KT 1

ATALET

MOMENTLERİ

KT 2

ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ

Atalet momenti, kesitlerin geometrisine bağlı olarak hesaplanan büyüklüklerden

biridir.

Bir alanın atalet momenti, moment ekseninden itibaren lineer olarak değişen

bir yayılı yükün momentini hesaplamak gerektiğinde ortaya çıkar. Bu türden bir

yüklemenin tipik bir örneği, sıvı içine batırılmış bir levha yüzeyi üzerinde etkiyen

bir sıvı basıncıyla oluşur.

Sıvı yüzeyinin altında “y” mesafesinde

bulunan bir noktada uygulanan basınç

veya birim alana düşen kuvvet, sıvının

özgül ağırlığı olmak üzere,

p= y olarak ifade edilir.

Buna göre şekilde gösterilen sıvı içine

batırılmış levhanın dA alanı üzerine

suyun uyguladığı kuvvetin büyüklüğü:

dF=pdA=( .y )dA

KT 3

Bu kuvvetin levhanın x eksenine göre momenti;

dAyydFdM 2

Dolayısıyla tüm basınç dağılımıyla üretilen moment;

dAyM 2

Buradaki integral, levha alanının x eksenine göre atalet momentini ifade eder;

dAyI x

2

Bu formdaki integraller ile, akışkanlar mekaniği, malzeme mekaniği, yapı

mekaniği ve makine tasarımında sıksık karşılaşıldığı için atalet momenti

hesabında kullanılan yöntemler önemlidir.

KT 4

ATALET MOMENTLERİ

Şekilde gösterilen x-y düzlemindeki A

alanını gözönüne alalım. dA düzlemsel

diferansiyel alanın x ve y eksenlerine göre

atalet momentleri;

İle tanımlanır. Tüm alan için atalet

momentleri integralle belirlenir:

dAxdI

dAydI

y

x

2

2

y= dA’nın x eksenine uzaklığı

x= dA’nın y eksenine uzaklığı

Alanların

ikinci

momenti

momentiataletgöreeksenineydAxI

momentiataletgöreekseninexdAyI

A

y

A

x

.

.

2

2

KT 5

KUTUPSAL ATALET MOMENTİ

dA diferansiyel alanın bir O noktasına göre ikinci momenti de formüle

edilebilir:

Burada; r= O noktasında dA’ya dik mesafedir. Tüm alan için bu değer;

olarak bulunur.

Buna kutupsal (polar) atalet momenti adı verilir.

dArdJO

2

yx

A

O IIdArJ 2

JO ile Ix ve Iy arasındaki bu

bağıntı, “ r=x2+y2 ” ilişkisinden

kaynaklanmaktadır. Ix , Iy ve JO

her zaman pozitif büyüklüklerdir,

çünkü uzaklığın karesi ve alanın

çarpımı ile bulunmaktadırlar.

Atalet momenti birimi, uzunluğun

dördüncü kuvvetini içermektedir:

m4, mm4 gibi.

KT 6

ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ

Bir alanın merkezinden geçen bir eksene

göre atalet momenti biliniyorsa, paralel

eksen teoremini kullanarak bu eksene

paralel bir eksene göre atalet momentini

belirlemek mümkündür.

Şekilde gösterilen A alanının x eksenine

göre atalet momentini bulmaya çalışalım.

dA diferansiyel elemanı x’ geometrik

merkez ekseninden y’ kadar uzaklıktadır.

x ve x’ paralel eksenleri arasındaki sabit

uzaklık dy ile gösterilmiştir.

KT 7

ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ

Bu durumda tanım gereği,

olarak bulunur.

dAdyIxd y

2)(

Tüm alan içinse;

KT 8

ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ

Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre atalet momentidir.

İkinci integral, sıfırdır. Çünkü, x’ ekseni alanın geometrik merkezinden geçer,

Üçüncü integral, toplam alanı verdiğinden

00 dAydAyy

AddAdAdA yy

A

22

Bu durumda,

222

yxyx AdIAddAyI

x’ eksenine paralel

diğer bir eksen Ağırlık merkezinden geçen x’

eksenine göre atalet momenti

dik uzaklık

Steiner teoremi

KT 9

Benzer ifade y ekseni (Iy) için yazılabilir:

2

xyy AdII

Ağırlık merkezinden geçen y’ eksenine göre

atalet momenti

Toplam alan

y ekseninin y’ eksenine

olan dik uzaklığı

x’ ve y’ eksenleri, ağırlık merkezinden (C noktasından) geçmektedir.

