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Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 1/77

Álgebra LinealMa1010

Eliminación gaussiana y otros algoritmosDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionObjetivosMatriz EscalonadaPivoteGaussianaEj GaussAnalisis- Inconsistencia- Consistencia- Unica- InfinitasTodas lassolucionesGauss-JordanEj Gauss-JordanMontanteEj MontanteDiferenciasComplejidad- Gauss- Gauss-Jordan- MontanteCual es mejor?Algoritmos yComputadorasY losdeterminantes enMontante?Y yo?Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 2/77

Introducción

En esta lectura veremos procedimientossistemáticos para resolver un sistema deecuaciones lineales. Estos algoritmos trabajandirectamente sobre la matriz aumentada delsistema llevándola a la matriz de un sistematriangular que es equivalente al sistema inicial. Laequivalencia del sistema triangular final con elinicial se argumenta debido a que el algoritmo sóloutiliza los tres tipos de operaciones vistos en lalectura anterior y cuya aplicación individualsiempre preserva la equivalencia. Losprocedimientos que revisaremos son: el algoritmode Eliminación Gaussiana, el algoritmo deGauss-Jordan y el método Montante. Finalmente,se realizará una revisión sobre el trabajocomputacional realizado por estas estrategias.


Objetivos

Será importante que Usted■ Entienda los conceptos: matriz escalonada y

escalonada reducida.■ Entienda y mecanice los procedimientos de

◆ Eliminación gaussiana,◆ Eliminación de Gauss-Jordan, y◆ El método de Montante.

■ Conozca las diferencias en el proceder entre losalgoritmos vistos.

■ Comprenda las reglas para analizar lassoluciones a un sistema de ecuaciones.

■ Comprenda el concepto de complejidad de unalgoritmo.

■ Conozca las diferencias en los costos decómputo de los algoritmos vistos.


Forma escalonada por renglones

Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:



Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la

parte inferior de la matriz.





2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después delprimer renglón) se encuentra a la derecha del elementodelantero del renglón anterior.






Y se llama matriz escalonada reducida si esescalonada y además cumple:3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1.






Y se llama matriz escalonada reducida si esescalonada y además cumple:3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1.

4. Todos los elementos arriba y abajo de un 1 delantero son cero.


EjemploIndique porqué las siguientes matrices no sonescalonadas:

2 3 −1

0 0 0

0 0 1

,

2 3 −1

0 5 2

0 2 1

,

2 3 −1

0 0 2

0 3 2

0 0 0

,

0 0 0

0 1 −3

0 0 −3

,

0 0 3

0 1 −3

5 1 −3



2 3 −1

0 0 0

0 0 1

,

2 3 −1

0 5 2

0 2 1

,

2 3 −1

0 0 2

0 3 2

0 0 0

,

0 0 0

0 1 −3

0 0 −3

,

0 0 3

0 1 −3

5 1 −3

Soluci onEn el primer ejemplo, tiene un renglón de ceros yno aparece hasta el final; no se cumple lacondición 1.



2 3 −1

0 0 0

0 0 1

,

2 3 −1

0 5 2

0 2 1

,

2 3 −1

0 0 2

0 3 2

0 0 0

,

0 0 0

0 1 −3

0 0 −3

,

0 0 3

0 1 −3

5 1 −3

Soluci onEn el segundo ejemplo, cuando comparamos laposición del primer elemento no cero del segundorenglón (5) con la posición del primer elemento nocero del tercer renglón (2) vemos que el 2 no estáa la derecha del 5; no se cumple la condición 2.



2 3 −1

0 0 0

0 0 1

,

2 3 −1

0 5 2

0 2 1

,

2 3 −1

0 0 2

0 3 2

0 0 0

,

0 0 0

0 1 −3

0 0 −3

,

0 0 3

0 1 −3

5 1 −3

Soluci onEn el tercer ejemplo, el renglón de cero aparecehasta abajo, pero cuando se comparan loselementos delanteros de los renglones 2 y 3 elinferior no está a la derecha del elementodelantero superior: se cumple la condición 1 perono la 2.



2 3 −1

0 0 0

0 0 1

,

2 3 −1

0 5 2

0 2 1

,

2 3 −1

0 0 2

0 3 2

0 0 0

,

0 0 0

0 1 −3

0 0 −3

,

0 0 3

0 1 −3

5 1 −3

Soluci onEn el cuarto ejemplo, falla de nuevo la condición 1.



2 3 −1

0 0 0

0 0 1

,

2 3 −1

0 5 2

0 2 1

,

2 3 −1

0 0 2

0 3 2

0 0 0

,

0 0 0

0 1 −3

0 0 −3

,

0 0 3

0 1 −3

5 1 −3

Soluci onEn el último ejemplo, recuerde sólo hayescalonada de derecha a izquierda; el elementodelantero del renglón 2 no está a la derecha dedelantero del renglón 1 �


EjemploIndique porqué las siguientes matrices sı sonescalonadas:

2 3 −1

0 5 2

0 0 1

,

2 3 −1

0 1 2

0 0 0

0 0 0

,

0 2 3

0 0 −3

0 0 0

,

1 2 0

0 0 0

0 0 0

,

0 0 0

0 0 0

0 0 0


EjemploIndique porqué las siguientes matrices sı sonescalonadas:

2 3 −1

0 5 2

0 0 1

,

2 3 −1

0 1 2

0 0 0

0 0 0

,

0 2 3

0 0 −3

0 0 0

,

1 2 0

0 0 0

0 0 0

,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Soluci onObserve que las matrices listadas cumplen lascondiciones 1 y 2 �


EjemploIndique porqué las siguientes matrices sonescalonadas pero no reducidas:

1 3 −1

0 1 0

0 0 −2

,

1 2 −1

0 1 2

0 0 1

,

1 0 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

,

1 1 3

0 0 1

0 0 0

,

0 1 −3

0 0 1

0 0 0



1 3 −1

0 1 0

0 0 −2

,

1 2 −1

0 1 2

0 0 1

,

1 0 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

,

1 1 3

0 0 1

0 0 0

,

0 1 −3

0 0 1

0 0 0

Soluci onEn el primer ejemplo, está fallando la condición 3:el elemento delantero del renglón 3 debe ser 1.



