mke modeliranje u analizi konstrukcija

SadrSadržaj i ciljžaj i ciljpredmetapredmeta

Analitičke metode

ANALIZA KONSTRUKCIJA

Formulisanje matematičkog

modela

Analitičke metodeNumeričke metode

MKE modeliranjekonstrukcijskih

sistema i dejstava

Proračun uticaja Provera nosivosti,

stabilnosti,upotrebljivosti i

trajnosti

AlgoritamAlgoritamprocesaprocesa

projektovanjaprojektovanja

ANALIZAPROJEKTNOG

ZADATKA

Izbor konstrukcijskog

sistema...

Oblikovanje Oblikovanje konstrukcijskog

sistema...

Numeričko modeliranje

konstrukcijskogsistema

Proračun uticaja, dimenzionisanje, provera nosivosti

stabilnosti i upotrebljivosti

Analiza projektnog zadatkaAnaliza projektnog zadatkai izbor konstrukcijskog sistemai izbor konstrukcijskog sistema

�� kreiranje kreiranje idealizovaneidealizovane i i pojednostavljene pojednostavljene

reprezentacije ponašanja reprezentacije ponašanja konstrukcijekonstrukcije

Modeliranje konstrukcijaModeliranje konstrukcija

konstrukcijekonstrukcije

Numeri čko modeliranje Numeri čko modeliranje �� matemati čka matemati čka realizacija realizacija

izabranog koncepta izabranog koncepta modeliranja konstrukcijemodeliranja konstrukcije

Cilj numeri čkog modeliranja...Cilj numeri čkog modeliranja...�� formulisanje "optimalno" formulisanje "optimalno"

kompleksnog modela ponašanja kompleksnog modela ponašanja konstrukcije za neko dejstvo...konstrukcije za neko dejstvo...

�� realno potreban kvalitet realno potreban kvalitet aproksimacije... aproksimacije...

�� uskla đenost sa mogu ćnostima uskla đenost sa mogu ćnostima prakti čne realizacije i primene... prakti čne realizacije i primene...

Konstituisanje MKE modela fizi čkom Konstituisanje MKE modela fizi čkom diskretizacijom...diskretizacijom...

kontrola reššenja

Konstituisanje MKE modela na Konstituisanje MKE modela na osnovu eksperimenta...osnovu eksperimenta...

eksp

erim

ent

diskr

etiza

cija

rešа

vanje

Diskretnorešenje

REALNISISTEM

Diskretnimodel

provera modela

Bazapodataka

Konstituisanje MKE Konstituisanje MKE modelamodelamatemati čkom matemati čkom aproksimacijom...aproksimacijom...

provera modre

aliza

cijaid

ealizacija

modela

rea

�� MKE je MKE je ""numeričkanumerička"" metodametoda""diskretnediskretne" " analizeanalize......

�� MKE MKE rešenjerešenje: : vrednostvrednost poljapolja

MMETODA KONA ČNIH ETODA KONA ČNIH ELEMENATA ELEMENATA -- MKEMKE

�� MKE MKE rešenjerešenje: : vrednostvrednost poljapoljaneke neke veličineveličine u u izabranimizabranim tačkamatačkama

zza a pojedinačnpojedinačnii problemproblem......�� ""aanalitičknalitičkoo" " rešenje: rešenje: funkcijafunkcija

promene neke promene neke veličineveličine zazaklasklasuu problemaproblema......

IIdejadeja diskretizacijdiskretizacije...e...

�� ...zamene ...zamene "stvarnog"stvarnog"" sistemasistemasistemom sistemom jednostavnijednostavnihh elemenelemenataatačija svojstva geometrijski i fizički čija svojstva geometrijski i fizički

odgovaraju sistemuodgovaraju sistemu......

�� zamene "stvarnezamene "stvarne" promene " promene neke veličine jednostavnom neke veličine jednostavnom

funkcijom...funkcijom...

Ideja aproksimacijeIdeja aproksimacije ......

odgovaraju sistemuodgovaraju sistemu......

�� ideja ideja izračunavanjaizračunavanja dužinedužinekrive na osnovu dužinekrive na osnovu dužineodgovarajućeg poligona je odgovarajućeg poligona je drevna...drevna...

Evolucija koncepta...Evolucija koncepta...

drevna...drevna...�� novije su novije su metode metode aproksimacijeaproksimacije

slosložženeene funkcije jednostavnom...funkcije jednostavnom...�� najnoviji je konceptnajnoviji je koncept diskretizacijdiskretizacijee

ssloložeženog nog sistemasistemajednostavnimjednostavnim elementimaelementima......

MKE MKE == fizičkfizičkaa diskretizacijdiskretizacijaa sistemsistemomom KEKE ++++ matematička aproksimacija u okviru KEmatematička aproksimacija u okviru KE

�� tehnologija tehnologija -- nauka nauka o o primeni znanjaprimeni znanja�� MKE MKE -- tehnologijatehnologija

za za analizu analizu konstrukcijakonstrukcija�� iizzlazaklazak iz iz okviraokvira

MKE MKE kaokao tehnologijatehnologija ......

�� iizzlazaklazak iz iz okviraokvira""naučnoistraživačkog naučnoistraživačkog rada"rada"

i podrazumevanii podrazumevani deodeosvakodnevnesvakodnevne

projektprojektaantske ntske prakseprakse

�� dovoljna tačnostdovoljna tačnost�� efikasnefikasnoo modeliranjemodeliranje

�� jednostavna jednostavna softversoftverska realizacijaska realizacija

PrednostiPrednosti primene primene MKEMKE

�� greške diskretizacijegreške diskretizacije�� greške aproksimacijegreške aproksimacije

�� greške greške softverske realizacijesoftverske realizacije

GreškeGreške u primeni u primeni MKEMKE

SoftverSoftver zaza numerinumeri ččkoko modeliranjemodeliranje

ABACUSABACUSADINAADINAALGORALGORANSYSANSYSASASASAS

AAxisVMxisVM

DRAINDRAINETABSETABS

FLASH2FLASH2ICS STRUDLICS STRUDL

IESIESISDS/STAADISDS/STAAD

RAFTSRAFTSSAMISSAMISSAPSAP

SESAMSESAM--6969SCIASCIA

SHELLSSHELLSAAxisVMxisVMBEASYBEASY

BERSAFEBERSAFECIFTSCIFTS--11001100

CASTORCASTORCOMETCOMET--PRPRCOSMOSCOSMOS

DIALDIALDIANADIANA

ISDS/STAADISDS/STAADMARCMARC

MSC/NASTRANMSC/NASTRANNISANISA

PAFECPAFECPC/RCFRAMEPC/RCFRAMEPDA/PATRANPDA/PATRAN

PACETPACETPREFEM/SERFEMPREFEM/SERFEM

SHELLSSHELLSSTANSTAN

STARSSTARSSTDYNLSTDYNLSTRESSSTRESSSUSANSUSANTABSTABSTITUSTITUS

TOWERTOWER

�� MatematičariMatematičari: definisanje funkcija za : definisanje funkcija za opisivanje opisivanje polja u intervalimapolja u intervalima......

�� FizičariFizičari: problemi graničnih vrednosti u : problemi graničnih vrednosti u mehanici mehanici kontinuumakontinuuma......

