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Monte-Carlo Simulation in Theorie und Praxis

Prof. Dr. Michael Fröhlich

Bachelor-OrientierungstageTagungsstätte Loccum

21. bis 22. Oktober 2015

Prof. Dr. Michael Fröhlich (OTH Regensburg)Monte-Carlo Simulation in Theorie und Praxis 22.10. 2015 1 / 41

Agenda

1 Zufallsvariablen

2 Verteilungen

3 Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

4 Excel-Beispiele

1.1. Zufallsvariablen

Zufallsexperiment: Ein Experiment (Versuch), dessen Ausgangdurch keine Regel exakt bestimmbar ist, z.B. Würfeln.

Ereignis: Jedes (theoretisch) beobachtbare Ereignis einesExperiments.

Zufälliges Ereignis: Ein Ereignis, das weder sicher nochunmöglich ist. Ereignisse können sich durch mengentheoretischeVerknüpfungen zu weiteren Ereignissen kombinieren lassen.

Ereignisraum Ω: Menge der bei einem Experiment möglichenEreignisse.

σ-Algebra A: Mengensystem der Potenzmenge von Ω im Sinnevon Wahrscheinlichkeiten zuordnen.

Wahrscheinlichkeit: Definition nach Laplace:Für jedes Ereignis A ⊆ Ω ist definiert

P(A) =Anzahl der für A günstigen EreignisseAnzahl der für A möglichen Ereignisse .

Wahrscheinlichkeitsmaß P Definition nach Kolmogorov:Für jedes Ereignis A ∈ A ist definiert

I P(A) ≥ 0.I P(Ω) = 1.I Für paarweise disjunkte Ereignisse Ai aus A gilt

Ai) =∑

P(Ai).

Ai) =∑

P(Ai).

I P(A) ≥ 0.

I P(Ω) = 1.I Für paarweise disjunkte Ereignisse Ai aus A gilt

Ai) =∑

P(Ai).

I P(A) ≥ 0.I P(Ω) = 1.

I Für paarweise disjunkte Ereignisse Ai aus A gilt

Ai) =∑

P(Ai).

Ai) =∑

P(Ai).

Als Folgerungen erhält man

P(∅) = 0.

P(Ac) = 1 − P(A) mit Ac := Ω \ A .

A ⊆ B → P(A) ⊆ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B).

Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

(Ω,A,P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

P(∅) = 0.

P(Ac) = 1 − P(A) mit Ac := Ω \ A .

A ⊆ B → P(A) ⊆ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B).

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

P(∅) = 0.

P(Ac) = 1 − P(A) mit Ac := Ω \ A .

A ⊆ B → P(A) ⊆ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B).

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

P(∅) = 0.

P(Ac) = 1 − P(A) mit Ac := Ω \ A .

A ⊆ B → P(A) ⊆ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B).

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

P(∅) = 0.

P(Ac) = 1 − P(A) mit Ac := Ω \ A .

A ⊆ B → P(A) ⊆ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B).

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

P(∅) = 0.

P(Ac) = 1 − P(A) mit Ac := Ω \ A .

A ⊆ B → P(A) ⊆ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B).

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

P(∅) = 0.

P(Ac) = 1 − P(A) mit Ac := Ω \ A .

A ⊆ B → P(A) ⊆ P(B).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B).

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Definition einer Zufallsvariablen bzw. Zufallsgrößen:Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße X auf demWahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) ist eine bzgl. A messbareAbbildung vom Ergebnisraum Ω in die reellen Zahlen, d.h. eineAbbildung, die abhängig von Zufallsexperimentenunterschiedliche Werte annehmen kann.

Diskrete Zufallsvariable: X kann nicht mehr als eine abzählbareAnzahl an Werten annehmen.Stetige Zufallsvariable: X kann jeden beliebigen Wert innerhalbeines bestimmten Intervalls annehmen.Beispiele: Bei einem klassischen Würfelexperiment nimmt dieZufallsvariable X den Wert der gewürfelten Augenzahl an. Manschreibt für die Wahrscheinlichkeiten z.B. P(X = 3).

