métodos numéricos en ingeniería€¦ · se denomina eliminación gaussiana si en el proceso de...
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Métodos Numéricos en
IngenieríaResolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
M.C. Lourdes Sánchez Guerrero
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE ECUACIONES
LINEALES
Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas
Métodos Directos
Eliminación de Gauss-Jordan
Inversión de matrices
Métodos Iterativos
Gauss-Seidel
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE
ECUACIONES LINEALES
Ecuación algébraica lineal
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE
ECUACIONES LINEALES
Sistema de ecuaciones Lineales
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
...
a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE
ECUACIONES LINEALES
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Son los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del
sistema.
De acuerdo con su solución, un sistema puede ser:
Consistente, si admite solución;
Inconsistente, si no admite solución
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE
ECUACIONES LINEALES
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Un sistema Consistente puede ser:
Determinado, si la solución es única
Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de
soluciones.
Queda como tarea para los alumnos el teorema de rangos. Desarrollar la explicación del teorema de
rangos. Con ejemplos.
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE
ECUACIONES LINEALES
La eliminación Gaussiana
Usualmente se presentan estos sistemas de ecuaciones en álgebra.
Para la solución de ecuaciones algébricas lineales simultáneas
es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones.
Este método se conoce como Método de Eliminación.
Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular
atribuido a Gauss.
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE
ECUACIONES LINEALES
El sistema de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente. Que se
resuelve por "sustitución inversa"; en un procedimiento simple
TAREA
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE ECUACIONES
LINEALES
MÉTODO DE GAUSS – JORDAN
Es una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20
ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos
Se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas
las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote.
TAREA
El alumno desarrollara como tarea y tema de investigación el siguiente sistema de ecuaciones:
18.3X1 + 21X2 - 41X3 = 127
48.5X1 + 43X2 + 22X3 = 61
-93.2X1 + 12X2 - 7X3 = -129
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE
ECUACIONES LINEALES
INVERSIÓN DE MATRICES
A una matriz cuadrada no singular, significa, que su determinante es distinto de cero, |A|≠0.
Es posible determinar la inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan de eliminación completa.
Para lograrlo, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada
(A, I) de manera de transformar A en I.
Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz ampliada (I, A-1) , con lo que se tendrá la inversa buscada.
Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente
manera:
X = A-1C donde C es el vector de términos independientes.
RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE ECUACIONES LINEALES
TAREA
1.- Como tarea el alumno deberá explicar en que consiste el método de
inversión de matrices.
2.- Desarrolla el ejemplo del material de estudio.
3.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de inversión de
matrices.
18.3X1 + 21X2 - 41X3 = 127
48.5X1 + 43X2 + 22X3 = 61
-93.2X1 + 12X2 - 7X3 = -129