1 3 −1

0 1 0

0 0 −2

,

1 2 −1

0 1 2

0 0 1

,

1 0 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

,

1 1 3

0 0 1

0 0 0

,

0 1 −3

0 0 1

0 0 0

Soluci onEn el segundo ejemplo, la condición 3 se cumplepero la condición 4 falla: arriba de los 1 delanterosdebe haber sólo ceros.



1 3 −1

0 1 0

0 0 −2

,

1 2 −1

0 1 2

0 0 1

,

1 0 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

,

1 1 3

0 0 1

0 0 0

,

0 1 −3

0 0 1

0 0 0

Soluci onEn los ejemplos 3, 4 y 5, note que la condición 4dice que todos los elementos superiores a loselementos delanteros deben ser cero. En estosejemplos no se cumple tan condición �


EjemploVerifique que las siguientes matrices sı sonescalonadas reducidas:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

1 0 −3

0 1 1

0 0 0

0 0 0

,

0 1 0

0 0 1

0 0 0

,

1 3 −4

0 0 0

0 0 0

,

0 0 0

0 0 0

0 0 0


EjemploVerifique que las siguientes matrices sı sonescalonadas reducidas:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

1 0 −3

0 1 1

0 0 0

0 0 0

,

0 1 0

0 0 1

0 0 0

,

1 3 −4

0 0 0

0 0 0

,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Soluci onObserve que en el ejemplo 2, el elemento (2,3) noes delantero por ello no se impone la condiciónque el elemento superior sea cero. La matriz esefectivamente escalonada reducida �


Pivotes de una matriz

Cuando una matriz está en su forma escalonada, los primeros

elementos diferentes de cero de cada renglón reciben el nombre de

elementos pivote o simplemente pivotes. Note que por ser el pivote

el primer elemento no cero del renglón, no hay forma que un

renglón tenga más de un pivote: puede no tener pivote en caso de

que sea un renglón de ceros, pero no puede tener dos o más. Note

también que por estar escalonada la matriz, no hay forma que dos

pivotes queden en la misma columna: puede una columna no tener

pivote, pero si tiene pivote no puede tener dos o más. De este

hecho, concluimos que una matriz m× n no puede tener mas de m

pivotes porque tiene a los más uno por cada renglón. Y por otro

lado, no puede tener más de n pivotes pues a lo más tiene un

pivote por cada columna. Es decir, el número de pivotes debe ser

menor o igual que el mínimo número entre m y n.


Algoritmo de eliminación gaussiana

El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussianaconsta de los siguientes pasos:



El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussianaconsta de los siguientes pasos:1. Determine la primer columna (a la izquierda) no

cero.




cero.2. Si el primer elemento de la columna es cero,

intercámbielo por un renglón que no tenga cero.





intercámbielo por un renglón que no tenga cero.3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero

sumando múltiplos adecuados a los renglonesdebajo de él.







4. Cubra el renglón y la columna de trabajo yrepita el proceso comenzando en el paso 1.







4. Cubra el renglón y la columna de trabajo yrepita el proceso comenzando en el paso 1.

5. Comenzando con el último renglón no ceroavance hacia arriba para que en cada renglóntenga un 1 delantero y arriba de él queden sóloceros.


Es importante observar que en el método deeliminación Gaussiana:■ Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente

escalonan la matriz; el paso 5 aplicadorepetidamente reduce la matriz.

■ En el paso 2, si el elemento no es cero no serealiza intercambio.

■ En el paso 3, los elementos que se hacen ceroson sólo los inferiores al pivote.


Eliminación Gaussiana: ejemplo

Ejemplo

Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz:

3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

Soluci onEl elemento (1, 1) será usado como pivote parahacer ceros debajo de él; para ello debemossumar múltiplos adecuados del renglón pivote alos renglones inferiores:



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R2←R2−(2/3)R1

−−−−−−−−−−−→

R3←R3−(−2/3)R1



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R2←R2−(2/3)R1

−−−−−−−−−−−→

R3←R3−(−2/3)R1

3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

(0.1)


En vista que elemento (2, 2) es cero debemos buscar en laparte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero yrealizar un intercambio de renglones:

3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1



3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

R2↔R3

−−−−→



3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

R2↔R3

−−−−→

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

(0.2)



3 6 −9 3

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

R2↔R3

−−−−→

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

(0.2)

El algortimo termina en sus pasos 1 al 4. Procede al paso 5.


