações
hiperestáticas em um modelo isostático (ver Figura 3.9). O diagrama apresentado na
Figura 3.10 é o momento hiperestático ou secundário, uma vez que esse consiste no
esforço provocado pelas reações dos vínculos da estrutura.
Figura 3.9 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas (em
kN) - Método 1 - Procedimento A.
Figura 3.10 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método
1 – Procedimento A.
A pequena diferença entre os resultados dos procedimentos A e B é atribuída ao
fato de que somente no Procedimento B o efeito físico dos cabos é considerado
diretamente, já que no Procedimento A, os esforços hiperestáticos são calculados com as
reações de apoio. Isso acontece porque, mesmo com o ajuste realizado na deformação
25
para simular a força de 180kN, não é possível manter a força de protensão constante nas
diversas seções do cabo de protensão.
Os valores dos momentos hiperestáticos nas barras do modelo até o eixo de
simetria da viga, obtidos pelos dois procedimentos, podem ser encontrados no Apêndice
A.
Os esforços hiperestáticos na viga poderiam ser obtidos de maneira simples por
meio da subtração, através de planilha, entre os valores dos esforços totais e dos esforços
isostáticos de protensão. Entretanto, a determinação foi feita diretamente pelo programa
de análise, já que em estruturas mais complexas como a laje, o cálculo dos esforços
hiperestáticos não pode ser feito com uma subtração trivial entre valores.
3.4 APLICAÇÃO DO MÉTODO 2
Este método consiste em substituir o efeito da protensão por cargas equivalentes.
Como os cabos da viga seguem trajetória poligonal em elevação, o carregamento será
aplicado nos pontos de desvio e de ancoragem. As forças introduzidas no modelo, que
são retratadas na Figura 3.11, foram calculadas considerando a decomposição da força de
43.200 kN de acordo com a angulação das cordoalhas apresentada na Figura 3.2.
Figura 3.11 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 2 – Cabos substituídos por
carregamento equivalente (em kN).
Assim como ocorre no método 1, após o processo de análise são encontrados os
momentos totais de protensão na estrutura estaticamente indeterminada (ver Figura 3.12).
Portanto, também é necessário recorrer a um procedimento a fim de subtrair do momento
total de protensão, a parcela isostática do esforço, apresentada na Figura 3.13, que decorre
da ação do carregamento externo equivalente na estrutura isostática.
Ao realizar a subtração entre os diagramas da Figura 3.12 e da Figura 3.13, por
meio do Procedimento B, é determinado o momento hiperestático que pode ser
visualizado na Figura 3.14. Esse também pode ser calculado utilizando o artifício da viga
externamente isostática, conforme exposto na Figura 3.15 e na Figura 3.16.
26
No caso das cargas equivalentes, a correspondência entre o momento hiperestático
calculado a partir da subtração dos diagramas e aquele determinado pelo artifício da viga
isostática é exata. Isso acontece porque o método não leva em consideração a variação da
força existente nos cabos, como ocorre no método 1.
. Os valores dos momentos fletores hiperestáticos calculados pelo método 2, em
cada barra componente da viga até o eixo de simetria, são apresentados no Apêndice A.
Figura 3.12 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m) e reações de apoio
na viga hiperestática (em kN) - Método 2.
Figura 3.13 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kNm) e reações de
apoio na viga isostática (em kN) - Método 2.
Figura 3.14 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método 2
– Procedimento B.
27
Figura 3.15 - Modelo da viga isostática engastada com aplicação das reações hiperestáticas (em
kN) - Método 2 – Procedimento A.
Figura 3.16 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) - Método 2
– Procedimento A.
3.5 APLICAÇÃO DO MÉTODO 3
O terceiro método consiste em simular o efeito da protensão por meio da aplicação
de deformações e curvaturas na estrutura hiperestática, que seriam produzidas pelos
esforços normais e momentos fletores isostáticos, caso não existisse restrição à livre
movimentação.
No caso da viga estudada, não há impedimento à deformação axial e, por essa
razão, somente foram calculadas as curvaturas, de acordo com a Equação (2.13). Essas
curvaturas são determinadas com os momentos fletores isostáticos, calculados a partir do
produto entre a componente perpendicular da força de protensão em relação à seção e a
excentricidade média dos cabos em relação ao centroide, determinadas em cada um dos
elementos de barra que compõem o modelo da viga celular. O Apêndice B apresenta a
sequência de cálculo das curvaturas que consistem no carregamento de entrada do modelo
estrutural estaticamente indeterminado (ver Figura 3.17).
Figura 3.17 - Modelo inicial da viga hiperestática - Método 3 – Cabos substituídos pela
aplicação de curvaturas.
28
A vantagem principal desta metodologia é a determinação direta dos esforços
hiperestáticos no modelo original, de tal forma que não é necessário fazer uso dos
Procedimentos A e B.
O diagrama de momentos hiperestáticos, bem como as reações de apoio obtidas
mediante o emprego do método 3 são apresentados na Figura 3.18. Os valores desses
esforços, em cada uma das barras até o eixo de simetria da viga, são apresentados no
Apêndice A.
Figura 3.18 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos de protensão (em kN.m) e forças
hiperestáticas (em kN) - Método 3.
3.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS
A fim de realizar a comparação entre os resultados dos três métodos apresentados,
é analisado o valor do esforço obtido no eixo de simetria da viga. A Tabela 3.2 faz a
compilação das solicitações encontradas por cada procedimento e a Tabela 3.3 indica a
diferença relativa entre elas. Essa diferença relativa é calculada a partir da razão entre a
diferença absoluta dos resultados de dois métodos e o valor de um dos métodos. Por
exemplo, a diferença relativa entre o método 1A e o método 1B é calculada da seguinte
forma: (74.702-73.064)/73.064 = 2,24%.
Além disso, é feita a sobreposição dos diagramas de momentos fletores
hiperestáticos encontrados em cada método em função do comprimento da viga, como
mostrado na Figura 3.19.
29
Tabela 3.2 – Momentos hiperestáticos na viga (em kN.m) obtidos em cada método.
Método 1 Método 1 Método 2 Método 2 Método 3
Procedimento
A
Procedimento
B
Procedimento
A
Procedimento
B -
74702 73064 74975 74974 75300
Tabela 3.3 – Diferença relativa entre os resultados dos esforços hiperestáticos na viga.
Diferença relativa entre os métodos (%)
Métodos 1A e 1B 2,24%
Métodos 1A e 2A -0,36%
Métodos 1A e 2B -0,36%
Métodos 1A e 3 -0,79%
Métodos 1B e 2A -2,55%
Métodos 1B e 2B -2,55%
Métodos 1B e 3 -2,97%
Métodos 2A e 2B 0,00%
Métodos 2A e 3 -0,43%
Métodos 2B e 3 -0,43%
Figura 3.19 – Sobreposição dos diagramas de momentos hiperestáticos de protensão obtidos por
diferentes metodologias.
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
0 50 100 150 200
Mom
ento
s h
iper
está
tico
s (k
N.m
)
Comprimento (m)
Método 1 - Procedimento A Método 1 - Procedimento B
Método 2 - Procedimento A Método 2 - Procedimento B
Método 3
30
Os resultados mostram uma maior discrepância entre o valor resultante da
aplicação do método 1B e os demais, o que é coerente, visto que essa é a única
metodologia a calcular o esforço hiperestático considerando o efeito físico dos cabos na
estrutura. Isso se deve ao fato de que, mesmo com o ajuste realizado na deformação das
cordoalhas para desconsiderar o efeito de encurtamento elástico do concreto, ou seja, para
desconsiderar as perdas de tensão, nem todas as seções da cordoalha apresentaram uma
força constante de 180 kN.
No Método 1, quando é aplicado o Procedimento A, os esforços hiperestáticos são
calculados considerando apenas as reações hiperestáticas, sem o efeito direto da variação
da força nas cordoalhas. Entretanto, ao aplicar o Procedimento B, é considerada
diretamente a variação na força de protensão na determinação do momento hiperestático.
É possível analisar que, no caso do método das cargas equivalentes (Método 2), o
uso da ferramenta Staged Construction e do artifício da viga engastada no eixo de simetria
levam aos mesmos resultados, o que não ocorre no método 1. Isso porque, no Método 2,
nenhum dos dois procedimentos considera o efeito físico dos cabos.
No aspecto geral, todos os métodos empregados levam a resultados aceitáveis, já
que a diferença relativa entre os dados foi pequena, não ultrapassando 3%.
31
4 DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA LAJE
Após a realização do estudo da viga, necessário para o esclarecimento dos
conceitos relativos aos esforços de protensão, pode-se prosseguir com o estudo principal
deste trabalho. Este consiste na determinação das solicitações hiperestáticas em uma laje
cogumelo com cordoalhas aderentes por meio do emprego de três métodos. A geometria
e as características da estrutura são apresentadas na primeira seção deste capítulo.
O dimensionamento de lajes com capitéis envolve um problema sofisticado. Isso
porque a diferença de altura entre a laje e os capitéis faz com que os centroides desses
elementos fiquem em níveis distintos, o que exige que o dimensionamento considere o
efeito da força normal. Como exemplo, pode-se citar que, para a ação de peso próprio, ao
analisar uma linha de apoio, as forças no capitel são de compressão e as forças na laje
podem ser de tração. Sendo assim, para o dimensionamento formal da laje cogumelo, é
necessário determinar os momentos hiperestáticos de protensão, assim como as forças
normais hiperestáticas.
No item 4.3, é exposto o método aproximado para obtenção dos esforços
hiperestáticos utilizado no pré-dimensionamento da laje. É importante salientar que a
estrutura necessitou ser projetada antes do presente trabalho, por isso foi feito o uso desse
procedimento.
No mais, é preciso evidenciar que a laje a ser estudada é hiperestática externa e
internamente, e que o modelo da estrutura engastada no centro a ser utilizada nos cálculos
é isostática externamente, mas continua com hiperestaticidades internas. Sendo assim, é
necessário verificar se os métodos e procedimentos aplicados à viga são válidos para este
caso. Para tal, faz-se o estudo de um modelo inicial com a introdução física dos cabos na
estrutura de concreto, conforme o Método 1. Neste modelo, após a análise, tem-se como
resultado os esforços totais de protensão e as reações nos pilares. É preciso mostrar que,
no caso de uma estrutura hiperestática internamente, as reações dos pilares aplicadas no
modelo da laje externamente isostática fornecem os esforços hiperestáticos de protensão.
Ou seja, é necessário verificar a validade do Procedimento A.
4.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA
A estrutura analisada neste capítulo consiste em uma laje cogumelo protendida
com quatro vãos nas duas direções cujos comprimentos são de 6,5 m e 8,0 m para os vãos
32
externos e internos, respectivamente. O pavimento possui 20 cm de espessura e, na região
de apoio dos pilares internos, foram inseridos capitéis de 40 cm de altura. Nas bordas do
pavimento, foram dispostas vigas de 20 cm × 60 cm com o objetivo de minimizar
problemas decorrentes da punção em pilares de borda e de canto, além de reduzir as
flechas nas extremidades das lajes. Todos os 25 apoios da laje têm seção transversal
quadrada com dimensões de 30 cm × 30 cm. O pé-direito da estrutura é de 4 m. A Figura
4.1 e a Figura 4.2 ilustram as fôrmas do pavimento.
Nesta estrutura foram utilizados cabos de aço CP190-RB com cordoalhas de 15,2
mm que seguem trajetória em elevação formada por várias parábolas individualizadas
com tangentes iguais nos pontos de inflexão. Aplica-se uma carga de 180 kN em cada
cordoalha no tempo t=0. A protensão é efetuada após a concretagem e os dutos de injeção
são preenchidos por nata.