Zasluge Zasluge za razvojza razvoj i statusi status MKE?MKE?

mehanici mehanici kontinuumakontinuuma......�� InženjeriInženjeri: : svi problemi svi problemi -- jedan metod...jedan metod...�� Arhitekte: neke promene...? Arhitekte: neke promene...? ☺�� Menadžeri: brzo se uči, a jeftino...Menadžeri: brzo se uči, a jeftino...�� FFilozofi: "egistencija" rešenja... ilozofi: "egistencija" rešenja...

menadžer

inženjer

arhitekta

matematičarfizičar

...krava pastelnih nijansi dobro je

ukomponovana u estetiku livade...

U OVOJ ZEMLJISU SVE KRAVE

ŠARENE!

Dejstvo kravom neugrožava

nosivost/stabilnost...

...entitet kompleksne

teksture nalazi se u

stacionarnom stanju na

spoljnoj površinilivade?

Prostor "livada" sadrži jedan i samo jedan element tipa

"krava" sa bar jednom višebojnom

stranom!

Prema Xxxx, "Ovo je

samo iluzijao kravi".

filozof

DISKRETIZACIJADISKRETIZACIJAmodeliranje modeliranje geometrijegeometrije(mreža KE)(mreža KE)

APROKSIMACIJA 1modeliranje

konstrukcijskih elemenata

(sistem KE) AlgoritamAlgoritamMKEMKE

Prora čun pomeranja, brzina, ubrzanja,napona i sila KE

APROKSIMACIJA 2 modeliranje dejstava, konturnih i prelaznih uslova i (MKE model)

Formiranje matrica i vektora za MKE

model

MKEMKEmodeliranjamodeliranja

�� OsnovniOsnovni pristup pristup -- modelimodeliranjeranje uupojednostavljenom pojednostavljenom smislusmislu -- posle posle generisanja generisanja mreže Kmreže KE E sledi sledi modelimodeliranjeranje parametparametara KEara KE ii

Osnovni i Osnovni i napredninaprednipristup u pristup u modeliranjumodeliranju

modelimodeliranjeranje parametparametara KEara KE iiteorteorijskihijskih konturnih i prelaznihkonturnih i prelaznihuslovauslova......

�� NapredniNapredni pristuppristup -- uzimaju se u uzimaju se u obzir obzir "realni" "realni" konturnikonturni//prelazniprelazniuslovuslovi i posebni fenomenii i posebni fenomeni......

�� Jedna Jedna od najvažnijih faza u od najvažnijih faza u MKE MKE modeliranju modeliranju -- ponašanje ponašanje konstrukcije konstrukcije bitno određuju bitno određuju položaj položaj i tip oslonaca i veza...i tip oslonaca i veza...

Modeliranje konturnih Modeliranje konturnih iiprelaznih prelaznih uslova…uslova…

položaj položaj i tip oslonaca i veza...i tip oslonaca i veza...�� CASA softver CASA softver nema "nema "opciju" opciju" za za

""automatsko" modeliranje automatsko" modeliranje oslonaca oslonaca i i veza...veza...

�� Neophodno je poznavanje MKE Neophodno je poznavanje MKE tehnologije "tehnologije "specijalnih" specijalnih" KE...KE...

Značaj konturnih/prelaznih uslova kod Značaj konturnih/prelaznih uslova kod jednostavnijih i kompleksnijih modelajednostavnijih i kompleksnijih modela

štapni štapni KEKE2 2 čvora:čvora:

4 stepena slobode4 stepena slobode

Trikubni "brik" Trikubni "brik" KEKE64 64 čvora:čvora:

192 stepena 192 stepena slobode slobode

1D

2D

2DTipovi iTipovi ioblici oblici

3D

3D

oblici oblici konakona čnihčnihelemenataelemenata

MKE modeli MKE modeli prema tipu KEprema tipu KE

3D MKE3D MKEmodelimodeli

najtačniji i najsloženiji, najtačniji i najsloženiji, numerički "skupi", numerički "skupi",

2D MKE2D MKEmodelimodeli

dovoljno tačnidovoljno tačninumerički efikasni numerički efikasni

1D MKE1D MKEmodeli modeli

najjednostavniji i najjednostavniji i numerički najefikasniji, numerički najefikasniji, numerički "skupi", numerički "skupi",

pogodni za pogodni za "fundamentalna""fundamentalna"

istraživanjaistraživanja

numerički efikasni numerički efikasni pogodni za potrebe pogodni za potrebe

istraživanja i zaistraživanja i zapraktičnu primenupraktičnu primenu

numerički najefikasniji, numerički najefikasniji, optimalni za primenu u optimalni za primenu u

svakodnevnoj svakodnevnoj projektantskoj praksiprojektantskoj praksi

Numeri čka Numeri čka efikasnost efikasnost

modelamodela

Konvergencija i ta čnost MKEKonvergencija i ta čnost MKE

gornja

divergencija

ija

, st

ab

iln

ost

gornja granica

broj KE, iteracija

konvergencija

donjagranica

tačno rešenje

tačn

ost

, k

on

ve

rge

nci

Konvergencija i ta čnost MKEKonvergencija i ta čnost MKE

MKE - metoda sila

ija

, st

ab

iln

ost

MKE - metoda deformacija

tačno rešenje

tačn

ost

, k

on

ve

rge

nci

broj KE, iteracija

MreMrežžeekona čnih kona čnih kona čnih kona čnih elemenataelemenata

σx - tačno rešenje

σx - MKE rešenje

+

+

--Mz - tačno rešenje

+

+

--Mz - MKE rešenje

yy

xx

MKE γMKE γxyxy

tataččno γno γxyxy

yy

xx

PP

MKE γMKE γxyxy

tataččno γno γxyxy

wwyy

∂∂∂∂

yy

ww

ww wwxx

wwyy

wwxx yy

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ∂∂

22

ww

Dekompozicija/kompozicija u MKEDekompozicija/kompozicija u MKE

dekompozicija

definicija

transformacijaacija

�� gglobalni lobalni koordinatni sistem koordinatni sistem sistemasistemaKE (KE (koordinate čvorova, koordinate čvorova, pomeranjapomeranjačvorovačvorova, reakcije , reakcije oslonacaoslonaca i i

Koordinatni sistemiKoordinatni sistemi

čvorovačvorova, reakcije , reakcije oslonacaoslonaca i i opterećenje sistema KE)opterećenje sistema KE)

�� llokalni okalni koordinatni sistem KE (sile koordinatni sistem KE (sile uuppresecimaresecima, naponi , naponi dilatacijedilatacije i i opterećenje KE)opterećenje KE)

GlobalniGlobalni i i lokalnilokalni

Y

lokalni

lok

aln

i si

ste

m

lokalni sistem

koordinatnikoordinatnisistemisistemi

Z

X

okalni sistem

lokaln

i sist

em

lokalni sistem

globalni

sistem

Transformacija lokalnih koordinata u Transformacija lokalnih koordinata u globalne koordinateglobalne koordinate

�� [[T]T] -- matricamatrica transformacijetransformacije

[k[kgg]=[T]]=[T]TT··[k][k]··[T][T]

