Yrd. Doç. Dr. Ahmet Reşit KAVSAOĞLU

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

» Z Dönüşümü» Z Dönüşümü Özellikleri» SAYISAL FİLTRELER» FIR filtreler» IIR filtreler» Problemler» Uygulamalar

Kaynaklar:

Advanced Topics in Signal Processing (Lim, Oppenheim)

» Z-dönüşümü, Ayrık-zamanlı Fourier dönüşümünün (DTFT) genelleştirilmiş halidir.

» DTFT’nin her tür işaret için hesaplanması mümkün olmayabilir.

» DTFT için varlık şartı:

» Z-dönüşümünün tanımı:

» Z-dönüşümünü, DTFT ile karşılaştıralım:

» z, z = r.e jw ile gösterilen karmaşık bir değişkendir.

» z = e jw olarak alınırsa Z-dönüşümü, DTFT’ye dönüşür.

» DTFT’de işaretler, genliği bir olan karmaşık üstellerin toplamı (integrali) şeklinde ifade ediliyorlardı. Z-dönüşümünde ise işaretler, çeşitli genliklerdeki karmaşık üstellerin toplamı (integrali) şeklinde gösterilirler.

n

nx |][|

n

nznxzX

n

jwnenxwX ][)(

» Z-dönüşümü, karmaşık z değişkenine bağlı olan bir fonksiyondur.

» Genellikle karmaşık z-düzleminde tanımlanır.

» z = e jw ifadesini w=0’dan w=2π’ye kadar çizersek birim çemberi elde ederiz.

Re

Im

Birim

Çember

wr=1

0

2 0 2w

wX

» DTFT’nin var olması (yakınsaması) için işaretin mutlak toplanabilir (absolutesummable) olması lazımdır.

» Örnek: x[n] = an u[n] işaretinin, |a| >=1 için DTFT’si yoktur.

» z karmaşık değişkeni, r.e jw şeklinde yazılabilir:

» Yukarıdaki ifade, x[n]r –n ifadesinin ayrık-zamanlı Fourier dönüşümüdür.

» r’yi uygun bir şekilde seçersek seri mutlak toplanabilir hale gelebilir:

» Yakınsaklık bölgesi (Region of Convergence, RoC): Z-dönüşümünün yakınsadığı z’lerin oluşturduğu küme.

n

njn

n

njj enxenxreX r r

n

nx r n-

» r’nin her değeri, r yarıçapındaki bir çemberi temsil eder.

» Yakınsaklık bölgesi, çemberlerden oluşur.

» Örnek: Bir işaret için Z-dönüşümü, 0.5 < r < 2 için yakınsamaktadır.

» Yakınsaklık bölgesi yanda verilmiştir.

» Bu örnekte yakınsaklık bölgesi birim çemberi kapsar. Bu, örnek işaret için DTFT’nin var olması demektir.

» Örnek:

» Yakınsaklık için:

» Yakınsaklık bölgesi:

» Geometrik seri toplamı:

» Yakınsaklık bölgesi içinde

seri şöyle ifade edilir:

0

1 n

n

n

nnn azznuazXnuanx

0

1

n

n

az

azazn

11

2

1

21

1

1N

Nn

NNn

a

aaa

az

z

azazzX

n

n

01

1

1

1

» Bir işaretin Z-bölgesinde gösterimi, sıfır (zero) ve kutup (pole) noktalarından oluşur.

» Sıfır noktası, Z-dönüşümünü sıfır yapan noktadır. Karmaşık düzlemde “o” ile gösterilir.

» Kutup noktası, Z-dönüşümünün tanımsız (sonsuz) olduğu noktadır. Karmaşık düzlemde “x” ile gösterilir.

» Örnek:

1 ,00

10

Nnn

Nnanx

n

az

az

zaz

az

azzazX

NN

N

N

N

n

nN

n

nn

11

1

1

0

11

0

1

1

1

Z-dönüşümünün yakınsaklık bölgesinin (RoC) özellikleri:

» RoC bir halkadır veya merkezi (0,0) noktası olan bir disktir.

» DTFT, sadece ve sadece RoC birim çemberi kapsıyorsa hesaplanabilir.

» RoC hiçbir şekilde kutup içermez.

