MODELIRANJE U HIDROTEHNICI

Goran Lončar

1

PREDGOVOR Intencija ovog kolegija nije detaljna razrada numeričkih shema implementiranih u izvornicima programskih rješenja. Zbog toga se u ovoj skripti učestalo poziva na refernce u kojima svi zainteresirani mogu naći iscrpna objašnjenja. Isto tako, veći dio referenci na raspolaganju je u pdf formatu a koje polaznici kolegija mogu dobiti od autora ove skripte. Osnovna ideja kolegija je da se slušaći upute u modelske jednadžbe procesa, upotrebu odgovarajućih početnih i rubnih uvjeta modela te da se skrene pažnja na pojednostavljenja, predpostavke i prilagodbe korištene u uspostavi modela. U uvodnicima svakog poglavlja ove skripte dati će se odgovarajuća teoretska osnova i rezultati mjerenja a kako bi se u sklopu vježbi provela i usporedba sa numeričkim modelskim rješenjima. Nadalje, na vježbama će se razrađivati slučajevi sa numeričkim nestabilnostima uz analizu njihovih uzročnika te utjecaji varijacije pojedinih modelskih parametara na točnost modelskog rješenja. Poželjno je da polaznici kolegija imaju solidno znanje iz svih prethodno odslušanih hidrotehničkih predmeta te iz matematike 3 u kojoj je provedbenim programom predviđena razrada numeričkih shema za obične i parcijalne diferencijalne jednadžbe (hiperbolne, eliptičke i paraboličke). Na kraju ove skripte priloženo je i nekoliko primjera iz primjene numeričkog i fizikalnog modeliranja u okviru strukovnih potreba.

2

SADRŽAJ

1. Uvod

2. Modeliranje tečenja u kontinuiranim akvatičkim sredinama 2.1. Jednažba kontinuiteta, Navier Stokes-ova jednadžba i Raynolds-ovo osrednjavanje 2.2. Numeričko rješavanje problema zatvaranja u sutavu jednadžbi turbulentnih

tokova 2.3. Nejednoliko tečenje u otvorenim vodotocima

2.3.1. Uvod 2.3.2. Numerički 2D modeli naglog produbljenja, uzdignuća, proširenja i suženja

u pravokutnom kanalu 2.3.3. Numerički 2D model brzotoka, vodnog skoka i širokog praga 2.3.4. Numeički 2D model didrodinamičkog djelovanje na djelomično uronjenu

strukturu

3. Modeliranje pronosa mulja i vrlo sitnog pijeska u otvorenim vodotocima 3.1 Uvod 3.2 Jednadžbe procesa i uspostava 2D modela pronosa 3.3 Optimizacija taložnice – literaturni pregled 3.4 Optimizacija efikasnosti taložnice – istraživanje sa numeričkim 2D

modelom 3.5 Utjecaj hrapavosti na pokretanje muljnog sedimenta

4. Modeliranje pronosa efluenta u kontinuiranim akvatičkim sredinama

4.1. Uvod 4.2. Pristup analizi razrjeđenja pri radu podmorskog ispusta 4.3. Koeficijenti disperzije za pronos otopljene ili suspendirane tvari u 2D numeričkim

modelima konvektivne disperzije 4.4. Modeli „bliske zone“ 4.5. Model „daleke zone“ 4.6. Analitička rješenja

5. Modeliranje tečenja u stijenama međuzrnske poroznosti 5.1. Uvod 5.2. Jednadžbe procesa 5.3. Numeričke metode rješavanja jednadžbi procesa 5.4. 2D numerički model procjeđivanja ispod zagata

6. Modeliranje pronosa efluenta u stijenama međuzrnske poroznosti 6.1. Uvod 6.2. Osnovni zakoni i jednadžbe procesa 6.3. Utjecaj odumiranja i razgradnje 6.4. Izmjena tvari između krute i tekuće faze 6.5. Retardacija 6.6. Analitička rješenja 6.7. Jednostavan numerički model 1D konvektivne disperzije

7. Modeliranje generiranja površinskih vjetrovnih valova 7.1. Uvod 7.2. Jednadžbe procesa 7.3. Uspostava numeričkog modela

3

8. Modeliranje valnih deformacija 8.1. Difrakcija 8.2. Refrakcija 8.3. Spektralna obilježja površinskih gravitacionih vjetrovnih valovova 8.4. Primjer numeričke analize refrakcije i difrakcije

9. Numerički modeli korišteni u ovom kolegiju 8.5. Mike 21 8.6. Mike 21/BW 8.7. Cormix 8.8. ASMWIN 8.9. MIke 21/SW

DODACI: PRIMJER 1 – Fizikalno modeliranje prelazne građevine u otvorenom vodotoku PRIMJER 2 – Fizikalno modeliranje preljeva „U“ oblika PRIMJER 3 – Numeričko modeliranje složenog nejednolikog strujanja PRIMJER 4 – Fizikalno i numeričko modeliranje brzotoka za HE Ombla PRIMJER 5 – Fizikalno i numeričko modeliranje valnih deformacija u Luci Split PRIMJER 6 – Numeričko modeliranje pridneno ispuštenog onečišćenja PRIMJER 7 – Numeričko i fizikalno modeliranje izmjene vode u laguni PRIMJER 8 – Numeričko modeliranje zajedničkog rada podmorskih ispusta PRIMJER 9 – Numeričko modeliranje širenja eluenta u bliskoj zoni PRIMJER 10 – Numeričko modeliranje širenja eluenta u dalekoj zoni PRIMJER 11 – Modeliranje valnih deformacija, strujanja i koncentracija otopljenog kisika (Luka Split) PRIMJER 12 – Numeričko modeliranje pronosa efluenta iz sustava javne odvodnje grada Poreča PRIMJER 13 – Numeričko modeliranje pronosa efluenta iz podmorskih ispusta pri intenzivnom atmosferskom forsiranju (Riječki zaljev) PRIMJER 14 – Numeričko modeliranje zaštite Vela Luke od meteocunamija PRIMJER 15 – Numeričko modeliranje valnog generiranja na području kanalskog sustava južnog Jadrana

4

1. UVOD Model Ljudska spoznaja o zakonitostima prirodnih procesa uspostavljena na nama prihvatljiv način.

Osnovna podjela modela:

- teoretski model - analogni model - hibridni model

Podjela prema kontroli parametara analiziranog procesa:

- deteministički model (kontrola svih parametara pojave) - stohastički model (predpostavka raspodjele nekontrolirane pojave po nekom prirodnom

statističkom zakonu) Opis dinamike tekućina - teoretski model 1. kontinuitet – skalarna jednadžba 2. vektorska jednadžba gibanja 3. skalarna energetska jednadžba Treba uvesti dodatne jednadžbe konstitutivne koje pokazuju fizikalna svojstva tekućina. Neophodnost fizikalnog modeliranja u građevinarstvu 1. Sistemi pod tlakom

- složena vodna komora - turbine - dinamički procesi (vrtloženje, vibracije) - kavitacija

2. Otvoreni vodotoci

- kratki objekti - erozioni procesi - turbulentna mješanja - rušenje brana - velike nejednolikosti toka - ušća

3. Pomorska hidraulika

- valne deformacije - pronos erozionog nanosa - stabilnost objekata

5

Hidrauličko modeliranje u Hrvatskoj Numerički modeli:

- strujanje podzemnih voda - cjevovodne mreže - 2 D potencijalno strujanje - kanalizacijske mreže - jednostavne valne deformacije - otvoreni vodotoci - procesi miješanja

Fizikalni modeli+laboratorij

- aerodinamički problemi - brane – prelijevanje i istjecanje - erozioni procesi - rušenje brana - ušća i račve - kratki objekti pod tlakom i sa slobodnim vodnim licem - zatvarači - marine i luke - plovni objekti

Korisnici rezultata modela (naručitelji)

- Hrvatska elektroprivreda - Hrvatska vodoprivreda - Ministarstvo razvitka i obnove - projektne organizacije („Elektroprojekt“, „Hidroprojekt“…) - javna komunalna poduzeća - privatni investitori

Zakoni sličnosti hidrauličkih pojava Osnov modeliranja zakoni mehaničke sličnosti

- geometrijska - kinematička - dinamička

Automodelnost Hidrodinamički slična strujanja zadovoljavaju sva tri uvjeta Opći zakon sličnosti mehaničkih pojava izvodimo iz II. Newtnovog aksioma F=m·a

a) Sličnost pri dominantnom utjecaju masenih sila (F=ρgV) Analogno:

6

b) Sličnost kod dominantnih viskoznih sila c) Dominantne površinske sile d) Dominantne elastične sile fluida

Mehanika tekućina Znanost o mehaničkom ponašanju fluida

- aerodinamika - hidrodinamika

Opisuje se pomoću tri pojma:

1. Prostor – geometrijske karakteristike 3D polja 2. Kinematika – opis gibanja fluida u vremenu i prostoru

Najopćenitiji opis pomoću skalarnih, vektorskih i tenzorskih polja ne uzimajući pri tome u obzir uzroke – sile.

3. Dinamika – razrađuje zakone održanja za fluid u strujanju - zakon održanja mase (jednadžba kontinuiteta) - zakon održanja količine gibanja (jednadžba količine gibanja) - zakon održanja energije (jednadžba energije)

ili ako smanjimo broj dimenzija prostora u kojem rješavamo problem. Broj egzaktnih rješenja je ograničen pa često tražimo približna rješenja zanemarivanja određenih članova ili pomoću adekvatnih numeričkih metoda. No, često treba uvesti empirijske koeficijente te početne i granične uvjete problema (pretpostavkom, mjerenjem u prirodi, na modelu i sl.) U prošlosti razvijene eksperimentalne metode zbog slabe numerike. Danas razvijene numeričke metode i teoretska rješenja. Fizikalno modeliranje dinamičkih prosesa

- izvedba modela po zakonima sličnosti ( I · E = IDEM) - neinertna mjerna osjetila za naprezanja, deformacije, ubrzanja, vibracije, tlakove,

oscilacije vodnog lica, kavitacija - on line računarska tehnika akvizicije i obrade podataka, real time tehnika visoke točnosti

+ hidroinformatika (hidrodinamička baza podataka, kalibracija, verifikacija) = kvalitetan podatak za projektanta

Suvremeni trend hibridni modeli (teorija + eksperiment) - Teorija – cijeli problem + eksperiment na detalju - Eksperiment – cijeli problem + teorija na detalju

7

Matematički model – fizikalni model

- Matematički model zahtijeva formulaciju jednadžbi za opis polja - Fizikalni model zahtijeva identifikaciju sila i odgovorajaćih zakona sličnosti

Mogućnost upotrebe

tip modela fizikalni model numerički model Riječni model (fiksno dno) Plima

lokalni problemi složena geometrija

velike dimenzije jednostavna geometrija

Riječni model (pokretno dno) Plima

vučeni nanos erozija i nanos lokalno

suspendirani nanos ili vučeni za jako jednostavnu gemetriju

Transportni procesi u rijeci i kod plime

obalni problemi problemi otvorenih površina

Modeli jezera i akumulacija problemi detalja fundamentalna ispitivanja

općenito upotrebivi

Modeli luka i obala općenito upotrebivi valna slika za jednostavnu geometriju

Modeli hidrauličkih objekata - karakterističnih protoka - prigušenje energije - erozija - dinamičke sile - vibracije - kavitacija

složena geometrija složena geometrija neophodni složena geometrija neophodni neophodni

jednostavna geometrija jednostavna geometrija

- jednostavna geometrija

- -

Modeli cjevovoda lokalni problemi složena geometrija transport nanosa

općenito upotrebivi

Podzemne vode ispitivanja detalja općenito upotrebivi

Ograničavajući faktori

fizikalni model numerički model osnovna ograničenja

- veličina modela (laboratorij) - protok (pumpe) - visina dizanja pumpi - zakoni sličnosti

- kapacitet memorije - brzina proračuna - nedovoljan broj jednadžbi - pretpostavke turbulencije

praktična ograničenja - minimalno mjerilo modela (površina

naprezanja, hrapavost) - veličina modela (gornja vrijednost) - mjerne moetode i skupljanje podataka - primjenljivost graničnih i početnih uvjeta

u pojednostavljenom sistemu jednadžbi - točnost pretpostavke odnosa - primjenjivost koeficijenata - prostorno i vremensko rješenje (donja

vrijednost) - numerička stabilnost i konvergencija

rješenja - primjenljivost graničnih i početnih

uvjeta

8

Primjena modeliranja na inženjerske probleme hidraulike

hidraulički model (fizikalni)) numerički model definiranje problema

određivanje sila (jednadžbi) formulacija zakona sličnosti formulacija sistema jednadžbi

formulairanje graničnih uvjeta izrada modela razvoj sheme numeričkog rješenja

baždarenje modela variranje hrapavosti ili oblika variranje koeficijenata

mjerenje rješenje proračun rješenje optimizacija rješenja

variranje geometrije variranje ulaznih podataka proračun rezultata na uvjete prirode i provjera rezultata mjerenjem u naravi

Kriteriji odluke - Fizikalni ili numerički model?

- osnovni ograničavajući faktori - tražena točnost - jednostavnost - troškovi i potrebno vrijeme - fleksibilnost modela - spoznajne mogućnosti - vjerodostojnost - korelacija na prirodu (mogućnost baždarenja) - sposobnost prognoziranja

Metode mjerenja fizikalnih veličina u hidrauličkom laboratoriju

mjerni proces

osjetilo mjerne veličine

zapis mjerne veličine

obrada i analiza

Karakteristike složenost istovremeno više veličina kvaliteta sigurnost, točnost brzina izrada izvještaja

9

vrste laboratorija

općeg tipa specijalistički građevinarstvo pumpe, turbine strojarstvo brodovi fizika avioni automobili pomorske građevine Osnovne fizikalne veličine u laboratoriju

- brzina - protok - tlak - strujanje - razina slobodne površine - sila

statičke vrijednosti dinamičke vrijednosti osjetila Zahtjevi

- točnost - ponovljivost - linearnost - nestacionarni režim toka - rijetko baždarenje - laki pristup i montaža - neporemećenost toka fluida - neosjetljivost na temperaturne promjene - neosjetljivost na kvalitetu fluida - bez korozije ili erozije - razvijenost i uhodanost - jednostavno i rijetko servisiranje - niska cijena

Mjerenje protoka - klasične metode

• ∆p • krilo • volumetrija • preljev

10

Mjerenje protoka – nove metode

• magnetsko induktivno mjerilo (zakon indukcije) - točnost 0,2-1,5% - nema poremećaja fluida - laka ugradnja - rijetka kontrola

• ultrazvučno mjerilo (Dopplerov efekt)

- točnost 1-2% - jednostavnost - nema servisiranja - nema baždarenja

Mjerenje brzine

• zahtjevi • komponente • nestacionarnost • turbulentnost

Mjerenje brzine - klasične metode

• mikrokrila • Pitot cijevi

Mjerenje brzine - nove metode

• trodimenzionalna termička anemometrija (vruća žica ili premaz) - struktura toka - točnost 1% - osjetljivost na kvalitetu fluida

• lasersko mjerenje LDV (Dopplerov efekt) - bezkontaktno - točno - više komponenti - struktura toka - bez baždarenja - visoka cijena

Mjerenje tlaka

manometri zahtjev dinamičke komponente

• mjerne membrane kapacitivni otporni kristalni

- visoka točnost - linearnost

11

- ponovljivost - visoke frekvencije - male dimenzije

Mjerenje strujanja (vizualizacija)

strujna slika boja (neutralna ili kemijska reakcija) niti plivajući dijelići aditivi

• foto • TV-sistem • digitalizacija slike

Mjerenja razina slobodne površine

• stacionarno

- mehanička igla - automatizirani elektronički mjerači razine

• nestacionarno - kontaktna (otporna, kapacitivna) - bezkontaktna (ultrazvuk, LDV)

Mjerenje sila

u principu dinamički proces hidrodinamička opterećenja kvazistatički dio dinamički dio

direktno mjerenje indirektno mjerenje pomak naprezanje deformacija

dinamički tlakovi (moguće je dobiti lokalna opterećenja

• mjerenje toka vrtloga (princip oštrog tijela) broj vrtloga pomoću

- promjena temperature - ultrazvuk - ∆p - frekvencija vibracija - točnost <1% - jednostavnost - nema baždarenja

12

- razne temperature fluida

• mjerila u razvoju - protok mase - princip Coriolisovog efekta - plivajući element - termičke metode - laser

Zaključak

1. nagli razvoj mjernih metoda 2. široki izbor osjetila u kvaliteti i cijeni 3. povećanje pouzdanosti 4. mogućnost integriranja u računarski sistem 5. točnost uglavnom ostaje ista 6. složenost mjernog sistema – potrebna kontrola

Literatura:

Kobus, H.(1980): Hydraulic Modelling, German association for water resources and land improvement, Verlag Paul Parley, Berlin, Germany.

Novak, P., Čabelka, J. (1981): Physical Principles and Design Applications, Models in Hydraulic Enginering, Pitman advanced publishing program, Boston, USA. Abbott M., Basco D. (1989): Computational fluid dynamics, Wiley & Sons, New York, USA

Fischer, H., List, E., Koh, R., Imberger, J., Brooks, N.(1979): Mixing in Inland and Coastal Waters, Academic Press, USA.

French, R. H. (1987): Open Chanel Hydraulic, McGraw-Hill, NewYork, USA.

13

2. MODELIRANJE TEČENJA U KONTINUIRANIM AKVATIČKIM SREDINAMA

2.1. Jednažba kontinuiteta, Navier Stokes-ova jednadžba i Raynolds ovo osrednjavanje

2.1.1. Diferencijalni oblik jednadžba kontinuiteta Diferencijalna forma jednadžbe kontinuiteta u kartezijevom koordinatnom sustavu uz pretpostavku odsustva ponora i izvora (dm/dt = 0) glasi:

0)()()(

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

v

y

v

x

v

t

zyx ρρρρ (2.1)

Prikazana parcijalna diferencijalna jednadžba kontinuiteta 2.1 vrijedi za opći slučaj u mehanici tekućina bez obzira radi li se o stišljivoj ili nestišljivoj tekućini. Pri rješavanju praktičnih problema u kojima se analizira stacionarno tečenje član lokalne promjene je ∂ρ/∂t = 0. Ukoliko je promatrana tekućina homogene gustoće tada je i član v grad ρ = 0. Budući da je ρ ≠ 0, slijedi div v = 0. U tablici 2.1 dan je prikaz komponenti jednadžbe kontinuiteta koje se ne mogu zanemariti ovisno o prirodi analiziranog problema.

Jednoliko i stacionarno jednodimenzionalno tečenje nestišljive tekućine 0=

∂

∂

x

vx

Dvodimenzionalno stacionarno tečenje nestišljive tekućine 0=

∂

∂+

∂

∂

y

v

x

v yx

Trodimenzionalno stacionarno tečenje nestišljive tekućine 0=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

v

y

v

x

vzyx

Nestacionarno tečenje stišljive tekućine pri brzinama majim od brzine zvuka (vodni udar) 0=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

x

v

x

v

x

v

t

zyxρρ

0=+∂

∂vdiv

tρ

ρ

Nestacionarno tečenje stišljive tekućine pri brzinama zvuka 0

)()()(=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

x

v

x

v

x

v

t

zyx ρρρρ

0)( =+∂

∂vρ

ρdiv

t

Tablica 2.1 Prikaz komponenti jednadžbe kontinuiteta koje se ne mogu zanemariti ovisno o prirodi analiziranog problema

2.1.2. Diferencijalni oblik zakona očuvanja količine gibanja Zakon očuvanja količine gibanja, zajedno sa jednadžbom kontinuiteta, u mehanici tekućina čini skup dinamičkih jedanadžbi gibanja.

14

Rezultantna sila ∆F koja djeluje na djelić tekućine dobivena je vektorskom sumom svih na djelić tekućine djelujućih vanjskih sila (volumne-masene ∆Fm, površinske-naprezanja ∆Fσ). Sila ∆Fσ sastoji se od normalnih i tangenijalnih sila. Za rezultantu se može pisati i jednakost ∆F = ∆FB + ∆FP + ∆FZ + ∆FT gdje ∆FP predstavlja komponentu tlaka odnosno srednji statički tlak ekstrahiran iz cjelokupnog stanja naprezanja a utjecaj trenja sadržan je u članovima ∆FZ + ∆FT gdje se ∆FZ odnosi na silu stvarne viskoznosti kao fundamentalnom svojstvu realne tekućine a ∆FT na silu «fiktivne» viskoznosti kojom se opisuje utjecaj «kaotičnog» turbulentnog gibanja realna tekućine odnosno (negativna) inerciona sila turbulentnog gibanja. Ukoliko se u jednadžbu očuvanja količine gibanja uvede turbulencija onda se ne samo veličine brzina i ubrzanja već i veličina tlaka i gustoća moraju definirati na način opisan u sljedećem poglavlju (jednadžbe gibanja za turbulentno tečenje). Za potrebe daljnje analize navedene sile se svode na oblik masenih sila na djelić tekućine, a što se dobiva djeljenjem svake pojedine sile sa masom djelića tekućine ( f = ∆F/∆m): a = dv/dt = f = fB + fP + fR = fB + fP + fZ + fT (2.2) Pri promatranju bezviskozne (idealne) tekućine, članovi fR = fZ + fT jednaki su nuli, što zajedno sa jednadžom kontinuiteta daje Eulerovu dinamičku jednadžbu. Pri analizi laminarnog tečenja realne tekućine vrijedi fZ ≠ 0 i fT = 0, a odgovarajuće dinamičke jednadžbe zovu se Navier-Stokesove jednadžbe. Ukoliko se promatra turbulentno tečenje realne tekućine (fZ ≠ 0, fT ≠0) provodi se postupak osrednjavanja članova tlaka i brzina u Navier Stokesovim jednadžbama a čime se dobivaju Reynolds-ove dinamičke jednadžbe. 2.1.2.1. Euler-ova jednadžba

U općem slučaju promatranja gibanja bezviskozne (idealne) tekućine u trodimenzionalnom kartezijevom sustavu x,y,z Euler-ova jednadžba (2.3a,b,c) glasi :

x

p

x

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

dvBx

z

x

y

x

x

xx

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ρ

1 (2.3a)

x

p

y

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

dvBy

z

y

y

y

x

yy

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ρ

1 (2.3b)

z

p

z

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

dt

dv Bz

z

z

y

z

x

zz

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

ρ

1 (2.3c)

2.1.2.2. Navier-Sokes-ova jednadžba

U laminarnom režimu strujanja realne-viskozne tekućine nema učešća masene sile turbulencije pa izraz 2.2 prelazi u oblik: a = dv/dt = fB + fP + fZ (2.4)

15

U odnosu na prethodno spomenutu bezviskoznu (idealnu) tekućinu uveden je i član masene sile fZ kojom je obuhvaćen utjecaj viskoznosti i poslijedične sile trenja. Uvođenjem konstitutivne jednadžbe za Newtono-ovu tekućinu definiran je proporcionalni odnos između tangencijalnih naprezanja i promjene brzina u smjeru okomitomna smjer tečenja. Pri tome djelić fluida trpi deformaciju u vidu promjene oblika a općenito se može prihvatiti da su normalna i tangencijalna naprezanja koja djeluju na taj djelić tekućine proporcionalna brzini promjene oblika. Upravo po tome razlikuju se tekućine od krutog tijela za koje vrijedi proporcionalan odnos između naprezanja i promjene oblika (Hookov zakon teorije elastičnosti) a ne brzine promjene oblika. Za opći slučaj tečenja nehomogene tekućine (ρ ≠ konst., η≠ konst.) dobiva se Navier-Stokesova dinamička vektorska jednadžba 2.5:

( )

−+−−= vv

vdivgraddefdivpgradugrad

dt

dB ηη

ρρ 3

2)(2

11 (2.5)

pri čemu je za potpuni opis strujnog polja osim jednadžbe 2.5 potrebno zadovoljiti i jednadžbu kontinuiteta, konstitutivne jednadžbe za dinamički koeficijent viskoznosti η i jednadžbe kojim je opisan odnos gustoće i tlaka/temperature ρ = ρ (p,T). Može se uočiti da se jednadžba 2.5 razlikuje od Euler-ove dinamičke jednadžbe 2.3 samo u zadnjem članu desne strane u kojem je sadržan utjecaj viskoznosti tekućine. Za slučaj tečenja homogene tekućine (ρ = konst., η= konst.) i učešće masenih sila samo u vidu gravitacionog djelovanja (potencijal sile gravitacije uB = gz) jedanadžba 2.5 prelazi u sljedeći oblik (2.6a-vektorki prikaz, 2.6b,c,d-po kartezijevim koordinatnim osima x,y,z):

vvvv

∆+

+−=⋅+

∂

∂υ

ρ

pugradgrad

tB (2.6a)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

2

2

2

2

2

21

z

v

y

v

x

v

x

p

dt

dv xxxx υρ

x smjer (2.6b)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

2

2

2

2

2

21

z

v

y

v

x

v

y

p

dt

dv yyyyυ

ρ y smjer (2.6c)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−−=

2

2

2

2

2

21

z

v

y

v

x

v

z

pg

dt

dv zzzz υρ

z smjer (2.6d)

Napomnje se da Navier-Stokesove jednadžba u sveopćoj formi nije matematički rješena iako postoje rješenja za najednostavnije primjere tečenja. Rješavanje Navir-Stokesove jednadžbe u današnje vrijeme uobičajeno je rješavati numeričkim putem. Navier-Stokes-ova jednadžba u osnovi vrijedi i za slučaj turbulentnog tečenja no obzirom na vrlo brze izmjene količine gibanja, koje se javljaju uslijed turbulencije, direktna primjena jednadžbe 2.6 postaje neprikladna za praćenje velikih brzina promjene količine gibanja ostvarenih u analiziranom turbulentnom toku.

16

2.1.2.3. Raynolds-ovo osrednjavanje navier-Stokesove jednadžbe

Turbulentni režim tečenja pojavljuje se u najvećem broju problema vezanih uz tehničku praksu. U turbulentnom tečenju djelići tekućine ne gibaju se u međusobno nemiješajućim slojevima (laminama) već se pojavljuje vremenski i prostorno fluktuirajuće gibanja. Na slici 2.1 dan je prikaz mjerenja brzina u fiksnoj točci cijevi kružnog proticajnog profila u kojoj se odvija tečenje pod tlakom. Sa 1 označen je slučaj statistički gledano stacionarnog turbulentnog tečenja pri također statistički gledano stacionarnom tlaku tokom vremena. Sa 2 označen je slučaj statistički gledano nestacionarnog turbulentnog tečenja pri također statistički gledano nestacionarnom tlaku.

Slika 2.1 Prikaz mjerenja brzina u fiksnoj točki cijevi kružnog proticajnog profila u kojoj se odvija turbulentno tečenje pod tlakom (1-statistički stacionarno tečenja pri statistički stacionarnom tlaku, 2-statistički nestacionarno turbulentno tečenje pri statistički nestacionarnom tlaku) Reynolds je prvi predložio pristup u kojem se stvarna odnosno trenutna vrijednost brzine ili tlaka prikazuje sa sumom statističi dobivene srednje vrijednosti promatranog polja (brzine, tlaka, temperature) i u vremenu varijabilne fluktuirajuće komponente promatranog polja. Vektor trenenutne brzine izražen sa trenutnim komponentama po smjerova x,y,z dan je sa jednadžbom 2.7 a Reynols-ovim osrednjavanjem dobiva se vremenski osrednjena komponenta i fluktuirajuća komponenta vektora brzine (jednadžba 2.8):

kvjiv zyx vv ++= (2.7)

vvv ′+= (2.8)

Prema tome, komponente vektora brzine po smjerovima također se mogu prikazati zbrojem vremenski osrednjenog člana i fluktuirajućeg člana:

'xxx vvv += , 'yyy vvv += , 'zzz vvv += (2.9a,b,c)

Istim principom mogu se interpretrirati i trenutne vrijednosti skalarnih polja temperature i tlaka.

'TTT += , 'ppp += (2.10a,b)

17

Također se može dokazati da je srednja vrijednost fluktuirajuće komponente promatranog polja

u periodu osrednjavanja jednaka nuli ( 'EEE += → 0=E' ).

Ovakav pristup u opisu turbulencije je stohastičke prirode budući da se turbulentno tečenje promatra kao stohastički proces sa slučajnim varijablama E (trenutne vrijednosti nekog polja). U nastavku ovog poglavlja govoriti će se samo o slučaju turbulentnog tečenja homogene tekućine. Jednadžba kontinuiteta za turbulentno tečenje homogene nestišljive tekućine nepromjenjeno je obzirom na dosadašnje navode i važeća je u istom obliku bez obzira da li se divergencija

primjenjuje na trenutnu brzinu v, osrednjenu komponentu v i fluktuirajuću komponentu brzine v'.

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

→0=vz

v

y

v

x

vdiv

zyx (2.11)

00 =∂

∂+

∂

∂+

∂

∂→=

z

v

y

v

x

vdiv zyxv (2.12)

0'''

0' =∂

∂+

∂

∂+

∂

∂→=

z

v

y

v

x

vdiv zyxv (2.13)

Reynolds-ova dinamička jednadžba izvedena je na način da se u Navier-Stokesovu jednadžbu umjesto trenutnih vrijednosti brzine i tlaka uvrste sume osrednjenih i fluktuirajućih komponenti, te se provodi nekoliko koraka algebarske manipulacije uz zanemarenje članova višeg reda. Reynoldsova dinamička jednadžba za turbulentno tečenje realne homogene tekućine po komponentama x,y,z smjera glasi (2.14a,b,c):

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

x

2

x

2

xBzxyxxxx

z

x

y

x

x

x

z

v

y

v

x

v

x

p

x

u

z

'v'v

y

'v'v

x

'v'v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222

1υ

ρ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

y

2

y

2

yBzyyyxyy

z

y

y

y

x

y

z

v

y

v

x

v

y

p

y

u

z

'v'v

y

'v'v

x

'v'v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222

1υ

ρ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

z

2

z

2

zBzzyzxzz

z

z

y

z

x

z

z

v

y

v

x

v

z

p

z

u

z

'v'v

y

'v'v

x

'v'v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222

1υ

ρ

Usporedbom navedene Reynolds-ove jednadžbe i Navier-Stokesove jednadžbe može se uočiti da su one vrlo slične pa se Reynolsova dinamička jednadžba može shvatiti i kao proširena Navier-Stokesova jednadžba u kojoj je izvršena zamjena trenutnih vrijednosti masenih sila uBi , tlaka p i

brzina vi sa članovima osrednjenih vrijednosti Biu , p i iv te su na lijevoj strani izraza dodani

članovi koji predstavljaju učešće fluktuirajuće komponente u ukupnoj promjeni količine gibanja u vremenu. Ukoliko se ti članovi prebace na desnu stranu gornjih jednadžbi, sa lijeve strane ostaje samo promjena količine osrednjenog gibanja u vremenu a na desnoj strani osim «stvarnih» osrednjenih volumnih sila (npr. gravitacije) i površinskih sila (tlaka i viskoznosti) pojavljuje se i dodatna «negativna virtualna» sila povezana sa «virtuelnim» naperazanjima (vidi sljedeće jednadžbe

18

2.15a,b,c). Negativan predznak ukazuje na interesantnu činjenicu da se energija drenira iz osrednjenog gibanja odnosno toka, kako bi se proizvodila odnosno održala takva virtualna naprezanja.

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

'v'v

y

'v'v

x

'v'v

z

v

y

v

x

v

x

p

x

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v zxyxxx

2

x

2

x

2

xBx

z

x

y

x

x

x

2221

υρ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

'v'v

y

'v'v

x

'v'v

z

v

y

v

x

v

y

p

y

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v zyyyxy

2

y

2

y

2

yBy

z

y

y

y

x

y

2221

υρ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

'v'v

y

'v'v

x

'v'v

z

v

y

v

x

v

z

p

z

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v zzyzxz

2

z

2

z

2

zBz

z

z

y

z

x

z

2221

υρ

Napominje se da ni Navier-Stokesovom ni Reynolds-ovovom jednadžbom nisu uzeti u obzir utjecaji površinske napetosti no obzirom na većinu inžinjerskih problema utjecaj sila površinske napetosti zanemariv je naspram ostalih doprinosa inercionoj sili. Jedan od osnovnih izazova modelatora turbulencije je opis virtualnih naprezanja a većina današnjih numeričkih modela počima na pretpostavkama tzv. fenomenološkog pristupa opisu turbulencije. Pioniri istraživanja u području analize virtualnih naprezanja su Prandtl (1925) i Taylor (1953). 2.1.2.4. Fenomenološki opis turbulencije

Promatra se dvodimenzionalno tečenje u turbulentnom režimu sa profilom osrednjenih brzina prikazanih na slici 2.2. Prema Prandtl-u (1925) osrednjena virtuelna turbulentna naprezanja definirana se na sljedeći način:

'' yxTxy vvρτ −= (2.16)

U turbulentnom mješanju susjednih slojeva tekućine m' = ρvy' odgovara masi tekućine koja u jednoj sekundi uslijed turbulentnog gibanja prođe kroz jediničnu hoizontalnu površinu koja odjeljuje susjedne slojeve tekućine (vidi sliku 2.2). Ukoliko je u' fluktuirajuća komponenta brzine u longitudinalnom smjeru, jednadžba 2.16 opisuje turbulentna naprezanja pri pronosu longitudinalne komponente količine gibanja u transferzalnom smjeru. Prandtl također pretpostavlja «slične» vrijednosti fluktuirajućih komponenti brzina odnosno vy' = vx'. Ukoliko je

transferzalni gradijent osrednjenih brzina y

vx

∂

∂>0 njihovi predznaci su suprotni a isti su ukoliko

y

vx

∂

∂<0. Fluktuirajuća komponenta longitudinalne brzine je određena činjenicom da mol

tekućine za vrijeme promjene položaja zadržava svoju inicijalnu brzinu u' dok njegov transferzalni pomak jenjava a nakon čega brzina promatranog djelića tekućine poprima vrijednost brzine u zatečenom sloju tekućine. Za kontinuiranu profil brzina, prema Prandtl-ovoj

teoriji, transferzalna promjena položaja kvantificirana je sa vx' ≈ y

vl x

∂

∂ gdje je l Prandtl-ova

19

duljina mješanja. Iz te definicije dobivaju se apsolutne vrijednosti fluktuacija brzine a kombinacijom sa jednadžbom (2.16) Pradtl-ova jednadžba za turbulentna naprezanja poprima oblik:

y

v

y

vρl xx2

Txy∂

∂⋅

∂

∂=τ (+ predznak za slučaj

y

vx

∂

∂>0) (2.17)

Faktor proporcionalnosti između fluktuirajućih komponenti sadržan je u veličini duljine mješanja l koju je potrebno odrediti eksperimentalno. U svom prvom objavljenom radu (1925) Prandtl je pretpostavio konstantnost duljine mješanja l u promatranom toku.

Slika 2.2 – prikaz profila osrednjenih brzina u transferzalnoj ravnini i gibanje djelića tekućine iz sloja u sloj sa fluktuirajućom komponentom brzine (vx = u, vy = v, l'-Prantl-ova duljina mješanja ) U želji za poboljšanjem svoje teorije Prandtl je objavio i svoju «novu» teoriju u kojoj je

generalnu formulaciju turbulentnih naprezanja '' yxTxy vvρτ −= komparirao sa jednadžbom

Boussinesq-a odnosno analogno konstitutivnom Newton-ovom zakonu viskoznog trenja u laminarnom toku:

y

vρ x

TTxy∂

∂= υτ (2.18)

gdje je υT kinematski koeficijent turbulentne viskoznosti. Usporedba sa «starom» teorijom turbulencije daje jednakost:

y

vl x2

T∂

∂⋅=υ (2.19)

Ukoliko bi se pretpostavila konstantna duljina mješanja l u transferzalnom smjeru gibanja, vrijednost kinematskog koeficijenta turbulentne viskoznosti υT nužno bi morao biti varijabilan u istom smjeru te bi morao poprimiti vrijednost 0 na mjestima kada se u profilu osrednjenih brzina

pojavljuje točka sa svojstvom y

vx

∂

∂ = 0. Primjerice u profilu osrednjenih brzina pri turbulentnom

20

tečenju homogene nestišljive tekućine kroz cijev kružnog poprečnog presjeka vrijednost

y

vx

∂

∂ = 0 postiže se upravo u osi cijevi a što bi značilo da je na tom položaju duljina mješanja

jednaka nuli. Budući da to nije istina, a što je uvidio i sam Prandtl, u svojoj novoj teoriji uveo je pretpostavku da je koeficijent turbulentne viskoznosti υT konstantan u transferzalnom smjeru gibanja tekućine a ne duljina mješanja l. Dugogodišnjom eksperimentalnom djelatnošću pokazalo se da za veliki raspon rubnih uvjeta u tokovima sa bliskim krutim granicama (tečenje u cijevima i tečenje po horizontalnoj ravnoj ploči) kao prva aproksimacija vrijedi jednakost l =χ y a u tokovima sa slobodnom turbulencijom (iza horizontalne ravne ploče, mlazovi, iza opstrujavane kugle ili valjka – vidi sliku 2.3) vrijedi jednakost l=βb(x). Oznaka y predstavlja udaljenost od krute nepropusne granice a b(x) karakterističnu duljinu promatranog toka u području slobodne turbulencije (promjer mlaza ili visina odnosno širina zone slobodne turbulencije iza opstrujavane kugle ili valjka). Vrijednosti konstanti χ,β odabiru se u ovisnosti o karakteristikama promatranog toka i rubnih uvjeta. Korištenjem Prandtl-ove nove teorije i uvrštavanjem u Reynolds-ovu jednadžbu za nestlačivu tekućinu 2.15a,b,c za x,y,z smjer i usvajanjem pretpostavke o izotropnosti turbulencije (υTx = υTy = υTz) dobivaju se jednadžbe 2.20a,b,c):

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

x

2

x

2

x

T2

x

2

x

2

xBx

z

x

y

x

x

x

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

x

p

x

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222222

1υυ

ρ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

y

2

y

2

y

T2

y

2

y

2

yBy

z

y

y

y

x

y

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

y

p

y

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222222

1υυ

ρ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

z

2

z

2

z

T2

z

2

z

2

zBz

z

z

y

z

x

z

z

v

y

v

x

v

z

v

y

v

x

v

z

p

z

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222222

1υυ

ρ

Obzirom da je većina turbulentnih tokova u primarnoj inžinerskoj praksi karakterizirana odnosom υT >> υ (kinematski koeficijent turbulentne viskoznosti >> kinematski koeficijent viskoznosti) jednadžbe 2.20a,b,c prelaze u «konačni» oblik :

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

x

2

x

2

x

T

Bx

z

x

y

x

x

x

z

v

y

v

x

v

x

p

x

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222

1υ

ρ (2.21a)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

y

2

y

2

y

T

By

z

y

y

y

x

y

z

v

y

v

x

v

y

p

y

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222

1υ

ρ (2.21b)

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

z

2

z

2

z

T

Bz

z

z

y

z

x

z

z

v

y

v

x

v

z

p

z

u

z

vv

y

vv

x

vv

t

v222

1υ

ρ (2.21c)

Pretpostavka o izotropnosti turbulencije nije zadovoljena u nizu slučajeva tečenja. Jedan od primjera je gibanje morskih masa u kojima se uslijed izmjene topline sa atmosferom formira nejednosliki profil gustoće po vertikali (stratifikacija) a posljedica toga je i različita vrijednost kinematskog koeficijenta turbulentne viskoznosti u horizontalnom i vertikalnom smjeru (υTx ≈ υTy ≠ υTz).

21

2.1.2.5. Spektar turbulencije

Turbulencija se dešava u različitim mjerilima čak i unutar istog polja strujanja. Ta mjerila mogu se shvatiti kao fizikalne dimenzije (karakteristične duljine) vrtloga. Alternatriva tome su frekvencije rotacije u vrtlogu ili periodi njegovog generiranja. Veliki vrtlozi imaju velike periode odnosno male frekvencije i velike duljine a mali vrtlozi obratno. Turbulentni vrtlozi različitih veličina mogu se prikazati i kao valovi različitih perioda i duljina tako da se mjerenje turbulentnih brzina analogno može prikazati varijacijom vodne površine. Ukoliko se ne uočava koherentno polje, smisaono je pretpostaviti da je mjerena funkcija sačinjena od valova različitih perioda i duljine ili frekvencije. Spektar se u tome slučaju dobiva dekompozicijom mjerene slučajne funkcije na njegove komponente. Spektar turbulencije tada predstavlja turbulentnu kinetičku energiju k (po jedinici mase u 3D tečenju

( )2

z

2

y

2

x 'v'v'vk ++=2

1 sa pojedinim valnim komponentama cijelog područja spektra od velikih

mjerila gdje se proizvodi turbulencija do malih mjerila gdje se ona disipira. Ako se pretpostavi da su vrtlozi najmanjeg mjerila neovisni o turbulenciji velikog mjerila i osrednjenom toku, tada je prema Kolmogorov-oj hipotezi (1941) lokalna proizvodnja turbulentne kinetike energije k aproksimativno jednaka njezinoj disipaciji ε. Usvajanjem pretpostavke dobiveni su sljedeći odnosi mikro i makro mjerila:

mjerilo duljina :

1/43

Lε

η

≡

υ, mjerilo vremena :

1/2

Tε

≡

υτ , mjerilo brzina : ( )1/4

(L/T) εv υ≡

Uvjet Reynolds-ovog broja Re≡ υη /v L)T/L( = 1 interpretira se sa značenjem da viskozna disipacija

odgovara dovedenoj energiji kroz postavljanje prilagodbe u mjerilu duljina sve do Kolmogorov-og mikro mjerila. Najmanje mikromjerilo (ηL,τT) je povezano sa najvećim integralnim mjerilom (l,T) kroz Kolmogorov-e jednadžbe i omjerom R ≡ υT /υ koji se iskazuje kao omjer kinematskog koeficijenta turbulentne viskoznosti υT i kinematskog koeficijenta (molekularne) viskoznosti υ. R se može promatrati i kao Reynolds-ov broj za najveće odnosno integralno mjerilo turbulencije sve dok je υT proporcionalan sa vi' l. Spomenuta veza daje konačne odnose mjerila:

odnosi mjerila duljina : 3/4L Rel

η −≡

odnosi mjerila vremena : 1/2T ReT

−≡τ

odnosi mjerila brzina : 1/4

i

TLRe

'v

v−≡

)/(

Generalizacija rezultata ovakve analize može se svesti na sljedeće:

1. Energija «drenirana» turbulencijom iz osrednjenog toka ulazi u turbulentni dio toka putem najvećeg, integralnog mjerila l .

2. Viskozna disipacija turbulente energije ostvaruje se na najmanjem mjerilu ηL . 3. Zbog toga se interna dinamika turbulencije promatra kao pronos energije sa strujanja

najvećeg mjerila (osrednjeno gibanje) na gibanje vezano uz najmanje mjerilo.

22

2.2. Numeričko rješavanje problema zatvaranja u sutavu jednadžbi turbulentnih tokova U ovom poglavlju koristi će se indeksna notacija umjesto komponentalnog prikaza vektorskih i tenzorskih jednadžbi. Sustav jednadžbi kojima se opisuje tečenja nestišljive homogene tekućine sa zanemarivim utjecajem površinske napetosti sadrži jednadžbu kontinuiteta (2.22a,b), tenzor naprezanja (2.23) i Reynoldsovu dinamičku jednadžbu sa zanemarenjem volumnih sila (2.24) :

0=∂

∂

i

i

x

v- osrednjeno strujanje 0

'=

∂

∂

i

i

x

v - fluktuirajuća komponenta (2.22a,b)

ijijij sp µδσ 2+−= (2.23)

( )jiijij

jj

i

j

i vvspxx

vv

t

vρµδ

ρ−+−

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂2

1 (2.24)

gdje je: p,σij trenutna vrijednost tlaka i tenzora naprezanja ( ',' ijijijppp σσσ +=+= );

ij,p σ osrednjeni tlak i tenzor naprezanja; p',σij' fluktuirajuća komponenta tlaka i tenzora

naprezanja ; sij trenutna «rata» tenzora naprezanja =

∂

∂+

∂

∂

i

j

j

i

x

v

x

v

2

1 = 'ss ijij + ; δij Kroneker-ova

delta; µ dinamički koeficijent viskoznosti. Za rješenje jednadžbi u svakoj točki polja strujanja potrebno je definirati sljedeće vrijednosti:

p - osrednjena vrijednost tlaka (jednaka u sva tri smjera) → 1 nepoznata vrijednost

xv , yv , zv - srednje vrijednosti komponenti vektora brzine → 3 nepoznate vrijednosti

jivvρ− - Reynolds-ova naprezanja → 6 nepoznatih vrijednosti (simetričan tenzor naprezanja sa

9 članova za koji vrijedi jivvρ− = ijvvρ− pa ustvari ostaje 6 nepoznatih vrijednosti)

Očigledno je da sustav sačinjen od 4 jednadžbe ne može dati rješenje za 10 nepoznatih vrijednosti veličina. Pronalaženje dodatnih jednadžbi kojima bi se omogućilo iznalaženje svih vrijednosti naziva se problem zatvaranja sistema (eng: the closure problem). Formulacija modela turbulencije korištenih u numeričkim modelima odnosno metoda definiranja dodatnih jednadžbi različita je ukoliko se ostvaruje vremensko ili prostorno osrednjavanje hidrauličkih parametara. U cjelovitom trodimenzionalnom polju ostvaruje se «dreniranje» energije iz osnovnog toka «velikog mjerila» definiranog sa osrednjenim vrijednostima toka a koja se disipira kroz dinamiku čestica na razini «mikro mjerila». Taj prelaz energije koji u konačnici završava sa njezinim gubitkom u mehaničkom slislu (pretvarenje u toplinsku energiju) naziva se i energetska kaskada.

23

Za definiranje energetske kaskade prvo se provodi bilancna analiza kinetičke energije osrednjenog toka. Množenjem Reynolds-ove jednadžbe sa osrednjenim vrijednostima

komponenta brzina xv , yv , zv dobivaju se dinamičke jednadžbe kinetičke energije

osrednjenog toka. Tako dobivene članove jednadžbi uz neka pojednostavljenja Tennekes i Lumley (1972) opisali su na sljedeći način:

−

=

energije

eturbulentn

prizvodnja

disipacija

viskozna

tlakasilaod

edeformacijrad

manaprezanji

ovimynolsResa

pronos

manaprezanji

viskoznimsa

pronos

tlaka

sila

rad

brzinasrednjih

energije.kin

pronos

ikonvektivn

(0) (1) (2) (3) (zanemarivo) (4) (5) U nestišljivim tekućinama zanemaruje se rad na deformaciji. U turbulentnom tečenju članovi (3) i (5) su veći od članova (2) i (4) za red veličine Reynolds-ovog broja zbog čega se najčešće i zanemaruju. Član (5) predstavlja proizvodnju turbulentne energije a njezina vrijednost najčešće je negativna (kao vrijednost unutar zagrada). Zaključno osnovna jednadžba bilance kinetičke energije osrednjenog toka je :

+

−+

=

energije

eturbulentn

prizvodnja

manaprezanji

ovimynolsRe

sapronos)difuzivni(

tlaka

sila

rad

brzinasrednjih

energije.kin

pronos

ikonvektivn

Razvidno je da se proizvodnja turbulentne energije «drenira» odnosno «crpi» iz energije osrednjenog strujanja na makro razini-mjerilu. U nastavku definiranja energetske kaskade provodi se i bilancna analiza za turbulentnu kinetičku energiju koja se odnosi na fluktuirajuće komponente toka. Navier-Stokes-ova jednadžba je množena sa komponentama trenutnog vektora brzina vx, vy, vz a Reynolds-ove osrednjene vrijednosti dobivene su za sve članove. Nakon što se od njih oduzmu vrijednosti dobivene iz analize kinetičke energije osrednjenog toka te uvođenjem nekih pojednostavljenja dobiva se:

+

−

+

+

=

energije

eturbulentn

prizvodnja

disipacija

viskozna

energijom.kin

omturbulentnsa

pronos)iturbulentn(

manaprezanji

viskoznimsa

pronos

tlaka

komponente

eućfluktuiraj

silarad

energije

.kineturbulentn

pronos

ikonvektivn

(0) (1) (2) (3) (4) (5) Član (2) zanemariv je naspram članova (3) i (5) u turbulentnim tokovima. Član (4) definiran je slijedećom jednadžbom :

ijij s's'ε υ2−= (2.25)

gdje je: ε veličina disipacije koja se ne može zanemariti. Potrebno je naglasiti da je konačna vrijednost izraza unutar zagrade (4) pozitivna. Nadalje, naprezanje fluktuirajuće komponente toka izraženo je jednadžbom:

24

∂

∂+

∂

∂=

i

j

j

i

ijx

u'

x

u's'

2

1 (2.26)

Član (5) identičan je članu (5) iz izraza za kinetičku energiju osrednjenog toka no suprotnog predznaka (sada ima pozitivnu vrijednost unutar zagrada) što upravo dokazuje činjenicu da se «drenirana» kinetička energija iz kinetičke energije osrednjenog toka (makro mjerila) koristi za «proizvodnju» turbulentne energije na manjem mjerilu. Konačna bilanca turbulentne kinetičke energije poprima sljedeći oblik:

+

−

+

=

energije.kin

eturbulentn

prizvodnja

energije.kin

eturbulentn

disipacija

energije.kin

eturbulentn

difuzija

tlakakomponente

eućfluktuiraj

silarad

k,energije

.kineturbulentn

pronos

ikonvektivn

(A) (Tk) (ε) (Pk) U mnogim realnim slučajevima tećenja rad sila od fluktuirajućih komponenti tlaka je zanemariv zbog slabe korelacije p' i fluktuirajućih komponenti vektora brzina vx', vy', vz' osim u blizini krutih granica. Konačno, može se napisati i sljedeći skraćeni oblik bilancne energetske jednadžbe turbulentne energije kao: A = Tk + Pk - ε (2.27) gdje je: A (član 0) konvekcija od k putem osrednjenog toka; Tk (član 3) turbulentna difuzija od k; Pk (član 5) – proizvodnja k putem osrednjenog strujanja; ε (član 4) - viskozna disipacija od k. U slučajevima jednolikog strujanja gdje je konvektivni pronos lokalno balansiran sa difuzijom (A=Tk), lokalna proizvodnja turbulencije također mora biti u ravnoteži sa disipacijom (Pk = ε). Strujanja sa samo jednim karakterističnim mjerilom mješanja i jednom referentnom brzinom su takvog tipa, pa je kinematski koeficijent turbulentne viskoznosti υT također konstanta u cjelom polju strujanja. Na slici 2.3 dani su prikazi klasičnih primjera takvog strujanja:

Slika 2.3 Primjeri strujanja u kojem je kinematski koeficijent turbulentne viskoznosti υυυυt konstantan (tok iza horizontalne ravne ploče, turbulentni mlaz, tok iza valjka ili cilindra) Turbulentni dijelovi tokova koji u potpunosti evoluiraju kroz svoju vlastitu turbulentnu strukturu nazivaju se tokovi sa slobodnom turbulencijom. Generalno, referentna osrednjena brzina u

25

simetrali toka okupiranog slobodnom turbulencijom U smanjuje se sa povećanjem udaljenosti x dok se mjerilo duljine turbulentnog mješanja l povećava sa udaljenosti x. Normirani profil brzina ostaje sličan po obliku bez obzira na povećanje udaljenosti x sve dok je samo jedno odgovarajuće mjerilo duljina potrebno za normiranje profila strujanja. Slično tome, profil bezdimenzionalnih turbulentnih naprezanja ostaje «sebi sličan» bez obzira na udaljenost x sve dok je dovoljna samo jedna odgovarajuća brzina U za opis profila turbulentnih «virtuelnih» naprezanja (hipoteza o samoočuvanju ; eng: self-preservation hypothesis). Teoretska analiza tokova s utjecajem krutih granica (tečenje u cijevima pod tlakom, tečenje u otvorenim vodnim koritima sa slobodnim vodnim licem) pokazala je da su prisutna različita mjerila duljina i brzina u ovisnosti o promatranom području (površinski sloj, inercijalni podsloj ili vanjski sloj). Hipoteza o samoočuvanju primjenjljiva je na pojedinačnom području odnosno sloju, pa se profili brzina mogu definirati za svaki sloj zasebno. Na području tranzicije iz sloja u

sloj vrijednosti iv , vi' i '' ji vv moraju se kontinuirano nastavljati. Nadalje, potrebno je odrediti

i različite konstantne vrijednosti koeficijenta izmjene količine gibanja za pojedina područja odnosno slojeve. 2.2.1. Klasifikacija numeričkih modela sa vremenskim osrednjavanjem Kako bi se pronos turbulencije uzeo u obzir, razvijeni su modeli koji koriste jednadžbe pronosa za parametre ili veličine kojima se karakterizira turbulencija. U tablici 2.3 dana je i nomenklatura prema broju jednadžbi parametara turbulencije.

broj jednadžbi turbulentnih parametara turbulentni parametri (u pronosu) 1 k

2 k, ε

6 'u'u ji -komponente

2 k, ε za proračun 'u'u ji

Tablica 2.3 Nomenklatura turbulentnih modela sa vremenskim osrednjavanjem Modeli kojima se opisuju tokovi u kojima k =ε (slobodna turbulencije υT = kontsanta u cijelom promatranom toku) nazivaju se modeli sa 0 jednadžbi. Ukoliko nije moguće procijeniti duljinu mješanja na temelju fizikalnog razmatranja, nužno je korištenje više od jedne transportne jednadžbe za dobivanje karaktrističnih vrijednosti turbulencije. Uobičajeni modeli koriste dvije transportne jednadžbe, jednu za turbulentnu energiju k a drugu za njenu disipaciju ε. Iz Kolmogorov-Prandtl-ovog modela sa manjim izmjenama definiran je kinematski koeficijent turbulentne viskoznosti:

kLC' µT =υ (2.28)

gdje je: C'µ - koeficijent turbulentne difuzije

26

Na temelju dimenzione analize koju su proveli Tennekes i Lumley (1972) disipacija turbulentne

energije je dana izrazomL

vi

3'∞ε u kojem su vi' i L lokalna referentna fluktuirajuća komponenta

brzine i mjerilo duljine mješanja. Time je dobiven i sljedeći odnos:

L

kC

D

23 /

=ε (2.29)

Kombinacijom jednadžbi 2.28 i 2.29 eliminira se član L, te se dobiva slijedeća jednakost:

ευ µ

2k

C'C DT ⋅= ili jednostavnije ε

υ µ

2k

CT = (2.30)

Gdje je Cµ eksperimentalna konstanta. Modeli sa dvije jednadžbe rješavaju odvojeno jednadžbe pronosa za k (x,y,z,t) i ε (x,y,z,t) za krajnje korištenje jednadžbe sa kojom je definiran υT. Tako dobivena vrijednost υT koristi se za sve smjerove odnosno za sve komponente Reynolds-ovih naprezanja. Takav pristup odgovara pretpostavci izotropnog lokalnog polja turbulencije. Jednadžbe pronosa turbulentne kinetičke energije k i disipacije ε u tzv. standardnom k-ε modelu turbulencije prema njegovom autoru Rodi-ju (1980) glase:

εx

∆

σβg

x

u

x

u

x

u

x

k

σxx

ku

t

k

jT

T

j

i

j

j

i

i

j

T

jk

T

jj

j −∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ υυ

υ (2.31)

k

εc)

x

∆

σβgc

x

u

x

u

x

u(

k

εc

x

ε

σxx

εu

t

εε

jT

T

jε

i

j

j

i

i

j

Tε

jε

T

jj

j

2

231 −∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ υυ

υ (2.32)

gdje je: cµ, c1ε, c2ε, c3ε, σk, σε, σT - empiričke konstante (0,09 ; 1,44 ; 1,92 ; 0 ; 1 ; 1,3 ; 0,9) βM3 - volumetrijski ekspanzioni koeficijent ∆ - skalarna veličina uzgonskog djelovanja uslijed razlike u gustoći Klasifikaciju numeričkih modela sa prostornim osrednjavanjem ovdje neće biti obrađivana a zainteresirani se upućuju na referentnu literaturu.