Hagamos 1 el elemento (3, 3):

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2



3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

R3←1/(−2)R3

−−−−−−−−→



3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

R3←1/(−2)R3

−−−−−−−−→

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 1 1

(0.3)


Debemos hacer cero por arriba del elemento pivote (3, 3):

3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 1 1



3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 1 1

R1←R1−(−9)R3

−−−−−−−−−−→

R2←R2−(−2)R3



3 6 −9 3

0 1 −2 1

0 0 1 1

R1←R1−(−9)R3

−−−−−−−−−−→

R2←R2−(−2)R3

3 6 0 12

0 1 0 3

0 0 1 1

(0.4)


Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); elelemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacer cero porarriba de él:

3 6 0 12

0 1 0 3

0 0 1 1



3 6 0 12

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←R1−6R2

−−−−−−−−→



3 6 0 12

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←R1−6R2

−−−−−−−−→

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

(0.5)


El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglón:

3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1



3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←1/3R1

−−−−−−→



3 0 0 −6

0 1 0 3

0 0 1 1

R1←1/3R1

−−−−−−→

1 0 0 −2

0 1 0 3

0 0 1 1

� (0.6)


Análisis de los conjuntos solución

Una vez escalonando o reduciendo la matrizaumentada de un sistema, hay que saber conprecisión qué se puede decir sobre el conjunto desoluciones. Sólo hay tres posibles resultados en elanálisis:■ El sistema no tiene solución: sistema

inconsistente.■ El sistema tiene una única solución.■ El sistema tiene infinitas soluciones.


Regla de Inconsistencia

El sistema es inconsistente si aparece unpivote en la columna de términos constantes.




Ejemplo

Son inconsistentes los sistemas cuya matrizaumentada se convierte mediante operacioneselementales en:




Ejemplo


1 0 0 0

0 1 2 0

0 0 0 1

0 0 0 0




Ejemplo


1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1




Ejemplo


[

1 1 1 2

0 0 0 3

]

�


Regla de Consistencia

Es consistente cualquier sistema en cuyamatriz escalonada no aparece ningún pivoteen la columna de términos constantes.




Ejemplo

Son consistentes los sistemas cuya matrizaumentada se convierte mediante operacioneselementales en:




Ejemplo


1 1 1 3

0 2 2 2

0 0 3 1




Ejemplo


1 0 3 1

0 1 2 1

0 0 1 1

0 0 0 0




Ejemplo


[

1 1 1 2

0 1 1 1

]

�


Regla de la Soluci on Unica

Siendo un sistema consistente, el sistematiene solución única si en la matrizescalonada la columna de cada variable hayun pivote.




Ejemplo

Tienen solución única lo sistemas cuya matrizaumentada se convierte mediante operacioneselementales en:




Ejemplo


1 1 1 3

0 2 2 2

0 0 3 1




Ejemplo


1 0 3 1

0 1 2 1

0 0 1 1

0 0 0 0

�


Regla para Soluciones Infinitas

Si un sistema es consistente, el sistematiene soluciones infinitas si en la matrizescalonada hay una columna de una variablesin pivote.




Ejemplo

Tienen soluciones infinitas lo sistemas cuya matrizaumentada se convierte mediante operacioneselementales en:




Ejemplo


[

1 1 1 3

0 2 2 2

]




Ejemplo


1 1 1 3

0 2 2 2

0 0 0 0




Ejemplo


1 0 3 1

0 1 2 1

0 0 0 0

0 0 0 0

�


Nota Importante

Observe que los renglones de ceros no dan en generalinformación sobre cómo es el conjunto solución.

1 1 2 0

0 1 3 0

0 0 0 1

0 0 0 0

,

1 6 2 0

0 1 1 0

0 0 0 1

1 0 1 4

0 1 2 −1

0 0 1 1

0 0 0 0

,

1 0 1 4

0 1 2 −1

0 0 1 1

1 0 1 4

0 1 2 −1

0 0 0 0

,

1 0 1 4

0 1 2 −1

�


Ejemplo

Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada8× 5 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces ..

A es inconsistente.

B hay soluciones infinitas.

C tiene solución única.

D si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.

E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas.


Ejemplo


A es inconsistente.

B hay soluciones infinitas.

C tiene solución única.

D si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.


Soluci on

Puesto que la matriz escalonada de tiene 5 pivotes y la matriz tiene 5 columnas, entonces toda columna tiene pivote. En

particular, la última columna tendrá pivote. Como la matriz es aumentada, entonces la columna correspondiente a las

constantes tendrá pivote. Por lo tanto, el sistema original será inconsistente. La opción que describe la situación es A �


Ejemplo


A es inconsistente.

B tiene solución única.

C hay soluciones infinitas.

D si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.



Ejemplo


A es inconsistente.

B tiene solución única.

C hay soluciones infinitas.

D si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.


Soluci on

Puesto que la matriz reducida es 5 × 5 y tiene 4 pivotes, la última columna tiene la posibilidad de tener pivote. En cuyo

caso, el sistema será inconsistente. También se tiene la posibilidad de que la última columna no tenga pivote. En cuyo

caso, el sistema será consistente y los cuatro pivotes estarán en las primeras columnas. Y por tanto, en este caso la

columna de cada variable tendrá pivote y por consiguiente cada variable será fija. Y por lo tanto, en este caso habrá

solución única. La respuesta que describe mejor la situación es la D �


Ejemplo

Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene unamatriz aumentada 5× 6 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes,entonces ..

A tiene solución única.

B si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única.

C es inconsistente.

D hay soluciones infinitas.

E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no infinitas.


Ejemplo

Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene unamatriz aumentada 5× 6 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes,entonces ..

A tiene solución única.

B si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única.

C es inconsistente.

D hay soluciones infinitas.

E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no infinitas.

Soluci on

Puesto que el sistema es homogéneo, en la columna de las constantes habrá sólo ceros. Por la naturaleza de las

operaciones elementales, en la matriz reducida sólo habrá ceros en tal columna. Por tanto, no habrá pivotes en la

columna de las constantes. Por tanto, el sistema será consistente y los 5 pivotes estarán en las primeras columnas y por

tanto, en la columna de cada variable habrá pivote. Por tanto, el sistema será consistente con solución única �


Fórmula para todas las soluciones

Veamos ahora una estrategia para obtener lafórmula de donde se obtienen todas las solucionesa un sistemas de ecuaciones lineales cuando elsistema tiene infinitas soluciones. Ilustraremosesto mediante un par de ejemplos.