Definition einer Zufallsvariablen bzw. Zufallsgrößen:Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße X auf demWahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) ist eine bzgl. A messbareAbbildung vom Ergebnisraum Ω in die reellen Zahlen, d.h. eineAbbildung, die abhängig von Zufallsexperimentenunterschiedliche Werte annehmen kann.Diskrete Zufallsvariable: X kann nicht mehr als eine abzählbareAnzahl an Werten annehmen.

Stetige Zufallsvariable: X kann jeden beliebigen Wert innerhalbeines bestimmten Intervalls annehmen.Beispiele: Bei einem klassischen Würfelexperiment nimmt dieZufallsvariable X den Wert der gewürfelten Augenzahl an. Manschreibt für die Wahrscheinlichkeiten z.B. P(X = 3).

Definition einer Zufallsvariablen bzw. Zufallsgrößen:Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße X auf demWahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) ist eine bzgl. A messbareAbbildung vom Ergebnisraum Ω in die reellen Zahlen, d.h. eineAbbildung, die abhängig von Zufallsexperimentenunterschiedliche Werte annehmen kann.Diskrete Zufallsvariable: X kann nicht mehr als eine abzählbareAnzahl an Werten annehmen.Stetige Zufallsvariable: X kann jeden beliebigen Wert innerhalbeines bestimmten Intervalls annehmen.

Beispiele: Bei einem klassischen Würfelexperiment nimmt dieZufallsvariable X den Wert der gewürfelten Augenzahl an. Manschreibt für die Wahrscheinlichkeiten z.B. P(X = 3).

Definition einer Zufallsvariablen bzw. Zufallsgrößen:Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße X auf demWahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) ist eine bzgl. A messbareAbbildung vom Ergebnisraum Ω in die reellen Zahlen, d.h. eineAbbildung, die abhängig von Zufallsexperimentenunterschiedliche Werte annehmen kann.Diskrete Zufallsvariable: X kann nicht mehr als eine abzählbareAnzahl an Werten annehmen.Stetige Zufallsvariable: X kann jeden beliebigen Wert innerhalbeines bestimmten Intervalls annehmen.Beispiele: Bei einem klassischen Würfelexperiment nimmt dieZufallsvariable X den Wert der gewürfelten Augenzahl an. Manschreibt für die Wahrscheinlichkeiten z.B. P(X = 3).

1.2. Verteilungen

Häufigkeitsverteilung: Resultiert aus empirischenDatenerhebungen und Messungen,

Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gibt an, wie sich dieWahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einerZufallsvariablen verteilen.

1.2. Verteilungen

Häufigkeitsverteilung: Resultiert aus empirischenDatenerhebungen und Messungen,Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gibt an, wie sich dieWahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einerZufallsvariablen verteilen.

1.2. Verteilungen

Häufigkeitsverteilung: Resultiert aus empirischenDatenerhebungen und Messungen,Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gibt an, wie sich dieWahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einerZufallsvariablen verteilen.

1.2. Verteilungen

Definierende Eigenschaften einer VerteilungsfunktionF : R → [0,1]:

I F ist monoton wachsend.I F(x)→ 1 für x → +∞I F(x)→ 0 für x → −∞I F ist rechtsseitig stetig.

FX (t) := P(X ≤ t) heißt Verteilungsfunktion der ZufallsvariablenX . Mit ihrer Hilfe läßt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, daßX einen Wert im Intervall ]a,b] annimmt

P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a).

1.2. Verteilungen

I F ist monoton wachsend.

I F(x)→ 1 für x → +∞I F(x)→ 0 für x → −∞I F ist rechtsseitig stetig.

P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a).

1.2. Verteilungen

I F ist monoton wachsend.I F(x)→ 1 für x → +∞

I F(x)→ 0 für x → −∞I F ist rechtsseitig stetig.

P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a).

1.2. Verteilungen

I F ist monoton wachsend.I F(x)→ 1 für x → +∞I F(x)→ 0 für x → −∞

I F ist rechtsseitig stetig.

P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a).

1.2. Verteilungen

P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a).

1.2. Verteilungen

P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a).

1.2. Verteilungen

Diskrete Verteilungen werden durch ihre sogenannte Zähldichtepk := P(X = k ) beschrieben, für die gelten muss:

∞∑k=1

pk = 1.

