model pertumbuhan premi asuransi jiwa …digilib.unila.ac.id/29338/2/skripsi tanpa bab...
TRANSCRIPT
( Skripsi )
Oleh
Dwi Ratnasari
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2017
MODEL PERTUMBUHAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA DENGANTINGKAT SUKU BUNGA KONSTAN UNTUK KASUS
KONTINU DAN DISKRIT
ABSTRAK
MODEL PERTUMBUHAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKADENGAN TINGKAT SUKU BUNGA UNTUK KASUS KONTINU DAN
DISKRIT
Oleh
DWI RATNASARI
Dalam asuransi,terdapat istilah yang disebut asuransi jiwa dimana dalam asuransitersebut yang dipertanggungjawabkan adalah kematian. Asuransi jiwa punterdapat berbagai jenis produk, salah satunya yaitu asuransi jiwa berjangka. Jikaseseorang (tertanggung) menandatangani kontrak polis asuransi maka harusmembayarkan premi untuk tiap bulannya sebagai kewajiban atas keikutsertaannyapada asuransi. Premi itu sendiri dapat menaik ataupun menurun untuk tiaptahunnya. Pada pembayaran premi terdapat benefit yang akan diberikan kepada sitertanggung meninggal, jika pemberian benefit dilakukan pada saat tertanggungmeninggal disebut dengan kasus kontinu sedangkan jika benefit dibayarkan padaakhir tahun meninggalnya si tertanggung maka disebut dengan kasus diskrit.Dengan menentukan benefit yang akan diberikan tiap tahunnya untuk kasuskontinu maupun diskrit sehingga dapat mendapatkan model pertumbuhanpremi.Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan pertumbuhan premi asuransijiwa berjangka dengan tingkat suku bunga konstan (sama tiap tahunnya) untukkasus kontiu dan diskrit.
Kata kunci : asuransi, asuransi jiwa, premi, benefit, pertumbuhan premi
ABSTRACT
PREMIUM GROWTH MODEL TERM LIFE INSURANCE WITH RATEOF INTEREST IS CONSTANT FOR KONTINU DAN DISKRIT CASE’S
By
DWI RATNASARI
In insurance,available the so called life assurance terminology where in thatinsurance one is laided at the door is death. Life assurance even exists variousproduct type, one of it which is life assurance gets meter. If someone (the insured)sign contracts insurance policy therefore have pay premium for every month it asliabilities on its participation on insurance. That premium is alone gets to ascendor menurun even for per annum it. On premium payment exists benefit who willbe given unto the the insured dies, if benefit's application is done at the momentdeceased the insured is called with kontinu's case whereas if benefit pay on year-end its deceased the the insured therefore so-called with diskrit's case. Bydetermining benefit what do will be given per annum it for kontinu's case and alsodiskrit so gets to get premium growth model. This research intent to model lifeassurance premium growth gets meter with level constant rate of interest (with perannum it) for kontinu's case and diskrit.
Key word: insurance, life assurance, premium, benefit, premium growth
MODEL PERTUMBUHAN PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKADENGAN TINGKAT SUKU BUNGA KONSTAN UNTUK KASUS
KONTINU DAN DISKRIT
Oleh
DWI RATNASARI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh GelarSARJANA SAINS
Pada
Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Rumbia pada tanggal 07Januari 1996. Penulis merupakan anak ketujuh dari
pasangan Bapak Surip dan Ibu Rasminten sertaadik dari Sumaji, Sulastri, Suyono, Bambang
Wicaksono, Dodi Wahyudi, dan Ari Wibowo.
Penulis memulai pendidikan dari Pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 6 Rukti Basukipada
tahun 2001. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1Rumbia pada tahun 2007.
Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 1Rumbia pada tahun 2011.
Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN pada
tahun 2013. Pada periode tahun 2013/2014 penulis terdaftar sebagai anggota Biro Dana dan
Usaha Himpunan Mahasiswa Matematika Unila juga sebagai anggota Natural dan Rohani Islam
(ROIS) .
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah menyelesaikan Kerja
Praktik (KP) di Kantor Dinas Pendapatan UPTD Pendapatan Wilayah I Bandar Lampung dan
ditempatkan di bagian seksiPenagihan Dan Pendanaan selama kurang lebih satu bulan. Penulis
juga telah melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tematik pada tahun 2016 selama 40 hari di
Desa Purwodadi Kecamatan Bangun Rejo, Lampung Tengah.
PERSEMBAHAN
Puji dan syukur kepada Allah SWT berkat rahmat dan hidayah-Nya sebuahkarya sederhana namun penuh perjuangan telah terselesaikan
Kupersembahkan Skripsi ini untuk :
Kedua orang tuaku tercinta
Ayahanda Surip & Ibunda Rasminten
Serta Kakak- kakakku tersayang
Sumaji, Suyono, Sulastri, Bambang Wicaksono, Dodi Wahyudi,
Dan Ari Wibowo
Terimakasih atas jasa-jasa yang tak bisa ternilai harganyaTerimakasih atas setiap doa tulus yang kalian panjatkan
Terimakasih atas cinta dan kasih sayang yang kalian berikan
MOTTO
Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow(Albert Einstein)
Man jadda wajadda, man shabara zhafira, man sara ala darbi washala(Animo)
Kesabaran, kegigihan, dan kerja keras menciptakan sebuah kombinasiyang tidak terkalahkan untuk kesuksesan
(Napoleon Hill)
Selalu ada harapan bagi mereka yang sering berdoa, selalu ada jalanbagi mereka yang sering berusaha
(Dwi Ratnasari)
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada
junjungan kita Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.
Pada proses penyusunan skripsi, penulis memperoleh banyak bantuan, dukungan, bimbingan
serta kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu terselesaikan. Oleh karena
itu, dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah membimbing
penulis dengan setulus hati, menyumbangkan ilmunya, memberikan motivasi serta telah
banyak meluangkan waktu ditengah kesibukannya untuk membimbing hingga skripsi ini
terselesaikan.
2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah
banyak membantu, memberi masukan serta dengan sabar memberikan pengarahan
dalamproses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan kritikdan saran
yang membangun kepada penulis dalam proses penyelesaian skripsi ini.
4. IbuWidiarti, M.Si.,selaku Pembimbing Akademik.
5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A.,Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu
pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis.
8. Orang tuaku tercinta dan kakak - kakakku tersayang, serta seluruh keluarga yang
senantiasa memberikan kasih sayang yang tiadaterkira, selalu menjadi penyemangat
disaat lemah, selalu memotivasi penulis untuk memberikan yang terbaik, serta tak henti-
hentinya mendoakan untuk keberhasilan penulis.
9. Teman-teman satu bimbingan, vinny, Cinkia, Aiman, Retno, Shintia yang telah banyak
membantu, memberikan perhatian dan dukungan mental kepada penulis.
10. Untuk sahabat KKN, Disti, Melia, Shiska, Vyna, Indra, Yona, Gagah, Mydori terimakasih
telah mendengarkan keluh kesah dan memberikan semangat.