O traçado final dos cabos de protensão em planta e a quantidade de cordoalhas
contidas em cada cabo são apresentados na Figura 4.3. A disposição dos cabos, agrupados
em uma direção e distribuídos na outra, foi escolhida por conta de sua vantagem
construtiva, para que não ocorra entrelaçamento dos cabos nas duas direções. O
espaçamento entre grupos de cordoalhas adotado neste estudo não atende,
intencionalmente, aos limites máximos especificados nos itens 8.7.2.3 da norma
americana ACI 318 (2019) e 20.3.2.1 da norma NBR 6118 (2014). Foram utilizados
grupos de cordoalhas com maior número onde elas são mais necessárias, sem aumentar o
número de cordoalhas além do estritamente necessário. Entretanto, em projeto reais, o
limite de espaçamento máximo deverá ser considerado.
Não serão apresentadas as armaduras passivas de CA-50 por não serem assunto
deste trabalho.
O Apêndice C apresenta as coordenadas em elevação dos cabos na direção X e na
direção Y, bem como o seu aspecto parabólico. Neste caso, foi utilizado o sistema global
de eixos como referência. É importante dizer que o sistema de eixos globais se encontra
no ponto de simetria da estrutura e o eixo Z é zero no centroide da laje de 20 cm, como
pode ser visualizado na Figura 4.2. A geometria das armaduras ativas segue aquela
apresentada nos itens 2.3.2.1 e 2.3.2.2 para os trechos dos cabos nas extremidades e nos
vãos internos, respectivamente.
33
Figura 4.1 - Planta baixa da laje protendida com eixos globais e locais de referência (dimensões
em cm).
Figura 4.2 - Corte A-A’ com eixos globais e locais de referência (dimensões em cm).
34
Figura 4.3 – Disposição dos cabos em planta e número de cordoalhas de cada cabo (dimensões
em cm).
Os materiais empregados na estrutura são apresentados na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Propriedades dos materiais empregados na laje.
Propriedades dos materiais
Aço CP 190-RB
Coeficiente de expansão térmica [1/K] 1,000E-05
Módulo de Elasticidade [MPa] 200000
Resistência na ruptura [MPa] 1900
Concreto fck 35MPa
Coeficiente de Poisson 0,2
Coeficiente de expansão térmica [1/K] 1,000E-05
Módulo de Elasticidade [MPa] 29000
Módulo de Cisalhamento [MPa] 12083
35
4.2 MODELO GERAL DE ANÁLISE
A laje cogumelo caracterizada no item 4.1 foi modelada no programa de análise
com elementos de casca quadrados cujas dimensões são de 0,50 m × 0,50 m. Os pilares
e as vigas foram inseridos como elementos de pórtico espacial. Os centroides da laje de
20 cm, do capitel de 40 cm e da viga com altura de 60 cm foram ligados por elementos
rígidos e sem peso, já que estão em níveis distintos. Os pilares, em sua meia altura,
possuem nós inferiores com deslocamentos impedidos nas três direções e rotações
liberadas. Já os nós superiores, também na meia altura dos pilares, apresentam as mesmas
restrições que os inferiores, exceto pelo deslocamento vertical que foi liberado. As
restrições adotadas nos nós dos pilares têm como objetivo reproduzir o comportamento
de um pavimento de edifício, em que os momentos no meio dos pilares são nulos e cujas
cargas do pavimento descem pelos pilares. O modelo é apresentado nas Figuras 4.4, 4.6
e 4.7.
No caso dos elementos de casca que representam a laje, o eixo local 1 segue a
direção e o sentido do eixo global X. Já o eixo 2 acompanha o eixo Y e o eixo 3, que
segue o eixo Z, pode ser obtido por meio da regra da mão direita. A Figura 4.5 ilustra os
eixos globais e locais do modelo. Vale esclarecer que no programa utilizado, o eixo de
cor vermelha representa o eixo 1, o de cor verde o eixo 2 e o eixo azul caracteriza a direção
3.
Figura 4.4 – Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Vista 3D).
36
Figura 4.5 – Eixos globais e locais do programa no trecho central da laje com a representação do
capitel.
Figura 4.6 - Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Plano XY).
37
Figura 4.7 – Modelo geral de análise da laje com eixos globais de referência (Plano XZ).
4.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA LAJE (PROCESSO APROXIMADO)
Antes do estudo e da aplicação dos três métodos explicitados neste trabalho para
a obtenção do valor mais acurado do esforço hiperestático de protensão nas diversas
seções de dimensionamento, a laje protendida precisou ser projetada para a definição de
sua geometria e das armaduras ativas. Desse modo, utilizou-se um processo aproximado
para calcular os esforços hiperestáticos que se baseou no item 4.3.2 do trabalho de
NOBRE (2017).
A aproximação foi feita com o uso da ferramenta Section Cut no modelo da laje
hiperestática com cabos. Essa ferramenta realiza a integração dos esforços presentes em
uma seção definida da estrutura e fornece a resultante em relação a um ponto estabelecido.
O section cut, teoricamente, permite que as solicitações hiperestáticas sejam calculadas
quando a seção de análise (seção cortada) intercepta os cabos e o concreto. Nesse caso,
os esforços dos cabos anulariam a parcela isostática no concreto, o que faria com que os
esforços isostáticos não fossem contabilizados na integração, restando apenas os esforços
hiperestáticos. Esse procedimento é exato para o caso de vigas, uma vez que toda a seção
transversal da estrutura é cortada no dimensionamento. No entanto, o método não é exato
para as lajes cortadas parcialmente, já que as forças de protensão se distribuem e nem
todas as seções interceptam os cabos de protensão.
O pré-dimensionamento foi feito a partir das solicitações obtidas em duas seções
de análise em cada direção, sendo a primeira localizada no capitel central e a segunda no
maior vão da laje (ver Figura 4.8). Não foram consideradas seções de dimensionamento
nas faixas de contribuição usuais de lajes, que são aquelas definidas à meia distância entre
linhas de pilares adjacentes. Isso porque a laje tem 20 cm e o capitel tem 40 cm, o que faz
com que os centroides desses elementos estejam em níveis distintos.
Portanto, o dimensionamento foi feito à flexão composta considerando as
solicitações obtidas com o Section Cut no centroide de cada elemento (laje e capitel) e a
seção resistente com espessura constante em cada seção de análise.
38
Os resultados obtidos nas seções S1x e S2x devem fornecer uma boa aproximação
para os valores reais dos esforços hiperestáticos, uma vez que os cabos na direção Y são
distribuídos. No entanto, os cortes S1y e S2y, que interceptam a laje na direção Y,
consistem em um processo muito simplificado para determinação dos esforços, já que a
seção S2y corta apenas a laje de concreto.
Sendo assim, quando não ocorre a concentração dos cabos transversalmente, a
diferença não deve ser elevada, o que acontece na direção Y do modelo (seções Sx).
Entretanto, na direção X, há concentração de cabos na região do capitel, o que induz a
valores pouco acurados dos esforços hiperestáticos obtidos com o section cut (seções Sy).
Figura 4.8 – Seções de dimensionamento em que foi utilizado o Section Cut.
Dessa forma, com os valores aproximados das solicitações normais e dos
momentos fletores oriundos da protensão em cada seção de análise, foi feito o
dimensionamento da laje à flexão composta para pré-determinar as armaduras ativas.
4.4 APLICAÇÃO DO MÉTODO 1
Com a estrutura já definida, pode-se aplicar a metodologia 1. Neste caso, os cabos
protendidos foram inseridos no pavimento de análise por meio de tendons modelados
como elementos. A força de protensão foi aplicada por meio de deformações equivalentes
à tensão imposta, calculadas conforme a Equação (2.5):
39
𝜀 = −180,0
200.000.000 × 0,0001400= −0,00643 𝑚/𝑚
Os cabos da laje, assim como os da viga, também sofrem perda de tensão com o
efeito de encurtamento elástico do concreto. Como o método das cargas equivalentes e o
método das deformações e curvaturas não consideram esse efeito, de modo a realizar a
comparação, a deformação aplicada foi elevada para -0,00660 m/m de modo que cada
cordoalha tenha a força de 180 kN.
A configuração original da laje hiperestática foi chamada de MODINICIAL. A esse
modelo foram inseridos os cabos de protensão (ver Figura 4.9 e Figura 4.10). A definição
dos cabos no programa de análise, na direção X, é apresentada na Figura 4.11, a título de
exemplo.
Da mesma forma que ocorre com a viga, a inserção das cordoalhas carregadas na
laje estaticamente indeterminada fornece os momentos totais de protensão no concreto,
nas direções 1 e 2. Estes podem ser visualizados nos diagramas das Figuras 4.12 e 4.13.
Figura 4.9 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 1 – Cabos modelados
como tendons - Vista 3D.
40
Figura 4.10 – Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL - Método 1 – Cabos modelados
como tendons - Plano XY.
Figura 4.11 – Exemplo de definição do cabo de protensão da laje na direção X.
41
Figura 4.12 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 1.
Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão em (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22)- MODINICIAL - Método 1.
42
De modo a determinar os momentos hiperestáticos, foram empregados
procedimentos análogos ao da viga. Primeiramente, foi adotado o Procedimento A, em
que as reações de apoio obtidas no MODINICIAL (Figura 4.14) são aplicadas em uma
estrutura isostática externamente com engastamento central em seu ponto de dupla
simetria geométrica. Para tal fim, foi criado um modelo cujos deslocamentos e rotações
dos apoios dos pilares foram liberados e o engastamento da laje foi feito no capitel central
(ver Figura 4.15). Este modelo isostático externamente, que foi carregado com as reações
de apoio dos pilares, conforme apresentado na Figura 4.16, foi denominado de MODISO
REAÇÕES.
Os momentos fletores nas direções 1 e 2, calculados no MODISO REAÇÕES, devidos
às reações de apoio de protensão, podem ser verificados na Figura 4.17 e na Figura 4.18.
Esses momentos já são os esforços hiperestáticos no concreto, entretanto, é necessário
evidenciar este fato numericamente. À vista disso, os resultados dos esforços obtidos no
MODISO REAÇÕES (Figura 4.17 e Figura 4.18), que fornecem o momento hiperestático,
foram somados com aqueles encontrados no MODISO CABOS (Figura 4.19 e Figura 4.20),
sendo este último o modelo isostático externamente que foi carregado pelos cabos de
protensão. Portanto, o MODISO CABOS fornece os “esforços isostáticos” na laje, levando
em conta a hiperestaticidade interna da estrutura. É importante esclarecer que o MODISO
REAÇÕES e o MODISO CABOS são o mesmo modelo com casos de carga distintos.
Figura 4.14 – Reações de apoio nos pilares da laje (em kN) devidas ao carregamento de
protensão - MODINICIAL - Método 1.
43
Figura 4.15 – Modelo da laje isostática externamente com engastamento central - MODISO –
Método 1 – Vista 3D.
Figura 4.16 – Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de apoio
dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 1 – Vista 3D.
44
Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devido às reações
de apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 1 – Procedimento A.
Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos em (em kN.m/m) devidos às
reações de apoio dos pilares na direção 2 (M22) -MODISO REAÇÕES - Método 1 – Procedimento A.
45
Figura 4.19 – Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11)- MODISO CABOS - Método 1.
Figura 4.20 - Diagrama de momentos fletores isostáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22)- MODISO CABOS - Método 1.
46
A soma entre os diagramas de esforços dos modelos MODISO CABOS e MODISO
REAÇÕES forneceu o momento total de protensão, conforme pode ser verificado pela
comparação entre as Figuras 4.12 e 4.13 e as Figuras 4.21 e 4.22. As variações entre os
valores apresentados não foram significativas.
Dessa forma, evidencia-se que o esforço determinado no MODISO REAÇÕES é o
momento fletor hiperestático de protensão, utilizando o Procedimento A.