» Sonlu sayıda noktalı işaretler için RoC, bütün z-düzlemidir.

» Bir noktadan başlayıp + sonsuza giden işaretler için RoC, en dış kutuptan sonsuza kadar uzanır.

» Eksi sonsuzdan başlayıp bir noktaya kadar gelen işaretler için RoC, en iç kutuptan başlayıp sıfıra kadar gider.

» İki taraflı (eksi sonsuzdan artı sonsuza giden) işaretler için RoC, kutuplar tarafından sınırlanan bir halkadır.

» RoC, her zaman “bağlı” bir bölgedir.

» Bir işaretin Z-dönüşümü, RoC olmadan işareti tam olarak belirlemez.

9

RoC ve sistem özellikleri arasındaki ilişkiler

» Dürtü yanıtı h[n] olan bir sistem ele alalım.

» Z-dönüşümünün {H(z)} sıfır-kutup çizimi altta gösterilmiştir.

» Başka bir bilgi olmadan h[n] belirlenemez.

» Olası RoC’lar: |z| > 2 veya |z| < ½ veya ½ < |z| <2

» Sistem kararlıysa RoC birim çemberi içermelidir ½ < |z| <2

» Sistem nedensel ise h[n] sağ taraflı bir işaret olmalıdır |z| > 2

» Ters Z-dönüşümü: Cauchy integrali.

» Cauchy integrali, yakınsaklık bölgesi içinde herhangi bir kapalı kontür üzerinde alınır.

» Ters Z-dönüşümünde Cauchy integrali yerine genellikle daha basit yöntemler yeterlidir.

˃ Gözlem metodu

˃ Parçalı kesir açılımı

˃ Seri açılımı

» Gözlem metodu: Tersi alınan Z-dönüşümünü, bilinen Z-dönüşümlerine benzeştirmek. Mesela:

» Örnek:

dzzzX

jnx n 1)(

2

1][

aaz

nuaZn

z

1

11

nuz

z

zX

n

2

1n x

2

1

2

11

1

1

» Parçalı kesir açılımı: Z-dönüşümünün aşağıdaki gibi gösterildiği durumlarda işe yarar.

» Örnek:

N

k

k

k

M

k

k

k

za

zb

zX

0

0

2

1z :ROC

2

11

4

11

1

11

zz

zX

1

2

1

1

2

11

4

11 z

A

z

AzX

1

4

1

2

11

1

4

11

1

4

1

1

1

z

zXzA 2

2

1

4

11

1

2

11

1

2

1

1

2

z

zXzA

2

1z

2

11

2

4

11

1

11

zz

zX nu-nunx

nn

4

1

2

12

• Seri açılımı yoluyla ters Z-dönüşümü: Sonlu noktalı dizilerde kullanılabilir.

• Z-dönüşümü:

• Açılmış hali:

• Bu şekilde gösterilebilen Z-dönüşümlerinin tersi kolaylıkla alınabilir.

• Örnek:

n

nznxzX

2112 2 1 0 1 2 zxzxxzxzxzX

12

1112

2

11

2

1z

112

11

zz

zzzzzX

12

11

2

12 nnnnnx

20

12

101

12

121

n

n

n

n

n

nx

Z-dönüşüm özellikleri

» Doğrusallık

» Zamanda kayma

» Konvolüsyon

» Zaman terslenmesi

» Üstel ile çarpma

» Türev

21

2121 xx

ZRRROCzbXzaXnbxnax

x

nZ

o RROCzXznnx o

212121 : xx

ZRRROCzXzXnxnx

x

Z

RROCzXnx

1 /1

xoo

Zn

o RzROCzzXnxz /

x

ZRROC

dz

zdXznnx

» Belirli bazı kriterlere göre giriş sinyalinin bazı frekanslarını geçiren, bazılarını bastıran işaret işleme sistemine sayısal filtre denir.

» Sayısal bir filtrenin karakteristiği genellikle frekans yanıtına, bazen de faz yanıtına bakarak anlaşılır.

» Frekans yanıtı (kazanç karakteristiği) doğrusal veya logaritmik olarak görülebilir.

» Sayısal filtreler, alçak geçiren, yüksek geçiren, bant geçiren veya bant durduran olarak sınıflandırılırlar. (Bunlarla sınırlı değildir.)