Ejemplo

Manejando el orden x, y, z, w escriba en formavectorial la solución general al sistema:

4w + 2 x+ 6 y + 2 z = 2

w + 3 x+ 9 y + 4 z = −14

4w + 3 x+ 9 y + 3 z = −3

3w + 4 x+ 12 y + 4 z = −11

Reporte las coordenadas del vector que multiplicaa la variable libre en la solución resultante.


Soluci on (Y m etodo general)Paso 1: Apliquemos Gauss a la matriz aumentada

Formamos la matriz aumentada con el orden que sugiere elproblema (x, y, z, w):

2 6 2 4 2

3 9 4 1 −14

3 9 3 4 −3

4 12 4 3 −11

→

1 3 0 0 −3

0 0 1 0 −2

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

Al aplicar las reglas de análisis, observamos que el sistema esconsistente (al no haber pivote en la columna de las constantes) ycon soluciones infinitas (al ser y una variable libre, recuerde que lasvariables fijas son aquellas en cuya columna hay pivote)


Paso 2: Convierta cada rengl on no cero en ecuaci on

El renglón 1 de la reducida que:

x+ 3 y = −3

El renglón 2 queda:

z = −2

y el renglón 3 queda:

w = 3

Paso 3: De cada ecuaci on, despeje la variable delantera.

x+ 3 y = −3 → x = −3− 3 y

z = −2 → z = −2

w = 3 → w = 3


Paso 4: Se complementan las ecuaciones introduciendo ecuaciones donde

cada variable libre es igual a sı misma.

x = −3− 3 y

y = y

z = −2

w = 3


Paso 5: Se reescribe en forma vectorial las soluciones

x

y

z

w

=

−3− 3 y

y

−2

3


Paso 6: Se separa el segundo miembro de acuerdo a las constantes y a las

variables libres

x

y

z

w

=

−3

0

−2

3

+ y

−3

1

0

0

Lo anterior es la fórmula general para todas las soluciones delsistema original; el concepto de variable libre indica que se puedetomar cualquier valor y que con él se produce una solución.También, aunque esto no es tan evidente, que cualquier otrasolución puede obtenerse de esta fórmula para valores adecuadosde las variables libres �


Ejemplo

Determine la solución general en forma vectorialpara el sistema:

6w − 2 x+ 3 y + 3 z = 3

5w + 2 x+ y − 2 z = 2

w − 4 x+ 2 y + 5 z = 1

13w − 8 x+ 8 y + 11 z = 7

Soluci onSigamos la metodología descrita en el ejemploanterior:


Aplicamos Gauss a la matriz aumentada (orden: x, y, z, w):

−2 3 3 6 3

2 1 −2 5 2

−4 2 5 1 1

−8 8 11 13 7

→

1 0 −9/8 9/8 3/8

0 1 1/4 11/4 5/4

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Convertimos cada renglón diferentes de cero de la matriz reducidaa una ecuación:

x− 9/8 z + 9/8w = 3/8

y + 1/4 z + 11/4w = 5/4


Ahora, despejamos las variables fijas (x y y):

x = 3/8 + 9/8 z − 9/8w

y = 5/4− 1/4 z − 11/4w

Complementamos las ecuaciones con ecuaciones donde cadavariable libre está igualada a sí misma:

x = 3/8 + 9/8 z − 9/8w

y = 5/4− 1/4 z − 11/4w

z = z

w = w


Ahora, le damos a lo anterior la forma de una igualdad entrevectores:

x

y

z

w

=

3/8 + 9/8 z − 9/8w

5/4− 1/4 z − 11/4w

z

w

Finalmente, separamos el lado izquierdo de acuerdo a las variableslibres:

x

y

z

w

=

3/8

5/4

0

0

+ z

9/8

−1/4

1

0

+ w

−9/8

−11/4

0

1

�


Algoritmo de Gauss-Jordan

El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de lossiguientes pasos:



El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de lossiguientes pasos:1. Determine la primer columna (a la izquierda) no

cero.





intercámbielo por un renglón que no tenga cero.Multiplicando apropiadamente el renglón,hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.






3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivotesumando múltiplos adecuados a los renglonesdebajo de renglón pivote en la matriz completa.






3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivotesumando múltiplos adecuados a los renglonesdebajo de renglón pivote en la matriz completa.

4. Cubra la columna y el renglón de trabajo yrepita el proceso comenzando en el paso 1 conla columna siguiente.


Es importante observar que en el método deGauss-Jordan:■ En la idea general, la matriz se va escalonando y

reduciendo a la vez.■ En el paso 2, si el elemento no es cero no se

realiza intercambio.■ En el paso 3, los elementos que se hacen cero

no solo son los inferiores al pivote (EliminaciónGaussiana) sino también los superiores.