Realizando-se a subtração entre o momento encontrado no MODINICIAL e aquele
obtido no MODISO CABOS por meio do Procedimento B, em que se utiliza a ferramenta
Staged Construction, também é possível determinar o momento fletor hiperestático,
conforme apresentado na Figura 4.23 e na Figura 4.24.
Assim, tanto o Procedimento A quanto o Procedimento B podem ser aplicados ao
caso de uma laje protendida com protensão aderente utilizando o Método 1.
Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1.
47
Figura 4.22 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) – (MODISO CABOS + MODISO REAÇÕES) - Método 1.
Figura 4.23 - Momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na direção 1 (M11) –
(MODINICIAL -MODISO CABOS)- Método 1 – Procedimento B.
48
Figura 4.24 – Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CABOS) - Método 1 – Procedimento B.
4.5 APLICAÇÃO DO MÉTODO 2
No Método 2, a protensão foi aplicada por meio de cargas equivalentes, de acordo
com o que foi apresentado no item 2.3.2, válido para cabos com traçado parabólico em
elevação. As fórmulas que constam no trabalho de NAAMAN (1982) foram deduzidas
para elementos lineares, como as vigas. Desse modo, foi necessário transformar a carga
distribuída linear em uma carga por área, a fim de aplicar o carregamento nos elementos
finitos da laje. Além das forças distribuídas por m² que atuam perpendicularmente ao
plano do pavimento, também é necessário calcular o carregamento nos bordos da laje
provocado pelas forças aplicadas pelas ancoragens dos cabos.
Para ilustrar como as cargas verticais equivalentes foram determinadas, é
apresentado adiante um exemplo de cálculo do carregamento a ser empregado no trecho
central da laje devido a um cabo na direção X com quatro cordoalhas, sendo cada uma
destas carregada com uma força de 180 kN, o que gera uma força total de 720 kN.
49
𝑞𝐵1 =−4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒
𝛼2𝐿2=
−4 × 4 × 180 ∙ (1 + 1,571) ∙ 0,0350
0,1000 ∙ 8,002
𝑞𝐵1 = −40,5 𝑘𝑁/𝑚
𝑞𝐵2 =4𝑃 ∙ (1 + 𝛽2) ∙ 𝑒
= (12 − 𝛼2) 𝐿2
=4 × 4 × 180 ∙ (1 + 1,571) ∙ 0,0350
(12 − 0,1000) ∙ 8,002
𝑞𝐵2 = 10,13𝑘𝑁
𝑚
sendo:
𝑃 − força total no cabo de protensão;
𝛽2 − razão entre as excentricidades do cabo no meio e na extremidade do vão, dada por:
𝛽2 =0,055
0,035= 1,571
𝑒 − excentricidade dos apoios do vão central (0,0350m);
𝐿 − comprimento do vão central (8,00m).
Deve-se aplicar esse carregamento em um elemento de área com 0,50 m × 0,50 m de
dimensões. Sendo assim, tem-se que:
𝑞𝐵1
𝑙= −
40,5
0,5= −81,0 𝑘𝑁/𝑚²
𝑞𝐵2
𝑙=
10,13
0,5= 20,3 𝑘𝑁/𝑚²
onde l é a dimensão do elemento de área perpendicular ao cabo.
A carga 𝑞𝐵1
𝑙 deve ser aplicada no trecho de 𝛼2𝐿 = 0,8𝑚. Já a carga
𝑞𝐵2
𝑙 precisa ser
introduzida no trecho central do vão interno cujo comprimento é de 2 ∙ (1/2 − 𝛼2)𝐿 = 6,4 𝑚
(Ver Figura 2.6). No entanto, como a laje foi modelada com elementos de área de 0,50 m × 0,5
m de comprimento (valor que não é múltiplo de 0,8 m e 6,4 m), foi necessário ajustar as cargas
para que pudessem ser aplicadas no modelo. Dessa maneira, a carga que deveria ser empregada
em um trecho de 0,8 m foi introduzida em um comprimento de 1,0 m e a carga no trecho de
50
6,4 m foi aplicada ao longo de um comprimento de 6,0 m. Sendo assim, o carregamento
corrigido para os novos comprimentos é apresentado a seguir:
𝑞𝐵1′
𝑙= −81,0 ×
0,8
1,0= −64,8𝑘𝑁/𝑚²
𝑞𝐵2′
𝑙= 20,3 ×
6,4
6,0 = 21,6 𝑘𝑁/𝑚²
sendo:
𝑞𝐵1′
𝑙 𝑒
𝑞𝐵2′
𝑙− cargas equivalentes corrigidas distribuídas em um elemento de área.
Esse procedimento foi reproduzido para todos os vãos centrais e extremos, nas duas
direções da laje. Os cálculos detalhados podem ser verificados no Apêndice D.
Em seguida, as cargas equivalentes calculadas foram introduzidas no modelo
computacional da laje hiperestática (MODINICIAL), conforme pode ser visualizado pela escala
de cores que apresenta a ordem de grandeza dos valores do carregamento perpendicular à laje
(Figura 4.25 e Figura 4.26).
Além do carregamento distribuído perpendicular aos elementos de área, também foram
aplicados os carregamentos concentrados nas ancoragens que consideram a força e a inclinação
dos cabos na região (Figura 4.27 a Figura 4.29). Apesar do cabo de protensão ter que sair
horizontalmente nas regiões de ancoragem da laje, foi considerado, para simplificar a análise,
que os cabos possuem uma ligeira inclinação nessas regiões. A consideração do cabo sair na
horizontal iria dificultar o estudo teórico efetuado e, por isso, foi considerada uma pequena
inclinação dos cabos, da ordem de 3%.
Após a introdução das cargas equivalentes, pode-se rodar o modelo MODINICIAL para a
determinação dos momentos totais de protensão na laje hiperestática. Os valores dos esforços
tiveram boa precisão quando comparados aos resultados obtidos pelo Método 1, o que pode
ser visualizado ao se realizar a comparação entre as Figuras 4.30 e 4.31 e as Figuras 4.12 e
4.13.
51
Figura 4.25 - Carregamento equivalente por área (em kN/m²) devido aos cabos concentrados na
direção X.
Figura 4.26 – Carregamento equivalente por área (em kN/m²) devido aos cabos distribuídos na
direção Y.
52
Figura 4.27 – Cargas equivalentes concentradas (em kN) devidas aos cabos nas ancoragens – Plano
XY.
Figura 4.28 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas
ancoragens – Plano XZ.
Figura 4.29 - Carregamento equivalente concentrado (em kN) devido aos cabos nas ancoragens
– Plano YZ.
53
Figura 4.30 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - MODINICIAL - Método 2.
Figura 4.31 - Diagrama de momentos fletores totais de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) - MODINICIAL - Método 2.
54
De maneira análoga ao que foi executado no Método 1, os momentos fletores
hiperestáticos foram determinados por meio do Procedimento A, ao aplicar as reações
hiperestáticas de protensão, obtidas no MODINICIAL devidas ao carregamento equivalente,
no modelo isostático MODISO REAÇÕES, conforme apresentado na Figura 4.32. Também
foi utilizado o Procedimento B, ao realizar a subtração entre diagramas de modelos
distintos (MODINICIAL - MODISO CARGAS EQUIVALENTES). No primeiro caso, foram obtidos
os momentos fletores apresentados nas Figuras 4.33 e 4.34. Já o procedimento B resultou
nos momentos das Figuras 4.35 e 4.36.
Figura 4.32 - Modelo da laje isostática externamente com carregamento das reações de apoio
dos pilares - MODISO REAÇÕES – Método 2 – Vista 3D.
55
Figura 4.33 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às reações de
apoio dos pilares na direção 1 (M11) - MODISO REAÇÕES - Método 2 – Procedimento A.
Figura 4.34 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) devido às reações de
apoio dos pilares na direção 2 (M22) - MODISO REAÇÕES - Método 2 – Procedimento A.
56
Figura 4.35 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2 – Procedimento B.
Figura 4.36 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) – (MODINICIAL -MODISO CARGAS EQUIVALENTES) - Método 2 – Procedimento B.
57
4.6 APLICAÇÃO DO MÉTODO 3
O terceiro método permite a determinação direta dos valores dos esforços
hiperestáticos de protensão, sem a necessidade de aplicar os Procedimentos A e B.
Nesta metodologia, os efeitos de compressão e flexão da laje provocados pelos
cabos são substituídos por deformações e curvaturas. Como as cargas das cordoalhas não
estão presentes no modelo, apenas são inseridos seus efeitos, a parcela isostática dos
esforços não é contabilizada nos diagramas da laje de concreto.
Para fazer uso do método 3, foi realizada uma pequena alteração no modelo geral
de análise com relação às vigas de bordo da laje. Nos modelos anteriores, as vigas eram
modeladas como elementos de pórtico espacial. Porém, para aplicar as deformações e
curvaturas no programa, foi necessário transformar a viga em elementos de casca, antes
de efetuar o procedimento de carregamento. Essa mudança foi realizada porque não é
possível carregar um elemento de pórtico espacial, como a viga, com as três deformações
e as três curvaturas.
Primeiramente, foram extraídos do MODISO CABOS, utilizado no método 1 e
apresentado na Figura 4.37, os esforços isostáticos da laje. Com esses valores, foram
calculadas as deformações e curvaturas de cada elemento finito de acordo com as
fórmulas do item 2.3.3.2.
Figura 4.37 - Modelo da laje isostática externamente com engastamento central - MODISO CABOS
– Método 1 – Vista 3D.
58
A título de exemplificação, expõe-se o cálculo das deformações e curvaturas
realizado para um elemento de área “1” com espessura igual a 20 cm e cujos esforços
isostáticos nos quatro vértices do quadrado de 0,50 m×0,50 m são apresentados na Tabela
4.2. Nos cálculos, foi considerada a média entre os valores obtidos nos vértices. Os
valores médios se apresentam em vermelho.
Tabela 4.2 – Solicitações médias no elemento de área “1” devidas à protensão (Obtido do
MODISO CABOS – Método 1)
Solicitações no elemento de área
Área Vértice F11 F22 F12 M11 M22 M12
- - kN/m kN/m kN/m kN.m/m kN.m/m kN.m/m
1 6 -191,64 -11,12 -36,80 -10,60 -2,25 11,46
1 7 -54,67 16,27 -13,97 -3,35 0,68 11,52
1 3 -58,34 -2,07 28,99 -13,04 -1,69 0,29
1 2 -195,30 -29,46 6,15 -20,34 -4,08 0,22
Média -125,0 -6,60 -3,91 -11,83 -1,84 5,87
Com isso, é possível calcular as deformações e curvaturas do elemento de área
“1” a serem aplicadas no modelo hiperestático da laje:
𝜀11 =1
𝐸∙ (𝜎1 − 𝜈𝜎2) = (
1
29.000.000) × (−
125,0
0,2− 0,2 × −
6,60
0,2𝑚)
𝜀11 = −2,13 × 10−5 m/m
𝜀22 =1
𝐸∙ (𝜎2 − 𝜈𝜎1) = (
1
29.000.000) × (−
6,60
0,2− 0,2 × −
125,0
0,2)
𝜀22 = 3,17 × 10−6 m/m
𝛾12 =1
𝐺∙ 𝜏12 = (
1
12.083.333) × (−
3,91
0,2) = −1,62 × 10−6 m/m
𝐾 =𝐸 ∙ ℎ3
12 ∙ (1 − 𝜈2)= (29.000.000 × 0,23)/(12 × (1 − 0,23) = 20.139 𝑚
𝜅11 =1
𝐾∙ (
𝑀11
1 − 𝜈2− 𝑀22 ∙
𝜈
1 − 𝜈2)
𝜅11 =1
20.139× (−
11,83
1 − 0,22+ 1,84 ×
0,2
1 − 0,22) = −5,93 × 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑚
59
𝜅22 =1
𝐾∙ (
𝑀22
1 − 𝜈2− 𝑀11 ∙
𝜈
1 − 𝜈2)
𝜅22 =1
20.139× (−
1,84
1 − 0,22+ 11,83 ×
0,2
1 − 0,22) = −2,75 × 10−5 𝑟𝑎𝑑/𝑚
𝜅12 =2 × 𝑀12
(1 − 𝜈) ∙ 𝐾=
2 × 5,87
(1 − 0,2) × 20.139= 7,29 × 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑚
Cabe lembrar que só foi possível determinar a fórmula de 𝜅12, utilizada no
programa de análise, por meio de estudos apurados e processamentos especiais para
validá-la. Não se sabe ainda se o manual do programa já introduziu esta expressão.