• İki çeşit doğrusal sayısal filtre vardır: Sonlu dürtü yanıtlı (finite impulse

response, FIR) ve sonsuz dürtü yanıtlı (infinite impulse response, IIR).

• FIR filtre, giriş sinyali üzerinde kayan ağırlıklandırılmış ortalama alma

işlemi uygular. Çıkış sadece girişin şu anki ve geçmiş değerlerine bağlıdır.

• Doğal sistemler (filtreler) genellikle FIR olarak modellenirler.

• IIR filtre özyinelidir (recursive). Girişin şu anki ve geçmiş değerlerine bağlı

olduğu gibi çıkışın da geçmiş değerlerine bağlıdır, yani geri beslemeli bir

yapıya sahiptir.

» Tasarlanan filtrenin ideal filtreye yakın olması istenir.

˃ -3 dB kesim frekansının doğruluğu

˃ Düşük geçirme bandı salınımı

˃ Dar geçiş bandı

˃ Düşük seviyeli durdurma bandı (yüksek zayıflatma)

» FIR filtreler: Bir FIR filtre, sinyal akış grafiği ile modellenebilir:

1

01210 ][]1[...]2[]1[][][

N

mmN mnxwNnxwnxwnxwnxwny

18

Pencereleme tabanlı FIR sayısal filtre tasarımı

˃ İdeal frekans yanıtını oluştur.˃ Ters Fourier dönüşümünü al ve dürtü yanıtını oluştur. Sonsuz uzunlukta bir

işaret olacaktır.˃ İşaretin sağından ve solundan kes (işareti pencereden geçir). Sonlu sayıda

elemanı olan işaret kalacaktır.

Örnek: Kesme frekansı 0.5 olan alçak geçirgen sayısal FIR filtre. (Örnekleme oranı: fs 2)

» Uzun pencere boyu kullanmanın avantajları:˃ Dar geçiş bandı

˃ Durdurma bandında yüksek zayıflatma

˃ Düşük geçirme bandı salınımı

» Uzun pencere boyu kullanmanın dezavantajı:˃ Yüksek işlem yükü

» Durdurma bandında işaretin tam bastırılamama nedeni, dikdörtgen pencere fonksiyonunun işareti aniden sıfıra düşürmesidir. Bu ani değişiklik, frekans bölgesine yüksek frekans bileşeni olarak yansır.

» Bu etkiyi zayıflatmak için dikdörtgen pencere yerine daha yumuşak geçiş sağlayan Hamming, Hanning, Blackman, vs. pencereleri kullanılabilir.

» Dikdörtgen pencere dışında bir pencere kullanmanın avantajı, durdurma bandındaki yüksek zayıflatmadır.

» Dezavantajı ise geçiş bölgesinin (bandının) geniş olmasıdır, yani sert bir düşüş yerine yumuşak bir düşüş sağlamasıdır.

» Alçak geçirgen filtreden yüksek geçirgen filtre elde etme

][][][ nhnnh lphp

)(1)( hHfH lphp

» Alçak geçirgen filtreden bant-geçirgen filtre elde etme

][*][][ nhnhnh hplpbp

)()()( fHfHfH hplpbp

» Alçak-geçirgen filtreden bant-durduran filtre elde etme

][][][ nhnhnh hplpbs

)()()( fHfHfH hplpbs

» FIR filtre gerçekleştirme çeşitleri: 1- Konvolüsyon, 2- FFT tabanlı

» Konvolüsyon tabanlı gerçekleştirme, filtre boyu belli bir değerden (256-512) küçükse mantıklıdır. Aksi takdirde çok işlem yükü tutar, yerine hızlı Fourierdönüşümü tabanlı yöntemi kullanmak gerekir.

1

0

][][N

mm mnxhnyKonvolüsyon:

• Simülasyon yapıyorsak veya verinin tamamı elimizdeyse konvolüsyon işlemini

verinin tamamı üzerinde bir defa uygulamak yeterlidir.

• Gerçek zamanlı çalışıyorsak (veri geldikçe işlememiz gerekiyorsa) konvolüsyon

işlemini çerçeveler üzerinde ve dikkatli bir şekilde yapmak gerekir.