�� [[T]T] -- matricamatrica transformacijetransformacijekoordinatakoordinata

�� [[k] k] -- matrica krutosti KE u lokalnom matrica krutosti KE u lokalnom koordinatnom sistemukoordinatnom sistemu

�� [[kkgg] ] -- matrica krutosti KE u globalnom matrica krutosti KE u globalnom koordinatnom sistemukoordinatnom sistemu

Formiranje matrice krutosti sistemaFormiranje matrice krutosti sistema

+ + +

+ +

+ =

++

+

[[k]k] ·· {u} = {f}{u} = {f}

{u} = {u} = [k][k]--11 ·· {f}{f}

Jedna čina ravnoteže KEJedna čina ravnoteže KE

{u} = {u} = [k][k] ·· {f}{f}

�� [[k]k] -- matricamatrica krutostikrutosti KEKE�� {{u} u} -- vektor pomeranja čvorova KEvektor pomeranja čvorova KE�� {{f} f} -- vektor sila čvorova KEvektor sila čvorova KE

Matrica krutosti Matrica krutosti KEKE

}}uu{{]]NN[[))zz,,yy,,xx((uu ⋅⋅==

dVdV]]BB[[]]EE[[]]BB[[]]kk[[VV

TT ⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ∫∫

}}uu{{]]NN[[))zz,,yy,,xx((uu ⋅⋅==

�� [[B]B] -- matricamatrica vezaveza deformacijadeformacijai i pomeranjapomeranja

�� [[E] E] -- matrica karakteristika materijalamatrica karakteristika materijala�� [[N] N] -- matrica interpolacionih polinomamatrica interpolacionih polinoma

yy

vvjj

φφ

uujj xx

GlobalniGlobalni i i lokalnilokalni koordinatnikoordinatni sistemsistemštapa u ravni štapa u ravni ((6 6 stepeni stepeni slobode)slobode)

YY

yy

vvii

φφii

uuii

φφjj

XX

ii

jj

1.0

1.0

kk

kk3232

kk3322 xx

22xx

3311NN ⋅⋅++⋅⋅−−==

1.01.0

kk1414kk1111

LLxx

11NN11 −−==

Interpolacione funkcije Interpolacione funkcije štapa štapa u u ravni 1ravni 1

1.0

1.0

kk5252

kk2222 kk6262

kk5353kk2323

kk3333 kk63631.01.0

332222 LLxx

22LLxx

3311NN ⋅⋅++⋅⋅−−==

22

3322

33 LLxx

LLxx

22xxNN ++⋅⋅−−==

1.0

1.0

kk

kk6565

kk

1.01.0

kk4444

kk4141

3322 xx22

xx33NN ⋅⋅−−⋅⋅==

LLxx

NN44 ==

Interpolacione funkcije Interpolacione funkcije štapa štapa u u ravni 2ravni 2

1.0

1.0

kk2525

kk5555kk3535

kk2626 kk5656

kk6666

kk3636 1.01.0

332255 LLxx

22LLxx

33NN ⋅⋅−−⋅⋅==

22

3322

66 LLxx

LLxx

NN ++−−==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−−⋅⋅

== LLIIEE22

LLIIEE66

00LL

IIEE44LL

IIEE66LL

IIEE121200

LLIIEE66

LLIIEE1212

0000LLAAEE

0000LLAAEE

]]kk[[22

22332233

Matrica krutosti Matrica krutosti štapa štapa u u ravni u ravni u lokalnom kordinatnom sistemulokalnom kordinatnom sistemu

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅==

LLIIEE44

..simsim

LLIIEE66

LLIIEE1212

0000LLAAEE

LLLLLL]]kk[[

2233

�� E E -- modul modul elastičnosti, A elastičnosti, A -- površinapovršinaL L -- raspon, I raspon, I -- moment moment inercijeinercije

GlobalniGlobalni i i lokalnilokalni koordinatnikoordinatni sistemsistemčetvorougaonog KE četvorougaonog KE (12 (12 stepeni stepeni slobode)slobode)

YY wwii

wwjj

φφxixi

φφyiyi xxii

XX

wwll

wwkk

φφxjxj

φφyiyiyy

φφxlxl

φφylyl

φφykykφφxkxk

jj

kk

ll

++ ++ ==

==

11 22

33

11 22 33

44 55 66

77 88

�� inženjer Hrennikoffinženjer Hrennikoff (1941(1941)) -- mrežmrežaa 1D 1D elemenata elemenata -- štapovaštapova......

�� matematičar Courant matematičar Courant (1942) (1942) -- sistem sistem 2D trougaonih 2D trougaonih elemenata za problem elemenata za problem

PPrva rva publikovanapublikovana primena primena koncepta koncepta diskretizacijediskretizacije domenadomena......

2D trougaonih 2D trougaonih elemenata za problem elemenata za problem torzije cilindra (eliptična parcijalna torzije cilindra (eliptična parcijalna diferencijalna jednačina drugog diferencijalna jednačina drugog reda) reda) -- rradad nije bio zapažen od strane nije bio zapažen od strane inženjera inženjera -- postupak je bio postupak je bio praktično praktično neprimenljivneprimenljiv......

�� Argyris Argyris i saradnici (1954) i saradnici (1954) publikujupublikujuseriju radova o "efikasnoj tehnici" seriju radova o "efikasnoj tehnici" proračuna pogodnoj za proračuna pogodnoj za

PPrvrvii radoviradovi o novom konceptuo novom konceptu......

proračuna pogodnoj za proračuna pogodnoj za implementaciju na računarimaimplementaciju na računarima......

�� raraččunariunari susu počeli da se koriste i van počeli da se koriste i van naučnonaučno--istraživačkih istraživačkih laboratorijalaboratorija......

�� radovi radovi na analizna analizii ""delta krila" u delta krila" u Boeingu Boeingu TurnerTurner, , CloughClough, , Martin, Topp (1956Martin, Topp (1956 --trougaoni elementitrougaoni elementi za za diskretizaciju)diskretizaciju)......

�� Turner Turner je je inicijalno formulisao MKE u inicijalno formulisao MKE u oblik pogodan za inženjersku primenu.oblik pogodan za inženjersku primenu.....

Početni doprinos razvoju Početni doprinos razvoju konceptakoncepta......

oblik pogodan za inženjersku primenu.oblik pogodan za inženjersku primenu.....�� CloughClough razvija MAP razvija MAP -- "Matrix Algebra "Matrix Algebra

Program" za rešavanje sistema linearnih Program" za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina na računarima algebarskih jednačina na računarima IBM701 i IBM704.IBM701 i IBM704.....

�� TTermin ermin "metoda konačnih "metoda konačnih elemenata" prvi put se elemenata" prvi put se pojavio pojavio u u naslovu rada Clougha (1960) naslovu rada Clougha (1960) o o rešenju rešenju problema ravnog stanja problema ravnog stanja

"Me"Metodtoda konačnih elemenata" a konačnih elemenata" -- MKEMKE

rešenju rešenju problema ravnog stanja problema ravnog stanja napona.napona.....

�� uu tom periodu nije bilo mnogo tom periodu nije bilo mnogo publikacija posvećenih publikacija posvećenih MKEMKE(samo (samo 15 radova u 1962)15 radova u 1962)......