27

2.3. Nejednoliko tečenje u otvorenim vodotocima 2.3.1. Uvod Energetska razina bilo koje točke uzduž strujnice kojom se aproksimira otvoreni vodotok, promatran kao jednodimenzionalan, može se izraziti sumom Bernoulli-jevih članova izraženih u visinskom obliku:

zyg

VE ++=

2

2

(2.33)

gdje je: y vertikalna udaljenost od promatrane točke do horizontalne ravnine vodnog lica; z vertikalna udaljenost promatrane točke od referentne geodetske ravnine; U srednja brzina u poprečnom presjeku u uzdužnom smjeru; E ukupna energija promatrane točke u poprečnom presjeku. Pri strujanju realne tekućine gubi se energija u longitudinalnom smjeru pri čemu dolazi do pada energetske linije. Nagib linije energije mjera je energetskih gubitaka koji su formirani na infinitezimalnoj dionici toka. Diferenciranjem izraza 2.33 dobiva se:

dx

dz

dx

dy

dx

gVd

dx

dE++=

)2/( 2

(2.34)

Član lijeve strane izraza 2.34 predstavlja pad energetske uzduž vodotoka a član desne strane dz/dx predstavlja promjenu geodetske kote dna kanala u vertikalnom smjeru na dionici dx. Uobičajena je upotreba zamjenskih simbolnih oznaka:

EIdx

dE−= ; 0I

dx

dz−= (2.35a,b)

Prvi član sa desne strane izraza 2.34 predstavlja udio kinetičke energije u ukupnoj energiji točke poprečnog presjeka vodotoka. Uvođenjem oznaka protoka Q i Froude-ovog broja Fr definiranih jednakostima Q=V*A i Fr2=(Q2/gA3)*dA/dy dobiva se slijedeća jednakost: (te dA/dy=B,:

dx

dyFr

dx

dy

gA

BQ

dx

dy

dy

dA

gA

Q

dx

gVd 2

3

2

3

22 )2/(−=−=−= (2.36)

gdje je: dA/dy=B širina presjeka vodotoka na vodnom licu Uvrštavanjem izraza 2.35 i 2.36 u jednadžbu 2.34 dobiva se jednakost:

2

E0

Fr1

II

dx

dy

−

−= (2.37)

28

kojom je opisana varijacija dubine odnosno razine vodnog lica otvorenog vodotoka proizvoljnog poprečnog presjeka u kome se odvija stacionarno tečenje. Razmatranje jednadžbe 2.37 može se izvesti u smislu promatranja idealne tekućine, odnosno slučaja u kome je član dE/dx = IE = 0. Pojednostavljenje uvida u dio pojave od primarnog interesa dobiva se analizom kanala sa konstantnim geometrijama poprečnog presjeka (pravokutni poprečni presjek konstantne širine): U tom slučaju izraz 2.37 se pojednostavljuje u oblik :

0)1( 2 =+−dx

dz

dx

dyFr (2.38)

Prema jednadžbi 2.38 zadovoljenje jednakosti moguće je u sljedećim slučajevima: a) dz/dx>0 i Fr<1 ; tada je (1-Fr2)>0 i dy/dx<0 ……….pad razine vodnog lica u smjeru toka. b) dz/dx>0 i Fr>1 ; tada je (1-Fr2)<0 i dy/dx>0 ……….rast razine vodnog lica u smjeru toka. c) dz/dx<0 i Fr<1 ; tada je (1-Fr2)>0 i dy/dx>0 ……….rast razine vodnog lica u smjeru toka. d) dz/dx<0 i Fr>1 ; tada je (1-Fr2)<0 i dy/dx<0 ……….pad razine vodnog lica u smjeru toka. Posebno interesantan slučaj jednadžbe 2.38 je slučaj dz/dx=0 pri čemu izraz 2.38 daje:

(1-Fr2) dy/dx=0 (2.39) Gornja jednakost biti će zadovoljena u slučaju kada je dy/dx=0 i/ili Fr2=1, odnosno pri pojavi kritične dubine (primjerice na preljevima i širokim pragovima). Ovo zadnje saznanje koristi se u mjeriteljstvu pri izvedbi mjernih kanala za mjerenje protoka (strukture poznatih geometrija) u kojima se formira kritična dubina (Fr2=1 ⇒ h=hkr) a putem koje je i jednoznačno definiran protok. Ukoliko se analizira utjecaj promjene širine proticajnog profila (db/dx≠0) uz predpostavku horizontalnog dna (dz/dx=I0=0) energetska jednadžba 2.33 poprima naredni oblik:

[ ]2

2

gy2

)x(qzyE ++= (2.40)

gdje je: q(x) specifičan protok(m3/s/m’). Budući da je q(x)/dx≠0 (zbog db/dx≠0) diferenciranjem gornjeg izraza dobiva se sljedeći izraz:

[ ] [ ]dx

xqd

gy

xq

dx

dy

gy

xq

dx

dz

dx

dy

dx

dE )()()(0

23

2

+−+== (2.41)

Usvajanjem predpostavke o konzervativnom tečenju uzduž promatrane dionice vodotoka (Q=qb= konst.) jednadžba 2.41 može se pisati i u narednoj notaciji:

[ ]dx

dbxq

dx

xqdb )(

)(−= (2.42)

29

Daljnjim uvrštavanjem jednadžbe 2.41 u jednadžbu 2.42 dobiva se:

0=-)-1( 22

dx

db

b

yFr

dx

dyFr (2.43)

Jednadžba 2.43 ukazuje na četiri interesantna slučaja sa komentarom u nastavku. a) db/dx>0 i Fr<1, tada (1-Fr2)>0 i dy/dx>0…..rast razine vodnog lica u smjeru toka b) db/dx>0 i Fr>1, tada (1-Fr2)<0 i dy/dx<0…..pad razine vodnog lica u smjeru toka c) db/dx<0 i Fr<1, tada (1-Fr2)>0 i dy/dx<0…..pad razine vodnog lica u smjeru toka d) db/dx<0 i Fr>1, tada (1-Fr2)<0 i dy/dx>0…..rast razine vodnog lica u smjeru toka Dosadašnja analiza jednadžbe 2.32 bazirala se na predpostavci odsustva energetskih gubitaka (dE/dx≠0). U nastavku se analizira jednadžba 2.32 za slučajaj prisustva energetskih gubitaka uzduž toka dE/dx≠0 a uz usvajanje sljedećih predpostavki: a) gubitak energije uzduž konačnog dijela dionice jednak je onom gubitku koji bi se postignuo

u slučaju jednolikog tečenja sa srednjim brzinama V i hidrauličkim radijusom R na dužini promatrane dionice:

3/4

22

R

VnI E = (2.44)

b) Nagib dna kanala je relativno blag pa su dubine mjerene kao vertikalne udaljenosti od dna do vodnog lica približno jednake udaljenostima od dna kanala do vodnog lica mjerenim okomito na dno kanala

c) Nema znatnijeg uvlačenja zraka d) Distribucija brzina je konstantna čime postižemo konstantnost korekcijskog koeficienta

kinetičke energije e) Koeficient gubitaka je neovisan o dubini toka i predstavlja konstantu za analizirani raspon. Odgovarajuća klasifikacija nejednolikih tokova dobiva se slijedećom analizom jednadžbe 2.37. Pri određenom protoku Q formira se pripadna dubina y. Pri povećanju y dolazi do smanjenja Fr i IE. Usvajanjem predpostavke IE=I0 pri tečenju sa normalnom dubinom (y=yN) za anlizu ostaju sljedeći slučajevi nejednakosti: IE > ili < I0 ovisno o y > ili < yN (2.45) Fr > ili < 1 ovisno o y > ili < yk ( yk oznaka kritične dubine ) (2.46) Prema gore navedenim nejednakostima provodi se klasifikacija u tri grupe: a) y > yN > yc ; S0 > Sf ; Fr < 1 ⇒ dy/dx > 0 b) yn > y > yc ; S0 < Sf ; Fr < 1 ⇒ dy/dx < 0 c) yn > yc > y ; S0 < Sf ; Fr > 1 ⇒ dy/dx > 0 Prema navedenoj klasifikaciji tokova daje se grafički i tablični pregled mogućih pojavnih oblika vodnog lica na području nejednolikosti (slika 2.4 i tablica 2.4). Provedena analiza upućuje na sljedeće zaključake : a) Predznak od dy/dx određuje se iz 2.45 i 2.46

30

b) Približavanje vodne površine normalnoj dubini asimptotskog je karaktera c) Približavanje vodnog lica kritičnoj dubini dešava se pod “velikim” kutem d) Ako je tok u nailasku na “kontrolnu strukturu” miran onda kritična dubina koja se postiže na

kontrolnoj strukturi predstavlja rubni uvjet pri određivanju svih uzvodnih profila. e) Svaki od navedenih nejednolikih tokova potvrđuje generalni princip, da je tok u mirnom

režimu definiran i kontroliran sa nizvodnim “kontrolnim profilom”, dok je tok u silovitom režimu defniran uzvodnim “stanjem” toka.

f) U kanalima sa horizontalnim dnom ili dnom suprotnog nagiba (S0 >0) pojmovi “normalne” dubine nemaju smisla budući je u prvom slučaju normalna dubina imaginarna veličina a u drugom slučaju normalna dubina poprima negativnu vrijednost.

Slika 2.4 Krivulje vodnih lica na području nejednolikosti

31

Tablica 2.4 Pregled mogućih pojavnih oblika krivulja vodnog lica na području nejednolikosti

2.3.1.1. Nagle promjene širine i denivelacije dna kanala

U slučaju naglih promjena geometrije kanala u otvorenim vodotocima dolazi do pojave lokalnih gubitaka. Iako postoji analogija sa pojavom lokalnih gubitaka pri proširenju ili suženju u strujanju kroz cijevi pod tlakom, u slučaju postojanja slobodne površine ovaj fenomen je izraženiji. Kako bi se odredili gubici energije izazvani naglim proširenjem i suženjem te produbljenjem i uzdignućem dna koristi se jednadžba kontinuiteta, zakon očuvanja količine gibanja i Bernoulli-jeva jednadžba. Za slučaj naglog uzdignuća dna pri jednolikoj širini kanala b zakon očuvanja količine gibanja uz predpostavku zanemarenja linijskih gubitaka između dva promatrana presjeka može se napisati na sljedeći način:

SWgbhQVgbhQV ++=+2

22

2

112

1

2

1ρρρρ (2.47)

gdje je: Q protok kroz kanal; V1 srednja brzina u profilu prije uzdignuća; V2 srednja brzina u profilu poslije uzdignuća; h1 dubina u profilu prije uzdignuća, h2 dubina u profilu poslije uzdignuća; WS sila tlaka dobivena integracijom po površini stepenice uzdignuća (pri naglom produbljenju predznak se mijenja u „-„) Jednadžba kontinuiteta daje jednakost:

gb

W

h

hh

h

hh

g

v S

ρ

2112

2

2

2

12

2

2

1

1

2

1 +

−=

− (2.48)

32

Usvajanjem empirijske relacije za silu tlaka koja djeluje na stepenicu uzdignuća putem uvođenja korekcijskog koeficijenta c:

[ ]21(2

1hhgbscWS −= ρ ;

1

1

gh

VFr = (2.49)

te nakon nekoliko koraka sređivanja dobiva se i kvadratna jednadžba važeća i za oba slučaja uzdignuća i produbljenja:

021 2

1

1

2

1

2

1

2

2 =−

−+ Fr

h

h

h

sc

h

h (2.50)

Sa rješenjem:

−−

−+=

1

2

1

2

12

1

2

2 1182

1

h

sc

h

scFr

h

h (2.51)

Skreće se pažnja na sličnost prethodno izvedene jednadžbe sa jednadžbom odnosa dviju spregnutih dubina u vodnom skoku. Točnu vrijednost koeficijenta c moguće je dobiti samo temeljem eksperimenta. Ipak moguća je i jednostavna procjena ukoliko se razluče komponenta hidrostatskog tlaka (vezanog na dubinu h1) i hidrodinamičkog tlaka koji otpada samo na površinu stepenice uzdignuća ili produbljenja te ukoliko se tok aproksimira sa jednom strujnicom:

( )shgbsWS −±≈ 122

1ρ (2.52)

12

1

/1

/2

hh

hsc

−

−±≈ („+“ za uzdignuće, „-„ za produbljenje s) (2.53)

Za određivanje vrijednosti lokalnog gubitka ∆E i pripadnog koeficijenta lokalnog gubitka ξ =2g∆E/v2

2 potrebno je upotrijebiti Bernoullijevu jednadžbu:

shhg

vvEEE m21

2

2

2

121

2−+

−=−=∆ (2.54)

Ponovnom primjenom jednadžbe kontinuiteta v1h1=v2h2 te prethodno definiranog odnosa h2/h1 dobiva se jednadžba odnosa lokalnog gubitka energije ∆E i dubine h1:

2

1

2

2

2

1

2

22

1

1

2

11 /

/1

2

1

hh

hhFr

h

h

h

s

h

E −−−=

∆m („-“ za uzdignuće, „+„ za produbljenje s) (2.55)

33

a svođenjem gornje jednadžbe u formu ξ =2g∆E/v22 i konačni izraz:

1

1

212

1

11

2

2

1

2

2 −

−

+=Fr

h

s

h

h

h

hm

ξ (3.56)

Slijed izvođenje jednadžbi za slučaj naglog suženja ili proširenja sličan je prethodno provedenom izvođenju, počevši sa jednadžbom očuvanja količine gibanja:

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2QV gb h QV gb h Wρ ρ ρ ρ+ = + + (2.57)

[ ]22111 (2

1hbhbghW −= ρ (2.58)

0222

1

2

2

1

1

22

1

2

1

2

1

2

3

1

2 =

+−

−

Fr

b

b

h

hFr

b

b

h

h

h

h ;

1/ 12

2

1

2

1

−=

hh

Fr

b

bc (2.59)

0222

1

1

2

2

1

2 =+−

b

bc

h

hc

h

h (2.60)

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

12

1

1

2

1 /

//

2

11

hh

hhbbFr

h

h

h

E −−−=

∆ (2.61)

1

1

212

1

1

22

1

2

2

1

2 −

−

+

=

Fr

h

h

h

h

b

bξ (2.62)

2.3.1.2. Vodni skok

Ovisno o nizvodnim uvjetima nagiba dna kanala nakon vertikalne pregrade ili preljeva, tečenje će se odvijati u mirnom ili silovitom režimu. U slučaju kada je nizvodno dno kanala horizontalno (I0<<Ikrit), kao što je to prikazano na slikama 2.5 i 2.6, sila otpora trenja uzduž omočenih kontura kanala veća je od komponente sile gravitacije koja djeluje u smjeru tečenja pa nastupa usporavanje toka i povećanje dubina. To smanjenje brzina i povećanje dubina dešava se relativno naglo kroz tranzicijski fenomen zvan vodni skok a koji je povezan sa visokim stupnjem disipacije mehaničke energije toka hv (slika 2.5). Obzirom na gubitak energije toka koncept specifične energije nije moguće primjeniti budući da energetski gubici u vodnom skoku nisu apriori poznati. No, moguća je primjena zakon o očuvanju količine gibanja na kontrolnom volumenu u kojem je sadržan vodni skok (slika 2.6):

34

( )120

2

2

2

1

22VVqL

hg

hg j −=−− ρτρρ (2.63)

Slika 2.5 Primjer pojave vodnog skoka iza preljeva

Slika 2.6 Kontrolni volumen za analizu vodnog skoka u kanalu konstantne širine i horizontalnog dna Oznaka h1 odnosni se na tzv. prvu spregnutu dubinu koja u prethodno spomenutoj analizi istjecanja ispod vertikalne pregrade odgovara dubini h1 u kontrahiranom poprečnom presjeku.

Oznaka 0τ odnosi se na osrednjeno posmično naprezanje na dnu na duljini vodnog skoka Lj.

Obzirom da je duljina vodnog skoka relativno mala otpori (τ Lj) su zanemarivi naspram hidrostatskog tlaka koji djeluju u ulaznom i izlaznom presjeku kontrolnog volumena. Uvođenjem jednadžbe kontinuiteta q =V1h1=V2h2 u jednadžbu 2.63 dobiva se jednadžba vodnog skoka kojom je definiran međusoban odnos spregnutih dubina h1 i h2:

( )1812

2

11

2 −+= Frh

h ; ( )1812

2

22

1 −+= Frh

h (2.64)

gdje je Fr1 Froude-ov broj u profilu prve spregnute dubine h1 izražen jednadžbom:

13

1

1 >=gh

qFr (2.65)

Nakon dobivanja druge spregnute dubine h2 iz jednadžbe 2.64 te brzine V2 iz jednadžbe kontinuiteta moguće je definirati i vrijednost gubitka energije (disipacije) u vodnom skoku:

35

( )

21

3

12

4 hh

hhhv

−= (2.66)

Duljine vodnog skoka Lj nije jednostavno analizirati analitičkim putem zbog čega su provedena eksperimentalna istraživanja a rezultati istraživanja pokazala su da se duljina vodnog skoka Lj približno može odrediti iz druge spregnute duljine h2 na način:

1,62

≈h

L j (2.67)

Disipacija energije u vodnom skoku je uzročnik značajnog smanjenja brzina i povećanja dubina u nizvodnim dionici vodotoka a što je vrlo poželjno u smislu stabilizacije nizvodnog korita. Međutim, ukoliko su uvijeti nizvodne dionice vodotoka takvi da je normalna dubina (dubina koja se pojavljuje u uvjetima jednolikog i stacionarnog tečenja) manja od druge spregnute dubine vodnog skoka h2 doći će do pojave tzv. odbačenog vodnog skoka koji propagira nizvodno. Pomicanjem tijela vodnog skoka nizvodno, u cijelom uzvodnom području prije vodnog skoka zadržavaju se velike brzine (siloviti režim tečenja). Te velike brzine ugrožavaju stabilnost korita. Zbog toga je potrebno osigurati da se vodni skok pojavi ili u formi normalnog vodnog skoka pri kojoj je druga spregnuta dubina h2 jednaka nizvodnoj normalnoj dubini (slika 2.5) ili u formi potopljenog vodnog skoka pri kojoj je druga spregnuta dubina h2 manja od nizvodne normalne dubine. Pojavom „potapljanja“ vodnog skoka tijelo vodnog skoka „putuje“ uzvodno, primjerice sve do položaja kraja preljeva praktičnog profila. 2.3.1.3. Hidrodinamičke sile na djelomično uronjenu strukturu

Definiranje interakcije toka i uronjenih vertikalnih struktura (opstrujavanje) predmet je istraživanja već dugi niz godina. Do sada izvedeni mnogobrojni eksperimenti potrvrđuju činjenicu da je nemoguće jednosznačno odrediti ovisnosti djelovanja toka na uronjenu krutu strukturu i obrnuto, osim u slučajevima najjednostavnije geometrije toka (kanal kvadratnog poprečnog presjeka, kruta struktura izvedena u širini proticajnog profila). Takvu jednostavnu geometriju susrećemo na ulazima u pogone namjene za kondicioniranje vode ili na ulazima u crpne stanice, dok na ulazima u temeljne ispuste/tlačne cjevovode retencija ili na ulazima u dovodne tunele na turbinska postrojenja hidroelektrana geometrija toka postaje iznimno složena. Osnovne hidrauličke veličine potrebne za predikciju gubitaka odnosno sila na potpuno ili djelomično uronjene strukture su funkcija cijelog niza parametara pa analitičko izvođenje izraza za definiranje lokalnih gubitaka i sila izazvanih opstrujavanjem struktura nije moguće. Zbog toga je u prošlosti proveden cijeli niz istraživanja na fizikalnim modelima, a u nivije vrijeme i sa numeričkim modelima, sa kojima se sa željenom točnošću mogu odrediti traženi parametri. Rezultati eksperimentalnih istraživanja publicirani su u nizu knjiga i priručnika. Pri određivanju koeficijenta lokalnog gubitka opstrujavanog tijela u sustavima pod tlakom ili tijela uronjenih u vodotok sa slobodnim vodnim licem ξ pretpostavlja se važenje sljedeće jednakosti:

FV

ACEAg SD ==∆2

2

ρρ (2.68)

36

gdje je: ∆E energetski gubitak na opstrujavanom tijelu (razlika ukupne energija ispred i iza opstrujavanog tijela); A poprečni presjek neporemećenog toka (prije profila uronjenog tijela); ρ gustoća proticajne tekućine; AS površina presjeka opstrujavanog tijela okomito postavljena na smjer toka; F sila otpora stupa (uz pretpostavku zanemarenja sile trenja); V srednja brzina u presjeku neporemećenog toka; CD koeficijent otpora uronjenog tijela. Lokalni gubitak energije ∆E može se interpretirati na uobićajeni način korištenjem koeficijenta lokalnog gubitka ξ i brzine V.

g

VE

2

2

ξ=∆ (2.69)

Izrazom 2.70 definirana je i međusobna ovisnost koeficienata ξ i CD:

S

DA

AC ξ= (2.70)

U okviru eksperimentalnih istraživanja prvotno su se dobivale vrijednosti CD a uz dodatno poznavanje geometrije opstrujavanog tijela AS i geometrije poprečnog presjeka toka A indirektno su se proračunavale odgovarajuće vrijednosti ξ. Ovisnost koeficijenta CD o Reynolds-ovom broju pri opstrujavanju potpuno uronjenih profila (tečenje pod tlakom) data je na slici 2.7. Sa slike 2.7 razvidno je da pri brzinama toka U sa Reynols-ovim brojevima u intervalu 2x103-2x105 vrijednost koeficijenta CD postaje približno konstantna (CD=1,2).

Slika 2.7 Ovisnost koeficijenta otpora oblika CD o Reynolds-ovom broju i geometriji potpuno uronjenih profila (Richter,A., Naudascher,E.)

37

Opstrujavanje profila širine d u proticajnom presjeku sa relativno bliskim i paralelnim krutim stijenkama na međusobnoj udaljenosti B uzrokuje varijaciju vrijednosti koeficijenta CD kako je to prikazano na slici 2.8.

Slika 2.8 Utjecaj omjera između udaljenosti paralelenih krutih stijenki B i profila debljine d na koeficjient CD (Richter,A., Naudascher,E.) Ukoliko se promatra opstrujavanje djelomično uronjenog vertikalnog stupa u otvorenom vodotoku, ispred njega se pojavljuje i stojni val. Ovaj utjecaj ne smije se zanemariti u slučajevima kada je omjer dubine toka h i promjera stupa d relativno malen (slika 2.9).

Slika 2.9 Utjecaj stojnog vala na promjenu koeficijenta CD (Hsieh, T.) Dva različita tipa deformacije vodnog lica mogu se pojaviti u slučaju kada je tečenje prije nailaska na stup mirno te takvo ostaje i nakon stupa (slika 2.10). U prvom slučaju tijekom prolaska pored stupa vodno lice je kontinuirano iznad kritične dubine, dok se u drugom slučaju vodno lice na nekom profilu kontrakcije toka deformira sve do postizanja kritične dubine.

38

Za izražavanje vrijednosti lokalnog gubitka na uronjenim stupu/stupovima može se upotrebiti Bernoulijeva jednadžba za profile 1 i 4 prikazane na slici 2.10:

gs

VayC

gy

qy

gy

qy D

222

2

11

4

22

4

1

22

1 ++=+ (2.71)

Gornju jednadžbu moguće je zapisati i u bezdimenzionalnoj formi:

λ

λλλ

2/

)2)(1(2

4+

++=

saCF

D

(2.72)

gdje je: F4 Froude-ov broj u profili 4; λ odnos između razlike gornje i donje vode i dubine donje vode (h1

*/y4). Ukoliko su poznati uzvodni uvjeti toka te se usvoji neka vrjednost koeficijenta CD (za presjek stupa eliptičnog profila vrijednosti u rasponu 1,5-2) jednadžbu 2.71 moguće je riješiti iterativno ili se poslužiti grafičkom interpretacijom jednadžbe 2.72 prikazanom na slici 2.11.

Slika 2.10 Dva različita tipa deformacije vodnog lica, u slučaju kada je tečenje prije nailaska na stup mirno te takvo ostaje kontinuirano uzduž stupa i u slučaju kada se vodno lice u profilu kontrakcije toka deformira sve do postizanja kritične dubine

39

Slika 2.11 Grafička interpretacija jednadžbe 2.72

2.3.2. Numerički 2D modeli naglog produbljenja, uzdignuća, proširenja i suženje u pravokutnom kanalu

Prostorne domene numeričkog modela diskretizirane su sa strukturiranom mrežom konačnih diferencija sa ekvidistantnim koracima ∆x = 1m i ∆y = 1m u x i y smjeru (slike 2.12, 2.17 i 2.18). Kanali su pravokutnog proticajnog profila i horizontalnog dna a tečenje je u mirnom režimu. Analiziraju se sljedeći slučajevi: a) Naglo produbljenje dna (∆z = -1m; -2m; -3m) uz konstantnu širinu kanala B=10m pri istim

rubnim uvjetima „ulaznog“ protoka Q1 = 20 m3/s. Dubina prije produbljenja je h1 = 2m

b) Naglo uzdignuće dna (∆z = +1m; +2m; +3m) uz konstantnu širinu kanala B=10m pri istim rubnim uvjetima „ulaznog“ protoka Q1 = 20 m

3/s. Dubina prije uzdignuće je h1 = 5m. c) Naglo proširenje (∆B = +12m; +8m; +4m) uz konstantnu kotu dna kanala h=-2m pri rubnim

uvjetima „ulaznih“ protoka Q1 = 8, 12 i 16 m3/s. Širine kanala prije proširenja su B1 = 8, 12 i

16m a nakon proširenja širene su iste i iznose B2 = 20m. d) Naglo suženje (∆B = -4m; -8m; -12m) uz konstantnu kotu dna kanala h=2m pri istim rubnim

uvjetima „ulaznog“ protoka Q1 = 20 m3/s. Širina kanala prije suženja je B1 = 20m a nakon

proširenja širene su različite i iznose B2 = 16, 12 i 8m.

40

Slika 2.12 Diskretizacija prostornih domena numeričkog modela (gornje tri slike – naglo produbljenje; doljnje tri slike – naglo uzdignuće) a smjer toka je sa lijevo na desno

Rubni uvjeti definirani su sa protocima. Formalno, zbog numeričke stabilnosti, protok je linearno povećavan od vrijednosti 0 do konačne vrijednosti tijekom perioda „zagrijavanj“ modela. Dno prije i poslije naglih promjena geometrije je horizontalno. Vremenski korak numeričke simulacije je ∆t = 0,05s. Analiziran je i slučaj sa ∆t = 0,1s pri kome nastupa numerička nestabilnost (slike 2.17 i 2.18). Korišten je Manningov koeficijent hrapavosti n=0.3. Usvojena konstanta Smagorinsky formulacije u tretmanu viskoznosti je 0,5. Na slikama 2.13 – 2.16 prikazane su brzine i denivelacije razina vodnog lica uzduž simetrala kanala za analizirane slučajeve. Na slikama 2.19 i 2.20 prikazana su polja vertikalno usrednjenih brzine u horizontalnoj ravnini za analizirane slučajeve naglog suženja i proširenja . Za vježbu je potrebno provesti proračun koeficijenta lokalnog gubitka temeljem rezultata numeričkog modela i analitičkog rješenja prikazanog u prethodnom poglavlju. Proračunate numeričke vrijednosti denivelacija razina ∆h i vertikalno usrednjenih brzina V u numeričkim čvorovima uzduž simetrale kanala dane su u fajlu: Numericka rjesenja.xls

41

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100s tac ionaž a (m )

brz

ine

u s

ime

tra

li k

an

ala

(m

/s)

(-2 u -3) (-2 u -4) (-2 u -5)

(-5 u -2) (-5 u -3) (-5 u -4)

Slika 2.13 Brzine uzduž simetrale kanala sa naglim produbljenjem i uzdignućem dna

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a u

sim

etr

ali

ka

na

la (

m)

(-2 u -3) (-2 u -4) (-2 u -5)

(-5 u -2) (-5 u -3) (-5 u -4)

Slika 2.14 Denivelacije razina vodnih lica uzduž simetrale kanala sa naglim produbljenjem i uzdignućem dna

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

70 80 90 100 110 120 130 140 150s tac ionaž a (m )

brz

ine

u s

ime

tra

li k

an

ala

(m

/s)

(16 u 20) (12 u 20) (8 u 20)

(20 u 16) (20 u 12) (20 u 8)

Slika 2.15 Brzine uzduž simetrale kanala sa naglim proširenjem i suženjem širine

42

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a u

sim

etr

ali

ka

na

la (

m)

(16 u 20) (12 u 20) (8 u 20)

(20 u 16) (20 u 12) (20 u 8)

Slika 2.16 Denivelacije razina vodnih lica uzduž simetrala kanala sa naglim proširenjem i suženjem

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a u

sim

etr

ali

ka

na

la (

m)

nes tabilnos t - uz dignuc e t1

nes tabilnos t - uz dignuc e t2nes tabilnos t - uz dignuc e t3

Slika 2.17 Razine vodnog lica pri naglom uzdignuću dna uz vremenski korak numeričke simulacije ∆∆∆∆t = 0,5s pri kome nastupa numerička nestabilnost

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a u

sim

etr

ali

ka

na

la (

m) nes tabilnos t - produbljenje t1

nes tabilnos t - produbljenje t2nes tabilnos t - produbljenje t3

Slika 2.18 Razine vodnog lica pri naglom produbljenja dna uz vremenski korak numeričke simulacije ∆∆∆∆t = 0,5s pri kome nastupa numerička nestabilnost

43

Slika 2.19 Vertikalno usrednjena polja brzina u kanalima sa naglim proširenjem

44

Slika 2.20 Vertikalno usrednjena polja brzina u kanalima sa naglim suženjem

45

2.3.3. Numerički 2D model brzotoka, vodnog skoka i širokog praga Prostorna domena numeričkog modela diskretizirana je sa strukturiranom mrežom konačnih diferencija sa ekvidistantnim koracima ∆x = 0,5m i ∆y = 0,5m u x i y smjeru. Na slici 2.21 dan je 3D prikaz numeričkog kanala sa navedenim karakteristikama. Numerički kanal je pravokutnog proticajnog profila a tečenje se odvija u mirnom, silovitom i kritičnom režimu. Voda „ulazi“ u model kroz 9 numeričkih čvorova položenih na dnu (kota -1m) i puni modelsku komoru iz inicijalno „suhog“ stanja (uzduž cijele modelske dionice). Nakon punjenja komore voda se preljevanja preko praga i slijeva se niz dionicu brzotoka. Nakon završetka brzotoka, zbog promjene nagiba dna kanala koji prelazi u horizontalu, dolazi i do formiranja vodnog skoka. Na dionici u kojoj se pojavljuje široki prag postiže se kritična dubina a nakon njega režim strujanja ponovno postaje silovit zbog relativno velikog nagiba dna kanala. Kanal završava sa bazenom koji u numeričkom smislu predstavlja absorbcijski rubni uvjet. „Absorbcijski“ bazen nije prikazan na slici 2.21.

Analiziraju se sljedeći slučajevi:

a) Široki prag visine ∆z = +1m; +0,75m; +0,5m; +0,25m; +0,125m uz konstantnu širinu kanala B=3,5m na cijeloj dionici tranzicija sve do bazena. Zadani su isti uvjeti „ulaznog“ protoka Q = 9m3/s (sumarno za sve točke izvora).

b) Bez širokog praga uz konstantnu širinu kanala B=3,5m na cijeloj dionici tranzicija sve do bazena. „Ulazni“ protok je varijabilan Q = 4,5 ; 9 ; 13,5 m3/s (sumarno za sve točke izvora).

Slika 2.21 Diskretizacija prostorne domene numeričkog kanala sa brzotokom, horizontalnom dionicom i širokim pragom

Zbog numeričke stabilnosti, protok je u numeričkim čvorovima modelskog izvora i u ovom slučaju linearno povećavan od vrijednosti 0 do konačnih vrijednosti (0,5; 1,0 i 1,5 m3/s za svaki čvor „izvora“, odnosno sumarno 4,5; 9 i 13,5 m3/s za svih 9 numeričkih čvorova izvora) tijekom perioda „zagrijavanj“ modela. Dno nakon brzotoka je horizontalno. Vremenski korak numeričke simulacije je ∆t = 0,025s. Korišten je Manningov koeficijent hrapavosti n = 0,3. Usvojena konstanta Smagorinsky formulacije u tretmanu viskoznosti je 0,5. U modelu je definirano „plavljenje“ numeričkih čvorova nakon postizanja dubine od 0,1m.

Na slikama 2.22-2.24 prikazane su razine vodnog lica i dna kanala uzduž simetrala numeričkog kanala za analizirane slučajeve. Za vježbu je potrebno provesti usporedbu rezultata numeričkog modela sa rezultatima analitičkog pristupa prikazanog u 2.3.1.2 (proračun druge spregnute te gubitka energije u vodnom skoku). Definirane kote dna i proračunate numeričke vrijednosti razina vodnog lica u numeričkim čvorovima uzduž simetrale kanala dane su u fajlu: Numericka rjesenja.xls Podatak o vrijednosti dubine se dobiva kao razlika između razine vodnog lica i kote dna.

46

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0 20 40 60 80 100 120 140

s tac ionaž a (m )

vo

dn

o l

ice

(m

)

hp=1m ; Q=9m3/s dno

hp=0.75m ; Q=9m3/s dnohp=0.5m ; Q=9m3/s dno

Slika 2.22 Razine vodnog lica pri varijaciji visine širokog praga ∆∆∆∆z (+1,0m; +0,75m; +0,5m) i uz sumarni ulazni protok od 9m3/s

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0 20 40 60 80 100 120 140

s tac ionaž a (m )

vo

dn

o l

ice

(m

)

hp=0.25m ; Q=9m3/s dno

hp=0.125m ; Q=9m3/s dnohp=0m ; Q=9m3/s dno

Slika 2.23 Razine vodnog lica pri varijaciji visine širokog praga ∆∆∆∆z (-0,25m; +0,125m; +0,0m) i uz sumarni ulazni protok od 9m3/s

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

0 20 40 60 80 100 120 140

s tac ionaž a (m )

vo

dn

o l

ice

(m

)

hp=0m ; Q=9m3/s dno

hp=0m ; Q=13.5m3/s dnohp=0m ; Q=4.5m3/s dno

Slika 2.24 Razine vodnog lica bez širokog praga te pri varijaciji sumarnog „ulaznog“ protoka Q (4,5m3/s ; 9m3/s ; 13,5m3/s)

47

2.3.4. Numerički 2D model hidrodinamičkog djelovanja na djelomično uronjenu strukturu

Prostorna domena numeričkog modela diskretizirana je sa strukturiranom mrežom konačnih diferencija sa ekvidistantnim koracima ∆x = 1m i ∆y = 1m u x i y smjeru (slika 2.25). Kanal je širine B=100m i ukupne duljine 550m. Uronjeni stupovi imaju promjer 21m (kružni poprečni presjek) te duljinu 20m i širinu 4m (pravokutni poprečni presjek). Stupovi su postavljeni u uzdužnoj osi kanala. Proveden je i proračun sa dva stupa kružnog poprečnog presjeka iste geometrije kanala i presjeka stupova sa međusobnom udaljenosti od 100m uzduž simetrale (slika 2.25). Analiziraju se sljedeći slučajevi: a) 1 stup kružnog poprečnog presjeka uz konstantnu širinu kanala B=100m pri „ulaznom“

protoku od Q=500m3/s pri čemu se uspostavlja vertikalno usrednjena brzina u neporemećenom profilu ispred stupa V=1m/s.

b) 1 stup pravokutnog poprečnog presjeka uz konstantnu širinu kanala B=100m pri „ulaznom“ protoku od Q=500m3/s pri čemu se uspostavlja vertikalno usrednjena brzina u neporemećenom profilu ispred stupa V=1m/s.

c) 2 stupa kružnog poprečnog presjeka uz konstantnu širinu kanala B=100m pri „ulaznom“ protoku od Q=500m3/s pri čemu se uspostavlja vertikalno usrednjena brzina u neporemećenom profilu ispred stupa V=1m/s.

U ovom modelu korišteno je dno pod nagibom a na lijevoj i desnoj tekućoj granici modela korišten je rubni uvjet definiran sa stacionarnim razinama vodnog lica. Za postizanje stacionarnih uvijeta tečenja uzduž kanala na desnoj otvorenoj granici postavljena je razina vodnog lica niže nego na lijevoj otvorenoj granici. Razlika razina vodnog lica na lijevoj i desnoj otvorenoj granici odgovara denivelaciji dna kanala između „ulaznog“ i „izlaznog“ presjeka. Razine vodnog lica na lijevoj i desnoj otvorenoj granici inicijalno su jednake a nakon početka simulacije linearno se smanjuje razina vodnog lica na desnoj otvorenoj granici od vrijednosti 0 do konačne vrijednosti -0,05m. Vremenski korak numeričke simulacije je ∆t = 0.025s. Korišten je Manningov koeficijent hrapavosti n = 0,3. Usvojena konstanta Smagorinsky formulacije u tretmanu viskoznosti je 0,5. Na slici 2.26 prikazane su denivelacije razina vodnog lica u uzdužnim vertikalnim profilima kanala kroz simetrale stupova kružnog i pravokutnog presjeka te u vertikalnim profilima neposredno pored stupova. Na slici 2.27 prikazane su denivelacije razina vodnog lica u poprečnim vertikalnim profilima kanala neposredno ispred i iza stupova pravokutnog i kružnog presjeka. Tema za diskusiju: Prikazane rezultate sa slika 2.26 i 2.27 treba kritički analizirati obzirom na

režim tečenja i korišteni rubni uvjet. Naime, korišteni prisilni rubni uvjet konstantne razine

vodnog lica za lijevu otvorenu granici onemogućuje uzvodno širenje poremećaja (povećanje

razina) u mirnom režimu strujanja.

Izmjena rubnih uvjeta na lijevoj otvorenoj granici, na način da se koristi stacionarni protok umjesto stacionarne razine, daje i izmjenjene rezultate prikazane na slikama 2.28-2.31. Sa slika je razvidna i linija formiranog uspora ispred tijela stupa ašto predstavlja točno rješenje.

48

Na slici 2.32 prikazano je polje denivelacije razina vodnog lica u bliskoj okoloci oko profila stupova kružnog i pravokutnog presjeka pri vertikalno usrednjenoj brzini od V=1m/s u neporemećenom profilu ispred stupova. Na slici 2.33 prikazana su polja brzina za slučaj kružnog profila stupa. Skreće se pažnja da se u ovim slučajevim ne može govoriti o stacionarnom polju brzina iz stupa kružnog poprečnog presjeka zbog pojave staze vrtloga. Prikazana polja brzina odnosi se na jedan trenutak numeričke simulacije. Razvoj nestabilnosti u vidu izražene staze vrtloga može se uočiti i sa seta slika 2.34 na kojem je dan prikaz trenutnih polja brzina pri povećanju brzine strujanja. Za vježbu je potrebno provesti proračun koeficijenta lokalnog gubitka na stupovima kružnog i pravokutnog poprečnog presjeka temeljem „točnijih“ rezultata numeričkog modela te ga usporediti sa rezultatima analitičkog i eksperimentalnog pristupa proračunu prema prikazanom u poglavlju 2.3.1.3. i ostalim literaturnim referentnim vrijednostima. Definirane kote dna i proračunate numeričke vrijednosti razina vodnog lica u numeričkim čvorovima uzduž vertikalnih uzdužnih i poprečnih presjeka kanala dane su u fajlu: Numericka

rjesenja.xls

Slika 2.25 Diskretizacija prostornih domena numeričkog modela sa jednim i dva uronjena stupa kružnog i pravokutnog poprečnog presjeka

49

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a v

od

no

g l

ica

(m

)

uz duž ne raz i kroz s tup - kvadrat

uz duž ne raz i pored s tupa - kvadrat

uz duž ne raz i kroz s tup - krug

uz duž ne raz i pored s tupa - krug

Slika 2.26 Denivelacije razina vodnog lica u uzdužnim vertikalnim profilima kanala kroz simetrale stupova kružnog i pravokutnog presjeka te u vertikalnim profilima neposredno pored stupova

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a v

od

no

g l

ica

(m

)

poreč ne raz i is pred s tupa - kvadrat poreč ne raz i iz a s tupa - kvadrat

poreč ne raz i is pred s tupa - krug poreč ne raz i iz a s tupa - krug

Slika 2.27 Denivelacije razina vodnog lica u poprečnim vertikalnim profilima kanala neposredno ispred i iza stupova kružnog i pravokutnog presjeka

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a v

od

no

g l

ica

(m

)

uz duž ne raz i kroz s tup - kvadrat

uz duž ne raz i pored s tupa - kvadrat

uz duž ne raz i kroz s tup - kvadrat (NOV O)

uz duž ne raz i pored s tupa - kvadrat (NOV O)

Slika 2.28 Denivelacije razina vodnog lica u uzdužnom vertikalnom profilu kanala kroz simetralu stupa pravokutnog presjeka te u vertikalnom profilu neposredno pored stupa (varijante korištenih rubnih uvjeta)

50

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a v

od

no

g l

ica

(m

)

uz duž ne raz i kroz s tup - krug (NOV O)

uz duž ne raz i pored s tupa - krug (NOV O)

uz duž ne raz i kroz s tup - krug

uz duž ne raz i pored s tupa - krug

Slika 2.29 Denivelacije razina vodnog lica u uzdužnom vertikalnom profilu kanala kroz simetralu stupa kružnog presjeka te u vertikalnom profilu neposredno pored stupa (varijante korištenih rubnih uvjeta)

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a v

od

no

g l

ica

(m

)

poreč ne raz i is pred s tupa - kvadrat poreč ne raz i iz a s tupa - kvadrat

poreč ne raz i is pred s tupa - kvadrat (NOV O) poreč ne raz i iz a s tupa - kvadrat (NOV O)

Slika 2.30 Denivelacija razina vodnog lica u poprečnim vertikalnim profilima kanala neposredno ispred i iza stupa pravokutnog presjeka (varijante korištenih rubnih uvjeta)

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

s tac ionaž a (m )

de

niv

ela

cij

a v

od

no

g l

ica

(m

)

poreč ne raz i is pred s tupa - krug (NOV O) poreč ne raz i iz a s tupa - krug (NOV O)poreč ne raz i is pred s tupa - krug poreč ne raz i iz a s tupa - krug

Slika 2.31 Denivelacija razina vodnog lica u poprečnim vertikalnim profilima kanala neposredno ispred i iza stupa kružnog presjeka (varijante korištenih rubnih uvjeta)

51

Slika 2.32 Polje denivelacije razina vodnog lica u bliskoj okoloci oko profila stupova kružnog i pravokutnog presjeka pri vertikalno usrednjenoj brzini od V=1m/s u neporemećenom profilu ispred stupova

Slika 2.33 Polja vertikalno usrednjenih brzina za slučajeve jednog i dva uronjena stupa pri brzini u neporemećenom profilu ispred prvog stupa od V=1,0 m/s

52

Slika 2.34a Razvoj nestabilnosti (staza vrtloga) pri kontinuiranom povećanju brzina

53

Slika 2.34b Razvoj nestabilnosti (staza vrtloga) pri kontinuiranom povećanju brzina (nastavak)

54

3. MODELIRANJE PRONOSA MULJA I VRLO SITNOG PIJESKA U OTVORENIM VOVOTOCIMA

3.1. Uvod Procjena količine nanosa koji se pokreće i transportira tokom ili deponira iz toka je interdisciplinarni problem koji obuhvaća hidrauliku, hidrologiju i fiziku tla. Isključenjem neke od tih disciplina smanjuje se pouzdanost rezultata modelskih analiza (matematičkih ili nekih drugih). Opis mehanizma pokretanja sedimenta dala je Mirtskhoulava temeljem rezultata provedenih eksperimentalnih ispitivanja (mikroskopske snimke registrirane pomoću kamere sa visokofrekventnom registracijom) mogućnostima velike brzine snimanja: Strujom fluida se odnose čestice koje su povezane najslabijim vezama. Time se povećava hrapavost, vučne sile, uzgonska djelovanja i lokalne brzine. Pojačana pulzacija vučnih i uzgonskih sila uvećava vibracijska i dinamička djelovanja na još uvijek istaloženi sediment. Rezultat toga je postepeno slabljenje i naknadno pucanje veza između pojedinih čestica materijala. Čestice se nadalje potpuno odvajaju od matičnog tla i dalje se odvode strujom proticajne tekućine. Za plastične materijale ova prva faza kratkog je trajanja a za većinu viskoznih i otpornih tala ova faza traje duže. U nastavku, osim opisanog scenarija, dolazi i do istovremenog mrvljenja većeg dijela površinskog sloja te do njegovog odnošenja.

Numerički modeli koji analiziraju ponašanje kohezivnih materijala u većini slučajeva brzinu tonjenja i kritične vučne napone proračunavaju u pojednostavljenom obliku, bez analize utjecaja mikroorganizama na hidrauličke parametre. S druge strane, ponašanje nekohezivnih čestica i nekohezivnih tala u cijelini uglavnom ovisi o težini pojedine čestice, zbog čega su i rezultati odgovarajućih numeričkih analiza pouzdaniji. Brekhovkikh i Debolski bavili su se analizom ovog složenog problema kako u eksperimentalno tako i u teoretskom smislu. Autori iznose mišljenje da se uobičajenim pojednostavljenjem - poistovjećivanjem kohezivnog i nekohezivnog sedimenta u slučaju jednakih dimenzija čestica, unosi znatnu grešku u proračunski model. Autori također tvrde da postojanje mikroorganizama (pogotovo u površinskih 5-7cm kohezivnih materijala) može u većoj mjeri modificirati sljedeće parametre: karakteristike i distribuciju čestica u presjeku dna; poroznost, kompaktnost površinskih slojeva; hrapavost a time i karakteristike graničnog sloja kao i naprezanja. Nadalje, važan doprinos mikroorganizama u procesu dinamike kohezivnog seimenta izražen je kroz: značajno smanjenje kritične vučne sile (intenzitet ovog efekta je u funkciji gustoće biološke populacije kao i temperature proticajnog fluida); smanjenje brzine tonjenja sitnijih čestica (povećavanje ili zadržavanje koncentracija suspendirane tvari koja se pronosi tokom). Nakon provedenih detaljnih eksperimentalnih istraživanja (Brekhovkikh i Debolski) dobivene su vrijednosti kritičnih brzina u tokovima u kojima je tlo izgrađeno većinom od kohezivnog materijala (tablica 3.1) i nehohezivnog materijala (tablica 3.2).

55

Tablica 3.1 Kritične brzine za tokove u kojima je tlo izgrađeno većinom od kohezivnog materijala (Brekhovkikh i Debolski)

Tablica 3.2 Kritične brzina za tokove u kojima je tlo izgrađeno većinom od nekohezivnog materijala (Brekhovkikh i Debolski)

56

U nastavku se daju jednadžbe procesa i objašnjenja vezana uz pronos mulja, ukljućijući i frakciju vrlo sitnog pijeska za koju se predpostavlja da se transportira samo u vidu suspenzije. Vučeni nanos nije uziman u obzir.

3.2. Jednadžbe procesa i uspostava 2D modela pronosa Generalno govoreći mulj je sačinjen od sitnih čestica i kohezivnog sedimenta sa dimenzijama manjim od 63 mikrona. Pojavljuje se kao suspenzija podložna transportu u vodotoku ili sa morskim strujama. Ukoliko su brzine strujanja dovoljno male čestice su podložne tonjenju a obzirom na mogućnost formiranja flokula usljed kohezivnih svojstava brzina tonjenja takove fine flokulne strukture znatno premašuje brzine tonjenja pojedinačne čestice (Krone, Burt). Formiranje i destrukcija flokula ovisi o količini prisutnog sedimenta u suspenziji kao i o turbulentnim karakteristikama samog strujanja. Zona visoke koncentracije suspenzije u engleskoj literaturi naziva se «turbidity maximum». Fine čestice sedimenta klasificirane su prema sljedećoj tablici:

Tip sedimenta Promjer čestice

Glina < 4µm Prah 4-63µm

Fini pijesak 63-125µm

Tablica 3.3 Vertikalno osrednjena jednadžba konvektivne disperzije također se koristi i za matematički interpretaciju procesa pronosa suspendirane tvari i također pripada klasi jednadžba kontinuiteta mase. Veličine protoka i koncentracije na mjestima izvora su uključene zajedno sa odumiranjem odnosno razgradnjom.

( ) ( ) ( )SEVVyx SCQ

y

cDh

yx

cDh

xchv

xchu

xch

t−−+

∂

∂⋅⋅

∂

∂+

∂

∂⋅⋅

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (3.1)

gdje je: c koncentracija suspendirane tvari osredenjena po vertikali (kg/m3); u , v komponente brzina osredenjenih po vertikali u horizontalnim smjerovima x i y (m/s); Dx, Dy koeficijenti disperzije u x i y smjeru (m2/s); SE-S termin izvora ili ponora zbog erozije ili sedimentacije (kg/m3/s); QV termin „vanjskog“ izvora po jediničnoj horizontalnoj površini (m3/s/m3); CV koncentracija izvora QV (kg/m

3)

Ukoliko se promatra više frakcija sedimenta jednadžba se proširuje budući da se procesi taloženja i erozije kvantificiraju za svaku frakciju ponaosob. Član SE-S «izvora» odnosno «ponora» u jednadžbi 3.1 ovisi o tome da li su lokalni hidrodinamički uvjeti takvi da nastupa erozija ili sedimentacija. Za tretman ovog problema uobičajeno je korištenje empiričkih matematičkih obrazaca. Na područjima sa velikim i naglim promjenama dubine moguća je i pojava klizanja usljed djelovanja gravitacije i morskih struja a što se također opisuje odgovarajućom jednadžbom disperzije koja je malo izmjenjena obzirom na jednadžbu 3.1 (Teisson).

57

Osnovni podatak za provedbu analiza je «suha» gustoća materijala sedimenta koja se izražava sa ρd = [ρS (ρb - ρ )]/( ρS - ρ ) = (masa suhe tvari/volumen mješavine) ili altenativno «mokra-bulk» gustoća materijala sedimenta ρb. ρs ima značenje gustoće sedimentnog zrna (npr. ρkvarc = 2650 kg/m3) a ρ gustoće vode. U tablici 3.4 dan je prikaz karakterističnih raspona vrijednosti za pojedine materijale.

stadij sedimenta opći opis reološka karakteristika ρρρρd (kg/m3)

suha gustoća dna

Svježe istaložen (1 dan) «Fluff» fluidni mobilni mulj 50 – 100 Nedavno istaložen (1 tjedan) mulj stacionarni fluidni mulj 100 – 250

Srednje konsolidiran (1 mjesec) mulj deformabilno kohezivno dno 250 – 400 Visoko konsolidiran (1 godina) mulj stacionarno kohezivno dno 400 – 550

Čvrsti mulj (10 godina) čvrsta glina stacionarno kohezivno dno 550 - 650

Tablica 3.4 3.2.1. Kohezivni sediment Osnovni predloženi principi detaljnije su dani u radu Mehta-e uz proširenje utjacaja strujanja induciranog sa pojavom gravitacionih vjetrovnih valova. Transport mulja u općem slučaju obuhvaća eroziju, pronošenje i taloženje materijala fine granulacije < 63µm (prah i glina) pod utjacajem strujanja u promatranom toku a uzimajući u obzir i konsolidaciju sedimenta. Slojevi dna mogu biti gušći i konsolidirani ili rijeđi i parcijalno konsolidirani. Čestice gline imaju pločastu formu i negativni ionski naboj zbog slomljenih mineralnih veza na njihovim površinama. U slanoj vodi taj negativni naboj privlači pozitivne katione a čime nastaje difuzni oblak kationa oko čestica. Na taj način čestice se međusobno odbijaju (Van Olphen). Čestice u slanoj vodi formiraju flokule usprkos odbojnim silama. Ta pojava dešava se zbog toga što je u slanoj vodi električni dvostruki sloj komprimiran pa Van der Vaals-ove privlačne sile djeluju na atomske parove u česticama. Flokulacija je vođena sa povećanjem koncentracije obzirom da povećani broj čestica omogućava veću vjerojatnost njihovog međusobnog susretanja. Turbulencija također ima važnu ulogu i u smislu izgradnje i razgradnje flokula (Dyer). Deterministički fizikalni opis o ponašanju kohezivnih sedimenata za sada nije poznat a empiričko-determinističke metode izrazito su ovisne o in-situ rezultatima ispitivanja. (Anderson, Pejrup). U punoj ekstenzivnoj formi terenskog istraživanja bilo bi potrebno definirate vrijednosti sljedećih parametara:

- sedimentologija dna - erozivnost dna - biologija - brzine tonjenja - koncentracije suspendiranog sedimenta - brzine struja - vertikalne brzine i koncentracijske profile suspendiranog sedimenta - kompaktnost dna

58

- efekt djelovanja gravitacionih vjetrovnih valova - kritična naprezanja za eroziju i sedimentaciju

Transport i taloženje finih čestica je relativno sporo u komparaciji sa taloženjem pijeska. Zbog toga su promjene u koncentraciji suspendiranog materijala sporije od promjena koje se odvijaju na vremeskoj skali hidrodinamike. U slučaju izraženije nestacionarnosti strujanja koncentracija sedimenta na određenoj lokaciji i u određenom trenutku može ovisiti o uzvodnim uvjetima u prijašnjim trenucima. Posm je prvi opisao proces na takav način (settling and scour lag). Pri numeričkoj implementaciji moguće je analizirati višeslojno dno za koje je potrebno definiranje vrijednosti paremetara kritičnog naprezanja, erozijskog koeficijenta, potencije erozijskog procesa, gustoće suhog sedimenta i erozijske funkcije. Konsolidacija se također moiže uključiti u numerički analizu putem definiranja inteniteta tranzicije-pronosa sedimenata između pojedinih slojeva. Grafički prikaz procesa u slučaju višeslojnog dna prikazana je na slici 4.1.

Slika 3.1

Intenzitet sedimentacije može se izraziti primjenom stohastičkog modela interakcije sedimenta (Krone): SD = ws cb pd (3.2) gdje je: ws brzina tonjenja finog sedimenta (m/s, ovisi o veličini čestice/flokule, učešću organske tvari) temperaturi i koncentraciji sedimenta ); cb pridnena koncentracija (kg/m

3);

pd vjerojatnost sedimentacije = cdbcd

b , τττ

τ≤−1 ; τ b naprezanje na dnu; τ cd kritično pridneno

naprezanje za nastup sedimentacije (N/m2). Uobičajene vrijednosti za τcd su u rasponu 0 – 0,1 N/m2 i manje su od tipičnih vrijednosti za eroziju. Brzina tonjenja za mulj u formi suspenzije može se podijeliti u osnovne kategorije: - konstantna brzina tonjenja

59

- flokulacija - spriječeno tonjenje - fluidzirani mulj Brzina tonjenja ovisna je o veličini čestice a u slučaju izdvojene čestice moše se aproksimirati Stokes-ovim zakonom tonjenja (konstantna brzina tonjenja):

( )υ

ρρ

18

2gd

w ss

−= (3.3)

gdje je: ρs gustoća sedimentnog zrna (npr ρkvarc = 2650 kg/m

3); ρ gustoća vode; d promjer sedimentnog zrna (m); υ kinematski koeficijent viskoznosti (m2/s) U slučaju kohezivnog sedimenta (<0,004mm) veličina čestica a samim tim i brzina tonjenja ovisiti će o «intenzitetu» flokulacije. Pri malim koncentracijama suspendiranog sedimenta vjerojatnost kolizije kohezivnih čestica je mala zbog čega je brzina tonjenja bliska vrijednosti za izdvojenu česticu. Pri povećanoj koncentraciji kolizije čestica su učestalije a kohezivno svojstvo čestica omogućava formiranje flokula koje imaju veće dimenzije i postižu veće brzine tonjenja (vidi sliku 3.2). Međutim, daljnjim povećanjem koncentracija, flokule počinju utjecati međusobno na način da oneogućuju slobodno tonjenje pa se karakteristični režim naziva spriječeno tonjenje (slika 3.3). U nastavnoj tablici priloženi su grubi rasponi vrijenosti koncentracije i različitih režima u procesu taloženja.