11. Teman-teman satu bimbingan akademik, Dita, Efrizal, dan Dimas yang selalu membantu
penulis, berjuang bersama serta saling mendukung dalam menyelesaikan skripsi ini.
12. Muhammad Adi Yusuf yang rela meluangkan waktunya untuk menemani, membantu dan
memberikan perhatian yang menjadi semangat tersendiri bagi penulis.
13. Keluarga besar HIMATIKAterimakasihataspengalaman yang luarbiasa.
14. Teman-teman seperjuangan Matematika 2013 yang tidak bisa penulis sebutkan satu
persatu, terimakasih atas empat tahun kebersamaan yang bermakna dan kisah-kisah indah
yang takkan terlupakan.
15. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu atas
peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.
Bandarlampung, 10 Oktober 2017
Penulis,
Dwi Ratnasari
i
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ........................................................................... iii
DAFTAR SIMBOL ............................................................................. iv
DAFTAR TABEL ............................................................................... vi
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ....................................................... 11.2 Tujuan Penelitian ......................................................................... 31.3 Manfaat Penelitian ....................................................................... 31.4 Batasan Masalah .......................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Asuransi ...................................................................................... 42.2 Asuransi Jiwa .............................................................................. 52.3 Jenis – Jenis Asuransi Jiwa ......................................................... 62.4 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function) ...................... 82.5 Peluang Waktu Sisa Hidup (Curtate-Future-Lifetime) ............... 82.6 Laju Tingkat Kematian (Force Of Mortality) ............................. 122.7 Tabel Mortalitas .......................................................................... 152.8 Bunga .......................................................................................... 192.9 Laju Tingkat Suku Bunga (Force Of Interest) ............................ 202.10 Premi Tunggal ............................................................................. 212.11 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka .................................... 222.12 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar .................................................. 252.13 Hubungan Antara Kasus Diskrit Dan Kasus Kontinu
Pada Asuransi Jiwa ...................................................................... 252.14 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing)
Untuk Kasus Kontinu ................................................................... 272.15 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menurun (Decreasing)
Untuk Kasus Kontinu ................................................................... 28
ii
Halaman
2.16 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing)Untuk Kasus Diskrit ..................................................................... 29
2.17 Premi Asuransi Jiwa berjangka Menurun (Decreasing)Untuk Kasus Diskrit ...................................................................... 31
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ......................................................... 323.2 Data Penelitian ................................................................................ 323.3 Metode Penelitian ........................................................................... 32
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikankepada tertanggung sesaat ketika meninggal (kontinu) ................. 39
4.2 Menghitung Nilai tpx...................................................................... 424.3 Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun)
untuk kasus kontinu ....................................................................... 424.4 Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikan
kepada tertanggung pada saat akhir tahun meninggalnyasi tertanggung (diskrit) .................................................................... 51
4.5 Menghitung nilai k|qx dan v................................................................ 554.6 Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun)
untuk kasus diskrit .............................................................................. 56
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 62
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
iv
DAFTAR SIMBOL
Simbol Pengertian
T(x) Sisa umur bagi x
FT(x) Peluang seseorang berusia x tahun akan meninggal sebelum berusia x+ttahun
st(x)(t) Peluang orang berusia x tahun akan hidup mencapai usia x+t tahun
tqx Peluang meninggal seseorang berusia x
tpx Peluang hidup seseorang berusia x
t|uqx Peluang seseorang berusia x akan meninggal antara umur x+t tahun danx+t+u( ) Laju tingkat kematian seseorang berusia x
lx Jumlah orang yang diharapkan masih hidup sampai usia x tahun
l0 Banyaknya bayi yang dilahirkan
L(x) Banyaknya bayi yang hidup sampai dengan usia x
Ij Indikator untuk bayi yang bertahan hidup dari j
dx Banyaknya orang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapai usiax+t tahun
nDx Banyaknya bayi yang meninggal antara usia x sampai dengan usia x+n tahun
ndx Banyaknya orang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapaiusia x+n tahun
i(m) Dana yang dibungakan lebih dari satu kali dalam setahun dengan m tahun
Laju tingkat suku bunga (force of interest)I Tingkat suku bungavt Faktor diskon (discount factor)bt Fungsi benefit/santunan
v
Simbol Pengertian
: | Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x dengan jangka waktun tahun untuk kasus kontinu
: | Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x dengan jangka waktun tahun untuk kasus diskrit
vk+1 Fungsi diskon pada kasus diskrit
bk+1 Fungsi benefit pada kasus diskrit⌊ ⌋ Fungsi bilangan bulat terbesar
bt = ⌊ + 1⌋ Besarnya benefit yang akan didapatkan oleh seorang tertanggung pada premimenaik yaitu sebesar t+1 satuan
: |Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x akan menaik tiaptahunnya dalam jangka waktu n tahun
: |Premi yang harus dibayarkan oleh seseorang berusia x akan menurun tiaptahunnya dalam jangka waktu n tahun
k|qx Peluang meninggal seseorang berusia x( + ) Laju tingkat kematian seseorang berusia x sampai dengan x+t tahun
vi
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Life table united states 2002 ............................................................... 382. Nilai tpx................................................................................................ 423. Model premi menaik asuransi jiwa berjangka (kontinu) .................... 454. Premi menaik tiap tahun untuk kasus kontinu .................................... 465. Model premi menurun asuransi jiwa berjangka (kontinu) .................. 496. Premi menurun tiap tahun untuk kasus kontinu .................................. 507. Nilai k|qx dan v...................................................................................... 558. Model premi menaik untuk kasus diskrit ............................................. 579. Premi per tahun menaik untuk kasus diskrit ........................................ 5710. Model premi menaik untuk kasus diskrit ............................................. 5911. Premi per tahun menurun untuk kasus diskrit ..................................... 60
iii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa berjangka ............... 222. Kenaikan premi untuk kasus kontinu ............................................... 463. Penurunan premi untuk kasus kontinu ............................................ 514. Kenaikan premi untuk kasus diskrit ................................................. 585. Penurunan premi untuk kasus diskrit ............................................... 61
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Dan Masalah
Pada kehidupan saat ini, manusia tidak hanya membutuhkan tiga kebutuhan
( sandang,pangan, dan papan ) saja namun hal lain juga ingin dipenuhi seperti
halnya kebutuhan di hari tua maka manusia sudah menyiapkan dana pensiun
untuk masa yang akan datang serta anak-anak yang belum sekolah sudah
disiapkan dana mulai tingkat dasar hingga perguruan tinggi. Problem yang
ditakuti manusia adalah kemungkinan kematian yang terjadi terlalu dini.
Kematian ini merupakan hal yang pasti namun masalah waktu atau kapan
kematian itu datang adalah suatu hal yang tidak dapat ditentukan oleh manusia.
Salah satu cara untuk mengurangi risiko tersebut yaitu dengan mengalihkan atau
melimpahkan risiko tersebut kepada pihak atau badan usaha lain. Yang dimaksud
pihak atau badan usaha lain ialah suatu lembaga yang menjamin sekiranya timbul
suatu peristiwa yang tidak diinginkan, lembaga ini dikenal dengan apa yang
disebut asuransi.
