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Método Simplex
para resolver PPL
MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés. Junio 2012
Universidad de Managua
Investigación de Operaciones I
Método Simplex para PL
. El Método Simplex
Ejemplo.
Resolver el siguiente problema de P.L.
Max
s. a:
21 34 xxz
Inv
esti
gac
ión
de O
pe
rac
ion
es
Ju
lio R
ito V
arg
as
Avil
és
0,
602
40
21
21
21
xx
xx
xx
Para resolver por el método
simplex, primero debemos
eliminar las desigualdades en
las restricciones. Eso se logra
introduciendo variables de
holguras.
En la primer restricción
sumamos una variable x3 para
establecer la igualdad. Lo
mismo hacemos con la segunda
restricción, le sumamos una
variable x4.
Método Simplex para PL
El Método Simplex
Ejemplo.
Modelo ampliado
Max
0,
602
40
:.
00034
21
421
321
4321
xx
xxx
xxx
as
xxxxZ
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Las variables holguras
hemos introducidos en
las restricciones, serán
parte de la función
objetivo pero tendrán
coeficiente cero, ya que
no deben alterar los
resultados del modelo.
La función objetivo se
iguala a cero, por
simples transformaciones
algebraicas.
Método Simplex para PL
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB X1 X2 X3 x4 LD
Z -4 -3 0 0 0
X3 1 1 1 0 40
X4 2 1 0 1 60
Iteración 0:
En la primera iteración se hace tomando en cuenta cual es valor
más negativo de la primer fila (fila de Z), puede verse que es -4,
esto determina que la variable que entrará a las VB será x1.
Cada valor de la
columna
seleccionada que no
sea ni cero ni
negativo se divide
por sus lados
derechos
respectivos, esto es
40/1 y 60/2, el
cociente más
pequeño
determinará la VB
que sale. En este
caso sale x4.
Una vez seleccionada la columna y fila pivote,
procedemos a través de transformaciones de
filas a hacer cero los valores de la columna
pivote excepto el número pivote que tiene que
ser uno.
Método Simplex para PL In
vesti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB X1 X2 X3 x4 LD
Z -4 -3 0 0 0
X3 1 1 1 0 40
X4 2 1 0 1 60
Una vez seleccionada la columna y fila pivote, procedemos a
través de transformaciones de filas a hacer cero los valores
de la columna pivote excepto el número pivote que tiene que
ser uno.
1/2f3
X3= 40
X4= 60 Z= 0
SBF 2
Método Simplex para PL
Iteración 1:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4 LD
Z -4 -3 0 0 0
X3 1 1 1 0 40
X1 1 1/2 0 1/2 30
Una vez seleccionada la columna y fila pivote, procedemos a través
de transformaciones de filas a hacer cero los valores de la columna
pivote excepto el número pivote que tiene que ser uno.
4f3+f1
-f3+f2
Método Simplex para PL
El Método Simplex.
Iteración 1:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4 LD
Z 0 -1 0 2 120
X3 0 1/2 1 -1/2 10
X1 1 1/2 0 1/2 30
X3= 10
X1= 30 Z= 120
SBF 2
Método Simplex para PL
Iteración 2:En la segunda iteración, se hace tomando en cuenta el
valor más negativo de la primer fila (fila de Z), puede verse que es -1,
esto determina que la variable que entrará a las VB será x2.
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4 LD
Z 0 -1 0 2 120
X3 0 1/2 1 -1/2 10
X1 1 1/2 0 1/2 30
. Cada valor de la columna seleccionada que no sea ni cero ni
negativo se divide por sus lados derechos respectivos, esto es
10/½ y 60/½, el cociente más pequeño determinará la VB que sale.
En este caso sale X3.
2f2
Método Simplex para PL
El Método Simplex.
Iteración 2:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4 LD
Z 0 -1 0 2 120
X2 0 1 2 -1 20
X1 1 1/2 0 1/2 30 -1/2f2+f3 f3
Método Simplex para PL
El Método Simplex.
Iteración 2:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4 LD
Z 0 -1 0 2 120
X2 0 1 2 -1 20
X1 1 0 -1 1 20
f2+f1 -->f1
Método Simplex para PL
El Método Simplex.
Iteración 2:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4 LD
Z 0 0 2 1 140
X2 0 1 2 -1 20
X1 1 0 -1 1 20
llegamos a la solución óptima, al no haber valores negativos en la
primer fila. Por tanto x2=20 y x1=20 con un z=140 (óptimo)
Método Simplex para PL
Forma Matricial o Simplex Revisado
En este caso:
60
40
3,4
b
c
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
1012
0111, IA
4
3
x
xX
X
XX
B
B
N
Método Simplex para PL
Iteración 0:
Entonces:
Solución factible (0,0,40,60) Z=0
1
10
01
BB
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
4
3
x
xX B
60
40
60
40
10
01
4
3
x
x
0,0Bc
060
400,0
BB Xcz
Método Simplex para PL
Iteración 1:
Entonces:
Solución factible (30,0,10,0) Z=120
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
1
3
x
xX B
30
10
60
40
2
10
2
11
1
3
x
x
4,0Bc 120
30
104,0
BB Xcz
2
10
2
11
20
111BB
Método Simplex para PL
Iteración 2:
Entonces:
Solución factible (4,3,0,0) Z=140
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
1
2
x
xX B
20
20
60
40
11
12
1
2
x
x
4,3Bc 140
20
204,3
BB Xcz
11
12
21
111BB