Slike 3.2 (lijevo) i 3.3 (desno)

Stanje sedimenta Koncentracija/suha gustoća napomena

Suspenzija 180 nema flokulacije Suspenzija 450 moguć nastup flokulacije Suspenzija >600 nema efektivnog naprezanja između

čestica i nastupa spriječeno tonjenje

Tablica 3.5 Prema Rijn (1989) brzina tonjenja u slanoj vodi definirana je izrazom:

60

γkcws = za c <10 kg /m3 (3.4)

gdje je: ws brzina tonjenja za flokule (m/s); c masena koncentracija; k,γ empirički koeficijenti (γ = 1-2 ). Relacijom c ≤ 10 kg/m3 definirana je «rubna» vrijednost pri kojem se ostvaruje flokulacija dok pri koncentracijama c≥10 kg/m3 nastupa i spriječeno tonjenje. Richardson i Zaki dali su «klasičnu» formulaciju spriječenog tonjenja sa jednadžbom:

n,sw

gelr,ss

c

cww

−= 1 (3.5)

gdje je: ws,r referentna vrijednost; ws,n empirički koeficijent; cgel koncentracija pri kojoj flokula počinje poprimati formu stvarne «samostojeće» matrice Noviji primjer formulacije spriječenog tonjenja dao je (Winterwerp):

( )( )Φ+

Φ−Φ−=

5,21

11 *

,

p

rss ww (3.6)

s

p

c

ρ=Φ (3.7)

odnosno za više frakcija mulja

s

i

i

p

c

ρ

∑=Φ ;

gel

i

ic

ρ

∑=Φ ; Φ∗ = min (1,0, Φ) (3.8)

Flokulacija se pojačava sa prisutnošću organske tvari u većoj koncentraciji (Van Leussen, Eisma). U čistoj vodi flokulacija je pojačana s prisustvom organske tvari dok se u slanoj vodi dešava i flokulacija soli. Utjecaj koncetracije soli na proces flokulacije od velike je važnosti na područjima estuarija gdje dolazi do mješanja voda različitih slanosti. Utjecaj saliniteta na brzinu tonjenja kvantificiran je izrazom prema Krone:

( )211 C

r,ss ecww −= (3.9)

gdje je: C1, C2 kalibracijski parametri (C1 = 0,5-1; C2 = - 0,333) Profili koncentracije sedimenta uobičajeno se opisuju prema približnom rješenju vertikalnih tokova sedimenta za vrijeme sedimentacije (Teeter) ili izraza kojim se predpostavlja ravnoteža između «uzvodnog» i «nizvodnog» toka sedimenta (Rouse).

Pridnena koncentracija cb proporcionalna je vertikalno osrednjenoj masenoj koncentraciji c i vezana je na vertikalni transport odnosno omjer vertikalne konvekcije i difuzivnog transporta prezentiranog Pecklet-ovim brojem:

61

Pe = CRC / CRD (3.10) gdje je: CRC konvektivni Couran-ov broj (=ws(∆t/h)); CRD difuzivni Couran-ov broj (=ε(∆t/h2)); ε – koeficijent turbulentne difuzije osrednjen po dubini.

Veza koncentracije u blizini dna cb i koncentracije c izražena je sa jednadžbom:

β = cb / c (3.11) gdje je:

527542511

,d

e

p,,

P

++=β (3.12)

Erozija je proces transfera materijala iz zone dna u vodni stupac i opisuje se dvojako a ovisno o tome da li je dno relativno gusto i konsolidirano ili relativno male gustoće i samo parcijalno konsolidirano. Prema Mehta za konsolidirano i gusto dno:

( ) ,1/n

cebE ES −= ττ τb > τce (3.13)

gdje je: E koeficijent podložnosti pridnenog sloja ka eroziji (kg/m2/s); τce kritično naprezanje na dnu za nastup erozije (tablica 4); n modelska potencija erozije. Za slučaj parcijalno konsolidiranog dna sa relativno malom gustoćom Mehta predlaže sliedeći izraz:

( )[ ]2/1exp cebE ES ττα −= , τb > τce (3.14)

gdje je: α modelski koeficijent (m/N1/2). Referencirane vrijednosti za E nalaze se u rasponu 5e-6 – 2e-5 za «meko» dno i 1e-4 za «tvrdo» dno. Referencirane vrijednosti za α nalaze se u rasponu 4,2 – 25,6. Nažalost pregledom literaturnih referenci nismo bili u mogućnosti naći referencirane vrijednosti za potenciju erozije konsolidiranog gustog dna n. Ukoliko se sa numeričkim modelom analizira dno sačinjeno od više slojeva, za svali sloj treba definirati i pripadni kritični napon za eroziju τce,j, potenciju erozije nj, gustoću suhog materijala dna ρi, erozijski koeficijent Ej i αj koeficijent. Dakako, sedimentirani materijal prvo se taloži na najvišem sloju dna. Slojevi predstavljaju slabi fluidni mulj, fluidni mulj i konsolidirani pridneni sloj a procesi vezani na njih imaju različitu vremensku skalu.

Stanje sedimenta ρρρρd - suha gustoća dna (kg/m3) ττττce (N/m

2)

Mobilni fluidizirani mulj 180 0,05 – 0,1 Parcijalno konsolidirani mulj 450 0,2 - 0,4

«tvrdi» mulj >600 0,6 – 2

Tablica 3.6

62

3.2.2. Nekohezivni sediment Osnovna razlika u opisu finog sedimentnog pijeska i kohezivnog sedimenta je u vertikalnom profilu koncentracija suspendiranog sedimenta. Deformacija profila koncentracija kohezivnig sedimenta je puno inertnija od deformacije profila koncentracije pijeska koji brzo odgovara na promjenu hidrodinamičke slike strujanja. Nadalje, pijesak se transportira primarno kao vučeni pridneni nanos. Samo dio čestica finog pijeska (između 63 i 125µm) pronosi se u vidu supendiranog i vučenog nanosa.

Jednadžba ravnotežne koncentracije finog pijeska ec glasi:

hu

qc s

e = (3.15)

gdje je: qs protok suspendiranog nanosa – sedimenta qs (kg/m/s) izraženog na način:

∫ ⋅=h

a

s dyucq (3.16)

gdje je: c koncentracija pronošenog sedimenta (kg/m3) na udaljenosti y od dna; u brzina strujanja na vertikalnoj udaljenosti y od dna; h dubina; a debljina pridnenog sloja.

Uobičajena je situacija da se raspolaže sa malo poznatih informacija o karakteristikama pridnenog sloja a što rezultira sa usvajanjem aproksimacije: a = ks = 2d50 (3.17) gdje je: ks ekvivalentna visina hrapavosti (m); d50 vrijednost 50% frakcije od sedimenta (m). Dakle, u predloženom opisu pronosa suspendiranog finog pijeska koriste se vrijednosti lokalnih

komponenti vertiklno osrednjenih brzina strujanja u i v , vertiklno osrednjene koncentracije c i

dubine h za proračun ravnotežne koncentracije ec , članova erozije SE (izvora) i sedimentacije SS

(ponora) a čime nije uzet u obzir pronos pijeska u vidu vučenog nanosa. U nastavku priloženi obrasci temelje se na eksperimentalnim i teoretskim radovima Van Rijn, Yalin te Egelund i Fredsoe. Pronos je u najvećoj mjeri ovisan o dva parametra, brzini tonjenja ws i koeficijenta turbulentne difuzije za sedimentaciju εs budući da oba parametra imaju utjecaj i na profil brzina i profil koncentracija. Brzina tonjenja definira se na različite načine u ovisnosti o promjeru pojedine čestice d.

63

ws =

( )

( )

( )[ ]

>−

≤<

−

−+

<<−

mdgds,

mdgds,

d

v

mdmd,gds

.

.

µ

µυ

µµυ

1000111

100010011010

110

10010018

1

50

50

2

3

2

(3.18)

gdje je: s realativna gustoća sedimenta. Formiranje profila suspendiranog nanosa od finog pijeska moguće je ukoliko je posmična brzina u* veća od kritične vrijednosti u*KR, te ukoliko je intenzitet turbulencije takav da vertikalna komponente brzine nadmašuje brzinu tonjenja. Prva predpostavka opisana je sa sljedećim izrazom za parametar stanja pronosa T (vrijednosti T u rasponu 10-8 – 10-5 kg/m2/s):

≤

>−

=

0,0

0,1

2

*

*

T

Tu

u

TKR

(3.19)

Vrijednosti u*KR očitavaju sa Shields-ove krivulje (Van Rijn) uz korištenje ulaznog parametra d50, relativne gustoće sedimenta s, te bezdimenzionalnog promjera zrna d * i to prema izrazu:

( ) 31

250

1/

* gsdd

−=

υ (3.20)

Vrijednost posmičnih brzina u* određena je temeljem izraza:

VC

ggRIu

z

r===

ρ

τ 0

* (3.21)

gdje je: I gradijent energetske linije; R hidraulički radijus ( u širokim vodotocima R ≈ h);

CZ Chezy-jev broj (m1/2/s) =18*ln (4h/d90); d90 vrijednost 90% frakcije sedimenta (m); V

r brzina

strujanja.

Druga predpostavka je izražena kroz relacije između kritične posmične brzine za inicijaciju suspenzije u*KR-S, brzine tonjenja ws i bezdimenzionalnog promjera d*:

10;4,0

101;*

4

*

*

*

*

>=

≤<=

−

−

dw

u

ddw

u

s

SCR

s

SCR

(3.22)

Profil koncentracija ovisan je o vrijednosti koeficijenta turbulentne difuzije za sediment εs i brzini tonjenja ws. Pri analizi pronosa kohezivnih čestica usvojena je predpostavka jednakosti

64

koeficijenta turbulentne difuzije za sediment i vodu εs = ε dok se za slučaj analize finog pijeska predpostavlja proporcionalnost između εs i ε definirana izrazom:

εβε Φ=s (3.23)

gdje je: β koeficijent kojim se opisuje razlika difuzije krutih čestica od čestica tekućine; Φ koeficijent koji opisuje prigušenje turbulencije sa česticom krute tvari a ovisan je o lokalnoj koncentraciji sedimenta. Interpretacija faktora β nije potpuno jasna obzirom na oprečna mišeljenja različitih autora. Za potrebe proračuna može se usvojiti slijedeća formulacija:

≥

<≤

<

+

=

5,2;

5,25,0;1

5,0;1

*

*

*

2

*

u

wsuspenzijebez

u

w

u

w

u

w

s

s

ss

β (3.24)

Faktor Φ predstavlja utjecaj sedimentne čestice na turbulentnu strukturu tekućine prema Richardson, Zaki i Wintewerp.

Profil koncentracije po vertikali može se izraziti jednadžbom:

( )

s

s cw

dz

dc

ε

51−

= (3.25)

Budući da je određivanje Φ i rješavanje gornje jednadžbe vremenski zahtjevno kao alternativa može se usvojiti jednostavnija metoda prikazana u nastavku. Raspodjela u profilu koncentracije dana je sa Peclet-ovim brojem Pe, također zvanim parametar suspenzije Z (vidi jednadžbu 3.10):

*u

wZ s

κβ= (3.26)

gdje je: Z parametar suspenzije; κ – Von Karman-ova konstanta (0,4). Kako bi se u obzir uzeli i efekti različiti od onih vezanih na faktor β moguće je definirati modificirani parametar suspenzije Z' a koji je izražen na sljedeći način:

Z' = Z + ϕ (3.27) gdje je: ϕ korekcijski broj definiran izrazom:

4,08,0

*

5,2

=

o

as

c

c

u

wϕ (3.28)

65

gdje je: ca koncentracija na referentnom položaju z = a ; co koncentracija na dnu z = 0. Omjer koncentracija na prozvoljnoj vertikalnoj udaljenosti od dna c(z) i koncentracije na referentnoj vertikalnoj udaljenosti ca(a)opisan je sa jednadžbom profila koncentracija :

( )( )

Z

a ahz

zha

ac

zc

−

−=

)(

)(

h

z< 0,5 (3.29)

−−

−= 5,04exp

)(

)(

h

zZ

ah

a

ac

zcZ

a

h

z≥ 0,5 (3.30)

Za proračun vrijednosti ca usvaja se jednadžba:

3,0

*

5,1

50015,0d

T

a

dca = (3.31)

a za jednadžbu ravnotežne koncentracije usvaja se:

scFc ae ⋅⋅⋅= 610 (3.32)

gdje je: F relacijski koeficijent između pridnene koncentracije i srednje koncentracije bazirane na numeričkoj integraciji profila koncentracije suspendirane tvari (u obliku omjera c/ca).

Ukoliko postoji neravnoteža između koncentracije ec i koncentracije osrednjene po vertikali c

nastupiti će sedimentacija ili erozija. Ukoliko je cce = tada nema ni sedimentacije ni erozije obzirom na postignutsku ravnotežu između hidrodinamičkih sila koje održavaju fini pijesak u formi suspendiranog nanosa i gravitacionih sila koje ga žele istaložiti na dno. Sedimentacija finog pijeska može se opisati jednadžbom:

−−=

s

e

St

ccS ukoliko vrijedi cce < (3.33)

gdje je ts mjerilo vremena definirano odnosom ts = hs/ws. Erozija finog pijeska može se opisati jednadžbom:

−−=

s

e

Et

ccS ukoliko vrijedi ec > c (3.35)

Primjer praktične primjene analize procesa taloženja-sedimentacije je optimizacija geometrija taložnice.

66

3.3. Optimizacija taložnice – literaturni pregled Taložnice su hidrotehnički bazeni u kojima se odvija gravitacijsko izdvajanje zrnatih i pahuljičastih čestica iz vode. Taložnice rade na principu prisiljavanja sedimenta na taloženje putem značajnog smanjenja brzine toka u bazenu koje se postiže naglim povećanjem širine i dubine (slika 3.5). U procesu taloženja polazi se od pojedinačne okrugle čestice i pretpostavljaju se mirni uvjeti na vodi. Tijekom taloženja u tekućini, čestica ubrzava sve dok sila otpora zbog gibanja ne postane jednaka potopljenoj težini čestice. U tom trenutku, čestica postiže svoju krajnju brzinu koja se nalazi u području važenja Stokesovog zakona (slika 3.4):

ν18

2gd

ws

∆=

1<d<100µm (3.36a)

−

∆+= 11

105,0

2

3

ν

ν gd

dws

100<d<1000µm (3.36b)

d<1000µm (3.36c)

gdje je: d promjer čestice; g ubrzanje polja sile teže; ν kinematički koeficijent viskoznosti vode; ∆ specifična gravitacija.

Slika 3.4 Dijagramski prikaz Stokes-ovog zakona tonjenja s pripadnim jednadžbama

U praksi se, jasno, mora računati na smanjenje efekta taloženja zbog međudjelovanja čestica te strujanja u zoni taloženja izazvanog raznim utjecajima (strujanje zbog razlike u gustoći, puhanje vjetra po nepokrivenim taložnicama...).

( ) 5,01,1 gdws ∆=

67

Iako se danas koriste mnoge varijante taložnica, u ovom radu promatrat će se pravokutni bazen s horizontalnim tokom. Takve taložnice smatraju se podijeljenima u četiri zone (slika 3.5):

a) ulazna zona b) zona slijeganja c) izlazna zona d) zona mulja

Slika 3.5. Taloženje čestica u horizontalnoj pravokutnoj taložnici (preuzeto iz Tedeschi)

Kao i svi drugi hidrotehnički objekti, taložnica mora zadovoljiti uvjet funkcionalnosti zbog čega se provode optimizacijski postupci. Kako bi se uz što manje dimenzije ostvarila što veća efikasnost, potrebno je definirati sve relevantne parametre koji utječu na proces. Geometrijski parametri taložnice dani su slikom 3.6.

Slika 3.6 Geometrijski parametri taložnice

Prema Tedeschiju iskustvene preporuke inženjera kažu da bi se dubina taložnice trebala kretati od 2 do 3 m. Isto tako, ne preporučuju se taložnice sa širinom preko 5 m i duljinom preko 50 m. Mnoga istraživanja provedena su s ciljem klasifikacije toka u taložnicama ovisno o geometrijskim parametrima te s ciljem određivanja optimalne geometrije za postizanje maksimalne

68

učinkovitosti uklanjanja sedimenta. Već 1944. Dobbins daje prve empirijske i poluempirijske izraze za učinkovitost taloženja. Abbot i Kline istraživali su pojave asimetričnosti toka u

ovisnosti o geometriji bazena te su pokazali da se za ekspanzijski omjer 25,0<∆

b

B (∆B lateralna

ekspanzija; b širina dovodnog kanala) javljaju dvije jednake i simetrične recirkulacijske zone unutar bazena. Garde i Ranga eksperimentalno su analizirali efikasnost taložnica sa svrhom da pronađu izraz kojim se uz nametnutu vrijednost efikasnosti mogu proračunati geometrijski elementi taložnice. Parametri kojima je definirana funkcijska ovisnost količine tvari na izlazu iz taložnice dani su narednim funkcionalnim odnosom:

( )ulspragiz qwguUBbhHLfq ,,,,,,,,,*

11= (3.37)

gdje je: L dužina taložnice; H dubina vode u taložnici; hprag1 visina praga 1; b širina poprečnog presjeka dovodnog kanala na razini vodnog lica; B širina poprečnog presjeka taložnice na razini vodnog lica; U srednja brzina toka u profilu taložnice; u* posmična brzina u profilu taložnice; ws brzina tonjenja krute čestice; qul protok mase krute tvari u taložnicu; qiz protok mase krute tvari u profilu kanala nakon taložnice.

Jednadžba 3.37 može se prikazati i u bezdimenzionalnoj formi:

=

−=

H

B

B

b

L

h

u

wCF

H

Lf

q

qq prags

r

ul

uliz ,,,,,,1

*2η (3.38)

gdje je: η efikasnost taložnice; C prosječna koncentracija krute tvari vH

qC ul= ; Fr Froude-ov

broj 2/1)(gH

U. Brzina tonjenja krutih čestica ovisi i o koncetraciji samih čestica, a prema

Hetsroni dobiva se izraz za njen proračun:

N

k

t

sc

Cww

=

ρ

ρ (3.39)

gdje je: wc brzina tonjenja pri koncentraciji C; ρt gustoća tekuće faze; ρk gustoća krute faze; ν

kinematski koeficijent viskoznosti; N koeficijent za koji vrijedi 08,0

4,4

−

=

ν

dwN s za

ν

dws < 2500

i N = 2,35 za ν

dws >2500 (Hetsrona, 1982).

Verifikacijskim ispitivanjima, Garde je pokazao da tako proračunate brzine tonjenja wc odstupaju svega 15% od vrijednosti brzine tonjenja ws prema Stokesovom zakonu tonjenja. Pokazalo se i da pojedini parametri navedeni u jednadžbi 3.38 imaju neznatan utjecaj pa se funkcijska ovisnost može pisati u pojednostavljenom obliku:

69

=

*4 ,u

w

H

Lfη (3.40)

Provedbom istraživanja na fizikalnom modelu, Garde je odredio jednoznačnu matematičku formulaciju međusobne ovisnosti relevantnih parametara koja se prikazuje sljedećom jednadžbom: (3.41)

gdje je: η0 granična efikasnost za promatrani *u

w pri velikim vrijednostima

H

L; k

bezdimenzionalni koeficijent.

Budući da varijacija koeficijenata η0 i k u ovisnosti o *u

w nije direktno vidljiva iz izraza 3.41,

sintetizirana je funkcijska relacija k,η = f(*u

w) (slika 3.7). Za pretpostavljenu vrijednost

efikasnosti η0 , iz dijagrama na slici 3.7 moguće je odrediti *u

w, odnosno koeficijent k. Tada je

pomoću izraza 3.41 lako izračunati stvarnu efikasnost taložnice η.

Slika 3.7 Funkcijska ovisnost k,η=f(w/u*)

( )HLke

/

0 1−−= ηη

70

Jednadžbu 3.41 je naknadnim mjerenjima na fizikalnom modelu potvrdio Ranga Raju za raspone vrijednosti L/H = 2 – 50 i d = 0,082 mm – 1,67 mm. Dimenzija dužine taložnice L ovisna je o odabiru ostalih parametara koji definiraju optimalnu geometriju taložnice (Q, d, n, η, L, H, B, g) pa se mogu koristiti sljedeći izrazi u bezdimenzionalnoj formi:

(3.42) Vittal i Raghav su u svojim istraživanjima proveli analizu optimalizacije troškova nabave materijala i izgradnje taložnice uz varijaciju parametara Btal, htal i Ltal. Regresijskom analizom varijabilnih parametara dobiven je sljedeći rezultat: (3.43) Dongre laboratorijskim eksperimentima utvrđuje da točnost dotadašnjih izraza za učinkovitost taloženja nije zadovoljavajuća ako se uzme u obzir široki spektar varijabli pa izvodi sljedeću empirijsku relaciju temeljenu na analizi svih raspoloživih podataka:

−−

−−

−−=

*42,0exp11,0exp13,0exp15,102

u

w

h

L

A

A

K

η (3.44)

gdje je: A površina poprečnog presjeka taložnice; AK površina poprečnog presjeka dovodnog kanala. Maksimalna pogreška kod procjene vrijednosti η korištenjem izraza (3.44) iznosi ±25% (Ranga Raju; Kothayari). Ranga Raju uzima u obzir utjecaj kontinuiranog ispiranja, pri čemu se pod

kontinuiranim ispiranjem smatra stalni dotok s jednakom koncentracijom sedimenta, na učinkovitost taloženja te predlaže izraz :

312,0

*

105,012,01

−= −

u

wQ f

f

η

η (3.45)

pri čemu je: ηf učinkovitost s prisutstvom ispiranja; η učinkovitost bez ispiranja; Qf dotok ispiranja izražen kao postotak ukupnog dotoka u taložnicu. Pogreška izračuna izrazom 3.45 ima pogrešku manju od ±8% (Ranga Raju; Kothayari). Kantoush je proveo fizikalne i numeričke eksperimente s ciljem klasifikacije toka u taložnicama u ovisnosti o geometrijskim parametrima. Potvrdio je snažan utjecaj geometrije bazena na svojstva simetričnosti toka. Pokazalo se da s povećanjem odnosa L/B raste pojava asimetrije toka (slika 3.8). Vidljiva je pojava većeg vrtloga na desnoj strani bazena i manjeg vrtloga na lijevoj strani. Mali vrtlozi kontroliraju veličinu i poziciju glavnog vrtloga, a u ovisnosti su i jedan o drugome te naizmjence mijenjaju svoju veličinu. Na slici 3.8 vidljivo je da se za kraće dužine taložnice javlja simetrija toka s identičnim vrtlozima sa svake strane bazena.

d

HH

d

BB

d

LL

d

ngn

dg

QQ ===== ∗∗∗∗∗ ;;;;

6/1

2/1

2/52/1

004,0984,0420,0' 12,4 η∗∗∗ = nQH

71

Slika 3.8 Vektori brzina u pravokutnoj taložnici s odnosom L/B =1.5 (lijevo) i L/B =1 (desno)

(preuzeto iz Kantoush, S., Dewals, B.J., Erpicum, S., Schleiss, A., Pirotton, M. (2008))

Svojim istraživanjima Kantoush je povrdio da smanjenje bezdimenzionalne dužine B

L

∆inducira

prijelaz iz asimetričnog u simetrični tok. Zaključio je i da smanjenje bezdimenzionalne dubine

B

H

∆uz istovremeno povećanje Froudeovog broja

gh

UFr = uzrokuje meandriranje toka. Nizom

eksperimenata na fizikalnim modelima Dufresne i suradnici također su pokušali napraviti

klasifikaciju strujanja u pravokutnim taložnicama varirajući omjer bočne ekspanzije b

B∆,

bezdimenzionalnu dužinu B

L

∆, bezdimenzionalnu dubinu

B

H

∆te Froudeov broj

gh

UFr = ,

zadržavajući visoku vrijednost Reynoldsovog broja kako ne bi imao značajan utjecaj na oblik strujanja. Injektiranjem boje u tok kroz taložnicu te vizualnim promatranjem ponašanja strujanja, praćeni su simetričnost i asimetričnost strujanja, broj cirkulacijskih zona te približne lokacije ponovnog prianjanja toka uz zid taložnice. Duljina ponovnog prianjanja glavnog mlaza uz rub taložnice definirana je kao udaljenost od početka lateralne ekspanzije do mjesta uzvodno od kojeg su longitudinalne brzine strujanja negativne te nizvodno od kojeg su brzine strujanja pozitivne. Pozitivan vektor brzine ima smjer od ulaza prema izlazu iz taložnice. Vizualnom inspekcijom označeno je pet različitih oblika strujanja, označenih na slici 3.9. Za kratke bazene, tok se ponaša simetrično s ravnim mlazom od ulaza do izlaza iz taložnice praćen formiranjem dviju

simetričnih cirkulacijskih zona (slika 3.9d)). Povećanje odnosa B

L

∆ rezultira pojavom asimetrije

koja se odražava skretanjem mlaza na jednu stranu bazena. Na duljini R1 mlaz dodiruje rub taložnice pri čemu se stvara jedna velika cirkulacijska zona i jedan manji vrtlog uzvodno od

točke priljubljenja mlaza zidu bazena (slika 3.9.c). Pri srednjim vrijednostima B

L

∆ , Dufresne

je primijetio periodičnu fluktuaciju strujanja između oblika opisanih slikama 3.9c,d. Sličnu pojavu primijetio je i Kantoush u nešto ranijim istraživanjima. Novim povećanjem

bezdimenzionalne dužine B

L

∆ , strujanje i dalje ostaje asimetrično s tim da je meandriranje

toka izraženije i dodirivanje ruba taložnice događa se dvaput, na udaljenostima R1 i R2 od ulaza

72

u bazen (slika 3.9b). Smanjenjem bezdiomenzionalne dubine vode B

H

∆ kod dugih taložnica

uzrokuje pojavu treće recirkulacijske zone, pri čemu se tok odvaja od zida bazena na udaljenosti D1 od ulaza (slika 3.9a).

Slika 3.9 Oblici strujanja u taložnicama u ovisnosti o geometrijskim parametrima (preuzeto iz Dufresne, M., Dewals, B.J., Erpicum, S., Archembeau, P., Pirotton, M. (2010))

Dufresneovim istraživanjem pokazano je i da se povećanjem odnosa B

H

∆ duljina R1 smanjuje sve

do minimalne razine prikazane točkastom linijom na slici 3.10. Na temelju promatranih dimenzija taložnica, dane su i matematičke formulacije ovisnosti duljina R1 i R2 o bočnom

proširenju b

B∆:

25,075,0

1 43,3 bBR ∆≈ (3.46)

7,07,1

2 9,15 −∆≈ bBR (3.47)

Vidljivo je da širina dovodnog kanala b ima suprotan efekt na duljine R1 i R2, odnosno da će se povećanjem b dužina R1 povećati, a R2 smanjiti. Istu tendenciju primijetili su Abbott i Kline. Dufresne je predložio klasifikacijski dijagram strujanja u ovisnosti o geometrijskim parametrima

taložnice (slika 3.10) i definirao parametar oblika 40,060,0 bBL ∆ i njegove vrijednosti 6,2 i 6,8

relevantnim za opisivanje prijelaza iz simetričnog u asimetrični oblik strujanja.

73

Slika 3.10. Utjecaj odnosa bezdimenzionalne dubine na duljinu R1 (lijevo) i klasifikacija tipa strujanja

u ovisnosti o parametru oblika L/B0,60b0,40 (desno) preuzeto iz Dufresne, M., Dewals, B.J., Erpicum, S., Archembeau, P., Pirotton, M. (2010))

Vidljivo je da se simetrično strujanje ostvaruje u slučajevima kada vrijednost parametra oblika 40,060,0 bBL ∆ iznosi manje od 6,2. Za vrijednosti veće od 6,8 događa se asimetrično strujanje.

Za vrijednosti parametra oblika 40,060,0 bBL ∆ u intervalu od 6,2 do 6,8 nastupa prijelazni oblik

tečenja koji varira između simetričnog i asimetričnog.

74

3.4. Optimizacija taložnice – ispitivanje sa numeričkim 2D modelom Cilj ispitivanja je utvrđivanje ovisnosti efikasnosti taložnice o njenim geometrijskim parametrima te optimizacija dimenzija taložnice s ciljem postizanja maksimalne učinkovitosti uklanjanja sedimenta uz minimalne troškove izgradnje. Prvotno je proveden tablični proračun prema metodologiji koju je predložio Garde. Dobiveni su geometrijski parametri jednog modela taložnice za zadanu učinkovitost η0=95% prema izrazima 3.45, 3.46 i 3.47, a parametri za ostale konfiguracije određeni su pod uvjetom da imaju jednaku poprečnu površinu kao i prva konfiguracija čime se ostvaruje jednaka srednja brzina u profilu taložnice. Usvojeni parametri nastavno prikazanog ispitivanja prikazani su u tablici 3.7. Variranjem širine dovodnog kanala i dubine vode u njemu, dobiveno je 36 konfiguracija. Promatran je i utjecaj smanjenja protoka na 50% vrijednosti a čime je načinjeno 12 novih konfiguracija u kojima je zadržana vrijednost brzine toka (tablica 3.8).

Tablica 3.7 Geometrijski parametri modela taložnice

Tablica 3.8 Nomenklatura provedenih analiza

Prostorna domena numeričkog modela diskretizirana je strukturiranom mrežom konačnih diferencija sa ekvidistantnim prostornim korakom od ∆x=0,25 m i ∆y=0,25 m. U istraživanju je simulirano taloženje u kontinuiranom periodu od 4 dana. Zbog konzistentnosti je na ulazu i izlazu iz taložnice u svim konfiguracijama zadan je konstantni protok od 0,47 m3/s, odnosno

75

0,235 m3/s za pokuse 37–48. Turbulentna viskoznost promatrana je prema konceptu Smagorinskog po kojemu je to vremenski promjenljiva funkcija lokalnih gradijenata u polju brzine. Usvojena vrijednost konstante Smagorinskog iznosi 0,5. Hrapavost dna izražava je kao prostorno homogena sa usvojenom vrijednosti 32. Rubni uvjeti analiziranog suspendiranog sedimenta na otvorenoj granici modela izraženi se većinskim učešćem vrlo sitnog pijeska promjera zrna d=0,00009m s koncentracijom kroz dolazni kanal od 1,00 kg/m3. Vrijednosti koeficijenata disperzije usvojeni su kao jednaki u x i y smjeru sa vrijednosti 0,0375. Brzina tonjenja određena je Stokes-ovim zakonom i usvojena proračunska vrijednost iznosi 0,0056 m/s. Ostali parametri važni za transport sedimenta koji su usvojeni u uspostavljanje modelski pokusa prikazani su u tablici 3.9.

Tablica 3.9 Parametri pronosa sedimenta

Depozicija je analizirana upotrebom Teeterovog profila, a vrijednost erozijskog kritičnog naprezanja očitana je sa Shields-ovog dijagrama (slika 3.11).

Slika 3.11 Shieldsov dijagram

Hidrodinamički modul daje rezultate u obliku polja strujanja, tj. vrijednosti vektora brzina u x i y smjeru (slika 3.12), dok konvektivno-disperzivni modul prikazuje koncentraciju sedimenta u svakoj točki taložnice te daje prikaz rezultantnih polja pronosa i sedimentacije po dnu taložnice. Pregledom rezultata polja brzina u profilu taložnice utvrđena je pojava dva tipa strujanja. Pregled pokusa grupiranih prema modelu i tipu strujanja dan je u tablici 3.10.

76

Tablica 3.10 Klasifikacija tečenja prema pokusima i modelima

Ustanovljeno je da za protok od 0,47 m3/s 1. i 4. model batimetrije daju simetričan oblik strujanja (Tip 1), dok tečenje u taložnicama s batimetrijom 2 i 3 rezultira asimetričnim strujanjem (Tip 2). Za dvostruko manji protok, simetričan oblik strujanja javlja se samo kod širokog dovodnog kanala (b=1,5 m) za modele 1,2 i 3. Pojavu simetričnog strujanja karakterizira postojanje glavnog mlaza usmjerenog prema izlaznom kanalu i dva simetrična cirkulacijska polja sa svake strane mlaza. Pojavom vrtloženja pospješuje se proces taloženja sedimenta na dnu bazena. Tipičan izgled ovakvog strujanja prikazan je na slici 3.12.

Slika 3.12 Simetrično strujanje na modelu s batimetrijom tipa 1, prikaz polja koncentracije sedimenta

u taložnici (a) i prikaz polja brzina (b)

77

Rezultati provedenih pokusa pokazali su da se simetričan tip strujanja javlja kod modela 1 i 4.

Za njih je karakteristična mala vrijednost odnosa B

L, odnosno vrijednost dužine nije značajno

veća u odnosu na širinu taložnice. Ovakav tip tečenja javio se kod pokusa 1 – 9 (model 1) te kod pokusa 28 – 36 (model 4). Za modele s 50% manjim protokom, simetrično strujanje nastupa samo kod najveće ispitivane vrijednosti širine dovodnog kanala. Prema tome, smanjenje protoka uzrokuje pojavu asimetrije u toku. Izraženost simetrije kao i intenzitet vrtloženja mijenja se u ovisnosti o geometriji dovodnog kanala. Širi i plići dovodni kanal inducira pojavu veće simetričnosti i sporijeg tečenja u cirkulacijskim poljima te rezultira većom učinkovitošću taloženja što je zorno prikazano na slici 3.13.

Slika 3.13 Polja koncentracije sedimenta (a) i polja brzina (b) za pokus 1 (b=1 m - lijevo) i za pokus 2 (b=3 m - desno)

Dobiveni rezultati poklapaju se sa zaključcima do kojih su došli Kantoush i Dufresne koji simetričan tip tečenja klasificira kao S0 (slika 3.9). Prema njihovim istraživanjima, simetrično strujanje pojavit će se u taložnicama manje izduženog oblika, tj. s vrijednošću koeficijenta

oblika 40,060,0 bBL ∆ manjom od 6,2. Asimetrično strujanje prepoznatljivo je po skretanju toka u

jednu stranu te formiranjem jednog velikog cirkulacijskog polja usmjerenog prema izlazu iz taložnice. Uzvodno od mjesta na kojem glavni mlaz dodiruje zid taložnice stvara se manji vrtlog (slika 3.14).

Pojava ovakvog strujanja nastupila je u pokusima s modelima 2 i 3 s punim protokom te kod svih pokusa s dvostruko manjim protokom u kojima širina dovodnog kanala iznosi 0,5 i 1,0 m. Kod batimetrija 2 i 3 dimenzija dužine mnogo je izraženija od dimenzije širine taložnice, a upravo

78

kod takvih oblika bazena Kantoush i Dufresne zabilježili su asimetriju u strujanju. Izraženiji tok javlja se kod većih širina dovodnog kanala, a i taloženje je efikasnije (slika 3.14).

Slika 3.14 Polja koncentracije sedimenta (a) i polja brzina (b) za pokus 14 (b=1 m - gore) i za pokus 18 (b=3 m - dolje)

Učinkovitost taložnice analizirana je na temelju rezultantnih polja koncentracije suspendiranog sedimenta u taložnici te vrijednosti koncentracije sedimenta u profilu izlaznog kanala. Pokusima 1–36 utvrđena je učinkovitost za modele 1, 2, 3 i 4 s varijacijom geometrije dovodnog kanala: b=1,2 i 3 m te h= 0,5, 1 i 1,5 m te protokom od 0,47 m3/s. Dobiveni rezultati prikazani su u tablici 3.11 i na slici 3.14.

79

Tabela 3.11 Efikasnost taložnica za pokuse 1-36 s prosječnom efikasnošću za svaki model

Slika 3.14 Efikasnost prikazana po grupama modela s naznačenim prosječnim vrijednostima

Vidljivo je da geometrijski parametri definirani modelom 3 prosječno daju najbolje rezultate. Vrlo blizu je i prosječna efikasnost dobivena ispitivanjem geometrije 4, a u tom nizu pokusa dobivena je i taložnica s najboljim rezultatom (pokus 35, η=97%) (slika 3.15). Prema tome, najefikasnija taložnica ima geometrijske parametre određene postupkom kakav je predložio Garde (1990) i prema kome širina dovodnog kanala iznosi 3 m. Prikazani rezultati u skladu su s inženjerskim iskustvenim preporukama prema Tedeschi. Pokusima 37–48 napravljena je analiza učinkovitosti modela taložnice s 50% smanjenom vrijednošću protoka. Varirane su geometrijski parametri dovodnog kanala kako bi se zadržala brzina tečenja od približno 0,5 m/s. Rezultati su prikazani u tablici 3.12. Najefikasnija taložnica je s batimetrijom tipa 4 u pokusu 47, η=98%, a najbolje prosječne rezultate opet daju konfiguracije modela 3. Tendencija porasta efikasnosti s porastom širine dovodnog kanala. Usporedbom efikasnosti taložnica iz serije pokusa s protokom od 0,47 m3/s s rezultatima iz serije

80

pokusa s dvostruko manjim protokom ukazuje na povećanje efikasnosti sa smanjenjem protoka za sve modele.

Slika 3.21 Polje koncentracije sedimenta (a) i polje brzina (b) za najefikasniju taložnicu, pokus 35

Tablica 3.12 Efikasnost taložnica za pokuse 37-48 s prosječnom efikasnosti za svaki model

81

3.5. utjecaj hrapavosti na pokretanje muljnog sedimenta Prostorna domena numeričkog modela diskretizirana je sa strukturiranom mrežom konačnih diferencija sa ekvidistantnim koracima ∆x = 1m i ∆y = 1m u x i y smjeru (slika 3.8). Kanal je pravokutan, ima horizontalno dno i širinu B=8m te je ukupne duljine 100m. Dubina vode je 2m na mjestu lijeve tekuće granice. Proveden je proračun pokretanja muljnog sedimentnog sloja koji ima inicijalnu debljinu od 10cm i inicijalni položaj prikazanom na slici 3.8.

Slika 3.8 prostorna domena numeričkog modela sa položajem inicijalno postavljenog sloja mulja debljine 10cm (crvenom bojom su označene krute stijenke modela) Analiza se provodi tako da se varira protok kroz modelsku dionicu te se registriraju vrijednosti u kojima dolazi do pokretanja mulja. Dionica muljnog dna je opisana sa jednom frakcijom zrna i jednim slojem. U proračunu su usvojene sljedeće vrijednosti: početni uvjeti razina sedimenta deinirani su slikom 3.9, konstantna brzina tonjenja od 0,0005 m/s, depozicija analizirana upotrebom Teeter-ovog profila sa kritičnim naprezanjem 0,007 N/m2, faktor erozijskog koeficijenta 1, erozijski koeficijent 0,00005 kg/m2/s, erozijsko kritično naprezanje 0,3 N/m2, suha gustoća analiziranog muljnog sloja 450kg/3 (parcijalno konsolidirani mulj). Bitna hidrodinamička varijabla je hrapavost dna koja se u modelu interpretira sa apsolutnom hrapavosti. Analizirani su slučajevi sa izborom vrijednosti k = 0,01m; 0,1m i 0,2m i njihov utjecaj na pokretanje mulja. Pri korištenju vrijednosti za hrapavost dna od 0,01m kritična vertikalno osrednjena brzina pokretanja mulja je 0,33m/s (Q = 5,35 m3/s). U slučaju hrapavost od 0,1m kritična brzina je 0,238m/s (Q = 3,8 m3/s) a u slučaju hrapavost od 0,2m kritična brzina je 0,2m/s (Q = 3,2 m3/s). Prema tome povećanje hrapavosti uzrokuje smanjenje kritičnih brzina pokratanja mulja. Diskusija: Vrijedno je razmotriti dobivene rezultate. Naime, iz izraza za posmičnu brzinu

Vkoefu ** ==ρ

τ može se odrediti i odnos vertikalno osrednjenih brzina V i brzinskog

naprezanja *u ukoliko je poznata odnosno zadanu vrijednost kritičnog naprezanja (u našem

slučaju τ = τcr = 0,3 Pa/m2). Iz dobivenih rezultata bezdimenzionalni odnos

V

u* iznosi 0,52 pri

hrapavosti k = 0,01m te 0,073 i 0,087 pri hrapavostima k = 0,1m i k = 0,2m. Može se zaključiti

da povećanje hrapavosti uzrokuje i povećanje omjera V

u* . Kao potvrda ovim rezultatima na slici

3.9 prikazani su rezultati eksperimentalnih istraživanja graničnog sloja na glatkim i hrapavim

stijenkama u otvorenom vodotoku. Eksperimentalno dobivene vrijednosti omjera V

u* nalaze se u

rasponu od 0,05 do 0,1.

82

Slika 3.9 Eksperimentalni rezultati omjera u*/V u uvjetima glatkog i hrapavog dna (stijenke) pri tečenju sa slobodnim vodnim licem

83

4. MODELIRANJE PRONOSA EFLUENTA U KONTINUIRANIM AKVATIČKIM SREDINAMA

4.1. Uvod Hidrosfera je, jednako kao i atmosfera, od esencijalne važnosti za čovjekov život na Zemlji. Voda i zrak dvije su osnovne tekućine bez kojih je nezamisliv život, i to ne samo u biološkom, već i tehnološkom smislu. Njihovim kretanjem transportiraju se ogromne količine materijala. Kako prirodnih, tako i umjetnih, stvorenih čovjekovim djelovanjem: od najobičnijeg disanja, tj. izmjene plinova u plućima, do kanalizacijskih ispusta u rijeke i mora. Iz tog razloga oni bitno utječu na kvalitetu prirodnog okoliša. Slijedom sve većih saznanja o važnosti i utjecaju fluida u uzajamnom odnosu čovjeka i prirode razvio se novi pristup u hidrotehnici koji uzima u obzir brigu za prirodni okoliš, a očituje se kroz njene nove grane poput ekohidrologije i ekohidraulike. 4.1.1. Opći okviri gospodarenja okolišem Hidrološki transportni procesi samo su mali dio ukupnog procesa gospodarenja okolišem. Postoje utjecaji brojnih tvari koje dospijevaju u okoliš i niti jedna od njih ne djeluje samostalno, već u interakciji sa drugima, sinergično. Na primjer, povećanje temperature vodotoka zbog toplinskog zagađenja može umanjiti topivost kisika u vodi i time usporiti procese razgradnje organskog otpada. Kod ekoloških zadataka inženjeri-hidrauličari uglavnom rješavaju problem prijenosa, promjene i

nakupljanja. Rade zajedno sa kemičarima i biolozima koji prate biokemijske procese što se odvijaju od mjesta ulaska zagađivala u vodeni okoliš do mjesta na kojemu se mjeri kvaliteta vode. No, pred hidrauličare se stavlja poseban izazov jer projektiranje ispusta direktno utječe na kvalitetu okoliša koji prima efluent. Stoga je njihov zadatak uzeti u obzir potrebnu kvalitetu vode u blizini ispusta i prema takvim smjernicama dimenzionirati ispusnu građevinu. Dobar sustav gospodarenja okolišem je onaj koji vješto optimizira kombinaciju:

a) kontrole zagađivala na izvoru (prethodno čišćenje), b) postupaka pročišćavanja (fizikalno, kemijsko, biološko) te c) ispuštanja i disperzije u okolišu.

Zato su danas inženjeri-hidrauličari često pozvani da budu spona između čovjekovih aktivnosti koje uključuju korištenje voda i prirodnog okoliša. Još od Starog vijeka oni su bili zaduženi za dovod pitke vode do korisnika, a danas se jednaka pažnja mora posvetiti vraćanju te vode u okoliš. 4.1.2. Upotreba vodnog okoliša za potrebe asimilacije otpada Iz geološkog aspekta voda je uvijek ispirala i nosila materijal sa tla dostavljajući ga uglavnom u mora i oceane. To uključuje otopljene i raspršene mineralne čestice, ali i organske tvari. Prema tome, sasvim je logično da i čovjek na određeni način koristi hidrološki ciklus za prijenos suvišnih tvari.

84

U svrhu korištenja voda za primanje otpadnih tvari mogu se te tvari, odnosno zagađenja, podijeliti u nekoliko osnovnih tipova:

a) Prirodne anorganske soli i sedimenti, nisu toksični i mogu postati zagađivala samo u prekomjernim dozama,

b) Toplinsko zagađenje,

koje nastaje kada vodotok služi kao hladni rezervoar za termodinamički ciklus nuklearne elektrane,

c) Organsko zagađenje,

čine kućanske otpadne vode koje sadrže prirodne materijale koji se mogu razložiti do ugljika, dušika i fosfora te uz adekvatan tretman i disperziju mogu biti uspješno asimilirane u okoliš,

d) Teški metali,

poput olova, žive i kadmija nalaze se u prirodi u veoma malim količinama, ali ljudskim djelovanjem te količine mogu narasti do toksičnih vrijednosti,

e) Sintetičke organske tvari,

se vrlo sporo razlažu i dugo ostaju prisutne u okolišu te su često akumulirane u prehrambenim lancima.

f) Radioaktivne tvari,

su visoko toksične i postupci njihova skladištenja su strogo propisani, g) Kemijsko i biološko oružje,

je toksično već u vrlo malim količinama i njegovo ispuštanje u okoliš predstavljalo bi veliku opasnost za čovjeka.

Vidimo da su zagađenja sa kojima se suočavamo različita i različitog učinka tako da strategije gospodarenja otpadom ovise o vrsti problema koji rješavamo. Strategija širokog raspršenja (engl. wide dispersal) prikladna je samo za termopoluciju i prirodne organske materijale koji se lako mogu asimilirati u globalni ekosustav. Male količine teških metala i netoksični materijali mogu se raspršiti pomoću velikih količina vode, no pri tome treba paziti da njihova koncetracija u zaobalju bude u granicama koje su propisane zakonom. Ipak, za perzistentne organske tvari i veću koncetraciju teških metala bolje je primijeniti strategiju zadržavanja ili prevencije ispuštanja. U slučaju smrtonosnih kemikalija najbolja je strategija zabrana proizvodnje i korištenja. Kada bi sve vrste otpada bile pomiješane zajedno, tada bi bilo iznimno teško pronaći pravi način za njihovu obradu. Sustavi za pročišćavanje nisu efikasni u odvajanju toksičnih tvari od netoksičnih; npr., teški metali se hvataju direktno za molekule vode pa se mogu eventualno izdvojiti putem mulja, no tada se javlja problem sigurnog odlaganja takvog mulja. Ako se pokuša zadržati sav otpad, uključujući organski, tada se javlja problem nemogućnosti skladištenja. Prema tome, učinkovitost gospodarenja otpadnim vodama ogleda se u kvalitetnom razdvajanju toksičnih od netoksičnih tvari i uspješnom raspršenju potonjih u okoliš. 4.1.3. Koncept balansa mase i uključivanje hidrološkog ciklusa Osnovni i neizbježni zakon u ekološkom inženjerstvu je zakon očuvanja mase. Obično proučavamo protok neke tvari počevši od izvora pa do ispuštanja u okoliš. Protoci uslijed transporta i difuzije moraju uravnotežiti izvorni protok sa prilagodbama za kemijsko i biološko trošenje i taloženje, poput deponiranja na morskom dnu. Protoci nekih tvari mogu slijediti razne

85

putanje u vodi, zraku ili na kopnu. Tipičan primjer je olovo iz naftnih derivata koje se uglavnom emitira kao aerosol iz ispušnih cijevi automobila. Kasnije te čestice padaju na cestu i bivaju isprane kišom u obližnje vodotoke, ili mogu biti nošene vjetrom i deponirane u obližnjim ili dalekim oceanima i kopnenim prostranstvima. Za takve tvari očito nema smisla pokušavati razviti strategiju gospodarenja bez uzimanja u obzir kompletne ravnoteže mase. Katkada je korisno promotriti problem grafički. Npr., crtajući krug oko nekog prostora možemo reći da je ukupni pritok neke tvari X jednak njenom ukupnom isteku, ukoliko želimo zadržati stabilno stanje. Slično tome, kanal za navodnjavanje ne može imati dugoročno stabilnu ravnotežu otopljenih soli ako ukupno otopljene tvari isprane drenažom nisu uravnotežene sa solima koje dospijevaju iz zahvata vode. Regulacijski sustav općenito razlikuje točkaste i raspršene izvore zagađenja. Točkastim izvorom zagađenja mogu se smatrati građevine projektirane za ispust otpadnih voda iz industrije ili kanalizacije naseljenih područja. Većina zakona i propisa koji se tiču zaštite voda odnosi se na ovaj oblik zagađenja. S druge strane, raspršeni izvori zagađenja definiraju se kao zone odnosno „linije“ na kontaktu unašanja i recipijenta kroz koje zagađivala ulaze u hidrološki ciklus. U takvim slučajevima pročišćavanje vode nije moguće. Primjeri za to su ispiranje soli korištenih za odmrzavanje cesta, erozija tla, kisele kiše i odvodnja prometnica. Ovi primjeri pokazuju da je čovjekovo djelovanje na vodeni okoliš veoma složeno te zahtijeva pažljivu analizu. 4.1.4. Utjecaji tradicionalnih aktivnosti vezanih uz hidrauliku Kvaliteta vode postala je veoma važna pri bilo kakvim hidrauličkim proračunima, bez obzira radi li se o rješenjima vezanim za kontrolu kvalitete vode ili drugim problemima. U rezervoarima pitke vode može doći do pogoršanja kvalitete vode, ljeti kada se javlja temperaturna stratifikacija, povezana sa pomanjkanjem kisika u nižim slojevima. Usmjeravanje vode izvan vodotoka za razne potrebe, od industrije do poljoprivrede, dovodi do smanjenja protoka u samom vodotoku i njegove mogućnosti za prirodno ispiranje zagađenja. Transportom vode kanalima prenosimo velike količine otopljenih soli, sedimenata, nutrienata i parazita na mjesta gdje se tolike količine takvih materijala inače ne nalaze. Odvodnja sa poljoprivrednih površina ubrzava uvođenje nutrienata i soli u hidrološki ciklus. Lukobrani ometanjem cirkulacije vode u priobalju otežavaju prirodno odnošenje zagađivala. Svi takvi procesi moraju se uzeti u obzir ako se želi provesti ozbiljna hidraulička analiza. 4.1.5. Transportni procesi Govoreći o transportnim procesima zapravo se govori o fizikalnim procesima tečenja u vodenom okolišu koji dovode do transportiranja i miješanja zagađivala i prirodnih čestica i njihove razmjene sa drugim medijima (zrak, tlo). U osnovi je ovaj proces sličan onome što kemijski inženjeri nazivaju transportnim procesom, no ovdje ga se primjenjuje na prirodni vodni okoliš umjesto na laboratorijski proces. Sastavnice transportnog procesa su sljedeće: 1) Advekcija,

transport strujanjem u moru ili rijeci, 2) Konvekcija,

vertikalni transport potaknut hidrostatskom nestabilnošću, 3) Molekularna difuzija,

86

širenje čestica slučajnim molekularnim gibanjem koje se može opisati Fick-ovim zakonom i klasičnim jednadžbom difuzije,

4) Turbulentna difuzija,

slučajno širenje čestica turbulentnim gibanjem. Grubo govoreći, analogno je molekularnoj difuziji, ali sa posebnim koeficijentima difuzije,

5) Disperzija,

raspršenje čestica ili oblaka zagađivala putem nejednolikosti u profilima brzina, 6) Miješanje,

djelovanje difuzije i disperzije, odnosno bilo koji proces koji uzrokuje miješanje ili otapanje jedne količine vode u drugoj,

7) Evaporacija,

transport vodene pare od površine vode ili tla prema atmosferi. 8) Radijacija,

protok energije zračenja, npr. na vodenoj površini, 9) Slijeganje nanosa,

taloženje ili odizanje čestica čija je gustoća različita od gustoće okolne tekućine, 10) Pronos nanosa,

prenošenje čestica poput pijeska ili organskih ostataka djelovanjem turbulentnog tečenja. Na razne načine ovi se procesi pridružuju raznim tipovima vodenog okoliša – jezerima, rijekama, estuarijima, oceanskom priobalju i podzemnim vodama. Kada se proračunava tečenje u kanalima moramo znati jedino srednju brzinu. No, pri analizi transporta i disperzije zagađivala, brzina može jako varirati u vremenu i prostoru, a bitne su i nepravilnosti u geometriji korita. Bitno je napomenuti da pri analizi zagađenja fluktuacije i nepravilnosti u promatranom sustavu mogu biti jednako važne kao i prostorno/vremenski usrednjene vrijednosti hidrauličkih i/ili geometrijskih parametara. Ukoliko je recipijent u apsolutnom mirovanju te ukoliko nema razlike u temperaturi sa okolinom kao ni toplinske izmjene sa atmosferom te ukoliko se unese neka količina tekućine sa približno istom gustoćom ali drugom koncentracijom doći će do procesa mješanja samo putem molekularne difuzije. Takav izolirani proces mješanja karakterističan je samo za laboratorijske uvjete a u prirodi tako izdvojen gotovo nigdje nije prisutan. Ukoliko postoji znatnija razlika u gustoći bez obzira je li inicijalno ubačena nova kapljevina takvih karakteristika ili je to posljedica toplinske izmjene sa atmosferom početno dolazi do nestabilnosti na kontaktnim plohama kapljevina različite gustoće a potom i do pojave turbulentne difuzije. U pozadini proces molekularne difuzije ne zamire no u praktičnim problemima poput analiziranja hidrodinamike jezera mješanje u smislu turbulentne difuzije je dominantno. Ukoliko se promatra tečenje u cijevi ili otvorenom vodotoku za proces mješanja bitno je da li se to tečenje odvija u laminarnom ili turbulentnom režimu a adekvatno postojećem režimu koristi se i odgovarajući opis miješanja. Tako u slučaju laminarnog tečenja proces mješanja je rezultat zajedničkog djelovanja molekularne difuzije i disperzije. Ovo potonje je opet posljedica prisutnosti graničnog sloja u profilu brzina a zbog čega se čestice kreću različitim brzinama ovisno o njihovom položaju u proticajnom profilu. Nastup turbulencije odnosno turbulentni režim strujanja ponovno postavlja molekularnu difuziju u «drugi» plan zbog njezinog minornog udjela u cjelokupnom procesu dinamičkog mješanja u usporedbom sa doprinosom turbulentne difuzije.

87

Važnu razliku u provedbi i pristupu analizi miješanja čini i dimenzionalnost prostora u kojem se ono odvija. Za slučaj kada su i najveći inercioni vrtlozi znatno manji ili kraći od praktično potrebne analizirane prostorne domene te uz odsustvo stratifikacije, kao što je to primjer za dinamičko mješanje na duljoj dionici riječnog vodotoka, uobičajeno je korištenje jednodimenzionalne konvektivno-disperzivne jednadžbe. U ovakvom analitičkom pristupu koristi se koeficijent longitudinalne disperzije kojim je obuhvaćen niz dominantnih utjecaja na pronos poput graničnog sloja u transverzalnom i vertikalnom smjeru te nejednolikosti strujanja na promatranoj dionici. Turbulentna difuzija je u ovom slučaju zanemariva naspram longitudinalne disperzije. Kada su inercioni vrtlozi vodotoka istog reda veličine kao i neka od horizontalnih dimenzija analizirane prostorne domene, kao što je to primjerice miješanje skalarnih polja temperature i koncentracije otopljene ili suspendirane tvari (efluenta) na području morskog priobalja jednodimenzionalni pristup nije više prihvatljiv. Odabrana dimenzionalnost u analizi pronosa neke fizikalne veličine ipak ne mora biti nužno trodimenzionalan sa definiranim koeficijentima turbulentne difuzije i/ili disperzije u sva tri smjera. Ukoliko su geometrijski odnosi prostorne domene problema takvi da je vertikalna dimenzija (dubine) znatno manja od horizontalnih dimenzija (širina i duljina) te ukoliko nema pojave stratifikacije, kao što je to primjerice slučaj za područje jadranskog priobalja u periodu zime i ranog proljeća, može se koristiti i dvodimenzionalni model pronosa. Smanjena dimenzionalnost ponovno potrebuje definiranje koeficijenata disperzije kako bi se obuhvatili svi utjecaji osrednjavanja po vertikali vodnog stupca. Odabir prostora od interesa na kome se promatra proces mješanja također je bitan za definiranje odgovarajućeg mehanizama miješanja. Ljudski interes u novije vrijeme koncentriran je na analizu čovjekova utjecaja odnosno na promjene u prostornom i vremenskom rasporedu količine pojedinog polja a koje se pojavljuju kao posljedica ljudske aktivnosti. Drugačije rečeno od primarnog je interesa analiza vrijednosti «premašenja» pojedine fizikalne veličine u odnosu na rezidualnu vrijednost. Ti unosi mogu biti točkasti ili linijski. Tipični primjeri točkastih izvora su podmorski ispusti kojima se unosi veća količina fekalnih koliforma i fekalnih streptokoka. Takvi ispusti unose i poremećaj u recipijentnu vremensku i prostornu raspodjelu količine gibanja i gustoće ali u znatno manjoj mjeri od primjerice utoka sa većim karakterističnim protocima koji se unose u recipijent nakon hlađenja reaktora elektrana te imaju naglašenije razlike u temperaturi i gustoći od recipijenta. Isto tako prirodna ušća rijeka mogu predstavljati točkaste izvore relativno velikih količina hranjivih soli te količine gibanja ukoliko je prisutna izraženija razlika u temperaturi i gustoći od mora kao karakterističnog recipijenta. 4.1.6 Uzgonski mlazovi i oblaci efluenta Kako bi se povećalo razrjeđenje efluenta u recipijentu koriste se građevine koje stvaraju potopljene mlazove, a ako je upuštena tekućina teža ili lakša od vode, oni se tada nazivaju potopljeni uzgonski mlazovi (engl. submerged buoyant jets). Analiza mlazova ne ovisi samo o parametrima mlaza, već i o uvjetima okoliša predstavljenima stratifikacijom gustoće i poljem morskih struja. S obzirom da su svi mlazovi, interesantni iz hidrauličkog aspekta, turbulentni, njihovo ponašanje opisuje se na prikladan statistički način.