Salah satu jenis asuransi yang dikenal sekarang ini adalah asuransi jiwa. Asuransi
jiwa merupakan alat sosial ekonomi, yang merupakan cara dari sekelompok orang
untuk dapat bekerjasama meratakan beban kerugian karena kematian sebelum
waktunya dari anggota-anggota kelompok tersebut. Pada asuransi jiwa yang
2
dipertanggungjawabkan ialah disebabkan oleh kematian (death). Terdapat
beberapa jenis asuransi jiwa yang sering ditawarkan oleh perusahaan asuransi
antara lain yaitu asuransi jiwa seumur hidup (whole life insurance), asuransi jiwa
berjangka ( term insurance), asuransi jiwa endowment murni (pure endowmet),
dan asuransi jiwa dwiguna (endowment). Pada saat seseorang menandatangani
kotrak polis asuransi maka akan dibebankan sejumlah premi yang harus
dibayarkan oleh orang tersebut. Premi merupakan sejumlah uang yang mesti
dibayarkan pada setiap bulannya sebagai suatu kewajiban dari yang tertanggung
atas keikutsertaannya pada asuransi.
Nilai besarnya premi dari keikutsertaannya pada asuransi yang mesti dibayarkan
sudah ditetapkan oleh para perusahaa asuransi dengan dapat memperhatikan
segala kondisi dari yang tertanggung. Premi yang dibayarkan bisa menaik ataupun
menurun untuk tiap tahunnya, pertumbuhan premi tersebut dapat dikategorikan
dalam dua kasus yaitu untuk kasus kontinu dan kasus diskrit. Pembayaran premi
dikatakan kasus kontinu ketika perusahaan asuransi memberikan benefit pada saat
tertanggung meninggal sedangkan dikatakan kasus diskrit ketika perusahaan
asuransi memberikan benefit pada saat akhir tahun meninggal si tertanggung.
Pada premi asuransi jiwa berjangka, pertumbuhan premi baik premi menaik
ataupun premi menurun memiliki perumusan tersendiri. Besarnya premi
dipengaruhi dengan lamanya waktu (jangka waktu) dan tingkat suku bunga.
Tingkat suku bunga biasanya sudah ditentukan oleh perusahaan asuransi dan
tingkat suku bunga yang digunakan biasanya akan sama tiap tahunnya (konstan.
Sehingga dari penjabaran masalah sebelumnya, penulis bermaksud untuk
3
membuat model pertumbuhan premi asuransi jiwa berjangka dengan tingkat suku
bunga konstan untuk kasus diskrit dan kontinu. Keuntungan dari pembentukan
model ini sendiri yaitu mempersingkat rumus utama premi menaik/menurun
sehingga mempermudah perhitungan premi tiap tahunnya, sedangkan
kelemahannya yaitu karna bentuk/model berasal dari penjabaran rumus utama
premi menaik/menurun sehingga perhitungan premi harus dilakukan bertahap.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Membuat model pertumbuhan premi asuransi jiwa berjangka dengan tingkat
suku bunga konstan untuk kasus kontinu dan diskrit
2. Mengetahui pertumbuhan premi menaik dan menurun pada asuransi jiwa
berjangka
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Dapat memberikan informasi tentang pertumbuhan premi
2. Dapat memberikan informasi tentang model pertumbuhan premi asuransi jiwa
berjangka dengan tingkat suku bunga konstan untuk kasus kontinu dan diskrit
1.4 Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi hanya pada pertumbuhan premi tunggal asuransi jiwa
berjangka secara umum.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Asuransi
Untuk memenuhi kebutuhan yang belum pasti di masa yang akan datang tersebut
maka sebagian manusia memerlukan asuransi. Karena asuransi merupakan salah
satu buah peradaban manusia dan merupakan suatu hasil evaluasi kebutuhan
manusia yang sangat hakiki ialah kebutuhan akan rasa aman dana terlindung,
terhadap kemungkinan menderita kerugian. Asuransi merupakan buah pikiran dan
akal budi manusia untuk mencapai suatu keadaan yang dapat memenuhi
kebutuhannya, terutama sekali untuk kebutuhan – kebutuhannya yang hakiki
sifatnya antara lain rasa aman dan terlindung ( Hartono, 1992).
Disadari bahwa asuransi mempunyai beberapa manfaat antara lain pertama,
membantu masyarakat dalam rangka mengatasi segala masalah risiko yang
dihadapinya. Hal itu akan memberikan ketenangan dan kepercayaan diri yang
lebih tinggi kepada yang bersangkutan. Kedua, asuransi merupakan sarana
pengumpulan dana yang cukup besar sehingga dapat dimanfaatkan untuk
kepentingan masyarakat dana pembangunan. Ketiga, sebagai sarana untuk
mengatasi risiko – risiko yang dihadapi dalam melaksanakan pembangunan.
Selain itu, meskipun banyak metode untuk menangani risiko, asuransi merupakan
5
metode yang paling banyak dipakai. Karena asuransi menjanjikan perlindungan
kepada pihak tertanggung terhadap risiko yang dihadapi perorangan maupun
risiko yang dihadapi oleh perusahaan (Sastrawidjaja, 1993).
Karena dipandang begitu pentingnya asuransi bagi sebagian masyarakat maka
kebutuhan akan jasa perasuransian makin dirasakan, baik oleh perorangan
maupun dunia usaha di Indonesia. Asuransi merupakan sarana finansial dalam
dalam tata kehidupan rumah tangga, baik dalam mengahadapi risiko mendasar
seperti risiko kematian, atau dalam menghadapi risiko atas harta benda yang
dimiliki. Demikian pula dunia usaha dalam menjalankan kegiatannya menghadapi
berbagai risiko yang mungkin dapat mengganggu kesinambungan usahanya
(Darmawi, 2006).
2.2 Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa merupakan alat sosial ekonomi, yang merupakan cara dari
sekelompok orang untuk dapat bekerja sama meratakan beban kerugian karena
kematian sebelum waktunya dari anggota - anggota kelompok tersebut. Pada
asuransi jiwa yang dipertanggungkan ialah yang disebabkan oleh kematian
(death). Kematian tersebut mengakibatkan hilangnya pendapatan seseorang atau
suatu keluarga tertentu. Risiko yang mungkin timbul pada asuransi jiwa terutama
terletak pada “unsur waktu (time), oleh karena sulit untuk mengetahui kapan
seseorang meninggal dunia. Untuk memperkecil risiko tersebut, maka sebaiknya
diadakan pertanggungan jiwa ( Darmawi, 2006).
6
Pada dasarnya yang dimaksud dengan asuransi jiwa adalah suatu asuransi yang
bertujuan untuk memberikan proteksi terhadap orang perindividu dan atau
perkelompok (keluarga) atas kerugian financial tak terduga, maksud dari kerugian
financial tak terduga adalah karena terjadi kematian yang mendadak (terlalu
cepat), cacat tetap total, atau sudah tidak produktif (terlalu tua – terlalu lama
hidup) atas seseorang yang mengakibatkan hilangnya penghasilan. Jadi, asuransi
jiwa akan memproteksi keluarga tertanggung jika sewaktu-waktu tertanggung
meninggal dunia atau sudah tidak produktif (karena terlalu tua) lagi, disini
diasumsikan tertanggung adalah tulang punggung keluarga, sehingga jika
tertanggung sudah tidak dapat memperoleh penghasilan lagi, asuransi jiwa akan
memberikan pertanggungan/santunan kepada keluarga yang tertanggung
tinggalkan tersebut (Darmawi, 2006).
