mke programski zad1

SVEUILITE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

METODA KONANIH ELEMENATA

programski zadatak 1

Student:

Filip Aneli

0069055281

MIV

Zagreb, lipanj 2015.

Metoda konanih elemenata SADRAJ

Filip Aneli, 0069055289, programski zadaci I

Sadraj

1 Programski zadatak I Gredni nosa ................................................................................. 1

2 Analitiko rjeenje .............................................................................................................. 2

2.1 Reakcije u osloncima ................................................................................................... 2

2.2 Dijagrami ..................................................................................................................... 3

3 Metoda konanih elemenata ............................................................................................... 4

3.1 Vektori stupnjeva slobode ........................................................................................... 4

3.2 Matrica krutosti ............................................................................................................ 5

3.2.1 Matrica krutosti s obzirom na lokalne S.S. .......................................................... 5

3.2.2 Element I .............................................................................................................. 6

3.2.3 Element II ............................................................................................................. 7

3.2.4 Element III ............................................................................................................ 7

3.3 Vektor sila .................................................................................................................... 9

3.3.1 Element I ............................................................................................................ 10

3.3.2 Element II ........................................................................................................... 11

3.3.3 Element III .......................................................................................................... 12

3.3.4 Vektori vornih sila (u odnosu na globalne stupnjeve slobode) ........................ 13

3.4 Pomaci u vorovima .................................................................................................. 13

3.5 Reakcije u osloncima ................................................................................................. 14

3.6 Povratno identificiranje ............................................................................................. 15

3.6.1 Element I ............................................................................................................ 15

3.6.2 Element II ........................................................................................................... 16

3.6.3 Element III .......................................................................................................... 16

3.6.4 Dijagrami uzdunih sila (MKE) ......................................................................... 17

3.7 Usporedba dijagrama momenata ............................................................................... 17

4 Rjeavanje programskim paketom Abaqus ...................................................................... 18

4.1 Reakcijske sile ........................................................................................................... 18

Metoda konanih elemenata SADRAJ

4.1.1 Uzdune sile ....................................................................................................... 18

4.1.2 Poprene sile ...................................................................................................... 18

4.2 Pomaci u vorovima .................................................................................................. 19

Metoda konanih elemenata POPIS SLIKA

Filip Aneli, 0069055289, programski zadaci III

Popis slika

Slika 2.1 Reakcije u osloncima .................................................................................................. 2

Slika 2.2 Dijagrami analitike metode N, Q, M ......................................................................... 3

Slika 2.3 Pomaci u vorovima .................................................................................................... 3

Slika 3.1 Globalni i lokalni stupnjevi slobode ........................................................................... 4

Slika 3.2 Element I u odnosu na lokalne stupnjeve slobode ...................................................... 6

Slika 3.3 Sile I. elementa .......................................................................................................... 10

Slika 3.4 Sile II. elementa ........................................................................................................ 11

Slika 3.5 Sile III. elementa ....................................................................................................... 12

Slika 3.6 Dijagram uzdunih sila MKE ................................................................................... 17

Slika 3.7 Dijagrami momenata ................................................................................................. 17

Slika 4.1 ABAQUS uzdune reakcijske sile ............................................................................ 18

Slika 4.2 ABAQUS poprene reakcijske sile ........................................................................... 18

Slika 4.3 ABAQUS popreni pomaci ...................................................................................... 19

Metoda konanih elemenata POPIS TABLICA

Filip Aneli, 0069055289, programski zadaci IV

Popis tablica

Tablica 3.1 Odnos globalnih i lokalnih stupnjeva slobode ........................................................ 5

Metoda konanih elemenata Zadatak 1

Filip Aneli, 0069055281, programski zadaci 1

1 Programski zadatak I Gredni nosa



2 Analitiko rjeenje

2.1 Reakcije u osloncima

Slika 2.1 Reakcije u osloncima

Prema vrsti zadanih oslonaca odreuju se sile koje mogu nastati u osloncima Slika 2.1 te su u

nastavku prikazane jednadbe za njihovo odreivanje.

