AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

• Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır.

• Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik özelliklerini hesaplamaya yöneliktir.

• Bu hesaplamalar mukavemet hesaplarında kullanılmaktadır.

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ-GEOMETRİK MERKEZ

Tanım: Ağırlık merkezi G, parçacıklar sisteminde ağırlığın bileşkesinin olduğu noktadır. Parçacıların ağırlıklarının paralel kuvvet sistemleri olduğu düşünülür. Ağırlıklar sistemi ağırlık sistemine konacak tek bir ağırlıkla değiştirilebilir.

Toplam Ağırlık 1

n

R i

i

W W

Ağırlık Merkezi: 1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i i i

i i i

n n n

i i i

i i i

xW yW zW

x y z

W W W

, ,

, , .

.

i i i

i

x y z ağırlık merkezinin koordinatları

x y z i parçacığın koordinatı

W i parçacığın ağırlığı

Eğer bir yapı sonsuz sayıda partikülden oluşuyorsa ağırlık merkezine integral ifadeleri katılır.

x dW y dW z dWx y z

dW dW dW

yoğunluk

dW dV

V V V

V V V

x dV y dV z dV

x y zdV dV dV

Geometrik Merkez Tanım: Bir nesnenin geometrik merkezidir. Formülasyonu ağırlık merkezine benzer. İzotropik ve homojen cisimlerde ağırlık merkezi ile geometrik merkez aynıdır.

V V V

V V V

x dV y dV z dV

x y zdV dV dV

Hacimsel merkez:

Alansal merkez: A A A

A A A

x dA y dA z dA

x y zdA dA dA

Çizgisel merkez:

L L L

L L L

x dL y dL z dL

x y zdL dL dL

Üçgenin geometrik merkezini bulunuz. Örnek Problem

ÇÖZÜM:

Üçgenin geometrik merkezini iki metodla bulabiliriz.

1. Şerit metodu:

1

2

dA x dy

bdA h y dy

h

bx h y

h

y y

0

0

21

61 3

2

h

A

h

A

by h y dyy dA

hy

bdAh y dy

h

b hh

y

b h

h

0A

h

A0

2

1 b bh y h y dyx dA

2 h hx

bdAh y dy

h

1b h

b6x1 3

b h2

2. Çift integral metodu:

dA dx dy

x x

y y

( )

22

2

0 0 0

1( )2

0 0

22 2

322

0

1 12 2

2

( )2

( ) ( )2 6

1

61 3

2

hb x

b bb

A

hb x

b b

A

b

hydydx b x dxy dAb

ybhdA

dydx

h b x dx h b xb bybh bh

b hh

y

b h

Temel Alanların Geometrik Merkezi:

𝑥 = 𝑦 =4𝑟

3𝜋

𝑥 =4𝑟

3𝜋 , 𝑦 = 0

𝑦 =4𝑟

3𝜋 , 𝑥 = 0

Çeyrek daire Yarım daire

Üçgen

G, Kenar ortayların kesim noktasındadır.

Kare, dikdörtgen

𝑥 =𝑏

2, 𝑦 =

ℎ

2

Tam Daire

Kompozit yapıların geometrik merkezi: Basit yapıların (temel geometrilerin) birleşmesinden oluşmuş karmaşık yapılara kompozit yapılar denir. Bunların geometrik merkezi bulunurken basit yapıların geometrik merkez özelliklerinden yararlanılır. Çözüm Yöntemi: • Karmaşık yapı basit geometrili alt parçalara ayrılır. • Eğer delik veya kesilmiş kısım varsa bunlar negatif alan gibi düşünülür. • Simetri varsa geometrik merkez bu simetri ekseni üzerindedir. • Tablo oluşturulur ve çözüm yapılır.

1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i i i

i i i

n n n

i i i

i i i

x A y A z A

x y z

A A A

Alanlar için:

Örnek: Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.

Çözüm: x eksenine göre simetriklikten dolayı geometrik merkezin y koordinatı sıfır «0» olur.

Örnek: Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını tablo kullanarak bulunuz.

Parça Ai (mm2) xi (mm) Ai . xi yi (mm) Ai . yi

=𝑏.ℎ

2=

12.4

2=

24

= −𝑏

3=

−4

3=

−1.33

24x (-1.33)=

-31.92

0

-24x 0

=

0

4x8 =

32

8/ 2=

4

32x4=

128

-4/2 =

-2

32x(-2)=

-64

𝜋.82

4=

50.24

4.𝑟

3𝜋 =

4.8

3.𝜋=

3.4

50,24x3.4 =

170.82

4.𝑟

3𝜋 =

4.8

3.𝜋=

3.4

170.82

−𝜋.22

2=

-6.28

6

-6.28x6 =

-37.68

-0.85 -6.28x 0.85 =

5.34

12.5

2=

30

12

3 =

4

120

-4-y′′=

- 4- (5/3)=

- 5.67

-170.1

S 129.96 349.22 -57.94

Eylemsizlik (Atalet) Momentleri:

Eylemsizlik kuvveti, cisimlere etkiyen kuvvet. Eylemsizlik kuvveti sistemin ivmesiyle zıt yönde oluşur. Eylemsizlik

kuvveti yoktan var edilemez. Var olan enerjiyi cisim yine kendi halini yani hareketsiz haline dönmek için kendi

hareket yönüne zıt bir kuvvet oluşturup kullanır... evrende madde her zaman ilk hareketlerini korumak ister, yani

duruyorsa durmak hareket halindeyse o hızda hareke devam etmek ister. Cisme bir kuvvet uygulandığında cisim

harekete ters yönde cevap vererek ilk halini korumak isteyecektir. işte bu kuvvet eylemsizlik kuvvetidir. Bir cisme

uygulanan hiçbir kuvvet yoksa ya da cisme uygulana kuvvetlerin bileşkesi 0 ise cisim ya hareketsiz kalır ya da

düzgün doğrusal hareket yapar. Örneğin sıra üzerinde duran bir kitaba dışarıdan bir kuvvet uygulanmadıkça

sonsuza kadar bırakıldığı yerde kalır.

Başka bir cisme eşit büyüklükte zıt yönde iki kuvvet uygulanırsa kuvvetler birbirini yok edeceğinden cisim hareket

etmez. Sürtünmesiz bir ortamda bir misketi harekete geçirdiğimizde misket düzgün doğrusal hareket yapar. Duran

bir otobüste ayaktaki yolcuların haberi olmadan otobüs aniden hareket ederse yolcular arkaya doğru itilir. Hareket

halindeki bir otobüsün aniden fren yapması sonunda ayaktaki ve oturan yolcuların öne fırlamaları yolcuların

bulundukların durumları korumak istemelerinden kaynaklanır. Trafik kazalarında arabaların ön koltuklarında

oturanların ani fren sonunda kafalarını cama çarpmamaları için emniyet kemeri takmaları zorunludur. Duran bir

cismi herhangi bir kuvvet etkilemedikçe sürekli durur. Hareket halindeki bir cismi hareketini engelleyecek bir

kuvvet etki etmedikçe hareketine devam eder. Bu özelliğe eylemsizlik denir. Eylemsizlik Momenti; veya atalet

momenti (SI birimi kilogram metrekare - kg m²), dönme hareketi yapan bir cismin dönme eylemsizliğidir.

Yapı elemanlarının, 1. Eğilme 2. Burulma hesabında 3. Kesitlerde

Hesaplarında kullanılan ve I ile gösterilen matematik bağıntıya alanın ikinci momenti veya atalet momenti denir. Mühendislikte olmazsa olmaz özelliklerden biridir.

Örnek: Şekilde verilen dikdörtgenin, a. Tabandan geçen eksene göre b. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentinin bulunması.

Paralel Eksen Teoremi:

Bir eksene göre atalet momenti belli iken, bu eksene paralel başka bir eksene göre atalet momenti bulunabilir. Şöyle ki:

Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene (xg ) göre atalet momenti ( Ixg )belli iken, x eksenine göre atalet momenti :

A: Alan, dy : eksenler arasındaki dik uzaklıktır.

Paralel eksen teoreminin uygulanması için 2 önemli şart vardır:

1- Eksenler birbirine paralel olmalıdır. 2- Bir eksen mutlaka ağıırlık merkezinden geçmelidir.

Ix bilinirken ise Ixg nin bulunması:

Benzer şekilde;

Temel Alanların Atalet Momentleri:

Çeyrek daire

Yarım daire

Kare, dikdörtgen

Tam Daire

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =𝜋𝑟4

4=𝜋.𝐷4

64

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =𝜋𝑟4

8=𝜋.𝐷4

128

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =𝜋𝑟4

16=𝜋.𝐷4

256

𝐼𝑥 =𝑏ℎ3

3

𝐼𝑦 =ℎ𝑏3

3

𝐼𝑥𝑔=

𝑏ℎ3

12

𝐼𝑦𝑔=

ℎ𝑏3

12

𝐷𝑖𝑘𝑡ö𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑖ç𝑖𝑛 𝐼𝑥𝑔 𝑏𝑖𝑙𝑖𝑛𝑖𝑟𝑘𝑒𝑛 𝐼𝑥 𝑖

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑟𝑖𝑧:

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑔+ 𝐴. 𝑑2 =

𝑏ℎ3

12+ 𝑏. ℎ. (

ℎ

2 )2=

𝑏ℎ3

3

Dikkat: Ix ağırlık merkezinden değil, daire merkezinden geçen eksene göredir.

Örnek (2009 final): Tablo kullanarak, şekildeki alanın; a-) ağırlık merkezinin koordinatlarını, b-) şekildeki x eksenine göre atalet momentini, c-) ağırlık merkezinden geçen ve şekildeki x eksenine paralel olan eksene ( 𝑥 ) göre atalet momentini hesaplayınız.

Örnek: Şekilde verilen birleşik kesitin ağırlık merkezine göre atalet momentinin [Ix]

Çözüm:

Örnek Sorular: Şekildeki alanların ağırlık merkezinden geçen yatay ve düşey eksenlere göre atalet momentlerini (𝐼𝑥𝑔

, 𝐼𝑦𝑔 ) hesaplayınız.