2.3 Jenis – Jenis Asuransi Jiwa
Adapun jenis asuransi jiwa yang sering ditawarkan kepada konsumen oleh pihak
asuransi yang disesuaikan dengan kontrak asuransi konsumen, jenisnya sebagai
berikut :
1. Asuransi Jiwa Seumur Hidup
Asuransi jiwa seumur hidup merupakan asuransi yang memberikan proteksi
seumur hidup. Tentu asuransi ini juga memiliki kelemahan dan keuntungannya,
keuntungannya sendiri adalah dengan jangka waktu yang lebih lama jika
dibandingkan dengan term life, selain itu tertanggung (konsumen) juga akan
mendapat uang tunai dari premi yang dibayarkan. Sedangkan kelemahannya,
7
tentu premi yang lebih tinggi, walaupun nanti ada uang tunai yang diterima
dari pembayaran premi,namun jumlahnyatidaklah terlalu tinggi, apalagi nanti
jika mendapat pengurangan dari pajak, akan semakin kecil uang yang akan
diterima.
2. Asuransi Jiwa Berjangka
Asuransi jiwa berjangka adalah asuransi jiwa dengan sistem pertangggungan
berjangka waktu tertentu, artinya ada masa habisnya. Jangka waktu yang
dimaksud bervariasi, bisa 5 tahun, 10, 15, 20, dan seterusnya. Kelemahan
asuransi jiwa ini adalah jika tertanggung meninggal atau tidak produktif setelah
jangka waktunya habis, maka keluarga tidak mendapat pertanggungan.
Sedangkan keunggulannya adalah premi yang rendah, asuransi jiwa term life
adalah asuransi yang paling rendah preminya (paling murah). Walaupun
disebut sebagai asuransi jiwa yang paling murah, namun pertanggungannya
cukup tinggi yaitu mencapai miliaran rupiah.
3. Asuransi Jiwa Dwiguna (Endowment)
Asuransi jiwa dwiguna adalah asuransi dengan dua fungsi, fungsi pertama
adalah sebagai asuransi jiwa berjangka, dan fungsi kedua adalah sebagai
tabungan. Sebagai tabungan artinya tertanggung dapat menarik polis asuransi
jika suatu saat tertanggung memiliki kebutuhan yang mendesak, hal ini bisa
dilakukan dalam jangka waktu beberapa tahun sekali sesuai dengan perjanjian
kepada perusahaan asuransi, selain itu tertanggung juga akan mendapatkan
uang tunai seperti halnya pada asuransi whole life, namun persentasenya lebih
tinggi.
8
2.4 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)
Misalkan ( ) adalah seseorang yang berusia tahun pada saat polis asuransi
ditanda tangani dan sedangkan jarak waktu antara ( ) sampai meninggal dunia( ) akan disebut sisa umur bagi ( ), sehingga terdapat peubah acak ( ), yaitu( ) = − untuk ≥ 0. ( ) menyatakan sisa umur bagi ( ). Fungsi
distribusi dari ( ) dinyatakan dengan ( ) dan didefinisikan (Bowers, dkk.,
1997) dengan :
( ) = ( ( ) ≤ ), ≥ 0 (2.4.1)
( ) menyatakan peluang seseorang seseorang yang berusia tahun akan
meninggal sebelum berusia + tahun. Secara umum fungsi kelangsungan hidup
dapat dinyatakan dengan :
( )( ) = 1 − ( ) = ( ( ) > ) ; > 0 (2.4.2)( )( ) adalah peluang orang berusia x tahun akan hidup mencapai usia +
tahun.
2.5 Peluang Waktu Sisa Hidup (Curtate-Future-Lifetime)
Dalam fungsi kelangsungan hidup untuk kasus kontinu, simbol T(x) menyatakan
sisa umur bagi seseorang berusia atau T(x)= X – x. Dengan notasi peluangnya
= ( ( ) ≤ ) (2.5.1)
9
= 1 − = ( ( ) > ) (2.5.2)Sehingga fungsi distribusi dari ( ) nya adalah :
( )( ) = ( ( ) ≤ | > )= ( − ≤ | > )= ( ≤ ≤ + | > )= ( + ) − ( )1 − ( )= (1 − ( + ) − (1 − ( ))( )= ( ) − ( + )( )= ( )( ) − ( + )( )= 1 − ( + )( )= (2.5.3)
Maka
( ( ) > ) = 1 − ( ( ) ≤ )= 1 −= 1 − 1 − ( + )( )
10
= ( + )( )= (2.5.4)
Simbol tqx dapat diinterpretasikan sebagai probabilitas (peluang) bahwa (x) akan
meninggal dalam t tahun, tqx adalah fungsi distribusi pada T(x). Sebaliknya,
tpxdapat diinterpretasikan sebagai peluang bahwa (x) akan hidup sampa umur x+t,
tpx merupakan fungsi survival untuk (x). Dalam kasus tertentu untuk umur hidup
0, maka T(0) = X dan
tp0 = s(x) x ≥ 0 (2.5.5)
Jika t = 1, maka
qx = Pr[(x) akan meninggal diantara 1 tahun]
px = Pr[(x) akan hidup sampai umur x+1]
Berikut simbol khusus untuk kejadian yang lebih umum bahwa (x) akan hidup
selama t tahun dan meninggal diantara u tahun, (x) akan meninggal antara umur
x + t dan x + t + u
t|uqx = Pr[t < T(x) ≤ t + u]
= t+uqx - tqx
= tpx – t+upx (2.5.6)
Seperti sebelumnya, jika u = 1,sehingga u dapat dihapuskan pada t|uqx, dan
kemudian menjadi t|qx.
11
Diasumsikan bahwa observasi dari survival saat umur x akan menghasilkan untuk
survival sebagai perkiraan bahwa seorang bayi akan hidup pada umur x ,
kemudian
tpx = =( )( ) (2.5.7)
tqx = 1 -( )( ) (2.5.8)
dengan pendekatan ini, dan banyak kasus spesial, dapat dituliskan sebagai berikut
t|uqx =( ) ( )( )
=( )( ) ( ) ( )( )
= tpx uqx+t (2.5.9)
Peluang waktu sisa hidup (x) dinotasikan dengan K(x). Karena K(x) adalah
bilangan bulat terbesar dalam T(x), sehingga fungsi probabilitasnya menjadi
Pr[K(x) = k] = Pr[k ≤ T(x) < k+1]
= Pr[k < T(x) ≤ k+1]
= kpx – k+1px
= kpxqx+k
= k|qx ; k = 0, 1, 2, ... (2.5.10)
(Bowers,dkk., 1997).