Steiner teoremi

KT 10

Sonuç; verilen bir alanın herhangi bir eksene göre atalet momenti ( veya );

o alanın ağırlık merkezinden geçen ve bu eksenlere paralel olan eksene göre

atalet momenti ile ( veya ), eksenler arasındaki dik uzaklığın karesinin alan

ile çarpımının toplamına eşittir. Buna paralel eksenler teoremi ya da Steiner

Teoremi denir.

yIxI

yIxI

NOT: Steiner teoremi, yalnız ve yalnız ağırlık merkezinden geçen eksen

takımına göre kaydırmada kullanılır. Yani, ağırlık merkezinden geçen eksenden

farklı bir eksene göre kaydırma yapıldığında yukarıdaki bağıntılar geçerli

değildir. Çünkü ağırlık merkezi dışındaki herhangi bir noktada statik moment

"sıfır" değildir. Formülasyon bu durumda değişir.

KT 11

O noktasından geçen x-y düzlemine dik eksene göre polar atalet momenti:

2

222

'

AdJJo

ddd

IIJ

C

xy

yxC

Alan merkezine göre

polar atalet momenti

Ağırlık merkezinden O

noktasına olan dik uzaklık

olduğuna göre ve

ise,

Toplam alan

Bu üç denklemin her biri (Ix, Iy, Jo), bir alanın bir eksene atalet momentinin,

alanın geometrik merkezinden geçen paralel bir eksene göre atalet momenti ile,

alanın eksenler arasındaki uzaklığın karesiyle çarpımının, toplamına eşit

olduğunu ifade eder.

KT 12

Alan Atalet Momentinin İntegralle Bulunması

• Eğer eğri y=f(x) şeklinde tanımlanabiliyorsa, sonlu uzunlukta (x veya y) ama

diferansiyel genişlikte (dx veya dy) bir dikdörtgen eleman seçerek hesap

yapılabilir.

•dA alanına sahip diferansiyel eleman, eğriyi bir (x,y) noktasında kesecek şekilde

seçilmelidir.

KT 13

1.durum:

Elemanın uzunluğu eksenlere paralel seçilebilir. Dikkat edilirse, diferansiyel

dikdörtgen elemanlar, x-eksenine göre atalet momenti bulunurken x-eksenine

paralel, y eksenine göre atalet momenti bulunurken ise y-eksenine paralel

seçilmiştir. Bu durumda aşağıdaki formüller kullanılabilir:

ydxdAxdydA

dAxIvedAyI yx

22

KT 14

2.durum:

Elemanın uzunluğu eksene dik seçilirse, moment kolu x ve/veya y seçilen

dikdörtgen için sabit olmamaktadır. Bu durumda, paralel eksenler teoremi

kullanılmalıdır.

Önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen yatay bir eksene göre atalet

momenti hesaplanmalı, daha sonra paralel eksen teoremi kullanılarak elemanın x

veya y eksenine göre atalet momenti belirlenmelidir.

KT 15

ÖRNEK 90

Şekilde gösterilen dikdörtgen alanın ;

a) Ağırlık merkezinden geçen x’ eksenine göre atalet momentini

b) Dikdörtgenin tabanından geçen xb eksenine göre atalet momentini

c) x’-y‘ düzlemine dik olan, ağırlık merkezinden geçen z’ eksenine göre (polar) atalet momenti değerini bulunuz.

KT 16

1.duruma göre:

a) Diferansiyel eleman x’ eksenine paralel seçildiği için tüm eleman x’

eksenine y’ mesafesindedir ve 1. durumdaki denklem kullanılabilir.

b) Paralel eksen teoremine göre;

( 2.duruma göre )

KT 17

c)

2/

2/

32

2/

2/

22

'12

1'')'(''

b

bA

b

b

y hbdxxhhdxxdAxI

KT 18

ÖRNEK 91

Şekilde gösterilen alanın x eksenine

göre atalet momentini bulunuz.

İntegrasyon için seçilen diferansiyel

alan elemanı, x eksenine paraleldir.

Eleman dy kalınlığına sahip ve eğriyi

bir (x,y) noktasında kestiği için, alanı

dA=(100-x)dy’dir.

1.durum

KT 19

2.durum

İntegrasyon için seçilen diferansiyel alan elemanı, y

eksenine paraleldir. Eleman dx kalınlığına sahiptir ve eğriyi

bir (x,y) noktasında kesmektedir. Elemanın bütün parçaları

x ekseninden aynı mesafede bulunmamaktadır, bu nedenle

elemanın bu eksene göre atalet momentini belirlemek için

paralel eksen teoremi kullanılmalıdır.

2/~

12

1

12

1

3

3

'

yyydxId

yhdxbbhI

x

x

KT 20

KOMPOZİT ALANLARIN ATALET MOMENTLERİ

Kompozit alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi basit parça

veya şekilden oluşur. Bu parçaların her birinin ortak bir eksene göre atalet

momenti biliniyor veya belirlenebiliyorsa, kompozit alanın atalet momenti,

tüm parçaların atalet momentlerinin cebirsel toplamına eşit olur.