Algoritmo de Gauss-Jordan: ejemplo

Ejemplo

Aplique el algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz:

3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

Soluci on



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

Soluci onContrario al algoritmo de Gauss, el algoritmo deGauss-Jordan primero crea los 1’s pivote:

3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R1←1/3R1

−−−−−−→



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R1←1/3R1

−−−−−−→

1 2 −3 1

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

(0.7)


Posteriormente hace cero debajo de él:

1 2 −3 1

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1



1 2 −3 1

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R2←R2−2R1

−−−−−−−−−−→

R3←R3−(−2)R1



1 2 −3 1

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R2←R2−2R1

−−−−−−−−−−→

R3←R3−(−2)R1

1 2 −3 1

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

(0.8)


En este caso el elemento (2, 2) es cero y se deberá buscar unelemento inferior que sea diferente de cero:

1 2 −3 1

0 0 −2 −2

0 1 −2 1



1 2 −3 1

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

R2↔R3

−−−−→



1 2 −3 1

0 0 −2 −2

0 1 −2 1

R2↔R3

−−−−→

1 2 −3 1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

(0.9)


El elemento pivote (2, 2) ya es 1; el algoritmo procede ahora ahacer ceros arriba y debajo de él:

1 2 −3 1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2



1 2 −3 1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

R1←R1−2R2

−−−−−−−−→



1 2 −3 1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

R1←R1−2R2

−−−−−−−−→

1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

(0.10)


El pivote es ahora el elemento (3, 3); primero se crea el 1pivote:

1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2



1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

R3←1/(−2)R3

−−−−−−−−→



1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 −2 −2

R3←1/(−2)R3

−−−−−−−−→

1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 1 1

(0.11)


Posteriormente, se hacen ceros arriba y debajo de él:

1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 1 1



1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 1 1

R1←R1−1R3

−−−−−−−−−−→

R2←R2−(−2)R3



1 0 1 −1

0 1 −2 1

0 0 1 1

R1←R1−1R3

−−−−−−−−−−→

R2←R2−(−2)R3

1 0 0 −2

0 1 0 3

0 0 1 1

� (0.12)


Método Montante

El Algoritmo Montante es una estrategiadesarrollada en los 70s por el profesor Mario RenéMontante en aquel entonces profesor de FIME dela UANL, México. El método trabaja bajo elsupuesto principal que la matriz es sólo denúmeros enteros y que no se realizaría ningunadivisión entre enteros salvo al final. Esto minimizael total de errores por redondeo. El métodoprocede de una forma semejante al deGauss-Jordan sin hacer uno los pivotes y forzandoa que los elementos que se harán cero seanmúltiplos del pivote.


El método consta de los siguientes pasos:


El método consta de los siguientes pasos:1. Determine la primer columna (a la izquierda) no

cero.




intercámbielo por un renglón que no tenga cero.Este se llamará elemento pivote x.





3. Obtenga ceros arriba y abajo del pivote x Entérminos de operaciones elementales lo que serealiza es que para cada renglón i diferente delrenglón pivote hacer

Ri ← xRi

Ri ← Ri − ai,mRm





3. Obtenga ceros arriba y abajo del pivote x Entérminos de operaciones elementales lo que serealiza es que para cada renglón i diferente delrenglón pivote hacer

Ri ← xRi

Ri ← Ri − ai,mRm

4. Repita el proceso comenzando en el paso 1para el renglón siguiente.


El principal comentario es que en el paso 3 lainstrucción Ri ← xRi tiene la intención de hacerque el elemento a hacer 0 se haga un múltiplo delelemento pivote de forma tal que no se requiereninguna división en la instrucción de eliminación.


Método de Montante: ejemplo

Ejemplo

Aplique el algoritmo de Montante a la matriz:

3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

Soluci on



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

Soluci onDebemos multiplicar el renglón 2 y 3 por elelemento (1, 1):

3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R2←3R2

−−−−−→R3←3R3



Ejemplo


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1


3 6 −9 3

2 4 −8 0

−2 −3 4 −1

R2←3R2

−−−−−→R3←3R3

3 6 −9 3

6 12 −24 0

−6 −9 12 −3

(0.13)


Ahora la cancelación procede utilizando el renglón 1 con loselementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multiplicación:

3 6 −9 3

6 12 −24 0

−6 −9 12 −3



3 6 −9 3

6 12 −24 0

−6 −9 12 −3

R2←R2−(2)R1

−−−−−−−−−−→

R3←R3−(−2)R1



3 6 −9 3

6 12 −24 0

−6 −9 12 −3

R2←R2−(2)R1

−−−−−−−−−−→

R3←R3−(−2)R1

3 6 −9 3

0 0 −6 −6

0 3 −6 3

(0.14)


Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tenerun pivote en (2, 2):

3 6 −9 3

0 0 −6 −6

0 3 −6 3



3 6 −9 3

0 0 −6 −6

0 3 −6 3

R2↔R3

−−−−→



3 6 −9 3

0 0 −6 −6

0 3 −6 3

R2↔R3

−−−−→

3 6 −9 3

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

(0.15)


Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmoprocede multiplicando el renglón 1 por el pivote (2, 2):

3 6 −9 3

0 3 −6 3

0 0 −6 −6



3 6 −9 3

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

R1←3R1

−−−−−→



3 6 −9 3

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

R1←3R1

−−−−−→

9 18 −27 9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

(0.16)


La cancelación arriba del pivote (2, 2) procede restando alrenglón 1 el renglón pivote por el contenido previo delelemento (1, 2):

9 18 −27 9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6



9 18 −27 9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

R1←R1−(6)R2

−−−−−−−−−→



9 18 −27 9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

R1←R1−(6)R2

−−−−−−−−−→

9 0 9 −9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

(0.17)


Ahora el pivote es el elemento (3, 3) y debemos hacer ceroarriba de él. Para ello el algoritmo procede multiplicando losrenglónes donde se hará la cancelación por el elementopivote:

9 0 9 −9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6



9 0 9 −9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

R1←−6R1

−−−−−−→R2←−6R2



9 0 9 −9

0 3 −6 3

0 0 −6 −6

R1←−6R1

−−−−−−→R2←−6R2

−54 0 −54 54

0 −18 36 −18

0 0 −6 −6

(0.18)