�� SADSAM SADSAM (Structural Analysis by (Structural Analysis by Digital Simulation of Analog Digital Simulation of Analog Methods, 1963) Methods, 1963) razvijenrazvijen od od stranestraneMacNealaMacNeala i i SchwendleraSchwendlera -- prviprvi

PoPoččetaketak razvoja razvoja komercijalnog MKE komercijalnog MKE softverasoftvera......

MacNealaMacNeala i i SchwendleraSchwendlera -- prviprvikomercijalnikomercijalni MKE MKE softver...softver...

�� MCS/NASTRAN MCS/NASTRAN (NASA Structural (NASA Structural Analysis Program, 1965) Analysis Program, 1965) sa "allsa "all--inclusive" inclusive" pristuppristupomom -- u u jednomjednomprogramuprogramu nalazilinalazili susu se se svisvi moduli moduli zaza numeričkunumeričku analizuanalizu......

�� konferencija konferencija ""Matrix Methods in Matrix Methods in Structural MechanicsStructural Mechanics" (" (19651965)) održanaodržanau u vazduhoplovnojvazduhoplovnoj bazibazi WrightWright--

PPrvirvi naučni skupovinaučni skupovi......

u u vazduhoplovnojvazduhoplovnoj bazibazi WrightWright--Patterson u Patterson u DaytonuDaytonu, , Ohio Ohio -- pprvarvavelikavelika konferencijakonferencija posvećenaposvećena MKEMKE......

�� učešćeučešće okooko dvedve stotinestotine autoraautora......

�� Zienkiewicz and Cheung (1965) Zienkiewicz and Cheung (1965) -- novi novi doprinos razvoju MKE doprinos razvoju MKE -- varijaciona varijaciona formulacija nekih problema mehanike formulacija nekih problema mehanike kontinuuma...kontinuuma...

�� Irons uvodi tzv. "patch test" za proveru Irons uvodi tzv. "patch test" za proveru

Dalja Dalja unapređenjaunapređenja MKE...MKE...

�� Irons uvodi tzv. "patch test" za proveru Irons uvodi tzv. "patch test" za proveru MKE rešenja i tzv. "frontal solver" MKE rešenja i tzv. "frontal solver" metod rešavanja sistema jednačina...metod rešavanja sistema jednačina...

�� ASKA (Automatic System for ASKA (Automatic System for Kinematics Analysis) računarski Kinematics Analysis) računarski program baziran na radovima program baziran na radovima Argyrisa...Argyrisa...

�� dvodimenzionalna dvodimenzionalna analiza krila analiza krila aviona aviona "Concord" (1967, model sa "Concord" (1967, model sa oko 1000 DOF) je oko 1000 DOF) je poslednja poslednja značajnija primena tzv. "analognih značajnija primena tzv. "analognih računara" u MKE analizi...računara" u MKE analizi...

KomercijalizacijaKomercijalizacija MKE softvera...MKE softvera...

računara" u MKE analizi...računara" u MKE analizi...�� prestaje prestaje paralelni razvoj softvera paralelni razvoj softvera

NASTRAN po metodi sila (1969)...NASTRAN po metodi sila (1969)...�� ANSYS ANSYS softver (softver (ANSYS ANSYS Inc., Inc.,

1970) se koristi za projektovanje 1970) se koristi za projektovanje reaktorskih sudova, u reaktorskih sudova, u avioavio-- i i autoindustrijiautoindustriji, itd..., itd...

�� pojava pojava mikroračunara zasnovanih na mikroračunara zasnovanih na mikroprocesorima (mikroprocesorima (1968, Garrett 1968, Garrett AiResearchAiResearch Central Air Data Central Air Data ComputerComputer, (Intel , (Intel 4004, Texas 4004, Texas

Pojava mikroračunara...Pojava mikroračunara...

ComputerComputer, (Intel , (Intel 4004, Texas 4004, Texas Instruments TMS1000) dala je veliki Instruments TMS1000) dala je veliki podsticaj dodatnom razvoju MKE u podsticaj dodatnom razvoju MKE u pravcu prilagođavanja postojećih pravcu prilagođavanja postojećih programskih rešenja... programskih rešenja...

�� 1004 1004 rada o MKE rada o MKE u u 1972...1972...�� stroga matematička osnova MKE stroga matematička osnova MKE --

Strang Strang i i Fix Fix (1973(1973)...)...�� MARC MARC softver za nelinearnu MKE softver za nelinearnu MKE

Zlatno doba MKE...Zlatno doba MKE...

�� MARC MARC softver za nelinearnu MKE softver za nelinearnu MKE analizu analizu -- univerzitet Brown, univerzitet Brown, SAD...SAD...

�� SAPIV SAPIV (Structural Analysis Program) (Structural Analysis Program) softver za linearnu statičku i dinamičku softver za linearnu statičku i dinamičku analizu analizu univerzitet Berkeley, (Wilson i univerzitet Berkeley, (Wilson i saradnici, saradnici, 1974)...1974)...

�� pojava CRAYpojava CRAY--1 1 (Los Alamos National (Los Alamos National Laboratory, 1976) dala je novi Laboratory, 1976) dala je novi podsticaj istraživačima u primeni podsticaj istraživačima u primeni MKE...MKE...

�� sledeći sledeći evolutivni korak evolutivni korak bio bio je je

Superračunari i paralelno procesiranje...Superračunari i paralelno procesiranje...

�� sledeći sledeći evolutivni korak evolutivni korak bio bio je je omogućen pojavom računarskih omogućen pojavom računarskih sistema sa tzv. paralelnim sistema sa tzv. paralelnim procesiranjem...procesiranjem...

�� vremena vremena proračuna za proračuna za najkompleksnije najkompleksnije numeričke probleme numeričke probleme bila su dramatično smanjena...bila su dramatično smanjena...

�� napredak napredak je zabeležen pre svega u je zabeležen pre svega u matematičkoj formulaciji MKE...matematičkoj formulaciji MKE...

�� objavljeni objavljeni su rezultati u oblasti tzv. su rezultati u oblasti tzv. "mešovite" i "hibridne" MKE, u analizi "mešovite" i "hibridne" MKE, u analizi

Zasićenje, Zasićenje, stagnacija, konsolidacijastagnacija, konsolidacija......

"mešovite" i "hibridne" MKE, u analizi "mešovite" i "hibridne" MKE, u analizi greške MKE rešenja i u primeni tzv. greške MKE rešenja i u primeni tzv. "adaptivnih" mreža KE..."adaptivnih" mreža KE...

�� na na tržištu MKE softvera značaj je dobila tržištu MKE softvera značaj je dobila performansa upotrebne vrednosti, tj. performansa upotrebne vrednosti, tj. mogućnosti realne primene...mogućnosti realne primene...

�� uvođenje uvođenje pojma modela pojma modela konstrukcijskog sistema na konstrukcijskog sistema na konceptualnom nivou konceptualnom nivou (idealizovane i pojednostavljene (idealizovane i pojednostavljene reprezentacije ponašanja reprezentacije ponašanja

Tekovine razvoja MKE...Tekovine razvoja MKE...

reprezentacije ponašanja reprezentacije ponašanja konstrukcijkonstrukcijskogskog sistemasistema))......

�� uvouvođenje pojma MKE numeričkog đenje pojma MKE numeričkog modela praktične realizacije modela praktične realizacije izabranog koncepta modeliranja...izabranog koncepta modeliranja...