Filtre

Filtre Filtre

n. çerçeve veri

(n+1). çerçeve veri

• Normal konvolüsyon işleminde kullanılan “çerçevenin öncesinin sıfır olduğu”

varsayımı yerine çerçeve öncesine, önceki çerçevenin son N2-1 örneğini eklemek

gerekir. (N2: filtre boyu)

» FFT tabanlı filtreleme yöntemi:

1. İşaretin ve filtrenin hızlı Fourier dönüşümlerini al.

2. Birbiriyle çarp. (Zaman bölgesinde konvolüsyon, frekans bölgesinde çarpma)

3. Ters Fourier dönüşümünü al.

» Problem: İki işaretin FFT’lerini alıp, çarpıp, IFFT aldığımız zaman işaretlerin döngüsel konvolüsyonunu elde ederiz. Halbuki filtreleme, doğrusal bir konvolüsyon işlemidir.

» Çözüm: Döngüsel konvolüsyonu, doğrusal konvolüsyon gibi göstermek!

» Bunun için giriş ve filtre işaretlerinin sonuna sıfır ekleyerek uzunluklarını en az K = N1+N2-1 kadar yapmak ve FFT işlemini bu uzunluklarla uygulamak gereklidir. (N1: Giriş uzunluğu, N2: filtre uzunluğu)

» Giriş sinyali çok uzunsa veya işareti gerçek zamanlı işlemek gerekiyorsa filtreleme işlemini tek aşamada yapmak mümkün değildir.

» Böyle bir durumda giriş işaretini çerçevelere bölmek, her çerçeveyi tarif edildiği şekilde filtreden geçirmek ve çıkış çerçevelerini “kesiştir-ekle” (overlap-add) metoduyla birleştirmek gerekir.

» “Kesiştir-ekle” uygulanmazsa çıkış çerçevesinin boyu giriş çerçevesinden büyük olur.

» Gürültü giderme amaçlı filtreler: Kayan ortalama alma filtresi, medyan filtre

1

0

][1

][N

m

mnxN

ny

Kayan ortalama alma filtresi: Gürültü giderme amaçlı avantajlıdır. Ama sinyalde

keskin çıkış inişler varsa onları da yumuşatır.

Medyan filtre:

1. Giriş sinyalinde filtre uzunluğu

kadar bir çerçeve seçilir.

2. Bu çerçeve içindeki örnekler

büyükten küçüğe doğru

sıralanır.

3. Çıkış olarak ortada sıradaki

örnek seçilir.

4. Çerçeve bir kaydırılır ve 2.

basamağa dönülür.

Matlab ile FIR Filtre Tasarımı : Matlab’da FIR filtre tasarımı için fir1 komutu

kullanılmaktadır.

Alçak geçiren bir filtre tasarımı yapmak için;

b =fir1(N,Wn); b: Hesaplana filtre katsayı değerlerini

N: Filtre derecesini

Wn: Normalize edilmiş kesim frekansını göstermektedir.

Wn değerini belirlemek için filtrelenecek sinyalin örnekleme frekansını bilmemiz gerekir.

fs, örnekleme frekansı ve fc, istenilen filtre kesim frekansı için Wn=2*fc/fs formülü ile

hesaplanmalıdır.

Yüksek geçiren bir filtre tasarımı için;

b =fir1(N,Wn,’high’);

Band geçiren bir filtre tasarımı için; Band durduran bir filtre tasarımı için;

Wn= [w1 w2] bir vektör olmak üzere,

b =fir1(N,Wn); b =fir1(N,Wn,’stop’);

w1: Alçak kesim frekans değeri için normalize edilmiş frekans değeri

w2: Yüksek kesim frekans değeri için normalize edilmiş frekans değeri

Konvolüsyon (filtreleme) işlemi için conv komutu kullanımı:

data: sinyalin değişken. y=conv(b,data); % Filtreleme işlemi

b: Filtre katsayıları. y=y(1:length(data)); %Filtreleme sonrası filtre uzunluğu

kadar kısım atılıyor.

» IIR Filtreler: Bir IIR filtre, frekansta daha keskin düşüşler elde etmek için geri-beslemeli bir yapı kullanır.

» FIR filtrelerin aksine, IIR filtreler karasız olabilirler ve dikkatli tasarlanmaları gerekir. Avantajı ise çok daha az sayıda katsayı gerektirmesidir.