88

4.1.7. Stratificirani tokovi u prirodnom okolišu Površinski sloj mora apsorbira sunčevu svjetlost te se na taj način zagrijava zagrijava. Pri dnu površinskog sloja formira se relativno tanki sloj u kojem se temperatura mijenja vrlo naglo s dubinom. Ovu zonu naglog temperaturnog gradijenta nazivamo termoklina. Na njeno formiranje utječu sezonske promjene temperature, geografska širina, morske mijene i morske struje. S druge strane moguća je i pojava halokline, odnosno ralativno velikog gradijenta saliniteta u relativno tankom sloju vodonosnika. Gustoća mora direktno ovisi o temperaturi i slanosti. Uz termoklinu i haloklinu formira se i piknoklina, tj. gradijent gustoće. U analizi procesa miješanja posebno je bitan vertikalni profil gustoće koji je tijekom ljetnog perioda izraženije nejednolik (posljedica povećanih temperatura i smanjenog saliniteta na površini). Preliminarne analize se provode uglavnom kroz primjenu vremenski usrednjenih polja brzina te uz adekvatan opis doprinosa turbulencije i disperzije. U detaljnijim analizama ukupno kretanje morskih masa povezuje se sa stratifikacijom, rotacijom Zemlje, izmjenom topline sa atmosferom te plimnom dinamikom i slatkovodnim utocima. 4.1.8 Interdisciplinarni pristup modeliranju Analiza pronosa zagađenja podrazumijeva kombinaciju fizikalnih, kemijskih i bioloških procesa. Iz tog razloga postoji potreba za stvaranjem modela koji objedinjuju sva tri procesa. Međutim, za svaki od tih procesa postoji i odgovarajuća vremenska skala relevantna za praćenje promjena. Na primjer, jako hidrodinamičko miješanje prilikom izlaska iz difuzora traje samo nekoliko minuta, dok mnoge biokemijske reakcije traju i po nekoliko sati, a biološki i ekološki učinci imaju efekt koji traje i do nekoliko mjeseci. Katkada trajanje dominantnih procesa ovisi o miješanju mlazova. Tako, na primjer, kod sporog doticanja vode bogate hranjivima u priobalnom području, biološka aktivnost ovisi o tome koliko se uspješno pristigla tekućina miješa s okolnom vodom. U određenoj mjeri se mogu složiti i zajednički podmodeli koji se bave svaki svojim područjem, no pri tome treba biti oprezan jer se neki problemi ne mogu promatrati razdvojeni na zasebne procese. 4.1.9. Strategija, definicija podmodela i varijabilnost intenziteta ljudskog djelovanja i ekoloških parametara Kod rješavanja problema važno je znati što se točno traži. Primjerice traži li se trenutna maksimalna koncentracija zagađivala ili srednja mjesečna vrijednost na nekom području. Dok je prvo pitanje bitno za akutne toksične efekte, drugo ima važnost pri dugoročnim analizama stanja okoliša. Čak i kada se zahtijevaju odgovori na oba pitanja, tj. i kratkoročna i dugoročna, moramo koristiti razne pristupe u modeliranju. U određenom vremenu i prostoru svaki proces ima svoj nivo važnosti. Tablica 4.1 objašnjava progresiju u vremenskim i prostornim odnosima karakterističnim za razvoj procesa miješanja efluenta nastalog radom podmorskog ispusta kanalizacijskog sustava javne odvodnje. Unutar nekog vremenskog perioda svaki od efluenata ima svoju važnost, odnosno negativan učinak na okoliš; npr., amonijak je toksičan pri vremenu t < 104 sec, biokemijska potrošnja kisika (BPK) je važna pri t < 106 sec, dok je toksičnost perzistentnih spojeva prisutna i pri t > 108 sec (~3 god).

89

Kod rješavanja složenih problema nije prikladno razviti opći model (bilo fizikalni ili numerički) koji bi pokrio sve korake. Kako bi se mogle postaviti neke pretpostavke za pojednostavljenje procesa, bolje je razdijeliti problem na manje dijelove za razne prostorne i vremenske kategorije. Svi modeli su iz nužnosti idealizirani prikazi stvarnosti. U njima se koncentrira na dominantne procese i bitne karakteristike okoliša (npr. morske struje, stratifikaciju, batimetrija). Model zanemaruje mnoge sekundarne detalje i interakcije, bilo zbog nedostatka znanja, ili nemogućnosti njihovog kontroliranja (npr. vertikalno miješanje uzrokovano internim gravitacijonim valovima). Zadnjih godina razvijeni su dosta pouzdani modeli koji daju razmjerno kvalitetne procjene procesa miješanja.

Tablica 4.1 Progresija u vremenskim i prostornim odnosima karakterističnim za razvoj procesa miješanja efluenta nastalog radom podmorskog ispusta kanalizacijskog sustava javne odvodnje Modeliranje miješanja efluenta u vodi ne može se temeljiti na stalnim parametrima, već se moraju osigurati simulacije u reprezentativnim vremenskim periodima uključujući vremenski promjenjive parametre. Takvi parametri uključuju i kvalitetu ispuštene kanalizacijske vode (često pokazujući dnevni ciklus), stratifikaciju gustoće (sa sezonskim varijacijama) i kretanje morskih struja (dnevne i sezonske promjene). Ovi varijabilni parametri ne unose se u formulaciju problema samo kao nepovezane slučajne varijable koje slijede određeni zakon distribucije, već moraju odražavati stvarne vremenske sekvence koje su samo djelomično slučajne. Na primjer, na nekim mjestima je morska struja pod snažnim utjecajem plime i oseke te s varijacijom morskih mijena variraju jačina i smjer morske struje. Simulacije često koriste podatke prošlih mjerenja (mjerenja morskih struja u blizini projektom predviđene lokacije difuzora podmorskog ispusta) ili podatke o varijaciji strujanja temeljem determinističog određivanja plimne dinamike. 4.1.10. Analiza reda veličine, numeričke tehnike, fizikalni hidraulički

modeli, ispitivanje u prirodi, mješovito – hibridni pristup Proces postizanja brzog aproksimativnog rješenja naziva se analiza reda veličine. Očekuje se da će rezultati analize reda veličine pokazati korelaciju među najvažnijim parametara i prikazati numeričke odgovore 3 do 5 puta veće od stvarnih (često i bolje). Makar se ova veličina greške može učiniti ogromnom, u prvom koraku je bolje imati i takav aproksimativni odgovor nego nikakav. Koristeći ovu vještinu može se razviti dobar osjećaj za razumnu aproksimaciju i podjelu problema na podmodele. Na primjer, ako se planiraju terenska ispitivanja mjerenja stratifikacije

90

gustoće i morskih struja u blizini moguće lokacije podmorskog ispusta javlja se dilema. Radi provedbe odgovarajuće analize lokacije moraju se znati podaci, a ne mogu se dobiti odgovarajući podaci o karakteristikama mora na pravom mjestu ako ne postoje neke preliminarne procjene lokacije. Analiza reda veličine, u kombinaciji sa iskustvom, može odmah znatno smanjiti raspon lokacija i time uštedjeti vrijeme i trud i smanjiti trošak terenskih ispitivanja. Takve se analize temelje na dimenzionalnoj analizi s nekim koeficijentima dobivenima iz eksperimenata ili iz prijašnjih rješenja diferencijalnih jednadžbi. Numerički modeli veoma su važan alat u rješavanju tehničkih problema pa tako i podmorskih ispusta. Mada računala danas imaju veliki kapacitet, nužno je koristiti pretpostavke kojima se izostavljaju procesi koji nemaju značajnog utjecaja na rezultat. Tu je opet bitna analiza reda veličine. Mnogo je numeričkih tehnika koje se koriste za rješavanje problema miješanja. Numerički modeli u osnovi rješavaju diferencijalne jednadžbe pomoću konačnih diferencija ili konačnih elemenata, ili simuliraju difuziju kao stohastički proces sa superponiranim transportom morskim strujama. Neki programi ekstrahiraju ključne parametre iz podataka dobivenih mjerenjem kako bi se koristili u drugim podmodelima. Složeni modeli integriraju razne fizikalne, kemijske i/ili biološke efekte tako što računaju različite procese u točno određenom vremenskom slijedu. Fizikalni hidraulički modeli, s druge strane, imaju određene prednosti u odnosu na numeričke, posebice kada se radi o trodimenzionalnom polju strujanja u stratificiranoj sredini. U određenom smislu, fizikalni model daje istraživaču dodatne informacije o raznim pojavama (unutarnji valovi, vodeni skokovi, gravitacijsko širenje) koje mu pomažu u traženju adekvatnog numeričkog modela. Fizikalni modeli također imaju svoja ograničenja. Skaliranje se vrši pomoću Froudeove sličnosti jer efekti gravitacije, uključujući uzgonske mlazove, imaju velik značaj. Slijedom toga su Reynolds-ovi brojevi prilično reducirani u odnosu na stvarno stanje, mijenjajući turbulentne karakteristike i otpornost. Veliki modeli, poput onih za modeliranje estuarija, moraju biti distordirani kako bi se zadržali prikladni Reynolds-ovi brojevi. Često je teško osigurati zahtijevane rubne uvjete na granicama modela, pogotovo za stratificirani tok, a također je nemoguće kvalitetno skalirati meteorološke faktore. Ispitivanja u prirodi za potrebe procjene kretanja efluenta u moru mogu se provesti Lagrangeovom metodom, Eulerovom metodom ili kombinacijom obje. Lagrangeova metoda sastoji se u praćenju uređaja ili injektiranog trasera koji se kreće zajedno sa volumenom vode. Tako se može dobiti šira slika kretanja morskih struja. No, manjkavost metode je ta da se fiksira na određeni volumen tekućine, odnosno mora, te daje malo podataka u odnosu na troškove. Eulerova metoda bazira se na mjerenju morskih struja na fiksnoj lokaciji. Na jednom mjestu bilježe se jačina i smjer morske struje i time se mogu dobiti velike količine podataka o strujama, ali uz ograničenje u prostornom smislu. Kako oba načina imaju svoje prednosti i mane, najbolje ih je koristiti u kombinaciji. Svaki od navedenih modela i načina mjerenja pomaže u integralnom opisivanju problema. Parcijalni problemi mogu se najbolje opisati sa točno određenim postupkom, a kada se to izvrši, tada ih je moguće složiti zajedno i provesti cjelokupnu interpretaciju procesa. To se naziva mješovito - hibridno modeliranje.

91

4.1.11 Osnovne definicije i koncept

Koncentracija C predstavlja omjer mase efluenta u elementarnom volumenu i elementarnog volumena:

V

MC

V ∆

∆=

→∆ 0lim (4.1)

( )tzyxCC ,,,= (4.2)

Kod sažimanja elementarnog volumena u infinitezimal potrebno je paziti da on bude dovoljno velik odnosno reprezentativan (treba sadržavati dovoljan broj molekula efluenta) ali i da bude dovoljno mali da se može definirati gradijent koncentracije dc/dx koja se pojavljuje u diferencijalnim jednadžbama kojima se opisuje fizikalni proces miješanja i disperzije. Kako koncentracija jako fluktuira u vremenu i prostoru, uobičajeno se koriste prostorno i vremenski usrednjene vrijednosti koncetracija. Vremenski usrednjena koncentracija

( ) ( )dttzyxCT

tzyxC

Tto

to

t ∫+

= ,,,1

,,, 0 (4.3)

Vremenski usrednjena koncentracija ( )0,,, tzyxCt funkcija je položaja, perioda usrednjavanja T

i početnog trenutka t0.

Volumno usrednjena koncentracija

( ) ( )dVtzyxCV

tzyxCV

V ∫∫∫∆

= ,,,1

,,, 000 (4.4)

Volumno usrednjenom vrijednošću uklanja se problem fluktuacije koncentracije uslijed turbulencije. Razmatra se mali kontrolni volumen sa središnjim koordinatama x0, y0 i z0.

Srednja koncentracija toka u nekom trenutku vremena ( )tC f jednaka je omjeru protoka mase

efluenta kroz poprečni presjek A i protoka vode Q kroz taj isti presjek.

( ) ∫=A

f QCudAtC / (4.5)

QCudAtCCudAA

f

A

f ∫∫ == )( (4.6)

Ako srednju koncentraciju toka ( )tC f pomnožimo sa ukupnim protokom dobivamo ukupni protok

mase efluenta. Koncentracija ( )tC f jednaka je volumno usrednjenoj koncentraciji ukoliko je V

volumen vode koja tvori efluentni oblak, a koji prolazi kroz određeni poprečni presjek u jedinici vremena

92

Razrjeđenje S se definira kao omjer reprezentativnog volumena V i volumena koji je okupiran sa efluentom Vefluent.

efluentV

VS = (4.7)

Relativna koncentracija definira se kao:

Sp

1= (4.8)

Kada je efluent nerazrjeđen p poprima vrijednost 1 (S = 1). Za čistu morsku vodu relativna koncentracija je p = 0 a razrjeđenje je S = ∞. Ukoliko je na mjestu upuštanja efluenta u more inicijalna koncentracija efluenta Ci, rezidualna koncenstracija efluenta u recipijentu je Cs, a u nekom trenutku t na nekom položaju x, y, z koncentracija efluenta je C, tada se za razrjeđenje može napisati sljedeća jednadžba:

r

ri

CC

CCS

−

−= (4.9)

Ako izrazimo C:

( ) ( )rirrir CCpCCCS

CC −+=−+=1

(4.10)

Povećanje koncentracije u odnosu na rezidualnu vrijednost koncentracije ovisi o S, odnosno p. Možemo reći da je za neki ispušteni efluent trenutna koncentracija promatrane tvari linearna funkcija od S odnosno p.

4.2. Pristup analizi razrjeđenja pri radu podmorskog ispusta U današnje vrijeme provedba analize pronosa efluenta uobičajeno se provodi kroz niz iteracijskih koraka od kojih je početni korak provedba preliminarne analize razrjeđenja sa jednostavnim jednadžbama razrjeđenja u stratificiranim i nestratificiranim recipijentima. Nakon toga uobičajena je upotreba komercijalnih software-skih alata kojima se provodi suptilnija analiza razrjeđenja u području bliske zone i zone tranzicije a za nastavak analize razrjeđenja u području daleke zone koriste se 2D i/ili 3D numerički modeli. U području bliske zone, miješanje se ostvaruje kroz formiranje uzgonskih mlazova koji ovise o hidrauličkim karakteristikama upuštanja i uzgonskim karakteristikama efluenta, tj. o početnim i rubnim uvjetima. Daleko od ispusta, transport i miješanje se ostvaruju morskim strujama i turbulencijom i ne ovisi toliko o inicijalnim uvjetima na ispustu. Ta zona naziva se daleka zona. Zona tranzicije povezuje blisku i daleku zonu. Dinamika u toj zoni ovisi o početnim i rubnim uvjetima ispusta i o morskim strujama.

93

Osnovni je cilj postići brzo početno miješanje efluenta sa okolnom vodom. Naime, to je jedino na što se može direktno utjecati jer daljnji procesi difuzije i transporta ovise o samom prirodnom okolišu. Primjerice, u komunalnim sustavima odvodnje priobalnih gradova to se postiže pomoću podmorskog ispusta koji završava sa difuzorskom dionicom na kojoj se nalazi i odgovarajući broj sapnica. Inicijalno razrjeđenje ovisi prvenstveno o protoku, dužini difuzora, dubini ispusta, morskim strujama i stratifikaciji recipijenta. Prilikom projektiranja utječe se jedino na dužinu difuzora i dubinu ispusta. U tom smislu važno je poznavanje vertikalnih profila gustoća prirodnog recipijenta. Razrjeđenje u bliskoj zoni (početno razrjeđenje) ostvaruje se u omjeru 100:1 i više, dok se u području daleke zone miješanja (sekundarno razrjeđenje) putem recipijentnih struja ostvaruju u omjeru 10:1 do 5:1. O sekundarnom razrjeđenju može uvelike ovisiti i izbor položaja samog ispusta. Kako bi se ostvario željeni stupanj razrjeđenja potrebno je poznavati i hidrauliku ispusta i difuzora. Primjerice, prilikom ispuštanja efluenta želi se ostvariti približno jednolik protok po svim otvorima (sapnicama) difuzora. Neki puta može se ukazati i potreba za ugradnjom pumpe ili disipatora energije. 4.2.1. Preliminarne projektne analize Prije početka projektiranja provodi se planska studija kojom se određuju parametri kvalitete recipijenta te kvantitete i karakteristika efluenta, smještaj uređaja te preliminarne preporuke za projekt ispusta. Od preporučenih, inženjer odabire najprikladnije rješenje kako bi se ostvarilo uspješno miješanje efluenta i morskog recipijenta, a da bi se očuvala kvaliteta recipijenta. Cijeli proces je iterativan i na njega utječu osim tehničkih i prirodnih još i ekonomski, estetski, socijalni i ostali relevantni faktori.

4.2.1.1. Inicijalno miješanje efluenta

Duljina podmorskog ispusta je često puta mnogo veća nego dubina na mjestu ispuštanja. Omjer duljine ispusta prema dubini ispuštanja je reda veličine 10 i više. U svrhe preliminarne analize ispust se stoga može smatrati dvodimenzionalnim. Većina ispusta sadrži određeni broj međusobno razmaknutih sapnica kroz koje se inicijalno istjecanje odvija u formi zasebnih mlazova, a koji se postupno stapaju te u konačnici zajedno formiraju efluentni oblak. Kako je dubina kroz koju se odvija razrjeđenje prirodnim putem ograničena, a početni jedinični protok istjecanja obrnuto proporcionalan njihovom broju odnosno duljini difuzora, tj.

dif

dif

L

Qq = , (4.11)

moguće je poboljšati miješanje povećanjem dubine polaganja difuzora ili broja sapnica difuzora (povećanje duljine difuzora). Prema tome, ukoliko nema stratifikacije, sa stanovišta inicijalnog razrjeđenja, razrjeđenje s kraćim i dublje položenim difuzorom je ekvivalentno duljem i pliće položenom. Ako je more uz obalu blagog nagiba (mali α), tada je ekonomičnije povećati duljinu difuzora Ldif jer bi u protivnom trebalo voditi ispust na relativno veliku udaljenost od obale a kako bi se ostvarilo povećanje dubine. S druge strane, ako je dno strmo (veliki α), onda je ekonomski učinkovitije povećati duljinu L za potrebe povećanog razrjeđenja.

94

Jedan od prikladnih načina prognoziranja razrjeđenja u preliminarnoj fazi je rješenje dvodimenzionalnog uzgonskog mlaza (slika 4.2.). Jednadžbe koje se koriste nisu potvrđene eksperimentalno i ne uzimaju u obzir cjelokupni proces razrjeđenja zbog čega se mogu koristiti samo kao pokazatelj nekih tipičnih vrijednosti razrjeđenja, ali ne i za direktnu procjenu razrjeđenja.

Slika 4.2 Geometrijski parametri i pozicija podmorskog ispusta

U najjenostavnijem slučaju kada u recipijentu nema strujanja i vertikalne stratifikacije gustoće, a sapnice su orijentirane vertikalno, razrjeđenje se može naći temeljem izraza (Fischer):

1/3 2 /3

_ 0,38 ' /BZ nestratS g d q= (4.12)

gdje je: SBZ_nestrat srednje razrjeđenje u bliskoj zoni; g' uzgonsko ubrzanje,

aagg ρρρ /)(' 0−= ; aρ gustoća mora pri određenoj visini; 0ρ inicijalna gustoća efluenta;

g gravitacijsko ubrzanje; d dubina na mjestu ispuštanja efluenta; q početni jedinični protok po jedinici dužine.

Slika 4.3 Formiranje efluentnog oblaka uz odsustvo strujanja recipijenta (desno - vertikalno homogeni profil gustoće ; lijevo - vertikalno nehomogeni profil gustoće) U slučaju kada postoji stratifikacija gustoće u moru, pridneni slojevi mora su veće gustoće od površinskog sloja (slika 4.4). Tada se upušteni efluent u pridnenom sloju intenzivno miješa sa gušćom okolnom tekućinom te dolazi do kontinuiranog povećanja gustoće uzgonskog oblaka

95

efluenta. Nailaskom na horizontalni sloj u kojem su gustoće oblaka efluenta i okolnog recipijenta jednake (neutralni sloj na vertikalnoj udaljenosti od ispusta ymax - slika 4.3 lijevo) prekida se daljnje vertikalno odizanje oblaka efluenta a njegovo daljnje širenje odvija se dominantno u horizontalnom smjeru. Za proračun razrjeđenja u stratificiranim uslovima SBZ_strat potrebno je odrediti i odgovarajući ymax. Nadalje, pri proračunu ymax za član dρa/dy uobičajeno se usvaja linearna aproksimacija (slika 4.4). Jednadžba razrjeđenja za stratificirani recipijent glasi:

1/3 2/3

_ max0,31 ' /BZ stratS g y q= , (4.13)

a jednadžba za maksimalno vertikalno odizanje oblaka efluenta ymax je:

( )

1

1 2

3max _ 2,84 ' a

BZ strat

a

dgy g q

dy

ρ

ρ

−

= −

(4.14)

pri čemu je: ρa(y) gustoća recipijenta (pri linearnoj promjeni), na vertikalnoj udaljenosti y od položaja ispuštanja.

Slika 4.4 Linearni vertikalni profil gustoće recipijenta (priobalje Istre)

Ako je razmak sapnica takav da u bliskoj zoni ne dolazi do stapanja uzgonskih mlazova tada se svaka pojedina sapnica može promatrati kao točkasti izvor zagađenja. Za sapnicu sa ukupnim inicijalnim protokom upuštanja, koja je dio difuzora sa nsapnica, Q=Qdif/nsapnica, preporučene su analogno jednadžbama (4.12), (4.13) i (4.14) i sljedeće jednadžbe:

( )1/3 5/3

_ 2/3

'0,089

BZ nestrat

g dS

Q= , (4.15)

( )1/3 5/3

max

_ 2/3

'0,071

BZ strat

g yS

Q= , (4.16)

( )

3

1 8

4max_ _ 3,98 ' a

BZ strat

a

dgy g Q

dy

ρ

ρ

−

= −

. (4.17)

96

4.2.1.2. Zona tranzicije

Nakon prekida odizanja efluentnog oblaka te uslijed dotoka nove količine efluenta iz područja bliske zone, formira se zona tranzicije sa debljinom h (slika 4.5). Efluent je u tom području već značajno razrjeđen u odnosu na inicijalnu koncentraciju i razrjeđenje koncentracija efluenta u području zone tranzicije je ograničeno uz ujednačenje koncentracija duž same zone. Imajući u vidu ograničenje razrjeđenja pri vrhu efluentnog oblaka, na poziciji ymax, pretpostavlja se da je razrjeđenje SZTy-max jednako razrjeđenju u bliskoj zoni SBZ_strat:

Slika 4.5 Oblak efluenta u području bliske zone i zone tranzicije

Ukoliko je prisutno strujanje recipijenta sa vertikalno usrednjenom brzinom strujanja u, u području zone tranzicije oblak efluenta poprimit će neku širinu b okomito na smjer strujanja recipijenta. Prosječno razrjeđenje u zoni tranzicije SZTsr dobiva se upotrebom jednadžbe kontinuiteta:

( )bZTsr yyububhQS −== max (4.18)

Prema jednadžbi (5.18) vidimo da je razrjeđenje proporcionalno dubini y a što je približno točno za sve uzgonske mlazove i oblake efluenta ukoliko je y dovoljno velik (Fischer). Stoga se u zoni tranzicije može definirati i odnos između srednjeg razrjeđenja SZTsr (uz pretpostavku važenja za y = yb) i razrjeđenja SZTy-max (važeći za y = ymax):

maxmax y

y

S

S b

ZTy

ZTsr =−

(4.19)

Time jednadžba (4.18) prelazi u oblik:

97

( )b

b

ZTy yyy

yubQS −=− max

max

max (4.20)

Jednadžba (4.20) se može riješiti za yb/ymax:

max

maxmax

11

1

ubyQS

y

y

ZTy

b

−+

= (4.21)

Ili, uvrstivši u (4.19), razrjeđenje SZTsr je:

max

max

max

11

ubyQS

SS

ZTy

ZTy

ZTsr

−

−

+

= (4.22)

Budući da je debljina zone tranzicije h = ymax – yb = ymax (1 – yb/ymax) dobiva se jednakost:

max

max

max

max

max 11

ubyQS

uby

QS

yh

ZTy

ZTy

−

−

+

= (4.23)

Za primjenu ovog koncepta potrebno je poznavati vrijednosti u, b i SZTy-max. Važno je napomenuti i to da ukoliko je umnožak ub vrlo mali, tada proračun ne vrijedi jer pretpostavka u jednadžbi (4.20) nije zadovoljena. Ako je smjer prevalentnog strujanja okomit na os cijevi difuzora u praksi je uobičajeno usvajanje duljine difuzora za vrijednost b. Kada je struja paralelna difuzoru, širina b se mora odrediti na drugačiji način. U slučaju kada je vertikalni profil gustoća homogen (odsustvo stratifikacije) efluentni oblak može doprijeti i do površine morskog recipijenta. Pretpostavljen je linijski izvor uzgonskog mlaza jačine g'q i dužine Ldif u paralelnoj struji sa brzinom u. Prema tome, potrebni ulazni parametri su g'q, u, Ldif i b. Primjenom dimenzionalne analize odabrana su 3 dimenzionalna parametra g'q, Ldif /u, b za koje

se može formirati samo jedan bezdimenzionalni parametar: ( )bu

Lqg

dif 1' 3

1

. Ovaj parametar je

konstanta za koju se uvodi zamjenska oznaka D pa vrijedi odnos:

( )u

LqgDb

dif3

1

'= (4.14)

Laboratorijski eksperimenti (Koh i Fan, Roberts) pokazali su da konstanta D iznosi 1.2. Uvrštavajući jednadžbu (4.14) u jednadžbu (4.12) dobiva se:

( ) max3

1maxmax_

_

'2.1

11

1

yLqg

QSS

S

dif

ZTynestratZTy

nestratZTsr

−− +

= (4.15)

98

Jednadžba (4.15) daje omjer stvarnog prosječnog razrjeđenja SZTsr_nestrat i razrjeđenja SZTy-max_nestrat (odsustvo ograničenog razrjeđenja u zoni tranzicije). Za procjenu utjecaja brzine strujanja na vrijednost SZTy-max_nestrat uz odsustvo stratifikacije usvaja se izraz (Fischer):

( )

==−

qyqgSS stratBZnestratZTy

1'54.02 max

3

1

_max_ (4.16)

a čime se dobiva i slijedeća jednakost:

7,0

2,1

54,01

1

max_

_=

+

=− nestratZTy

nestratZTsr

S

S (4.17)

tako da je:

( )q

yqgS nestratZTsr

max3

1

_

'38,0= (4.18)

Usporedba jednadžbi (4.17) i (4.19) pokazuje da debljina efluentnog oblaka u području tranzicijske zone h u slučaju homogenog vertikalnog profila gustoće zauzima površinskih 30% ukupne dubine. Jednadžba (4.18) ne sadrži član brzine strujanja u pa se može zaključiti da razrjeđenje ne ovisi o brzini struje ukoliko je struja paralelna difuzoru. 4.2.1.3. Miješanje efluenta u dalekoj zoni

Poslije razrjeđenja ostvarenog u području bliske zone i zone tranzicije efluent je podvrgnut daljnim procesima mješanja primarno kroz mehanizme konvektivne disperzije odnosno konvektivne difuzije (molekulatne i turbulentne). Generalno, ti procesi nisu pod utjecajem projektantskog rješenja ali su važni pri određivanju štetnosti ispuštene otpadne vode na okolno područje. Pronos razrjeđene kanalizacijske vode do obale treba u čim većoj mjeri izbjeći. Ako se to ne može u potpunosti izbjeći, tada se difuzor mora postaviti što dalje od obale kako bi se povećalo vrijeme pronosa. Duže vrijeme putovanja efluentnog oblaka je također važno i radi aktivnosti biološke razgradnje kojom se također smanjuju koncentracije efluentnog sadržaja u oblaku zagađenja. Efluentni oblak sa neželjeno visokim koncentracijama može doprijeti do obale na jedan od dva načina. Ako efluent dopire do površine uslijed odsustva stratifikacije, može biti transportirana do obale pojačanim površinskim strujama. Ukoliko je prisutna stratifikacija efluentnio oblak može dospjeti do obale potpovršinskim strujama i biti iznesena na površinu uzlaznim strujama (eng: upwelling). Projektant treba posebno paziti na eventualnu pojavu uzlaznog strujanja, pogotovo ako je prelazak iz bliske u daleku zonu formiran na velikoj dubini pri čemu se uspjeva ostvariti samo mali stupanj inicijalnog razrjeđenja. Zbog toga je i uobičajena provedba programa monitoringa u svrhu praćenja profila gustoće i osnovnbih startističkih obilježja strujanja. Kako bi se postigle razumne procjene mješanja i razrjeđenja, bitno je da program monitoringa pokrije sve karakteristične uvjete koji se mogu pojaviti. Općenito je planiranje monitoringa za dobivanje potrebnih informacija zbog ograničenih resursa dosta teška zadaća.

99

Iz ovakvih podataka može se dobiti osnovna statistička procjena poput srednje struje, a također i histogram brzine i smjera. Još jedna često korištena metoda pri ispitivanju podataka o transportu morem je izrada dijagrama progresivnog vektora. To je plan strujnog vektora u nizu i namjena mu je da osigura vizualni pregled putovanja vodenih čestica. Progresivni vektorski dijagram nije jednak strujnici jer ona uzima u obzir prostorne varijacije, što on ne čini. Sljedeće slike su preuzete iz “rezultati istraživalačkih radova trase podmorskog ispusta otpadnih voda sustava javne odvodnje naselja Dugi Rat, Hidrografski institut – Split, 2006.

Slika 4.6 i 4.7 Hodogram morskih struja u površinskom sloju na postaji ASS-1

Slika 4.8 Ruža struja na postaji ASS-1.

100

Spe

ktar

sna

ge [(

cm/s

)2 /cph

]

0.001 0.010 0.100 1.000 10.000

Frekvencija (cph)

0.001

0.010

0.100

1.000

10.000

100.000

1000.000

10000.000

0.1001.00010.000100.0001000.000

Period (sati)

SPEKTAR BRZINE STRUJA, 3 m, ASS-1/DUGI RATPOČETAK: 21.06.2006. ZAVRŠETAK: 24.07.2006.

0.001 0.010 0.100 1.000 10.000

Frekvencija (cph)

0.1001.00010.000100.0001000.000

Period (sati)

SPEKTAR BRZINE STRUJA, 51 m, ASS-1/DUGI RATPOČETAK: 21.06.2006. ZAVRŠETAK: 24.07.2006.

Slike 4.9 i 4.10 Totalni spektar snage morskih struja u površinskom sloju (lijevo) i u pridnenom sloju (desno)na postaji ASS-1 U preliminarnim analizama procjena razrjeđenja kroz mehanizam mješanja u području daleke zone oslanja se na proračun preporučen od strane Brooks-a. Koristeći zakon „4/3“ za turbulentnu difuziju, razrjeđenje u području jednolikog strujanja definirano je jednadžbom :

( )

2/1

32

0max 1/81

2/3−

−+=

wterf

C

CZTsr

ε (4.19)

gdje je: εo inicijalna vrijednost koeficijenta turbulentne difuzije u horizontalnom smjeru; w širina efluentnog oblaka; CZTsr srednja koncentracija efluenta u području zone tranzicije; Cmax srednja koncentracija u vertikalnom profilu efluentnog oblaka u području daleke zone; t proteklo vrijeme počev od trenutka u kojem je promatrani vertikalni profil efluentnog oblaka prešao iz zone tranzicije u daleku zonu. Intenzitet razrjeđenja u vremenu t prema tome ovisi o εo i w. Za veliki w, tj. dugački difuzor, razrjeđenje je relativno sporo. Jednadžbom 4.19 u obzir je uzet samo proses razrjeđenja uzrokovan mješanjem, no ne i biološkom razgradnjom.

101

4.2.2. Hidraulika difuzora 4.2.2.1. Hidraulika ispusta

Osnovna namjena difuzora je ravnomjerna distribucija protoka po cijeloj njegovoj dužini i ostvarenje čim boljeg miješanja. Stoga dobar proračun zahtijeva da ispušteni protok po pojedinoj sapnici bude približno jednolik od jednog do drugog kraja difuzora. Postizanje jednolike distribucije protoka nije jedini uvjet za dobar proračun difuzora. Osnovni hidraulički uvjeti za kanalizacijski efluent uključuje daljnje elemente:

a) održavanje prikladnih brzina u difuzorskoj cijevi radi sprečavanja taloženja, b) osiguranje načina čišćenja i ispiranja sustava, c) osiguranje od ulaska morske vode u sistem i postizanje punog protoka sapnica, d) održavanje ukupnih gubitaka niskim kako bi se minimalizirao rad pumpe.

Ovi uvjeti rezultirali su time da tipični difuzor ima sljedeće karakteristike:

a) promjer cijevi difuzora se prema potrebi stupnjevito smanjuje prema drugom kraju, b) na kraju se ugrađuje žablji poklopac, c) sapnice su relativno male tako da je ukupna površina sapnica od bilo kojeg presjeka na

niže manje veličine nego površina presjeka cjevovoda za taj presjek, d) sapnice su uglavnom kružne.

Slika 4.11 Difuzorska dionica podmorskog ispusta sa prikazom sapnica i njihovog razmaka

U slučaju ispuštanja kanalizacijskog efluenta, dva faktora značajnije obilježavaju provedbu hidrauličke analize rada difuzora. Prvo, postoji razlika u gustoći između morske vode izvan difuzora i kanalizacijskog efluenta unutar njega. Drugo, trenje uzduž cjevovoda mijenja tlačnu visinu duž cjevovoda. Protok iz pojedine sapnice ovisi o razlici tlakova kroz sapnicu. Zbog toga razlika u gustoći i trenje igraju važnu ulogu u pronalaženju distribucije protoka. (Razlika u gustoći nije bitna ukoliko su sve sapnice u istoj razini, no to često nije slučaj.) Protok iz jedne sapnice je prikladno predstavljen jednadžbom oblika:

gEACQ SDS 2= (4.20)

gdje je: QS protok kroz sapnicu; AS površina presjeka sapnice; E razlika ukupne energije na ulasku i izlasku iz sapnice izražena u metrima vodenog stupca; CD koeficijent protoka. Navedena jednadžba predstavlja polu empirijski oblik Bernoulli-eve jednadžbe gdje koeficijent protoka CD uključuje razne gubitke, kontrakciju i nejednolikost protoka. Općenito se vrijednost

102

CD nalazi eksperimentalno i ne ovisi samo o geometrijskim karakteristikama sapnice, već i o omjeru brzine u difuzoru i razlike energije E. Za sapnicu zaobljenog otvora vrijedi:

3/82

0,975 12

dD

vC

gE

= −

, (4.21)

dok za ulaz koji nije zaobljen vrijedi izraz:

2

0,63 0.582

dD

vC

gE= − . (4.22)

Ove formule se temelje na laboratorijskim eksperimentima izvedenim na sapnicama koje su male u odnosu na difuzorsku cijev. Dok su eksperimentalna ispitivanja jedini pouzdan način dobivanja CD, njegove procjene mogu se raditi za razne slučajeve. Te procjene mogu se koristiti za potrebe preliminarnih računanja. Prema slici 4.12 promjer sapnice je Ds, njena dužina Ls, a promjer cijevi difuzora Ddif.

Slika 4.12 Presjek kroz dio difuzorske cijevi i sapnicu u vrijeme tečenja efluenta

Sljedeća jednadžba opisuje promjenu kinetičke energije duž sapnice:

g

v

g

v

g

v

D

L

g

vE mlazs

izlaz

s

s

ss

ulaz2222

2222

+++= ξλξ . (4.23)

gdje je: vs - brzina u sapnici; vmlaz brzina mlaza; ξulaz lokalni koeficijent gubitka na ulazu u sapnicu; ξizlaz lokalni koeficijent gubitka na izlazu iz sapnice; λ linijski koeficijent gubitaka duž sapnice. Jednadžba (4.23) se može napisati koristeći brzinu u sapnici vs:

g

vK

g

v

CD

LE ss

c

izlaz

s

s

ulaz22

122

2≡

+

++= ξλξ , (4.24)

103

gdje je: Cc=vs/vmlaz koeficijent kontrakcije mlaza. Temeljem eksperimenata koje je napravio McNown na račvanju i spajanju cijevi može se vidjeti da je za Ds/Ddif manji od 0,25:

( ) ( )2 2

0, 406 / /ulaz dif s c dif s

v v x v vξ ≅ + ≡ + , (4.25)

gdje je: vdif srednja brzina u difuzoru uzvodno od sapnice. Koeficijent 0.406 za oštrobridni ulaz je potvrđen i teorijom slobodne strujnice i laboratorijskim eksperimentima. Za zaobljene ulaze njegova bi vrijendnost trebala biti manja, oko 0.2. Vrijednost koeficijenta kontrakcije Cc se može dobiti prema teoriji slobodne strujnice i funkcija je omjera promjera kontrahiranog mlaza Dmlaz i promjera sapnice Ds te α koji je definiran kao:

( ) ekontrakcijmlazs LDD 2/tan 1 −= −α (4.26)

Lkontrakcije je dužina kontrahiranog dijela mlaza. 4.2.2.2 Procedura proračuna

Koriste se lijedeće oznake: Ddif - promjer cjevovoda (m), dn - promjer n-te sapnice brojeći od kraja difuzora (m), an - površina presjeka n-te sapnice; un - brzina na izlazu iz n-te sapnice, vn - srednja brzina u cijevi između n-te i (n+1) sapnice; ∆vn = vn – vn-1 - inkrement brzine zbog protoka iz n-te sapnice; hn = ∆pn/γ - razlika u tlačnoj visini između unutrašnjeg i vanjskog dijela difuzora upravo uzvodno od n-te sapnice; En = hn + vn

2/2g - ukupna energija efuenta na mjestu n-te sapnice koji teče difuzorom izražena metrima vodnog stupca; CD - koeficijent protoka za sapnice; qn - protok kroz n-tu sapnicu; hfn - gubitak od trenja između (n+1)-ve i n-te sapnice; Ln - razmak između (n+1)-ve i n-te sapnice; f - Darcy-ev faktor trenja; ∆zn - promjena nadmorske visine između (n+1)-ve i n-te sapnice (mjereno od sredine sapnice); ∆s/s - relativna razlika u specifičnoj težini između ispuštenog efluenta i morske vode. Na početku proračuna treba odabrati brzinu na krajnjoj sapnici u1 u skladu sa potrebama razrjeđenja; tada je q1 za krajnju, odnosno prvu sapnicu počevši od kraja difuzora:

111 auq = (4.27)

104

Koeficijent CD se prema eksperimentalnim podacima kreće oko vrijednosti 0.63 i ta vrijednost će se usvojiti na prvoj sapnici. Tijekom daljnjeg proračuna, CD će se računati prema:

2

0,63 0,582

nD

n

vC

gE= − (4.28)

Kako je protok na mjestu prve sapnice poznat, E1 iznosi:

g

aC

q

ED

2

1

1

1

= (4.29)

Potom se odredi brzina u cijevi:

( ) 2

111

4/ difD

qvv

π=∆= (4.30)

Pomičući se dalje prema sapnici broj 2, odredi se E2:

( ) 1112 / zsshEE f ∆∆++= (4.31)

g

v

D

Lfh

dif

f2

2

111 = (4.32)

222 2gEaCq D= (4.33)

( ) 2

21212

4/ difD

qvvvv

π+=∆+= (4.34)

Ovaj postupak se ponavlja korak po korak prema početku difuzora koristeći opće relacije:

= −

n

n

DEg

vfC

1

2

2

1 , (4.35)

nnDn gEaCq 2= , (4.36)

( ) 24/ dif

n

nD

qv

π=∆ , (4.37)

nnn vvv ∆+= −1 , (4.38)

g

v

D

Lfh n

dif

n

fn2

2

= , (4.39)

( ) nfnnn zsshEE ∆∆++=+ /1 . (4.40)

Predočeni algoritam sa setom jednadžbi (od 4.27 do 4.40) se brzo proračunava koristeći programirano računsko rješenje. Ukoliko se protok na sapnici i brzina u cijevi mijenjaju sporo,

105

opravdano je provesti proračun za male grupe sapnica. U tom slučaju jednadžba (4.37) se mijenja u:

( ) 24/ D

qmv n

nπ

=∆ , (4.41)

gdje je: m broj sapnica u grupi. Kumulativnim zbrajanjem protoka kroz sapnice, od kraja prema početku difuzora, dobiva se ukupni protok na početku difuzora. 4.2.2.3. Odabir sapnica i cijevi

Tijekom proračuna projektant ima slobodu mijenjati promjer cijevi, sapnica i razmak sapnica. Da bi se održala dovoljno velika brzina na kraju difuzora, ponekad je potrebno stupnjevito smanjiti veličinu cijevi od početka prema kraju difuzora. Veličina sapnica može varirati kako bi se održao jednoliki protok od sapnice do sapnice. Razmak među sapnicama je manje fleksibilan, a uobičajeno se usvaja razmak koji je ekvivalentan površini presjeka cijevi i najčešće se kreće u granicama od 5 m do 15 m. Za postizanje odgovarajućeg protoka i brzine tečenja u difuzorskoj cijevi zbroj površina poprečnih presjeka sapnica ne smije biti veći od površine poprečnog presjeka difuzorske cijevi jer bi u protivnome srednja brzina na sapnicama bila manja nego brzina u difuzoru. Prema dosadašnjem iskustvu, pokazalo se da je najbolje koristiti omjer

ukupne površine poprečnih presjeka sapnica i presjeka difuzora u intervalu 3

2

3

1÷=

∑dif

s

A

A (As

površina poprečnog presjeka sapnice u m2, Adif površina poprečnog presjeka difuzorske cijevi u m2). Cijeli proces projektiranja neizostavno zahtijeva ispitivanja i ispravljanje pogrešaka kako bi se postigao zadovoljavajući proračun za razne veličine ukupnog protoka kroz difuzorsku dionicu. Za difuzor položen duž stalne dubine distribucija protoka po sapnicama bi bila ista pri svim razmjerima ispuštanja iz razloga što su svi izrazi za gubitak energije proporcionalni kvadratu brzine. U tom slučaju, kada nema razlike u dubini duž difuzorske dionice, jedan proračun je dovoljan za sve iznose protoka. Nakon definiranja hidrauličkih parametara difuzora provodi se proračun razrjeđenja u području bliske zone. Osim na prethodno prikazani način, proračun se može provesti i sa numeričkim modelom CORMIX, sa formulacijom detaljnije prikazanom u zadnjem poglavlju. Uobičajena je praksa da se razrjeđenja i geometrijska obilježja efluentnog oblaka na kraju blikse zone ili zone tranzicije definiraju sa nekim od navedenih modela. Te vrijednosti se koriste za inicijalizaciju polja efluenta u numeričkim 2D ili 3D modelima sa kojima se provodi daljnja analiza pronosa u području daleke zone. Takvi modeli rješavaju jednadžbe kovektivne disperzije sa ili bez odumiranja efluentnog sadržaja. Ovakvim pristupom se izbjegava vrlo gusta proračunska mreža u 2D ili 3D numeričkim modelima na području bliske zone. U zadnjem poglavlju dan je opis 2D modela sa kojim se mogu rješavati određeni problemi pronosa efluenta sa ili bez odumiranja kroz modelsko rješenje problema konvektivne disperzije. U sklopu ovog poglavlja zbog toga se neće davati posebni komentari na model osim na izbor vrijednosti koeficijenata disperzije.

106

4.3. Koeficijenti disperzije za pronos otopljene ili suspendirane tvari u 2D numeričkim modelima konvektivne disperzije U numeričkim 2D modelima konvektivne disperzije koriste se različite vrijednosti koeficijenata disperzije u longitudinalnom Dx i u transferzalnom Dy smjeru. Odabir vrijednosti tih koeficijenata je između ostalog i u funkciji dubine i brzine strujanja te odabranog prostornog inkrementa numeričkog modela. Disperzija se uobičajeno koristi kao generalni pojam vezan uz male pomake fluidnih čestica a koji ovisi o procesima stohastičke prirode (difuzija) i efektu brzinskog gradijenta (virtuelna posmična naprezanja). Difuzivni proces nije razrješen iako su pioniri njegovog istraživanja Fick (1855) i Taylor (1921) parametrizirali protoke (flukseve) mase otopljene tvari putem molekularnog i turbulentnog kretanja. Oni su pretpostavili da je maseni fluks proporcionalan gradijentu koncentracija sa konstantama proporcionalnosti nazvanim molekularna i turbulentna difuzija. Taylor je 1953. godine proširio tu aproksimaciju i na tokove sa profilima koji imaju izraženi granični sloj u cijelom proticajnom presjeku odnosno za tokove sa kombiniranim efektom konvekcije i difuzije te pripadnim koeficijentom disperzije. Elder je 1959. primjenio Taylor-ovu analizu na plitke tokove u otvorenim koritima kako bi opisao utjecaj vertikalnog gradijenta brzina. Koncept disperzije mase bilo koje supstance u vidu otopine u strujanju može biti protegnut i na druge karakteristike toka. Kako fluktuacije brzine djeluju kao mehanizam pronosa količine gibanja one također omogućuju i disperziju. Filtracije (osrednjavanje) korištene u razvoju jednadžbi količina gibanja i konvektivno disperzivnih jednadžbi pronosa su prikazani u tablici 5.2.

Osnovni proces pronosa Konvekcija kretanje čestica kroz procese obuhvaćene u strujanju sa mjerilom modelskog prostornog inkrementa Disperzija kretanje čestica kroz procese koji su manjeg mjerila od strujanju sa mjerilom modelskog prostornog inkrementa

Granični sloj – prostorni gradijent brzina

Difuzija – molekulatno kretanje i turbulencija

Tablica 4.2 Transport fluidnih čestica Mjerilo 1 – Na razini mjerila 1 ostvaruje se filtriranje slučajnog molekularnog kretanja i to na bazi Newton-ovog zakon molekularne viskoznosti a koji vodi do Fick-ovog zakona.

Mjerilo 2 - Iako je pobuda na molekularnoj razini prisutna i u fluidima u mirovanja, u slučajevima strujanja fluida čestice ostvaruju dodatno slučajno kretanje mnogo jačeg intenziteta i sa izrazito neregularnim trajektorijama. Trenutne vrijednosti brzina i koncentracija otopljene ili suspendirane tvari mogu se predstaviti kao suma osrednjenih vrijednosti u nekom periodu ∆t i trenutne vrijednosti fluktuirajuće komponente. Također je moguće i filtriranje fluktuacija a koje rezultira sa uvođenjem novog člana «virtualnog» naprezanja u jednadžbama količina gibanja odnosno novim članom turbulentne difuzije mase otopljene ili suspendirane tvari u jednadžbama kontinuiteta koncentracije.

107

Mjerilo 3 - Integracijom i osrednjavanjem profila brzina po vertikali (dubini) ostvaruje se naredni korak filtriranja (osrednjavanja) zbog čega dolazi do «pojačanog» širenja analiziranih fizikalnih veličina. Potrebno je uvođenje još jednog novog empiričkog člana a kojim se opisuju dodatna horizontalna naprezanja i disperzija mase otopljene ili suspendirane tvari. Mjerilo 4 - Zbog činjenice da je numerička rezolucija jednadžbi samog numeričkog modela povezana sa prostornom i vremenskom diskretizacijom potrebno je proširiti proces filtriranja (osrednjavanja) i na veće mjerilo strujanja a koje je ovisno o odabiru modelskog prostornih inkremenata ∆x i ∆y. Zbog toga se mora uvesti još jedan empirički član za opis dodatne disperzije. Kao baza za interpretaciju koeficijenata disperzije koristi se Elder-ova formulacija. Za slučaj kanala neograničenog u horizontalnom smjeru lateralna i vertikalna komponenta brzine mogu se zanemariti kao i turbulentna difuzija zbog dominacije disperzivnog procesa usljed nejednolikog profila brzina po vertikali. Uz pretpostavku Von Karmanovog logaritamskog profila brzina Elder je (1959) izveo izraz za procjenu koeficijenta disperzije u longitudinalnom smjeru:

Dx = 5,9 h *u (4.42)

gdje je h dubina a u* posmična brzina. Ukoliko se koristi 2D horizontalna modelska prostorna diskretizacija sa inkrementima ∆x, ∆y, koji su približno jednaki ili manji od dubine h, prihvatljiva je upotreba izraza 5.52 za proračun i usvajanje vrijednosti longitudinalnog koeficijenata disperzije u 2D numeričkim modelima pronosa. Obzirom da je odnos vertikalno

osrednjenih brzina u (ili v ) i posmičnih brzina *u ≈ 0,1*u uobičajena je i procjena Dx = u *h.

Lateralni koeficijent disperzijzije uobičajeno se usvaja sa vrijednosti reda veličine manjom Dy = 0,1 Dx.

108

4.4. Modeli „bliske zone“ Prikazani su komparativni rezultati istraživanja širenja oblaka efluenta nastalog radom podmorskih ispusta sustava javne odvodnje sa dvije različite metodologije. Prva metodologija bazirana je na eksplicitnim izrazima prema Fischer-u a druga metodologija je implementacija numeričkog modela CORMIX. Uspoređivane su proračunate vrijednosti razrjeđenja efluenta na kraju bliske zone, neposredno prije prelaska oblaka efluenta u zonu stabilne tranzicije. Uvjeti upuštanja efluenta u more iz 20 analiziranih podmorskih ispusta, planiranih za izvedbu u sklopu Jadranskog projekta, definirani su provedbom jednostavnog hidrauličkog proračuna difuzora. Parametri fizikalne oceanografije potrebni za provedbu proračuna, vrijednosti brzina strujanja morskog recipijenta i vertikalni profili gustoća u karakterističnom zimskom i ljetnom periodu, dobiveni su temeljem provedbe Programa praćenja stanja Jadranskog mora 2007/09. 4.4.1. Analizirani podmorski ispusti i parametri fizikalne oceanografije Analizirano je 20 podmorskih ispusta sustava javne odvodnje planiranih za izvedbu tijekom provedbe Jadranskog projekta. U tablici 4.3 dane su osnovne hidrauličke karakteristike svakog od podmorskih ispusta odnosno pripadnog difuzora. Preliminarna hidraulička analiza kojom se odredila duljina svakog pojedinog difuzora podmorskog ispusta Ldif sa odgovarajućim brojem sapnica provedena je prema proračunskom postupku detaljnije objašnjenom u prethodnom poglavlju. U proračunu svih analiziranih difuzora usvojena je preporučena brzina istjecanja kroz otvore sapnica ≈2,5m/s. Usvojena vrijednost protoka kroz cijev pojedinog podmorskog ispusta Q

referencirana je na maksimalni satni protok pripadnog sustava javne odvodnje Q=Qsmax.sat. Nadalje, promjer sapnica je konstantan za sve provedene proračune i usvojen je sa vrijednosšću 0,1m. U tablici 4.3 dane su i dubine na kojima se predviđa polaganje difuzorskih dionica podmorskih ispusta. Za provedbu proračuna razrjeđenja u području bliske zone potrebno je poznavanje vertikalne distribucije gustoća mora ρm(z). U proračunu su korištene izmjerene vrijednosti profili gustoća tijekom provedbe Programa praćenja stanja Jadranskog mora u sklopu Jadranskog projekta. Na slici 4.13 dan je primjer izmjerenih vertikala σt (ρm=1000+σt) u blizini planiranih pozicija difuzora podmorskih ispusta sustava javne odvodnje Rijeka, Malinska-Njivice, Rabac, Crikvenica i linearnih aprokismacija od dna do dubine -10m. Mjerenja su provedena 30.6.2008. Proračuna razrjeđenja u području bliske zone potrebuje i poznavanje vertikalnih profila brzina V(z) na planiranim pozicijama difuzora podmorskih ispusta. Odgovarajuće vrijednosti dobivene su numeričkim modeliranjem hidrodinamike sa 3D numeričkim modelima. Modelske usrednjene brzine strujanja od dna do dubine -20m tijekom karakterističnog zimskog perioda V(dno-20m)ZIMA (13.2.08.-13.3.08.) i ljetnog perioda V(dno-20m)LJETO (16.7.08.-16.8.08.) na planiranim pozicijama difuzora podmorskih ispusta također su dane u tablici 4.3.

109

Slika 4.13 Prikaz izmjerenih vertikala σσσσt (ρρρρm=1000+σσσσt) u blizini planiranih pozicija difuzora podmorskih ispusta sustava javne odvodnje Rijeka, Malinska-Njivice, Rabac, Crikvenica i linearnih aprokismacija od dna do dubine -10m

Qmax.sat. Ldif. V(dno-20m) ZIMA V(dno-20m) LJETO ddif.

ISPUST (l/s) (m) (m/s) (m/s) (m)

1 Novigrad 220 165 0.048 0.047 -24 2 Poreč sjever 380 156 0.052 0.056 -24 3 Rovinj sjever 67 130 0.073 0.076 -30 4 Rovinj jug 340 153 0.066 0.063 -30 5 Pula sjever 277 153 0.064 0.072 -25 6 Rabac 220 110 0.025 0.025 -45 7 Rijeka 3300 250 0.044 0.038 -40 8 Malinska-Njivice 233 108 0.054 0.044 -33 9 Crikvenica 200 150 0.074 0.066 -37 10 Vodice 267 128 0.058 0.065 -55 11 Sukošan-Bibinje 90 108 0.034 0.041 -28 12 Biograd na moru 333 153 0.036 0.054 -30 13 Pirovac-Tisno-Jezera 138 140 0.034 0.073 -40 14 Rogoznica 67 130 0.069 0.079 -65 15 Brač-Supetar 80 96 0.041 0.059 -40 16 Hvar 100 100 0.071 0.049 -45 17 Starigrad 167 130 0.035 0.031 -35 18 Makarska 333 153 0.043 0.044 -40 19 Ploče 136 140 0.073 0.062 -28 20 Cavtat 100 100 0.052 0.048 -50

Tablica 4.3 Usvojene vrijednosti protoka kroz cijevi podmorskih ispusta, dubine polaganja difuzora i srednje modelske brzine strujanja od dna do dubine -20m tijekom ljetnog i zimskog perioda Qsat.max: maksimalna satni protok u cijevi podmorskog ispusta sustava javne odvodnje; Ldif: duljina difuzorske dionice podmorskog ispusta; V(dno-20m) ZIMA : brzina strujanja mora vertikalno usrednjena od dna do dubine -20m tijekom zimskog perioda na poziciji difuzora; V(dno-20m) LJETO : brzina strujanja mora vertikalno usrednjena od dna do dubine -20m tijekom ljetnog perioda na poziciji difuzora

110

4.4.2. Usporedba rezultata prema korištenim metodologijama U tablici 4.4 dan je prikaz proračunatih razrjeđenja na kraju bliske zone dobivenih temeljem korištenih metodologija. Oznaka met. 1a odnosi se na rezultate provedene analize razrjeđenja za slučaj dvodimenzionalnog uzgonskog oblaka odnosno kontinuiranog upuštanja po cijeloj duljini difuzora (Fischer). Oznaka met. 1b odnosi se na rezultate provedene analize razrjeđenja također prema Fischer-ovoj metodologiji no za slučaj upuštanja iz jednog kružnog otvora (vertikalno postavljena sapnica). Oznaka met. 2 odnosi se na rezultate provedene analize razrjeđenja sa modelom CORMIX. Kako se iz rezultata može primjetiti najizraženije razlike pojavljuju se u slučaju odsustva stratifikacije (zimski period) i to između metodologije 1a i ostalik metodologija. Naime, u zimskom periodu nema stratifikacije a efluentni uzgonski oblak odiže se do morske površine. Tada utjecaj brzine strujanja recipijenta na razrjeđenje postaje još izraženiji budući da se povećanjem dubine povećava i vrijeme u kojem je uzgonski mlaz izložen utjecaju recipijentnog strujanja.