Este procedimento foi repetido para todos os elementos de área do modelo. O
Apêndice E apresenta os resultados obtidos para os primeiros cem elementos. Não foram
inseridos os cálculos para a laje completa em vista do grande número de células contidas
na planilha.
Após o cálculo, os valores das deformações e curvaturas foram aplicados ao
modelo inicial da laje, que é hiperestático (Figura 4.38). Como resultado, foram obtidos
os diagramas dos momentos hiperestáticos de protensão, apresentados na Figura 4.39 e
na Figura 4.40.
Figura 4.38 - Modelo inicial da laje hiperestática - MODINICIAL- Método 3 – Deformações e
curvaturas - Vista 3D.
60
Figura 4.39 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) – MODINICIAL - Método 3.
Figura 4.40 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) – MODINICIAL - Método 3.
61
4.7 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS
Os valores dos momentos hiperestáticos no capitel central da laje, obtidos em cada
método, são apresentados na Tabela 4.3, e a diferença relativa entre os resultados é
apresentada na Tabela 4.4. Pode-se perceber, por meio da Tabela 4.3, que os resultados
dos esforços em ambas as direções apresentaram a mesma ordem de grandeza. Por outro
lado, a diferença relativa, apresentada na Tabela 4.4, resultou em porcentagens bem
maiores que aquelas encontradas no caso da viga.
No entanto, é preciso notar que o resultado da diferença relativa não pode ser
utilizado como parâmetro de comparação entre os métodos no caso da laje, uma vez que
a variação apresentada é amplamente influenciada pela pequena magnitude dos valores
dos esforços hiperestáticos.
Tabela 4.3 – Momentos hiperestáticos na laje (em kN.m/m) obtidos com os diferentes métodos.
-
Método 1 Método 1 Método 2 Método 2 Método
3
Procedimento
A
Procedimento
B
Procedimento
A
Procedimento
B -
M11 7,99 7,60 7,53 8,31 7,90
M22 4,52 4,04 4,07 4,85 4,13
Tabela 4.4 - Diferença relativa entre os resultados dos métodos aplicados à laje.
Diferença relativa entre os métodos (%)
M11 M22
Métodos 1A e 1B 5,13% 11,88%
Métodos 1A e 2A 6,11% 11,06%
Métodos 1A e 2B -3,85% -6,80%
Métodos 1A e 3 1,14% 9,44%
Métodos 1B e 2A 0,93% -0,74%
Métodos 1B e 2B -8,54% -16,70%
Métodos 1B e 3 -3,80% -2,18%
Métodos 2A e 2B -9,39% -16,08%
Métodos 2A e 3 -4,68% -1,45%
Métodos 2B e 3 5,19% 17,43%
Sendo assim, o ideal é que a comparação dos momentos fletores hiperestáticos na
laje de concreto, resultantes da aplicação dos três métodos, seja feita por meio da
62
visualização dos diagramas representados pela escala de cores. Esta reflete a ordem de
grandeza dos esforços em cada elemento de área e apresenta de forma nítida o
comportamento das solicitações.
Pode-se observar que todos os métodos apresentaram diagramas com
comportamentos similares e valores de esforços com a mesma magnitude.
A maior discrepância no aspecto dos diagramas obtidos no método 2 em relação
aos demais pode ser explicada pelas aproximações feitas no cálculo do carregamento de
protensão. Salienta-se que a correção das cargas foi necessária para que essas pudessem
ser aplicadas nos elementos finitos da laje (ver item 4.5).
Os diagramas de momentos fletores hiperestáticos na laje, obtidos pelos diferentes
métodos, são reapresentados a seguir a fim de facilitar a comparação entre os resultados
(ver Figura 4.41 a Figura 4.50).
Figura 4.41 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 1
(M11) - Método 1 – Procedimento A.
63
Figura 4.42 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 1
(M11) - Método 1 – Procedimento B.
Figura 4.43 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 1
(M11) - Método 2 – Procedimento A.
64
Figura 4.44 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 1
(M11) - Método 2 – Procedimento B.
Figura 4.45 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 1 (M11) - Método 3.
65
Figura 4.46 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 2
(M22) - Método 1 – Procedimento A.
Figura 4.47 – Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 2
(M22) - Método 1 – Procedimento B.
66
Figura 4.48 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 2
(M22) - Método 2 – Procedimento A.
Figura 4.49 - Diagrama de momentos fletores hiperestáticos (em kN.m/m) na laje na direção 2
(M22) - Método 2 – Procedimento B.
67
Figura 4.50 - Diagrama de momentos hiperestáticos de protensão (em kN.m/m) na laje na
direção 2 (M22) - Método 3.
4.8 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS (QUANTO À DIFICULDADE DE
APLICAÇÃO)
Os métodos empregados forneceram diferentes dificuldades para a sua aplicação
no programa de análise. Para efeito de comparação, são explicitadas as vantagens e
desvantagens encontradas em cada metodologia para utilização em lajes com geometria
simples, como é a laje estudada neste trabalho.
No método 1, uma das maiores dificuldades foi a definição da geometria
parabólica do cabo de protensão, já que a flecha em cada ponto do cabo precisou ser
estabelecida. No entanto, não foram encontrados problemas para realizar a ligação dos
tendons com a laje de concreto, uma vez que o programa de análise utilizado une esses
elementos automaticamente.
Para aplicar a segunda metodologia, que utiliza o conceito das cargas equivalentes,
foi preciso calcular a carga por metro, referente à cada parábola, por meio das formulações
apresentadas no item 2.3.2. Posteriormente, o carregamento linear foi dividido pela
largura dos elementos de área e foi corrigido, conforme exposto no exemplo do item 4.5.
68
Por fim, as cargas precisaram ser aplicadas “manualmente” no modelo, sem a utilização
de uma ferramenta computacional que facilitasse o processo.
Desse modo, o método 2 foi considerado um método complexo de ser aplicado,
porque necessitou de um extenso trabalho manual por parte do operador. Além disso, as
correções necessárias aplicadas ao carregamento diminuíram a acurácia do resultado.
Por fim, o método 3 apresentou procedimento simples de ser empregado, uma vez
que as deformações e curvaturas puderam ser calculadas por uma planilha automatizada
a partir das solicitações isostáticas e, em seguida, todos os resultados obtidos foram
introduzidos simultaneamente no programa de análise, a partir do recurso Interactive
Database Editing. Uma outra vantagem do terceiro método em relação aos demais é a
determinação direta dos esforços hiperestáticos de protensão, sem precisar aplicar os
Procedimentos A e B.
Em contrapartida, o Método 3 apresentou como inconveniente a necessidade de
determinar o esforço isostático de protensão da laje. Para isso, foi preciso utilizar o
modelo isostático com cabos físicos do Método 1.
Como ponto em comum, os três métodos apresentaram como obstáculo a
necessidade de definir um modelo estrutural isostático externamente.
4.9 CRÍTICA SOBRE O MÉTODO APROXIMADO UTILIZADO NO PRÉ-
DIMENSIONAMENTO (SECTION CUT)
O método aproximado utilizado na fase de pré-dimensionamento consistiu no
emprego da ferramenta Section Cut no MODINICIAL, cortando tanto os cabos como o
concreto. Os esforços obtidos com o section cut foram determinados com as cargas de
protensão dos cabos nas direções X e Y atuando concomitantemente. Como já comentado,
o momento hiperestático pode ser determinado de forma aproximada com razoável
acurácia no caso dos cabos distribuídos da direção Y. Entretanto, na direção X, o resultado
não é acurado devido à concentração dos cabos sobre os capitéis. Sendo assim, no caso
de lajes cogumelo e lisas, o método só oferece uma boa estimativa quando os cabos estão
bem distribuídos.
Em resumo, o processo de dimensionamento de uma laje cogumelo qualquer no
ELU envolveria várias etapas de cálculos iterativos, já que os momentos hiperestáticos
são difíceis de serem estimados adequadamente de antemão. Desse modo, para efetuar
um dimensionamento mais apropriado de uma laje cogumelo, haveria necessidade de
69
efetuar análises sequenciais em que os cabos de protensão seriam dimensionados em
várias fases, sendo essas apresentadas a seguir:
• Dimensionamento da laje sem os momentos hiperestáticos de protensão;
• Dimensionamento com momentos hiperestáticos de protensão estimados por meio
de section cuts, no qual a determinação dos esforços na direção da cablagem
concentrada seria muito aproximada;
• Dimensionamento com a determinação dos esforços hiperestáticos de protensão
pelos métodos aqui tratados.
Cabe dizer que a utilização da ferramenta Section Cut para a determinação dos
esforços hiperestáticos na viga é bastante adequada, já que fornece resultados muito
próximos daqueles determinados pelos três métodos estudados.
4.10 COMENTÁRIOS ADICIONAIS
Apesar do presente trabalho evidenciar os momentos fletores de protensão, os
métodos e procedimentos empregados também determinam os esforços cortantes e as
forças axiais que se desenvolvem devido às armaduras ativas. Esses esforços não foram
apresentados ao longo do projeto para evitar repetição, uma vez que podem ser calculados
de forma equivalente ao que foi realizado no caso dos momentos fletores.
Entretanto, para ilustrar o comportamento das forças normais hiperestáticas de
protensão, apresentam-se os diagramas dessa solicitação nas duas direções, obtidos com
a aplicação do Método 3, conforme é apresentado na Figura 4.51 e na Figura 4.52.
No mais, é necessário comentar um aspecto importante relativo às forças de
protensão que foi evidenciado por meio da análise em elementos finitos. Devido ao
agrupamento dos cabos na direção X, os bordos da laje entre os feixes de armadura ficam
sujeitos à forças de compressão muito baixas ou à forças de tração, o que pode ser
verificado a partir do diagrama de forças na direção 1 que comprova a existência desses
efeitos locais (Figura 4.53). Essas zonas em formato de leque são originadas pelo
espraiamento das forças de protensão. Sendo assim, recomenda-se dispor armaduras
passivas para garantir a segurança e promover um bom comportamento da estrutura em
serviço. O mesmo comportamento não foi verificado na direção Y, de acordo com o que
foi visualizado na Figura 4.54.
70
Figura 4.51 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje na
direção 1 (F11) - Método 3.
Figura 4.52 - Diagrama de forças normais hiperestáticas de protensão (em kN/m) na laje na
direção 2 (F22) - Método 3.
71
Figura 4.53 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 1 (F11) -
MODINICIAL - Método 1.
Figura 4.54 - Diagrama de forças totais de protensão (em kN/m) na laje na direção 2 (F22) -
MODINICIAL - Método 1.
72
5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Foram determinados os momentos hiperestáticos de protensão em estruturas
modeladas em elementos finitos por três métodos distintos. No primeiro, foi realizada a
modelagem física dos cabos na estrutura. Já no segundo método, foi utilizado o conceito
das cargas equivalentes para aplicação do carregamento dos cabos protendidos. Por fim,
o efeito das armaduras ativas foi inserido na estrutura por meio de deformações e
curvaturas impostas. Verificou-se que nas duas primeiras metodologias, é determinado o
momento total de protensão na estrutura hiperestática, sendo necessário utilizar
procedimentos adicionais para a separação entre as parcelas isostática e hiperestática dos
esforços. Já na terceira metodologia, a solicitação hiperestática é obtida diretamente na
estrutura estaticamente indeterminada original.