�� formulisanje formulisanje algoritma MKE algoritma MKE modeliranja...modeliranja...

�� na na nove KE koji se lako nove KE koji se lako implementirajuimplementiraju u MKE softveru MKE softverzasnovane na tzv.zasnovane na tzv. ""direct direct stiffness method" formulaciji...stiffness method" formulaciji...

Trendovi Trendovi razvojarazvoja MKEMKE......

stiffness method" formulaciji...stiffness method" formulaciji...�� na na nove KE nove KE sa "visokim sa "visokim

performansama" performansama" -- dovoljno dovoljno jednostavne i jednostavne i tačntačne e čak čak i u i u slučaju relativno slučaju relativno niskog nivoa niskog nivoa diskretizacije...diskretizacije...

�� tehnička regulativatehnička regulativa -- propisi:propisi:uglavnomuglavnom zaostajuzaostaju u u odnosuodnosunana razvojrazvoj MKE... MKE...

�� sistem obrazovanjasistem obrazovanja::prilagoprilagođavanjeđavanje aktuelnimaktuelnim

Dalji razvoj MKE tehnologije...Dalji razvoj MKE tehnologije...

prilagoprilagođavanjeđavanje aktuelnimaktuelnimMKE MKE trendovimatrendovima......

�� stanje stanje na tržištu MKE na tržištu MKE softvera:softvera:namenameće će se potreba evaluacije,se potreba evaluacije,atestiranja atestiranja i licenciranja i licenciranja MKEMKEsoftverskih softverskih paketa...paketa...

�� grafigrafičko modeliranje geometriječko modeliranje geometrije�� MKE MKE numeričko numeričko modeliranjemodeliranje linijskih linijskih

i površinskih konstrukcijskih sistemai površinskih konstrukcijskih sistemai površinskih konstrukcijskih sistemai površinskih konstrukcijskih sistema�� linearna linearna i nelinearna statička analizai nelinearna statička analiza�� analiza analiza izvijanja, slobodnih vibracijaizvijanja, slobodnih vibracija

i i seizmička analizaseizmička analiza�� dimenzionisanje AB, čeličnih i dimenzionisanje AB, čeličnih i

drvenih drvenih konstrukcija konstrukcija

AxisVMAxisVM®® alatialati zaza geometrijskogeometrijskomodeliranjemodeliranje

�� tatačke, linije, četvorougaonici...čke, linije, četvorougaonici...�� kružni kružni i "poligonalni" lukovi...i "poligonalni" lukovi...�� kružni kružni i "poligonalni" lukovi...i "poligonalni" lukovi...�� generisanje mreže na osnovi...generisanje mreže na osnovi...�� podele ipodele i preseci...preseci...�� geometrisjke transformacije...geometrisjke transformacije...�� provera provera geometrije...geometrije...�� detekcija detekcija površina...površina...

AxisVMAxisVM ®® alatialati zaza crtanjecrtanje linijalinija

�� pravaprava linijlinijaa�� poligonalna linijapoligonalna linija�� ppravougaonikravougaonik�� nagnuti pravougaoniknagnuti pravougaonik

AxisVMAxisVM ®® alati za crtanjealati za crtanjekrukru žnih lukovažnih lukova

�� kružni luk definisan centrom, početnom i kružni luk definisan centrom, početnom i krajnjom tačkomkrajnjom tačkom

�� kružni luk definisan pomoću tri tačke kružni luk definisan pomoću tri tačke

AxisVMAxisVM ®® alati za alati za generisanjegenerisanjepovršinapovršina

�� podela četvorougla na podela četvorougla na �� podela četvorougla na podela četvorougla na četvorouglove i trouglovečetvorouglove i trouglove

�� podela trougla na podela trougla na četvorouglove i trouglovečetvorouglove i trouglove

AxisVMAxisVM ®® alat za podelu alat za podelu linijalinija

�� podela podela linije po odnosulinije po odnosu�� podela linije po dupodela linije po dužinižini�� ravnomerna podelaravnomerna podela

AxisVMAxisVM ®® alat za alat za translacijutranslaciju

�� inkrementalnoinkrementalno�� raspodeljenoraspodeljeno�� raspodeljenoraspodeljeno�� na dužinuna dužinu�� uzastopnouzastopno�� pomeranjepomeranje

AxisVMAxisVM ®® alat za alat za rotacijurotaciju

�� inkrementalnoinkrementalno�� raspodeljenoraspodeljeno�� raspodeljenoraspodeljeno�� do uglado ugla�� uzastopnouzastopno�� pomeranjepomeranje

AxisVMAxisVM ®® alat za alat za simetri čnu simetri čnu translacijutranslaciju

�� kopiranjekopiranje�� kopiranjekopiranje�� višestrukovišestruko�� pomeranjepomeranje

AxisVMAxisVM ®® alat za alat za "skaliranje""skaliranje"

�� inkrementalnoinkrementalno�� raspodeljenoraspodeljeno�� raspodeljenoraspodeljeno�� uzastopnouzastopno�� promena veličinepromena veličine

AxisVMAxisVM ®® alat za alat za proveru geometrijeproveru geometrije

�� "sjedinjuje" sve čvorove na rastojanju "sjedinjuje" sve čvorove na rastojanju manjem od vrednosti parametra manjem od vrednosti parametra "tolerancija""tolerancija"

AxisVMAxisVM ®® alat za alat za detekciju površinadetekciju površina

�� nalazi sve trouglove ili četvorouglove nalazi sve trouglove ili četvorouglove selektovanog dela mreže i daje selektovanog dela mreže i daje obaveštenje o njihovom brojuobaveštenje o njihovom broju

AxisVMAxisVM ®® vertikalni meni ikonavertikalni meni ikona

�� selektovanjeselektovanje�� zoomzoom�� pogledipogledi

�� presecipreseci�� renderovanjerenderovanje�� nalanalažženjeenje

�� pogledipogledi�� vovođiceđice�� ortogonalnoortogonalno/paralelno/paralelno

�� simbolisimboli�� podešavanjapodešavanja�� model infomodel info

AxisVMAxisVM ®® selektovanjeselektovanje

�� dodavanjedodavanje�� oduzimanjeoduzimanje�� oduzimanjeoduzimanje�� invertovanjeinvertovanje�� svesve�� poniponišštavanjetavanje�� filterifilteri�� oblast selektovanjaoblast selektovanja

AxisVMAxisVM ®® zoomzoom menimeni

�� povećanjepovećanje�� smanjenjesmanjenje�� ceo modelceo model�� pomeranjepomeranje�� pomeranjepomeranje�� poništavanje (undo)poništavanje (undo)�� ponavljanje (redo)ponavljanje (redo)

AxisVMAxisVM ®® izbor pogledaizbor pogleda

�� projekcija na Xprojekcija na X--Z ravan (spreda)Z ravan (spreda)�� projekcija na Xprojekcija na X--Y ravan (odozgo)Y ravan (odozgo)�� projekcija na Xprojekcija na X--Y ravan (odozgo)Y ravan (odozgo)�� projekcija na Yprojekcija na Y--Z ravan (sa strane)Z ravan (sa strane)�� perspektivaperspektiva�� svi pogledisvi pogledi