Stetige Verteilungen werden häufig durch ihre Dichtefunktionbeschrieben

FX (t) =

t∫−∞

fX (x)dx mit

∞∫−∞

fX (x)dx = 1.

1.2. Verteilungen

Diskrete Verteilungen werden durch ihre sogenannte Zähldichtepk := P(X = k ) beschrieben, für die gelten muss:

∞∑k=1

pk = 1.

Stetige Verteilungen werden häufig durch ihre Dichtefunktionbeschrieben

FX (t) =

t∫−∞

fX (x)dx mit

∞∫−∞

fX (x)dx = 1.

1.2. Verteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Funktion, mit der mandurch Integration über einem bestimmten IntervallWahrscheinlichkeiten berechnen kann.

Diese Dichtefunktion gibt noch keine direkte Auskunft überWahrscheinlichkeiten, sondern dient als Mittel zur Berechnung.Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsgröße X genauden Wert x annimmt, ist exakt 0. Wahrscheinlichkeiten erhält manalso bei einer stetigen Zufallsgröße daher nur durch Integrieren ineinem festgelegten Intervall.Der Flächeninhalt der Dichtefunktion zwischen den beidenRändern muss immer genau 1 betragen, denn dieWahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Gesamtintervall liegt, ist100%.

1.2. Verteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Funktion, mit der mandurch Integration über einem bestimmten IntervallWahrscheinlichkeiten berechnen kann.Diese Dichtefunktion gibt noch keine direkte Auskunft überWahrscheinlichkeiten, sondern dient als Mittel zur Berechnung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsgröße X genauden Wert x annimmt, ist exakt 0. Wahrscheinlichkeiten erhält manalso bei einer stetigen Zufallsgröße daher nur durch Integrieren ineinem festgelegten Intervall.Der Flächeninhalt der Dichtefunktion zwischen den beidenRändern muss immer genau 1 betragen, denn dieWahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Gesamtintervall liegt, ist100%.

1.2. Verteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Funktion, mit der mandurch Integration über einem bestimmten IntervallWahrscheinlichkeiten berechnen kann.Diese Dichtefunktion gibt noch keine direkte Auskunft überWahrscheinlichkeiten, sondern dient als Mittel zur Berechnung.Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsgröße X genauden Wert x annimmt, ist exakt 0. Wahrscheinlichkeiten erhält manalso bei einer stetigen Zufallsgröße daher nur durch Integrieren ineinem festgelegten Intervall.

Der Flächeninhalt der Dichtefunktion zwischen den beidenRändern muss immer genau 1 betragen, denn dieWahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Gesamtintervall liegt, ist100%.

1.2. Verteilungen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Funktion, mit der mandurch Integration über einem bestimmten IntervallWahrscheinlichkeiten berechnen kann.Diese Dichtefunktion gibt noch keine direkte Auskunft überWahrscheinlichkeiten, sondern dient als Mittel zur Berechnung.Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsgröße X genauden Wert x annimmt, ist exakt 0. Wahrscheinlichkeiten erhält manalso bei einer stetigen Zufallsgröße daher nur durch Integrieren ineinem festgelegten Intervall.Der Flächeninhalt der Dichtefunktion zwischen den beidenRändern muss immer genau 1 betragen, denn dieWahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Gesamtintervall liegt, ist100%.

1.2. Verteilungen

Beispiele für typische diskrete Verteilungen

Die Zähldichte der Binomialverteilung lautet (man schreibtX ' B(n,p) mit n ∈ N,p ∈]0,1]) für alle natürlichen 0 ≤ k ≤ n

P(X = k ) =

)· pk· (1 − p)n−k .

Die Zähldichte der Poissonverteilung lautet (man schreibtX ' Poi(λ)) mit λ > 0) für alle natürlichen k

P(X = k ) = e−λ ·λk

1.2. Verteilungen

Beispiele für typische diskrete Verteilungen

Die Zähldichte der Binomialverteilung lautet (man schreibtX ' B(n,p) mit n ∈ N,p ∈]0,1]) für alle natürlichen 0 ≤ k ≤ n

P(X = k ) =

)· pk· (1 − p)n−k .