SBZ-nestrat. - ZIMA SBZ-strat. - LJETO

ISPUST met. 1a met. 1b met. 2 met. 1a met. 1b met. 2

1 Novigrad 491 157 141 155 84 180 2 Poreč sjever 325 120 111 220 72 135 3 Rovinj sjever 312 112 103 118 88 140 4 Rovinj jug 1159 561 513 167 62 219 5 Pula sjever 416 195 173 85 154 96 6 Rabac 705 450 802 128 78 162 7 Rijeka 168 157 158 57 47 79 8 Malinska-Njivice 491 225 210 114 68 137 9 Crikvenica 757 324 287 120 61 122 10 Vodice 832 704 788 220 163 417 11 Sukošan-Bibinje 782 322 291 283 174 442 12 Biograd na moru 441 235 203 115 214 147 13 Pirovac-Tisno-Jezera 998 591 524 190 113 269 14 Rogoznica 2501 2028 2378 450 298 616 15 Brač-Supetar 2291 1356 1264 521 326 675 16 Hvar 1114 711 638 247 158 389 17 Starigrad 733 393 352 134 76 168 18 Makarska 589 368 326 146 95 205 19 Ploče 706 329 291 129 70 157 20 Cavtat 1108 707 634 302 203 512

Tablica 4.4 Razrjeđenja na kraju bliske zone dobivena temeljem metodologija prema Fischer-u i upotrebom modela CORMIX za karakteristični „zimski“ termin (13.3.2008.) i „ljetni“ termin (30.6.2008.) Prosječna vrijednost razrjeđenja prema metodologiji 1a otprilike je dvostruko veća od prosječnih vrijednosti preostalih metodologija. Zbog toga se primjena te metodologije ipak može promatrati kao previše „optimistična“ a što je komentirano i u radovima autora Akar, Wood, Pun. Tijekom ljetnog perioda situacija je izmjenjena pa prosječna vrijednost razrjeđenja prema metodologiji 1a veća je samo od prosječnih vrijednosti razrjeđenja prema metodologiji 1b i to za 50% dok je u odnosu na prosječne vrijednosti razrjeđenja prema metodologijama 2 i 3 umanjena za 20%. Obzirom da se modelom CORMIX usvaja najmanje restriktivnih predpostavki, te da se njime obuhvaća najveći broj relevantnih utjecaja projektnog rješenja difuzora i stanja recipijenta, rezultati razrjeđenja dobiveni upotrebom tog modela ipak se mogu usvojiti kao pouzdaniji.

111

4.5. Modeli „daleke zone“ Prostorna domena numeričkog modela diskretizirana je sa strukturiranom mrežom konačnih diferencija sa ekvidistantnim koracima ∆x = 1m i ∆y = 1m u x i y smjeru (slika 4.14). Kanal je širine B=100m i ukupne duljine 550m. Dubine u kanalu su jednolike i iznose h = 5m. Efluent se unosi u jednom numeričkom čvoru u simetrali kanala. Analiziraju se sljedeći slučajevi: a) „Trenutni“ unos nerazgradivog (traserkog) efluenta sa protokom unosa Q = 1m3/s tijekom

60s. Vertikalno osrednjene brzine strujanja u modelskom kanalu su V=0,1 m/s. b) „Trenutni“ unos nerazgradivog (traserkog) efluenta sa protokom unosa Q = 1m3/s tijekom

60s. Vertikalno osrednjene brzine strujanja u modelskom kanalu su V=0,2 m/s. c) Kontinuirani unos nerazgradivog (traserkog) efluenta sa protokom unosa Q =1m3/s. Vertikalno

osrednjene brzine strujanja u modelskom kanalu su V=0,1 m/s. d) Kontinuirani unos nerazgradivog (traserkog) efluenta sa protokom unosa Q =1m3/s. Vertikalno

osrednjene brzine strujanja u modelskom kanalu su V=0,2 m/s. U ovom modelu korišteno je dno pod nagibom a na lijevoj i desnoj tekućoj granici modela korišten je rubni uvjet definiran sa stacionarnim razinama vodnog lica. Za postizanje jednolikih i stacionarnih uvijeta tečenja uzduž kanala na desnoj otvorenoj granici postavljena je razina vodnog lica niže nego na lijevoj otvorenoj granici za 0,001m i 0,005m a kako bi se ostvarile vertikalno osrednjene brzine strujanja od V=0,1 m/s i V=0,2 m/s. Razlika razina vodnog lica na lijevoj i desnoj otvorenoj granici odgovara denivelaciji dna kanala između „ulaznog“ i „izlaznog“ presjeka. Doduše, razine vodnog lica na lijevoj i desnoj otvorenoj granici inicijalno su jednake a nakon početka simulacije linearno se smanjuju razine vodnog lica na desnoj otvorenoj granici od vrijednosti 0 do konačnih vrijednosti -0,001m i 0,005m. Vremenski korak numeričke simulacije je ∆t = 0.1s. Korišten je Manningov koeficijent hrapavosti n = 0,3. Usvojena konstanta Smagorinsky formulacije u tretmanu viskoznosti je 0,5. Usvojeni koeficijenti disperzije su Dx = 0,5 i Dy = 0,05 u slučaju strujanja sa vertikalno osrednjenom brzinom od 10 cm/s, odnosno Dx = 1 i Dy = 0,1 u slučaju strujanja sa vertikalno osrednjenom brzinom od 20 cm/s. Pri formulaciji unosa efluenta korištena je bezdimenzionalna koncentracija c0 = 1000. Na slikama 4.14-4.16 prikazana su polja vertikalno osrednjenih koncentracija efluenta za analizirane slučajeve. Rubna koncentracija koja odjeljuje oblak zagađenja od okolnog recipijenta je 0,001. Analitičko rješenje 2D konvektivno–disperzivne jednadžbe u jednolikom polju brzina u=(u,v=0) za slučaj trenutnog unosa nerazgradivog (traserskog) efluenta glasi:

( )( )( ) ( )

−−

−−−=

tD

yy

tD

Vtxx

DD

h

cQt

yxcyxyx

unosa

44exp

4,

2

0

2

0

0

π (4.43)

gdje je: x0,y0 koordinate inicijalnog unosa efluenta; tunosa period upuštanja sa protokom unosa Q.

112

Slika 4.14 Polja vertikalno osrednjenih koncentracija efluenta za slučaj trenutnog unosa pri vertikalno osrednjenim brzinama strujanja od 10cm/s

113

Slika 4.15 Polja vertikalno osrednjenih koncentracija efluenta za slučaj trenutnog unosa pri vertikalno osrednjenim brzinama strujanja od 20cm/s

Slika 4.16 Stacionarna polja vertikalno osrednjenih koncentracija efluenta za slučaj kontinuiranog unosa vertikalno osrednjenim brzinama strujanja od 10cm/s (gore) i 20cm/s (dolje)

114

4.6. Analitička rješenja

115

116

117

118

119

5. MODELI TEČENJA U STIJENAMA MEĐUZRNSKE POROZNOSTI

5.1. Uvod Za uspješnu eksploataciju podzemnih voda potrebno je poznavati podzemne tokove i mehanizam pronosa u njima, uključujući reakcije tekućina i otopljenih tvari. Jedan od alata pomoću kojih se to može riješiti je uspostava modela kojim se simuliraju tokovi podzemnih voda te se analizira pronos otopljene ili suspendirane tvari. Numerički modeli razvijaju se od sredine 1960-ih. Razvoj modela za simuliranje toka podzemnih voda pomoću numeričkih modela odvija se usporedno sa razvojem i poboljšanjem performansi i mogućnosti računala. U ovom poglavlju obrađuju se osnove modeliranja strujanja i pronosa sa naglaskom na nereaktivne otopljene tvari (bez fenomenologije pronosa višefaznih tekućina) temeljem determinističkog pristupa. Riječ model ima puno definicija koje opisuju njeno značenje i toliko je često u upotrebi da je ponekad teško razaznati njeno značenje. Model je možda najjednostavnije definirati kao približan prikaz stvarnog sustava ili procesa. Konceptualni model je hipotetski prikaz načina na koji neki sustav ili proces djeluju. Ta hipoteza kvantitativno se može prikazati kao matematički model. Matematički modeli na apstraktan način prikazuju procese kroz jednadžbe, a fizička svojstva kroz konstante ili koeficijente. Karakterizacija stanja ili njihov potencijal u sustavu se predstavljaju kao varijable. Većina modela za analizu strujanja podzemnih voda, koji su danas u upotrebi, su determinističkog matematičkog karaktera. Deterministički modeli se temelje na zakonu očuvanja mase, količine gibanja i energije te prikazuju uzročno-posljedične veze. Temeljna pretpostavka je da se sa visoki stupanj razumijevanja o procesima koji djelovanjem u sustavu te je moguće unaprijed odrediti reakcije sustava na bilo koji skup djelovanja Deterministički modeli strujanja podzemnih voda uglavnom potrebuju rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Točna rješenja dobivaju se analitičkim rješavanjem no analitički modeli zahtijevaju visok stupanj idealizacije parametara i rubnih uvjeta. Heterogenost ili raznolikost svojstava vodonosnika predstavlja važnu značajku i osnovna je karakteristika svih geoloških sustava. Stoga je uobičajeno koristiti modele sa prostorno i/ ili vremenski varijabilnim parametrima koji omogućavaju vjerniji prikaz realne sredine. Numeričke metode rješavanja jednadžbi procesa daju približna rješenja kroz prostornu i vremensku diskretizaciju. U okvirima modelske diskretizirane promatrane domene promjenjiva svojstva te granice i djelovanja vezana za hidrogeološki sustav su dane kao pretpostavljene vrijednosti Broj i oblik jednadžbi koje se rješavaju određuje se temeljem poznavanja dominantnih procesa. Koeficijenti u jednadžbama su pokazatelji svojstava, rubnih uvjeta i djelovanja na promatrani sustav. Zavisne varijable u jednadžbama su pokazatelji stanja sustava i matematički su određene rješenjem jednadžbi. Kada se numerički algoritam prikazan u računalnom kodu upotrijebi za rješavanje jedne ili više parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, rezultirajući računalni kod može se smatrati generičkim modelom. Kada se dimenzije disketizacione mreže, rubni uvjeti i koeficijenti filtracije odnose na određeno geografsko područje, tada se dobiva karakteristikni

120

model područja. Sposobnost generičkih modela za točno rješavanje jednadžbi procesa se u pravilu verificira kroz primjenu na pojednostavljenim problemima. Ta sposobnost ne uvjetuje jednaku točnost kada se isti model primjeni na problem sa složenijom problematikom. Ako korisnik modela nije svjestan ili zanemaruje detalje vezane uz numeričke metode, (uključujući i aproksimacije), način diskretizacije i tehnike rješavanja rezultirajućih matrica, mogu se javiti značajne greške i kao takve ostati nezamijećene.

Procesi toka podzemnih voda se uglavnom opisuju jednadžbama procesa opisanim Darcy-evim zakonom i zakonom održanja mase (jednadžba kontinuiteta). Međutim Darcy-ev zakon ima ograničenja koja se moraju uzeti u obzir kod modeliranja. Cilj modela kojim se simulira pronos tvari podzemnim vodama je da se u konačnici može dobiti informacija o koncentraciji otopljenih tvari u sustavu podzemnih voda na bilo kojem mjestu u bilo kojem vremenskom trenutku. Teoretske postavke jednadžbama kojima se opisuje pronos tvari vrlo su dobro opisane u literaturi (Bear, Domenico i Schwartz). Promjene koncentracije u dinamičnim sustavima strujanja podzemnih voda očituju se kroz četiri procesa: konvekcija, (u kojoj se otopljena tvar pronosi samim strujanjem podzemne vode), molekularna difuzija, (u kojoj se otopljena tvar pronosi zbog razlike u koncentraciji otopljene tvari u mediju), hidrodinamička disperzija (kao mehanički proces širenja u mediju) i reakcije (određena otopljena tvar može se povećati ili smanjiti uslijed djelovanja kemijskih, bioloških i fizikalnih reakcija vode i u njoj otopljenih tvari). Realnu okolinu u kojoj se odvija strujanje podzemnih voda sačinjava kompleksna, trodimenzionalna, heterogena hidrogeološka sredina. Takva varijabilnost uvelike utječe na tok podzemne vode, kao i na pronos tvari. Takva sredina se može točnije opisati samo kroz pažljiva hidrogeološka terenska ispitivanja. Bez obzira na količinu podataka kojom se raspolaže, uvijek postoji određena vjerojatnost uvođenja greške u opisu rubnih uvjeta i ostalih obilježja podzemnih sustava. Stohastički pristup u prikazu i opisu potpovršinskih stijenskih sustava pokazao je prednost u opisivanju njegovih heterogenih karakteristika.

121

5.2. Jednadžbe procesa Matematičke jednadžbe kojim a se opisuje tok podzemnih voda, kao i procesi pronosa mogu se izvesti iz temeljnih zakona o održanju mase. Gledano kroz reprezentativni elementarni volumen (REV) porozne sredine, osnovna jednadžba očuvanja mase unutar tog volumena može se izraziti kao: masa koja ulazi u REV – masa koja izlazi iz REV + proizvodnja/ potrošnje mase = masa koja

ostaje akumulirana unutar REV (5.1) Zakon o održanju mase ( jednadžba kontinuiteta ) može se kombinirati sa drugim matematičkim izrazima procesa za potrebe dobivanja diferencijalnih toka podzemnih voda i pronosa u njima. Strujanje vode kroz poroznu sredinu (sa međuzrnskom poroznošću) povezano je sa svojstvima vode, svojstvima porozne sredine i razlikom potencijala, što se može prikazati Darcy-evim zakonom kao:

j

ijix

hKq

∂

∂−= (5.2)

gdje je: qi specifični protok; Kij koeficijent filtracije porozne sredine (tenzor drugog reda); h potencijal i xj su koordinate u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Opći oblik jednadžbe koja opisuje tok blago stišljivog fluida u nehomogenom anizotropnom vodonosniku može se dobiti kombiniranjem Darcy- evog zakona sa jednadžbom kontinuiteta. Opći oblik jednadžbe strujanja može biti napisan u obliku Kartezijevog tenzora:

*W

t

hS

x

hK

xs

j

ij

i

+∂

∂=

∂

∂

∂

∂ (5.3)

gdje je: SS specifično uskladištenje; t vrijeme; W* volumetrijski protok po jedinici volumena (pozitivan je za istjecanje, a negativan za utjecanje). Jednadžba 5.3 općenito se može primijeniti ukoliko prevladavaju izotermalni uvjeti, ako se porozna sredina deformira samo u vertikalnom smjeru, ako voluman pojedinih čestica sredine ostaje konstantan tokom deformacije, ako se može primijeniti Darcy-ev zakon (razlika u potencijalima je jedina pokretačka sila) te ako su karakteristike fluida (gustoća i viskoznost) homogene i konstantne veličine. Karakteristike vodonosnika mogu prostorno varirati, a volumetrijski protok (W*) može varirati u vremenu i prostoru. Ako je vodonosnik relativno tanak u odnosu na lateralno (horizontalno) prostiranje, moguće je pretpostaviti da se strujanje odvija u dvije dimenzije. Ova pretpostavka omogućava da se trodimenzionalna jednadžba toka zamijeni na dvodimenzionalno prostorno strujanje , za koje je moguće uvesti niz pojednostavljenja. Pojednostavljenja se očituju u tome što zahtjevi za podacima nisu toliko rigorozni, potrebno je manje računalne memorije za izračunavanje, kao i kraće vrijeme za dobivanje numeričkih rješenja.

122

Jednadžba kojom se opisuje dvodimenzionalno prostorno strujanje homogenog fluida u vodonosniku pod tlakom slična je jednadžbi 5.3, a glasi:

Wt

hS

x

hT

x j

ij

i

+∂

∂=

∂

∂

∂

∂ (5.4)

gdje je: Tij transmisivnost; Tij= Kijb; b debljina zasićenog vodonosnika; S koeficijent uskladištenja; W= W*b volumenski protok po jedinici površine. Kada se jednadžba 5.4 primjeni na vodonosnik s slobodnim vodnim licem, podrazumjeva se usvajanje pretpostavke o horizontalnom tečenju pri čemu su ekvipotencijalne linije vertikale, a horizontalni hidraulički gradijent je jednak padu vodnog lica. Nadalje, koeficijent uskladištenja jednak je specifičnom prinosu Sy koji je definiran kao odnos količine procijeđene vode i ukupnog volumena čvrste tvari. Treba naglasiti da se u vodonosniku sa slobodnim vodnim licem debljina zasićenog sloja mijenja sa promjenom razine slobodnog vodnog lica. Stoga se i transmisivnost može mijenjati u prostoru i vremenu (npr., Tij= Kijb, gdje je b(x,y,t)= h- hb, hb je visina dna vodonosnika). Članovi vektorskog produkta tenzora koeficijenata filtracije nestaju kada se koordinatne osi poklope sa glavnim koordinatnim osima tenzora; to znači da je Kij= 0 kada je ji ≠ . Prema tome,

jedini članovi tenzora koeficijenta filtracije koji imaju vrijednost različitu od nule su Kxx i Kyy. Pod ovom pretpostavkom, jednadžba 4 može se pojednostaviti na slijedeći način i to za dvodimenzionalni tok:

Wt

hS

x

hT

yx

hT

x y

yy

x

xx +∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ (5.5)

U nekim slučajevima, svojstva fluida, kao što su gustoća i viskoznost, mogu značajno varirati u vremenu ili prostoru. To se može očekivati na mjestima značajne promjene temperature ili koncentracije otopljenih čestica. Kada fluid ima heterogena i/ ili prijelazna svojstva, tada poveznice između razina vode, hidrauličkih tlakova i brzina toka neće biti toliko jasne. U takvim slučajevima nije ni moguće rješavati jednadžbu podzemnog toka u okvirima potencijala, pa se jednadžba toka piše i rješava u okvirima tlaka tekućine, gustoće tekućine i unutarnje propusnosti porozne sredine kao:

( )p

jj

ij

i

p Qx

zg

x

pk

xt

p

t

pS =

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂ρ

µ

ρω

ωερ 0 (5.6)

gdje je S0 specifično uskladištenje pod tlakom; ρ gustoća fluida; p tlak tekućine; Qp maseni

ponor ili izvor; kij propusnost unutar porozne sredine (tenzor drugog reda) ; µ dinamička

viskoznost fluida; g ubrzanje sile teže i ω udio utopljene tvari. Specifično uskladištenje pod

tlakom povezano je sa specifičnim koeficijentom uskladištenja kao ps SgS 0ρ= .

Strujanje podzemnih voda glavni je uzrok transporta i miješanja kemikalija otopljenih u podzemnoj vodi. Specifični protok izračunat u jednadžbi 2 ponekad se naziva Darcy-eva brzina.

123

Međutim takav naziv može navesti na krivi trag, budući da qi ne predstavlja stvarnu brzinu gibanja vode. qi predstavlja volumetrijski protok po jedinici površine poprečnog presjeka, a da bi se izračunala stvarna brzina procjeđivanja potrebno je, specifični protok podijeliti sa efektivnom poroznošću karakterističnom za promatranu poroznu sredinu, ε :

j

iji

ix

hKqV

∂

∂−==

εε (5.7)

gdje je: Vi stvarna brzina procjeđivanja. Za protok fluida različitih gustoća, stvarna brzina je dana kao:

∂

∂+

∂

∂

−=

jj

ij

ix

zg

x

pkV ρ

µ

ερ (5.8)

Jednadžba koja opisuje pronos i disperziju otopljenih tvari u toku podzemnih voda može se dobiti iz jednadžbe kontinuiteta i to da se u obzir uzmu svi utjecaji na reprezentativni elementarni volumen, kako je to opisao Bear. Poopćeni izraz jednadžbe pronosa prema u kojoj članovi predstavljaju kemijske reakcije i količinu otopljene tvari glasi (Grove):

( ) ( ) KEMWCCVxx

CD

xt

Ci

ij

ij

i

+−∂

∂−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ **εεε

(5.9)

pri čemu je KEM jedna od slijedećih reakcija:

t

Cb

∂

∂−

−

ρ za kontroliranu ravnotežnu linearnu sorpciju ili reakciju izmjene iona, ∑=

s

k

kR1

za

reakcije ovisne o brzini promjene,

+−

−

CC bρελ za raspadanje.

gdje je: C volumetrijska koncentracija (masa otopljene tvari po jedinici volumena tekućine); Dij koeficijent hidrodinamičke disperzije (tenzor drugog reda); C* koncentracija otopljene tvari u

izvoru ponoru; −

C koncentracija otopljen tvari adsorbirane na čvrstoj fazi; bρ „bulk“ gustoća

čvrste tvari; kR proizvodnja otopljene tvari u reakciji; λ vrijeme poluraspada. Za slučajeve

fluida sa varijabilnom gustoćom, ali bez utjecaja reakcija jednadžba pronosa može se izraziti kao:

( ) ( )ωωω

ερω

ερω

ερ −+∂

∂−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ *

p

i

i

j

ij

i

Qx

Vx

Dxt

(5.10)

Prvi članovi na desnoj strani jednadžbe 5.9 i 5.10 pokazuju promjenu koncentracije pod utjecajem hidrodinamičke disperzije. Taj je izraz analogan je prvom Fickovom zakonu. Fickov, model pretpostavlja da je širenje potaknuto razlikom u koncentraciji i da se disperzivni tok

124

odvija u smjeru veće koncentracije prema manjoj. Koeficijent hidrodinamičke disperzije Dij definiran je kao suma mehaničke disperzije i molekularne difuzije:

*D

V

VVD nm

ijmnij += α i, j, m, n = 1,2,3 (5.11)

gdje je: ijmnα disperzivnost porozne sredine (tenzor četvrtog reda); Vm i Vn komponente stvarne

brzine fluida u m i n smjerovima; D* efektivni koeficijent molekularne difuzije; V apsolutna

vrijednost vektora brzine, ( 222

zyx VVVV ++= ).

Mehaničku disperziju treba gledati kao funkciju unutarnjih obilježja porozne sredine, kao na primjer, heterogenost koeficijenta filtracije i poroznosti. Molekularna difuzija u poroznoj sredini razlikovati ce se od one u tekućini koji nije u poroznoj sredini zbog utjecaja krivudavih strujnih cijevi kojima je uzrok sama struktura porozne sredine. Disperzivnost izotropne porozne sredine može se definirati dvjema konstantama. Te su konstante

longitudinalna disperzivnost Lα i transverzalna disperzivnost Tα porozne sredine. Te konstante

povezane su sa koeficijentom longitudinalne i transverzalne disperzije kao VD LL α= i

VD TT α= . Na ovoj konvencionalnoj formulaciji bazira se većina provedenih modela pronosa

zagađivala tokom podzemnih voda, čak i u slučajevima kada se koeficijent filtracije uzima kao anizotropan, usprkos konceptualnoj nedosljednosti. Međutim neki modeli imaju veću

profinjenost u tom pogledu, budući da dopuštaju promjenu u smjeru Lα i Tα (Voss i Provost).

Disperzivnost koja ovisi o smjeru tečenja je doduše uspješno poopćenje klasičnog načina kojim je opisana disperzivnost. Na primjer, moguće je očekivati da tok paralelan sa slojevima u uslojenoj sredini i tok okomit na slojeve neće imati istu longitudinalnu disperzivnost.

U konvencionalnoj teoriji se Lα prikazuje kao jedno od svojstava vodonosnika. U praksi se

pokazalo da je Lα ovisan i proporcionalan o mjerilu. Većina mjerenih rezultata za Lα nalazi se

u okvirima od 0.01 do 1.0 puta karakteristično mjerilo, premda omjer Lα prema mjerilu ima

tendenciju opadanja za krupnija mjerila. Ako disperziju promatramo u krupnijem mjerilu (makroskopska disperzija) vidimo da kao takva ima velike razlike u prostornim hidrauličkim svojstvima. To rezultira time da se izbjegava koristiti relativno velike vrijednosti disperzije u kombinaciji sa jednolikim hidrauličkim svojstvima (Kij i ε ) korištenim u opisu pronosa kroz podzemne sustavime. Ovisnost disperzije o mjerilu može se djelomično objasniti i greškom unutar modela, budući da se disperzivnost postupno povećava u slučaju kada se pomoću (n - 1) dimenzionalnog modela pokušava opisati n- dimenzionalni sustav. Nadalje, ako se u modelu koriste srednje vrijednosti, a sustav karakteriziraju promjenjivi koeficijenti filtracije, model može prikazivati veće vrijednosti koeficijenata disperzije od stvarnih vrijednosti. Slično tome, ako se nestacionarno polje tečenja prikaže pomoću polja stacionarnog tečenja, sustavno se zanemaruju neke varijabilnosti brzina, a što se treba nadoknaditi upotrebom povećanih vrijednosti disperzije (uglavnom transverzalne disperzije). Važno je napomenuti da što je točniji modelski prikaz raspodjele stvarnih brzina u prostoru i vremenu, umanjuje probleme kod opisivanja procesa disperzije.

125

Matematički modeli pronosa otopljene tvari temelje se na najmanje dvije parcijalne diferencijalne jednadžbe. Jednadžbi strujanja, kojom se dobivaju brzine podzemnog toka i jednadžbi pronosa kojom se dobivaju koncentracije tvari otopljene u podzemnim vodama. Ako su svojstva vode, zbog koncentracije otopljene tvari, znatno promijenjena, tada se jednadžbe strujanja i pronosa trebaju rješavati simultano ili makar iterativno. Za takve probleme sa promjenjivom gustoćom, jednadžbe strujanja i pronosa moraju biti povezane funkcijskom vezom između koncentracije i gustoće tekućine. Ako je problematika pronosa takva da svojstva tekućine zadržavaju konstantne vrijednosti, jednadžbe se mogu rješavati nezavisno, što je numerički jednostavnije.

126

5.3. Numeričke metode rješavanja jednadžbi procesa Parcijalne diferencijalne jednadžbe kojima se opisuju tok podzemnih voda i pronos mogu se rješavati analitički ili numerički. Prednosti analitičkog načina rješavanja i rješenja, ukoliko ih je moguće koristiti, su to što se uglavnom dobivaju točna rješenja jednadžbi procesa. Mnoga analitička rješenja jednadžbe strujanja imaju ograničenja kod 1D i 2D problema kojima se prikazuje odnos toka rijeke i vodonosnika. Poznata Theis- ova krivulja predstavlja rješenja jednog takvog analitičkog modela. Analitičke metoda rješavanja su također dostupne za rješavanje problema pronosa otopljenih tvari. Dobivanje točnih analitičkih rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi zahtjeva da se karakteristike i rubni uvjeti sustava znatno idealiziraju. Matematička korist od dobivanja točnih analitičkih rješenja zna biti nadmašena greškama koje se uvode zbog pojednostavljivanja pretpostavki koje su potrebne da bi se došlo do analitičkog rješenja. Za probleme gdje pojednostavljeni analitički modeli ne mogu dovoljno dobro opisati fizičke karakteristike analizirane sredine parcijalne diferencijale jednadžbe strujanja i pronosa se mogu rješavati numerički. U tom slučaju se kontinuirane varijable zamjenjuju diskretnim varijablama definiranim po prostornoj mreži. Time se kontinuirane diferencijale jednadžbe, kojima se definiraju potencijali ili koncentracija otopljene tvari na cijelom podzemnom sustavu, zamjenjuju konačnim brojem algebarskih jednadžbi za definiranje potencijala i koncentracija u određenim točkama. Takav sustav algebarskih jednadžbi uglavnom se rješava matrično u sklopu formiranog numeričkog modela. Postoje dvije najznačajnije metode koje se koriste kod numeričkog rješavanja problema podzemnog toka. Te metode su metoda konačnih diferencija i metoda konačnih elemenata. Obje ove metode zahtijevaju da se područje od interesa podjeli mrežom na manja potpodručja (ćelije ili elemente) koji su u vezi sa čvornim točkama (u centru ili na rubovima potpodručja). Pored metode konačnih diferencija i metode konačnih elemenata, metoda rubnih elemenata i analitička metoda se također mogu primijeniti kod rješavanja jednadžbi procesa. Osnovna prednost ovih metoda je u tome što za homogeno područje one mogu ponuditi točnija rješenja bez diskretizacije prostora. Metoda konačnih diferencija aproksimira odgovarajuću derivaciju parcijalne diferncijalne jednadžbe (razlika vrijednosti nezavisnih varijabli u susjednim čvorovima sa uvažavanjem udaljenosti između čvorova u dva uzastopna vremenska trenutka i sa uvažavanjem vremenskog koraka između njih). U metodi konačnih elemenata pretpostavljaju se funkcije zavisnih varijabli i parametara za procjenu odgovarajuće integralne formulacije diferencijalnih jednandžbi. Huyakorn i Pinder prikazali su vrlo opsežnu analizu primjene metode konačnih elemenata u rješavanju problema strujanja podzemnih voda. U oba numerička pristupa diskretizacija vremena i prostora dozvoljava da se neprekinuti granični problemi u rješavanju parcijalne diferencijalne jednadžbe zamijenjene rješenjem skupa algebarskih jednadžbi. Ove se jednadžbe tada mogu riješiti iterativno ili direktno pomoću matričnog sustava. Svaka ovdje opisana metoda ima prednosti i mane, ali samo za nekolicinu problema podzemnog toka se može reći da je jedna metoda bolja od druge. Općenito su metode konačnih diferencija lakše za programiranje i tipično su izvedene za relativno jednostavne ortogonalne mreže čime je olakšan unos i podataka. Metode konačnih elemenata uglavnom zahtijevaju upotrebu više sofisticiranih matematičkih aparata, ali za neke problema mogu dati točnija numerička rješenja od standardne metode konačnih diferencija. Velika prednost metode konačnih elemenata je

127

fleksibilnost kod definiranja mreže konačnih elemenata, čime se omogućava dobra prostorna aproksimacija nepravilnih rubnih uvjeta vodonosnika. Doduše konstrukcija i unosa podataka je mnogo kompliciranija za nepravilne mreže konačnih elemenata nego za pravilne pravokutne ortogonalne mreže konačnih diferencija. Hipotetski vodonosnik koji je diskretiziran koristeći mrežu konačnih diferencija i konačnih elemenata prikazan je na slici 5.1. Pravokutna mreža konačnih diferencija aproksimira granice vodonosnika stepenasto pa da su neki čvorovi i ćelije smješteni izvan granica područja od interesa. Nasuprot tome, mreža kod konačnih elemenata može dobro pratiti vanjske granice vodonosnika koristeći najmanji broj čvorova. Jednadžba pronosa otopljenih tvari je složenija za numeričko rješavanje od jednadžbe stujanja, uvelike zbog toga što matematičke karakteristike jednadžbe pronosa variraju ovisno o tome koji članovi jednadžbe dominiraju u određenoj situaciji.

(a) (b) (c)

Zdenac

Granica domeneAktivna celija Element

Neaktivna celija Slika 5.1 Primjena numeričkih modela (a- nepravilna geometrija domene vodonosnika; b- mreža konačnih diferencija; c mreža konačnih elemenata). Preuzeto od Konikow, L. F. (1996) iz Manual on Mathematical Models in Isotope Hydrogeology, International Atomic Energy Agency, Vienna, Austria. Kada je kod pronosa otopljene tvari dominantan proces konvekcije, tada jednadžba 5.9 ili jednadžba 5.10 aproksimiraju hiperboličnu jednadžbu. Međutim, ako je dominantan proces disperzija (kada su brzine tekućine relativno male, a disperzivnost vodonosnika relativno velika), tada jednadžbe 5.9 i 5.10 postaju paraboličnog tipa. Numeričke metode za rješavanje paraboličnih parcijalnih diferencijalni jednadžbi nisu optimalne za rješavanje hiperboličnih jednadžbi i obratno. Nema jedinstvene metode ili modela kojim bi se idealno opisao cijeli spektar problema podzemnog toka s kojima se možemo susresti na terenu. U prilog tome govori i činjenica da na terenu brzina procjeđivanja podzemne vode može poprimiti široki raspon vrijednosti uzrokovane heterogenim svojstvima vodonosnika ili rubnih uvjeta. Zato u područjima slabe propusnosti ili stagnacije brzina može biti bliska nuli a pronos se dominantno odvija kroz proces disperzije. U zonama velike propusnosti brzina može iznositi nekoliko metara po danu te se kao dominantan proces javlja konvekcija. Stoga, ne postoji numerička metoda koja bi bila idealna ili optimalna za cijelu domenu određenog problema. Dodatne poteškoće javljaju se kada su otopljene tvari reaktivne. Pojedini članovi reakcija u jednadžbi 5.9 predstavljaju matematička pojednostavljenja koja ne moraju nužno predstavljati kompleksnost većine reakcija. Posebno zahtjevni numerički problemi javljaju se kada reaktivni članovi imaju visok stupanj nelinearnosti ili ako je koncentracija otopljenih tvari uvelike ovisna o koncentraciji ostalih kemijskih komponenti. Metode konačnih diferencija i konačnih elemenata mogu se primijeniti i kod rješavanja jednadžbe pronosa, pogotovo ako komponenta disperzije dominira nad konvektivnom komponentom pronosa.

128

Iako se kod rješavanja probleme pronosa uglavnom koriste metoda konačnih diferencija i metoda konačnih elemenata, također se mogu koristiti i ostale numeričke metode: metoda karakteristika, metoda slučajnog koraka (eng: random walk), Euler- Lagrange metoda. Sve ove metode imaju sposobnost rješavanja uz minimalnu numeričku disperziju. Niti jedna standardna metoda nije savršena za širok spektar problema koji se mogu javiti kod pronosa.

(a) (b)

h1

h0

h2

Vodonosnik

Nepropusni

sloj

Piezometarska

linija-

potencijal

Zdenci

1 0 2d e

x

x

x

h3

h0

h4

Vodonosnik

Nepropusni

sloj

linija-

potencijal

Zdenci

3 0 4f g

y y

y

yx

Slika 5.2 Prikaz numeričke aproksimacije za derivaciju potencijala xh ∂∂ (a) i yh ∂∂ (b) za poprečni

presjek vodonosnika pod tlakom (prilagođeno od Bennett, G. D. (1976.) Introduction to ground- water hydraulics: A programmed text for self instruction) 5.3.1 Metoda konačnih diferencija Parcijalne diferencijale jednadžbe kojima se opisuje podzemni tok i procesi pronosa sastoje se od članova koji predstavljaju derivacije neprekinutih varijabli u prostoru i vremenu. Metode konačnih diferencija temelje se na aproksimiranju tih derivacija preko diskretne linearne promjene u diskretnim prostorno- vremenskim intervalima. Ako su ti intervali dovoljno mali tada će svi linearni inkrementi predstavljati dobru aproksimaciju stvarnih promjena. Primjerice, ako promatramo tri zdenca smještena na jednakim udaljenostima u vodonosniku pod tlakom, (slika

5.2a), razumna aproksimacija derivacije potencijala x

h

∂

∂ u točki d na pola puta između zdenaca

1 i 0 definirana je izrazom:

x

hh

x

h

d ∆

−≈

∂

∂ 10 (5.12)

Slično tome, pretpostavka druge derivacije, 2

2

x

h

∂

∂, može se prikazati kao:

( ) ( )

( )2

021

1002

0

2

2 2

x

hhh

x

x

hh

x

hh

x

x

h

x

h

x

h de

∆

−+=

∆

∆

−−

∆

−

≈∆

∂

∂−

∂

∂

≈

∂

∂ (5.13)

Ako promatramo zdence 3 i 4 (slika 5.2b), koji su postavljeni paralelno sa y koordinatnom osi,

možemo prikazati 2

2

y

h

∂

∂ u točki 0 kao:

129

( )2

43

0

2

2 02

y

hhh

x

h

∆

−+≈

∂

∂

(5.14) U slučaju 2D horizontalnog toka sa jednakim razmakom između zdenaca (slika 5.2b

ayx =∆=∆ ), tada možemo približno prikazati odnos:

2

04321

2

2

2

2 4

a

hhhhh

y

h

x

h −+++=

∂

∂+

∂

∂

(5.15) Ove aproksimacije također se mogu dobiti upotrebom Taylor- ovog reda pri čemu se uvodi određena greška zbog aproksimiranja derivacije konačnim diferencijama. Ta je greška utoliko

manja, ukoliko su a (ili x∆ i y∆ ) manje vrijednosti. Ova greška se naziva „greška odsijecanja“

jer je zamjena derivacija konačnim kvocijentima jednaka upotrebi odsječenog Taylor- ovog reda. Osim toga, u numeričkom rješavanju postoji i granica točnosti kod pohranjivanja brojeva u digitalnom obliku na računalo. Kod rješavanja velikog broja diferencijalnih jednadžbi, izvršava se znatan broj aritmetičkih operacija, tako da ponekad može doći do akumuliranja grešaka uslijed zaokruživanja. Nadalje, moguća su dva modela konstrukcije mreže, kao što je prikazano na slikama 5.3a i 5.3b Na slici 5.3a, točke u kojima se vrši izračun (čvorovi) smješteni su u centrima blokova ili ćelija sastavljenih od linija koje čine mrežu. U drugom tipu mreže (slika 5.3b) čvorovi se nalaze na mjestu presjecišta linija koje čine mrežu. Nema neke velike prednosti jednog načina naspram drugog, iako postoje određene operacijske razlike kod ta dva pristupa u odnosu na granice i čvorove u području od interesa. Većina suvremenih modela temeljenih na konačnim diferencijama koristi mrežu sa proračunskim čvorovima u centru ćelija. Uobičajeno je dvostruko indeksiranje za identifikaciju funkcija i varijabli u dvodimenzionalnom prostoru. Na primjer, hi,j je potencijal čvora i, j, gdje i, j, predstavljaju redak i stupac u mreži konačnih diferencija. Ovaj se postupak jednostavno preslikava na tri dimenzije kao što je prikazani na slici 2.3.c gdje vertikalna z dimenzija indeksirana sa k (h i,j,k predstavlja potencijal u čvoru i,j,k). Za diskretizaciju vremena, koje se može prikazati kao dodatna dimenzija, treba uvesti dodatni indeks. Ako promatramo reprezentativni isječak hidrograma (slika 5.4), n indeks označava vrijeme u kojem je promatrana dana vrijednost potencijala. Nagib hidrograma u bilo kojoj točki

vremena može se aproksimirati sa: t

h

t

h

∆

∆≈

∂

∂.

(a) (b) (c)

Cvorx x

z

y

Slika 5.3 Primjeri mreže konačnih diferncija (a- 2D mreža sa čvorovima u centru ćelija; b- 2D mreža sa čvorovima u vrhovima ćelija; c- 3D mreža sa čvorovima u centru ćelija)

130

t t

h

h

tn-1 tn tn+1

hn-1

hn

hn+1

Vrijeme

h

Aproksimacija nagiba u tn

Slika 5.4 Prikaz derivacije hidrograma u vremenu tn aproksimiranog preko ∆h/∆t Nagib hidrograma u trenutku n može se aproksimirati sa:

t

hh

t

h nn

tn ∆

−≈

∂

∂ +

∆

1

(5.16) ili

t

hh

t

h nn

tn ∆

−≈

∂

∂ −

∆

1

(5.17)

Za proračun derivacije u tnt ∆= , koristeći jednadžbu 5.16 uzimama se razlika sa korakom unaprijed od vremena n do vremena n+1. Kod proračuna koristeći jednadžbu 5.17 koristi se razlika s korakom unatrag. Kod rješavanja problema podzemnog toka za čvor (i,j) pomoću 2D mreže konačnih diferencija moraju se u obzir uzeti potencijale u pet čvorova i u dva vremenska intervala (slika 5.5). Na slici 5.5a prikazane su poznate vrijednosti prostornih derivacije potencijala u vremenskom periodu n pri čemu je derivacija po vremenu definirana je kao razlika zadana unaprijed. Tada je svaki čvor mreže predstavljen jednom diferencijalnu jednadžbu sa jednom nepoznatom varijablom. Takve jednadžbe su jasne i mpgu se eksplicitno riješiti, ali je kod mnogih je upitan kriterij stabilnosti. Ukoliko su vremenski inkrementi preveliki, manje numeričke greške ili perturbacije mogu se tokom proračuna akumulirati. Na slici 5.5b. Prikazana je vremenska derivacija s korakom unatrag. Prostorne derivacije potencijala zapisane su za vremenski period n, gdje su sve vrijednosti nepoznate, tako je svaki čvor mreže predstavljen jednom diferencijalnom jednadžbom sa pet nepoznanica. Takva se jednadžba ne može direktno riješiti. Međutim, za cijelu mrežu od N čvorova imati ćemo sustav od N jednadžbi sa N nepoznanica. Takav sustav jednadžbi, zajedno sa poznatim rubnim i početnim uvjetima može se riješiti implicitno. Poznate vrijednosti potencijala iz vremenskog perioda n - 1 poznate su iz početnih uvjeta ili rješenja prethodnog vremenskog koraka. Iako su implicitna rješenja kompliciranija, njihova je prednost što su uglavnom bezuvjetno stabilna.

131

(a) (b)

tn+1

tn

hi-1,j,n

hi,j,n+1

hi,j+1,n

hi+1,j,n

hi,j-1,n

hi,j,n

vrijeme

tn

tn-1

hi-1,j,n

hi,j+1,n

hi,j-1,n

hi,j,n

vrijeme

hi,j,n-1

hi+1,j,n

Poznati potencijal

Nepoznati potencijal

Slika 5.5 Prikaz vremenske diskretizacije u čvoru (i, j) u 2D mreži konačnih diferencija (a- eksplicitna formulacija sa korakom unaprijed; b- implicitna formulacija sa korakom unatrag) Jednadžbu 2D toka podzemnih voda (jednadžba 5) za heterogeni i anizotropni vodonosnik u kojem osi koordinatnog sustava prate glavne osi tenzora transmisivnosti može se prikazati implicitnom jednadžbom konačnih diferencija (za reprezentativno čvor):

( ) ( )

∆

−+

∆

− +

+

−

− 2

,,,,1

,2

12

,,,,1

,2

1x

hhT

x

hhT

njinji

j

ixx

njinji

j

ixx ( ) ( )

∆

−+

∆

−+

+

+

−

− 2

,,,1,

2

1,2

,,,1,

2

1,y

hhT

y

hhT

njinji

jiyy

njinji

jiyy

[ ]( )njijis

zjinjinjihH

m

K

yx

q

t

hhS ,,,

,1,,,,−−

∆∆−

∆

−=

− (5.18)

gdje je: qi,j volumenski odnos pražnjenja (negativan po predznaku) ili punjenja (pozitivan po predznaku) u čvoru i, j. Takva formulacija pretpostavlja da se bilo koja promjena (na primjer qi,j) događa preko cijele površine ćelije i,j, a ne u točki ili čvoru i,j. Potencijal na mjestu crpljenja iz zdenca u čvoru i,j

računati će se kao da se crpi iz zdenca sa površinom poprečnog presjena yx∆∆ . U jednadžbi 5.18

transmisivnost je prikazana kao harmonijska sredina transmisivnost između dvije susjedne ćelije. Harmonijska sredina može biti prikladna pod pretpostavkom da je transmisivnost konstantna i jednolična u svakoj ćeliji. 5.3.2 Tehnike rješavanja matričnih jednadžbi Aproksimiranjem konačnim diferencijama i konačnim elementima se u svaki numerički čvor postavlja odgovarajuća algebarska jednadžba. Sustav algebarskih jednadžbi može se numerički riješiti direktno ili iterativno. Kod direktnih metoda niz operacija za rješavanje matice provodi se samo jednom. Na taj se način dobiva točno rješenje, ukoliko izuzmemo greške zaokruživanja. Iterativnim metodama se do rješenja dolazi postupkom uzastopnih aproksimacija. Taj proces podrazumijeva prethodnu pretpostavku rješenja i poboljšavanje te pretpostavke nekim od iterativnih procesa sve dok nije zadovoljen kriterij unaprijed definirane dozvoljene greške. Iz tog su razloga u ovim tehnikama rješavanja konvergencija tj. brzina konvergencije od posebnog značaja.

132

Direktne metode rješavanja imaju dva osnovna nedostatka u odnosu na indirektne metode. Prvi je problem u visokim zahtjevima memorije te relativno dugog vremena za dobivanje rješenja. Matrica sadrži velik broj vrijednosti jednakih nuli, a da bi se minimizirala greška koriste se različiti načini rješavanja. Kod metode konačnih diferencija i metode konačnih elemenata ti zahtjevi mogu biti prilično veliki, pogotovo za 3D probleme. Druga mana rješavanja direktnim metodama javlja se pri greškama zaokruživanja. Kako se izvodi velik broj aritmetičkih operacija, greška zaokruživanja može biti znatna za određene tipove matrica. Iterativne sheme ne služe se pohranjivanjem velikih matrica, zbog čega su pogodnije za rješavanje većih sustava. Neke od shema koje su često u upotrebi sadržavaju: uzastopne relaksacijske metode, iterativne implicitne procedure naizmjeničnog smjera, strogo implicitne procedure i metode konjugiranih gradijenata s različitim vrstama početnih uvjeta. Kako iterativne metode u početku koriste pretpostavku rješenja, učinkovitost metode uvelike ovisi o tim pretpostavkama. Nadalje, iterativni pristup zahtijeva da se naznači veličina greške ispod koje se zaustavlja iterativni proces. Ako je ta veličina prevelika, proces iteriranja može se zaustaviti i prije nego li se postigne numeričko rješenje s željenom točnošću. Ako je ta vrijednost premala iterativni proces može konzumirati značajno računalno vrijeme u težnji za postizanjem tražene numeričke točnosti. 5.3.3 Rubni i početni uvjeti Za dobivanje jedinstvenih rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi u skladu s danim fizikalnim procesima potrebne su dodatne informacije o fizičkim stanjima i procesima. Te podatka dobivamo iz rubnih i početnih uvjeta. Rubnim uvjetima je determinirana raspodjela vrijednosti zavisnih varijabli ili njihovih derivacija uzduž rubnih kontura modela. Izvori i ponori u unutrašnjosti modelske domene se također mogu smatrati rubnim uvjetima kod rješavanja jednadžbi procesa. Kod modeliranja toka podzemnih voda rubni uvjeti se uglavnom pojavljuju u jednom od tri tipa (tablica 5.1): zadana vrijednost potencijala ili koncentracije (tip 1), zadan tok kroz granicu putem zadanog gradijenta potencijala ili koncentracije okomito na rub (tip 2), mješoviti rubni uvjet (tip 3). Treći tip rubnih uvjeta može se koristiti za opisivanje procjeđivanja između nadzemnog toka i vodonosnika koji se nalazi ispod njega. Tada se procjeđivanje može mjenjati tokom vremena kako se mjenja i potencijal vodonosnika, iako potencijal u nadzemnom toku zadržava stalnu vrijednost. Nepropusna granica je specijalan slučaj drugog tipa rubnog uvjeta. U mnogim problemima strujanja podzemnih voda sa slobodnom površinom važan je tip rubnog uvjeta u kojem se potencijal nalazi samo u funkciji potencijalne energije čestice vode. Početni uvjeti predstavljaju vrijednosti zavisnih varijabli unutar granica modelske domene u početnom vremenskom koraku. Početni uvjeti se uobičajeno određuju iz rezultata simulacija stacionarnog stanja toka ili direktno na osnovi terenskih mjerenja.

133

Tablica 5.1. Uobičajeni rubni uvjeti korištena u numeričkim modelima podzemnog toka i pronosa (n je smjer normale na granicu)

Tip rubnog uvjeta Naziv rubnog uvjeta Matematički opis

Tip 1

Dirichlet h(x,y,z,t)=kosnt.

C(x,y,z,t)=konst. Tip 2

Neuman

.),,,(

konstdn

tzyxdh=

.),,,(

konstdn

tzyxdC=

Tip 3

Cauchy .konstah

dn

dh=+

.dC

aC konstdn

+ =

a=konst.

134

5.4. 2D Numerički model procjeđivanja ispod zagata Numerička modelska analiza bavi se problematikom procjeđivanja podzemnih voda u stijenama međuzrnske poroznosti. Unutar prostorne domene (slika 5.6) zadržavaju se konstantni rubni i početni uvjeti te se promatra utjecaj promjene geometrijskih veličina širine dna brane i dubine zagata na brzine i protoke u istjecajnom profilu. Pokusi procjeđivanja ispod zagata se izvode za slučajeve izotropne i anizotropne sredine te horizontalne podine. Za konstantnu vrijednost dubine do nepropusne granice H variraju se vrijednosti dubine uranjanja zagata a i širine pregradnog profila b na načina da se za konstantnu vrijednost dubine do nepropusne granice H uzima kao konstantna i širina pregradnog profila b te se varira vrijednosti uranjanja zagata a.

h = 10 m

h = 0 m

hn

0

hn 0

hn

0

hn

0

c b c

H

x = 2 m y = 0,5 m

x = 0,5 m

y

x

a

Slika 5.6 Definicijska skica prostorne domene

Domena je definirana geometrijskom veličinama: H [m] – dubina do nepropusne granice a [m] – dubina uranjanja zagata b [m] – širina dna pregradnog profila c [m] – promatrano područje iza i ispred pregradnog profila kx [/] – koeficijent poroznosti u smjeru x – koordinatne osi ky [/] – koeficijent poroznosti u smjeru y – koordinatne osi h [m] – vrijednost potencijala, Dirichlet- ov rubni uvjet c [m] – promatrano područje iza i ispred pregradnog profila, za sve pokuse zadržavaju konstantnu vrijednost od 120 m.

0=∂

∂

n

h - Neuman -ov homogeni rubni uvjet, nepropusna granica

135

Rubni uvjeti definirani su kao homogeni Neuman-ovi uvjeti po rubnim konturama modela

( 0=∂

∂

n

h) i Dirichlet -ovi, uzvodno od pregradnog profila potencijal h=10m i nizvodno od

pregradnog profila h=0m (slika 5.6). Prostorna domena diskretizirana je mrežom sa ćelijama veličina ∆x=2m i ∆x=0,5m na cijeloj domeni osim iznimno ∆x=∆y=0,5m u vertikali zagata. Numerički proračun proveden je za slijedeće situacije: a) H=30m; b=20m; a=0,10,20,25m; kx= ky = 0,001m/s (izotropno) b) H=30m; b=20m; a=0,10,20,25m; kx=10ky = 0,001m/s (anizotropno) c) H=30m; b=60m; a=0,10,20,25m; kx= ky = 0,001m/s (izotropno) d) H=30m; b=60m; a=0,10,20,25m; kx=10ky = 0,001m/s (anizotropno) e) H=70m; b=20m; a=0,10,20,30,40,50,60m; kx= ky = 0,001m/s (izotropno) f) H=70m; b=20m; a=0,10,20,30,40,50,60m; kx=10ky = 0,001m/s (anizotropno) g) H=70m; b=60m; a=0,10,20,30,40,50,60m; kx= ky = 0,001m/s (izotropno) h) H=70m; b=60m; a=0,10,20,30,40,50,60m; kx=10ky = 0,001m/s (anizotropno) Prikaz rezultata dan je grafički prema definicijskoj slici 5.7. Za svaki gore navedeni pokus prikazana je odgovarajuća domena sa rezultantnom rasporedom ekvipotencijalnih linija i dijagramom raspodijele vertikalne komponenate brzine istjecanja vy [m/s] u izlaznom profilu (h=0). Prikazana raspodjela ekvipotencjiala odnosi se na slučaj bez izvedbe zagata (a=0).

a [m]i

H [m]

0 20 40 60 80 100 120

vy

c

[m/s

]

[m]

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

a = 0 ma = 10 m

a = 30 ma = 40 m

a = 20 m

a [m]i

a [m]i

a [m]i

100 % 0 %

c = 120 m = konst. b [m] c = 120 m = konst.

80 % 60 % 40 % 20 %

Slika 5.7 Definicijska skica za prikaz rezultata

136

0 20 40 80 100 120

vy

60

c

[m/s

]

[m]

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

a = 0 ma = 10 ma = 20 ma = 25 m

0,00E+00

0 20 40 80 100 12060

vy

c

[m/s

]

[m]

vy

c

[m/s

]

[m]

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

a = 0 ma = 10 ma = 20 ma = 25 m

Slika 5.8 Raspodjela brzina izlaznog strujanja (procjeđivanja) na izlaznom profilu i raspodjela ekvipotencijala (10%), (H=30m; b=20m; gore – izotropno kx=ky; dolje - anizotropno kx=10ky)

0 20 40 80 100 12060

vy

c

[m/s

]

[m]

0,00E+001,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

a = 0 ma = 10 ma = 20 ma = 25 m

0 20 40 80 100 12060

vy

c

[m/s

]

[m]

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

a = 0 ma = 10 ma = 20 ma = 25 m

Slika 5.9 Raspodjela brzina izlaznog strujanja (procjeđivanja) na izlaznom profilu i raspodjela ekvipotencijala (10%), (H=30m; b=60m; gore – izotropno kx=ky; dolje - anizotropno kx=10ky)

137

0 20 40 60 80 100 120

a = 0 ma = 10 m

a = 30 ma = 40 m

a = 20 m

a = 50 ma = 60 m

vy

c

[m/s

]

[m]

0,00E+001,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

0 20 40 60 80 100 120

vy

c

[m/s

]

[m]

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

a = 0 ma = 10 m

a = 30 ma = 40 m

a = 20 m

a = 50 ma = 60 m

Slika 5.10 Raspodjela brzina izlaznog strujanja (procjeđivanja) na izlaznom profilu i raspodjela ekvipotencijala (10%), (H=70m; b=20m; gore – izotropno kx=ky; dolje - anizotropno kx=10ky)

138

0 20 40 60 80 100 120c [m]

a = 0 ma = 10 m

a = 30 ma = 40 m

a = 20 m

a = 50 ma = 60 m

vy

[m/s

]

0,00E+001,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

0 20 40 60 80 100 120

vy

c

[m/s

]

[m]

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

5,00E-05

6,00E-05

7,00E-05

8,00E-05

9,00E-05

a = 0 ma = 10 m

a = 30 ma = 40 m

a = 20 m

a = 50 ma = 60 m

Slika 5.11 Raspodjela brzina izlaznog strujanja (procjeđivanja) na izlaznom profilu i raspodjela ekvipotencijala (10%), (H=70m; b=60m; gore – izotropno kx=ky; dolje - anizotropno kx=10ky) Sa prikazanih slika mogu se uočiti slijedeći trendovi:

- anizotropija doprinosi smanjenju procjednih količina; - povećanje duljine dna brane b uzrokuje smanjenje procjednih količina; - povećanje dubine uranjanja zagata a uzrokuje smanjenje procjednih količina; - povećanje dubine uranjanja zagata a uzrokuje intenzivnije smanjenje procjedne količine

u slučaju anizotropne sredine.

139

6. MODELI PRONOSA EFLUENTA U STIJENAMA MEĐUZRNSKE POROZNOSTI

6.1. Uvod Najčešći cilj modeliranja je određivanje (predviđanje) prostornog i vremenskog rasprostiranja varijabli (npr. tlak, gustoća, brzina, koncentracija, temperatura) koje opisuju buduće stanje promatranog sustava. Kako izrazi ˝model˝ i ˝modeliranje˝ imaju više značenja, u ovom radu se istražuje i opisuje modeliranje hidrodinamičkih procesa pronosa u poroznoj sredini. Za istraživanje procesa i izrade modela pronosa koriste se mjerenja u naravi, laboratorijska mjerenja na fizikalnim modelima te analitički i numerički modeli. Prema kontroli parametara analiziranog procesa, modeli se dijele na determinističke i stohastičke modele. U determinističkim modelima prisutna je kontrola nad svim parametrima i varijablama a

ponašanje tih modela je unaprijed predvidivo. Varijable se odnose na koordinate prostora x, y, z

i parametre vremena t. U većini modela, naročito u relativno jednostavnim primjerima, dovoljno je formulirati problem uzevši u obzir samo podskup te četiri varijable. U ovisnosti o broju prostornih dimenzija, govori se o 0D, 1D, 2D ili 3D modelima. 0D modeli ovisni su o jednoj varijabli i to o vremenu t. 0D modeli podrazumijevaju homogenost sustava, tj. da je trenutno stanje po cijelome kontrolnom volumenu nepromjenjivo. Npr. trenutna

koncentracija je u svakoj točki promatranog volumena jednaka. Kako je vrijeme t jedina nezavisna varijabla i u stacionarnom kontrolnom volumenu, analitičkom formulacijom dolazi se do običnih diferencijalnih jednadžbi, u kojima nepoznate funkcije ovise samo o jednoj nezavisnoj varijabli. Ako je nepoznata funkcija, funkcija više varijabli, tada takvu jednadžbu nazivamo parcijalnom diferencijalnom jednadžbom. Modeli koji nisu ovisni o vremenu nazivaju se stacionarni modeli, a modeli ovisni o vremenu nestacionarni modeli. Do stacionarnog stanja dolazi se u idealiziranim modelima, a neophodan uvjet za stacionarno stanje je taj da su vanjski procesi ili parametri nepromjenjivi u vremenu. 1D modelima promatraju se npr. promjene u vertikalnom ili horizontalnom smjeru sustava, analiza vertikalnog ili horizontalnog pronosa kroz poroznu nesaturiranu sredinu (npr. bilans nitrata i pesticida), pronos zagađivala ili evaporacije prema površini. Također se procesi u rijekama (maksimalne razine vodostaja ili kretanje zagađivala nizvodno) mogu promatrati 1D modelima. Voda od površinskog vodotoka koja infiltrira u vodonosnik može se opisati 1D modelom, uz uvjete da su osnovni tok i dimenzije promatranog prostora konstantne. 1D modeli za stacionarno stanje opisuju se jednostavnim diferencijalnim jednadžbama. Modeli nestacionarnog stanja, uključujući barem jedan smjer u prostoru, opisuju se parcijalnim diferencijalnim jednadžbama. 2D modeli uključuju dvije prostorne varijable. Primjerice, horizontalni dvodimenzionalni modeli za opisivanje procesa pronosa, u kojima je horizontalna dimenzija sloja znatno veća od debljine vodonosnog sloja, mogu se koristiti i u slučaju kad je promatrani prostor po vertikali nehomogen. Pri tome treba voditi računa da li se zagađivalo pronosi prosječnom brzinom po cijeloj dubini vodonosnog sloja ili ima samo jedan sloj u kojem je brzina veća od ostalih.