12
2.6 Laju Tingkat Kematian (Force Of Mortality)
Laju kematian dari seseorang yang baru lahir dan akan meninggal antara usia x
dan x + Δx dengan syarat hidup pada usia x dapat dinyatakan dengan :
( < < + Δx| > ) = ( + Δx) − ( )1 − ( ) (2.6.1)Karena ( + Δx) − ( ) dapat dinyatakan sebagai fungsi limit, maka :
lim→ ( + Δx) − F(x)1 − ( ) = lim→ ( + Δx) − F(x). ΔxΔxlim→ 1 − ( )= lim→ ( + Δx) − F(x)Δx . Δxlim→ 1 − ( )= ( )Δx1 − ( )≌ ( )1 − ( ) (2.6.2)
Untuk setiap usia , laju tingkat kematian dari seseorang yang berusia tahun
dapatdinyatakan dengan
μ( ) = ( )1 − ( ) (2.6.3)atau
μ( + ) = ( )( ) (2.6.4)
13
Dengan μ( + ) adalah probabilitas (peluang) sisa umur hidup seseorang yang
berusia tahun antara + tahun dengan syarat ia masih hidup pada usia
sampai + tahun.
Karena ( ) = 1 − ( ) atau ( ) = 1 − ( ),maka :
( ) = ( ) = − ( ) (2.6.5)
Sehingga diperoleh nilai laju kematian pada usia x adalah :
μ( ) = − ′( )( ) = −1( ) . ( ( ))( )= − ln ( )( ) . ( ( ))( )= − ln ( )( )
μ( ) = − ln ( ) (2.6.6)
Dengan mengganti menjadi , maka diperoleh :
μ( ) = − ln ( ) (2.6.7)
dan dengan menggunakan intergral tertetu pada batas sampai + maka
diperoleh ∫ μ( ) = −∫ ln ( )= − ln ( )|= −{ln ( + ) − ln ( )}= − ln ( + )( )
14
= − ln= ∫ ( ) (2.6.8)
Jika nilai laju kematiannya konstan (μ( + ) = μ)untuk semua ≥ 0, artinya
besarnya nilai dari force of mortality (laju tingkat kematian) adalah sama untuk
semua usia nasabah yang hidup, yang artinya
( ) = = ∫ ( ) = ∫ = (2.6.9)
Diketahui sebelumnya bahwa adalah fungsi distribusi dari ( ), sehingga
fungsi densitas dari ( ) adalah :
( )( ) == 1 −= 1 − ( + )( )= − ( + )( )= − ( + )( )= ( + )( ) . − ′( + )( + )
( )( ) = . μ( + )(2.6.10)(Bowers, dkk., 1997).
15
2.7 Tabel Mortalitas
Pada tabel mortalitas terdapat variabel dan , menyatakan jumlah orang
yang diharapkan masih hidup sampai usia tahun dari sekelompok orang yang
jumlahnya ketika baru lahir. Dalam hal ini, yang menyatakan banyaknya
bayi yang baru dilahirkan diasumsikan mempunyanyi fungsi survival sama
dengan ( ).Misalkan = 100.000, lalu diberi indeks = 1, 2, 3, . . . , (orang ke-1, ke-2, . . .,
ke- ), dan ℒ( ) menyatakan banyaknya bayi yang hidup sampai dengan usia ,
sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :
ℒ( ) = (2.7.1)dimana adalah indikator untuk bayi yang bertahan hidup dari , dan dapat pula
dinyatakan dengan :
= 1 , ℎ0,karena adalah random variabel, dan berdasarkan asumsi bahwa mempunyai
fungsi survival yang sama dengan ( ), maka akan diperoleh nilai peluangnya
sebagai berikut :
= 1 = ( ) (2.7.2)
= 0 = 1 − ( ) (2.7.3)
16
Dari persamaan (2.7.2) dan (2.7.3), diperoleh nilai harapan dari sebagai
berikut :
= 1. ( ) + 0. 1 − ( ) = ( )Sehingga nilai ekspetasi dari ℒ( ) dapat dinyatakan dengan :
[ℒ( )] === ( ) + ( )+ . . . + ( )= . ( ) (2.7.4)= .= . exp μ (2.7.5)
Selanjutnya, variabel menyatakan banyaknya orang berusia tahun akan
meninggal sebelum mencapat usia + 1 tahun.
Misalkan, menyatakan banyaknya bayi yang meninggal antara usia tahun
sampai dengan usia + tahun, maka berlaku persamaan berikut :
( < < + ) = ( ) − ( + )
17
Selanjutnya indikator yang berlaku adalah sebagai berikut :
= 1, + ℎ0,Karena adalah random variabel, maka akan diperoleh nilai peluangnya sebagai
berikut :
= 1 = ( ) − ( + ) (2.7.6)= 0 = 1 − { ( ) − ( + )} ( 2.7.7)
Dari persamaan (2.7.6) dan (2.7.7) diperoleh nilai harapan dari sebagai berikut :
==
= . { ( ) − ( + )}= . ( ) − . ( + )= − (2.7.8)
dimana menyatakan banyaknya orang yang berusia tahun yang meninggal
sebelum mencapai usia + tahun.
Berdasarkan persamaan (2.7.4) dan (2.7.8) diperoleh persamaan sebagai berikut :
= . ( ) ⇒ ( ) =
18
= (2.7.9)dan
= 1 − = 1 − = − = (2.7.10)Sehingga peluang ( ) akan meninggal sebelum mencapai usia + tahun dapat
dinyatakan dengan :
= 1 −= 1 −= −= (2.7.11)
dan sebuah peluang meninggal yang ditangguhkan atau kondisi yang menyatakan
bahwa akan berlangsung hidup sampai tahun dan meninggal dalam tahun,
didefinisikan sebagai berikut :
| = 1 − | (2.7.12)Jika = 1, maka berdasarkan (2.7.12) diperoleh :
| = −= . = (2.7.13)
19
2.8 Bunga
Bunga merupakan pembayaran yang dilakukan oleh peminjam sebagai balas jasa
atas pemakaian uang yang dipinjam. Secara umum perhitungan bunga dibagi
menjadi dua, yaitu bunga sederhana dan bunga majemuk.
1. Bunga Sederhana (Simple Interest)
Bunga tunggal atau bunga sederhana adalah besarnya bunga dihitung dari
nilai pokok awal dikalikan dengan tingkat bunga dan waktu . Besarnya bunga
sederhana dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
= . . (2.8.1)
dengan :
: interest value (nilai bunga)
: Pokok investasi
: rate of interest annually, tingkat suku bunga
: time, jangka waktu (lama) investasi (tahun)
2. Bunga Majemuk (Compound Interest)
Bunga majemuk adalah perhitungan bunga dimana besar pokok janga
investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya di tambah dengan besar
bunga yang diperoleh . Besar bunga majemuk dapat dihitung dengan
menggunakan rumus :
= . (2.8.2)
20
dengan :
: interest value (nilai bunga)
: Pokok investasi
: rate of interest annuality, tingkat suku bunga
: time, jangka waktu (lama) investasi (tahun)
2.9 Laju Tingkat Suku Bunga (Force Of Interest )
Definisikan bahwa i(m) merupakan nominal interest rate atau yang biasa disebut
dana yang dibungakan lebih dari satu kali dalam setahun dengan m tahun
(Gerber, 1990) . Sehingga dapat dituliskan
1 + ( ) = 1 + (2.9.1)Sehingga
( ) = (1 + ) − 1 (2.9.2)Kemudian dilimitkan dengan → ∞, diperoleh
= lim→∞
( ) (2.9.3)Hal tersebut disebut dengan force of interest (laju tingkat suku bunga) dengan
tingkat suku bunga i.