Analizde izlenecek yol:

Parçalar: alan parçalara ayrılır ve her bir

parçanın ağırlık merkezlerinden referans

eksene olan dik uzaklıklar belirlenir.

Paralel eksen teoremi: eğer parçaların

merkezlerinden geçen eksenler referans

ekseniyle çakışmıyorsa paralel eksen teoremi

kullanılmalıdır.( ; :parçaların

ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre

atalet momenti)

Toplam: Tüm alanın referans eksene göre

atalet momenti, parçalar için elde edilen

sonuçlar toplanarak bulunur. Kompozit alanda

boşluk varsa, bu boşluğun atalet momenti

toplamdan çıkartılır.

2AdII I

KT 21

Basit geometrik şekillerin atalet momentleri

G h

2

hy

b

2

bx

DİKDÖRTGEN

(b=h İSE KARE)

hbA .

x

y

x

y

O

3

3

bhI x

3

3hbI y

3

12

bhI x

12

3hbI y

KT 22

Bazı Şekillerin Atalet Momentleri

KT 23

KT 24

ÖRNEK 92

Şekilde gösterilen kompozit alanın x-

eksenine göre atalet momentini hesaplayınız.

Çözüm:

Kompozit alan, yanda gösterildiği gibi,

dikdörtgenden daireyi çıkartarak elde edilir.

Her iki alanın ağırlık merkezi şekilde

gösterilmiştir.

Merkezler x-ekseni ile çakışmamaktadır. Bu

nedenle paralel eksen teoremi

kullanılmalıdır.

KT 25

DAİRE

DİKDÖRTGEN

TOPLAM

Kompozit alanın x-eksenine

göre atalet momenti:

KT 26

Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen eksen takımına göre atalet momentlerini

hesaplayınız.

(0,0) x

y

7 cm 7 cm

4 cm

18 cm

4 cm

12 cm

?xI

?yI

?),( yxG

ÖRNEK 93

KT 27

x

y

G

(0,0) x

y

7 cm 7 cm

4 cm

18 cm

4 cm

12 cm

y

cmcmcm

x 9)12*4()4*18(

9*)12*4(9*)4*18(

cmcmcm

y 8.10)12*4()4*18(

6*)12*4(14*)4*18(

G1

G2

n

i

iiixx AyII1

2).(

23

23

)68.10(*)12*4(12

12*4)8.1014(*)4*18(

12

4*18xI

(14-10.8) cm

(10.8-6) cm

42.2515 cmI x

1

2

KT 28

x

y

G

(0,0) x

y

7 cm 7 cm

4 cm

18 cm

4 cm

12 cm

x

cmx 9

cmy 8.10

G1

G2

n

i

iiiyy AxII1

2).(

23

23

)99(*)12*4(12

12*4)99(*)4*18(

12

4*18yI

42008cmI y

1

2

12

12*4

12

4*18 33

yI

KT 29

(0,0) x

y

7 cm 7 cm

4 cm

18 cm

4 cm

12 cm 42008cmI y

42.2515 cmI x G (9, 10.8)

KT 30

ÖRNEK 94

x

y

r=5cm

9 cm 8 cm 10 cm 5 cm

12 cm

Ix = ? Iy= ?

Çözümü sınıfta yapılacaktır.

KT 31

(0,0) x

y

2 cm

15 cm

2 cm

13 cm

?xI

?yI

?),( yxG

Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen

eksen takımına göre atalet momentlerini

hesaplayınız.

ÖRNEK 95

KT 32

(0,0) x

y

2 cm

15 cm

2 cm

13 cm

1

2

x

y

G

G1

G2

cmx 48.4

cmy 52.10

cmcmcm

x 48.4)13*2()2*15(

1*)13*2(5.7*)2*15(

cmcmcm

y 52.10)13*2()2*15(

1*)13*2(14*)2*15(

KT 33

(0,0) x

y

2 cm

15 cm

2 cm

13 cm

1

2

x

y

G

G1

G2

cmx 48.4

cmy 52.10

(14-10.52) cm

(10.52-6.5) cm

n

i

iiixx AyII1

2).(

23

23

)5.652.10(*)13*2(12

13*2)52.1014(*)2*15(

12

2*15xI

465.1159 cmI x

KT 34

(0,0) x

y

2 cm

15 cm

2 cm

13 cm

1

2

x

y

G

G1

G2

cmx 48.4

cmy 52.10

(7.5-4.48) cm

(4.48-1) cm

n

i

iiiyy AxII1

2).(

23

23

)148.4(*)13*2(12

13*2)48.45.7(*)2*15(

12

2*15yI

465.1159 cmI y

KT 35

465.1159 cmI y

465.1159 cmI x

G (4.48, 10.52)

(0,0) x

y

2 cm

15 cm

2 cm

13 cm

KT 36

Şekildeki alanın ağırlık merkezinden geçen

eksen takımına göre atalet momentlerini

hesaplayınız.