Die Zähldichte der Poissonverteilung lautet (man schreibtX ' Poi(λ)) mit λ > 0) für alle natürlichen k

P(X = k ) = e−λ ·λk

1.2. Verteilungen

Bemerkungen:

Die Zähldichte der Negativ Binomialverteilung lautet (manschreibt X ' NB(r ,p)) mit r ∈ N,p ∈]0,1]) für alle natürlichen k

P(X = k ) =

(r + k − 1

)· pr· (1 − p)k .

Eine Binomialverteilung entsteht durch die mehrmaligeDurchführung gleichartiger, unabhängiger (Bernoulli-) Versuche,bei denen es jeweils zwei mögliche Ausgänge gibt: Erfolg mitWahrscheinlichkeit p oder Misserfolg mit Wahrscheinlichkeit 1-p.

1.2. Verteilungen

Bemerkungen:

Die Zähldichte der Negativ Binomialverteilung lautet (manschreibt X ' NB(r ,p)) mit r ∈ N,p ∈]0,1]) für alle natürlichen k

P(X = k ) =

(r + k − 1

)· pr· (1 − p)k .

Eine Binomialverteilung entsteht durch die mehrmaligeDurchführung gleichartiger, unabhängiger (Bernoulli-) Versuche,bei denen es jeweils zwei mögliche Ausgänge gibt: Erfolg mitWahrscheinlichkeit p oder Misserfolg mit Wahrscheinlichkeit 1-p.

1.2. Verteilungen

Bemerkungen:

Binomial- , Negativ Binomial - und Poissonverteilung sind diskreteVerteilungen, d.h. die Verteilungsfunktionen sind nur rechtsstetigund nicht stetig bzw. die möglichen Ausgänge haben eineWahrscheinlichkeitsmasse

Binomial- , Negativ Binomial - und Poissonverteilung sind passendfür die Modellierung von Würfeln, n-fachen Münzwürfen undSchadenanzahlen.

Binomial- , Negativ Binomial - und Poissonverteilung sind nichtpassend für die Modellierung von Schadenhöhen. Hier könnenalle möglichen Ausgänge vorkommen, und man benötigt dahersogenannte stetige Verteilungen.

1.2. Verteilungen

Bemerkungen:

1.2. Verteilungen

Bemerkungen:

1.2. Verteilungen

Beispiele für typische stetige Verteilungen

Die Dichtefunktion f der Gleichverteilung auf [a,b] lautet (manschreibt X ' U(a,b) mit 0 ≤ a < b) für alle a ≤ x ≤ b

f(x) =1

b − aund f(x) = 0 für x < a und x > b .

Die Verteilungsfunktion F der Gleichlverteilung auf [a,b] lautet füralle a ≤ x ≤ b

F(x) =x − ab − a

und F(x) = 0 für x < a und F(x) = 1 für x > b .

Bei einer Gleichverteilung ist jeder Wert der Zufallsvariablen Xinnerhalb von [a,b] gleichwahrscheinlich.

1.2. Verteilungen

f(x) =1

F(x) =x − ab − a

1.2. Verteilungen

f(x) =1

F(x) =x − ab − a

1.2. Verteilungen

Die Dichtefunktion f der Exponentialverteilung lautet (manschreibt X ' Exp(λ)) mit λ > 0) für alle x ≥ 0

f(x) = λ · e−λ·x und f(x) = 0 sonst.

Die Verteilungsfunktion F der Exponentialverteilung lautet für allex ≥ 0

F(x) = 1 − e−λ·x und F(x) = 0 für x < 0.

Wenn bei Zerfallsprozessen die Menge zerfallender Elemente proZeiteinheit proportional zur vorhandenen Menge ist, dient dieExponentialverteilung zur geeigneten Modellierung.

1.2. Verteilungen

F(x) = 1 − e−λ·x und F(x) = 0 für x < 0.

1.2. Verteilungen

F(x) = 1 − e−λ·x und F(x) = 0 für x < 0.

1.2. Verteilungen

Die Dichtefunktion f der Normalverteilung lautet (man schreibtX ' N(µ, σ) mit µ ∈ R , σ > 0) für alle x ∈ R

f(x) =1

2π· e−

(x−µ)2

2σ2 .