21
Kemudian dituliskan kembali
( ) = (1 + ) − (1 + )1/ (2.9.4)Terlihat bahwa merupakan derivative function dari (1+i)x pada saat x = 0. Jadi
didapatkan
= ln(1 + ) atau
= 1 +Sehingga jika untuk t tahun maka diperoleh persamaan
(1 + ) = (2.9.5)Diketahui bahwa discount factor untuk periode atau waktu yang sama adalah
= (2.9.6)2.10 Premi Tunggal
Pada asuransi dengan perhitungan kontinu, pembayaran benefit kepada ahli waris
nasabah dilakukan sesaat setelah nasabah meninggal dunia. Jumlah dan waktu
pembayaran benefit pada asuransi jiwa tergantung pada panjang interval dari
dikeluarkannya polis sampai tertanggung meninggal dunia. Berdasarkan uraian
tersebut, asuransi jiwa terdiri dari fungsi benefit atau santunan ( ) dan . Fungsi
adalah nilai sekarang dari pembayaran dan adalah panjang interval pada
saat polis dikeluarkan sampai dengan ( ) meninggal dunia.Keduanya membentuk
22
suatu peubah acak yang dilambangkan dengan yang didefinisikan sebagai
berikut :
= .Karena ( ) adalah peubah acak dari sisa waktu hidup nasabah atau waktu dari
dikeluarkannya polis sampai waktu meninggalnya nasabah, maka adalah fungsi
peubah acak (Actuarial Present Value) pembayaran benefit pada saat polis
asuransi dikeluarkan (Bowers, dkk., 1997).
2.11 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Berjangka
Asuransi jiwa berjangka adalah suatu asuransi yang membayarkan benefit atau
santunan kepada ahli waris nasabah apabila si nasabah meninggal dunia selama
dalam jangka waktu polis asuransi yang telah ditentukan.
Gambar 1. Sistem pembayaran benefit pada asuransi jiwa berjangka
Pada asuransi jiwa berjangka menyediakan pembayaran sebesar satu unit hanya
jika tertanggung meninggal pada jangka n tahun masa asuransi. Jika satu unit
pembayaran pada saat meninggal (x), maka
+ −
23
bt = 1 ≤0 >vt = vt t ≥ 0
z = ≤0 >Definisi ini menggunakan tiga syarat. Pertama, future lifetime merupakan variabel
non-negatif, didefinisikan bt, vt, and z hanya pada nilai non negatif. Kedua, untuk
nilai t dimana bt bernilai 0, nilai vt tidak relevan. Ketiga, kecuali jika, laju tingkat
suku bunga ( force of interest ) diasumsikan konstan. APV ( actuarial present
value ) untuk asuransi jiwa berjangka dengan satu unit pembayaran pada saat
meninggal (x), E[Z], dinotasikan dengan x1: n| . Kemudian dapat dihitung dengan
mengenali Z sebagai fungsi T jadi E[Z] = E[zT]. Kemudian gunakan p.d.f pada T
untuk peroleh
x1: n| = E[Z] = E[zT] = ∫ ( )
=∫ ( )= ∫ ( )= ∫ ∫ ( ) ( ) ( konstan)
= ∫= ∫ ( )= (1 − ( ) )
24
Pada asuransi jiwa berjangka dengan pembayaran benefit pada saat akhir tahun
meninggal fungsi benefit dinotasikan dengan bk+1, dan fungsi diskon vk+1,
sejumlah benefit kan dibayarkan dan faktor diskon diperlukan untuk periode dari
waktu pembayaran saat kejadian polis ketika curtate-future-lifetime tertanggung
adalah k, ketika tertanggung meninggal pada tahun k+1 masa asuransi. Present
value pada kejadian polis dengan pembayaran benefit dinotasikan dengan zk+1
zk+1 =bk+1vk+1
Untuk asuransi jiwa berjangka menyediakan satu unit jumlah benefit yang akan
dibayarkan pada akhir tahun meninggal si tertanggung, diperoleh
bk+1 =1 = 0, 1, … , − 10
vk+1 = vk+1
z == 0, 1, … , − 10
Actuarial Present Value (APV) dari asuransi jiwa berjangka diberikan sebagai
berikut
x1: n|= E[Z] = ∑
(Bowers, dkk., 1997).
25
2.12 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
Di antara fungsi-fungsi yang akan sering digunakan sebagai contoh terdapat dua
fungsi yang sangat khusus yaitu : fungsi nilai mutlak, | |, dan fungsi bilangan
bulat terbesar ⌊ ⌋. Fungsi – fungsi ini didefinisikan oleh :
| x | =≥ 0– < 0
dan
⌊ ⌋ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.
Jadi, |-3,1| = |3,1|, sedangkan ⌊−3,1⌋ = -4 dan ⌊3,1⌋ = 3. Fungsi nilai mutlak
adalah genap, karena | -x | = | x | sedangkan fungsi bilangan bulat terbesar bukan
fungsi genap atau ganjil (Purcell, dkk., 2003).
2.13 Hubungan Antara Kasus Diskrit Dan Kasus Kontinu Pada Asuransi
Jiwa
Disini akan dibahas hubungan dengan analisis actuarial present value untuk
asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran benefit sebesar satu unit pada
saat tertanggung meninggal, didapatkanx = ∫ ( )∞= ∫ ( ) + ∫ ( )∞
(2.13.1)
Ubah variabel dengan s = t-1 pada integral kedua sehinggax = ∫ ( ) + ∫ ( + 1)∞(2.13.2)
26
Kemudian, dengan basis mortalita( + 1) = ( + + 1) (2.13.3)
Pada (2.13.2) akan menjadi . Pada basis mortalitas kedua akan menjadi
[ ] [ ] . Kembali menggunakan (2.13.2) dan menggunakan notasi
sebelumnya,
diperoleh x = ∫ ( ) + = + (2.13.4)
Dibawah asumsi bahwa umur kematian tiap tahun berdistribusi uniform,( ) = (2.13.5)
Kemudian, = ∫ + = + (2.13.6)
Domain untuk hubungan ini adalah x = 0, 1, ..., - 1, dan nilai awal = 0.Jika ditambahkkan kedua sisi formula (a) dengan , maka didapatkan
= + (2.13.7)
Dengan (a) dan (2.13.6) memiliki bentuk yang sama dan domain sama serta nilai
awal 0 pada saat , adalah solusi untu (2.13.6), dan = (2.13.8)
Formula (2.13.8) diasumsikan berdistribusi uniform. Dengan menggunakan
asumsi ini membuat satuan unit pembayaran benefit pada saat tertanggung
meninggal sama dengan satu unit pembayaran selanjutnya untuk tahun kematian.