» Sonsuz uzunlukta dürtü yanıtı demek, sisteme giren bir dürtünün sistem yanıtının uzun süreler boyunca sıfıra düşmeyebileceği demektir.

]3[]2[]1[]2[]1[][

][][][

321210

3

1

2

0

nybnybnybnxanxanxa

knybknxanyk

kk

k

» Z-bölgesi transfer fonksiyonunu bulmak için eşitliğin her iki tarafının Z-dönüşümünü alalım:

» Pay polinomunun kökleri (A(z) = 0) filtrenin sıfır noktalarını, payda polinomunun kökleri (B(z) = 0) ise filtrenin kutup noktalarını verir.

» En az bir kutup, sıfır noktasıyla sadeleşmezse dürtü yanıtında anu[n] veya –anu[-n-1] şeklinde bir ifade bulunacaktır, bu da dürtü yanıtının uzunluğunun sonsuz olması demektir.

» Filtrenin kararlı olması için tüm kutup noktalarının genliklerinin birden küçük olması gerekir.

» IIR filtre tasarımı şu aşamalardan oluşur:1. İstenen şartları sağlayan analog filtrenin transfer fonksiyonunu oluştur.

2. Filtrenin sürekli-zamanlı dürtü yanıtını elde et. Buradan örnekleme ile ayrık-zamanlı dürtü yanıtını oluştur.

3. Filtrenin ayrık-zamanlı transfer fonksiyonunu elde et (Z-dönüşümü).

4. Z-dönüşümünü kullanarak özyineli denklemi elde et.

)(

)(

)1)(1)(1(

)1)(1(

1)(

)()(

)()()()()()()(

3

3

2

2

1

1

2

2

1

10

3

3

2

2

1

1

2

2

1

10

3

3

2

2

1

1

2

2

1

10

zB

zA

zzz

zza

zbzbzb

zazaa

zX

zYzH

zYzbzYzbzYzbzXzazXzazXazY

» Örnek: İkinci dereceden alçak-geçirgen filtre (örnekleme periyodu = 0.05 s).

)15(

15)(

sssT

15

11)( 1 ,1

15)( 21

21

sssTAA

s

A

s

AsT

][)1()()1(h[n] :Örnekleme )()1()}({1515151 nueTtueTtuesTL s

s

nT

snTt

t

s

t

472.0472.1

0264.005.0

)472.0)(1(

)472.01(05.0

))(1(

)1(05.0]

1[)(

275.0

75.0

15

zz

z

zz

z

ezz

ezT

ez

z

z

zzH sTs

]2[0264.0]1[05.0]2[472.0]1[472.1][

]2[0264.0]1[05.0]2[472.0]1[472.1][

)0264.005.0)((472.047211

)0264.005.0)((472.04721 )(

)()(

2121

2

nxnxnynyny

nxnxnynyny

zzzX)zz.-Y(z)(

zzX)z.-Y(z)(zzX

zYzH

1) Aşağıda bir işaretin Z-dönüşümünün sıfır-kutup çizimi verilmiştir.a) Bu işaretin Z-dönüşümünü yazın ve yakınsaklık bölgesini çizim üzerinde gösterin. (Not: işaret, zaman bölgesinde bir noktadan başlayarak artı sonsuza doğru gitmektedir.)

b) (a) şıkkında bulduğunuz sonuç, bir sistem transfer fonksiyonu olsun. Bu sistemin öz yineli (recursive) fonksiyonunu yazın (yani y[n]'yi, giriş sinyali x[n] ve çıkısın geçmiş değerlerini kullanarak ifade edin.)

1) Aşağıda birinci dereceden bir IIR (sonsuz dürtü yanıtlı) sistemverilmiştir.

a) x[n] = u[n] için sistemin çıktısını oluşturup çizin.

(n < 0 için y[n] = 0 olduğunu kabul edebilirsiniz.)

Çıkısın ilk 10 noktası, ilk 50 noktası ve ilk 200 noktasını

gösterecek şekilde üç ayrı çizim elde edin.

b) Bu sistem, kararlı bir sistem midir? Yanıtınızı grafik üzerinden ve teorik

olarak (Z dönüşümünden faydalanarak) doğrulayın.