No caso da viga, em que os cabos apresentam trajetória poligonal em elevação, os
diagramas encontrados por meio das três metodologias foram compatíveis e forneceram
resultados com menos de 3% de variação. Neste caso, o método que apresentou a menor
acurácia em relação à média encontrada foi o método 1 com a aplicação do Procedimento
B, o que já era esperado, porque este é o único a considerar o efeito físico dos cabos de
protensão nos resultados.
Em relação à laje, cujos cabos têm traçado parabólico em elevação, foi verificado
que é possível utilizar métodos e procedimentos análogos àqueles empregados no caso da
viga, mesmo que as lajes sejam estruturas hiperestáticas internamente. Para a estrutura
estudada, os comportamentos e os valores encontrados nos diagramas por todos os
métodos foram próximos, sendo que o primeiro e o terceiro forneceram diagramas com
maior equivalência. Além disso, foi possível verificar que para empregar a segunda
metodologia em uma laje discretizada em elementos finitos, é preciso fazer correções no
carregamento. Essas aproximações levam a uma menor acurácia nos resultados,
principalmente no caso de lajes com irregularidades em sua geometria e no traçado dos
cabos de protensão. Desse modo, recomenda-se a aplicação dos métodos 1 e 3, sendo que
somente o último consegue fornecer diretamente os valores dos esforços hiperestáticos
na estrutura estaticamente indeterminada.
É importante dizer que para o dimensionamento formal das lajes cogumelo
protendidas é necessário estudar os trechos do capitel e da laje de menor espessura
separadamente. Os momentos fletores e as forças normais causados pelas diversas ações,
73
incluindo também os esforços hiperestáticos de protensão, precisam ser determinados
para que o dimensionamento possa ser efetuado de forma completa.
O estudo realizado neste trabalho diz respeito às lajes com protensão aderente.
Entretanto, modernamente, é mais econômico o uso de cordoalhas engraxadas, que
dispensam o uso de bainhas e injeção de nata.
Vários outros assuntos podem ser avaliados em trabalhos futuros. Destacam-se os
seguintes tópicos para o caso de lajes protendidas lisas ou com capitéis (designadas como
lajes cogumelo):
• Obtenção de uma estrutura isostática mais adequada para utilização em lajes de
conformação aleatória com protensão aderente;
• Obtenção de esforços hiperestáticos de protensão mais acurados na fase de pré-
dimensionamento de uma laje com protensão aderente;
• Reavaliação do dimensionamento da laje em função dos esforços hiperestáticos
obtidos pelos processos aqui apresentados, levando em conta os momentos
fletores e os esforços normais nos centroides das lajes de diferentes espessuras
(capitéis e laje delgada);
• Procedimentos para o dimensionamento dos efeitos locais nas extremidades da
laje com armaduras ativas aderentes;
• Aplicação dos métodos utilizados neste trabalho em lajes protendidas sem
aderência;
• Procedimentos para o dimensionamento da laje protendida sem aderência no
ELU;
• Procedimentos para o dimensionamento dos efeitos locais nas extremidades da
laje com protensão não aderente;
• Estudo do comportamento de uma laje protendida com cabos aderentes ou não
aderentes até a ruptura, com incrementos discretos de cargas em elementos finitos.
Todos esses estudos deverão ser realizados sem a utilização de métodos baseados
em quadros fictícios, como aqueles empregados em vários métodos simplificados de
dimensionamento.
A título de informação, podem ser citadas as seguintes publicações acerca das
lajes protendidas: EMERICK (2005), NOBRE (2017), AALAMI (2014) e AALAMI
(1999). Existem também programas específicos para o projeto de lajes protendidas como
o software ADAPT-Floor Pro do Eng. Bijan O. Aalami.
74
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AALAMI, B.O., BOMMER, A., 1999, Design Fundamentals of Post-Tensioned
Concrete Floors. 1 ed. Arizona, PTI – Post-Tensioning Institute.
AALAMI, B.O., 2014, Post Tensioned Buildings. Design and Construction. PT-
structures.com.
ADAPT PROGRAM. Disponível em: <https://adaptsolutions.wordpress.com/adapt-pt/>.
Acesso em: 21 nov. 2020.
ALVES, R.V., 2018, Pontes em concreto armado e protendido I. Notas de aula. Rio de
Janeiro, Escola Politécnica-UFRJ.
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE ACI, 2019, ACI 318-19: Building Code
Requirements for Structural Concrete, Michigan.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT, 2014, NBR6118:
Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, Rio de Janeiro.
BAUSCHER, 2018. Máquina de bainha para protensão. Disponível em:
<http://www.bauscher.com.br/maquina-bainha-protensao.html>. Acesso em: 02 maio
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EMERICK, A.A., 2005, Projeto e execução de lajes protendidas. 1 ed. Rio de Janeiro,
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GILBERT, R.I., MICKLEBOROUGH, N.C., RANZI, G., 2017, Design of Prestressed
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GIRKMANN, K, 1956, Flächentragwerke. 4 ed. Viena, Springer-Verlag.
JAISAN, C., 2020. Disponível em: <https://www.shutterstock.com/pt/g/Channarong
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LIN, T.Y., 1963, Design of Prestressed Concrete Structures. 2 ed. Nova Iorque, John
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NAAMAN, A.E.,1982, Prestressed Concrete Analysis and Design. Nova Iorque,
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NOBRE, K.M.A., 2017, Comparação entre métodos de análise de lajes protendidas.
Dissertação de Mestrado, Politécnica da UFRJ, Rio de Janeiro.
PERLINGEIRO, M.S.P.L., 1998, Análise tridimensional de estruturas protendidas.
Dissertação de Mestrado, Universidade Federal Fluminense, Niterói.
75
PFEIL, W., 1984, Concreto Protendido - Introdução, v.1, 2 ed. Rio de Janeiro, Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A.
TIMOSHENKO, S.P., WOINOWSKY-KRIEGER, S., 1959, Theory of Plates and
Shells, 2.ed. McGraw-Hill.
TIMOSHENKO, S.P., GERE, J.E., 1983, Mecânica dos sólidos, v.1, Rio de Janeiro,
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
76
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
AALAMI, B.O., 1990, “Load Balancing: A Comprehensive Solution to Post-
Tensioning”, ACI Structural Journal, v. 87, n. 6 (nov./dez.), pp. 662-670.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT, 2020, NBR7483:
Cordoalhas de aço para estruturas de concreto protendido – Especificação, Rio de Janeiro.
CARVALHO, R.C, 2017, Estruturas em Concreto Protendido – Pré-tração, Pós-
tração, Cálculo e Detalhamento. 2 ed. Editora PINI.
CHAVES, R.J.S., CARVALHO, R.C., SARTORI, A.L., 2018, “Momentos
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Disponível em: <http://www.abpe.org.br/trabalhos2018/150.pdf>. Acesso em: 19 abr.
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DIAZ, B. E., 2019, Estruturas protendidas. Notas de aula e planilhas de
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EUROPEAN STANDARDS, 2004, EN 1992-1-1 Eurocode 2: Design of concrete
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LOUREIRO, G.J. 2007. Curso Intensivo sobre Teoria e Prática atuais do projeto de
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THOMAZ, E.C.S., 2009, Concreto Protendido: Noções Básicas - Hiperestático de
Protensão I e II. Rio de Janeiro, Instituto Militar de Engenharia – IME. Disponível em:<
http://aquarius.ime.eb.br/~webde2/prof/ethomaz/>. Acesso em: 19 abr. 2020.
77
APÊNDICE A – MOMENTOS HIPERESTÁTICOS NA VIGA
Método 1 – Procedimento A: Método 1 - Procedimento B:
- Obtidos pelas reações de apoio - Obtidos pelo Staged Construction
Barra Estação Momento M3 Barra Estação Momento M3
- m KN-m - m KN-m
1 0 0 1 0 0
2 0 2264 2 0 2100
3 0 4527 3 0 4200
4 0 6791 4 0 6300
5 0 9055 5 0 8400
6 0 11318 6 0 10500
7 0 13582 7 0 12600
8 0 15846 8 0 14700
9 0 18110 9 0 16800
10 0 20373 10 0 18900
11 0 22637 11 0 21001
12 0 24901 12 0 23264
13 0 27164 13 0 25528
14 0 29428 14 0 27791
15 0 31692 15 0 30055
16 0 33955 16 0 32318
17 0 36219 17 0 34582
18 0 38483 18 0 36846
19 0 40746 19 0 39109
20 0 43010 20 0 41373
21 0 45274 21 0 43637
22 0 47537 22 0 45900
23 0 49801 23 0 48164
24 0 52065 24 0 50683
25 0 54329 25 0 53201
26 0 56592 26 0 55720
27 0 58856 27 0 58239
28 0 61120 28 0 60757
29 0 63383 29 0 63276
30 0 65647 30 0 65795
31 0 67911 31 0 68313
32 0 70174 32 0 70832
33 0 72438 33 0 73350
34 0 74702 34 0 75614
35 0 74702 35 0 75614
36 0 74702 36 0 75359
37 0 74702 37 0 75104
78
38 0 74702 38 0 74849
39 0 74702 39 0 74594
40 0 74702 40 0 74339
41 0 74702 41 0 74084
42 0 74702 42 0 73829
43 0 74702 43 0 73574
44 0 74702 44 0 73319
45 0 74702 45 0 73064
46 0 74702 46 0 73064
47 0 74702 47 0 73064
48 0 74702 48 0 73064
49 0 74702 49 0 73064
50 0 74702 50 0 73064
51 0 74702 51 0 73064
52 0 74702 52 0 73064
53 0 74702 53 0 73064
54 0 74702 54 0 73064
Método 2 – Procedimento A: Método 2 - Procedimento B:
- Obtidos pelas reações de apoio - Obtidos pelo Staged Construction
Barra Estação Momento M3 Barra Estação Momento M3
- m KN-m - m KN-m
1 0 0 1 0 0
2 0 2272 2 0 2272
3 0 4544 3 0 4544
4 0 6816 4 0 6816
5 0 9088 5 0 9088
6 0 11360 6 0 11360
7 0 13632 7 0 13632
8 0 15904 8 0 15904
9 0 18176 9 0 18176
10 0 20448 10 0 20448
11 0 22720 11 0 22720
12 0 24992 12 0 24991
13 0 27264 13 0 27263
14 0 29535 14 0 29535
15 0 31807 15 0 31807
16 0 34079 16 0 34079
17 0 36351 17 0 36351
18 0 38623 18 0 38623
19 0 40895 19 0 40895
20 0 43167 20 0 43167
21 0 45439 21 0 45439
22 0 47711 22 0 47711
79
23 0 49983 23 0 49983
24 0 52255 24 0 52255
25 0 54527 25 0 54527