Dengan mengingat ke suku bunga, satu unit pembayaran berlanjut seluruh tahun
27
sama dengan pada akhir tahun meninggal. Formula (2.13.8) dapat diperoleh
menggunakan random variabel future-lifetime dengan asumsi berdistribusi
uniform pada usia kematian tiap tahun sehingga dapat dituliskan T = K+S.K dan S
saling bebas dan S berdistribusi uniform diseluruh unit interval. K + 1 dan 1 – S
juga saling bebas, dan 1 – S berdistribusi uniform pada seluruh unit interval.
Kemudian = [ ] = [ (1 + ) ] (2.13.9)
Sehingga dapat digunakan hubungan saling bebas K + 1 dan 1 – S untuk
menghitung [ (1 + ) ] = [ ] [(1 + ) (2.13.10)
Faktor pertama berada pada sisi kanan berada pada . Sudah diketahui bahwa 1-
S berdistribusi uniform di seluruh unit intervalnya, faktor kedua yaitu
[(1 + ) ] = ∫ (1 + ) 1 = (2.13.11)
Sehingga diperoleh kembali = ( ) dibawah asumsi usia kematian pada
tiap tahun berdistribusi uniform (Bowers, dkk.,1997).
2.14 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing) Untuk Kasus
Kontinu
Kenaikan benefit pada asuransi jiwa berjangka akan berpengaruh dengan kenaikan
premi, jika diasumsikan tertanggung akan mendapatkan benefit sebesar 1 unit,
28
maka tahun kedua akan mendapatkan benefit sebesar 2 unit dan seterusnya,
sehingga
bt = ⌊ + 1⌋ ≤0 >vt = vt
Z = ⌊ + 1⌋ ≤0 >Maka APV nya
(I )x1
: n| = E [Z] = ∫ ⌊ + 1⌋ vttpx µx (t) dt (2.14.1)
(Bowers, dkk., 1997).
2.15 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menurun (Decreasing) Untuk Kasus
Kontinu
Melengkapi kenaikan asuransi jiwa berjangka adalah setiap tahun penurunan
asuransi jiwa berjangka menyediakan benefit sebesar n pada saat meninggal
selama tahun pertama, n-1 pada saat meninggal selama tahun kedua, dan
seterusnya, dengan cakupan berakhir pada n tahun. Berikut fungsi dari asuransi
tersebut :
bt = − ⌊ ⌋ ≤0 >vt = vt t > 0
Z = ( − ⌊ ⌋ ) ≤0 >
29
Sehingga diperoleh APV (Newton, dkk., 1997) sebagai berikut
(D )x1
:n| = ∫ ( − ⌊ ⌋) tpx µx(t) dt (2.15.1)
2.16 Premi Asuransi Jiwa Berjangka Menaik (Increasing) Untuk Kasus
Diskrit
Increasing premi asuransi jiwa berjangka dengan pembayaran pada saat
tertanggung meninggal di akhir tahun disebut dengan kasus diskrit , pada premi
menaik dalam kasus diskrit ini memiliki beberapa fungsi sebagai berikut :
bk+1 =+ 1 = 0, 1, … , − 10 = , + 1,…… .
vk+1 = vk+1
zk+1 =( + 1 ) = 0, 1, … , − 10 = , + 1, …… .
Sehingga memiliki Actuarial Present Value sebagai berikut :
(IA)x1
: n|= ∑ ( + 1) kpx qx+k (2.16.1)
Dalam kasus lain, setiap tahun kenaikan asuransi jiwa berjangka yang dibayarkan
pada saat meninggal. Untuk asuransi ini memiliki present-value sebagai berikut :
Z = ⌊ + 1⌋ <0 ≥ (2.16.2)
30
Dimana ⌊ + 1⌋= K + 1 , kita dapat menggunakan hubungan T = K +S untuk
mengisi
Z = ( + 1 ) <0 ≥ (2.16.3)
Jika W merupakan present-value random variable untuk setiap tahun kenaikan
asuransi berjangka n tahun yang dibayarkan pada akhir tahun meninggal,
W =( + 1 ) = 0, 1, . . , − 10 = , + 1,………… . (2.16.4)
Kemudian
Z = W (1+i) 1-S (2.16.5)
Dan
E[Z] = E[W (1+i)1-S] (2.16.6)
Dimana W adalah fungsi dari K + 1 sendiri dan K+1 dan 1-S saling bebas ,
E[Z] = E[W] E [ (1+i)1-S]
= (IA)x . ∫ (1 + ) . 1= (IA)x
1:n| (2.16.7)
Hasil ini untuk asuransi seumur hidup dan kenaikan asuransi berjangka yang
dibayarkan pada saat meninggal, jika diasumsikan usia kematian di tiap tahun
berdistribusi uniform, dengan bentuk formula sebagai berikut
31
= Ax (2.16.8)
Dan
(I )x1
: n| = (IA)x1
:n| (2.16.9)
(Bowers, dkk.,1997).
2.17 Premi Asuransi Jiwa berjangka Menurun (Decreasing) Untuk Kasus
Diskrit
Setiap tahun peurunan benefit asuransi jiwa berjangka selama periode n tahun
menyediakan benefit pada akhir tahun meninggal dalam jumlah sama untuk n-k
dimana k jumlah tahun lengkap hidup oleh tertanggung karena masalah.
Fungsinya :
bk+1 =− = 0, 1, … , − 10 = , + 1,… .
vk+1 = vk+1 k=0, 1,......
zk+1 =( − ) = 0,1, … , − 10 = , + 1,… . .
Dengan APV
(DA)x1
: n|= ∑ ( − ) kpx qx+k
(Bowers, dkk., 1997).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat Dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester genap tahun akademik
2016/2017.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data yang diambil dari life
table for the total population: United States, 2002(terlampir). Data yang akan
digunakan yaitu tertanggung yang berusia 25 tahun dengan kontrak asuransi
selama 10 tahun (n = 10). Dengan tingkat suku bunga (i) premi tiap tahunnya
(konstan) sebesar 6% atau 0,06, maka akan diperoleh laju tingkat suku bunga ( )
sebesar 0,058. Dengan perhitungan dibantu dengan Ms.Excel.
3.3 Metode Penelitian
Dengan data yang akan digunakan di atas, maka terdapat langkah-langkah untuk
penelitian ini sebagai berikut :
33
1. Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikan kepada
tertanggung sesaat ketika meninggal (kontinu)
Diketahui bahwa untuk premi menaik memiliki fungsi benefit sebagai
berikut :
bt =⌊ + 1⌋ ; ≤0 ; >
dengan t = 0, 1, 2, 3, ..., n-1, sehingga ketika tertanggung meninggal pada
tahun ke-t maka akan mendapatkan benefit sebesar t + 1, jika tertanggung
meninggal setelah n tahun (masa waktu berlakunya polis asuransi) maka
tertanggung ataupun keluarga tertanggung tidak akan mendapatkan benefit.