140

3D modeli koriste se za praćenje promjena po cijelome promatranom volumenu, u sve tri prostorne varijable. 3D modeli su dosta kompleksni modeli i pogodni su za modeliranje pronosa u okolini izvora zagađivanja koji se pretpostavlja da je uglavnom točkasti, tj. nije jednoliko raspoređen po vodonosnom sloju. Kod izrade takvih modela pronosa u višedimenzionalnim stacionarnim ili nestacionarnim prostorima, koriste se numerički algoritmi koji najćešće koriste metode konačnih razlika, konačnih volumena i konačnih elemenata.

Izrada modela dijeli sa na nekoliko koraka. Proces izrade od prirodnog sistema do odgovarajućeg modela sadrži različite korake, gdje svaki korak ovisi o dobro obavljenom prethodnom koraku. Glavni cilj je da se izradi konceptualni model koji se može opisati matematičkom analizom i kojim se rješavaju diferencijalne jednadžbe. Na slici 1 prikazani su koraci modeliranja. Prvi korak je formuliranje koncepta. Koncept se izrađuje iz poznatih ili raspoloživih znanstvenih podataka i ekspertiza, kao i iz podataka koji se dobiju promatranjem predmetnog sustava. Koncept sadrži sve procese koji su neophodni za procjenu dinamike sustava. Izrada koncepcijskog modela ne sadrži numeričke podatke. Primjerice, kod modeliranja procesa u ekologiji, moraju se uključiti znanstvene discipline kao što su: kemija, fizika, biologija, geologija, ekologija, hidrologija i hidraulika. Slijedeći korak je formulacija konceptnog modela sa matematičkim izrazima. Funkcije varijabli i parametara vremena i prostora povezane su matematičkim izrazima. Kombinacijom i transformacijom tih izraza, te korištenjem teoretskih i empirijskih zakona i principa, dolazi se do diferencijalnih jednadžbi. U jednostavnim primjerima dolazi se do jedne jednadžbe, a općenito se dolazi do cijelog sustava jednadžbi. Jednostavne diferencijalne jednadžbe, sadrže jednu nezavisnu varijablu, dok je rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe funkcionalna ovisnost više varijabli. Slijedeći korak u modeliranju su analitička i numerička rješenja. Za neke vrlo pojednostavljene uvjete pronosa, moguće je naći analitičko rješenje jednadžbe pronosa. Ta rješenja su od velike pomoći kod procjene širenja fronte zagađivala. Usvojena pojednostavljenja se odnose na homogenost vodonosnog sloja, jednodimenzionalnost i stacionarnost strujanja, konstantnosti faktora retardacije, reakcije i disperzivnosti. Povratne petlje u zadacima izrade modela potrebne su da bi se poboljšali raniji koraci, da bi se ispravile greške i da bi se model prilagodio u pogledu izmjerenih podataka. Na slici 2 prikazane su povratne petlje u procesu izrade modela koje se dijele na provjeru, podešavanje i potvrdu. Izraz provjera koristi se prilikom testiranja i razvoja softvera za modeliranje. Kako bi se provjerio pravilan rad softvera, testiraju se poznati slučajevi kako bi se vidjelo da program daje točan rezultat. Testiranja se mogu bazirati na jednostavnim naknadnim provjerama, na analitičkim rješenjima, na teoretskim derivacijama i na usporedbama rezultata sa drugim kodovima. Usporedba rezultata testova, naziva se bencmarking ili sustavno vrednovanje/ocjenjivanje. U koracima testiranja provjerava se da li proračunato rješenje donosi rezultat diferencijalnih jednadžbi. Izraz kalibracija ili baždarenjemodela koristi se za proceduru podešavanja parametra modela za specifičnu aplikaciju softverskog koda. U slučaju da se rezultat provjere ili usporedbe pokaže kao nezadovioljavajući, podešavaju se parametri, rade se izmjene matematičkih jednadžbi ili se podešava koncepcijski model.

141

Ako se rezultatom provjere dokaže da je model točan, tada se može reći da se model ponaša kao reprezentativni prirodni ili realni sistem. Mora se utvrditi koji se dijelovi realnog sistema prezentiraju numeričkim modelom. Kako model nije identičan reprezentativnom stvarnom sistemu, uvijek su prisutni i stvarni aspekti za koje model nije dostatan. Matematička formulacija mora biti bazirana na dobro koncipiranom modelu i mora biti potpuna.

Slika 1 Koraci izrade modela

Slika 2 Provjera, podešavanje i potvrda prikazane kao povratne petlje različitih razina izrade modela

142

6.2. Osnovni zakoni i jednadžbe procesa Zakon očuvanja mase

Budući da se masa tekućine prilikom strujanja ne nastaje niti nestaje, zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta) za kontrolni volumen, glasi: brzina promjene mase kontrolnog

volumena jednaka je nuli. Najčešća upotreba jednadžbe kontinuiteta vezana je uz polje mase. Dvije su vrste zakona očuvanja mase. Jedna vrsta je očuvanje mase medija, koji može biti kruta tvar, kapljevina ili plinovita tvar. Odnos mase i volumena daje nam gustoću ρ sa jedinicom [M/L3]. ˝M˝ predstavlja jedinicu mase, a ˝L˝ jedinicu duljine. Na primjer gustoća vode na temperaturi od 4°C i tlaku od 101325 Pa (1 atm) iznosi 1000 kg/m3. Slijedeća formulacija očuvanja mase u tekućini tiče se biokemijskih tvari u tekućini. U tom slučaju masa se izražava kao koncentracija c. Jednadžba kontinuiteta tretira se kao

koncentracija tvari c. Koncentracija c isto tako ima jedinicu [M/L3] i prikazuje odnos suspendirane ili otopljene tvari i volumena fluida.

Kada se zakon očuvanja mase primjenjuje na tekućinu u poroznoj sredini, onda treba uzeti u obzir da tekućina ispunjava samo prostor pora. U tom slučaju masa po jedinici volumena može se izraziti oznakom θc gdje je θ poroznost. Poroznost θ je bezdimenzionalna veličina i predstavlja volumni udio prostora pora u jediničnom volumenu porozne sredine. U vodonosnicima podzemna voda sačinjava prosječno 25% ukupnog volumena, prema tome proizlazi da je poroznost uobičajena vrijednost θ = 0,25. Opisani koncept može se proširiti na situacije sa više faza, gdje svaka faza ima svoj iznos poroznosti θ. U nesaturiranoj zoni tla, iznad razine podzemne vode prisutne su tri faze: tlo kao kruta faza, kapilarna voda kao tekuća faza i zrak kao plinovita faza. Masa plinovite komponente izražava se izrazom za parcijalni tlak. Prema zakonu idealnih plinova produkt tlaka i volumena je konstantan pV = konst., te se mijenja samo promjenom temperature. Tako očuvanje mase može biti formulirano u izrazima tlaka, a ne volumena. Prema Daltonov-om zakonu ukupni tlak plinske smjese jednak je sumi parcijalnih tlakova komponenata (plinova koji čine smjesu).

Zakon očuvanja količine gibanja

Definicija zakona očuvanja količine gibanja za kontrolni volumen glasi: Brzina promjene količine

gibanja kontrolnog volumena jednaka je zbroju vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na kontrolni volumen. Količina gibanja tekućina jednaka je produktu ρ·v , gdje v je oznaka za

brzinu, a ρ za gustoću. Fizikalna jedinica količine gibanja je [M/(L2T)], gdje je T oznaka vremena. Kako je brzina vektor, količina gibanja je također vektor, sa po jednom komponentom vektora sa svaku prostornu dimenziju modela.

Zakon očuvanja energije

Promatrajući neviskozni idealni fluid u 1D prostoru bez utjecaja masenih sila definicija zakona očuvanja energije glasi: Promjena ukupne količine energije jednaka je radu vanjskih sila koje

djeluju na kontrolni volumen. Ukupna količina energije kontrolnog volumena ne da se ni

143

povećati ni smanjiti bilo kakvim djelovanjima među pojedinim dijelovima volumena. Energija fluida se sastoji od unutarnje i kinetičke energije. Kinetička energije tekućine izražava se

2

2v⋅ρ

sa fizikalnom jedinicom [M/(LT2)]. Kod prijenosa topline, toplinska energija je izražena

temperaturom. Iznos energije u volumenu dobije se izrazom ρ·C·T, gdje je faktor C specifični

toplinski kapacitet. Fizikalna jedinica faktora C je [L2/(T2K)], gdje K predstavlja temperaturu,

izraženu u jedinicama °Celziusa ili °Kelvina. U literaturi mogu se pronaći iznosi produkta ρ·C koji se većinom naziva toplinski kapacitet i ima jedinicu [M/(LT2K)]. Energija se mjeri u džulima pa tako izraz ρ·C ima jedinicu J/volumen·kelvinu, a mjerna jedinica za C je J/kilogram·kelvinu. 6.2.1. Jednadžba kontinuiteta za masu suspendirane ili otopljene tvari Budući da se masa ne stvara niti uništava mora vrijediti: masa u kontrolnom volumenu u trenutku t+∆t jednaka je zbroju mase u kontrolnom volumenu u trenutku t i mase koja je u

vremenu ∆t ušla u kontrolni volumen minus masa koja je u vremenu ∆t izašla iz kontrolnog

volumena preko rubova kontrolnog volumena ∆x, ∆y i ∆z. Dva su načina za izračun promjene mase. Jednom metodom se obrađuje promjena mase u kontrolnom volumenu na početku i na kraju vremenskog perioda i izračunava se razlika pa prema tome razlika između količine mase koja je ušla u kontrolni volumen i količini mase koja je izašla iz kontrolnog volumena mora biti jednaka promjeni količine mase u kontrolnom volumenu. Drugom metodom se izračunavaju protoci preko granica ili rubova volumena pa je promjena mase u kontrolnom volumenu jednaka razlici masenog protoka koji je ušao i izašao iz kontrolnog volumena ili obrnuto (izlaz je negativni ulaz, odnosno, ulaz je negativni izlaz.)

Na slici 3 prikazana je promjena mase u kontrolnom volumenu u 1D. Prvo polje sadrži količinu mase na početku vremenskog perioda, a treće polje količinu mase na kraju vremenskog perioda. Trajanjem vremenskog perioda tok mase ulazi preko jednog ruba, a izlazni tok mase preko drugog ruba.

Slika 3 Prikaz derivacije jednadžbe očuvanja mase

144

Masa na početku i na kraju perioda t i t+∆t dobiva se izrazom:

θ ·c(x,t)· ∆x∆y∆z i θ ·c(x,t+ ∆t)· ∆x∆y∆z

gdje θ označava udio u kontrolnom volumenu, ∆x, ∆y i ∆z rubove kontrolnog volumena i c označava koncentraciju, jedinice [masa/volumen]. U slučaju zasićenog (saturiranog) poroznog medija θ označava poroznost. U nezasićenoj (nesaturiranoj) zoni u tlu, θ predstavlja volumensku zasićenost vodom poroznog medija. Dobiva se da je promjena mase u vremenu:

zyxt

txcttxc∆∆∆⋅

∆

−∆+⋅

),(),(θ

Protoci u x-smjeru dani su preko rubova kontrolnog volumena izrazom:

θ jx - (x,t) ∆y∆z i θ jx + (x,t) ∆y∆z

gdje je jx protok mase po površini lijevog ruba volumena, u negativnom x smjeru, jx+ označava

protok mase u pozitivnom x smjeru preko desnog ruba kontrolnog volumena (slika 4.). Protoci su promjenjivi u vremenu i prostoru. Oba protoka su pozitivna ako dodaju masu u kontrolni volumen, i negativno ako oduzimaju masu. Fizikalna jedinica za protok mase je [M/(L2 ·T)]. Izraz θ∆y∆z označava površinu kroz koju se ostvaruje protjecanje.

Slika 4 Prikaz kontrolnog volumena u dvodimenzionalnom prostoru

Bilanca protoka daje:

θ ( jx - (x,t) - jx + (x,t))∆y∆z

Zbog pojednostavljenja problema, protoci kroz ostala četiri ruba se zanemaruju. Pretpostavlja se da su protoci u y i x smjeru nula. Izrazima se izražava promjena mase u kontrolnom volumenu i dobiva se jednakost:

145

yxtxjtxjzyxt

txcttxcxx ∆∆+−−⋅=∆∆∆⋅

∆

−∆+⋅ )),(),((

),(),(θθ (2.1)

Dijeljenjem sa ∆x∆y∆z i θ dobiva se izraz:

x

txjtxj

t

txcttxc xx

∆

−−+−=

∆

−∆+ ),(),(),(),( (2.2)

Iz ove jednadžbe dobiva se diferencijalna jednadžba, a promjenom mreže konačnih diferencija ∆x i vremenskog koraka u infinitezimalan izraz dobiva se jednakost:

xjxt

c

∂

∂−=

∂

∂ (2.3)

koja je diferencijalna jednadžba očuvanja mase i vrijedi za jednodimenzionalno strujanje ako nisu prisutni izvori ili ponori. Diferencijalni oblik jednadžbi očuvanja je uobičajeni oblik koji se najčešće koristi i služi kao podloga za razvoj matematičkih modela. Pretpostavka diferencijalnog postupka je to da su funkcije c i jx matematički diferencijabilne. Mjesta na kojima tekućina ulazi u kontrolni volumen nazivaju se zajedničkim imenom izvori, a mjesta na kojima tekućina „koncentrirano“ izlazi iz konstrolnog volumena ponori. U teoriji se najčešće koriste elementarni (točkasti) izvori, tj. izvori u kojima fluid izlazi iz jedne točke u prostoru. Iako je ovakav slučaj fizikalno nerealan, matematički je puno lakše raditi sa takvim elementarnim izvorima. Matematička jednadžba može se proširiti tako da se uzimaju u obzir izvori i ponori. Ako je to opisano izdašnostima izvora ili ponora q(x,t) jedinice [M/(L3 ·T)], pri čemu je izdašnost izvora q volumen fluida koji u jedinici vremena izađe iz izvora. Kako se izdašnost mijenja u prostoru i vremenu, dodaje se odgovarajući integral i dobiva se:

∫∫∆∆ tx

dtdxtxq ),(

Iznos je pozitivan ako se masa dodaje (izvor) i negativan, ako se masa oduzme (ponor). Derivacijom izraza (2.3) dolazi se do jednadžbe jednodimenzionalnog strujanja:

qxt

cx +

∂

∂−=

∂

∂jθθ (2.4)

Komponente protoka u y i z smjeru mogu se također uzeti u obzir. U obzir se uzimaju protoci

jy-, jy+, jz- i jz+ i dobiva se:

qjz

jy

jxt

czyx +

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂θθθθ (2.5)

Jednadžba 2.5 je opća jednadžba kontinuiteta (očuvanja mase) za trodimenzionalni prostor.

Uzimajući Hamiltonov operator ∇ (nabla), dobiva se:

146

Dux

Du

y

xDu

z

y

x

1,2,3∂

∂=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=∇ (2.6)

Jednadžba 2.5 može se izraziti jednostavnije:

qt

c+⋅−∇=

∂

∂jθθ (2.7)

sa različitim oblicima operatora ∇ izraz je važeći za 1D, 2D ili 3D prostor. Na desnoj strani ∇

operator se množi sa vektorom strujanja

=

z

y

x

j

j

j

θθ j kao vektorski produkt.

Prednost izraza (2.7) je u tome da važi za situacije u svim dimenzijama. Broj komponenti u

vektoru protoka i u ∇ operatoru jednak je broju prostornih dimenzija. U dvodimenzionalnom prostoru, kako je prikazano na slici 4, vektor strujanja ima dvije komponente. Kako je gustoća nestlačive tekućine konstantna, promjena mase tekućine mijenja se promjenom volumena ∆V. Takva jednadžba očuvanja mase nije dovoljna za potpunu matematičku formulaciju. Kako bi smanjili broj nepoznanica, potreno je iskoristiti formulaciju u kojoj je brzina strujanja povezana sa koncentracijom. Time se dobiva jednadžba sa koncentracijom c kao jedinom nepoznanicom. Pronos je jednostavno dan produktom koncentracije i brzine. U trodimenzionalnim slučajevima tri komponente strujanja određene su sa tri komponente brzine:

jx=vxc jy=vyc jz=vzc (2.8)

Koristeći skalarni produkt dobiva se: j = vc ili j = cv (2.9) U izrazima se uglavnom izostavlja znak množenja. Na desnoj strani izraza (2.9) nalazi se skalarni produkt skalarne varijable c i vektorne varijable v. Pronos je općenit naziv za procese koji utvrđuju raspodjelu biokemijskih vrsta ili topline u prirodnom okolišu. U ovom poglavlju pronos se shvaća u užem smislu kao međudjelovanje fizikalnih procesa i njihovo djelovanje na vrste ili komponente, ili na toplinu. Drugi procesi kao što su sorpcija, razgradnja, raspadanje i različite vrste reakcija, nisu koncipirani kao procesi pronosa te se spominju u nastavku. Procesi pronosa važan su dio svih prirodnih sustava. Termin pronosa nije striktno vezan za određeni dio prirodnih procesa. Pronos topline ili mase učestali je fenomen koji se može naći

147

gotovo svugdje, u hidrosferi, atmosferi, u površinskim vodama, jezerima i oceanima, u sedimentima, u podzemnoj vodi, u tlu, te u višefaznim kao i u jednofaznim sustavima. Postoje dvije vrste procesa pronosa u užem smislu: konvekcija i difuzija/disperzija. Konvekcija označava prijenos u najužem smislu: čestica se pomaknula sa jednog mjesta na drugo sa strujnim poljem. Konvekcija je pronos tvari uzrokovan postojanjem brzine toka a pomak čestice promatrane tvari je po iznosu jednak umnošku brzine i vremena. Difuzija i disperzija su procesi koji su vezani uz razlike koncentracija tvari u promatranom prostoru. U svim sustavima postoji tendencija za izjednačavanjem gradijenata koncentracije. Ako su tvari pokretne, odnosno ako imaju mogućnost da se pomaknu s jednog mjesta na drugo, nastaje difuzan pronos s mjesta većih koncentracija prema mjestu manjih koncentracija. Jednadžba pronosa se dobiva na osnovu jednadžbe kontinuiteta za promatrani elementarni volumen. Uzimajući u obzir pronos topline nastaje diferencijalna jednadžba sa temperaturom T kao zavisnom varijablom. Jednadžba se izvodi iz zakona očuvanja energije i Fourier-ovog zakona. S matematičkog stajališta to je jednaka diferencijalna jednadžba jednadžbi pronosa tvari, samo sa drugim značenjima koeficijenata. Osnova zakona očuvanja je izražena općenitom jednadžbom kontinuiteta. Slijedeći korak je generalizacija jednadžbe očuvanja mase. Očuvanje varijable A, koja može predstavljati masu,

količinu gibanja ili energiju i koja je ovisna o vremenu t i tri dimenzije x. y i z , izražava se diferencijalnom jednadžbom:

Qjz

jy

jx

At

AzAyAx +∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ (2.10)

gdje varijable jAx , jAy i jAz predstavljaju protoke u trodimenzionalnom prostoru. Protoci, kao i

drugi izrazi u jednadžbi kontinuiteta, ovise o nezavisnim varijablama prostora x,y,z i o vremenu t. Varijabla Q predstavlja izdašnosti izvora i ponora. Ako je iznos Q(x,y,z,t) pozitivan,

radi se o izvoru u vremenu t i na koordinatama r=(x,y,z), a ako je iznos Q(x,y,z,t) negativan radi se o ponoru.

Jednadžba kontinuiteta govori da je promjena mase u kontrolnom volumenu u jedinici vremena jednaka razlici protoka mase koji je ušao i izašao iz kontrolnog volumena u jedinici vremena ili obrnuto. Jednadžba kontinuiteta je dobivena na infnitezimalno malom kontrolnom volumenu sa rubovima ∆x, ∆y i ∆z (u 3D). Slika 3 prikazuje kontrolni volumen u 2D prostoru za tekućinu koja u potpunosti ispunjava prostor. U infinitezimalno malom ali konačnom vremenskom intervalu ∆t, iznos varijable A po jedinici

volumena mijenja se iz A(x,y,z,t) u A(x,y,z,t+ ∆t). Prema tome ukupna promjena mase u

kontrolnom volumenu je dana izrazom (A(x,y,z,t+ ∆t)- A(x,y,z,t) ∆x∆y∆z. U svakoj prostornoj dimenziji nalaze se po dvije površine, preko kojih se, ovisno o odgovarajućoj komponenti protoka ostvaruju ulazi ili izlazi mase, količine gibanja ili energije. U x-smjeru protoci preko

dva ruba dani su izrazom (jAx(x+∆x/2,y,z,t) - jAx(x-∆x/2,y,z,t))∆y∆z∆t. Razlika protoka jAx od jedne strane kontrolnog volumena prema suprotnoj strani množi se s površinom kontrolnog volumena, koja je izražena rubovima ∆y∆z.

148

Pretpostavi se da je vremenski period ∆t mali, tako da se promjene uvjeta protoka, a time i izvora i ponora, u tom vremenskom periodu mogu zanemariti. Oba izraza za promjenu protoka unutar kontrolnog volumena, u nekom vremenskom periodu, moraju biti jednaka, što se izražava jednadžbom:

(A(x,y,z,t+ ∆t)- A(x,y,z,t) ∆x∆y∆z

=(jAx(x+ ∆x/2,y,z,t)-jAx(x- ∆x/2,y,z,t)) ∆y∆z∆t

+(jAx(x,y+ ∆x/2,z,t)-jAx(x,y- ∆x/2,z,t)) ∆x∆z∆t

+(jAx(x,y,z+ ∆x/2,t)-jAx(x,y,z- ∆x/2,t)) x∆y∆t (2.11)

+ Q ∆x∆y∆z∆t

Koristeći se prikazanim izrazom 2.11, koji je važeći za 2D prostor, dobiva se odgovarajuća jednadžba bez izvora/ponora: ∆V = (jx+ -jx-)∆y∆t+(jy+ -jy-)∆x∆t. Jednadžba 2.11 može se pojednostaviti u dva koraka. U prvom koraku dijeli se produkt rubova kontrolnog volumena i konačnog vremenskog perioda ∆x ∆y ∆z ∆t te se dobiva:

Qz

zzyxjzzyxj

y

yyxjyyxj

x

xxjxxj

t

tzyxAttzyxA

tAztAz

tzAytzAy

tzyAxtzyAx

+∆

∆+−∆++

∆

∆−−∆++

∆

∆−−∆+=

∆

−∆+

)/,,()/,,(

)/,()/,(

)/()/(),,,(),,,(

,2,2

,,2,,2

,,,2,,,2

(2.12)

U drugom koraku prelazi se iz konačnih razlika u infinitezimalne veličine ∆x→∂x, ∆y→∂y,

∆z→∂z, ∆t→∂t i prema diferencijalnoj jednadžbi u izrazu 2.10 koristeći vektorski izraz, dobiva se jednadžba:

Qjt

AA +⋅∇=

∂

∂ (2.13)

Prikazani izrazi vrijede za konvektivan pronos, a za difuzijski i disperzivan pronos koriste se izrazi Fick-ovog zakona. 6.2.2. Generalizacija Fick-ovog zakona 6.2.2.1 Difuzija

Difuzija je pronos uzrokovan posljedicama razlike u koncentraciji promatrane tvari u otopini (mediju). Kada u sustavu postoji područje veće koncentracije i područje manje koncentracije, nastaje difuzijski protok neke komponente iz mjesta veće koncentracije prema mjestu manje koncentracije. Na molekularnim razinama, difuzija je proces nasumičnog kretnja molekula u svim smjerovima. U sustavima bez razlika u koncentracijama, zajedničkim nasumičnim kretanjem molekula zadržava se jednaka razina koncentracije u svim točkama tog sustava.

149

Sustav koji ima početnu razliku u koncentracijama, difuzijom će nakon određenog vremenskog perioda postići konstantnu koncentraciju u svim točkama, ako nijedan drugi proces nije prisutan. Drugi procesi mogu stabilizirati koncentracijski gradijent. Pronos uzrokovan difuzijom se izjednačava procesima koji održavaju konstantan ulazni i izlazni tok. Koncentracijski gradijent je popraćen difuzijskim pronosom. Pronos promatrane tvari unutar neke otopine uzrokovan difuzijom može se opisati prvim Fick-ovim zakonom te se dobiva izraz:

j = -D ∇ c (2.14)

gdje je: D difuzijski koeficijent ili difuzivnost D sa fizikalnom jedinicom [površina/vrijeme] i ovisi o karakteristikama tekućine u kojoj se difuzija odvija (najčešće je to voda), tvari koja se unosi u tekućinu, temperaturi, tlaku a ponekad i o koncentraciji. Proizlazi da je difuzijski pronos proporcionalan negativnom koncentracijskom gradijentu. Negativan predznak difuzijskog koeficijenta D znači da proces difuzije teče iz područja veće prema području manje koncentracije tvari. Difuzija slane vode obično je različita od difuzije slatke vode. Izraz 2.14, vrijedi za tekućine i plinove.

Za trodimenzionalan prostor dobiva se:

∂∂

∂∂

∂∂

=∇

zc

yc

xc

c

/

/

/

(2.15)

Molekularna difuzija je dominantan proces u slučajevima kad nema toka podzemne vode odnosno kad nema konvekcije kao što se dešava npr. kod pronosa zagađivala kroz brtvene slojeve na sanitarnim deponijama. Obično se govori o D kao o molekularnoj difuziji. To se uzima

u obzir označavajući molekularnu difuziju sa Dmol pritom D ostaje oznaka za difuziju općenito.

U stijenama međuzrnske poroznosti pronos tvari uzrokovan difuzijom je sporiji nego u samoj otopini jer je površina kroz koju se odvija pronos u poroznoj sredini manja (pronos se odvija samo kroz strujne cijevi) a strujne cijevi su zakrivljene što povećava put pronosa tvari (Gorišek, 1996). Količina Dmol u vodi pri temperaturi od 20°C za većinu kemijskih komponenata iznosi otprilike

10-9 m2/s, u zraku iznosi 10-5 m2/s, za amonijak na primjer Dmol u vodi je 1,46·10-9 m2/s na 20°C

i 1,23·10-9 m2/s na 4°C, npr. za isti plin na 0°C molekularna difuzija u zraku iznosi 1,98·10-5 m2/s. Kako bi se izrazio Fick-ov zakon za višefazne sustave, kao npr. u poroznim medijima, moraju se napraviti dvije izmjene. U prvoj izmjeni mora se uzeti u obzir da je površina kroz koju se ostvaruje difuzijski pronos tvari samo dio ukupne površine kroz koju se ostvaruje pronos. Općenito se uzima u obzir da se površina smanjuje sa istim faktorom kao i volumen. Pod pojmom poroznost se najčešće podrazumijeva odnos volumena šupljina u uzorku tla prema ukupnom

volumenu tla. Poroznost θ kod procesa pronosa definira se kao onaj dio šupljina/pora kroz koji se odvija tok podzemne vode.

150

U drugoj izmjeni uzimaju se u obzir dužine puta pronosa tvari uzrokovanog difuzijom, koji je u višefaznim sustavima dulji nego u homogenim jednofaznim sustavima. Na slici 5 vidi se da je u jednofaznim sustavima kraći put pronosa nego u višefaznim jer je takav put pronosa ˝ometan˝ preprekama. Kako su putovi duži u višefaznim sistemima, difuzijski pronos je manji u tim sustavima nego u jednofaznim. Put pronosa je produžen, što se opisuje faktorom produljenja

puta ϑ . Faktor ϑ uzima se u obzir kod proračuna pronosa j. Kombinacijom obje izmjene i

faktora ϑ dobiva se jednadžba:

cDmol∇−=2

1

ϑj (2.16)

Ovakav izraz za pronos pojavljuje se u znanstvenim radovima o sedimentima i geokemiji autora Boudreau (1996) i Drewer (1997).

Slika 5 Usporedba dužina puta pronosa u jednofaznim i višefaznim sistemima

Carman (1956) koristi termin faktor krivudavosti (eng. tortuosity) za faktor ϑ izraza 2.16. Dolazi se do izraza koji se često koristi u literaturi o pronosu podzemnim vodama:

j = - τ Dmol∇ c

(2.17)

gdje je faktor τ krivudavost. Taj isti faktor u Fick-ovom zakonu koji vrijedi za višefazne sisteme

ima iznose između 0 i 1.

Veza faktora τ i faktora ϑ dana je izrazom τ=1/ ϑ 2. Koeficijent gradijenta, koji sadržava tri

faktora naziva se efektivna difuzivnost.

Deff = θ τ Dmol (2.18)

Suprotno od efektivne difuzivnosti, jednofazna difuzivnost se često naziva i molekularna

difuzivnost koja se označava sa Dmol.. Poroznost i krivudavost povezane su sa faktorom formacije F=τ/θ m prema Archie (1942). Faktor formacije određuje se in-situ mjerenjima električne otpornosti. Archie pronalazi vezu između poroznosti i faktora formacije, čime se dolazi do izraza: Deff = θ

m Dmol ili τ = θ

m-1 (2.19)

151

gdje je θ poroznost u postotku a m - faktor zacementiranosti (konsolidiranosti) porozne sredine (ovisi o varijabilnosti i općenito se kreće između 1.3 i 2.2). Taj izraz pronalazi se kao ˝Archie-ov zakon“. Na osnovi eksperimentalnih mjerenja raznih poroznih formacija, općenito se prihvaćaju slijedeći približni odnosi za m: od 1.8 – 2.0 za konsolidirane pješčenjake, 1.3 za nekonsolidiran pijesak u laboratorijskim ispitivanjima, i 1.3 – 2 za djelomično konsolidiran pijesak. Za teoretski i znanstveni rad relevantan je iznos za m = 2 , ako se ne raspolaže sa više podataka. Iz izraza

2.19 slijedi da je τ = θ, a i iz izraza 2.18: Deff = θ2 Dmol . Boudreau (1996) je objavio više radova

o krivudavosti i poroznosti, te o njihovoj međusobnoj povezanosti. Poveznice dane od Archie (1942), Weissberg (1963) i Iversen i Jorgensen (1993) sadrže parametre koji mogu biti predviđeni

na temelju izmjerenih podataka. Predlaže se veza ϑ 2 = 1+n(1 - θ) sa karakterističnom

vrijednosti za n = 3 za glinovite i praškaste sedimente i n = 2 za pjeskovite sedimente. m i n predstavljaju konstantne koje su ovisne o karakteristikama sedimenata. Slika 6 prikazuje krivulje vrijednosti parametara m i n prema Archie-vom zakonu i Iversen-Jorgensen-ovoj jednadžbi.

Slika 6 Krivudavost τ( ϑ ) kao funkcija poroznosti θ, za različite vrijednosti parametara m i n

6.2.2.2 Disperzija

Ako je u sustavu prisutna konvekcija ili pronos osnovnim tokom, potrebna je drugačija generalizacija Fick-ovog zakona izražena jednadžbom 2.14. Razmatra se da je u fluidu koji protječe kroz homogenu poroznu sredinu, difuzivnost proporcionalna koncentracijskom gradijentu i nije konstanta, nego ovisi o brzini toka. Takav proces se naziva disperzija. Disperzija je posljedica fluktuacija brzina toka u odnosu na prosječnu brzinu toka do koje dolazi zbog profila brzina u pojedinoj strujnoj cijevi i lokalnih nehomogenosti strukture pora. Intenzitet disperzije bitno ovisi i o dimenzijama prostora u kojem se pronos ostvaruje. Za 1D slučaj dobiva se: D = τ Dmol + α L v (2.20)

152

Efektivna disperzivnost, koja se koristi u Fick-ovom zakonu, sastoji se od dva dijela. Jedan dio dobiva se iz molekularne difuzije, a drugi iz protoka kroz poroznu sredinu. Za veće brzine protoka, koje se pojavljuju u podzemnoj vodi, od važnosti je protok kroz poroznu sredinu.

Faktor proporcionalnosti između disperzije i brzine toka dan je koeficijentom αL , fizikalne

jedinice [duljina]. αL je koeficijent longitudinalne disprezivnosti a indeks ˝L˝ odnosi se na longitudinalno, i važeći je u smjeru toka. U 2D i 3D problemima koncept disperzije se generalizira. Kod transverzalne putanje prema

smjeru toka, koeficijent αL nije važeći. Mora se uvesti koeficijent transverzalne disperzivnosti

αT. Koeficijent transverzalne disperzivnosti je obično za (jedan) red veličine manji od

longitudinalnog (αT/αL = 0,1). Dobiva se jednadžba:

TTLTmol vv

vIvDD

ααατ

−++= )( (2.21)

gdje je D tenzor disperzije izražen matricom I. Elementi matrice vvT sadrže produkt komponenti brzina. Ovdje uobičajen vektorski produkt vektora stupca i vektora retka daje matricu. Uzima se u obzir da su konstante u smjeru brzine različite od konstanti koje su transverzalne na smjer brzine i da je vektor brzine v promjenjiv je u prostoru i vremenu. S tenzorom disperzije dobiva se izraz za pronos:

j = - D ∇ c (2.22) Vrijednost koeficijenta disperzivnosti ovisi o veličini prostora u kojem se odvija pronos. Slika 7 Prikazuje ovisnost o mjerilu longitudinalne disperzije u poroznoj sredini prema podacima više autora.

Slika 7 Ovisnost o mjerilu longitudinalne disperzije u proznoj sredini, promatrano od strane različitih

autora

153

6.2.3. Jednadžba pronosa Kada se uzme u obzir konvekcija i difuzija/disperzija, vektor pronosa u x-smjeru rezultira kao zbroj konvekcije i difuzije/disperzije:

vcx

cDjx +

∂

∂−= (2.23)

Za pronos u y i z smjer, dobiva se vektorski zapis:

j = - D∇ c + vc (2.24)

Rezultat izraza 2.24 koristi se za zamjenu izraza pronosa u jednadžbi očuvanja mase 2.4. i za jednodimenzionalni slučaj i dobiva se:

qvcx

cD

x

c

t

c+

−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂θθ

(2.25)

U slučaju da je brzina konstanta dobiva se oblik jednadžbe pronosa:

q

x

cv

x

cD

xt

c+

∂

∂−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂θθθ

(2.26)

U slučaju da je D konstanta dobiva se:

qx

cv

x

cD

t

c+

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂θθθ

2

2

(2.27)

Za višedimenzionalne probleme koristiti se operator ∇ i dobije se izraz sa općenito stanje:

( ) qvccDt

c+−∇⋅∇=

∂

∂θθ

(2.28)

Izraz 2.28 je jednadžba pronosa tvari, koja je važeća za razne biološke i geokemijske vrste i tvari. U slučaju konstantnih koeficijenata to je linearna jednadžba. Pojednostavljenje izvedeno za jednadžbu za 1D prostor može se upotrijebiti i za višedimenzionalne slučajeve:

( ) qcvcDt

c+∇⋅−∇⋅∇=

∂

∂θθθ (2.29)

Zahtijevana pojednostavljenja se odnose na homogenost vodonosnog sloja, jednodimenzionalnost i stacionarnost strujanja, konstantnosti koeficijenta retardacije, reakcije i disperzivnosti. Pretpostavlja se također da ulaz zagađivala ne mijenja homogeno polje brzina, a da je molekularna difuzija zanemarivo mala u odnosu na disperziju ili matematičkim zapisom

dobiva se: ∇ · v = 018.

154

Bez izvornog izraza obično se povezuje izraz konvekcijsko-difuzijska jednadžba sa jednadžbama iz prethodnog dijela. Ovisno kako se proces tumači, može se govoriti i o konvekcijsko-disperzijskom ili konvekcijsko-difuzijskom problemima. Takvi izrazi pronalaze se kod jednadžbi pronosa tvari ili topline. Za bolji prikaz rješenja, često se koristiti bezdimenzionalni izraz jednadžbe pronosa. Uzimaju u obzir pojednostavljene situacije sa konstantnim koeficijentima i bez izvora i ponora. Dobiva se jednadžba pronosa u bezdimenzionalnom obliku:

ξ

ω

ξ

ω

ξτ

ω

∂

∂−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

Pe

1 (2.30)

gdje su L

vt

L

x

cc

cc

in

==−

−= τξω ,,

0

0 bezdimenzionalne varijable, D

vLPe = bezdimenzionalni

Peclet za jednadžbu pronosa tvari, a za jednadžbu pronosa topline bezdimenzionalne varijable

LL

x

TT

TT vt

in

κθτξω ==

−

−= ,,

0

0 i bezdimenzionalni Peclet broj T

vL

DPe κθ

= .

Različita rješenja jednadžbe pronosa ovisna su o različitim iznosima Peclet-ova broja i mogu se razmatrati i lakše prikazati na samo jednom grafičkom dijagramu. Odnos između pronosa uzrokovanog konvekcijom i disperzijom definiran je Peclet-ovim brojem. Pri čemu je L tipična duljina u kojoj se odvija pronos. Veliki Peclet-ov broj znači da je dominantan konvektivan pronos, a za Peclet-ove brojeve iznosa manjeg od 1 dominira disperzivan pronos.

6.2.4. Početni i rubni uvjeti U prethodnim poglavljima objašnjeni su osnovni teorijski i empirijski zakoni i kako se isti kombiniraju da se izvedu diferencijalne jednadžbe pronosa. Za većinu diferencijalnih jednadžbi može se naći više funkcija koje upotpunjuju jednadžbu. Jednadžba δu / δs = -u(s) na primjer je

upotpunjena sa funkcijom u(s) = C exp(-s) za sve vrijednosti varijable C. Takva rješenja zovu se općenita rješenja i sadrže jednu ili više integracijske konstante, kao C u primjeru. Kako bi ograničili prostor rješenja, moraju se odrediti određeni uvjeti. Takvi uvjeti nazivaju se početni i rubni uvjeti, a jednadžba pronosa je jednadžba drugog reda koja zahtijeva poznavanje početnih i rubnih uvjeta. Broj uvjeta, potrebnih da se dobije jedinstveno rješenje, uglavnom je određen redom diferencijalnih jednadžbi. Za jednadžbe prvog reda potreban je jedan uvjet, dok jednadžbe drugog reda zahtijevaju poznavanje dva uvjeta. Izraz početni uvjet obično se odnosi na varijablu vremena t i uvjet kada je t=0. Početni uvjeti predstavljaju raspored potencijala, odnosno razina podzemne vode u početno vrijeme. Početne uvjete je potrebno definirati ako je strujanje nestacionarno. Početni uvjeti odnose se na poznavanje varijable na početku simulacije, obično u trenutku t=0. Početni uvjeti npr.

c(x,t=0)=0 izražava da je početna koncentracija u vremenu t=0 u svakoj točki promatranog područja nula. Izraz rubni uvjet odnosi se na prostorne varijable x,y ili z i na uvjete na rubu modeliranog područja i opisuju značajke granice pod čijim utjecajem se odvija tok u promatranom sloju. Rubni uvjet c(x=0,t)=c0 ako je t>t0 izražava da je koncentracija konstantna na rubu

modeliranog područja nakon vremena t0.

155

Osnovna podjela rubnih uvjeta prikazana je u tablici 2.1. Prvi tip rubnih uvjeta ili Dirichlet-ov rubni uvjet precizira iznos nepoznate varijable na rubovima ili poznat raspored potencijala ili razina podzemne vode na granici.

Naziv stanje za varijablu u(s) Dirichlet u = u1

Neumann ∂ u/ ∂ s

Cauchy ili Robin α0u+ α1u ∂ u/ ∂ s = j

Tablica 2.1. Klasifikacija rubnih uvjeta

Neumann-ov rubni uvjet opisuje gradijent koncentracije okomito na rub modeliranog područja, što zapravo znači da opisuje protok kroz granicu. Kako je taj gradijent proporcionalan difuzijskom toku, ti uvjeti se mogu opisati kao specifični difuzijski tok. U pronosu mase izračunava se gradijent koncentracije, a u pronosu topline gradijent topline je zadan. Treći tip rubnih uvjeta Cauchy ili Robin rubni uvjet definira ukupni protok kroz granicu tj. zbroj konvektivnog i disperzivnog protoka. Ukupni protok je linearna kombinacija koncentracije na

rubu c i derivacije koncentracije na rubu n

c

∂

∂ i može se izraziti kao:

jn

cc =

∂

∂+ 10 αα za pronos mase ili (2.31a)

ejn

TT =

∂

∂+ 10 αα za pronos topline (2.31b)

s zadanim koeficijentima α0 i α1 i zadanim tokom mase j ili topline je. U zadacima kojima se obrađuje pronos, rubni uvjeti Cauchy ili Robin izražavaju se za hidraulički potencijal, tlak, piezometarski potencijal ili u strujnoj funkciji. Iznosi rubnih uvjeta mogu se mijenjati u vremenu. Postoje aplikacije u kojima se čak i vrste rubnih uvjeta mijenjaju u vremenu.

156

6.3. Utjecaj odumiranja i razgradnje Organske tvari i sastojci podložni su procesima razgradnje, a ti procesi razgradnje posredovani su bakterijama. Procesi razgradnje su kompleksni procesi i ovise o uvjetima okoliša i to o temperaturnim uvjetima i uvjetima tlaka. Jedan od glavnih uvjeta je prisutnost kisika. U aerobnom okolišu dominiraju bakterije koje troše kisik odvojeno od organske tvari i produkti takvih procesa uvijek sadrže ugljični dioksid. U anaerobnom okolišu, kada se potroši postojeći kisik, bakterije preuzimaju glavne uloge u razgradnji organskih tvari. Izrazi odumiranje i razgradnja koristi se za fizikalne ili kemijske procese koji uzrokuju nestanak tvari ili biološku razgradnju tvari. Izrazi su u vezi s izrazom radioaktivno odumiranje, a to je proces pretvorbe radionuklida u srodne tvari. Na primjer radionuklid Uranij U238 odumire vremenom poluraspada (vremenskim periodom) od 4.5 · 106 , poslije tog vremena pola početne mase je prisutno dok druga polovica je transformirana u Th234. Kako srodni produkt Th234 ima

vrijeme poluraspada od samo 2.1 dan, većina njega odumire u element Pa234, koji ima još kraći vrijeme poluraspada od samo 12 minuta. Kao posljedica kemijskih reakcija i raspadanja, u pravilu se javlja smanjenje ukupne mase tvari prilikom pronosa kroz sustav. Iznijeti pojmovi omogućavaju definiciju idealnog trasera. Idealni traser je tvar koja slijedi kretanje vode i čija masa u vodonosniku ostaje stalna tokom pronosa. Drugim riječima: pronos idealnog trasera je bez utjecaja retardacije i raspadanja, pa dakle vrijedi R = 1 i λ = 0.

Za opis odumiranja i razgradnje koristi se izraz za gubitke q koji su proporcionalni gradijentu

koncentracije c:

ncq λ−= (3.1)

gdje eksponent n predstavlja red razgradnje, a λ predstavlja konstantu razgradnje, koja ovisi o uvjetima u okolišu promatranog sustava. Drugi red razgradnje proporcionalan je kvadratu koncentracije. Fizikalna jedinica za λ ovisi o eksponentu n i za slučaj kada je n=1, jedinica za λ

je [1/T]. Diferencijalne jednadžbe 2.28 i 2.29 i izraz 3.1 imaju istu fizikalnu jedinicu [M/T/L3] i

proširenjem tih izraza dobiva se:

ncvccD

t

cλ−⋅∇−∇⋅∇=

∂

∂ (3.2)

Tako se razgradnja uključuje u jednadžbu pronosa i proračunava se pronos i razgradnju zajedno. Ako ni jedan drugi proces nije prisutan, ostaje:

nc

t

cλ−=

∂

∂ (3.3)

To je jednostavna diferencijalna jednadžba za nezavisnu varijablu t. Najvažniji je prvi red

razgradnje, slučaj kad je n=1 i kad su gubici proporcionalni koncentraciji. Tada se rješenje diferencijalne jednadžbe 3.3 može izraziti:

157

( )tcc λ-exp0= (3.4)

uz početni uvjet c(t = 0) = c0. Eksponencijalna funkcija je rješenje za tvar s prvim redom odumiranja, te to objašnjava izraz eksponencijalno odumiranje.

Poluraspad t1/2, je vremenski period u kojem se koncentracija neke tvari smanjuje na polovicu početne vrijednosti. Iz izraza 3.4 dobiva se:

( )21-exp=21 /tλ/ (3.5)

što je ekvivalent izrazu t1/2 = ln(2)/ λ i predstavlja vezu između konstante razgradnje i vremena

poluraspada. Eksponencijalno odumiranje u nekom vremenu poluraspada t1/2 izražava se u bezdimenzionalnom obliku:

( )2/1t

0 /n(2)-exp/ tlcc = (3.6)

gdje su 0/ cc i t/t1/2 bezdimenzionalne varijable. Za vremenski period od pet poluraspada

funkcija se može prikazati dijagramom na slici 8:

Slika 8 Eksponencijalno odumiranje prikazano bezdimenzionalnim varijablama

Razlog velike razlike između radioaktivnog odumiranja i ostalih oblika gubitaka je u konstanti razgradnje. Na stupanj eksponencijalnog odumiranja nuklida ne utječu uvjeti okoliša, niti temperatura, niti pritisak, niti biokemijski okoliš, dok na odumiranje ostalih bioloških tvari jako utječu te varijable okoliša. U tablica 3.1 navedeni su određeni radionuklidi i njihova vremena poluraspada. Procesi odumiranja su interakcija kompleksnih procesa i konstante

razgradnje/odumiranja λ. Iznosi parametra λ, promjenjivi su u promjenjivom okolišu.

158

Radionuklid Vrijeme poluraspada Radionuklide Vrijeme poluraspada

U-238 4,5·109 godina H-3 12,35 godina

U-235 32500 godina Ra-228 5,8 godina

Ra-226 1600 godina Th-228 1,91 godina

Am-241 432,2 godina Gd-153 242 dana

Pu-238 87,74 godina Po-210 138 dana

Cs-137 30 godina Sr-89 50,5 dana

Pb-210 22,3 godina Th-234 24,1 dana

Tablica 3.1 Radionuklidi i vremena poluraspada

159

6.4. Izmjena tvari između krute i tekuće faze Porozna sredina je medij koji se sastoji od čvrste faze i barem jedne tekuće ili plinovite faze, a često sve tri zajedno. Čvrsta se faza može u mnogim situacijama promatrati kao kruta, dok se u nekim slučajevima uzima u obzir njena deformacija. Višefazni sustavi prikladniji su za modeliranje procesa vezanih za podzemnu vodu, procjednu vodu i vodu u porama sedimenata. Proces izmjene tvari između faza važan je u svim prostornim sustavima, dok se procesi konvekcije, difuzije i disperzije izražavaju posebno sa krutu i posebno za tekuću fazu. Pod određenim uvjetima, površina poroznog medija privlači čestice određenim kemijskim procesima. Takvi procesi kao što su električna privlačnost i odbijanje, te razne kemijske reakcije mogu se razlučit detaljnijim proučavanjem i izraziti općenitim izrazom sorpcija.

Izraz adsorpcija (adsorption) je izraz za akumulacija tvari (čestica) na površinu čvrste (krute) ili tekuće faze. Obrnuti proces oslobađanja tvari iz krute faze naziva se desorpcija (desorption). Na slici 9 je prikaz procesa adsorpcije i desorpcije u poroznoj sredini. Tvar koja se adsorbira naziva se adsorptiv , a tvar na koju će se adsorbirati adsorptiv naziva se adsorbens. Kada brzina adsorpcije postane jednaka brzini desorpcije nastupa adsorpcijska ravnoteža Izraz mobilizacija za čestice zagađivala/efluenata je izraz za česticu koja je čvrsto vezana na površini krute matrice (faze) promatranog medija na početku vremenskog perioda, i koja se može mobilizirati (ponovno pokrenuti) i osloboditi za procese disperzije i konvekcije u slijedećem vremenskom periodu. Važna relacija je odnos brzine procesa koji upravlja izmjenom tvari između krute i tekuće faze, sa procesom pronosa. Prema toj relaciji govori se o brzoj adsorpciji, ako je adsorpcija brža od procesa pronosa i o sporoj adsorpciji, ako je adsorpcija sporija od pronosa. Prema tome karakterizacija adsorpcije ovisi o specifičnim situacijama između faza.

Slika 9 Prikaz procesa adsorpcije i desorpcije

Koncentraciju tekuće faze označavamo sa c , a sa cs koncentraciju krute faze. Visoke ili niske koncentracije u jednoj fazi su obično povezane sa visokim ili niskim koncentracijama u drugoj fazi. Takva veza može se izraziti matematičkom vezom i dobiva se funkcija:

)c(cs (4.1)

160

u kojoj je koncentracija krute faze dana u ovisnosti o koncentraciji tekuće faze. Koncentracije u jednoj fazi se prilagođavaju ako se iz nekog razloga koncentracija u drugoj fazi mijenja. Ravnoteže koncentracija prikazuju se adsorpcijskim izotermama. Adsorpcijske izoterme daju dakle ovisnost količine adsorbirane tvari po jedinici mase adsorbensa o koncentraciji otopljene tvari u otopini. Najjednostavniji primjer je linearna izoterma:

cKc ds = (4.2)

gdje je Kd koeficijent raspodjele koji određuje odnos između koncentracija krute i tekuće faze.

Jedinica izraza je [volumen·masa]. Komponente s jakom adsorpcijom imaju visok Kd, dok je Kd nizak u slabije adsorpcijskim komponentama. Komponente/tvari bez adsorpcije ne djeluju na krutu fazu i nazivaju se traseri. Klorid je takav traser u većini okolišnih sustava. Kd ne ovisi samo o tvari nego i o krutom materijalu. U glinama može se očekivati visoka adsorpcija zbog velikog omjera površine po volumenu i zbog visokog električnog potencijala. Minerali glina imaju višak različitih negativnih naboja, zbog toga pogoduju adsorpciji kationa. Dvovalentni kationi više se adsorbiraju nego monovalentni ioni (Fetter 1994). Kd vrijednosti istražuju se za različite

kemijske vrste, za anorganske i organske tvari i za zagađivala. Kd vrijednosti se pružaju preko više redova veličina, od malih iznosa kao 2·10-4 m3/kg za kalcij (Hölttä 1997) pa sve do veličina od 400 m3/kg za protaktinij (Geibert 2001). Za trasere ti iznosi su još i manji, a za stacionarne tvari/komponente više vrijednosti. Adsorpcija i desorpcija se ne dešavaju direktno na površini poroznog medija, nego na organskim materijalima koji su vezani za krutu fazu. Takva veza materijala za krutu fazu dominantna je u sedimentnim vodonosnicima. Sintetičke organske kemikalije teže adsorbiraju organske ugljike.

sorgorgd cKK ρ/= (4.3)

gdje Corg označava koncentraciju organskih materijala, a Korg označava koeficijent distribucije

organskih ugljika, a corg/ρs predstavlja iznos težine organske tvari u krutoj fazi (Karickhoff 1979; Karickhoff 1984). Za čisti pijesak, koji ne sadrži ništa organsko, iznos adsorpcije je nula. Kao alternativa koeficijentu Korg, može se uzeti koeficijent Koω koji predstavlja koeficijent razdjeljenja oktanol/voda.

Za određene kemijske komponente odnos između Koω i Korg izražava se:

βα ω += )log()log( oorg KK (4.4)

gdje su α i β empirijske konstante. Slična matematička relacija može se izraziti za Korg i

topivost S neke tvari te se dobiva:

βα +−= )log()log( SKorg (4.5)

161

gdje su α i β empirijske konstante βα i (Karickhoff 1979). Pri tome su Korg i Koω pozitivno

korelirani, a korelacija između Korg i S je negativna. Za visoko topive kemikalije očekuje se da samo u malim količinama djeluju na porozni materijal. Suprotno od toga, kemikalije sa niskom topivosti pokazuju snažno međudjelovanje sa krutom matricom. Tablicom 4.1 pokazuje klasifikaciju koja se odnosi na pokretljivost (mobility) koristeći koeficijent Koω.. Pokretljive tvari

imaju niske koeficijente distribucije, nizak Koω, i visoku topivost. Nepokretne, visoko adsorpcijske tvari imaju velike koeficijente distribucije i nisku topivost. Općenita jednadžba za brzu adsorpciju je Freundlich-ova izoterma:

21

FFs cc

αα= (4.6)

sa koeficijentima 1Fα i 2Fα . Eksponent 1Fα obično je manji od 1, a gradijent izoterme je za

niske koncentracije cs veći nego za visoke koncentracije. Za 12 =Fα , Freundlich-ova izoterma

opisuje linearnu povezanost koncentracija u obje faze i obično se upotrebljava za razrijeđene otopine i uske koncentracijske intervale. Treća važna jednadžba je Langmuir–ova izoterma:

c

cc

L

Ls

+=

2

1

α

α (4.7)

sa koeficijentima 1Lα i 2Lα . Langmuir-ova izoterma ima isto svojstvo kao i Freundlich-ova da

za niske koncentracije, gradijent izoterme je veći nego za visoke koncentracije. Za razliku od Freundlich-ove izoterme, kod Langmuir-ove izoterme je za visoke koncentracije ograničena adsorpcija na površini porozne sredine, tako da nije moguće povećanje koeficijenta cs. Na slici 10 prikazane su adsorpcijske izoterme, a jednadžbe ostalih izotermi navedene su u tablici 4.2. U tlu postoji uska povezanost adsorpcijskih procesa i izmjene kationa prema (Johnson 1998). Kationi Ca

2+, Na

+ , NH4

+ ,Sr

+2 ,Al

+3 zamjenjuju mjesta adsorpcije ako je u promatrani prostor ušla voda različitog sastava. To je tipična situacija za prostor u tlu koji se prihranjuje vodom iz oborina ili vodom iz sustava za navodnjavanje površina. Opis ravnoteže između kationa dobiva se jednadžbom Gapon izoterme:

K

cc

ccn

s

n

s =2

2

/112

/121 (4.8)

gdje 1sc i 2sc predstavljaju adsorpcijske koncentracije krutih tvari, a 1c i 2c koncentracije

otopljenih tvari. Eksponenti n1 i n2 su koeficijenti električne valentnosti za tvari 1 i 2. Koeficijent K označava karakterističnu konstantu ravnoteže izmjene između dva kationa. Za

odnos između Ca2+ i Na+ iz izraza 4.8 dobiva se:

162

Kcc

cc

CasNa

NasCa=

,

, (4.9)

U jednadžbu jednodimenzionalnog protoka 2.4, adsorpcija se može uključiti uvođenjem zamjenskih izraza. Uzimajući u obzir pronos tvari uzrokovan konvekcijom i difuzijom, odumiranje i razgradnju prvog reda i zanemarujući dodatne izvore i ponore, dobiva se analitički izraz za ravnotežu u obje faze:

sfssbsbsb

fs

ecjct

ecjct

−−⋅−∇=∂

∂

−−⋅−∇=∂

∂

λρρρ

θλθθ

)()(

)()(

(4.10)

gdje su c i cs koncentracije, θ poroznost, a efs i esf koeficijenti izmjene adsorpcije. Izraz izmjene

sa indeksom fs označava gubitke iz stacionarnih i nestacionarnih faza, a izraz sa sf označava suprotni slučaj.

Druga jednadžba izraza 4.10 opisuje bilancu mase za krutu fazu, poroznog medija. Kako je koncentracija tvari na krutoj površini izražena kao dio mase, koeficijent ρb mora se uzeti u obzir

kako bi dobili masenu bilancu tvari. ρb [kg/m3] predstavlja volumnu gustoću poroznog medija i

dobiva se:

sb ρθρ )1( −= (4.11)

gdje ρs predstavlja gustoću čvrstog materijala bez pora.