AxisVMAxisVM ®® podešavanje vo đicapodešavanje vo đica

�� vertikalne vođicevertikalne vođice�� vertikalne vođicevertikalne vođice�� horizontalne vođicehorizontalne vođice�� ortogonalneortogonalne vođice vođice �� kose kose vođicevođice�� ortogonalne kose ortogonalne kose vođicevođice

AxisVMAxisVM ®® podešavanjepodešavanjeortogonalnog/paralelnogortogonalnog/paralelnog

vezanog kretanjavezanog kretanja

U odnosu na referentni pravac:U odnosu na referentni pravac:U odnosu na referentni pravac:U odnosu na referentni pravac:�� ortogonalno vezano kretanjeortogonalno vezano kretanje�� paralelno vezano kretanjeparalelno vezano kretanje

AxisVMAxisVM ®® sklopovisklopovi

Sklopovi Sklopovi -- grupe entiteta grupe entiteta modela modela konstrukcije konstrukcije koje koje

definidefiniše korisnikše korisnik

AxisVMAxisVM ®® linije i ravni presekalinije i ravni preseka

Linije i ravni preseka za Linije i ravni preseka za prikazivanje rezultata analize prikazivanje rezultata analize

definidefiniše korisnik še korisnik

AxisVMAxisVM ®® renderovanjerenderovanje

parametri renderovanog prikaza parametri renderovanog prikaza

AxisVMAxisVM ®® nalaženjenalaženjezadatog entitetazadatog entiteta

nalaženje entiteta modela na osnovu nalaženje entiteta modela na osnovu rednog broja rednog broja

AxisVMAxisVM ®® prikazivanje simbolaprikazivanje simbola

prikaz simbola entiteta i osobina prikaz simbola entiteta i osobina entiteta entiteta

AxisVMAxisVM ®® prikazivanje oznakaprikazivanje oznaka

prikaz oznaka entiteta modela prikaz oznaka entiteta modela

AxisVMAxisVM ®® prekida čiprekida či

uključivanjeuključivanje/isklju/isključčivanje ivanje prikaza prikaza entiteta radnog okruženjaentiteta radnog okruženja

AxisVMAxisVM ®® parametri rastera i parametri rastera i vezanog kretanjavezanog kretanja

�� raster radne raster radne površinepovršine

�� korak korak �� korak korak vezanog vezanog kretanjakretanja

AxisVMAxisVM ®®

parametri editovanjaparametri editovanja�� ugao vezanog ugao vezanog

kretanjakretanja�� tolerancijatolerancija�� zona zona �� zona zona

identifikacije identifikacije kurzorakurzora

�� tip tip koordinatnog koordinatnog sistemasistema

AxisVMAxisVM ®®

parametri prikaza modelaparametri prikaza modela

�� razmera razmera simbola simbola opterećenjaopterećenjaopterećenjaopterećenja

�� zoom faktorzoom faktor�� granični ugao granični ugao

prikaza ivicaprikaza ivica

AxisVMAxisVM ®® "brzi" prekida či"brzi" prekida či

�� automatsko presecanjeautomatsko presecanje�� skokovito kretanje pointeraskokovito kretanje pointera�� prikaz sklopovaprikaz sklopova�� prikaz sklopovaprikaz sklopova�� prikazi linija i ravni presekaprikazi linija i ravni preseka�� prikaz mrežeprikaz mreže�� renderovani prikazrenderovani prikaz�� prikaz opterećenja, simbola, prikaz opterećenja, simbola, oznaka i oznaka i

lokalnih sistemalokalnih sistema

AxisVMAxisVM ®® informacije o modeluinformacije o modelu

�� verzija AxisVMverzija AxisVM®®

�� veličina fajlaveličina fajla�� vreme kreiranja i vreme kreiranja i

modifikovanjamodifikovanja�� broj pojedinih entitetabroj pojedinih entiteta�� broj pojedinih entitetabroj pojedinih entiteta�� broj poprečnih broj poprečnih

presekapreseka�� broj slučajeva i grupa broj slučajeva i grupa

opterećenjaopterećenja

AxisVMAxisVM ®® informacioni paneliinformacioni paneli

�� info panelinfo panel�� panel koordinatapanel koordinata�� apsolutne i relativne apsolutne i relativne

koordinatekoordinatekoordinatekoordinate�� unos koordinataunos koordinata�� merenje rastojanjamerenje rastojanja�� fiksiranje koordinatafiksiranje koordinata

AxisVMAxisVM ®® panel skale bojapanel skale boja

�� granice granice intervalaintervala

�� maks. i min. maks. i min. modela modela

�� maks. i min. maks. i min. �� maks. i min. maks. i min. sklopovasklopova

�� automatska automatska interpolacijainterpolacija

�� podešavanje podešavanje korisnikakorisnika

AxisVMAxisVM ®® panel za brisanje entitetapanel za brisanje entiteta

�� ggeometrijski eometrijski entitetientiteti

�� konakonačni čni elementi elementi elementi elementi

�� oblastoblast�� mreža mreža �� opterećenjaopterećenja�� masemase

AxisVMAxisVM ®® "brzi" meniji"brzi" meniji

�� selektovanjeselektovanje�� geometrijageometrija�� elementielementi�� rezultatirezultati

AxisVMAxisVM ®® definisanje modeladefinisanje modela KEKE

�� materijal, poprečni presek, reference materijal, poprečni presek, reference �� linijski i površinski KElinijski i površinski KE�� osloncioslonci�� osloncioslonci�� kruto telo, opruga, kontakt, vezakruto telo, opruga, kontakt, veza�� stepen slobode čvora modelastepen slobode čvora modela�� ArchiCAD modelArchiCAD model�� oblastoblast�� progušćivanje mreže KEprogušćivanje mreže KE

AxisVMAxisVM ®® izbor materijalaizbor materijala

�� baza materijala baza materijala

AxisVMAxisVM ®® definisanje materijaladefinisanje materijala

�� tip materijalatip materijala�� standardstandard�� naziv materijalanaziv materijala�� naziv materijalanaziv materijala�� boja materijalaboja materijala�� parametri za parametri za

analizuanalizu�� parametri za parametri za

dimenzionisanje dimenzionisanje

AxisVMAxisVM ®® izbor izbor poprepopre ččnog presekanog preseka

�� baza baza poprepopreččnih presekanih preseka

AxisVMAxisVM ®® editor popre čnih presekaeditor popre čnih preseka

AxisVMAxisVM ®® definisanje referencidefinisanje referenci KEKE

�� referentne tačke, vektori ili ravni referentne tačke, vektori ili ravni određuju orijentaciju lokalnog određuju orijentaciju lokalnog određuju orijentaciju lokalnog određuju orijentaciju lokalnog koordinatnog sistema KE u prostoru, koordinatnog sistema KE u prostoru, što omogućava definisanje što omogućava definisanje karakteristika poprečnog preseka i karakteristika poprečnog preseka i opterećenja i interpretiranje opterećenja i interpretiranje rezultata analize rezultata analize