Die Verteilungsfunktion ist nicht elementar berechenbar, jedochgibt es Tabellen für eine normierte Normalverteilung(µ = 0, σ = 1).

Es ist die wohl bekannteste stetige Verteilung, auch unter demNamen Gauss-Verteilung auf dem 10 DEM Schein.

1.2. Verteilungen

f(x) =1

2π· e−

(x−µ)2

2σ2 .

1.2. Verteilungen

f(x) =1

2π· e−

(x−µ)2

2σ2 .

1.2. Verteilungen

Die Verteilungsfunktion F der Paretoverteilung lautet (manschreibt X ' Par(α) mit α > 0) für alle x ≥ x0 > 0

F(x) = 1 − (x0

Viele der stetigen Verteilungen sind geeignet für die Modellierungvon Schadenhöhen. Die Paretoverteilung gilt in der Praxis als diegeeignetste Verteilung für Großschadenhöhen (z.B. in derRückversicherung).

Man sagt, die Paretoverteilung hat einen langen Tail bzw. eineschwere Flanke.

1.2. Verteilungen

F(x) = 1 − (x0

1.2. Verteilungen

F(x) = 1 − (x0

1.2. Verteilungen

Quantil

Manchmal möchte man bei bekannter Verteilungsfunktion denWert wissen, bei dem eine bestimmte Wahrscheinlichkeit erreichtwird.

Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der VerteilungsfunktionFX , und für eine gegebene Wahrscheinlichkeit gelte

FX (q) = P(X ≤ q) = p, 0 < p < 1.

Dann nennt man q ein p-Quantil von X .

Ein p-Quantil ist im allgemeinen nicht eindeutig festgelegt. Ist FX

streng monoton, dann ist das p-Quantil eindeutig.

1.2. Verteilungen

Quantil

FX (q) = P(X ≤ q) = p, 0 < p < 1.

1.2. Verteilungen

Quantil

FX (q) = P(X ≤ q) = p, 0 < p < 1.

1.2. Verteilungen

Erwartungswert und Median

Als Erwartungswert µ bezeichnet man den Durchschnittswerteiner Verteilung, den man anhand von Wahrscheinlichkeitenrechnerisch bestimmen kann und der sich bei (theoretisch)unendlicher Wiederholung eines Zufallsexperimentes als Mittelergibt.

Der Erwartungswert muss dabei nicht den Wert eines möglichenEreignisses des Experimentes annehmen.

Ist X eine diskrete Zufallsgröße mit Zähldichte pk = P(X = k ), sogilt

E(X) :=∑k∈Z

xk · P(X = k ).

1.2. Verteilungen

E(X) :=∑k∈Z

xk · P(X = k ).

1.2. Verteilungen

E(X) :=∑k∈Z

xk · P(X = k ).

1.2. Verteilungen

Ist X eine stetige Zufallsgröße mit Dichtefunktion f , so gilt

E(X) :=

∞∫−∞

x · f(x)dx .

Regeln für den Erwartungswert für alle a,b ∈ R:

E(aX + b) = aE(X) + b .

E(XY) = E(X)E(Y), falls X ,Y unabhängig.

Der Median ist das 0,5-Quantil einer Verteilung und teilt, falls erbestimmbar ist, genau die Fläche unter der Dichtefunktion.

1.2. Verteilungen

E(X) :=

∞∫−∞

x · f(x)dx .

Regeln für den Erwartungswert für alle a,b ∈ R:

E(aX + b) = aE(X) + b .

E(XY) = E(X)E(Y), falls X ,Y unabhängig.

Der Median ist das 0,5-Quantil einer Verteilung und teilt, falls erbestimmbar ist, genau die Fläche unter der Dichtefunktion.

1.2. Verteilungen

Varianz und Standardabweichung

Sowohl die Varianz Var(X)=σ2 := E((X − E(X))2) als auch dieStandardabweichung σ(X) einer Zufallsvariablen X beschreibendas Maß der Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um denErwartungswert. Durch eine Sigma-Umgebung wird diePrognosefähigkeit von Wahrscheinlichkeitsverteilungen erhöht.