2) x1(t) = sin(2pf1t), x2(t) = 0.5cos(2pf2t), x3(t) = 0.25sin(2pf3t) şeklindeki üç sürekli isareti ele alalım. f1 = 5 Hz, f2 = 15 Hz, f3 = 25 Hz olsun. isareti, örnekleme oranı fs = 100 Hz olacak şekilde örnekleyip x1[n], x2[n] ve x3[n]'yielde ettiğimizi varsayalım.

a) x1[n], x2[n] ve x3[n]'yi, aynı grafik üzerinde ve 0-1 saniye aralığında olacak şekilde çizdirin. Yatay eksen gerçek zamanı göstermelidir, yani saniye cinsinden olmalıdır. Her bir sinüsü farklı renkte çizdirin. Yatay ve dikey eksenleri uygun şekilde etiketleyin.

b) x[n] = x1[n] + x2[n] + x3[n] ifadesini hesaplayın ve çizdirin. Ardından x[n] işaretinin ayrık Fourier dönüşümünü alın ve genliğini ve fazını ayrı ayrı olmak üzere çizdirin. Şu noktalara dikkat edin:

1. Fourier dönüşümünün uzunluğu, işaretin uzunluğu ile aynı olsun.

2. Fourier dönüsümündeki DC bileşeninin indeks değeri 0 olsun ve grafiklerde ortada görünsün. bunun için "fftshift" komutunu kullanabilirsiniz.

3. Genlik için üç farklı grafik çizdirin. Birinci grafikte yatay eksen tamsayı cinsinden olsun, yani N işaretin uzunluğu olmak üzere [-N/2, N/2] aralığında olsun. İkinci grafikte yatay eksen normalize edilmiş frekans cinsinden, yani [-0.5, 0.5] aralığında olsun. Üçüncü grafikte ise yatay eksen gerçek frekansı, yani [-Fs/2, Fs/2] aralığını göstersin. Faz için bir tane grafik çizdirmeniz yeterlidir.

4. Grafikleri ayrı ayrı şekiller yerine bir şekil üzerinde alt alta veya yan yana göstermek için "subplot" komutunu kullanabilirsiniz.

5. Fourier dönüşümünün genliklerini çizdirirken "plot" yerine "stem" komutunu kullanmanız, görsel olarak daha anlaşılır olabilir.

c) b sıkkında elde ettiğiniz grafikleri kısaca yorumlayın. (Genlik çizimindeki dürtülerin konumları ile x1[n], x2[n], x3[n] arasındaki ilişki beklediğiniz gibi mi? Dürtülerin büyüklükleriyle sinüs-kosinüslerin genlikleri arasındaki iliski ne? Faz konusunda ne diyebilirsiniz? vs...)

3) MATLAB'ın fir1 komutunu kullanarak aşağıdaki filtreleri elde edin.

(işaretlerin frekans aralığının [-1, 1] aralığında olduğunu varsayın, filtre uzunluklarını ise 80 olarak seçin.)

(i) Kesme frekansı 0.2 olan alçak-geçirgen filtre,

(ii) 0.2 ile 0.4 arasını geçiren, diğerlerini bastıran bant-geçiren filtre,

(iii) Kesme frekansı 0.4 olan yüksek-geçirgen filtre.

a) Bu filtrelerin dürtü (impulse) yanıtlarını ve frekans yanıtlarını (sadece genlik yanıtlarını) çizin. Eksi frekansları çizdirmeyin, frekans eksenini, [0 1] aralığında değişecek şekilde ayarlayın.

b) İkinci uygulamada oluşturduğumuz x[n] işaretini 10 saniye için tekrar oluşturun ve yukarıdaki filtrelerden ayrı ayrı geçirin (conv veya filter fonksiyonunu kullanabilirsiniz).

Sonuçları hem zaman bölgesinde, hem de frekans bölgesinde (sadece genlik) çizdirin. FFT alma ve zamanda ve frekansta çizdirme işlemlerini, çıkıs işaretinin bir saniyelik bölümü üzerinde yapın. Bir saniyelik bölümü baştan ya da sondan seçmeyin, aralardan seçin (mesela 3. ve 4. saniyeler arası). Sonuçları, ikinci uygulamadaki fft çıktılarıyla karşılastırarak yorumlayın.