AxisVMAxisVM ®® linijskilinijski KEKE -- štapštap

�� 1D KE1D KE�� 2 čvora2 čvora�� nelinearni nelinearni �� nelinearni nelinearni

parametri parametri

AxisVMAxisVM ®® linijskilinijski KEKE -- gredagreda

�� 1D KE1D KE�� 2 čvora2 čvora�� nelinearni nelinearni �� nelinearni nelinearni

parametri parametri

AxisVMAxisVM ®® konturni uslovi gredakonturni uslovi greda

�� uklještenjeuklještenje�� zglobzglob�� polukruta polukruta �� polukruta polukruta

vezaveza�� nelinearni nelinearni

parametri parametri

AxisVMAxisVM ®® linijskilinijski KEKE -- rebrorebro

�� 1D KE1D KE�� 3 čvora3 čvora�� ekscent. ekscent. �� ekscent. ekscent.

vezaveza

AxisVMAxisVM ®® površinskipovršinski KEKE -- membranamembrana

�� 2D2D KEKE�� četvorougaoni (8četvorougaoni (8 čvorčvorovaova))�� trougaoni (6trougaoni (6 čvorčvorovaova))

AxisVMAxisVM ®® površinskipovršinski KEKE -- plo čaplo ča

�� 2D2D KEKE�� četvorougaoni (8četvorougaoni (8//99 čvorčvorovaova))�� trougaoni (6trougaoni (6 čvorčvorovaova))

AxisVMAxisVM ®® površinskipovršinski KEKE -- ljuskaljuska

�� 2D2D KEKE�� četvorougaoni (8četvorougaoni (8//99 čvorčvorovaova))�� trougaoni (6trougaoni (6 čvorčvorovaova))

AxisVMAxisVM ®® oslonaoslona c čvorac čvora

�� nelinearni parametrinelinearni parametri

AxisVMAxisVM ®® linijski linijski oslonaoslona c (Winkler)c (Winkler)


AxisVMAxisVM ®® površinski površinski oslonaoslona c c (Winkler)(Winkler)


AxisVMAxisVM ®® kruto telokruto telo

KT1 KT2 KT3 KT2 KT2

�� koristi koristi se se za modeliranje istih pomeranja za modeliranje istih pomeranja razlirazličitih čitih elemenata elemenata ili oblasti ili oblasti modela u modela u odnosu na drugeodnosu na druge

AxisVMAxisVM ®® ooprugapruga

�� nelinearni nelinearni parametriparametri

AxisVMAxisVM ®® kontaktni elementkontaktni element


AxisVMAxisVM ®® element vezeelement veze


AxisVMAxisVM ®® stepenistepeni slobode čvorova slobode čvorova modelamodela

�� predefinisani predefinisani karakteristikarakterističčninislučajevislučajevi

�� zamena ili unijazamena ili unija�� zamena ili unijazamena ili unija�� zadato pomeranjezadato pomeranje�� preuzimanjepreuzimanje

AxisVMAxisVM ®® import ArchiCADimport ArchiCAD ®® modelamodela

�� zid, stub, greda, krovzid, stub, greda, krov�� memeđuspratnađuspratna konstrukcijakonstrukcija�� generisanje AxisVMgenerisanje AxisVM®® modelamodela

AxisVMAxisVM ®® import ArchiCADimport ArchiCAD ®® modelamodela

AxisVMAxisVM ®® oblastioblasti

AxisVMAxisVM ®® generisanje mreže KEgenerisanje mreže KE

AxisVMAxisVM ®® proguš ćivanje mreže KEproguš ćivanje mreže KE

�� ravnomerno progušćivanjeravnomerno progušćivanje�� progušćivanje u zonama selektovanih progušćivanje u zonama selektovanih

konačnih elemenata modelakonačnih elemenata modelakonačnih elemenata modelakonačnih elemenata modela�� progušćivanje u zonama selektovanih progušćivanje u zonama selektovanih čvorova modelačvorova modela

�� progušćivanje u zonama selektovanih progušćivanje u zonama selektovanih ivica konačnih elemenata modelaivica konačnih elemenata modela

AxisVMAxisVM ®® optere ćenjaoptere ćenja

�� slusluččajevi iajevi i grupe opterećenjagrupe opterećenja�� statička, uticajne linije i seizmičkastatička, uticajne linije i seizmička�� stalna, povremena i izuzetnastalna, povremena i izuzetna�� stalna, povremena i izuzetnastalna, povremena i izuzetna�� koncentrisano, linijsko, površinsko, koncentrisano, linijsko, površinsko,

fluidom, sopstvena težina, promena fluidom, sopstvena težina, promena dužine, pomeranje oslonaca, dužine, pomeranje oslonaca, temperatura, uticajne linije i seizmička temperatura, uticajne linije i seizmička dejstvadejstva

AxisVMAxisVM ®® slu čajevi i grupe slu čajevi i grupe optere ćenjaoptere ćenja

�� statičkastatička�� uticajne linijeuticajne linije�� seizmičkaseizmička�� stalnastalna�� stalnastalna�� povremenapovremena�� izuzetnaizuzetna�� kopiranjekopiranje�� brisanjebrisanje

AxisVMAxisVM ®® kombinacije optere ćenjakombinacije optere ćenja

AxisVMAxisVM ®® kokoncentrisane sile u ncentrisane sile u ččvoruvoru

�� definisanje ili modifikacijadefinisanje ili modifikacija�� zamena ili dodavanjezamena ili dodavanje�� globalni ili referentni pravacglobalni ili referentni pravac

AxisVMAxisVM ®® kokoncentrisane sile ncentrisane sile na gredina gredi

�� globalnoglobalno�� lokalnolokalno�� po odnosupo odnosu�� po dužinipo dužini

AxisVMAxisVM ®® linijskolinijsko optere ćenjeoptere ćenje


AxisVMAxisVM ®® ivi čnoivi čno optere ćenjeoptere ćenje


AxisVMAxisVM ®® površinskopovršinsko optere ćenjeoptere ćenje


AxisVMAxisVM ®® optere ćenje od fluidaoptere ćenje od fluida

�� pravac promenepravac promene

AxisVMAxisVM ®® promena dužine, promena dužine, zatezanjezatezanje /pritisak/pritisak

�� modeliranje imperfekcijamodeliranje imperfekcija�� modeliranje prednaprezanjamodeliranje prednaprezanja

AxisVMAxisVM ®® promena promena temperaturetemperature

�� ravnomernoravnomerno�� neravnomernoneravnomerno

AxisVMAxisVM ®® uticajne linijeuticajne linije

�� lokalni stepen lokalni stepen slobodeslobode

�� odstojanjeodstojanje�� po dupo dužinižini�� po odnosupo odnosu�� po odnosupo odnosu

AxisVMAxisVM ®® seizmi čko optere ćenjeseizmi čko optere ćenje

�� MMSzSz

�� STASSTAS

AxisVMAxisVM ®® mase u mase u ččvorovimavorovimamodelamodela

�� definisanjedefinisanje�� modifikacijamodifikacija�� zamenazamena�� dodavanjedodavanje�� dodavanjedodavanje�� globalni pravacglobalni pravac

AxisVMAxisVM ®® analizaanaliza

�� linearna statilinearna statička analizačka analiza�� nelinearna statinelinearna statička analizačka analiza�� analiza slobodnih vibracija (modalna analiza slobodnih vibracija (modalna �� analiza slobodnih vibracija (modalna analiza slobodnih vibracija (modalna

analiza) analiza) �� analiza stabilnosti (izvijanje)analiza stabilnosti (izvijanje)