(0,0) x

y

4 cm

9 cm

1 cm

12 cm

?xI

?yI

?),( yxG

1 cm

4 cm 1 cm

ÖRNEK 96

KT 37

(0,0) x

y

4 cm

9 cm

1 cm

12 cm

1 cm

4 cm 1 cm

1

2

3

x

y

G2

G1

G3

G

cmcmcmcm

x 5.4)1*9()12*1()1*9(

5.4*)1*9(5.4*)12*1(5.4*)1*9(

cmcmcmcm

y 0.7)1*9()12*1()1*9(

5.0*)1*9(7*)12*1(5.13*)1*9(

Her iki eksene göre simetrik

olan bu alanda aslında ağırlık

merkezini hesaplamaya gerek

bile yok.

KT 38

(0,0) x

y

4 cm

9 cm

1 cm

12 cm

1 cm

4 cm 1 cm

1

2

3

x

y

G2

G1

G3

G

n

i

iiixx AyII1

2).(

23

23

23

)5.00.7(*)1*9(12

1*9)77(*)12*1(

12

12*1)75.13(*)1*9(

12

1*9xI

4906 cmI x

1y

3y

02 y

G (4.5 ; 7)

G1 (4.5 ; 13.5)

G2 (4.5 ; 7)

G3 (4.5 ; 0.5)

KT 39

03 x

(0,0) x

y

4 cm

9 cm

1 cm

12 cm

1 cm

4 cm 1 cm

1

2

3

x

y

G2

G1

G3

G 02 x

n

i

iiiyy AxII1

2).(

23

23

23

)5.45.4(*)1*9(12

1*9)5.45.4(*)12*1(

12

12*1)5.45.4(*)1*9(

12

1*9yI

45.122 cmI y

01 x

G (4.5 ; 7)

G1 (4.5 ; 13.5)

G2 (4.5 ; 7)

G3 (4.5 ; 0.5)

KT 40

(0,0) x

y

2 cm

7 cm

2 cm

8 cm

?xI

?yI

?),( yxG

Şekildeki alanın ağırlık merkezinden

geçen eksen takımına göre atalet

momentlerini hesaplayınız.

ÖRNEK 97

KT 41

(0,0) x

y

2 cm

7 cm

2 cm

8 cm

1

2

x

y

G2

G1

G

cmcmcm

x 83.4)8*2()2*7(

6*)8*2(5.3*)2*7(

cmcmcm

y 33.6)8*2()2*7(

4*)8*2(9*)2*7(

3.5 cm

4 cm 6 cm

9 cm

cmx 83.4

cmy 33.6

KT 42

(0,0) x

y

2 cm

7 cm

2 cm

8 cm

1

2

x

y

G2

G1

G

cmy 33.6

n

i

iiixx AyII1

2).(

23

23

)433.6(*)8*2(12

8*2)33.69(*)2*7(

12

2*7xI

cmy 67.2)33.69(1

cmy 67.1)433.6(2

467.276 cmI x

KT 43

(0,0) x

y

2 cm

7 cm

2 cm

8 cm

1

2

x

y

G2

G1

G

cmx 83.4

n

i

iiiyy AxII1

2).(

23

23

)83.46(*)8*2(12

8*2)5.383.4(*)2*7(

12

2*7yI

cmx 33.1)5.383.4(1

cmx 17.1)83.46(2

417.109 cmI y

KT 44

ÖRNEK 98

Şekilde gösterilen kirişin kesit

alanının x ve y ağırlık merkezi

eksenlerine göre atalet momentlerini

belirleyiniz.

Kesit, A, B ve D dikdörtgen alanların

birleşimi olarak düşünülebilir. Bu

alanların ağırlık merkezleri şekilde

gösterilmiştir.

KT 45

A ve D dikdörtgenleri :

B dikdörtgeni:

KT 46

Toplam

Tüm kesitin atalet momentleri için toplama işlemi yapılır.

KT 47

ÖRNEK 99

Şekilde verilen taralı alanın

ağırlık merkezinin y

koordinatını ve x eksenine

göre atalet momentini

hesaplayınız.

ödev

KT 48

ÖRNEK 100

15 cm 10 cm 10 cm

20 cm

10 cm

y

x

r=10 cm

ödev