=

() +

+ =

=

+ + () =

Nosa je statiki neodreen stoga se uvode rubni uvjeti kako bi bilo mogue odrediti reakcije u

osloncima.

= ; = ; =

Analitiko rjeenje reakcija u osloncima provjereno je programskim paketom Multiframe4D te

su iznosi navedeni na sljedeoj stranici.

(1)

(2)



=

=

=

2.2 Dijagrami

Slika 2.2 Dijagrami analitike metode N, Q, M

Prikazani su dijagrami Slika 2.3 naprezanja u smjeru x osi, y osi te dijagram momenta savijanja.

Dijagrami su generirani programskim paketom Multiframe4D. Na slici su prikazane mjerne

veliine odreenih vrijednosti. Slova T, C na dijagramu uzdunih sila oznauju je li greda

optereena na tlak (C) ili vlak (T).

Program Multiframe4D omoguuje prikaz pomaka u odreenim tokama. U nastavku je

prikazana deformirana greda pod zadanim optereenjem.

Slika 2.3 Pomaci u vorovima

Na slici Slika 2.4 je prikazan poetni oblik grede te deformirani (plava linija). Pomaci se redom

odnose na smjerove x, y, z. Pomaci prikazani na slici su u milimetrima [mm]. U nastavku su

prikazane vrijednosti pomaka za sva etiri vora radi mogue usporedbe sa vrijednostima

dobivenim metodom konanih elemenata (pomaci u smjeru osi z nisu prikazani).

(3)



= ; =

= , ; = ,

= , ; = ,

= , ; =

3 Metoda konanih elemenata

Radi opsenosti vektora i tonosti prorauna koriten je programski paket PTC Mathcad Prime

3.0. Svi izrauni te prikazane matrice dobivene su pomou navedenog programskog paketa.

3.1 Vektori stupnjeva slobode

Slika 3.1 Globalni i lokalni stupnjevi slobode

Na Slika 3.1 prikazana je greda podijeljena na tri gredna konana elementa. Podjelom grede

dobivaju se etiri vora dok svaki element zasebno sadri dva. Metodom direktne superpozicije

odreuje se odnos lokalnih i globalnih stupnjeva.

Vektor globalnih stupnjeva slobode:

= [ ]

(4)

(5)



Tablica 3.1 Odnos globalnih i lokalnih stupnjeva slobode

G.S.S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L.S.S

EL.1 1 2 3 4 5 6

EL.2 1 2 3 4 5 6

EL.3 1 2 3 4 5 6

U Tablica 3.1 prikazan je odnos lokalnih i globalnih stupnjeva slobode. Kratice G.S.S.-

globalni stupnjevi slobode; L.S.S.- lokalni stupnjevi slobode. U nastavku su prikazani stupnjevi

slobode za jedan element (lokalni stupnjevi slobode su jednaki za sva tri elementa).

Lokalni stupnjevi slobode za jedan element:

= [ ] = [ ]

3.2 Matrica krutosti

3.2.1 Matrica krutosti s obzirom na lokalne S.S.

Ako je gredni element optereen uzdunom silom, njegova matrica krutosti dobiva se

superpozicijom matrica krutosti tapnog i grednog elementa.

Matrica krutosti s obzirom na lokalne stupnjeve slobode ( k = k1 = k2 = k3 ):

(6)

(7)



3.2.2 Element I

Slika 3.2 Element I u odnosu na lokalne stupnjeve slobode

Za raunanje matrice krutosti uvrtavamo:

=

.......Youngov modul elastinosti

= ..moment inercije

= duljina elementa

Matrica krutosti elementa I u odnosu na lokalne stupnjeve slobode [N/mm]:

S obzirom da su matrice krutosti u odnosu na lokalne stupnjeve slobode jednaki za svaki od tri

elementa u nastavku nisu prikazane matrice krutosti elementa II i III za lokalne stupnjeve

slobode ve samo za globalne. Matrica krutosti u odnosu na globalne stupnjeve slobode dobiva

se pomou Tablica 3.1 uvrtavanjem lokalne matrice krutosti na odgovarajuu poziciju.