Na desnoj strani jednadžbe 4.10 js označava protoke u krutoj fazi. U podzemnoj vodi ili sustavima tla, konvektivni ili difuzijski protoci u krutoj fazi mogu se zanemariti. Kako izraz 4.10 označava ukupnu bilancu mase, izrazi izmjene moraju biti jednaki. U dvofaznim sredinama ponori jedne faze su izvori druge faze. Zbog toga je suvišno uvesti jedan termin izmjene, a

izuzeti drugi (efs), to jest efs=- esf. Sve što je dobiveno u jednoj fazi od procesa adsorpcije mora se izgubiti u drugoj fazi. Dobiva se sustav jednadžbi:

fsssbsbsb

fs

ecjct

ecjct

+−⋅−∇=∂

∂

−−⋅−∇=∂

∂

λρρρ

θλθθ

)()(

)()(

(4.12)

Klasa pokretljivosti Koω [mL/g] Topivost S [ppm]

vrlo visoka 1-50 4,4·103-1,4·105 visoka 50-150 850-3570 srednja 150-500 110-1100 niska 500-2000 30-156 neznatna 2000-2·104 0,275-10 nepokretna >2·104 <0,252

Tablica 4.1 Klase pokretljivosti, koeficijent razdjeljenja oktanol/voda Koω prema Fetter (1994) i raspon topivosti organskih zagađivala

163

Slika 10 Izotermi adsorpcije: liearna, Freundlich i Langmuir

Izoterme sorpcije Jednadžba Broj parametara

Linearna cKc ds = 1

Freundlich 21

FFs cc

αα= 2

Langmuir c

cc

L

Ls

+=

2

1

α

α 2

Tempkin )(log21 cc TTs αα += 2

Frumkin ccK

ccKc

Fd

Fds

)2(1

)2(

3

3

exp

exp

α

α

+= 2

Langmuir-Freundlich 32

31

α

α

α

α

c

ccs

+= 3

Redlich-Petersen 32

1αα

α

c

ccs

+= 3

Toth 3/132

1

)( ααα

α

c

ccs

+= 3

Dubinin-Raduskevich )log()(log)log( 322

1 ααα +−= ccs 3

Tablica 4.2 Pregled ostalih izotermi

164

6.5. Retardacija U slučaju brze adsorpcije izrazi 4.12 teško se mogu kvantificirati i promjenjivi su u vremenu i prostoru. Za analizu procesa pronosa prikladno je koristiti matematičku jednadžbu u kojoj izrazi efs i esf nestaju. Ako se zanemari odumiranje i razgradnja, zbrajanjem izraza 4.12 dobiva se:

)()()( sbsb jjcct

ρθρθ ⋅∇−⋅−∇=+∂

∂ (5.1)

Zbrajanjem se nepoznata varijabla cs eliminira. U slučaju brze adsorpcije koristi se relacija za izotermu 4.1 te jednadžba 5.1 se izražava u obliku:

c

cRjegdjejjcR

t

sbsb

θ

ρρθθ +=⋅∇−⋅−∇=

∂

∂1)()()( (5.2)

gdje je R koeficijent retardacije. Koeficijent retardacije je mjera kašnjenja neke tvari u odnosu na konvektivni tok podzemne vode. U radovima u kojima se istražuju procesi podzemne vode, postoje alternativne jednadžbe koje su važeće za situacije u sustavima sa konstantnom poroznosti. Faktor retardacije pojavljuje se izvan derivacije vremena i dobiva se izraz:

c

cRjegdjejjc

tR sb

sb∂

∂+=⋅∇−⋅−∇=

∂

∂

θ

ρρθθ 1)()( (5.3)

Za jednadžbu 5.3 se pretpostavlja da su poroznost i volumna gustoća konstantni u vremenu. Kada je iznos za R=1 tada na proces pronosa ne utječe retardacija, a za slučajeve kad je koeficijent retardacije veći od 1 tada na pronos utječe retardacija. U slučajevima linearne izoterme cs/c=Kd, dobiva se:

KdR b

θ

ρ+= 1 (5.4)

i nema razlike između koeficijenta R u izrazima 5.2 i 5.3. Za izraz 5.4 konstantan je faktor

retardacije za konstantnu θ. Iznosi koeficijenata retardacije kreću se u veličinama većim od 1 pa sve do 107 za element Torij 232, prema (Luo i drugi 2000.). koeficijent retardacije R ovisi o koncentraciji i o poroznosti, te je promjenjiva veličina u vremenu i prostoru. Za jednadžbu izoterme Freundlich dobiva se:

121

2)(1−+= FcR FF

b αααθ

ρ (5.5)

za Langmuir izotermu dobiva se:

22

21

)(1

cR

L

LLb

++=

α

αα

θ

ρ (5.6)

165

U sustavima sa jednom stacionarnom fazom kao u podzemnoj vodi, izrazi 5.1 i 5.2 imaju prednost u usporedbi sa izrazom 4.12. Ako je kruta faza stacionara, procesi konvekcije i difuzije nisu prisutni, tada vrijedi izraz za protok: js=0. Tada se dobiva diferencialna jednadžba za izraz 5.3 za nepoznatu varijablu c:

cvcDct

R ∇⋅−∇⋅∇=∂

∂θθθ )( (5.7)

Na desnoj strani jednadžbe nalaze se izrazi za difuziju, disperziju i konvekciju u tekućoj fazi, ali nema izraza za krutu fazu. Rješenjem diferencijalne jednadžbe, druga nepoznata varijabla cs i njezina promjena u vremenu i prostoru može se jednostavno izračunati uz pomoć izoterme.

Dijeljenjem sa θ dobiva se:

cvcDct

R ∇⋅−∇⋅∇=∂

∂)( (5.8)

Izraz 5.7 se uspoređuje sa izrazom 2.29. U izrazu 5.7 faktor retardacije predstavlja zakonitost vremenskog perioda u usporedbi sa traserom. Matematički to se može zapisat R· ∂/ ∂t = ∂/∂t (t/R). Koristeći novi vremenski period Rtt ⋅= može se reći da je prostorni raspored

koncentracije tvari na koju utječe retardacija u vremenu t , jednak raspodjeli trasera u vremenu t. U slučaju retardacije, adsorpcija nema utjecaja na stacionarni raspored koncentracije. To se

može vidjeti u izrazima 5.8 i 5.7: lijeva strana nestaje, a koncentracija c je rješenje izraza na desnoj strani diferencijalne jednadžbe, u kojoj se koeficijent retardacije ne pojavljuje. U jednadžbe se moraju uključiti izrazi za razgradnju. Umjesto izraza 5.1 dobiva se:

ssbsbsb cjcjcct

λρρλθθρθ −⋅∇−−⋅−∇=+∂

∂)()()( (5.9)

Umjesto izraza 5.2 dobiva se:

c

cRjegdjecRjjcR

t

ssbsb

λ

λ

θ

ρθλρθθ +=−⋅∇−⋅−∇=

∂

∂1

~~)()()( (5.10)

Ako je iznos razgradnje u obje faze isti (što je slučaj kod radioaktivnog raspadanja radionuklida),

oba R-koeficijenta su jednaka: RR =~

. Za stacionarnu poroznu matricu, umjesto izraza 5.7 dobiva se diferencijalna jednadžba:

cvcDct

R ∇⋅−∇⋅∇=∂

∂)( (5.11)

166

6.6. Analitička rješenja

167

168

169

6.7. Jednostavan 1D analitički model konvektivne disperzije U poglavlju 2 pokazuje se kako se procesi i osnovni zakoni mogu formulirat u oblik diferencijalnih jednadžbi. Postoje analitička rješenja za relativno malo situacija, u usporedbi sa velikom kompleksnosti koja se može prezentirati diferencijalnim jednadžbama. Zbog toga se koristi pristup kojim se aproksimacija rješenja dobije matematičkim algoritmom pomoću računala. Te aproksimacije rješavamo numeričkim metodama a rješenja takvih metoda nazivaju se numerička rješenja. Od numeričkih metoda koriste se:

• metode konačnih diferencija • metode konačnih elemenata • metode karakteristika • metode čestica

Metoda konačnih diferencija se zasniva na diskretizaciji prostora i vremena. Postupak je sličan postupku modeliranja strujanja podzemnih voda. Zbog jednostavnosti se obično usvaja da je mreža ekvidistantna a jednadžbe se postavljaju kao kod modeliranja toka podzemnih voda. Pristup formiranju jednadžbi može biti ili zamjenom derivacija konačnim diferencijama ili postavljanjem jednadžbe održanja mase zagađivala u jediničnom elementu. Zakon održanja mase zagađivala u svakoj ćeliji kaže da se u vremenskom intervalu (t, t+∆t) razlika izlaza i ulaza uz usvajanje uskladištenja, advekcije, disperzije i reakcije jednaka nuli. Modeliranje pronosa zagađivala metodom konačnih elemenata se obično zasniva na Galerkin-ovom pristupu i analogno je opisu modela za strujanje podzemnih voda. Problemi sa rubnim uvjetima Neuman-ovog tipa za metodu konačnih diferencija su i ovdje prisutni a najčešće se izbjegavaju postavljanjem ruba poznate koncentracije dovoljno daleko od “oblaka” zagađivala. Da bi se izbjegla pojava numeričke disperzije koja se javlja kod MKE i MKD razvijene su metoda karakteristika (metoda strujnica) i metoda čestica. Za dominantno konvektivan transport parcijalna diferencijalna jednadžba pronosa zagađivala je slična hiperboličkoj jednadžbi konvektivnog pronosa. Metoda čestica se za modeliranje pronosa zagađivala koristi već dulje vrijeme. Kao i kod metode karakteristika zagađivalo se prikazuje nizom čestica. Modeliranje procesa disperzije se ipak bitno razlikuje. Dok metoda karakteristika koristi čestice (kontaminirane ili nekontaminirane) po cijelom modeliranom prostoru i svakoj je pridružena određena koncentracija, u metodi čestica se kreću samo čestice koje predstavljaju zagađivalo. Svaka čestica ima konstantnu masu a suma masa svih čestica je jednaka količini zagađivala koja je ušla u prostor. Disperzija se modelira kao superpozicija konvektivnog pomaka (deterministički definiranog) i slučajnog pomaka koji ima statističke parametre iste kao i disperzivni proces. Promatranjem pomaka niza čestica dobiva se slika o napredovanju zagađivala. Primjeri numeričkih metoda i rješenja prikazani su u poglavlju 6. Dobivena su aproksimativna rješenja jednadžbe pronosa 2.26 za 1D konvektivni pronos tvari. Pretpostavi se niz ćelija jednakih geometrija, kako je prikazano na slici 20, koje predstavljaju idealnu situaciju promatranog sustava. Pretpostavka je da su protok i brzina konstantni kroz ćeliju. Istražuje se kako na raspodjelu koncentracije u cijelom sustavu utječe trenutak kada u

170

prvu ćeliju ulazi koncentracija cin. Svaka ćelija ima svoju koncentraciju, koncentracija u i-toj

ćeliji označava se ci . Izračunava se koncentracija ci ovisno o vremenskim parametrima i parametrima pronosa.

Slika 20 Ćelije u nizu

Jednostavan algoritam je predstavljen u nastavku koji oponaša procese konvekcije i disperzije. Počnimo sa konvekcijom: poslije određenog vremenskog koraka ∆t , cijeli sistem bi se pomaknuo

sa jednu ćeliju. Vremenski korak ovisi o brzini v i prostornom proširenju ćelije u smjeru ∆x .

Jednadžba glasi : ∆t=∆x/v

Slika 21 Konvektivni pronos fronte koncentracije kroz 1D prostor

Fronta povećane koncentracije putuje s lijeva na desno. Redoslijed prikazuje proces konvekije, to jest čisti pronos putem polja pronosa. Ono što nije ispravno je to da je vertikalna linija fronte malo nagnuta. Moglo bi se pomisliti da to predstavlja malu prijelaznu zonu između režima niske i visoke koncentracije, ali takva zona bi bila rezultat difuzije ili disperzije, procesa koji još uvijek nisu uključeni u model. U stvari, nagib je efekt prostorne diskretizacije, npr. predstavljanje 1D prostornog intervala konačnog broja diskretiziranih ćelija. Proces difuzije opisan je Fick-ovim zakonom koji za 1d glasi:

x-D

∂

∂=

cj

gdje je D koeficijent difuzije. Primjenom zakona očuvanje mase zajedno sa Fick-ovim zakonom dobiva se jednadžba pronosa koja je ujedno i diferencijalna jednadžba koncentracija c. Uspostavlja se bilanca mase za kontrolni volumen:

x

txjtxj

t

txcttxc xx

∆

−−+−=

∆

−∆+ ),(),(),(),(

171

Kako bi se opisala promjena koncentracije u konačnom sustavu ćelija, ista jednadžba može se koristiti za svaku ćeliju posebno. Proizvoljno se odabire ćelija na poziciji i niza sa susjednim

ćelijama na pozicijama i+1 i i-1. Koncentracije u ćelijama označavaju se ci, ci+1 i ci-1. Pronos u x-smjeru preko rubova ćelije može se aproksimirati pomoću varijante Fick-ovog zakona:

x-D

x-D 11

∆

−=

∆

+= −

−+

+ii

x

ii

x

ccji

ccj

Ovi izrazi služe za aproksimaciju rješenja, a ne za točan proračun. Pretpostavlja se da male greške u aproksimacijama mogu vodit da manjih derivacija između analitičkih i numeričkih rješenja nakon rješavanja algoritma. Zamjenom izraza konačnih razlika u jednadžbi očuvanju mase dobiva se:

2

11,

11,

x

2

t

xxx

1

t

∆

+−=

∆

−

∆

−+

∆

−−

∆−=

∆

−

−+

−+

iiiinewi

iiiiinewi

cccD

cci

ccD

ccD

cc

gdje newic , označava koncentraciju u i-toj ćeliji u „novom“ vremenskom koraku tt ∆+ , dok sve

druge koncentracije vrijede u vremenu t. Odnos na desnoj strani je razlika druge derivacije 22 / xc ∂∂ . Postoji čitav niz numeričkih metoda čija je osnova metoda konačnih razlika, dok ovdje

jednostavan algoritam usvaja tu metodologiju ali samo za simulaciju difuzijsko/disperzijskog pronosa. U tim jednadžbama, koncentracije u susjednim ćelijama su povezane. Dobiva se eksplicitna jednadžba sa kojom se proračunava koncentracija u čvoru „i“ za „novi“ vremenski

korak newic , temeljem poznatih koncentracija u čvorovima „i-1,i,i+1“ u „starom“ vremenskom

koraku ci, ci+1 i ci-1 :

( )112, 2x

t+− +−

∆

∆⋅+= iiiinewi ccc

Dcc

Koeficijenti koji se pojavljuju ispred zagrada, 2x

t

∆

∆⋅D , poznati su kao Neumann-ov broj ili broj

vremenskih koraka procesa difuzijsko/disperzijskog pronosa:

2

1

x

t2diff ≤

∆

∆⋅=

DNeu (7.1)

Točnost algoritma se može poboljšati koristeći nekoliko koraka difuzije/disperzije (M) u jednom

„konvektivnom“ vremenskom koraku simulacije ( t/Mt diff ∆=∆ ). Konvektivni vremenski korak

t∆ nije uzet proizvoljno već je određen brzinom v i dimenzijom ćelije x∆ . Kako je prikazano na slici 25, porast prijelaznog područja sa koncentracijama između početnih i ulaznih koncentracija je očit. Prijelazna zona kreće se zajedno sa napredujućom frontom, na slici sa lijeva na desno. Isto je tako razvidno da se zona prijelaza proširuje u vremenu, drugim riječima: gradijent koncentracija postaje manje izražen.

172

Na početku simulacije gradijent koncentracije je veoma izražen pa je i greška numeričkog proračuna uslijed aproksimativnog prikaza diferencijala izraženija. Tu pogrešku se može smanjiti progušćenjem prostornog koraka (povećanje broja ćelija).

Postoji više uzroka pojave razlika na kraju izlaznog ruba. Rubni uvjeti, koji su uključeni u numerički algoritam, ne preklapaju se sa analitičkim rješenjem koje je važeće za beskonačni poluprostor x≥0. „erfc“ rješenja jednadžbi 6.1 i 6.2 ne ispunjavaju Neumann-ov rubni uvjet

0=∂∂ x/c za bilo koju konačnu lokaciju.

Slika 22 Prostorna raspodjela koncentracija za numeričko rješenje difuzijsko/disperzivne

komponente pronosa

Slika 23 Usporedba prostorne raspodjela koncentracija za numeričko rješenje

difuzijsko/disperzivne komponente pronosa i cjelokupnog kovektivno-difuzivnog/disperzivnog pronosa

173

Slika 24 Usporedba vremenskog razvoja koncentracija na pojedinim „nizvodnim“ stacionažama xi

(numeričko rješenje za cjelokupni kovektivno-disperzivni pronos)

Slika 25 Usporedba prostorne raspodjela koncentracija za analitičko i numeričko rješenje

cjelokupnog kovektivno-disperzivnog pronosa

174

7. MODELIRANJE GENERIRANJA POVRŠINSKIH VJETROVNIH VALOVA

7.1. Uvod Važan element u provedbi proračuna stabilnosti hidrotehničkih konstrukcija, poput platformi na otvorenom moru ili valobrana u priobalju, je analiza dinamičkog opterećenja izazvanog valovima. Zbog toga je vrlo važno omogućiti praćenje vjetrovalne klime na području planiranih građevinskih-hidrotehničkih aktivnosti sa što većom prostornom i vremenskom rezolucijom. Mjerenje valova sa valografima je vremenski i financijski zahtjevno a dobivene informacije mjerodavne su za sam lokalitet provedenog monitoringa. U novije vrijeme valografska mjerenja obavljaju se u svrhu baždarenja numeričkih modela sa kojima se omogućava prostorna interpolacija rezultata na proizvoljno detaljnim prostornim i vremenskim skalama. Za aktiviranje modela valne dinamike potrebni su i podaci u vidu polja vjetrovnog djelovanja iznad analiziranog područja. U Državnom hidrometeorološkom zavodu Hrvatske je trenutno operativno funkcionalan atmosferski model Aladin koji koristi vremensku rezoluciju od 3 sata i prostornu rezoluciju od 8km, dostatnu za razlučivanje intenzivnih izmjena u smjerovima i intenzitetima prevladavajućih vjetrova na području Jadrana. Izlazni skup podataka o brzinama i smjerovima vjetra na 10m od površine iz modela Aladin moguće je koristiti za numeričko spektralno modeliranje valne klime na području Jadrana. Proces generiranja valova od njihove inicijalizacije do razvijenog stanja prijenosa energije sa vjetra na valove do sada nije potpunosti razriješen. Doprinose u općoj teoriji generiranja valova dali su Lamb, Phillips i Miles a u numeričkoj implementaciji teorijskih osnova Donelan, Cavaleri i Malanotte-Rizzoli te Janssen i Johnson. Pioniri istraživanja o značajnim valnim visinama u području ograničenih privjetrištta dali su Sverdrup i Munk te Bretschneider. U novije vrijeme vrlo značajni doprinos istraživanju dali su između Kahma i Calkoen. U nastavku se daju jednadžbe procesa valnog generiranja te numerička modelska implementacija za područje Jadrana.

175

7.2. Jednadžbe procesa Osnovna jednadžba analiziranog procesa je jednadžba očuvanja valnog djelovanja N(X,t,ω,θ)=E(X,t,ω,θ)/ω, definiranog omjerom gustoće energije valnog spektra E i kutne frekvencije ω:

( ) ( )ω

PIVN

t

N +=⋅∇+

∂

∂ (7.1)

gdje je: t vrijeme, X(x,y) kartezijeve koordinate, V=(cx, cy, cω, cθ) brzina valne grupe u 4-dimenzionalnoj (X,ω,θ) domeni, I,P članovi izvora i ponora, ∇ diferencijalni operator u 4-dimenzionalnoj (X,ω,θ) domeni, θ smjer valnog napredovanja, ω kutna frekvencija izražena

jednadžbom linearne valne disperzije )tanh(kdgh=ω , k = 2π /L valni broj, L duljina vala, d

dubina vode. Četiri karakteristične brzine cx, cy, cω i cθ definirane su jednakostima (cx, cy) = dX/dt, cω = dω

/dt, cθ = dθ /dt. Član izvora I definiran je prema rezultatima istraživanja prikazanih u radovima Janssen-a u kojima je pokazano da intenzitet valnog generiranja ovisi o vremenu proteklom od inicijalizacije vala:

),(),( θγθ fEfI = (7.2)

gdje je: f = ω /2π valna frekvencija, γ intenzitet valnog generiranja. Intenzitet valnog generiranja definiran je izrazom predloženim od Janssen-a:

( )

−

= ∗

VJ

V

Z

c

uθθµµ

κρ

ρωγ cosln

2,1 4

2 (7.3)

gdje je: ρZ, ρV gustoće zraka i vode, κ Karman-ova konstanta (0,4), θVJ smjer vjetra, θ smjer vala, u* brzinsko trenja od vjetra, c=ω /k fazna brzina vala, µ bezdimenzionalna kritična visina vala definirana izrazom µ=kz0 exp(κ /m), z0 hrapavost morske površine inducirana djelovanjem vjetra. Parametar z0 definiran je odnosom:

2/1

2

2

0 1

−

∗

∗

−=

ug

uzz

Z

VCHARNOCK

ρ

τ (7.4)

gdje je: τV naprezanje na morskoj površini inducirano djelovanjem vjetra, zCHARNOCK modelska konstanta (0,01).

176

Članom ponora P obuhvaća se disipacijski proces izazvan površinskim lomovima valova (eng: whitecapping) koji je u modelu inkorporiran prema radu Komen-a. Formulacija člana P izražena je slijedećom jednadžbom:

( ) )θ,(ωδ1α

α=)θ,(

2

fEk

kCfP

m

PM

dis (7.5)

gdje je: Cdis i δ baždarni koeficijenti, m = 4, α sveukupna strmost valnog polja, αPM strmost

valnog polja u Pierson-Moskowitz valnom spektru, ω srednja kutna frekvencija, k srednji valni broj.

177

7.3. Uspostava numeričkog modela Numerička analiza provedena je sa spektralnim numeričkim modelom MIKE 21/SW (www.dhigroup.com) sa kojim je omogućena analiza generiranja, deformiranja i zamiranja gravitacionih vjetrovnih valova. Numerički model zasnovan je na diskretizaciji geografske-prostorne i spektralne domene sa konačnim volumenima. U prostornoj domeni korištena je nestrukturirana mreža sačinjena od nepreklapajućih trokutastih ćelija a u frekventnoj domeni korištena je logaritamska distribucija. Za spektralnu diskretizaciju frekvencijske domene korištena je logaritamska skala od minimalne frekvencije 0,08Hz (valni period 12,5s) do maksimalne frekvencije 0,95Hz (valni period 1,05s), kroz 26 diskretnih koraka. Spomenutim rasponom osigurava se obuhvat svih relevantnih spektralnih perioda koje se mogu očekivati u analiziranom području. Modelom su obuhvaćeni procesi valnog generiranja sa vjetrom, međusobnih valnih nelinearnih interakcija, refrakcije i šolinga te disipacijskog procesa pri površinskim lomovima valova. Korišteni su disipacijski koeficijenti sa konstantnim vrijednostima 2,5 i 0,5. Modelskim analizama pokriven je period 1.11.2007.-15.11.2008. Na slici 7.2 prikazana je prostorna domena numeričkog modela valnog generiranja kojom je obuhvaćeno područje cijelog Jadrana. Na slici 7.2 prikazana je i batimetrijska podloga bazirana na prostornoj kontinuiranoj rasterskoj mreži podataka od 7,5' (≈200m) u longitudinalnom i latitudnom smjeru te modelska diskretizacija prostorne domene sa nestrukturiranom mrežom trokutnih konačnih volumena. Udaljenosti između numeričkih čvorova postavljenih u težištima konačnih volumena su varijabilne u rasponu od 160m do 9500m. Modelska domena nema otvorenih granica a sve krute granice su potpuno absorbcijske (odsustvo refleksije). Usvajanjem takve pretpostavke o izuzeću otvorenih granica, koje su očigledno prisutne u prirodi na Otrantu, unešena je inicijalna pogreška u modelskom generiranju valova pri vjetrovima iz SE smjera. Obzirom na položenost obalne crte zaključuje se da unešena pogreška prihvatljivo mala te da ima utjecaj na modelske rezultate samo na području bliskom Otrantu. Početni uvjeti (1.11.2007.) definirani su sa nultim valnim spektrom, odnosno pretpostavlja se odsustvo inicijalnog valnog gibanja na cijelom području modelske prostorne domene. Za potrebe verifikacije rezultata dobivenih numeričkim modelom korišteni su podaci sa dvije valografske postaje (slika 7.1; V1 → ϕ = 440 44,5' ; λ=130 10,2' ; V2 → ϕ = 430 29,3' ; λ=160 27,9') u periodu 1.11.2007. – 15.11.2008. tijekom provedbe Programa praćenja stanja jadranskog mora

– Jadranski projekt. Korišten je valograf tvrtke Datawell, tip MKIII s ugrađenim GPS prijemnikom i digitalnim uređajem za registriranje podataka. Izlazni podaci valografa sadrže standardne valne statistike za sukcesivne 30 minutne periode.

Slika 7.1 Pozicije valografskih postaja V1 i V2 korištenih za baždarenje numeričkog modela

178

Slika 7.2a Prostorna domena numeričkog modela sa batimetrijskom podlogom i prostornom disktretizacijom sa trokutnim konačnim volumenima

Slika 7.2b Detalj prostorne domene numeričkog modela sa batimetrijskom podlogom i prostornom disktretizacijom sa trokutnim konačnim volumenima

Na slici 7.3 prikazana je usporedba izmjerene i modelirane dinamike značajnih valnih visina, maksimalnih valnih visina te vršnih perioda na poziciji valografske postaje V1 tijekom analiziranog perioda (1.11.07-15.11.08). Na slici 7.4 prikazana je usporedba izmjerene i

179

modelirane dinamike značajnih i maksimalnih valnih visina na poziciji valografske postaje V2 tijekom analiziranog perioda (1.11.07-15.11.08).

Slika 7.3a Usporedba izmjerenog i modeliranog vremenskog niza značajnih valnih visina Hs (gore), maksimalnih valnih visina Hmax (sredina) i vršnih perioda Tp (dolje), na poziciji valografske postaje V1

180

Slika 7.3b Nastavak

181

Slika 7.4 Usporedba izmjerenog i modeliranog vremenskog niza značajnih valnih visina Hs i maksimalnih valnih visina Hmax na poziciji valografske postaje V2

182

Na slikama 7.5 i 7.6 prikazana je modelirana dinamika značajnih valnih visina i vršnih perioda na pozicijama ispred gradova Rovinj, Rijeka, Zadar-Gaženica, Šibenik, Makarska i Dubrovnik tijekom analiziranog perioda (1.11.07-15.11.08).

Slika 7.5 Modelirana dinamika značajnih valnih visina na pozicijama ispred gradova Rovinj, Rijeka, Zadar-Gaženica, Šibenik, Omiš, Makarska i Dubrovnik tijekom analiziranog perioda

183

Slika 7.6 Modelirana dinamika vršnih valnih perioda na pozicijama ispred gradova Rovinj, Rijeka, Zadar-Gaženica, Šibenik, Omiš, Makarska i Dubrovnik tijekom analiziranog perioda Na slikama 7.7 i 7.8 prikazano je modelsko polje značajnih valnih visina Hs u terminima modelskih ekstrema Hs postignutih na poziciji valografske postaje V1 (12.1.08. 21:30 – djelovanje juga ; 6.3.08. 00:30 – djelovanje bure).

184

Slika 7.7 Modelsko polje značajnih valnih visina Hs u terminu modelskog ekstrema Hs postignutog na poziciji valografske postaje V1 (12.1.08. 21:30 – djelovanje juga)

185

Slika 7.8 Modelsko polje značajnih valnih visina Hs u terminu modelskog ekstrema Hs postignutog na poziciji valografske postaje V1 (6.3.08. 00:30 – djelovanje bure) Rezultati provedenog modeliranja pokazali su slijedeće:

- Na poziciji valografa model dobro opisuje dinamiku značajnih i maksimalnih valnih visina. - Izmjerene vrijednosti značajnih valnih visina Hs na poziciji valografa V1 (za Hs>1m) i V2

(za Hs>0,5m) prosječno su veće od modeliranih za XX% i XX%, što je u okvirima točnosti mjerenja i prognostičkog karaktera ulaznih podataka o vjetru vrlo prihvatljivo.

186

- Izmjerene vrijednosti maksimalnih valnih visina Hmax na poziciji valografa V1 (za Hmax>2m) i V2 (za Hmax>1m) prosječno su veće od modeliranih za XX% i XX%, što je u okvirima točnosti mjerenja i prognostičkog karaktera ulaznih podataka o vjetru vrlo prihvatljivo.

- Vrijednosti srednje greške AE i korjena srednjeg kvadratnog odstupanja RMSE poprimile su slijedeće vrijednosti:

- Pri djelovanju juga rezultati numeričkog modela na položaju valografa V2 bolje korespondiraju izmjerenim vrijednostima nego u slučaju djelovanja bure. Može se zaključiti da mahovitost bure onemogućuje razvoj valnih visina koje bi se ostvarile u slučaju konstantnih brzina vjetra.

187

8. MODELIRANJE VALNIH DEFORMACIJA

8.1. Difrakcija

8.1.1. Općenito Pri gibanju vala, osim prijenosa energije u smjeru vala javlja se prijenos energije i okomito na smjer vala (duž valne fronte) i to od mjesta veće prema mjestu manje valne visine. Kada val naiđe na prepreku dolazi do njegovog ogibanja uslijed prijenosa te energije. Ovaj proces je poznat pod imenom difrakcija vala. Slika 8.1 prikazuje tumačenje difrakcije po Huygensovom zakonu, koji kaže da je svaka točka na fronti vala potencijalni centar novog poremećaja. U kontaktu sa preprekom valovi se ogibaju, pri čemu se mogu uočiti tri karakteristične zone: 1. zona “sjene”, u kojoj se događa difrakcija 2. zona u kojoj međudjeluju incidentni i valovi reflektirani od valobrana 3. zona neporemećenih incidentnih valova U zoni 1, incidentni valovi se ogibanjem transformiraju u valove oblika kružnog luka sa centrom u vrhu valobrana. Pri ogibanju, valne visine se smanjuju zbog širenja energije po području (Reeve).

Slika 8.1 Definicijska skica difrekcije u području geometrijske sjene nepropusnog lukobrana

188

8.1.2. Helmoltzova jednadžba Matematičko rješenje valne difrakcije razvijeno je koristeći linearnu valnu teoriju, za slučaj konstantne dubine. Kako je već kazano, osnovna jednadžba gibanja tekućine pod djelovanjem harmoničnih valova je Laplace-ova jednadžba 8.1:

2 2 22

2 2 2( , , , ) 0x y z t

x y z

∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ+ + = ∇ Φ =

∂ ∂ ∂ (8.1)

Ako se u koordinatnom sustavu (x,y,z) brzinski potencijal, koji je jednak realnom dijelu kompleksnog potencijala, može napisati u obliku:

Re ( , ) ( ) i tx y Z z eΦ = Φ = ωφ (8.2)

pri čemu je φ(x, y) kompleksna funkcija koja za val u smjeru x ima oblik:

( , ) ikxx y X ae= =φ (8.3)

a Z(z) je definirana izrazom 8.4:

cosh ( )

cosh

g k D zZ

kD

+=

ω (8.4)

Uvrštavanjem 8.2 u Laplaceovu jednadžbu 8.1, dobije se Helmholtzova jednadžba 8.5:

2 22 2 2

2 20k k

x y

∂ ∂+ + = ∇ + =

∂ ∂

φ φφ φ φ (8.5)

Helmoltzova jednadžba je osnovna diferencijalna jednadžba za valnu difrakciju (Reeve). U literaturi (Wiegel, Goda i CEM) definirana su rješenja difrakcije za različite kutove incidentnog vala, za slučaj lukobrana kao i za slučaj otvora u lukobranu.

189

8.2. Refrakcija

8.2.1. Općenito Refrakcija je pojava koja se javlja pri nailasku valova u zonu mora gdje dubine postaju manje od polovine valne dužine λ, odnosno kada valovi počinju „osjećati“ dno. Izvan zone utjecaja dubine, valne fronte su relativno ravne i pravilne. Ulaskom u pliću zonu, struktura čestičnih putanja po dubini se izdužuje (slika 8.2), smanjuje se brzina vala, pa se i valne fronte zaokreću i mijenjaju smjer. Dio fronte vala bliži plićem moru doživljava veći gubitak valne brzine, pa se stoga i više zaokreće prema plićini. Općenito, val se nastoji zaokrenuti u tolikoj mjeri da njegova fronta postane paralelna sa konturom dna. Val koji se giba u moru promjenjive dubine (slika 8.3), sa početnom brzinom C = C(x,y), promatran u vremenu dt, prevali put: dl Cdt= (8.6) ili rastavljeno po osima:

cos

sin

dx C dt

dy C dt

=

=

α

α (8.7)

odnosno:

cos

sin

dxC

dt

dyC

dt

=

=

α

α

(8.8)

Promjena kuta kojeg tangenta u točki na brijeg incidentnog vala zatvara sa osima iznosi:

CC ds dt Cdt

Csd dt

ds s

∂ + − ∂∂ = − = −

∂α (8.9)

odnosno, ako se podijeli izraz sa dt: d C

dt s

∂= −

∂

α (8.10)

Početni uvjeti za t0 su: (x0, y0), C0 i α0, pa se numeričko rješenje traži kao:

190

0

0

0

0

0

0

cos

sin

t

t

t

t

t

t

x x C dt

y y C dt

Cdt

s

= +

= +

∂= + −

∂

∫

∫

∫

α

α

α α

(8.11)

Slika 8.2 Refrakcija

Slika 8.3 Valna zraka pri refrakciji

191

8.3. Spektralna obilježja površinskih gravitacionih vjetrovnih valovova

8.3.1. Općenito

Praksa je pokazala da valne analize vršene pomoću monokromatskih valova često vode krivoj procjeni valnog polja u kvantitativnom smislu (povećane ili smanjene vrijednosti). Na taj način projektiraju se građevine s nedostatnom sigurnosti, odnosno predimenzionirane i neekonomične građevine (PIANC). Zbog toga je u svijetu prihvaćen koncept valne analize s površinskim vjetrovnim valovima opisanim energetskim spektrom, kako bi se prezentacija vala približila realnom stanju.

Razmatraju li se površinski morski valovi s obzirom na energiju koju razvijaju, najznačajni dio spektra čine vjetrovni valovi, sa relativno kratkim valnim periodima (Slika 8.4). Oni na morskoj površini razvijaju složene oblike koji se sastoje od kombinacije valova različitih smjerova, frekvencija, faza i amplituda (Dyke). Slika 8.5 prikazuje tipični zapis valomjera, koji bilježi valni obris morske površine pobuđ enu vjetrovnim valovima, kontinuirano u vremenu. Kako bi se iz zapisa valomjera mogle izračunati razne statistike valova, potrebno je definirati pojedinačni val u takvom zapisu, a više u radovima Stewart, Dean i Dyke.

Slika 8.4 Klasifikacija površinskih morskih valova (Pršić)

Slika 8.5 Primjer grafičkog zapisa valomjera

192

8.3.2. Valna statistika Vjerojatnost pojave p(Hi) pojedinačnog vala visine Hi u zapisu od N valova može se izraziti Rayleigh-ovom raspodjelom, u svijetu prihvaćenom kao raspodjela pojedinačnih valnih visina vjetrovnih valova (Slika 8.4):

( )

2

4

22

iH

Hii

Hp H e

H

−

=

ππ

(8.12)

gdje je: H srednja visina svih valova iz zapisa. Površina ispod krivulje Rayleighove raspodjele jednaka je 1. Kumulativna vjerojatnost raspodjele P(Hi), tj. vjerojatnost pojave valova koji su manji ili jednaki visini Hi je:

( ) ( )

2

4

0

1ii

HH

H

i i iP H p H dH e

−

= = −∫π

(8.13)

Iz zapisa valova moguće je dobiti različite statističke podatke (Goda, Longuet-Higgins), a jedan od važnijih je značajna valna visina (H1/3 ili HS) koja predstavlja prosjek trećine najviših valnih visina u jednom valnom zapisu od N valova. Najviša valna visina Hmax u N valova može se izraziti kao (Longuet-Higgins):

max 0,707 lns

H H N= (8.14)

Slika 8.4 Rayleigh-ova distribucija

Standardna devijacija iz zapisa je:

*

( )t

N

Σ=

ζσ (8.15)

gdje su ζ(t) mjereni podaci (funkcija vremena), a N* broj mjerenih podataka. Za dužinu vremenskog intervala T* u kojem se mjere podaci, gustoća potencijalne energije je:

193

*2

2

*

0

1

2 2 2

T

p

g gE g dt

T

= = =

∫

ζ ρ ρ σρ ζ ζ (8.16)

Kako je / 2P

E E= ( E je ukupna gustoća energije), a s druge strane vrijedi:

( )2

2

8 16

is

Hg gE H

N

Σ= =

ρ ρ (8.17)

dobije se:

4s

H = σ (8.18) Rayleigh-ova raspodjela također vrijedi i za valne dužine i valne periode u dubokom moru, gdje vrijedi odnos λ = gT2/2π, pa slijedi:

( )( )

( )

43

0,675

42,7

iT

i T

i

Tp T e

T

−

= (8.19)

( )

4

0,675

1iT

T

iP T e

−

= − (8.20)

gdje je: T srednji valni period. 8.3.3. Energetski spektri vjetrovnih valova

8.3.3.1. Frekvencijski spektri

Uz pretpostavku da je zapis vjetrovnih valova sastavljen od kombinacije elementarnih valova (npr. predstavljenih sinusno) različitih frekvencija, amplituda (i smjerova), mogu se dati prikazi raspodjele energije tih elementarnih valova (u odnosu na frekvenciju i/ili smjer) valnim spektrima. Raspodjela valne energije u odnosu na frekvenciju predstavlja frekvencijski spektar, dok se raspodjela energije kao funkcije frekvencije i smjera zove direkcijski valni spektar. Ovaj postupak razlaganja realnog vala na komponente monokromatskih valova dobro je prihvaćen u praksi i pokazalo se da se linearnom superpozicijom rezultata valne analize pojedinih komponenti dobivaju zadovoljavajući rezultati (Panchang). Kako je srednja valna energija po jedinici valne dužine (gustoća energije) E = ρga2/2 proporcionalna kvadratu valne amplitude, koristeći Fourierov rastav (eng. Fast Fourier Transformation FFT; Dean, Goda) moguće je dobiti frekvencijski spektar (Slika 8.6) iz valnog zapisa:

194

( ) 21

2

f f

i

f

S f f a+∆

∆ = ∑ (8.21)

Izraz (8.21) predstavlja krivulju gustoće spektralne energije (Slika 8.6). Ukupna energija spektra se dobiva kao:

( )0

E g S f dfρ∞

= ∫ (8.22)

Slika 8.6 Razlaganje valnog zapisa postupkom superpozicije sinusnih valova (Fourierov rastav) i prikaz gustoće spektralne energije komponenti

Kako su energetski spektri dobiveni kombinacijom mjerenja i teorijskog rasuđivanja, danas se u praksi koriste brojni frekvencijski spektri. U literaturi (Lee) postoje i usporedbe pojedinih korištenih spektara. Općenito, spektre je moguće podijeliti na dvije grupe: spektre potpuno razvijenog mora i spektre nepotpuno razvijenog mora (Pršić). Prvu grupu karakterizira Pierson-Moskowitzov spektar, a drugu JONSWAP spektar. Spektri potpuno razvijenog mora prezentiraju takvo stanje mora kod kojeg su privjetrište i trajanje vjetra dovoljno dugi da se ostvari najveći mogući transfer energije vjetra na valove, tj. takav spektar ovisi samo o brzini vjetra (Pršić). Pierson-Moskowitz spektar izražen u funkciji frekvencije, ima oblik (Reeve):

195

( )( )

4

2 1,25

4 5

0,0081

2

pf

fgS f e

fπ

−

= (8.23)

gdje se vršna frekvencija fp računa iz izraza:

19,5

0,87

2p

gf

Uπ= (8.24)

a U19,5 je brzina vjetra na visini 19,5 m iznad srednje morske razine (CIRIA i CUR). Bretschneider-ov spektar glasi (Goda):

( ) ( )2

1,03 4

20, 257 ST fS

S

HS f e

T

− −= (8.25)

je je: HS,TS značajna visina vala i odgovarajući period. Za ovaj spektar vrijede slijedeće veze (Goda):

1

1,05p

S

fT

= (8.26)

0,946S P

T T≈ (8.27)

gdje je: fp vršna frekvencija; Tp vršni period. Spektre potpuno razvijenog mora razvijali su i drugi autori i institucije (ITTC). Spektri nepotpuno razvijenog mora opisuju takvo stanje mora kod kojeg još nije ostvaren maksimalni mogući transfer energije s vjetra na valove uslijed ograničavajućeg djelovanja privjetrišta ili trajanja vjetra na valni generativni proces (Goda). JONSWAP spektar je oblika (Goda):

( )( )

4

2 1,25

4 52

PJ

f

fJg

S f ef

µα

π

−

= (8.27)

gdje je:

0,22

2

10

0,076J

gF

Uα

−

=

(8.28)

0,33

2

10 10

3,5p

g gFf

U U

−

=

(8.29)

196

Jq

J Jµ γ= (8.30)

( )1 7, 3,3J srednja vrijednostγ = ÷ (8.31)

( )2

2 22

P

J P

f f

f

Jq e

σ

−−

= (8.32)

( )( )

0,07 :

0,09 :

a

J P

J b

J P

f f

f f

σσ

σ

≈ ≤=

≈ ≥ (8.33, 8.34)

gdje je: F dužina privjetrišta (eng. Fetch); U10 brzina vjetra na visini 10 m iznad srednje morske razine. Za ovaj spektar vrijedi (Goda):

0,7775P

T T= (8.35)

Također, mogu se uspostaviti i veze:

( )

4 0,5

10

0,33

10

5,1 10

0,059

S

S

H U F

T U F

− ≈ ⋅

= (8.36)

Za vrijednost parametra vršnog poboljšanja γ =1, JONSWAP spektar prelazi u Pierson-Moskowitz spektar (Slika 8.7). U ovu grupu spektara pripadaju i ITTC spektar za nepotpuno razvijeno more, Mitsuyasu spektar (Goda) i Ochi-Hubble spektar (Goda) sa dva vrha za kombinaciju valova mrtvog mora i vjetrovnih valova.

Slika 8.7 Pierson-Moskowitz i JONSWAP frekvencijski spektri

197

8.3.3.2. Direkcijski spektri

Vjetrovni valovi se ne mogu u potpunosti opisati samo frekvencijskim spektrom jer postoji i varijacija vjetra (vala) po smjeru, pa je zbog toga uveden koncept direkcijskog spektra kako bi se opisalo stanje superponiranih direkcijskih komponenti (Goda). Direkcijski spektar predstavlja direkcijsku raspodjelu energije frekvencijskog valnog spektra, a izražava se kao:

( ) ( ) ( ), ,d d dS f S f D fθ θ= (8.36)

gdje je: S(f,θd) funkcija gustoće direkcijskog spektra (direkcijski valni spektar); S(f) funkcija gustoće frekvencijskog spektra (frekvencijski valni spektar); Dd(f,θd) funkcija direkcijskog širenja; θd kut direkcijskog raspršenja (direkcijsko raspršenje) Funkcija direkcijskog širenja je bezdimenzionalna i vrijedi:

( ), 1d d d

D f dπ

πθ θ

−=∫ (8.37)

Stoga se može reći da frekvencijski spektar S(f) daje apsolutnu vrijednost gustoće valne energije, dok funkcija Dd(f,θd) predstavlja relativnu veličinu direkcijskog širenja valne energije, a računa se prema literaturi (Goda) kao:

( )max

min

2

2

1, cos

2cos

2

d

dd

d

s dd d

s d

D fθ

θ

θθ

θ

=

∫ (8.38)

gdje je:

5

max

2,5

max

:

:

d p

p

d

d p

p

fs f f

fs direkcijski parametar

fs f f

f

−

⋅ ≤

= −

⋅ ≥

(8.39)

sdmax je vršna vrijednost direkcijskog parametra, a fp vršna frekvencija.

Ako se raspon kuta direkcijskog širenja sd kreće u intervalu –π ≤ θd ≤ π izraz (8.36) postaje:

( )( )

( )

2

2

2 1

1, cos

1 212

2 1

d

d

s dd d

s d

d

D fs

s

θθ

Γ

π Γ−

= +

+

(8.39)

198

gdje Γ označava gama funkciju. Slika 8.8 prikazuje funkciju direkcijskog širenja i njenu kumulativnu vrijednost, za slučaj sd = 10. Iz slike je vidljivo da se približno 85% valne energije nalazi u rasponu ±30º. sd

max je proporcionalan rastu vjetrovnih valova, što se karakterizira parametrom: 2

pf U

g

π (8.40)

gdje je U brzina vjetra i vrijedi (Goda, Mitsuyasu):

2,5

max2

11,5p

d

f Us

g

π−

=

(8.41)

Preporučena vrijednosti za dubokovodne vjetrovne valove je sd

max = 10 (Goda).

Slika 8.8 Primjer funkcije širenja

U literaturi (Goda) se mogu pronaći i drugi načini prikazivanja funkcije Dd(f,θd). Sažimajući gore izneseno, može se zorno prikazati 3D izgled direkcijskog spektra, kao plohe raspodjele ukupne valne energije po smjeru i frekvenciji (Slika 8.9).

199

Slika 8.9 Primjer trodimenzionalne plohe ukupne valne energije

U moru konačne dubine valovi se transformiraju pod utjecajem valne refrakcije što rezultira dužim valnim krijestama i smanjenim direkcijskim raspršenjem, pa se i direkcijski spektri također transformiraju. Stupanj valne transformacije zbog refrakcije ovisi o batimetriji dna.

Slika 8.10 Procjena vršnog direkcijskog parametra smax u području plitkog mora (Goda)

Pretpostavi li se pravilna batimetrija sa paralelnim konturama dna, promjena funkcije direkcijskog širenja se može tretirati kao povećanje vrijednosti sd

max (Slika 8.10). Kut (θi)0 predstavlja kut incidentnih dubokovodnih valova, a λ0 je dužina dubokovodnih valova za odgovarajući valni period, izračunata po relaciji λ0 = gTS

2/2π. Ovakav dijagram je primjenjiv i na realna dna sa kompleksnom batimetrijom, kao razumna aproksimacija, jer je utjecaj kuta θi na sd

max neznatan (Goda). Kumulativna relativna energija direkcijskog valnog spektra je:

( ) ( )0

20

1, ,

d

E d d dP S f S f dfd

m

θ

πθ θ θ∞

−= ∫ ∫ (8.42)

200

gdje je:

( )2

00 2

,d d

m S f dfdπ

πθ θ

∞ −

−= ∫ ∫ - nulti spektralni moment (8.43)

Nulti spektralni moment m0 dobije se integrirajući direkcijski valni spektar u cijelom rasponu frekvencija i smjerova (jednadžba 8.43). U literaturi (Goda) moguće je pronaći razne veze između parametara valova i valnih spektara, kao što je:

04,004SH m= (8.44)

Najvažniji valni parametar koji se može dobiti iz valnog spektra je vršni period Tp. Parametri perioda dobiveni postupkom presijecanja nule, kao što je TS, ne mogu se dobiti teoretski iz valnog spektra već se njihova veza sa TP mora uspostaviti na osnovu terenskih mjerenja ili numeričkih simulacija. Što je oblik spektralnog vrha oštriji, to su i razlike između parametara valnih perioda sve manje i približavaju se vrijednosti vršnog perioda TP (Goda).

Slika 8.11 Kumulativna raspodjela relativne valne energije obzirom na kut otklona od smjera incidentnog vala (Goda)

201

8.4. Primjer numeričke analize refrakcije i difrakcije

8.4.1. Modelske postavke U slijedećem primjeru analiziraju se valne deformacije na području modelske prostorne domene u kojoj je paralelno sa obalnom crtom smješten nepropusni valobran (slika 8.12). Osim „dominantnih“ valnih deformacija refrakcije i difrakcije u numeričkom modelu su tretirane i sve ostale deformacijske komponente poput loma vala i utjecaja plićine (eng: scholing) iako o njima u prethodnom poglavlju nije bilo posebno govora. Numerička analiza provedena je sa numeričkim modelom MIKE 21/BW (detaljnija objašnjenja u zadnjem poglavlju). Veličina modeliranog područja je 1200m x 1200m sa batimetrijskim prikazom danim na slici 8.12. Na analiziranom području očituju se tri batimetrijska obilježja: horizontalna sekcija širine 176m sa konstantnom dubinom od 13,2m dubine, sekcija sa jednolikim nagibom dna 1:50 koja se proteže izmađu horizontalne sekcije i plaže, sekcija plaže sa nagibom 1:20. Nepropusni valobran duljine 266m i 35m širine smješten je parelelno sa obalnom na udaljenosti 373m od obale. Vanjska strana valobrana (koja gleda prema otvorenom moru) modelirana je kao absorbcijska, odnosno refleksija valne energije od vanjske strane valobrana je 0. Analizirana su dva slučaja incidentnog valnog djelovanja. Prvi slučaj su nailazni monokromatski valovi sa valnom visinom H = 3,2m, periodom T=10,7s i propagacijom u smjeru okomito na os valobrana. Drugi slučaj je analiziran sa direkcionim JONSWAP valni spektrom sa standardnim vrijednostima parametara, sa značajnom valnom visinom HS=4,6m i vršnim periodom TP=10,7s te središnjim incidentnim smjerom okomito na os valobrana. Minimalna period u valnom spektru je usvojena sa Tmin =4s. Direkcijsko širenje oko središnjeg incidentnog smjera je definirano sa zakonom „cos2“ i maksimalnom devijaciom od 300 obzirom na središnji smjer. Prostorna diskretizacija je provedena sa strukturiranom mrežom konačnih diferencija, sa ekvidistantnim koracima ∆x = 1m i ∆y = 1m u x i y smjeru. Linija valnog generiranja postavljena je paralelno sa crtom obale i osi valobrana (slika 8.13a,b). Kako bi se spriječila rerefleksija od krute granice, postavljene kao pravokutni okvir oko modelske domene, postavljeni su i absorbcijski slojevi (eng: sponfge layers) kroz 50 numeričkih ćelija. Vanjska strana valobrana (prema otvorenom moru) također je modelirana sa absorbcijskim slojevima a čime je anuliran utjecaj refleksije od valobrana i vraćanje valne energije u područje otvorenog mora (slika 8.13a,b). U slučaju direkcijskog spektra korištena je i lateralni pojas absorbcijskog sloja (slika 8.13b). Pri realnoj valnoj dinamici pojavljuje se penjanje odnosno spuštanje valnog obrisa na području same plaže a pri čemu se formiraju visokofrekventne valne harmonike. Kako bi se onemogućila pojava numeričke nestabilnosti korišten je i filter visokih frekvencija na području prikazanom na slici 8.14. odnosno na dubinama manjim od 0,7m.

202

U numeričkim simulacijama je korištena hrapavost sa Manningovim koeficijentom hrapavosti 1/35 m1/3/s a utjecaj viskoznosti je zanemaren. U numeričkoj formulaciji korištena je „Simple upwind differencing“ proračunska shema za prostornu diskretizaciju konvektivnog člana. Za vrijednost faktora vremenska ekstrapolacije usvojena je vrijednost 0,8. Proračunski vremenski korak je ∆t = 0,14s. Za tip brzine vrtložnog valjka odabrana je opcija 3, za vremensku skalu usvojena je vrijednost T/5=2,14s, za inicijalni i konačni kut loma usvojene su vrijednost 200 i 100. Numerička simulacija provedena je za period od 42 minute (18000 numeričkih koraka) odnosno aproksimativno 235 vršnih valnih perioda. Na slici 8.15 prikazano je 2D trenutno valno polje (u jednom proračunskom trenutku). Sa slike se mogu uočiti fenomeni refrakcije, utjecaja plićine (shoaling), difrakcije, nelinearnih interakcija (generiranje viših valnih harmonika) te lom vala. Na slici 8.16 prikazano je 3D trenutno valno polje (u jednom proračunskom trenutku). Na slici 8.17 prikazani su 2D polja omjera HS/HS-dolazno, statitički obrađena za cijelokupni period provedenih analiza.

Slika 8.12 Batimetrija na prostornoj modelskoj domeni

203

Slika 8.13a,b Absorbcijski slojevi (sponge layers) na prostornoj modelskoj domeni u slučaju monokromatskog valovanja (lijevo) i direkcijskog spektra (desno)

Slika 8.14 područje primjene visokofrekventnog filtera

204

Slika 8.15 Prikaz 2D trenutnog valnog polja (lijevo – monokromatsko valovanje; desno – spektralno)

Slika 8.16 Prikaz 3D trenutnog valnog polja (lijevo – monokromatsko valovanje; desno – spektralno)

205

Slika 8.17 Prikaz statitički obrađenih 2D polja HS/HS-dolazno za cijelokupni period provedenih analiza (lijevo – monokromatsko valovanje; desno – spektralno)

206

9. NUMERIČKI MODELI KORIŠTENI U OVOM KOLEGIJU U poglavljima koja se odnose na otvorene vodotoke koristi se model MIKE 21/HD-AD-MT (www.dhigroup.com) U poglavljima koja se odnose na valne deformacije koristi se model MIKE 21/BW. (www.dhigroup.com) U poglavljima koja se odnose na pronos efluentne suspendirane ili otopljene tvari u kontinuiranim akvatičkim sredinama koristi se model MIKE 21/HD-AD i model CORMIX (www.mixzone.com). U poglavljima koja se odnose na pronos suspendirane ili otopljene tvari u stijenama međuzrnske poroznosti koristi se model ASMWIN (www.ifu.ethz.ch/publications/software/asmwin/). U poglavljima koja se odnose na generiranje gravitacioonih vjetrovnih valova koristi se model MIKE 21/SW (www.dhigroup.com)

9.1. Numerički model MIKE 21/HD-AD Numeričkim modelom MIKE_21/HD-AD rješava se dvodimenzionalno (u horizontalnoj ravnini) stacionarno/nestacionarno tečenje nestišljive tekućine te konvektivno diperzivni proces pronosa otopljene ili suspendirane tvari u jednom vertikalnom homogenom sloju uz predpostavku hidrostatske raspodjele tlaka. Sustav jednadžbi plitkog fluida sadrži vertikalno integrirane jednadžbe kontinuiteta (1), očuvanja količine gibanja (2,3) i konvektivno-dispezivnog pronosa(4) koje u kartezijevom koordinatnom sustavu glase (Abbott, Vested):

hSy

vh

x

uh

t

h=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (1)

( ) ( ) ShuhTy

hTxx

gh

xgh

y

vuh

x

uh

t

uhSxyxx

bxsx+∂

∂+∂

∂ρ

1+

ρ

τ

ρ

τ+∂

ρ∂ρ2∂

ξ∂=∂

∂+∂

∂+∂

∂000

22

(2)

( ) ( ) ShvhTy

hTxy

gh

ygh

y

vh

x

vuh

t

vhSyyyx

bysy+

∂

∂+

∂

∂+−+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

ρρ

τ

ρ

τρ

ρ

ξ 1

2 000

22

(3)

( ) ( ) ( ) CDyx Schky

cDh

yx

cDh

xchv

xchu

xch

t+⋅⋅−

∂

∂⋅⋅

∂

∂+

∂

∂⋅⋅

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (4)

gdje je: h trenutna dubina vode (=ξ +d); d normalna dubina; ξ nadvišenje razine vodnog lica

iznad normalne dubine ; v,u komponente brzine u x i y smjeru osrednjene po dubini; C Chezy-

jev koeficijent (C = (1/M) h1/6 ; M -Manningov koeficijent hrapavosti); g gravitaciono ubrzanje; ρ0 referentna gustoća vode; x, y prostorne koordinate; t vrijeme; τbx,τby naprezanja na dnu; τsx,τsy naprezanja na površini vodnog lica; Txx, Txy, Tyy lateralna naprezanja, S intenzitet ponora ili

izvora, SS vu , komponente brzine u x i y smjeru na mjestu izvora, c koncentracija otopljene ili

207

suspendirane tvari osredenjena po vertikali; Dx, Dy koeficijenti disperzije u x i y smjeru; kD

linearni koeficijent razgradnje ili odumiranja, SC intenzitet ponora ili izvora suspendirane ili otopljene tvari. Trenje sa dnom definirano je jednadžbom 5:

2C

uug

bx

ρτ = ;

2C

vvg

by

ρτ = (5a,b)

Lateralna naprezanja Txx, Txy, Tyy u jednadžbama količine gibanja sadrže utjecaje turbulentne količine gibanja, osrednjavanja po vertikali i fluktuacije na podinkrementalnom prostornom modelsko mjerilu putem formulacije efektivnog kinematskog koeficijenta turbulentne viskoznosti E. Njime se omogućuje prigušenje oscilacija kratkih valova i reprodukcija efekata vezanih na podinkrementalno mjerilo.

x

vET;

x

v

y

uET;

x

uET yyxyxx

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂=

2

1 (6)

21

222

22

2

1/

smy

v

x

v

y

u

x

ulCE

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= (7)

gdje je: l udaljenost između dva numerička čvora a Csm modelska konstanta korištene Smagorinski formulacije. Važan element aplikacije numeričkog modela MIKE_21/HD je i rutina koja omogućava „plavljenje“ i „sušenje“ numeričkih ćelija čime se one aktiviraju odnosno deaktiviraju u jednadžbi kontinuiteta i u jednadžbama očuvanja količine gibanja. Inicijacija pretvaranja numeričke ćelije iz „suhe“ u „mokru“ dešava se pri postizanju dubine vode koju definira korisnik kao i dubinu vode ispod koje se numerički čvor pretvara iz „mokrog“ u „suhi“.