26 0 56799 26 0 56799
27 0 59071 27 0 59071
28 0 61343 28 0 61343
29 0 63615 29 0 63615
30 0 65887 30 0 65887
31 0 68159 31 0 68159
32 0 70431 32 0 70431
33 0 72703 33 0 72702
34 0 74975 34 0 74974
35 0 74975 35 0 74974
36 0 74975 36 0 74974
37 0 74975 37 0 74974
38 0 74975 38 0 74974
39 0 74975 39 0 74974
40 0 74975 40 0 74974
41 0 74975 41 0 74974
42 0 74975 42 0 74974
43 0 74975 43 0 74974
44 0 74975 44 0 74974
45 0 74975 45 0 74974
46 0 74975 46 0 74974
47 0 74975 47 0 74974
48 0 74975 48 0 74974
49 0 74975 49 0 74974
50 0 74975 50 0 74974
51 0 74975 51 0 74974
52 0 74975 52 0 74974
53 0 74975 53 0 74974
54 0 74975 54 0 74974
Método 3:
Barra Estação Momento M3
- m KN-m
1 0 0
2 0 2282
3 0 4564
4 0 6845
5 0 9127
6 0 11409
7 0 13691
8 0 15973
9 0 18255
10 0 20536
80
11 0 22818
12 0 25100
13 0 27382
14 0 29664
15 0 31945
16 0 34227
17 0 36509
18 0 38791
19 0 41073
20 0 43355
21 0 45636
22 0 47918
23 0 50200
24 0 52482
25 0 54764
26 0 57045
27 0 59327
28 0 61609
29 0 63891
30 0 66173
31 0 68455
32 0 70736
33 0 73018
34 0 75300
35 0 75300
36 0 75300
37 0 75300
38 0 75300
39 0 75300
40 0 75300
41 0 75300
42 0 75300
43 0 75300
44 0 75300
45 0 75300
46 0 75300
47 0 75300
48 0 75300
49 0 75300
50 0 75300
51 0 75300
52 0 75300
53 0 75300
54 0 75300
81
APÊNDICE B – CÁLCULO DAS CURVATURAS NA VIGA
Numeração
das barras
NIP
(kN) e (m)
MIp
(kNm)
E
(kPa)
Inércia
(m4)
Curvatura
(rad/m)
1 -43200 -0,15 -6376 29000000 28,6 -7,68E-06
2 -43200 -0,44 -19125 29000000 28,6 -2,30E-05
3 -43200 -0,74 -31873 29000000 28,6 -3,84E-05
4 -43200 -1,03 -44621 29000000 28,6 -5,37E-05
5 -43200 -1,33 -57370 29000000 28,6 -6,91E-05
6 -43200 -1,62 -70118 29000000 28,6 -8,45E-05
7 -43200 -1,92 -82866 29000000 28,6 -9,98E-05
8 -43200 -2,21 -95615 29000000 28,6 -1,15E-04
9 -43200 -2,51 -108363 29000000 28,6 -1,31E-04
10 -43200 -2,80 -121111 29000000 28,6 -1,46E-04
11 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
12 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
13 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
14 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
15 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
16 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
17 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
18 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
19 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
20 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
21 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
22 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
23 -43200 -2,72 -117547 29000000 28,6 -1,42E-04
24 -43200 -2,26 -97675 29000000 28,6 -1,18E-04
25 -43200 -1,80 -77803 29000000 28,6 -9,37E-05
26 -43200 -1,34 -57931 29000000 28,6 -6,98E-05
27 -43200 -0,88 -38059 29000000 28,6 -4,58E-05
28 -43200 -0,42 -18187 29000000 28,6 -2,19E-05
29 -43200 0,04 1685 29000000 28,6 2,03E-06
30 -43200 0,50 21557 29000000 28,6 2,60E-05
31 -43200 0,96 41429 29000000 28,6 4,99E-05
32 -43200 1,42 61301 29000000 28,6 7,38E-05
33 -43200 1,65 71237 29000000 28,6 8,58E-05
34 -43200 1,65 71237 29000000 28,6 8,58E-05
35 -43200 1,42 61301 29000000 28,6 7,38E-05
36 -43200 0,96 41429 29000000 28,6 4,99E-05
37 -43200 0,50 21557 29000000 28,6 2,60E-05
38 -43200 0,04 1685 29000000 28,6 2,03E-06
39 -43200 -0,42 -18187 29000000 28,6 -2,19E-05
82
40 -43200 -0,88 -38059 29000000 28,6 -4,58E-05
41 -43200 -1,34 -57931 29000000 28,6 -6,98E-05
42 -43200 -1,80 -77803 29000000 28,6 -9,37E-05
43 -43200 -2,26 -97675 29000000 28,6 -1,18E-04
44 -43200 -2,72 -117547 29000000 28,6 -1,42E-04
45 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
46 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
47 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
48 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
49 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
50 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
51 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
52 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
53 -43200 -2,95 -127483 29000000 28,6 -1,54E-04
83
APÊNDICE C – TRAÇADO DOS CABOS DA LAJE EM ELEVAÇÃO
Coordenadas dos cabos na direção X: Coordenadas dos cabos na direção Y:
Traçado em elevação dos cabos na direção X
Traçado em elevação dos cabos na direção Y
Coordenadas Coordenadas
X Z Y Z
-14,50 0,0000 -14,50 0,0000
-13,28 -0,0413 -13,28 -0,0413
-12,06 -0,0550 -12,06 -0,0550
-10,36 -0,0361 -10,36 -0,0319
-8,65 0,0206 -8,65 0,0374
-8,33 0,0314 -8,33 0,0506
-8,00 0,0350 -8,00 0,0550
-7,60 0,0305 -7,60 0,0495
-7,20 0,0170 -7,20 0,0330
-4,00 -0,0550 -4,00 -0,0550
-0,80 0,0170 -0,80 0,0330
-0,40 0,0305 -0,40 0,0495
0,00 0,0350 0,00 0,0550
0,40 0,0305 0,40 0,0495
0,80 0,0170 0,80 0,0330
4,00 -0,0550 4,00 -0,0550
7,20 0,0170 7,20 0,0330
7,60 0,0305 7,60 0,0495
8,00 0,0350 8,00 0,0550
8,33 0,0314 8,33 0,0506
8,65 0,0206 8,65 0,0374
10,36 -0,0361 10,36 -0,0319
12,06 -0,0550 12,06 -0,0550
13,28 -0,0413 13,28 -0,0413
14,50 0,0000 14,50 0,0000
84
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00
Traçado em elevação dos cabos na direção X
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00
Traçado em elevação dos cabos na direção Y
85
APÊNDICE D – CÁLCULO DAS CARGAS EQUIVALENTES DA LAJE
SENTIDO X - VÃO DE EXTREMIDADE
Coeficientes
Comprimento do vão 6,50 m
α1 0,1000 α1.L 0,650 m
α 0,375 α.L 2,44 m
β 0 β1 1,571 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN
h (altura da laje sem considerar o capitel) 0,200 m
Espessura da bainha metálica 0,0200 m
Cobrimento 0,0200 m
Espessura das camadas de armadura passiva 0,0150 m
Distância superior do cobrimento aos eixos dos cabos 0,0300 m
e (Excentricidade no apoio) 0,0350 m
λ 7,84 μ 41,1
Cargas distribuídas por m (devido a uma cordoalha)
qB1 3,33 kN/m
Comprimento à esquerda 2,44 m
qB2 2,34 kN/m
Comprimento no centro 3,41 m
qB3 -12,27 kN/m
Comprimento à direita 0,650 m
Cargas distribuídas por m² corrigidas (devido a uma cordoalha)
Malha de elementos finitos 0,500 m
qB1'/m 6,50 kN/m²
Comprimento à esquerda 2,50 m
qB2'/m 4,56 kN/m²
Comprimento no centro 3,50 m
qB3'/m -31,9 kN/m²
Comprimento à direita 0,500 m
Força vertical no apoio esquerdo devido a inclinação do cabo -8,12 kN
Observação: O cálculo do carregamento foi realizado para uma cordoalha. Dessa forma, a carga determinada deverá ser multiplicada pelo número de cordoalhas presentes em cada cabo para aplicação no modelo.
86
SENTIDO Y - VÃO DE EXTREMIDADE
Coeficientes
Comprimento do vão 6,50 m
α1 0,1000 α1.L 0,650 m
α 0,375 α.L 2,44 m
β 0 β1 1,000 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN
h (altura da laje sem considerar o capitel) 0,200 m
Espessura da bainha metálica 0,0200 m
Cobrimento 0,0200 m
Espessura das camadas de armadura passiva 0,0150 m
Distância superior do cobrimento aos eixos dos cabos 0,0100 m
e (Excentricidade no apoio) 0,0550 m
λ 6,10 μ 32,0
Cargas distribuídas por m (devido a uma cordoalha)
qB1 3,33 kN/m
Comprimento à esquerda 2,44 m
qB2 2,86 kN/m
Comprimento no centro 3,41 m
qB3 -15,00 kN/m
Comprimento à direita 0,650 m
Cargas distribuídas por m² corrigidas (devido a uma cordoalha)
Malha de elementos finitos 0,500 m
qB1'/m 6,50 kN/m²
Comprimento à esquerda 2,50 m
qB2'/m 5,57 kN/m²
Comprimento no centro 3,50 m
qB3'/m -39,0 kN/m²
Comprimento à direita 0,500 m
Força vertical no apoio esquerdo devido a inclinação do cabo -8,12 kN
Observação: O cálculo do carregamento foi realizado para uma cordoalha. Dessa forma, a carga determinada deverá ser multiplicada pelo número de cordoalhas presentes em cada cabo para aplicação no modelo.
87
SENTIDO X - VÃO INTERNO
Coeficientes
Comprimento do vão 8,00 m
α2 0,1000 β2 1,571 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN
h (altura da laje sem considerar o capitel) 0,200 m
Espessura da bainha metálica 0,0200 m
Cobrimento 0,0200 m
Espessura das camadas de armadura passiva 0,0150 m
Distância superior do cobrimento aos eixos dos cabos 0,0300 m
e (Excentricidade no apoio) 0,0350 m
Cargas distribuídas por m (devido a uma cordoalha)
qB1 -10,13 kN/m
Comprimento à esquerda 0,80 m
qB2 2,53 kN/m
Comprimento no centro 6,40 m
qB1 -10,13 kN/m
Comprimento à direita 0,800 m
Cargas distribuídas por m² corrigidas (devido a uma cordoalha)
Malha de elementos finitos 0,500 m
qB1'/m -16,20 kN/m²
Comprimento à esquerda 1,00 m
qB2'/m 5,40 kN/m²
Comprimento no centro 6,00 m
qB1'/m -16,2 kN/m²
Comprimento à direita 1,000 m
Observação: O cálculo do carregamento foi realizado para uma cordoalha. Dessa forma, a carga determinada deverá ser multiplicada pelo número de cordoalhas presentes em cada cabo para aplicação no modelo.
88
SENTIDO Y - VÃO INTERNO
Coeficientes
Comprimento do vão 8,00 m
α2 0,1000 β2 1,000 P (Força de uma cordoalha t=0) 180 kN
h (altura da laje sem considerar o capitel) 0,200 m
Espessura da bainha metálica 0,0200 m
Cobrimento 0,0200 m
Espessura das camadas de armadura passiva 0,0150 m
Distância superior do cobrimento aos eixos dos cabos 0,0100 m
e (Excentricidade no apoio) 0,0550 m
Cargas distribuídas por m (devido a uma cordoalha)
qB1 -12,38 kN/m
Comprimento à esquerda 0,80 m
qB2 3,09 kN/m
Comprimento no centro 6,40 m
qB1 -12,38 kN/m
Comprimento à direita 0,800 m
Cargas distribuídas por m² corrigidas (devido a uma cordoalha)
Malha de elementos finitos 0,500 m
qB1'/m -19,80 kN/m²
Comprimento à esquerda 1,00 m
qB2'/m 6,60 kN/m²
Comprimento no centro 6,00 m
qB1'/m -19,8 kN/m²
Comprimento à direita 1,000 m
Observação: O cálculo do carregamento foi realizado para uma cordoalha. Dessa forma, a carga determinada deverá ser multiplicada pelo número de cordoalhas presentes em cada cabo para aplicação no modelo.
