Momentum e Impulso

A colisão de uma bola de tênis com a raquete constitui uma interação

“espetacular” e complexa em que o movimento da bola muda subitamente de

orientação. Tentar analisar a colisão por meio da segunda lei de Newton seria uma

tarefa intimidadora. Mesmo assim, nosso objetivo é obter uma relação simples entre

as velocidades dos objetos antes da interação e as velocidades dos mesmos após a

interação. Começaremos examinando as colisões; mais adiante, examinaremos as

explosões.

Uma colisão é uma interação de curta duração entre dois objetos. A colisão

de uma bola de tênis com uma raquete, ou de uma bola de beisebol com um bastão,

pode parecer instantânea aos nossos olhos, mas isso é apenas uma limitação de

nossos sentidos.

A duração de uma colisão depende dos materiais dos quais os objetos são

feitos, mas durações entre 1 e 10 ms (0,001 a 0,010 s) são bem típicas. Este é o

tempo durante o qual os dois objetos estão em contato um com o outro. Quanto

mais duros eles forem, mais curto é o tempo de contato. Uma colisão entre bolas de

aço dura menos de 1 ms.

Uma força intensa, exercida durante um curto intervalo de tempo, é chamada

de força impulsiva. A força de uma raquete de tênis sobre uma bola, é um bom

exemplo de uma força impulsiva. Note que uma força impulsiva possui uma duração

bem-definida.

Nota – até agora, não tratamos de casos de forças que variam em função do

tempo. Como uma força impulsiva é uma função do tempo, nós a representaremos

por F(t).

Podemos analisar a colisão através da segunda lei de Newton e determinar a

velocidade final. A aceleração em uma dimensão ax= dvx /dt, de modo que segunda

lei assume a forma

max=md v xdt

= F x(t) (1)

Após multiplicar os dois dessa equação por dt, a segunda lei fica escrita como

m dvx = F x(t)dt (2)

A força não é nula somente durante o intervalo de tempo que vai de t i a t f ,

logo vamos integrar a Equação (2) neste intervalo. Durante a colisão, a velocidade

varia de v ix para v fx; então,

m∫v i

v f

dvx=mv f x – mv ix = ∫t i

tf

Fx(t)dt (3)

Precisamos agora de novas ferramentas para dar sentido à Equação (3).

Momentum

O produto da massa de uma partícula por sua velocidade é chamado de

momentum da partícula:

Momentum = p⃗ = m v⃗ (4)

Como a velocidade, o momentum é um vetor. Sua unidade do SI é o kg m/s.

OBS: O plural de “momentum” é “momenta”, por causa de sua origem latina.

O vetor momentum p⃗ é paralelo ao vetor velocidade v⃗, e pode ser

decomposto em dois componentes x e y. A equação (4), uma equação vetorial, é

uma maneira sintética de escrever duas equações simultâneas:

px = mvx

py = mv y

Nota – Um dos erros mais comuns em problemas sobre momentum consiste

no emprego errôneo de sinais algébricos. O componente px do momentum tem o

mesmo sinal de vx. O momentum é negativo para uma partícula que se mova para a

esquerda (sobre o eixo x) ou para baixo (sobre o eixo y).

Momentum é outro termo que usamos cotidianamente na fala sem uma

definição precisa. Em física e engenharia, momentum é um termo técnico cujo

significado é definido pela equação (4). Um objeto pode possuir um grande

momentum por ter uma pequena massa, mas uma grande velocidade (uma bala

disparada por um rifle) ou por ter uma grande massa e uma pequena velocidade (um

caminhão grande trafegando lentamente a 1,5 km/h).

Newton de fato formulou sua segunda lei em termos do momentum, e não da

aceleração:

F⃗ = ma⃗ = md v⃗dt

= d (m v⃗ )dt

= d p⃗dt

(5)

Esta forma da segunda lei, em que a força é a taxa de variação do

momentum, é mais geral do que a nossa versão prévia F⃗ = ma⃗. Ela abre a

possibilidade de que a massa do objeto possa variar, como em um foguete que

expele massa enquanto queima o combustível.

De volta à Equação (3), note que mv ix e mv iy são, respectivamente, pixe pf x, os

componentes x do momentum da partícula antes e após a colisão. Além disso,

pf x−pixé ∆px, a variação do momentum da partícula. Em termos do momentum, a

Equação (3) é

∆ px=pf x−pix= ∫t i

tf

Fx(t) dt (6)

Agora precisamos examinar o lado direito da equação (6).