9.2. Numerički model MIKE 21/BW Numerički model MIKE_21/BW baziran je na rješavanju Bousinesq-ovih jednadžbi u vremenskoj domeni (Peregrine, Madsen). Bousinesq-ove jednadžbe sadrže članove kojim je obuhvaćen i utjecaj frekvencijske disperzije i nelinearnosti i u prelaznom i u plitkovodnom području. Frekvencijska disperzija uzeta je u obzir u jednadžbama količine gibanja u kojima je uzet u obzir i efekt vertikalnog ubrzanja na distribuciju tlakova. Jednadžbe se rješavaju korištenjem fluks-formulacije sa poboljšanim linearnim disperzijskim karakteristikama. Ovim numeričkim modelom obuhvaćeni su sve kombinacije relevantnih utjacaja na deformacije valova: prostorna varijabilnost dubina (nagibi dna), refrakcija, difrakcija, trenje sa dnom, parcijalna refleksija i transmisija, nelinearna interakcija između dva ili više valova i frekvencijsko širenje. Nelinearni fenomeni poput formiranja valne grupe, generiranje viših i nižih harmonika te analiza rezonancije također se mogu istraživati sa korištenim numeričkim modelom.

208

Osnovne jednadžbe korištenog numeričkog modela su jednadžba kontinuiteta (8) i količine gibanja (9 -x smjer ; 10 - y smjer):

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

y

q

x

p

tn

ς (8)

022

222

=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

+++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

x

q

y

p

yx

p

xCh

qpgp

xgh

h

pq

yh

p

xt

pn TTx υυψ

ς(9)

022

222

=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

+++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

y

p

x

q

xy

q

yCh

qpgq

ygh

h

pq

xh

q

yt

qn TTy υυψ

ς(10

gdje su: p,q integrirane brzine (volumenski fluks) po dubini u Kartezijevu koordinatnom sustavu (x,y); h=d+ζ trenutna dubina; ζ izdizanje vodene površine iznad referentne mirne razi; ψx,ψy disperzivni članovi Boussinesq-ovog tipa (jednadžbe 11 i 12) za plitki fluid i za blagi nagib prema Madsen; C Chezy-jev koeficijent (C=(1/M) h1/6; M Manningov koeficijent hrapavosti); υT kinematski koeficijent turbulentne viskoznosti.

∂∂

∂+

∂∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂

∂

∂−

∂∂

∂+

∂

∂−

∂∂∂

∂+

∂∂

∂

+−=

yxBgd

tx

q

y

dd

yBgd

xBgd

ty

q

tx

p

x

dd

yxxBgd

tyx

q

tx

pdBx

ςςς

ςςψ

22

2

2

2

222

2

3

3

33

3

2

32

6

12

6

1

3

1

3

1

(11)

∂∂

∂+

∂∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂

∂

∂−

∂∂

∂+

∂

∂−

∂∂∂

∂+

∂∂

∂

+−=

yxBgd

ty

p

x

dd

yBgd

xBgd

tx

p

ty

q

y

dd

xyyBgd

tyx

p

ty

qdBy

ςςς

ςςψ

22

2

2

2

222

2

3

3

33

3

2

32

6

12

6

1

3

1

3

1

(12)

U jednadžbama 11 i 12 B predstavlja simbolnu oznaku za Bousinesq-ov koeficijent disperzije sa usvojenom vrijednosti 1/15. Time je osigurana linearna disperzija sa karakteristikama koje odgovaraju proširenju Stokesove relacije za linearnu disperziju. Trenje s dnom moguće je uključiti usvojanjem odgovarajućeg Manning-ovog koeficijenta hrapavosti a viskoznost sa usvojenjnem odgovarajuće vrijednosti Smagorinski koeficijenta. Modeli MIKE_21/BW i MIKE_21/HD-AD rješavaju sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi metodom konačnih diferencija na pravokutnoj „staggered” proračunskoj mreži u kojoj je varijabla elevacije definirana u čvornim točkama a varijable komponenti fluksevima su centralno postavljene između čvornih točkaka (Leendertse). Koristi se vremenski centrirana implicitna shema u kojoj se jednadžbe rješavaju sa jednodimenzionalnim neiterativnim koracima, alternirajući između x i y smjera („Alternative Direction Implicit” shema sa „Double Sweep” algoritmom rješavanja).

209

9.3. Numerički model CORMIX Model CORMIX autora Akar i Jirka služi za opis pronosa ispuštenog efluenta (u općem slučaju vode ili plina) u okolni recipijent na temelju karakterističnih mjerila odnosno duljina, a uzmajući u obzir svu moguću varijabilnost konstrukcijskih rješenja difuzora podmorskog ispusta. Na temelju dimenzione analize, strujanje je podijeljeno po dionicama odnosno duljinama na kojima se promatra karakteristični režim strujanja. Dimenziona analiza daje rješenja za svaki od tih režima, a skupom karakterističnih duljina određuje se mjesto tranzicije između pojedinih režima strujanja. Struktura modela odnosno procesna sekvenca programa CORMIX je sadržana iz 5 osnovnih elemenata. Datin koristi unešene korisničke podatke za njihovu analizu i definiranje potrebne aktivacije ostalih programskih elemenata. Param također koristi unešene korisničke podatke na temelju kojih se proračunavaju važni fizikalni parametri i karakteristična mjerila duljina, a koje dalje koristi Class za hidrodinamičku klasifikaciju analizirane ispusne/recipijentne karakteristične situacije u neki od mogućih generičkih konfiguracija toka baziranog na poznatim odnosima između recipijentnog strujanja i pojedinih proračunatih fizikalnih parametara (31 različitih klasa toka). Nakon provedene klasifikacije Hydro provodi detaljnu hidrodinamičku simulaciju i predikciju karakteristika efluentnog uzgonskog mlaza baziranog na teoriji sličnosti uzgonskih mlazova, integralnih modela uzgonskog mlaza, teorije ambijentalne difuzije, teorije stratificiranih tokova i dimenzionalnoj analizi. Konačno Sum objedinjuje rezultate klasifikacije i predikcije. U CORMIX-u konstrukcijski detalji samog ispusta odnosno difuzorske dionice mogu se dobro opisati sa njegovom duljinom, njegovom vertikalnom udaljenosti od dna, horizontalnom udaljenosti od obale, kontrakcijom, međusobnim razmakom i orijentacijom sapnica u vertikalnom i horizontalnom smjeru u odnosu na pravac difuzora te njihove vertikalne udaljenosti od dna. Ispuštani efluent također se opisuje sa protokom i/ili brzinom ispuštanja, gustoćom i/ili temperaturom i koncentracijom promatrane efluentne tvari. Integralni model CORMIX analizira pronos ukupnog toka polja mase, količine gibanja i unutrašnje energije te se oslanja na hipotezu proporcionalnosti brzina uvlačenja recipijentne tekućine u uzgonski mlaz i brzina na središnjoj strujnici samog uzgonskog mlaza. Bez obzira na formulaciju i opis turbulencije i ovaj model sadrži koeficijente koji su usvojeni iz rezultata eksperimentalnih mjerenja autora. 9.3.1. CORMIX – bliska zona Za razliku od druge dvije korištene metodologije u analizi razrjeđenja u bliskoj zoni, CORMIX uzima u obzir i utjecaj prisilnog djelovanja recipijentnog strujanja i samih uvjeta strujanja na mjestu unosa uzgonskog mlaza. Po vertikali stupca mora pretpostavljena je jednolika brzina strujanja U∞ . Unos uzgonskog mlaza se ostvaruje kroz kružni otvor promjera ds, sa brzinom u0, gustoćom tekućine izlaznog uzgonskog mlaza ρ0, i inicijalnom koncentracijom c0. Inicijalni kut u odnosu na horizontalnu ravninu pod kojim uzgonski mlaz izlazi iz ispusta je θ0, a kut projekcije na horizontanu ravninu je σ0. Volumni tok φ0 = u0(ds

2π/4) je dinamički gledano bitan samo u neposrednoj blizini položaja upuštanja. Dinamički bitne prisilne funkcije strujanja su inicijalne vrijednosti toka količine gibanja (kinematski) M0 = φ0u0, orijentacija θ0, σ0 i tok uzgonskog djelovanja B0 = φ0g0', a međusobni odnosi prisilnih funkcija strujanja U∞ , M0, θ0, σ0, B0 definiraju

210

strujnu sliku uzgonskog mlaza i pronosa pojedine fizikalne veličine u njemu. U modelu CORMIX definirane su odgovarajuće karakteristične duljine-mjerila u kojima vrijede slijedeći međusobni odnosi:

Karakteristična duljina za tranziciju čisti mlaz /čisti uzgonski oblak LM = M03/4 / B0

1/2

Interpretacija: udaljenost na kojoj se pojavljuje tranzicija iz područja dominacije inicijalne količine gibanja u područje dominacije uzgonskog djelovanja pri mirovanju recipijenta

Karakteristična duljina za čisti mlaz/strujanje recipijenta Lm = M01/2 / U∞

Interpretacija: udaljenost «penetracije» mlaza nakon koje dolazi do značajnijeg «skretanja» središnje strujnice mlaza usljed strujanja recipijenta

Karakteristična duljina za čisti uzgonski oblak/strujanje rcipijenta Lb = B0 / U∞3

Interpretacija: vertikalna udaljenost «penetracije» uzgonskog oblaka nakon koje dolazi do značajnijeg «skretanja» središnje strujnice usljed strujanja recipijenta

Model pretpostavlja Gaussove profile vremenski usrednjenih brzina u(r), uzgonskog ubrzanja g'(r) i koncentracije c(r) u poprečnim presjecima uzgonskog mlaza.

( )222222 λ/)λ/(∞/ =)(,'=)(',θ+=)( brbrbrcercegrgcosσcosUueru (13a,b,c)

gdje je: u, g', c brzina, uzgonsko ubrzanje i koncentracija trasera na središnjoj strujnici uzgonskog mlaza; u(r), g'(r), c(r) – brzina, uzgonsko ubrzanje i koncentracija trasera u proizvoljnoj točki Gauss-ovog profila; λ disperzijski odnos skalarnih veličina; b – karakteristični radijus presjeka uzgonskog mlaza na kojem je u(b)/ u = 1/e. Integracijom po poprečnom presjeku uzgonskog mlaza dobivaju se jednadžbe volumnog toka φ, toka specifične količine gibanja M, toka uzgonskog djelovanja B i toka mase trasera Qc u bilo kojoj točki središnje strujnice uzgonskog mlaza x,y,z. Te jednadžbe (14a-14d) zajedno sa jednadžbama očuvanja s kojima su definirane promjene uzduž središnje strujnice uzgonskog mlaza (14e-14j) i geometrijskim jednadžbama središnje strujnice (14k,l,m) čine sustav koji se u CORMIX-u rješava internim fortranskim kodom :

( )σcoscosUub θ2+π=φ ∞2 (14a)

( )2∞2

σcosθcos2+2

π= Uub

M (14b)

( )g'Uub

B σcosθcos2+2

π= ∞2

(14c)

( )cUUb

Q ec σcosγcos2+2

π= ∞2

(14d)

Eds

d=

φ (14e)

( ) σcoscos1FUσcoscosMds

d22

D θ+φ=θ ∞ (14f)

( )σcoscos1

cosσsincosFg'πbsinM

ds

d

22D

2

θ

θθ-=θ (14g)

211

( )σcoscos1

cosσsincosFsinσcosM

ds

d

22

2

D

θ

σθ-=θ (14h)

θφ= singdz

dρ

ds

dB m (14i)

0=ds

dQc (14j)

σsincosds

dysin

ds

dzcosσcos

ds

dxθ=θ=θ= (14k,l,m)

Na prostorni element uzgonskog mlaza djeluju tri sile, sila uvlačenja okolne recipijentne tekućine Fu u x smjeru, sila uzgona g'b2π u z smjeru i sila otpora uzgonskog mlaza FD koja djeluje okomito na uzgonski mlaz. Interakcija turbulencije uzgonskog mlaza sa recipijentom definirana je sa dva parametra, količinom uvlačenja recipijentne tekućine E koja se pojavljuje u jednadžbi kontinuiteta (14e) i silom otpora uzgonskog mlaza FD u jednadžbama promjene količina gibanja uzduž središnje strujnice (14g i 14h). Uvlačenje okolne tekućine E je parametrizirano izrazom:

σcoscos1σcoscosUb2πUu

σUcoscosα

Fr

sinααbuE

22

4

3

2

L

2

1 θ-θα++

θ+θ

+π2= ∞∞ ∞ (15)

gdje je: FrL – Froude-ov broj za lokalnu gustoću FrL

2 = U 2/(g' b). Sila otpora uzgonskog mlaza FD je parametrizirana sa izrazom 4, analogno strujanju oko

cilindričnog tijela radijusa b2 .

( )σcoscos1bUCF22

DD θ-2= 2∞ (16)

gdje je: CD koeficijent oblika. Na temelju eksperimentalnih istraživanja autora ovog modela dobiveni su i koeficijenti potrebni za opis mehanizma djelovanja turbulencije (Jirka): λ = 1,2 ; CD = 1,3 ; α1= 0,055 ; α2 = 0,6 ; α3 = 0,055 ; α4 = 0,5 Za režim čistog mlaza bez uzgonskog djelovanja (a) i čistog uzgonskog oblaka (b) vrijedi proporcionalnost brzine uvlačenja okolne tekućine ue i brzine na središnjoj strujnici mlaza u. Proporcionalnost je definirana slijedećim jednakostima: a) ue = α1 u = 0,055 u (17) b) ue = α5 u = 0,083 u ; za asimptotski Froude-ov broj FrL = 4,66 i sinθ =1 (18)

212

9.3.2. CORMIX – zona tranzicije Ovisno o snazi samog izvora inicijalnog toka uzgonskog djelovanja i ambijentalnog strujanja nastupiti će «uzvodno» širenje oblaka. U tom procesu pojavljuje se više ili manje intenzivno radijalno širenje sve do položaja u kome dolazi do stagnacije širenja usljed djelovanja nailaznog strujanja recipijenta i pojave povratnog-nizvodnog strujanja. Generalno govoreći mlazovi sa jakim uzgonskim djelovanjem u recipijentima sa malim brzinama struja na mjestu nailaska na horizontalnu granicu vodnog lica težiti će ka uzvodnom širenju (slika 9.1). Radijalno širenje na mjestu nailaska uzgonskog mlaza sa površinom vodnog lica uzrokuje turbulentno uvlačenje okolnog fluida. Vertikalno uvlačenje je uveliko umanjeno zbog uzgonskog djelovanja a ponovno se povećava sa povećanjem udaljenosti. Karakteristična duljina na kojoj se to dešava LN može se izvesti na temelju dimenzione analize promatrajući tok količine gibanja MN=qNUN, u kojem qN predstavlja inicijalni protok a UN inicijalnu brzinu, i konzervativni parametar uzgonskog djelovanja ΣN = q∆N = qN ∆N u kojem je ∆N = (∆ρN /ρa)/g inicijalna uzgonska akceleracija. Parametar MN ima destabilizirajuće a parametar ΣN stabilizirajuće djelovanje a karakteristična duljina je definirana kao:

2143 /

N

/

NN ∆/ML = (19)

Za analizu područja nakon karakteristične duljine odnosno udaljenosti LN od mjesta «izvora» na površini vonog lica potrebno je definirati dinamičko mješanje ostvareno u zoni unutar radijusa LN od mjesta «izvora». Akar i Jirka predlažu korištenje jednostavne prezentacije mješanja putem srednjeg faktora razrjeđenja SN tako da se protok u daljnjem području može definirati sa izrazom q = SN qN.

Slika 9.1 Skica širenja oblaka sa razlikom u gusoći u odnosu na okolni recipijent (horizontalna ravnina)

213

Na temelju argumenata mjerila Akar i Jirka dokazali su da viskozna naprezanja i uvlačenje na spoju oblaka i ambijentalnog fluida u području izvan radijalne udaljenosti LN nema bitnu ulogu u samom procesu radijalnog širenja te u dinamičkoj analizi strujanja može biti zanemareno. Zbog toga se može pretpostaviti konvektivni režim širenja u kojem sila otpora fronte oblaka uravnotežuje lokalnu silu izazvanu razlikom u gustoći oblaka i okolnog recipijentnog fluida. Sila otpora fronte oblaka je:

BaDD h)sinU(

CF2

2θρ ∞= (20)

gdje je: hB debljina fronte horizontalnog sloja-oblaka; θ lokalni kut fronte (vidi sliku 9.1); CD koeficijent otpora Silu usljed razlike gustoće oblaka i okolne recipijentne tekućine je:

FB = 0,5 ρa ∆L hB2 ;

N

N

LS

∆∆ = (21)

Uvijet ravnoteža tih sila definira i odnos debljine fronte hB i kuta ψ kao:

ψ22sinU

∆

Ch

L

D

B ∞= (22)

Na najdaljoj točki stagnacije sinψ = 1 pa pripadna debljina hs iznosi:

2

∞= U∆

Ch

L

D

s (23)

i može se promatrati kao vertikalno mjerilo intruzije. Bezdimenzionalni volumni protok predstavljen je kao omjer protok izvan radijalne udaljenosti LN po radijanu i protoka strujanja recipijenta kroz površinu hs

2:

22 shU

q'V

∞

=π

(24)

Kombinacijom navedenih jednadžbi dobiva se karakteristično mjerilo duljine LI = V'hs za područje izvan radijalne udaljenosti LN .

32 ∞

=UC

∆qL

D

L

Iπ

(25)

Jednadžbe procesa za stacionarni slučaj dvodimenzionalnog polja brzina )q,q()y,x(q yx=r

i

debljinu horizontalnog sloja-oblaka ho (x,y) su :

214

0=⋅∇ )hq( o

r (26)

ooLo hh∆)hq(q ∇−=∇⋅rr

(27)

Rubni uvijeti primjenjeni na frontu su qy-B dx = qx-B dbo za y = bo(x), na izvoru NoN hhqq == ,r

za

y=bN te na dovoljnoj nizvodnoj udaljenosti 00 →→ ∞ oh),,U(qr

. Zanemarenjem utjecaja

viskoznih naprezanja i uvlačenja na spoju oblaka i recipijenta, tečenje je bezvrtložno pa Bernoulli-jeva jednadžba poprima oblik:

.Consth∆q oL =+2

2

1 r (28)

gdje je: 22

yx qqq += - lokalna brzina; Const. konstanta definirana kroz uvjet za točku

stagnacije q = 0, ho = hS. Jones i Jirka rješili su ovaj sustav eliptično hiperpoličkih jednadžbi koristeći numerički model adaptiran za transoničnu aerodinamiku. Autori Jones i Jirka također su dokazali da strujno polje ne ovisi o uvjetima područja unutar radijalne udaljenosti LN sve dok je LI /LN >14. Srednje razrjeđenje usljed inicijalnog uvlačenja u zoni unutar radijalne udaljenosti LN definirano je na sljedeći način:

N

/

N

IN Fr

L

L,S −

= ρ

31

61 (29)

gdje je: Frρ - N = UN /(∆N L0)

1/2 Froude-ov broj za gustoću na području «N»; L0 = qN /MN1/2 mjerilo

radijalnog protoka. Iako se ovim modelom omogućuje iznalaženje vrijednosti i položaja hidrauličkih i geometrijskih parametara strujanja u zoni oko radijalnog izvora Akar i Jirka na temelju provedenih eksperimentalnih istraživanja adaptirali su model kako bi on postao primjenjljiv i za slučaj povezivanja bliske i daleke zone. Tim adaptacijama obuhvaćene su sljedeće karakteristike pojedinih parametara:

- uzvodna udaljenost intruzije xs dana je u dva režima kao:

3391 ,, <=N

I

I

s

L

Lza

L

x i 3324 ,, >=

N

I

I

s

L

Lza

L

x (30)

- nakon inicijalnog nailaska uzgonskog mlaza na površinu tokovi polja MN i qN preuzimaju se

direktno iz analize bliske zone - tok (fluks) količine gibanja umanjuje se kao MN (1-cosδi) ukoliko postoji neki kut δi između

vertikale i središnje strujnice uzgonskog mlaza prije nailaska na površinu slobodnog vodnog lica

215

- daljnja tranzicija iz područja uzvodnog radijalnog širenja u nizvodno područje daleke zone počinje na udaljenosti xD = xs, a širina na toj poziciji definirana je sa odnosom bD = 2,6xs. Geometrijski oblik fronte opisan je sa jednadžbom parabole bo(x) = bD((x+xs)/(xD+xs))

1/2

9.3.3 CORMIX – daleka zona Na slici 9.2 dan je i prikaz transferzalnog širenja oblaka u dalekoj zoni a kao kontinuirani nastavak područja radijalnog širenja oko mjesta izlaska uzgonskog mlaza na površinu vodnog lica. Lateralno širenje posljedica je preostale razlike u gustoći okolnog recipijentna i oblaka efluenta u horizontalnom smjeru. Prisutno je i nekoliko drugih mehanizama čije djelovanje utječe na formiranje konačne slike pronosa. Ti mehanizmi su konvektivno ubrzanje na fronti oblaka uključujući dinamičko mješanje na poziciji same fronte, viskozno djelovanje i uvlačenje usljed razlike brzina između oblaka i recipijentnih struja, uvlačenje recipijentne vode u oblak usljed djelovanja vjetra na vodnu površinu i gubitak razlike gustoće kroz površinsku toplinsku izmjenu. Konačno na nekoj nizvodnoj udaljenosti spomenuti utjecaji postaju zanemarivo mali naspram turbulencije recipijentnog strujanja pa se govori o dominaciji pasivnog difuzivnog procesa. Nizvodni konvektivni pronos površinskog oblaka homogenim poljem struja inicijalno nestratificiranog recipijenta dan je sa jednadžbom kontinuiteta (Akar, Jirka):

( )efeiew

oyo wwwy

hq

x

hU ++=

∂

∂+

∂

∂∞ (31)

Jednadžba količina gibanja u transferzalnom smjeru glasi:

h

qλ

y

h∆

y

qv

2

y

i

o

L

y

y +∂

∂−=

∂

∂ (32)

i jednadžbom očuvanja za razliku u gustoćama gustoća:

( ) ( )L5

yoLoL ∆ky

qh∆

x

h∆U −=

∂

∂+

∂

∂∞ (33)

gdje je: x nizvodna longitudinalna koordinata; y transferzalna koordinata; qy(x,y) – brzina u transferzalnom smjeru; ho(x,y) debljina oblaka; ∆L(x,y) = (∆ρ/ρa)g lokalna akceleracija kao posljedica razlike u gustoći; ∆ρ(x,y) lokalna razlika gustoća oblaka i recipijenta; λi koeficijent otpora trenja na horizontalnoj kontaktnoj plohi oblaka i recipijenta (naprezanja u formi kvadratnog zakona λi qy

2 (0,0035 – Abraham); k5 – koeficijent gubitka razlike gustoće (gubitak razlike gustoće uobičajeno je dan kao gubitak razlike temperature ∆T kroz površinu u linearnoj formi k5 ∆T). Jednadžbe 31-33 su vertikalno integrirane kao posljedica pretpostavke konstantnih karakteristika fluida po debljini oblaka h0 pa je vektor brzina unutar oblaka dvodimenzionalan (U∞ ,qy).

216

Tri člana desne strane jednadžbe 19 odnose se na brzine uvlačenja recipijentne tekućine kroz djelovanje vjetra wew, naponske nestabilnosti na kontaktnoj plohi oblaka i recipijenta wei, i mješanja po fronti oblaka wef. Djelovanje vjetra na vodnu površinu uzrokuje nekoliko procesa transfera energije poput generiranja lokalnog turbulentnog kretanja, razvoj polja valova i kroz duži period djelovanja formiranje polja strujanja recipijenta sa cirkulacijom. U pogledu pronosa mase otopljene ili suspendirane tvari i unutrašnje energije, bitan je samo mehanizam kojim se generira turbulencija a formiranje i modificiranje polja strujanja recipijenta može se ostvariti odabirom odgovarajuće brzine U∞. Turbulencija u površinskom djelu odnosno u području oblaka uzrokovati će pojačano uvlačenje recipijentnog fluida (manje turbulentnog) ispod samog oblaka. Veličina povećane potencijalne energije sustava usljed uvlačenja uobičajeno se definira kroz proporcionalnost sa radom ostvarenim kroz turbulentnu kinetičku energiju (Thorn). Proporcionalnost se daje sljedećim izrazom:

1

*w6ew Riukw *

−= (34)

gdje je: uw* brzinska naprezanja inducirana u recipijentu ( V/cu *w 80010= ); V brzina vjetra

mjerena 10m iznad slobodne površine; c10 bezdimenzionalni koeficijent ( c10 = (0,87+0,048 )*103

- Smith); 800 odgovarajući odnos gustoća recipijenta i zraka; k6 empirički parametar (0,234 – Christodoulou); Ri* = (∆L ho) uw* Richardson-ov broj za naprezanje.

Slika 9.2 Prikaz nizvodnog konvektivnog pronosa površinskog oblaka u homogenom polju strujanja nestratificiranog recipijenta (daleka zona)

217

Transferzalno širenje uzrokuje naponske nestabilnosti i turbulentno uvlačenje na kontaktnoj plohi između recipijenta i oblaka. Izraz kojim je definirana veličina transporta na kontaktnoj plohi odnosno brzina uvlačenja wei glasi:

2

0y7ei Riqkw−= (35)

gdje je: Ri0 = (∆L ho)/qy

2 osrednjeni Richardson-ov broj za opis stabilnosti stratifikacije oblaka k7 konstanta (0,0015 – Pedersen). Kako je pokazano, na slici 9.2 fronta oblaka je relativno vertikalna obzirom na vodno lice. Lokalno gledano, ostvarena je ravnoteža sila nastalih zbog razlike u gustoći sa silama tlaka nastalim kao posljedica relativnog kretanja recipijentnog fluida ispod i oko same fronte. Posljedica turbulentnog strujanja u tom području je i uvlačenje recipijentnog fluida na mjestu podnožja čela fronte. Prema laboratorijskim istraživanjima autora Jirka, Arita pokazalo se da je ukupni dotok usljed uvlačenja okolnog recipijenta u područje oblaka qef kroz područje fronte povezano sa brzinom fronte qy-B i debljinom fronte hB na sljedeći način (Jirka, Arita):

BByef hqkq −= 8 (36)

gdje je: k8 konstanta ( 0,15-0,25 (Jirka, Arita)) Transferzalno osrednjeno učešće brzine uvlačenja je wef = qef / bo. Uvođenjem gornjih parametara uvlačenja u jednadžbu 31 jednadžbe procesa mogu se integrirati u transferzalnom smjeru uz pretpostavke da je transferzalna brzina linearno varijabilna, qy = qy-B (y/bo) ; qy-B = U∞ (dbo/dx) ; bo = f(x), a debljina oblaka ho konstantna i neovisna o transferzalnoj koordinati. Integracijom su dobivene sljedeće jednadžbe reprezentativnih parametara oblaka:

( )( )

dx

db

b

hk

dx

db

h∆

1Uk

h∆

1

U

uk

x

h o

o

o

8

5

o

2

oL

4

7

oL

3

*6o 16

−+

+

=

∂

∂ ∞

∞

(37)

2

1

23

3

+=

∞∞ o

2

io

2

oD

2

oLo

bUλhUC

h∆

dx

db (38)

dx

db

b

∆

dx

dh

h

∆

h

∆

U

k

dx

d o

o

Lo

o

L

o

L5L −−−=∆

∞

(39)

gdje je: CD (OF) koeficijent otpora oblika fronte (0,85 – Jones). U smjeru strujanja recipijenta efekt razlike u gustoćama oblaka i recipijenta graduirano nestaje a dinamičko mješanje odvija se sve izražajnije kroz turbulenciju samog recipijenta. Efekt razlike u gustoćama definiran je sa inicijalnim tokom uzgonskog djelovanja ∆0 i debljine oblaka ho. S druge strane, turbulencija prisutna u samom recipijent definirana je kroz brzinska naprezanja u*

218

recipijentnog polja strujanja. Richardson-ov broj za tok polja kojim se opisuje interakcija oba mehanizma dan je sljedećom jednadžbom:

2

s

z(KG)

s

z(CT)

f

z

uε

zgε

R

∂

∂

∂

∂

−=

ρ

ρ

(40)

gdje je: εzs(KG) koeficijent turbulentne difuzije za količinu gibanja u z smjeru ; εz

s(CT) koeficijent

turbulentne difuzije za masu otopljene ili suspendirane tvari i unutarnju energiju u z smjeru;

ρ lokalna gustoća; u vremenski osrednjena lokalna brzina u x smjeru. Na mjestu gdje Rf padne ispod određene kritične vrijednosti utjecaj razike gustoća gubi na značaju. Jirka (1979) je predložio adaptaciju jednadžbe 40 za karakteristični promatrani slučaj širenja oblaka. Adaptacijom je usvojena pretpostavka da na rubu područja u kojem postoji stabilna stratifikacija oblaka koeficijenti εz

s(KG) i εz

s(CT) imaju slične vrijednosti (Reynolds-ova

analogija). Gradijent brzina dan je logaritamskim zakonom du /dz ≈ u* /(κho) po lokalnom graničnom sloju, a za slučaj površinskog širenja oblaka usvojena je aproksimacija –(g/ρ)∂ρ/∂z ≈ ∆L/ho. Time je dobiven rezultantni izraz oblika:

2

2

*

oL

fu

hR

∆= κ (41)

Određivanje kritične vrijednosti RfC = 0,15 esperimentalno su odredili Monin i Yaglom. Iznad te vrijednosti turbulencija je «prigušena» i održava se stabilna stratificirana sa debljinom oblaka ho. Ispod te vrijednosti turbulencija «erodira» profil karakterističnih gustoća te postepeno dolazi do potpunog mješanja oblaka sa recipijentnim fluidom. Na temelju laboratorijskih istraživanja Munk i Anderson zaključili su da čak i nakon postizanja uvjeta Rf ≤ RfC prisustvo «preostale» razlike u gustoći ipak reducira koeficijent turbulentne difuzije za količine gibanja u vertikalnom smjeru εz

s(KG) a redukcija je opisana sljedećom jednakošću:

( ) 233331

/,

s −+= i(KG) ZZ(KG) Rεε (42)

gdje je: εz

s(KG) = 0,2u* h koeficijent turbulentne difuzije u uvjetima potpunog odsustva razike u

gustoći (Fischer); Ri = (κ2∆L h

2) / ho u*2 gradijentni Richardson-ov broj kojim se opisuje efekt

razlike gustoća unutar oblaka debljine ho; h dubina recipijenta od dna do vodnog lica.

9.4. Numerički model ASMWIN ASM (Aquifer Simulation Model) 2D numerički model strujanja podzemnih voda i pronosa otopljene tvari za upotrebu na računalu koje podržava operativni sustav MS- Windows. Program je razvijen kao alat za studente hidrogeologije, građevinarstva i okolišnog inženjerstva. Prva verzija ASM-a izdana je 1989. i pokretana je pod programskim jezikom MS- DOS. Od toga se ASM kontinuirano poboljšavao i unapređivao. Najnovija i najjača verzija ASM 6.0 radi pod operativnom sustavom MS- Windows. Najupečatljivija i najvažnija promjena ove verzije je u

219

tome što je u njoj sadržano user- friendly grafičko sučelje koje nije bilo uključeno u prethodne verzije programa. U isto vrijeme ASM 6.0 omogućava analizu većih domena zbog čega je primjeren čak i za profesionalnu upotrebu. Jednostavnost upotrebe ovog programa dozvoljava korisniku da se upozna sa svojstvima i osobinama podzemnog toka i pronosa mijenjajući neke bitne parametre unutar modela. Model je baziran na metodi konačnih diferencija pri čemu se pronos može tretirati kroz klasičan Euler- ov pristup ili po „random walk” metodi. Model podržava mrežu sa 150 X 150 ćelija i do 1000 vremenskih sekvenci. Diskretizirane jednadžbe procesa rješavaju se pomoću metode preduvjetnih konjugiranih gradijenata (PCG) sa mogućnošću izbora dijagonalnih ili Cholesky preduvjeta . Za stacionarno stanje toka moguće je koristiti Marquardt- Levenberg algoritam. Model praćenja čestica kod pronosa, nudi nekoliko načina interpolacije brzina i koriti Eulerovu integraciju za proračun strujnica i vremena putovanja čestica. Za stacionarno stanje toka moguće je ostvariti praćenje čestica s korakom unaprijed ili konakom unatrag. Moguće je proračunavati i simultano prikazivati strujnice i vrijeme putovanja čestica te grafički prikazati rezultantne ekvipotencije i polje brzina strujanja. Model također omogućava upotrebu heterogenih polja transmisivnosti i koeficijenata filtracije temeljem Mejia algoritma.

9.5. Numerički model MIKE 21/SW Numerički model MIKE 21/SW (www.dhigroup.com) omogućava simulaciju generiranja, deformacija i zamiranja gravitacijskih vjetrovnih valova i valova mrtvog mora u području otvorenog mora i priobalja. Modelom je omogućen izbor između dvije formulacije rješavanja, direkcijskom nevezanom parametarskom formulacijom i punom spektralnom formulacijom. Prva formulacija je bazirana na parametrizaciji jednadžbe očuvanja valnog djelovanja u frekventnoj domeni kroz uvođenje nultog i prvog momenta valnog spektra kao zavisnih varijabli (Holthuijsen). Valno djelovanje N definirano je omjerom gustoće energije valnog spektra E i kutne frekvencije ω. Ova formulacija je u proračunskom smislu manje vremenski zahtjevna i primarno se primjenjuje na manjim prostornim domenama s značajnije ograničenim privjetrištima do 50 km. Ukoliko se želi analizirati valno generiranje kroz djelovanja vjetra, moguće je korištenje samo kvazistacionarnog moda u kojem se svaki valni događaj promatra kao neovisan. Druga formulacija oslanja se na radove Komen-a i Young-a u kojima je direkcijski valni spektar zavisna varijabla. Ova formulacija zahtjeva višestruko dulje proračunsko vrijeme, no daje i rezultate većeg stupnja točnosti, posebice na velikim prostornim domenama. Ukoliko se koristi direkcijska nevezana parametarska formulacija model daje mogućnost izbora jednadžbe za vjetrovalno generiranje, prema Shore Protection Manual iz 1984. godine ili prema radu Kahma i Calkoen-a iz 1994. godine. U punom obimu, modelom se mogu modelirati procesi valnog generiranja s vjetrom, međusobnih valnih nelinearnih interakcija, refrakcije i utjecaja plićine, interakcije valova i strujanja,

220

promjene morskih razi uslijed plimnih oscilacija te disipacijski procesi izazvani trenjem sa dnom, površinskim lomovima valova (eng: white capping) i lomovima valova pri nailasku na male dubine. Refleksija i difrakcija ne mogu se tretirati ovim modelom u verziji iz 2007. godine. Diskretizacija osnovnih jednadžbi modela je bazirana na metodi konačnih volumena s kojima se dobiva nestrukturirana mreža u horizontalnoj ravnini modelske prostorne domene. Vremenska integracija provodi se s frakcionalnim koracima, pri čemu je za propagaciju valnog djelovanja korištena multisekvencijalna Euler-ova eksplicitna metoda. Član-funkcija izvora u jednadžbi očuvanja valnog djelovanja tretiran je na temelju posljednje 3. generacije u formulaciji opisa tog člana, a numerička integracija za član izvora provodi se prema metodologiji prikazanoj u radovima Komen-a te Hercbach-a i Jannsen-a. Konvektivni fluksevi proračunavaju se „upwind“ numeričkom shemom prvog reda.

221

LITERATURA 1. UVOD Bos, M.G. (1989): Discharge measurement structures, 3rd ed., International Institute for Land Reclamation and Improvement/ILRI, Wageningen, NL. Collett, C.V., Hope, A.D. (1983): Engineering Measurements, 2nd ed., Longman Scientific & Technical, Essex, England. Furness, R.A. (1989): Fluid Flow Measurement, Measurement and Control Technology Series, Longman, London, UK Kobus, H. (1980): Hydraulic Modelling, German association for water resources and land improvement, Verlag Paul Parley, Berlin, Germany. Miller, R.W. (1989): Flow measurement engineering handbook, 2nd ed., McGraw-Hill Publishing Company, New York, USA. Novak, P., Čabelka, J. (1981): Physical Principles and Design Applications, Models in Hydraulic

Enginering, Pitman advanced publishing program, Boston, USA. Wessels, A.C.E. (1985): Measuring Techniques in Hydraulic Research, A.A.Balkema, Rotterdam, NL. 2. MODELIRANJE TEČENJA U KONTINUIRANIM AKVATIČKIM SREDINAMA Abbott, M.B., Basco, D.R. (1979): Computational fluid dynamics – an introduction for engineers, Pitman, London. Andreson, J.D. (1995): Computational fluid dynamics: The basics with aplications, McGraw-Hill, New York. Cebeci,T., Kafyeke, F., Shao J.P., Laurendeau E. (2005): Computational Fluid Dynamics for

Engineers, Springer- Horizons Publishing. Cho, W.T. (1959): Open Chanel Hydraulic, McGraw-Hill, NewYork. French, R.H. (1987): Open Chanel Hydraulic, McGraw-Hill, NewYork. Hinze, J.O. (1975): Turbulence, an introduction to its mechanism and theory, McGraw-Hill, New York. Hsieh, T. (1965): Resistance of cylindrical piers in open-channel flow. ASCE Journal of Hydraulics Division, 90, HY1.

Jović, V. (2006): Uvod u hidromehaniku, Element, Zagreb.

222

Naudascher, E.(1991): Hydrodynamic forces, A. A. Balkema, Roterdam, NL. Preissler, G., Bollrich, G. (1985): Technische Hydro-mechanik/1, WEB verlag fuer bauwesen, Berlin. Press, H.; Schroeder, R. (1966): Hydromechanik im Waserbau, Ernst&Sons, Berlin. Richter,A., Naudascher,E. (1976): Fluctuating forces on a rigid circular cylinder in confined flow.

Journal Fluid Mechanics 78(3) White, F.M. (2005): Viscous fluid flow, McGraw-Hill, New York. 3.MODELIRANJE PRONOSA MULJA I VRLO SITNOG PIJESKA U OTVORENIM VODOTOCIMA Abbott D.E., Kline, S.J. (1962): Experimental investigation of subsonic turbulent flow over single and double backward facing steps, Journal of Basic Engineering, 84, 317-325. Andersen, T.J., Pejrup, M. (2001): Suspended sediment transport on a temperate, microtidal mudflat, the Danish Wadden Sea. Marine Geology, 173, 69-85 Burt, T.N. (1986): Field settling velocities of estuary muds. In Estuarine Cohesive Sediment Dynamics. Lecture Notes on Coastal and Estuarine Studies. (Mehta, A.J., ed.). Springer Verlag, Berlin, 126-150. Dongre, N.B. (2002): Settling basin design, M. Tech Thesis, Department of Civil Engineering, Indian Institute of Technology, Roorkee, India Dufresne, M., Dewals, B.J., Erpicum, S., Archembeau, P., Pirotton, M. (2010): Classificaton of flow patterns in rectangular shallow reservoirs, Journal of Hydraulic Research, 48(2), 197-204. Dyer, K.R. (1986): Coastal and Estuarine Sediment Dynamics. John Wiles & Sons, 342 Eisma, D. (1993): Suspended matter in the aquatic environment. Springer Verlag, 315. Engelund, F., Fredsøe, J. (1976): A sediment transport model for straight alluvial channels. Nordic Hydrology 7, 293-306. Garde, R.J., Ranga Raju, K.G., Sujudi, A.W.R. (1990): Design of settling basins, Journal of the Hydraulic Research, 28(1), 81-91. Hetsroni, G. (1982): Handbook of multiphase systems, McGraw-Hill Book Co., New York,9-118 ; 9-121. Julien, P.Y. (2002): River mechanics, Cambridge University Press, New York.

223

Kantoush, S. (2008): Experimental Study on the Influence of the Geometry of Shallow

Reservoirs on Flow Patterns and Sedimentation by Suspended Sediments, PhD thesis no.4048, Ecole Polytechnique Fédéral de Lausanne, Switzerland. Kantoush, S., Dewals, B.J., Erpicum, S., Schleiss, A., Pirotton, M. (2008): Flow in shallow rectangular basins: experimental study and 2D numerical simulation, ICHE, 8th

International Conference on Hydro-Science and Engineering, Nagoya, Japan. Krone, B. (1986): The significance of aggregate properties to transport processes. In: Mehta A.J. (Ed) Estuarine Cohesive Sediment Dynamics, Springer Verlag, 66-84. Krone, R.B. (1962): Flume Studies of the Transport of Sediment in Estuarial Processes. Hydraulic Engineering Laboratory and Sanitary Engineering Research Laboratory, Univ. of California, Berkely, California, Final Report. Mehta, A.J., Hayter, E.J., Parker, W.R., Krone, R.B., Teeter, A.M. (1989): Cohesive Sediment Transport. I: Process Description. Journal of Hydraulic Engineering, 115 (8), 1076-1093. Mirtskhoulava, Ts. E., (1991): Scouring by flowing water of cohesive and noncohesive beds, Journal of Hydraulic Research, 29(3), 341-355. Postma, H. (1967): Sediment Transport and Sedimentation in the Estuarine Environment. Lauff G.H: (Ed) Estuaries AAAS Publ. 83, 158-179. Rijn, L.C. (1984): Sediment Transport, Part I Bed Load Transport. Journal of Hydraulic Engineering, 110 (10). Ranga Raju, K.G., Kothayari, U.C. (2004): Sediment management in hydroelectric projects, Proceedings of the Ninth Interantional Symposium on River Sedimentation, Yichang, China. Rijn, L.C. (1984): Sediment Transport, Part II Bed Load Transport. Journal of Hydraulic Engineering, 110 (10). Tedeschi, S. (1997): Zaštita voda, udžbenik sveučilišta u Zagrebu, Zagreb. Teeter, A.M. (1986): Vertical Transport in Fine-Grained Suspension and Nearly-Deposited Sediment. Estuarine Cohesive Sediment Dynamics, Lecture Notes on Coastal and Estuarine Studies, 14, Springer Verlag, 126-149. Teisson, C.(1991): Cohesive suspended sediment transport: feasibility and limitations of numerical modelling. Journal of Hydraulic Research, 29(6). Van Olphen, H. (1963): An introduction to clay colloid chemistry. Interscience Publishers (John Wiley & Sons), 301. Van Leussen, W. (1988): Aggregation of particles, settling velocity of mud flocs. A review: Dronkers & Van Leussen (Eds.): Physical processes in estuaries. Springer Verlag, 347-403.

224

Vittal, N., Raghav, M.S. (1997): Design of Single-Chamber Settling Basins, ASCE, Journal of Environmental Engineering, 123(10), 469-471. Whitehouse, U.G., Jeffrey, L.M., Debbrecht, J.D. (1960): Differential settling tendencies of clay minerals in saline waters. Swineford (Ed) Clays and clay minerals. Proceedings 7th National Conference, Pergamon Press, 1-79. Yalin, M.S. (1972): Mechanics of Sediment Transport. Pergamon Press Ltd. Hendington Hill Hall, Oxford. 4. MODELIRANJE PRONOSA EFLUENTA U KONTINUIRANIM AKVATIČKIM SREDINAMA Akar, P. J., Jirka, G. H. (1994): Buoyant Spreading Processes in Pollutant Transport and Mixing, Part 1: Lateral spreading with ambient current advection, Journal of Hydraulic Research, 32(6), 427-439. Akar, P. J., Jirka, G. H. (1994): Buoyant Spreading Processes in Pollutant Transport and Mixing, Part 2: Upstream spreading in weak ambient current, Journal of Hydraulic Research, 33(1), 24-37. Brooks, N.H. (1960): Diffusion of sewage effluent in an ocean current, Proc. First Int. Conference on Waste Disposal in the Marine Environment, University of California, E.A. Pearson, Pergamon Press, New York. Fan, L.N., Brooks, N.H. (1966): Horizontal jets in stagnant fluid of other density, J. Hydraul. Divn., ASCE 92, 423–429. Fischer, H.B., List, E.J., Koh, R.C.Y., Imberger, J., Brooks, N.H. (1979): Mixing in Inland and

Coastal Waters, Academic Press, New York. Koh, R.C.Y., Fan, L.N. (1970): Mathematical Models for the Prediction of Temperature

Distributions Resulting from the Discharge of Heated Water into Large Bodies of Water. Envirn. Prot. Agency Rep. 16130 DWO 10/70, 219 pp. McNown, J.S. (1954): Mechanics of manifold flow, Trans. Amer. Soc. Civil. Eng. 119, 1103-1118. Pun, K.L., Davidson, M. J. (1999): On the behaviour of advected plumes and thermals, Journal of Hydraulic Research, 37(4), 296-311. Roberts, P.J.W. (1979): Line plume and ocean outfall dispersion. Journal of Hydraulic Div., Proc. Amer. Soc. Civil Eng.105, 313-331 Wood, I.R., Bell, R.G., Wilkinson, D. L. (1993): Ocean Disposal of Wastewater, Advanced Series on Ocean Engineering – Volume 8, World Scientific, London. 5. MODELI TEČENJA U STIJENAMA MEĐUZRNSKE POROZNOSTI

225

Delleur J.D. (2006): The Handbook of Groundwater Engineering, Second Edition, Ch 23, Taylor and Francis Group. Bear, J. (1979): Hydraulics of Groundwater, McGraw-Hill, New York. Domenico, P.A. and Schwartz, F.W. (1997): Physical and Chemical Hydrogeology, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York. Grove, D.B. (1976): Ion exchange reactions important in groundwater quality models. In Advances in Groundwater Hydrogeology, pp. 409-436. Am. Water Res. Assoc. Voss , C.I. and Provost, A.M. (2002): SUTRA, A model for saturated-unsaturated variable-density groundwater flow with solute or energy transport, U.S. Geol. Survey Water-Res. Inv. Rept. 02 4213. Huyakorn, P.S. and Pinder, G.F. (1983): Computational Methods in Subsurface Flow, Academic Press, New York. Konikow, L. F. (1996): Manual on Mathematical Models in Isotope Hydrogeology, International Atomic Energy Agency, Vienna, Austria. Bennett, G. D. (1976): Introduction to ground - water hydraulics: A programmed text for self instruction, Techniques of Water-Res. Invests. of the U.S. Geol. Survey, Book 3, Ch B2. 6. MODELI PRONOSA EFLUENTA U STIJENAMA MEĐUZRNSKE POROZNOSTI Holzbecher, E.(2007): Environmental Modeling using MATLAB, Springer, Berlin, Germany.

Banks, R.B., Ogata, A.(1963): A solution of the differential equation of longitudinal dispersion in porous media, Geological Survey, USA..

Gorišek, M.(1996): Diffusion of chemical species dissolved in water in porous medium of fine

grain soils, Univeristy of Ljubljana, Faculty of Civil Engineering and Geodesy, Slovenija.

Boudreau, B.P.(1996): The diffusive tortuosity of fine-grained unlithified sediments, Geochim. Cosmochim.

Drewer J.(1997): The Geochemistry of Natural Waters, Prentice-Hall, Upper-Saddle River, USA.

Archie G.E.(1942): The electrical resistivity log as an aid in determining some reservoir

characteristics, Transactions AIME.

Iversen N., Jorgensen B.B.(1993): Diffusion coefficients of sulfate and methane in marine

sediments: influence of porosity, Geochim. Cosmochim.

Kinzelbach W.(1987): Numerische Methoden zur Modellierung des Transports von Schadstoffen

im Grundwasser, Munchen, Germany.

Ogata A., Banks R.B.(1961): A Solution of the Differential Equation of Longitudinal Dispersion in Porous Media, US Geological Survey, USA.

226

Wexler E.J.(1992): Analytical solutions for one-, two-, and three-dimensional solute transport

in groundwater systems with uniform flow, Techniques of Water-Resources Investigations of the United States Geological Survey, USA.

Choy, B., Reible, D.D.(1999): Diffusion models of environmental transport, CRC press. 7. MODELIRANJE GENERIRANJA POVRŠINSKIH VJETROVNIH VALOVA Bretschneider, C.L. (1952): The generation and decay of wind waves in deep water, Trans. Am.

Geophys. Union, 33(3), 381-389. Cavaleri, L., Malanotte-Rizzoli (1981): Wind wave prediction in shallow water: Theory and application, Journal of Geophysical Research, 86 (C11), 10961-10973. Donelan, M.,A. (1977): A simple numerical model for wave and wind stress prediction, National Water Research institute manuscript, Berlington, Canada, 28. Janssen, P., A., E., M. (1989): Wave induced stress and drag of airflow over sea waves, Journal of Physical Oceanography, 19, 745-754. Janssen, P., A., E., M. (1991): Quasi-linear theory of wind wave generation applied to wave forecasting, Journal of Physical Oceanography,21, 1631-1642. Janssen, P., A., E., M. (1992): Experimental evidence of the effect of surface waves on the airflow, Journal of Physical Oceanography, 22, 1600-1604. Janssen, P., A., E., M. (1998): On the effect of ocean waves on the kinetic energy balance and consequeces for the initial disipation tehnique, Journal of Physical Oceanography, 30, 1743-1756. Johnson, H., K. (1998): On modeling wind-waves in shallow and fetch limited areas using method of Holthuijsn, Booij and Herbers, Journal of Coastal Research, 14(3), 917-932. Johnson, H., K., Kofoed-Hansen (2000): Influence of bottom friction on sea surface roughness and its impact on shallow water wind wave modeling, Journal of Physical Oceanography, 30, 1743-1756. Kahma, K., K., Calkoen, C., J., (1992): Reconciling discrepancies in the observed growth of wind –generate waves, Journal of Physical Oceanography, 22(12), 1389-1405. Lamb., H. (1932): Hydrodynamic, 6th edn, Dover publications, New York, 738. Miles, O., M. (1957): On the generation of surface waves by shear flows, Journal of Fluid Mechanics, 3, 185-204. Phillips, O., M. (1957): On the generation of waves by turbulent wind, Journal of Fluid Mechanics, 2, 417-445.

227

Sverdrup, H., V., Munk, W., H. (1946): Empirical and theoretical relations between wind, sea and swell, Trans. Am. Geophys. Union, 27, 823-827. 8. MODELIRANJE VALNIH DEFORMACIJA CEM (Coastal Engineering Manual) (2003): U.S.Army Corps of Engineers. CIRIA and CUR (1991): Manual on the use of rock in coastal and design practice, CIRIA Technical Note 125, London. Dean, R.G., Dalrymple R.A. (2007): Water Waves Mechanics for Engineers and Scientists, Advanced Series on Ocean Engineering, 2, World Scientific. Dyke, P. (2007): Modeling Coastal and Offshore Processes, Imperial College Press. Goda, Y. (1981): Random Seas and Design of Maritime Structures, Advanced Series on Ocean Engineering, 15, World Scientific, 2000. ITTC (1984): Proceedings of the 17th International Towing Tank Conference, Leningrad. Lee H.S., Kim S.D. (2006): A comparison of several wave spectra for the random wave diffraction by a semi-infinite breakwater, Ocean Engineering, 33, 1954-1971. Longuet-Higgins, M.S. (1952): On the statistical distribution of the heights of sea waves, Journal of Marine Research, XI(3), pp. 245-266. Mitsuyasu, H., Suzuki, Y. (1975): Computation of refraction and diffraction of seas waves with Mitsuyasu’s diresctional spectrum, Tech. Note of Port and Harbour Res. Inst., 230. Panchang, V.G., Wei, G., Pearce, B.R., Briggs, M.J. (1990): Numerical Simulation of Irregular Wave Propagation Over Shoal, Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, 116, 324-340. Panchang, V.G., Wei, G., Pearce, B.R. (1991): Solution to the Mild-Slope Wave Problem by Iteration, Applied Ocean Research, 13(4), 187-199. Panchang, V., Chen, W., Xu, B., Schlenker, K., Demirbilek, Z., Okihiro, M. (2000): Exterior Bathymetric Effects in Elliptic Harbor Wave Models, Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, 126(2), 71-78. Panchang, V.G., Wei, G., Pearce, B.R., Briggs, M.J. (1990): Numerical Simulation of Irregular Wave Propagation over Shoal, Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, 116(3), 324-340. Pršić, M., Carević, D., Barbarić, H. (2007): Elaborat vjetrovalne klime – Izrada matematičkog i fizikalnog modela valovanja i strujanja za gradsku luku Split, Građevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu. Pršić M. (2008): Hidrotehnički sustavi – poglavlja: pomorske gradnje, Sveučilište u Zagrebu, Građevinski fakultet. Reeve, D., Chadwick, A., Fleming, C. (2004): Coastal Engineering processes, theory and design practice, Spon Press.

228

Steward, D.R., Panchang, V.G. (2000): Improved coastal boundary condition for surface water waves, Ocean Engineering, 28, 139-157. Wiegel R.L. (1962): Diffraction of Waves by a Semi-infinite Breakwater, Journal of Hydraulics Division, 88, No. HY1, 27-44. 9. NUMERIČKI MODELI KORIŠTENI U OVOM KOLEGIJU Abbott, M.B., McCowan, A., Warren, I. R. (1981): Numerical modelling of free surface flows that

are two-dimensional in plan, Transport models for inland and coastal waters. Academic Press, London. Akar, P. J., Jirka, G. H. (1994): Buoyant Spreading Processes in Pollutant Transport and Mixing, Part 1: Lateral spreading with ambient current advection, Journal of Hydraulic Research, 32(6), 427-439. Abraham, G., Eysink, W.D. (1971): Magnitude of interfacial shear in exchange flow, Journal of Hydraulic Research, 9(2). Jirka, G.H., Arita, M. (1987): Density currents on density wedges: boundary-layer influence and control methods, Journal of Fluid Mechanics (177). Jones, J.M., Jirka, G.H., Caughey, D.A. (1983): Numerical Techniques for Steady Two-Dimensional Transcritical Stratified Flow Problems, with an Application to the Intermediate Field Dynamics of Ocean Thermal Energy Conversion Plants, Tech. Rep., School of Civil and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, New York. Monin, A.S., Yaglom, A.M. (1971): Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence, 1, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 485. Munk, W, Anderson, E.R. (1948): Notes on a theory of the thermocline, Journal of Marine

Research, 7, 276-295. Christodoulou, G.C. (1986): Interfacial mixing in stratified flows, Journal of Hxdraulic Research 24 (2). Akar, P. J., Jirka, G. H. (1994): Buoyant Spreading Processes in Pollutant Transport and Mixing, Part 2: Upstream spreading in weak ambient current, Journal of Hydraulic Research 33(1), 24-37. Fischer, H.B., List, E.J., Koh, R.C.Y., Imberger, J., Brooks, N.H. (1979): Mixing in Inland and

Coastal Waters, Academic Press, New York. Leendertse, J. J. (1964): Aspects of a computational model for water wave propagation, M.I.T. Instrumentation Laboratory, Memo SGA 5-64, Cambridge, Massachusetts. Madsen, P., A, Murray, R., Sørensen, O., R. (1991): A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics - Part 1, Coastal Eng., 15, 371-388.

229

Madsen, P., A., Sørensen, O., R. (1992): A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics - Part 2: A slowly-varying Bathymetry, Coastal Eng. , 18, 183-204. Pedersen, F.B. (1980): A monograph on Turbulent Entrainment and Friction in Two-Layer

Stratified Flow. Institute of Hydrodynamics and Hydraulic Engineering, Technical University of Danemark, Series Paper No. 25. Peregrine, D., H., (1967): Long Waves on a beach, J. Fluid Mech., 27, 815-827. Smith, S.D., Banke, E.G. (1975): Variation oft he sea surface drag coefficient with wind speed. Quart. J. Roy Meteorol. Soc., 101, 605-673. Vested, H. J., Nielsen, H. R., Jensen, H. R., Kristensen, K. B. (1995): Skill assessment of an operational hydrodynamic forecast system for the North Sea and Danish Belts, Coastal Estuarine Studies, 47, American Geophysical Union, Washington DC, 373–396.

230