La cancelación procede restando los múltiplos del renglón 3usando los elementos anteriores a la multiplicación:

−54 0 −54 54

0 −18 36 −18

0 0 −6 −6



−54 0 −54 54

0 −18 36 −18

0 0 −6 −6

R1←R1−(9)R3

−−−−−−−−−−→

R2←R2−(−6)R3



−54 0 −54 54

0 −18 36 −18

0 0 −6 −6

R1←R1−(9)R3

−−−−−−−−−−→

R2←R2−(−6)R3

−54 0 0 108

0 −18 0 −54

0 0 −6 −6

(0.19)


Las únicas divisiones proceden al final:

−54 0 0 108

0 −18 0 −54

0 0 −6 −6



−54 0 0 108

0 −18 0 −54

0 0 −6 −6

R1 ← 1/(−54)R1

R2 ← 1/(−18)R2−−−−−−−−−−−−−−−→

R3←1/(−6)R3



−54 0 0 108

0 −18 0 −54

0 0 −6 −6

R1 ← 1/(−54)R1

R2 ← 1/(−18)R2−−−−−−−−−−−−−−−→

R3←1/(−6)R3

1 0 0 −2

0 1 0 3

0 0 1 1

�

(0.20)


Diferencias operativas de los métodos

EjemploPara la matriz:

23 13 1

0 11 −3

indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a:a) Eliminación Gaussiana

b) Método de Gauss-Jordan

c) Método de Montanteentre las opciones:1) R1 ← 11R1

2) R1 ←1

23R1

3) R1 ← R1 −13

11R2

4) R2 ←1

11R2


Diferencias operativas de los métodos

EjemploPara la matriz:

23 13 1

0 11 −3

indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a:a) Eliminación Gaussiana

b) Método de Gauss-Jordan

c) Método de Montanteentre las opciones:1) R1 ← 11R1

2) R1 ←1

23R1

3) R1 ← R1 −13

11R2

4) R2 ←1

11R2

Respuesta :

Eliminación Gaussiana→ 4, Gauss-Jordan→ 2, Montante→ 1�


Complejidad de un algoritmo

La palabra FLOP (FLoating point OPeration) refierea una operación entre números reales y abarcasuma, resta, multiplicación, o división.Actualmente, en computación la palabra FLOPS esutilizada como acrónimo de FLoating pointOperations Per Second, pero en el área de análisisde algoritmos y para nosotros tiene el significadoque ya explicamos y FLOPs será el plural deFLOP.El análisis que realizaremos de la complejidad delos algoritmos vistos será contando el número totalde FLOPs que se invierte cuando se aplica a unsistema lineal de n ecuaciones con n incógnitasgeneral.


Complejidad del algoritmo de Gauss

Es importante notar que el proceso de Gaussavanza dejando la matriz escalonada hasta lacolumna de trabajo:

a1,1 a1,2 · · · a1,m−1 a1,m · · ·

0 a2,2 · · · a2,m−1 a2,m · · ·

......

. . ....

......

0 0 · · · am−1,m−1 am−1,m · · ·

0 0 · · · 0 am,m · · ·

......

. . ....

......

0 0 · · · 0 an,m · · ·


1 Ciclo del paso 1 al 4En el paso 3 hay que hacer cero debajo delelemento (m,m), para cada uno de los m− nrenglones inferiores Ri; para ello habrá que■ calcular el factor f = ai,m/am,m

■ realizar la operación:

Ri ← Ri − f Rm.

2(n−m+ 1) + 1 = 2n− 2m+ 3.entonces para realizar un ciclo desde el paso 1hasta el paso 4 deben hacerse(n−m) (2n− 2m+ 3) FLOPS.

n−1∑

m=1

(n−m) (2n− 2m+ 3) =2

3n3 +

1

2n2−

7

6n.


a1,1 a1,2 · · · a1,m 0 · · · 0 a1,n+1

0 a2,2 · · · a2,m 0 · · · 0 a2,n+1

......

. . ....

......

......

0 0 · · · am,m 0 · · · 0 am,n+1

0 0 · · · 0 1 · · · 0 am+1,n+1

......

. . ....

.... . .

......

0 0 · · · 0 0 · · · 1 an,n+1


2 Ciclo del paso 5.Las operaciones implicadas en el paso 5 serán■ Rm ←

1am,m

Rm

■ Rj ← Rj − aj,mRm

2 (m− 1) + 1 = 2m− 1



1am,m

Rm


2 (m− 1) + 1 = 2m− 1

Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5será:

1∑

m=n

(2m− 1) = n2



1am,m

Rm


2 (m− 1) + 1 = 2m− 1

Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5será:

1∑

m=n

(2m− 1) = n2

2

3n3 +

3

2n2−

7

6n


Complejidad del algoritmo de Gauss-Jordan

1 0 · · · 0 a1,m · · ·

0 1 · · · 0 a2,m · · ·

......

. . ....

......

0 0 · · · 1 am−1,m · · ·

0 0 · · · 0 am,m · · ·

......

. . ....

......

0 0 · · · 0 an,m · · ·


1. Paso 2.

(n+ 1)− (m+ 1) + 1 = n−m+ 1

divisiones.


2. Paso 3.

Ri ← Ri − ai,mRm.