Impulso

A Equação (6) significa que a variação do momentum da partícula está relacionada à

integral da força no tempo. Vamos definir a grandeza J x, chamada de impulso, como

Impulso = J x = ∫t i

tf

Fx (t )dt = área sob a curva F x (t ) entre t ie t f. (7)

Estritamente falando, o impulso tem por unidade o Ns, entretanto você deve ser

capaz de mostrar que Ns equivale a kg m/s, a unidade de momentum.

A interpretação para a integral na Equação (7) como área sob uma curva tem

uma especial importância.

A equação (3), a qual obtivemos por integração da segunda lei de Newton,

pode agora ser reescrita em relação ao impulso e ao momentum como

∆px = J x (teorema impulso-momentum) (8)

Este resultado é chamado o teorema impulso-momentum. O nome é um

pouco incomum, mas não é ele que importa. O importante é a nova idéia de que um

impulso exercido sobre uma partícula faz variar o momentum da mesma. O

momentum pf x “após” uma interação, como uma colisão ou uma explosão, é igual

ao momentum pix “antes” da interação mais o impulso comunidade pela interação:

pf x=pix + J x (9)

O teorema impulso-momentum significa que não precisamos conhecer todos

os detalhes da função força F x ( t ) para aprender como a partícula ricocheteia. Não

importa quão complicada seja a força, somente a sua integral – a área sob a curva

da força – é necessária para determinar pf x.

Embora a interação seja muito complexa, o impulso – a área sob a curva da

força – é tudo o que precisamos saber para determinar a velocidade da bola depois

que ela ricocheteia na parede. O momento final é

pf x=pix + J x = pix + área sob a curva da força

Portanto, a velocidade final é:

v f x = p f xm

= v ix + área sob acurvada força

m

Conservação do momentum

O teorema impulso-momentum foi derivado da segunda lei de Newton e constitui, de

fato, uma maneira alternativa de olhar para aquela lei. Ele é usado no contexto da

dinâmica da partícula única.

Interações complexas como dois trens que se acoplam, às vezes produzem

resultados muito simples. Para prever os resultados, precisamos verificar que a

terceira lei de Newton é expressa na linguagem de impulso e momentum. Ela nos

levará a um dos mais importantes princípios da conservação da física.

Dois objetos com velocidades iniciais (v¿¿ ix)1 ¿ e (v¿¿ ix)2 ¿ colidem depois

ricocheteiam e se afastam com velocidades (v¿¿ f x)1 ¿e (v¿¿ f x)2 ¿. Durante a colisão,

enquanto os objetos interagem, as forças exercidas formam um par ação/reação

F⃗1 sobre2 e F⃗2 sobre1. Por ora, continuaremos a considerar que o movimento seja

unidimensional, ao longo do eixo x.

Nota – a notação, com todos os subscritos, pode parecer excessiva, mas

existem dois objetos, e cada um possui uma velocidade inicial e outra final, de modo

que precisamos distinguir entre quatro diferentes velocidades.

A segunda lei de Newton para cada objeto, durante uma colisão, é

d ( p¿¿ x)1dt

¿ = ( F⃗ ¿¿ x)2 sobre1 ¿

(10)

d ( p¿¿ x)2dt

¿ = ( F⃗ ¿¿ x)1 sobre2 ¿ = –( F⃗ ¿¿ x)2 sobre1 ¿

Usamos explicitamente a terceira lei de Newton na segunda equação.

Embora as equações (10) sejam para dois objetos diferentes, suponha – só

para ver o que acontece – que adicionemos as duas equações membro a membro.

Se fizermos isso, obteremos

d ( p¿¿ x)1dt

+d( p¿¿ x)2dt

¿¿ = ddt

(( p¿¿ x )1+( p¿¿ x)2 ¿¿ = (F ¿¿ x)2 sobre1 ¿ + (–

(F ¿¿ x)2 sobre1 ¿) = 0 (11)

Se a derivada no tempo da grandeza ( p¿¿ x )1+( p¿¿ x)2 ¿¿ é nula, trata-se,

então, de um caso em que

( p¿¿ x )1+( p¿¿ x)2=constante¿¿ (12)

A Equação (12) é uma lei de conservação! Se ( p¿¿ x )1+( p¿¿ x)2 é ¿¿ uma

constante, então a soma dos momentos após a colisão é igual à soma dos momenta

antes da colisão, ou seja,

( p¿¿ fx)1+( p¿¿ fx)2=( p¿¿ ix)1+( p¿¿ ix)2 ¿¿¿¿ (13)

Além disso, essa igualdade independe da força de interação. Não precisamos

saber nada sobreF⃗1 sobre2 ou F⃗2 sobre1 para usar a Equação (13).