89
APÊNDICE E – CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES E CURVATURAS DA LAJE
- Cálculo dos parâmetros iniciais (para os primeiros 100 elementos de laje)
Dados:
μ
0,2
E
29000000
kPa
G
12083000
kPa
Elemento
de laje
F11
média
F22
média
F12
média
M11
média
M22
média
M12
média h σ 11 σ 22 σ 12
- kN/m kN/m kN/m KNm/m KNm/m KNm/m m kN/m² kN/m² kN/m²
1 -125,0 -6,60 -3,91 -11,83 -1,84 5,87 0,20 -624,94 -32,98 -19,54
2 1,03 -2,36 3,58 -4,35 0,41 6,34 0,20 5,16 -11,81 17,91
3 -113,36 0,09 -3,22 1,54 0,73 10,98 0,20 -566,79 0,45 -16,08
4 -58,10 -3,39 2,82 0,46 1,96 10,72 0,20 -290,48 -16,94 14,08
5 -114,67 -2,22 5,54 3,37 0,45 10,73 0,20 -573,35 -11,11 27,71
6 -88,80 -7,49 0,79 4,78 2,29 10,50 0,20 -444,00 -37,46 3,95
7 -137,03 2,58 7,48 -1,06 0,45 9,89 0,20 -685,16 12,89 37,40
8 -36,69 7,33 4,07 -2,71 0,42 10,33 0,20 -183,44 36,65 20,34
9 -137,85 0,94 -8,45 0,90 0,72 7,50 0,20 -689,23 4,68 -42,23
10 -80,40 3,84 8,58 -0,69 1,22 7,17 0,20 -402,00 19,18 42,90
11 -130,44 -4,58 4,71 6,59 0,44 7,18 0,20 -652,18 -22,91 23,53
12 -161,98 -15,62 5,55 8,76 3,74 7,18 0,20 -809,91 -78,08 27,75
13 -166,78 1,03 17,86 0,40 0,60 7,03 0,20 -833,90 5,14 89,29
14 -67,54 4,11 1,61 -1,07 0,96 7,27 0,20 -337,69 20,55 8,05
15 -193,77 2,63 1,22 -2,24 0,34 4,86 0,20 -968,85 13,13 6,08
16 -10,48 8,71 5,17 -3,75 -0,14 4,49 0,20 -52,39 43,53 25,85
17 -195,09 -1,47 1,81 1,06 -0,11 4,98 0,20 -975,43 -7,35 9,04
18 -49,18 -6,24 4,59 3,09 1,28 4,91 0,20 -245,89 -31,18 22,93
19 -207,49 2,57 2,51 -2,62 0,18 5,28 0,20 -1037,43 12,84 12,53
20 -26,43 8,16 4,42 -3,95 -0,61 5,57 0,20 -132,16 40,80 22,10
21 -196,07 0,25 -12,74 -0,38 0,32 3,49 0,20 -980,33 1,25 -63,69
22 -97,13 3,36 8,12 -1,79 0,04 3,15 0,20 -485,65 16,78 40,61
90
23 -177,47 -1,90 -0,07 5,34 -0,08 4,46 0,20 -887,35 -9,48 -0,35
24 -203,26 -14,79 5,83 8,42 2,32 4,25 0,20 -1016,28 -73,95 29,15
25 -205,57 -10,70 15,70 -0,52 -0,35 4,01 0,20 -1027,83 -53,48 78,48
26 -132,46 -3,20 2,66 -3,34 -0,52 4,39 0,20 -662,28 -16,00 13,31
27 -220,01 -10,77 -8,70 -2,39 -0,67 1,40 0,20 -1100,04 -53,83 -43,50
28 -145,94 -3,45 12,19 -2,88 0,11 1,26 0,20 -729,68 -17,24 60,94
29 -215,97 -1,62 6,43 5,49 0,22 2,59 0,20 -1079,84 -8,11 32,13
30 -237,04 -14,40 10,38 8,15 2,73 2,61 0,20 -1185,20 -72,00 51,88
31 -258,02 -0,03 18,83 -0,31 0,23 3,20 0,20 -1290,08 -0,15 94,13
32 -153,88 3,21 7,82 -1,73 -0,03 3,33 0,20 -769,41 16,05 39,08
33 -292,95 2,95 4,38 -2,57 0,17 1,57 0,20 -1464,73 14,73 21,89
34 -102,16 8,00 10,63 -3,51 -0,79 1,42 0,20 -510,80 40,00 53,16
35 -305,29 -2,47 4,38 1,28 -0,22 1,73 0,20 -1526,44 -12,35 21,88
36 -143,28 -6,24 12,05 2,41 0,77 1,55 0,20 -716,39 -31,21 60,25
37 -331,89 1,33 12,61 -1,67 -0,14 3,22 0,20 -1659,45 6,64 63,04
38 -100,46 1,94 1,76 -0,49 -0,10 3,56 0,20 -502,30 9,70 8,81
39 -346,63 5,71 -8,78 -5,42 0,33 1,50 0,20 -1733,13 28,55 -43,90
40 -85,97 20,12 14,16 -9,26 -2,00 1,61 0,20 -429,85 100,60 70,80
41 -306,42 -4,90 -18,37 6,18 0,25 0,29 0,20 -1532,10 -24,51 -91,85
42 -282,88 -15,39 6,35 8,23 2,88 -0,24 0,20 -1414,38 -76,95 31,74
43 -311,56 -4,91 21,05 6,17 0,25 2,32 0,20 -1557,78 -24,55 105,26
44 -288,55 -15,41 1,01 8,24 2,86 2,85 0,20 -1442,76 -77,03 5,03
45 -362,08 5,71 11,50 -5,45 0,31 1,14 0,20 -1810,38 28,53 57,48
46 -103,03 20,08 -6,76 -9,27 -2,05 1,01 0,20 -515,14 100,40 -33,80
47 -357,83 1,31 -9,84 -1,70 -0,17 -0,54 0,20 -1789,15 6,54 -49,19
48 -128,92 1,87 5,76 -0,50 -0,19 -0,88 0,20 -644,60 9,34 28,79
49 -341,93 -2,47 -1,52 1,23 -0,27 1,02 0,20 -1709,64 -12,36 -7,58
50 -183,18 -6,29 -4,44 2,38 0,65 1,18 0,20 -915,88 -31,45 -22,18
51 -340,54 2,93 -1,52 -2,64 0,12 1,29 0,20 -1702,70 14,65 -7,58
52 -153,65 7,91 -2,79 -3,50 -0,95 1,43 0,20 -768,26 39,55 -13,96
53 -316,79 -0,15 -15,72 -0,40 0,16 -0,24 0,20 -1583,94 -0,76 -78,58
54 -216,96 3,14 -0,07 -1,84 -0,26 -0,40 0,20 -1084,78 15,71 -0,34
91
55 -285,89 -0,80 -3,93 5,37 0,03 0,71 0,20 -1429,44 -4,01 -19,65
56 -312,60 -13,79 -1,92 8,34 2,31 0,57 0,20 -1563,00 -68,93 -9,60
57 -302,03 -14,95 13,19 -1,51 -0,60 1,22 0,20 -1510,15 -74,73 65,95
58 -231,80 -7,76 -5,28 -3,10 -0,33 1,52 0,20 -1159,00 -38,80 -26,38
59 -302,03 -14,95 -13,19 -1,51 -0,60 -1,22 0,20 -1510,15 -74,73 -65,95
60 -231,80 -7,76 5,28 -3,10 -0,33 -1,52 0,20 -1159,00 -38,80 26,38
61 -285,89 -0,80 3,93 5,37 0,03 -0,71 0,20 -1429,44 -4,01 19,65
62 -312,60 -13,79 1,92 8,34 2,31 -0,57 0,20 -1563,00 -68,93 9,60
63 -316,79 -0,15 15,72 -0,40 0,16 0,24 0,20 -1583,94 -0,76 78,58
64 -216,96 3,14 0,07 -1,84 -0,26 0,40 0,20 -1084,78 15,71 0,34
65 -340,54 2,93 1,52 -2,64 0,12 -1,29 0,20 -1702,70 14,65 7,58
66 -153,65 7,91 2,79 -3,50 -0,95 -1,43 0,20 -768,26 39,55 13,96
67 -341,93 -2,47 1,52 1,23 -0,27 -1,02 0,20 -1709,64 -12,36 7,58
68 -183,18 -6,29 4,44 2,38 0,65 -1,18 0,20 -915,88 -31,45 22,18
69 -357,83 1,31 9,84 -1,70 -0,17 0,54 0,20 -1789,15 6,54 49,19
70 -128,92 1,87 -5,76 -0,50 -0,19 0,88 0,20 -644,60 9,34 -28,79
71 -362,08 5,71 -11,50 -5,45 0,31 -1,14 0,20 -1810,38 28,53 -57,48
72 -103,03 20,08 6,76 -9,27 -2,05 -1,01 0,20 -515,14 100,40 33,80
73 -311,56 -4,91 -21,05 6,17 0,25 -2,32 0,20 -1557,78 -24,55 -105,26
74 -288,55 -15,41 -1,01 8,24 2,86 -2,85 0,20 -1442,76 -77,03 -5,03
75 -306,42 -4,90 18,37 6,18 0,25 -0,29 0,20 -1532,10 -24,51 91,85
76 -282,88 -15,39 -6,35 8,23 2,88 0,24 0,20 -1414,38 -76,95 -31,74
77 -346,63 5,71 8,78 -5,42 0,33 -1,50 0,20 -1733,13 28,55 43,90
78 -85,97 20,12 -14,16 -9,26 -2,00 -1,61 0,20 -429,85 100,60 -70,80
79 -331,89 1,33 -12,61 -1,67 -0,14 -3,22 0,20 -1659,45 6,64 -63,04
80 -100,46 1,94 -1,76 -0,49 -0,10 -3,56 0,20 -502,30 9,70 -8,81
81 -305,29 -2,47 -4,38 1,28 -0,22 -1,73 0,20 -1526,44 -12,35 -21,88
82 -143,28 -6,24 -12,05 2,41 0,77 -1,55 0,20 -716,39 -31,21 -60,25
83 -292,95 2,95 -4,38 -2,57 0,17 -1,57 0,20 -1464,73 14,73 -21,89
84 -102,16 8,00 -10,63 -3,51 -0,79 -1,42 0,20 -510,80 40,00 -53,16
85 -258,02 -0,03 -18,83 -0,31 0,23 -3,20 0,20 -1290,08 -0,15 -94,13
86 -153,88 3,21 -7,82 -1,73 -0,03 -3,33 0,20 -769,41 16,05 -39,08
92
87 -215,97 -1,62 -6,43 5,49 0,22 -2,59 0,20 -1079,84 -8,11 -32,13
88 -237,04 -14,40 -10,38 8,15 2,73 -2,61 0,20 -1185,20 -72,00 -51,88
89 -220,01 -10,77 8,70 -2,39 -0,67 -1,40 0,20 -1100,04 -53,83 43,50
90 -145,94 -3,45 -12,19 -2,88 0,11 -1,26 0,20 -729,68 -17,24 -60,94
91 -205,57 -10,70 -15,70 -0,52 -0,35 -4,01 0,20 -1027,83 -53,48 -78,48
92 -132,46 -3,20 -2,66 -3,34 -0,52 -4,39 0,20 -662,28 -16,00 -13,31
93 -177,47 -1,90 0,07 5,34 -0,08 -4,46 0,20 -887,35 -9,48 0,35
94 -203,26 -14,79 -5,83 8,42 2,32 -4,25 0,20 -1016,28 -73,95 -29,15