Kemudian untuk premi menurun asuransi jiwa berjangka memiliki fungsi
benefit sebagai berikut :
bt =− ⌊ ⌋ ; ≤0 ; >
dengan t = 0, 1, 2, 3, ..., n-1, ketika tertanggung meninggal pada saat tahun
ke-t maka akan mendapatkan benefit sebesar n – t , jika tertanggung
meninggal setelah n tahun maka tertanggung maupun keluarga tertanggung
tidak akan mendapatkan benefit.
2. Menghitung nilai tpx
Pada rumus premi menaik/menurun, besarnya premi juga dipengaruhi oleh
peluang hidup seseorang berusia x (tpx). Nilai tpxdapat diperoleh dari
34
=3. Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun) untuk kasus kontinu
Diketahui bahwa rumus dari premi asuransi jiwa berjangka menaik dapat
dituliskan sebagai berikut :
bt =⌊ + 1⌋ ; ≤0 ; >
vt = vt
Z =⌊ + 1⌋ ; ≤0 ; >
( Dimana⌊ ⌋ merupakan fungsi bilangan bulat terbesar )
Sehingga premi tunggal untuk premi menaik sebagai berikut :
(I )x1
: n| = E [z] = ∫ ⌊ + 1⌋ vttpx µx (t) dt
Kemudian untuk premi menurun dapat dituliskan :
bt =− ⌊ ⌋ ; ≤0 ; >
vt = vt ; t > 0
Z =( − ⌊ ⌋) ; ≤0 ; >
Sehingga memiliki Actuarial Present Value sebagai berikut :
(D )x1
:n| = ∫ ( − ⌊ ⌋) tpx µx(t) dt
Diasumsikan bahwa x = 25 tahun.
35
4. Menentukan besarnya benefit tiap tahun yang akan diberikan kepada
tertanggung pada saat akhir tahun meninggalnya si tertanggung (diskrit)
Diketahui bahwa untuk premi menaik memiliki fungsi benefit sebagai
berikut :
bk+1 =+ 1 ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,…… .
Jika tertanggung meninggal pada tahun ke-k+1 maka tertanggung akan
mendapatkan benefit sebesar k+1, sedangkan jika tertanggung meninggal
melebihi masa kontrak asuransi maka tertanggun maupun keluarga
tertanggung tidak akan mendapatkan benefit.
Kemudian untuk premi menurun memiliki fungsi sebagai berikut :
bk+1 =− ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,… .
Jika tertanggung meninggal pada saat tahun ke-k+1 maka akan mendapatkan
benefit sebesar n-k jika meninggal sebelum masa kontrak asuransi, namun
jika meninggal setelah kontrak akan tertanggung tidak akan mendapat benefit.
5. Menghitung nilai | dan v
Dalam perhitungan premi menaik/menurun dipengaruhi dengan nilai | dan
v, sehinggaakan dihitung nilai | dengan :
| =Kemudian akan dihitung nilai v : = (1 + ) ( )
36
6. Memodelkan pertumbuhan premi (menaik dan menurun) untuk kasus diskrit
Diketahui bahwa rumus untuk premi menaik sebagai berikut :
bk+1 =+ 1 ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,…… .
vk+1 = vk+1
zk+1 =( + 1 ) ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1,…… .
Sehingga memiliki Actuarial Present Value untuk premi menaik sebagai
berikut :
(IA)x1
: n|= ∑ ( + 1) kpx qx+k
Kemudian untuk premi menurun memiliki rumus sebagai berikut :
bk+1 =− ; = 0, 1, … , − 10 ; = , + 1, … .
vk+1 = vk+1 ;k=0, 1,......
zk+1 =( − ) ; = 0,1, … , − 10 ; = , + 1,… . .
sehingga memiliki Actuarial Present Value untuk premi menurun sebagai
berikut :
(DA)x1
: n|= ∑ ( − ) kpx qx+k
37
Diketahui bahwa kpx qx+k =k|qx, sehingga dapat disubtitusikan ke rumus premi
menaik dan premi menurun, dapat dituliskan sebagai berikut :
(IA)x1
: n|= ∑ ( + 1) k|qx
Dan
(DA)x1
: n|= ∑ ( − ) k|qx
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian, maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Dari model premi menaik asuransi berjangka untuk kasus kontinu( ) : | = E [Z] = ∫ ⌊ + 1⌋ vttpx µx (t) dt
dengan bertambahnya waktu (t) dimana t ≤ n dengan n = 10 serta
meningkatnya benefit tiap tahun sebesar 1 satuan maka premi yang
dibayarkan akan menaik tiap tahunnya dengan besar kenaikan berbeda tiap
tahunnya.
2. Dari model premi menurun asuransi jiwa berjangka untuk kasus kontinu
(D )x1
:n| = ∫ ( − ⌊ ⌋) tpx µx(t) dt
dengan bertambahnya waktu (t) dimana t ≤ n dengan n = 10 namun benefit
tiap tahun menurun 1 satuan, maka premi yang akan dibayarkan tiap tahun
juga menurun dengan besar penurunan berbeda tiap tahunnya.
3. Dari model premi menaik asuransi jiwa berjangka untuk kasus diskrit
(IA)x1
: n|= ∑ ( + 1) kpx qx+k
dengan bertambahnya k dimana k=0,1,…,n-1 dengan n =10 , serta
bertambahnya benefit sebesar 1 satuan tiap tahunnya, maka premi yang akan
63
dibayarkan akan menaik tiap tahunnya dengan besar kenaikan berbeda tiap
tahunnya.
4. Dari model premi menaik asuransi jiwa berjangka untuk kasus diskrit
(DA)x1
: n|= ∑ ( − ) kpx qx+k
dengan bertambahnya k dimana k=0,1,…,n-1 dengan n =10,serta
menurunnya benefit sebesar 1 satuan tiap tahunnya, maka premi yang akan
dibayarkan akan menurun tiap tahunnya dengan besar penurunan berbeda tiap
tahunnya.
5. Pada pensubtitusian data ke dalam model premi menaik dan menurun untuk
kasus diskrit dan kontinu, premi yang harus dibayarkan tiap tahun untuk
kasus kontinu lebih besar dibandingkan dengan premi yang harus dibayarkan
pada kasus diskrit.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers, N. L., dkk. 1997. Actuarial Mathematics. The Society Of Actuaries.
Darmawi, Herman. 2006. Manajemen Asuransi. Jakarta, Bumi Aksara. Hal 1.
Gerber, Hans U. 1990. Life Insurance Mathematics. Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, New York. First Edition.
Hartono, Sri Rejeki. 1992. Hukum Asuransi Dan Perusahaan Asuransi.
Jakarta, Sinar Grafika
Purcell, Edwin L., dkk. 2003. Calculus 8th Edition.Prentice Hall. Edisi 8.
Rotar, Vladimir I. Actuarial Models :The Mathematics Of Insurance.
New York : Taylor &bFrancis Group. Second Edition
Sastrawidjaja, M. Suparman dan Endang. 1993. Hukum Asuransi. Bandung,
Alumni. Hal 166.