(8)



Matrica krutosti elementa I u odnosu na globalne stupnjeve slobode [N/mm]:

3.2.3 Element II

Matrica krutosti elementa II u odnosu na globalne stupnjeve slobode [N/mm]:

3.2.4 Element III

Matrica krutosti elementa III u odnosu na globalne stupnjeve slobode [N/mm]:

(9)

(10)

(11)



Globalna matrica krutosti rauna se prema izrazu:

= + +

Globalna matrica krutosti iznosi [N/mm]:

(12)

(13)



3.3 Vektor sila

Vektori vornih sila u odnosu na lokalne stupnjeve slobode raunaju se:

= + + +

Gdje su:

r...vektor ukupnih vornih sila

FV...vektor sila u vorovima zbog djelovanja vanjskih volumenskih sila

FS...vektor sila u vorovima zbog djelovanja povrinskih sila

F...vektor koncentriranih sila u vorovima

F0...vektor sila u vorovima zbog poetnih deformacija u elementu

Vektor ukupnih vornih sila (lokalno) sadri sile oba vora te se zapisuje u obliku:

= [

] =

[ ]

Zbog jednakosti sva tri elementa (duljina, tromost, elastinost i presjek) uvode se openite

veliine za sve elemente:

= = =

= () = () = ()

= = =

= ; =

Pri raunanju povrinskih sila potrebno je poznavati matricu oblika ( Ns = N). Kako je oblik sva

tri elementa jednak, jednake su i matrice oblika.

Matrica oblika za koritene elemente rauna se:

(14)

(15)

(16)

(17)



3.3.1 Element I

Slika 3.3 Sile I. elementa

Vektor ukupnih vornih sila iznosi:

= +

Vektor povrinskih sila rauna se:

Za rjeavanje prethodnog izraza potrebno je odrediti ( q1 ):

Vektor povrinskih sila i vektor koncentriranih sila u odnosu na lokalne stupnjeve slobode [N]:

Vektor ukupnih vornih sila dobiva se zbrajanjem prethodno izraunatih vektora te za

elementa I u odnosu na globalne stupnjeve slobode iznosi [N]:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)



3.3.2 Element II

Slika 3.4 Sile II. elementa


= +



Vektor povrinskih sila u odnosu na lokalne stupnjeve slobode iznosi [N]:

(23)

(24)

(25)

(26)



Vektor koncentriranih sila u odnosu na lokalne stupnjeve slobode iznosi [N]:

Vektor ukupnih vornih sila dobiva se zbrajanjem prethodno izraunatih vektora te za

elementa II u odnosu na globalne stupnjeve slobode iznosi [N]:

3.3.3 Element III

Slika 3.5 Sile III. elementa


=


(27)

(28)

(29)

(30)




Vektor povrinskih sila u odnosu na lokalne stupnjeve slobode iznosi [N]:

Vektor ukupnih vornih sila za elementa III u odnosu na globalne stupnjeve slobode iznosi :

3.3.4 Vektori vornih sila (u odnosu na globalne stupnjeve slobode)

Vektor ukupnih vornih sila u odnosu na globalne stupnjeve slobode ( R ) dobiva se zbrajanjem

vektora vornih sila (u odnosu na globalne stupnjeve slobode) svakog pojedinog elementa [N]:

Mjerne jedinice vornih sila prikazanih u vektoru (i koritenih pri izraunu) :

[N]; [Nmm]; [N

mm] ; [mm]; [mm]

3.4 Pomaci u vorovima

Globalna jednadba konanih elemenata:

=

Zbog singularnosti matrice ( K ) ne moe se odrediti njena inverzna matrica. Kako bi izraunali

pomake potrebno je postaviti rubne uvjete s obzirom na vrstu oslonaca:

= = =

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)



Nova jednadba konanih elemenata glasi:

=

Submatrica krutosti dobiva se uklanjanjem redova i stupaca 1,2,11 te iznosi [N/mm]:

Subvektor sila dobiva se uklanjanjem lanova 1,2,11 te iznosi [N]:

Pomaci iznose [mm]:

3.5 Reakcije u osloncima

Vektor reakcijskih sila u vorovima dobiva se oduzimanjem globalnog vektora sila od

matrinog umnoka globalne matrice krutosti i dobivenog globalnog vektora pomaka [N]:

Usporedbom analitiki izraunatih veliina sa MKE obavljena je provjera tonosti oba

prorauna.