Varianz (Dispersion): Das Quadrat der Wertabweichungen vomMittelwert gewichtet mit den Wahrscheinlichkeiten.

Bildet man ein 2σ-Intervall um den Erwartungswert, kann man mitetwa 95 −%-iger Sicherheit davon ausgehen, dass sich der Wertder Zufallsvariable (z.B.: Schadenhöhe) in dem Intervall befindet.

1.2. Verteilungen

Varianz und StandardabweichungIst X eine diskrete Zufallsgröße mit Zähldichte pk = P(X = k ), sogilt

Var(X) :=∑k∈Z

(xk − E(X))2· P(X = k ).

Var(X) :=

∞∫−∞

(x − E(X))2· f(x)dx .

Es gilt der Verschiebesatz

E((X − E(X))2) = E(X2) − (E(X))2.

1.2. Verteilungen

Var(X) :=∑k∈Z

(xk − E(X))2· P(X = k ).

Var(X) :=

∞∫−∞

(x − E(X))2· f(x)dx .

E((X − E(X))2) = E(X2) − (E(X))2.

1.2. Verteilungen

Var(X) :=∑k∈Z

(xk − E(X))2· P(X = k ).

Var(X) :=

∞∫−∞

(x − E(X))2· f(x)dx .

E((X − E(X))2) = E(X2) − (E(X))2.

1.2. Verteilungen

Verteilung.jpg

1.3. Simulationstechniken (Monte-Carlo-Methoden)

Wie kann man eine exponential-verteilte Zufallsvariable simulieren?PC und Taschenrechner können nur im Intervall [0,1] gleichverteilteZufallsvariablen simulieren?

Lösungsansatz:

Man bestimme die Quantilsfunktion der Verteilung, d.h. dieUmkehrfunktion der Verteilung.

Man ermittelt eine Realisation der gleichverteilten Zufallsgrößeaus [0,1].

Man setzt diese in die Quantilsfunktion der Verteilung ein underhält eine Realisation einer exponential-verteilten Zufallsgröße .

Man nennt diese Methode Inversionsmetheode.

Lösungsansatz:

Der Beweis, warum die Inversionsmethode funktioniert:

Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F und U eine auf[0,1] gleichverteilte Zufallsvariable. Dann haben Y := F−1(U) und Xdieselbe Verteilungsfunktion.

Beweis: Sei FY die Verteilungsfunktion von Y . Dann gilt

FY (x) = P(Y ≤ x) = P(F−1(U) ≤ x) = P(U ≤ F(x)) = F(x),

was die Behauptung zeigt.Die letzte Gleichung folgt aus der Tatsache, daß U gleichverteilt ist,also P(U ≤ x) = x für alle x.

1.3. Verwerfungsmethode

Simulation einer Poisson-λ-verteilten Schadenanzahl:

Wir starten bei n := 0 und T := 1.

Dann simulieren wir eine auf ]0,1[ gleichverteilte Zufallsvariable uund setzen T := uT .

Falls T ≥ e−λ, setzen wir n := n + 1 und gehen zurück zu Schritt 2.

Falls T < e−λ, so ist n eine Realisierung der Schadenanzahl N.

Simulation einer Pareto-verteilten Schadenhöhe:

Ist die Zufallsvariable X Pareto-verteilt mit Parameter α undStartwert x0, so ist X verteilt wie x0 · U−

1α , wobei U eine auf ]0,1[

gleichverteilte Zufallsvariable ist. (Inversionsmethode)

1.4. Excel-Beispiele

Wie würde man am geeignetsten eine U(a,b) gleichverteilteZufallsgröße X in Excel simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine B(100; 0,1)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Exp(0,5)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Poi(λ)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

Wie würden Sie in Excel mit einer U(0,1)-verteilten Zufallsgrößeeine Par(x0, α)-verteilte Zufallsgröße simulieren?

„ Insofern sich die Sätze derMathematik auf die Wirklichkeitbeziehen, sind sie nicht sicher, undinsofern sie sicher sind, beziehen siesich nicht auf die Wirklichkeit.“

Albert Einstein

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