2. Paso 3.


para hacer un cero en un renglón arriba o abajode (m,m) se requieren 2 (n−m+ 1)


2. Paso 3.


para hacer un cero en un renglón arriba o abajode (m,m) se requieren 2 (n−m+ 1) Como hayen total n renglones (n− 1) 2 (n−m+ 1)


2. Paso 3.


para hacer un cero en un renglón arriba o abajode (m,m) se requieren 2 (n−m+ 1) Como hayen total n renglones (n− 1) 2 (n−m+ 1) enuna iteración del paso 2 seguido del paso 3 seharán n−m+ 1 + (n− 1) 2 (n−m+ 1)


2. Paso 3.


para hacer un cero en un renglón arriba o abajode (m,m) se requieren 2 (n−m+ 1) Como hayen total n renglones (n− 1) 2 (n−m+ 1) enuna iteración del paso 2 seguido del paso 3 seharán n−m+ 1 + (n− 1) 2 (n−m+ 1)

n∑

m=1

(n−m+ 1 + (n− 1) 2 (n−m+ 1)) = n3+1

2n2−

1

2n


Así, la complejidad del algoritmo de Gauss-Jordanes:

n3 +1

2n2−

1

2n


Complejidad del algoritmo de Montante

a1,1 0 · · · 0 a1,m · · ·

0 a2,2 · · · 0 a2,m · · ·

......

. . ....

......

0 0 · · · am−1,m−1 am−1,m · · ·

0 0 · · · 0 am,m · · ·

......

. . ....

......

0 0 · · · 0 an,m · · ·


■ Multiplicación de los renglones superiores poram,m.

(m− 1) (n−m+ 1) +m− 1

■ Multiplicación de los renglones inferiores poram,m.



(m− 1) (n−m+ 1) +m− 1


(n−m) (n−m+ 1)

■ A cada renglón diferente de m aplicarleRi ← Ri − ai,mRm



(m− 1) (n−m+ 1) +m− 1


(n−m) (n−m+ 1)


(n− 1) 2 (n−m+ 1)



(m− 1) (n−m+ 1) +m− 1


(n−m) (n−m+ 1)


(n− 1) 2 (n−m+ 1)

el total de FLOPs para el trabajo con el renglón mes:

3n2− 3mn+ 4m− 4


Por consiguiente, al repetir estos pasos desde elprimer renglón hasta el último darán un total deFLOPs:

n∑

m=1

(

3n2− 3mn+ 4m− 4

)

=3

2n3 +

1

2n2− 2n



n∑

m=1

(

3n2− 3mn+ 4m− 4

)

=3

2n3 +

1

2n2− 2n

Posteriormente habrá que hacer 1 cada elementopivote realizando n divisiones adicionales.



n∑

m=1

(

3n2− 3mn+ 4m− 4

)

=3

2n3 +

1

2n2− 2n

Posteriormente habrá que hacer 1 cada elementopivote realizando n divisiones adicionales. Así, lacomplejidad del algoritmo de Montante es:

3

2n3 +

1

2n2− n


Comparativa de los algoritmos

A pesar que la complejidad de los algoritmosindica que el algoritmo de eliminación gaussianaes mejor por tener la menor complejidad,



A pesar que la complejidad de los algoritmosindica que el algoritmo de eliminación gaussianaes mejor por tener la menor complejidad, laversión en computadora paralela (muchosprocesadores) del algoritmo de Gauss-Jordantiene una menor complejidad que la versiónparalela del algoritmo de Eliminación Gaussiana.



A pesar que la complejidad de los algoritmosindica que el algoritmo de eliminación gaussianaes mejor por tener la menor complejidad, laversión en computadora paralela (muchosprocesadores) del algoritmo de Gauss-Jordantiene una menor complejidad que la versiónparalela del algoritmo de Eliminación Gaussiana.El algoritmo de Montante tiene la ventaja que si seutiliza para matrices con coeficientes enteros lasúnicas divisiones realizadas serán las últimas, locual reduce sustancialmente el error numérico.



A pesar que la complejidad de los algoritmosindica que el algoritmo de eliminación gaussianaes mejor por tener la menor complejidad, laversión en computadora paralela (muchosprocesadores) del algoritmo de Gauss-Jordantiene una menor complejidad que la versiónparalela del algoritmo de Eliminación Gaussiana.El algoritmo de Montante tiene la ventaja que si seutiliza para matrices con coeficientes enteros lasúnicas divisiones realizadas serán las últimas, locual reduce sustancialmente el error numérico.Una desventaja importante del algoritmo deMontante es que los coeficientes en la matrizpueden crecer considerablemente.


Algoritmos y computadoras

Las computadoras operan realizandoinstrucciones básicas paso a paso.



Las computadoras operan realizandoinstrucciones básicas paso a paso. Dichasinstrucciones son ejecutadas en forma síncronacon un reloj interno.



Las computadoras operan realizandoinstrucciones básicas paso a paso. Dichasinstrucciones son ejecutadas en forma síncronacon un reloj interno. En nuestros días (año de2005), es común escuchar que la velocidad de unacomputadora se mida en algunos pocos gigahertz,digamos por ejemplo 1.3 Gigahertz.



Las computadoras operan realizandoinstrucciones básicas paso a paso. Dichasinstrucciones son ejecutadas en forma síncronacon un reloj interno. En nuestros días (año de2005), es común escuchar que la velocidad de unacomputadora se mida en algunos pocos gigahertz,digamos por ejemplo 1.3 Gigahertz. Ello quieredecir que el reloj interno de una computadoraejecutará 1.3× 109 ciclos en un segundo.



Las computadoras operan realizandoinstrucciones básicas paso a paso. Dichasinstrucciones son ejecutadas en forma síncronacon un reloj interno. En nuestros días (año de2005), es común escuchar que la velocidad de unacomputadora se mida en algunos pocos gigahertz,digamos por ejemplo 1.3 Gigahertz. Ello quieredecir que el reloj interno de una computadoraejecutará 1.3× 109 ciclos en un segundo. Lo cualequivale a decir que aproximadamente dichacomputadora ejecutará 1.3× 109 instruccionesbásicas en un segundo.