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)



3.6 Povratno identificiranje

Oznake potrebne za proraun uzdunih sila i momenata savijanja u gredi su:

D...matrica elastinosti

B...matrica meusobne ovisnosti deformacije u elementu i pomaka u vorovima

v...vektor pomak u odnosu na lokalne stupnjeve slobode

...tenzor naprezanja

Matrica elastinosti jednaka je za sva tri elementa te se rauna po:

Matrica B jednaka je za sva tri elementa te se rauna po:

Naprezanje za svaki od elemenata prikazuje se kao:

= [

] =

3.6.1 Element I

Vektor pomaka elementa I u odnosu na lokalne stupnjeve slobode iznosi [mm]:

Naprezanje elemenata I raunamo izrazom:

Naprezanja za vor 1 (za xmin) i za vor 2 (za xmax) iznose [N/mm2]:

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)



3.6.2 Element II

Vektor pomaka elementa II u odnosu na lokalne stupnjeve slobode iznosi [mm]:

Naprezanje elemenata II raunamo izrazom:


3.6.3 Element III

Vektor pomaka elementa III u odnosu na lokalne stupnjeve slobode iznosi [mm]:

Naprezanje elemenata III raunamo izrazom:


(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)



3.6.4 Dijagrami uzdunih sila (MKE)

Slika 3.6 Dijagram uzdunih sila MKE

3.7 Usporedba dijagrama momenata

Rezultati momenata savijanja dobivenih analitikom metodom usporeeni su sa momentima

savijanja dobivenim metodom konanih elemenata.

Slika 3.7 Dijagrami momenata

Usporedbom je potvrena tonost proraunatih podataka (graf je obrnut jer su poprene osi

koordinatnih sustava suprotno postavljeni).



4 Rjeavanje programskim paketom Abaqus U nastavku su prikazani rezultati analize provedene programskim paketom Abaqus te su oni

usporeeni sa rezultatima dobivenim analitikom metodom i MKE.

4.1 Reakcijske sile

4.1.1 Uzdune sile

Slika 4.1 ABAQUS uzdune reakcijske sile

Uzdune sile u lijevom osloncu (A):

1A = 1,681 103 N

Vrijednost sile se podudara sa vrijednostima analitike metode (FAX) te MKE (Rp1).

4.1.2 Poprene sile

Slika 4.2 ABAQUS poprene reakcijske sile

(55)



Poprene sile u lijevom (A) i desnom (B) osloncu:

2A = 2,009 103 N; 2B = 9,826 10

2 N

Vrijednost sila se podudaraju se sa vrijednostima analitike metode (FAY; FBY) te MKE (Rp2;

Rp11).

4.2 Pomaci u vorovima

Slika 4.3 ABAQUS popreni pomaci

Uzduni pomaci u vorovima U1 (1,2,3,4) mjerna jedinica [mm] iznose:

U11 = 1,68 1033 0; U12 = 0,00232654; U13 = 0,00022005; U14 = 0,000713

Popreni pomaci u vorovima U2 (1,2,3,4) mjerna jedinica [mm] iznose:

U21 = 2,01 1033 0; U22 = 0,455751; U23 = 0,595633; U24 = 9,8 10

34 0

Vektor pomaka (radi usporedbe):

Usporedbom rezultata potvrena je tonost (poprene sile su obrnutog predznaka zbog suprotno

postavljenih koordinatnih sustava). Analitiki dobiveni pomaci Slika 2.4, takoer se

podudaraju.

(56)

(57)

(58)

(59)

mke programski zad1

Documents