Princípio da conservação do momentum

A Equação (2) ilustra a ideia de uma lei de conservação do momentum, mas

ela foi derivada para o caso particular de uma colisão unidimensional de duas

partículas. Nosso objetivo é desenvolver uma lei mais geral de conservação do

momentum, uma lei que seja válida em três dimensões e que funcione para todos os

tipos de interações. Os próximos dois parágrafos são principalmente matemáticos.

Considere um sistema que consiste de N partículas. As partículas podem ser

entidades grandes (carros, bolas de beisebol, etc.) ou podem ser os átomos

microscópicos de um gás. Podemos diferenciar cada partícula das outras por meio

de um número de identificação k. Cada partícula do sistema interage com cada outra

via pares de força ação/reação F⃗ j sobre k e F⃗ k sobℜ j. Além disso, cada partícula está

sujeita a possíveis forças externas F⃗ ext sobrek de agentes externos ao sistema.

Se a partícula k possui velocidade v⃗k, seu momentum é p⃗k = mk v⃗k. Definimos o

momentum total P⃗ do sistema como o vetor soma

P⃗ = momentum total = p⃗1 + p⃗2 + p⃗3 + . . . + p⃗N = ∑k=1

N

p⃗k (14)

Em outras palavras, o momento total do sistema é a soma de todos os

momentos individuais.

A derivada no tempo P⃗ nos diz como o momentum total do sistema varia com

o tempo:

d P⃗dt

= ∑k

d p⃗kdt

= ∑k

F⃗k (15)

onde usamos a segunda lei de Newton, para cada partícula, na forma F⃗ k = d

p⃗k/dt, que é a Equação (5).

A força resultante exercida sobre a partícula k pode ser dividida em forças

externas, com origem fora do sistema, e em forças internas, devido às outras

partículas do sistema:

F⃗ k= ∑j ≠ k

F⃗ j sobrek + F⃗ ext sobrek (16)

A restrição j ≠ k expressa o fato de que a partícula k de fato não exerce força

sobre si mesma. Usando isso na Equação (15), obtemos a taxa de variação do

movimento total P do sistema:

d P⃗dt

=∑k∑j≠ k

F⃗ j sobrek + ∑k

F⃗ext sobre k (17)

A dupla somatória em F⃗ j sobre k adiciona cada força de interação dentro do

sistema. Mas as forças de interação formam pares ação/reação, com

F⃗ k sobre j=– F⃗ j sobrek, de modo que F⃗ k sobre j+ F⃗ j sobrek = 0⃗. Consequentemente, a soma de

todas as forças de interação é nula. Como resultado, a Equação (17) assume a

forma

d P⃗dt

= ∑k

F⃗ext sobre k = F⃗ res (18)

onde F⃗ res é a força resultante exercida sobre o sistema pelos agentes externos ao

mesmo tempo. Todavia esta é justamente a segunda lei de Newton escrita para o

sistema como um todo! Ou seja, a taxa de variação do momentum total do

sistema é igual à força resultante exercida sobre o sistema.

A Equação (18) tem duas implicações importantes. Primeiro, podemos

analisar o movimento do sistema como um todo sem precisar levar em conta todas

as forças de interação entre as partículas que constituem o sistema. De fato, temos

usado essa ideia como uma hipótese do modelo de partícula. Quando tratamos

carro, pedras e bolas de beisebol como partículas, consideramos que as forças

internas entre seus átomos – as forças que mantêm íntegro o objeto – não afetam

em nada o movimento do objeto como um todo. Agora acabamos de justificar essa

consideração.

A segunda implicação da Equação (18), e a mais importante a partir da

perspectiva deste capítulo, aplica-se ao que chamamos de sistema isolado. Um

sistema isolado é aquele sobre o qual não são exercidas forças externas ou para o

qual as forças externas exercidas se contrabalançam e sua soma resulta em zero.

Para um sistema isolado, a equação (18) é, simplesmente,

d P⃗dt

= 0 (19)

Em outras palavras, o momentum total de um sistema isolado não varia.