AxisVMAxisVM ®® faze faze analizanaliz ee

�� verifikacija verifikacija modelamodela

�� proračunproračun�� proračunproračun�� prikaz prikaz

rezultatarezultata

AxisVMAxisVM ®® linearna stati čka linearna stati čka analizanaliz aa

�� najčešći tip analizenajčešći tip analize�� linearna veza između dejstava i linearna veza između dejstava i

odgovora konstrukcijeodgovora konstrukcijeodgovora konstrukcijeodgovora konstrukcije�� konstantna matrica krutosti sistema KE konstantna matrica krutosti sistema KE

modela za ceo tok analizemodela za ceo tok analize�� superpozicija kombinacija opterećenjasuperpozicija kombinacija opterećenja

AxisVMAxisVM ®® nelinearna stati čka nelinearna stati čka analizanaliz aa

�� promenljiva promenljiva matrica krutosti matrica krutosti sistema KE sistema KE sistema KE sistema KE modelamodela

�� kontrola rešenjakontrola rešenja�� kriterijumi kriterijumi

konvergencijekonvergencije

Geometrijski nelinearna Geometrijski nelinearna analizaanaliza

�� opšta ("stroga") geometrijski opšta ("stroga") geometrijski nelinearna teorijanelinearna teorija

�� geometrijski nelinearna teorija geometrijski nelinearna teorija (teorija II reda)(teorija II reda)

�� linearizovana teorija II redalinearizovana teorija II reda

�� PP--∆∆ postupakpostupak

YY

∆ϕ∆ϕjjNN

∆∆uu jjNN

∆∆vv jjNN

ϕϕjjCC

∆∆ϕϕiiNN

∆∆uuiiNN

ϕϕCC ∆∆vv iiNN

"C""C"

"N""N"

XX00

vv jjCC

uu jjCC

ϕϕii

ii

vv iiCC uuii

CC

"S""S"

"C""C"

PP

∆∆

PP

∆∆

MIKMIKMSKMSK

PP

∆∆

PP

∆∆

NRNRMNRMNR

AxisVMAxisVM ®® analizanaliz a slobodnih vibracijaa slobodnih vibracija

�� kontrola rešenjakontrola rešenja�� broj oblikabroj oblika�� raspodeljene i raspodeljene i �� raspodeljene i raspodeljene i

koncentrisane koncentrisane masemase

�� konverzija sila u konverzija sila u masemase

�� konvergencijakonvergencija

CodeCode : Eurocode: Eurocode

Vibration AnalysisVibration Analysis

CaseCase : Nodal Masses: Nodal Masses

ModeMode : 1: 1

ff : 17.09 Hz: 17.09 Hz

TT : 0.059 s: 0.059 s

ωω : 107.35 rad/s: 107.35 rad/s

EValEVal : 11523.80: 11523.80

ErrorError : 5.83E: 5.83E--77

IterationsIterations : 8: 8

Comp.Comp. : eZ: eZ

11 22 33 44 55

66

77

88

99 1010 1111 12121313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020

CodeCode : Eurocode: Eurocode



ModeMode : 2: 2

ff : 21.39 Hz: 21.39 Hz

TT : 0.047 s: 0.047 s

ωω : 134.41 rad/s: 134.41 rad/s

EValEVal : 18066.40: 18066.40



Comp.Comp. : eZ: eZ

11 22 33 44 55

66

77

88

99 1010 1111 12121313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020

11 22 33 44 55

66

77

88

99 1010 1111 12121313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020CodeCode : Eurocode: Eurocode



ModeMode : 1: 1

ff : 20.92 Hz: 20.92 Hz

TT : 0.048 s: 0.048 s

ωω : 131.43 rad/s: 131.43 rad/s

EValEVal : 17272.80: 17272.80



Comp.Comp. : eZ: eZ

11 22 33 44 55

66

77

88

99 1010 1111 12121313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020CodeCode : Eurocode: Eurocode



ModeMode : 2: 2

ff : 23.02 Hz: 23.02 Hz

TT : 0.043 s: 0.043 s

ωω : 144.62 rad/s: 144.62 rad/s

EValEVal : 20916.40: 20916.40



Comp.Comp. : eZ: eZ

AxisVMAxisVM ®® analizanaliz a stabilnostia stabilnosti

�� linearizovanalinearizovanateorija II redateorija II reda

�� kontrola rešenjakontrola rešenja�� kontrola rešenjakontrola rešenja�� slučaj opterećenjaslučaj opterećenja�� broj oblika broj oblika izvijanjaizvijanja�� kriterijumi kriterijumi

konvergencijekonvergencije

2 3 46 78 9 10 11

13

14 15 1617

20

21

1

5

12

18

19*PKR= 9701kN

**PKR= 3971kN

2 3 46 78 9 10 11

13

14 15 1617

20

21

1

5

12

18

19

*PKR= 9272kN

**PKR= 2724kN

AxisVMAxisVM ®® postprocesorpostprocesor

�� prikaz rezultata zavisi od tipa analizeprikaz rezultata zavisi od tipa analize

AxisVMAxisVM ®® pparametri prikaza rezultataarametri prikaza rezultata

�� sluslučaj čaj opterećenjaopterećenja

�� oblik prikazaoblik prikaza�� komponentakomponenta�� razmerarazmera�� razmerarazmera�� način prikazanačin prikaza�� izravnavanjeizravnavanje�� položaj položaj

oznakaoznaka

AxisVMAxisVM ®® izborizbor slu čaja optere ćenjaslu čaja optere ćenja

�� tip analizetip analize�� slučaj slučaj

opterećenjaopterećenja�� envelopaenvelopa�� envelopaenvelopa�� min, maks ili min, maks ili

min, maksmin, maks�� metoda metoda

kombinacijekombinacije

AxisVMAxisVM ®® rezultati stati čke analizerezultati stati čke analize

AxisVMAxisVM ®® dijagrami rezultatadijagrami rezultata

AxisVMAxisVM ®® izopovršine rezultataizopovršine rezultata

AxisVMAxisVM ®® prikaz rezultata animacijomprikaz rezultata animacijom

AxisVMAxisVM ®® dijagrami rezultata dijagrami rezultata nelinearne analizenelinearne analize

AxisVMAxisVM ®® tabelarni prikaz rezultatatabelarni prikaz rezultata

AxisVMAxisVM ®® prikaz uticaja u elementuprikaz uticaja u elementu

AxisVMAxisVM ®® modalna analizamodalna analiza

AxisVMAxisVM ®® analiza stabilnostianaliza stabilnosti

AxisVMAxisVM ®® armiranobetonski armiranobetonski površinski elementi (EC2)površinski elementi (EC2)

AxisVMAxisVM ®® AB stubovi (EC2)AB stubovi (EC2)

AxisVMAxisVM ®® dijagrami interakcije idijagrami interakcije ikrive grani čnih ekscentricitetakrive grani čnih ekscentriciteta

AxisVMAxisVM ®® AB grede (EC2)AB grede (EC2)

AxisVMAxisVM ®® čelične konstrukcije (EC3)čelične konstrukcije (EC3)

mke modeliranje u analizi konstrukcija

Documents