95 -196,07 0,25 12,74 -0,38 0,32 -3,49 0,20 -980,33 1,25 63,69
96 -97,13 3,36 -8,12 -1,79 0,04 -3,15 0,20 -485,65 16,78 -40,61
97 -207,49 2,57 -2,51 -2,62 0,18 -5,28 0,20 -1037,43 12,84 -12,53
98 -26,43 8,16 -4,42 -3,95 -0,61 -5,57 0,20 -132,16 40,80 -22,10
99 -195,09 -1,47 -1,81 1,06 -0,11 -4,98 0,20 -975,43 -7,35 -9,04
100 -49,18 -6,24 -4,59 3,09 1,28 -4,91 0,20 -245,89 -31,18 -22,93
- Cálculo das deformações e curvaturas (para os primeiros 100 elementos de laje)
Elemento
de laje ε 11 ε 22 ϒ 12 κ 11 κ 22 κ 12
- m/m m/m m/m rad/m rad/m rad/m
1 -2,13E-05 3,17E-06 -1,62E-06 -5,93E-04 2,75E-05 7,29E-04
2 2,59E-07 -4,43E-07 1,48E-06 -2,29E-04 6,63E-05 7,87E-04
3 -1,95E-05 3,92E-06 -1,33E-06 7,20E-05 2,20E-05 1,36E-03
4 -9,90E-06 1,42E-06 1,16E-06 3,29E-06 9,68E-05 1,33E-03
5 -1,97E-05 3,57E-06 2,29E-06 1,70E-04 -1,18E-05 1,33E-03
6 -1,51E-05 1,77E-06 3,27E-07 2,24E-04 6,88E-05 1,30E-03
7 -2,37E-05 5,17E-06 3,10E-06 -5,93E-05 3,44E-05 1,23E-03
8 -6,58E-06 2,53E-06 1,68E-06 -1,45E-04 4,97E-05 1,28E-03
9 -2,38E-05 4,91E-06 -3,49E-06 3,89E-05 2,81E-05 9,30E-04
10 -1,40E-05 3,43E-06 3,55E-06 -4,81E-05 7,01E-05 8,90E-04
11 -2,23E-05 3,71E-06 1,95E-06 3,36E-04 -4,53E-05 8,92E-04
12 -2,74E-05 2,89E-06 2,30E-06 4,14E-04 1,03E-04 8,92E-04
13 -2,88E-05 5,93E-06 7,39E-06 1,45E-05 2,70E-05 8,73E-04
14 -1,18E-05 3,04E-06 6,66E-07 -6,54E-05 6,05E-05 9,03E-04
15 -3,35E-05 7,13E-06 5,03E-07 -1,19E-04 4,06E-05 6,04E-04
16 -2,11E-06 1,86E-06 2,14E-06 -1,93E-04 3,14E-05 5,58E-04
17 -3,36E-05 6,47E-06 7,48E-07 5,61E-05 -1,68E-05 6,18E-04
18 -8,26E-06 6,21E-07 1,90E-06 1,46E-04 3,44E-05 6,10E-04
19 -3,59E-05 7,60E-06 1,04E-06 -1,38E-04 3,64E-05 6,55E-04
20 -4,84E-06 2,32E-06 1,83E-06 -1,98E-04 9,16E-06 6,92E-04
21 -3,38E-05 6,80E-06 -5,27E-06 -2,28E-05 2,02E-05 4,33E-04
22 -1,69E-05 3,93E-06 3,36E-06 -9,28E-05 2,05E-05 3,92E-04
23 -3,05E-05 5,79E-06 -2,90E-08 2,77E-04 -5,94E-05 5,54E-04
24 -3,45E-05 4,46E-06 2,41E-06 4,11E-04 3,30E-05 5,28E-04
93
25 -3,51E-05 5,24E-06 6,49E-06 -2,33E-05 -1,27E-05 4,98E-04
26 -2,27E-05 4,02E-06 1,10E-06 -1,68E-04 7,73E-06 5,45E-04
27 -3,76E-05 5,73E-06 -3,60E-06 -1,17E-04 -9,85E-06 1,74E-04
28 -2,50E-05 4,44E-06 5,04E-06 -1,50E-04 3,53E-05 1,57E-04
29 -3,72E-05 7,17E-06 2,66E-06 2,81E-04 -4,52E-05 3,21E-04
30 -4,04E-05 5,69E-06 4,29E-06 3,94E-04 5,66E-05 3,24E-04
31 -4,45E-05 8,89E-06 7,79E-06 -1,84E-05 1,51E-05 3,97E-04
32 -2,66E-05 5,86E-06 3,23E-06 -8,92E-05 1,64E-05 4,14E-04
33 -5,06E-05 1,06E-05 1,81E-06 -1,34E-04 3,51E-05 1,94E-04
34 -1,79E-05 4,90E-06 4,40E-06 -1,74E-04 -4,62E-06 1,76E-04
35 -5,26E-05 1,01E-05 1,81E-06 6,85E-05 -2,46E-05 2,15E-04
36 -2,45E-05 3,86E-06 4,99E-06 1,17E-04 1,50E-05 1,93E-04
37 -5,73E-05 1,17E-05 5,22E-06 -8,48E-05 9,88E-06 4,00E-04
38 -1,74E-05 3,80E-06 7,29E-07 -2,45E-05 5,69E-09 4,41E-04
39 -6,00E-05 1,29E-05 -3,63E-06 -2,84E-04 7,32E-05 1,86E-04
40 -1,55E-05 6,43E-06 5,86E-06 -4,58E-04 -7,64E-06 2,00E-04
41 -5,27E-05 9,72E-06 -7,60E-06 3,17E-04 -5,08E-05 3,58E-05
42 -4,82E-05 7,10E-06 2,63E-06 3,96E-04 6,39E-05 -3,03E-05
43 -5,35E-05 9,90E-06 8,71E-06 3,17E-04 -5,09E-05 2,88E-04
44 -4,92E-05 7,29E-06 4,16E-07 3,96E-04 6,29E-05 3,53E-04
45 -6,26E-05 1,35E-05 4,76E-06 -2,85E-04 7,23E-05 1,41E-04
46 -1,85E-05 7,01E-06 -2,80E-06 -4,58E-04 -1,03E-05 1,26E-04
47 -6,17E-05 1,26E-05 -4,07E-06 -8,64E-05 8,98E-06 -6,67E-05
48 -2,23E-05 4,77E-06 2,38E-06 -2,37E-05 -4,57E-06 -1,09E-04
49 -5,89E-05 1,14E-05 -6,27E-07 6,66E-05 -2,66E-05 1,27E-04
50 -3,14E-05 5,23E-06 -1,84E-06 1,16E-04 8,98E-06 1,47E-04
51 -5,88E-05 1,22E-05 -6,27E-07 -1,38E-04 3,33E-05 1,60E-04
52 -2,68E-05 6,66E-06 -1,16E-06 -1,71E-04 -1,30E-05 1,78E-04
53 -5,46E-05 1,09E-05 -6,50E-06 -2,23E-05 1,22E-05 -2,95E-05
54 -3,75E-05 8,02E-06 -2,79E-08 -9,27E-05 5,70E-06 -5,01E-05
55 -4,93E-05 9,72E-06 -1,63E-06 2,78E-04 -5,41E-05 8,84E-05
56 -5,34E-05 8,40E-06 -7,94E-07 4,08E-04 3,32E-05 7,04E-05
57 -5,16E-05 7,84E-06 5,46E-06 -7,21E-05 -1,55E-05 1,51E-04
58 -3,97E-05 6,66E-06 -2,18E-06 -1,57E-04 1,49E-05 1,89E-04
59 -5,16E-05 7,84E-06 -5,46E-06 -7,21E-05 -1,55E-05 -1,51E-04
60 -3,97E-05 6,66E-06 2,18E-06 -1,57E-04 1,49E-05 -1,89E-04
61 -4,93E-05 9,72E-06 1,63E-06 2,78E-04 -5,41E-05 -8,84E-05
62 -5,34E-05 8,40E-06 7,94E-07 4,08E-04 3,32E-05 -7,04E-05
63 -5,46E-05 1,09E-05 6,50E-06 -2,23E-05 1,22E-05 2,95E-05
64 -3,75E-05 8,02E-06 2,79E-08 -9,27E-05 5,70E-06 5,01E-05
65 -5,88E-05 1,22E-05 6,27E-07 -1,38E-04 3,33E-05 -1,60E-04
66 -2,68E-05 6,66E-06 1,16E-06 -1,71E-04 -1,30E-05 -1,78E-04
67 -5,89E-05 1,14E-05 6,27E-07 6,66E-05 -2,66E-05 -1,27E-04
68 -3,14E-05 5,23E-06 1,84E-06 1,16E-04 8,98E-06 -1,47E-04
69 -6,17E-05 1,26E-05 4,07E-06 -8,64E-05 8,98E-06 6,67E-05
70 -2,23E-05 4,77E-06 -2,38E-06 -2,37E-05 -4,57E-06 1,09E-04
71 -6,26E-05 1,35E-05 -4,76E-06 -2,85E-04 7,23E-05 -1,41E-04
72 -1,85E-05 7,01E-06 2,80E-06 -4,58E-04 -1,03E-05 -1,26E-04
73 -5,35E-05 9,90E-06 -8,71E-06 3,17E-04 -5,09E-05 -2,88E-04
74 -4,92E-05 7,29E-06 -4,16E-07 3,96E-04 6,29E-05 -3,53E-04
75 -5,27E-05 9,72E-06 7,60E-06 3,17E-04 -5,08E-05 -3,58E-05
76 -4,82E-05 7,10E-06 -2,63E-06 3,96E-04 6,39E-05 3,03E-05
77 -6,00E-05 1,29E-05 3,63E-06 -2,84E-04 7,32E-05 -1,86E-04
78 -1,55E-05 6,43E-06 -5,86E-06 -4,58E-04 -7,64E-06 -2,00E-04
79 -5,73E-05 1,17E-05 -5,22E-06 -8,48E-05 9,88E-06 -4,00E-04
80 -1,74E-05 3,80E-06 -7,29E-07 -2,45E-05 5,69E-09 -4,41E-04
81 -5,26E-05 1,01E-05 -1,81E-06 6,85E-05 -2,46E-05 -2,15E-04
94
82 -2,45E-05 3,86E-06 -4,99E-06 1,17E-04 1,50E-05 -1,93E-04
83 -5,06E-05 1,06E-05 -1,81E-06 -1,34E-04 3,51E-05 -1,94E-04
84 -1,79E-05 4,90E-06 -4,40E-06 -1,74E-04 -4,62E-06 -1,76E-04
85 -4,45E-05 8,89E-06 -7,79E-06 -1,84E-05 1,51E-05 -3,97E-04
86 -2,66E-05 5,86E-06 -3,23E-06 -8,92E-05 1,64E-05 -4,14E-04
87 -3,72E-05 7,17E-06 -2,66E-06 2,81E-04 -4,52E-05 -3,21E-04
88 -4,04E-05 5,69E-06 -4,29E-06 3,94E-04 5,66E-05 -3,24E-04
89 -3,76E-05 5,73E-06 3,60E-06 -1,17E-04 -9,85E-06 -1,74E-04
90 -2,50E-05 4,44E-06 -5,04E-06 -1,50E-04 3,53E-05 -1,57E-04
91 -3,51E-05 5,24E-06 -6,49E-06 -2,33E-05 -1,27E-05 -4,98E-04
92 -2,27E-05 4,02E-06 -1,10E-06 -1,68E-04 7,73E-06 -5,45E-04
93 -3,05E-05 5,79E-06 2,90E-08 2,77E-04 -5,94E-05 -5,54E-04
94 -3,45E-05 4,46E-06 -2,41E-06 4,11E-04 3,30E-05 -5,28E-04
95 -3,38E-05 6,80E-06 5,27E-06 -2,28E-05 2,02E-05 -4,33E-04
96 -1,69E-05 3,93E-06 -3,36E-06 -9,28E-05 2,05E-05 -3,92E-04
97 -3,59E-05 7,60E-06 -1,04E-06 -1,38E-04 3,64E-05 -6,55E-04
98 -4,84E-06 2,32E-06 -1,83E-06 -1,98E-04 9,16E-06 -6,92E-04
99 -3,36E-05 6,47E-06 -7,48E-07 5,61E-05 -1,68E-05 -6,18E-04
100 -8,26E-06 6,21E-07 -1,90E-06 1,46E-04 3,44E-05 -6,10E-04