O momentum total P⃗ mantém-se constante, sejam quais forem as interações no

interior do sistema. A importância deste resultado é suficiente para elevá-lo à

categoria de uma lei da natureza, junto com as leis de Newton.

PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE MOMENTUM – O momentum total P⃗de um

sistema isolado é uma constante. As interações dentro do sistema são incapazes de

alterar o momentum total do sistema.

Nota – É importante enfatizar o papel crucial da terceira lei de Newton na

derivação da Equação (19). O princípio de conservação do momentum é uma

consequência direta do fato de que todas as interações dentro de um sistema

isolado correspondente a pares de forças ação/reação.

Matematicamente, o princípio de conservação do momentum para um sistema

isolado é:

P⃗f = P⃗i (20)

O momentum total após uma interação é igual ao momentum total antes da

mesma. Uma vez que a Equação (20) é uma equação vetorial, a igualdade é

verdadeira para cada um dos componentes do vetor momentum, ou seja,

( p¿¿ fx)1+( p¿¿ fx)2+¿¿¿. . . = ( p¿¿ ix)1+( p¿¿ ix)2 ¿¿ + . . .

(21)

( p¿¿ fy)1+( p¿¿ fy)2+¿¿¿. . . = ( p¿¿ iy)1+( p¿¿iy)2 ¿¿ + . . .

A equação em x é uma extensão da Equação (13) para N partículas em

interação.

Conservação do Momento linear e Colisões

Para a maioria das pessoas, o termo colisão está provavelmente associado a

algum desastre envolvendo automóveis. Usaremos o termo também nesse sentido,

porém estenderemos seu significado de modo que inclua qualquer vigorosa

interação entre dois corpos com uma duração relativamente curta. Portanto, não

incluiremos apenas acidentes envolvendo automóveis, mas também as bolas que

colidem em uma mesa de bilhar, os nêutrons que se chocam com núcleos atômicos

em um reator nuclear, o impacto de um meteoro na superfície terrestre, etc.

Quando as forças entre os corpos forem muito maiores do que as forças,

externas podemos desprezar completamente as forças externas e considerar os

corpos como um sistema isolado. Existe conservação do momento linear na colisão,

e o momento linear total do sistema é o mesmo antes e depois da colisão.

Colisões elásticas e inelásticas

Quando as forças entre os corpos também forem conservativas, de modo que

nenhuma energia mecânica é adquirida ou perdida durante a colisão, a energia

cinética total do sistema é a mesma antes e depois da colisão. Esse tipo de colisão

denomina-se colisão elástica. Uma colisão entre duas bolas de gude ou entre duas

bolas de bilhar é quase completamente elástica.

Uma colisão na qual a energia cinética total do sistema depois da colisão é menor

do que antes da colisão denomina-se colisão inelástica. Uma bala se encravando

em um bloco de madeira é um exemplo de colisão inelástica. Geralmente chamamos

d colisão completamente inelástica a que ocorre quando os corpos permanecem

unidos e se movem como um único corpo depois da colisão.

Colisões completamente inelásticas

As colisões nas quais a energia não se conserva são chamadas colisões

inelásticas. Parte da energia cinética inicial, neste tipo de colisão, é transformada em

outro tipo de energia, tal como energia térmica ou potencial. Dessa forma, a energia

cinética total, após a colisão, é menor do que a energia cinética inicial, portanto ela

não se conserva. As colisões macroscópicas típicas são inelásticas. Se dois objetos

ficam fixos um ao outro após a colisão, então a colisão é dita ser completamente

inelástica. A energia cinética, em alguns casos, é totalmente transformada em outro

tipo de energia e em outros casos apenas parte da energia é transformada.

Nas colisões completamente inelásticas, a quantidade máxima de energia

cinética a ser transformada é estabelecida pela conservação do momentum. Mesmo

que a energia cinética não se conserva, neste tipo de colisão, a energia total se

mantém constante, e o vetor momentum total é também conservado.

Referências

HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALTER, J., Fundamentos de Física, Volume 1.

Livros Técnicos e Científicos Editora SA, 4ª edição, 1996.

,

Universidade Estadual da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e Sociais Aplicadas

Curso de Licenciatura em Ciências Exatas

Física Básica II

Prof° Pedro Carlos de Assis Júnior

Crisley V. de Sousa

Camilo de L. N. de Souza

Neuriele M. S. de Souto

Cláudia

Impulso e Conservação do Momento

Patos 13 de Abril de 2011