El tiempo de ejecución de un FLOP en lascomputadoras puede variar;


El tiempo de ejecución de un FLOP en lascomputadoras puede variar; en algunascomputadoras toma el tiempo de 1, 2 o en algunoscasos 3, instrucciones básicas para completar unFLOP.


El tiempo de ejecución de un FLOP en lascomputadoras puede variar; en algunascomputadoras toma el tiempo de 1, 2 o en algunoscasos 3, instrucciones básicas para completar unFLOP. Si seguimos el ejemplo de la computadorade 1.3 Ghz y suponemos que nuestra hipotéticacomputadora tome 2 instrucciones básicas paracompletar un FLOP,


El tiempo de ejecución de un FLOP en lascomputadoras puede variar; en algunascomputadoras toma el tiempo de 1, 2 o en algunoscasos 3, instrucciones básicas para completar unFLOP. Si seguimos el ejemplo de la computadorade 1.3 Ghz y suponemos que nuestra hipotéticacomputadora tome 2 instrucciones básicas paracompletar un FLOP, podríamos decir que cadaFLOP tomaría 1/(1.3× 109)/2 segundos.


Para tener una idea del uso de la complejidad delalgoritmo para determinar tiempos de computo,digamos que se desea utilizar un programa querealiza el algoritmo de Gauss en dichacomputadora para resolver un sistema de100× 100.


Para tener una idea del uso de la complejidad delalgoritmo para determinar tiempos de computo,digamos que se desea utilizar un programa querealiza el algoritmo de Gauss en dichacomputadora para resolver un sistema de100× 100. Entonces, dicho programa realizará681550 FLOPs,


Para tener una idea del uso de la complejidad delalgoritmo para determinar tiempos de computo,digamos que se desea utilizar un programa querealiza el algoritmo de Gauss en dichacomputadora para resolver un sistema de100× 100. Entonces, dicho programa realizará681550 FLOPs, por consiguiente el tiempo quetomará solo en operaciones de punto flotante será681550/(1.3× 109)/2 ≈ 0.000262 segundos.


Para tener una idea del uso de la complejidad delalgoritmo para determinar tiempos de computo,digamos que se desea utilizar un programa querealiza el algoritmo de Gauss en dichacomputadora para resolver un sistema de100× 100. Entonces, dicho programa realizará681550 FLOPs, por consiguiente el tiempo quetomará solo en operaciones de punto flotante será681550/(1.3× 109)/2 ≈ 0.000262 segundos.Mientras que para un sistema 1000× 1000 será de.256986 segundos y para uno de 10000× 10000será de 256.467 segundos.


En ambientes de manufactura donde se utiliza elmétodo del elemento finito para hacersimulaciones, es común trabajar con matrices demás de 106 × 106. Resolver un sistema 106 × 106

en tal computadora se requeriría, contando sólotiempo por operaciones de punto flotante, un pocomás de 8 años en ser resuelto. Además, requeriríamás de 900 terabytes para ser almacenado. Porello, es que existen algoritmos especializados queaprovechan el hecho de que la matriz tiene unaforma particular para economizar operaciones yespacio.


Y los determinantes del Método de Montante?

En la definición original del método de Montantecomo fue propuesto por su creador, se hacíareferencia a determinantes de 2 por 2. En lapresentación dada en esta lectura hemos omitidotal referencia y hemos preferido reducir el métodoa operaciones elementales de renglón las cualescreemos que hacen el método más claro y que norequieren ningún otro concepto. Para corroborar laequivalencia, vea los siguientes cálculos al aplicarel método Montante en la matriz dada y comparelos contenidos de la matriz intermedia en laposición (2, 2) o (3, 2) con la matriz inicial.


Primeramente obligamos a que sean múltiplos de (1, 1) los contenidos de (2, 1) y(3, 1):

a11 a12 · · ·

a21 a22 · · ·

a31 a32 · · ·

R2←a11 R2−−−−−−−→R3←a11 R3

a11 a12 · · ·

a11a21 a11a22 · · ·

a11a31 a11a32 · · ·

(0.21)

Posteriormente, se procede a hacerlos cero utilizando el elemento pivote (1, 1):

a11 a12 · · ·

a11a21 a11a22 · · ·

a11a31 a11a32 · · ·

R2←R2−a21 R1−−−−−−−−−−→R3←R3−a31 R3

a11 a12 · · ·

0 a11a22 − a21a12 · · ·

0 a11a32 − a31a12 · · ·

(0.22)

Viendo los contenidos finales de (2, 2) o de (3, 2) la referencia a los determinantes 2

por 2 en la matriz inicial es obvia, aunque consideramos que también innecesaria.


Pero, qué método me conviene seguir?

Como se verá más adelante en el curso, debido alsignificado de cada número en la reducida, lamatriz reducida obtenida de una matriz dada esúnica. Esto significa que cualquier procedimientobasado en operaciones elementales de renglóndebe llevar al mismo resultado. Por tanto, esto nosda la posibilidad de seguir cualquier estrategiabasada en operaciones elementales de renglónpara reducir una matriz. Lo que normalmente sehace es revisar a simple vista en cada momentoaquél elemento que conviene que sea pivote demanera que involucre o menor número deoperaciones o bien operaciones menos complejas.Sin duda, el hacer un número razonable deejemplos le irá construyendo la intuición delcamino personal de reducción de una matriz.

Álgebra lineal ma1010 - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-02a.pdf ·...

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