evaluasi premi asuransi jiwa joint life pasangan …
TRANSCRIPT
1
EVALUASI PREMI ASURANSI JIWA JOINT
LIFE PASANGAN SUAMI ISTRI DENGAN
MENGGUNAKAN COPULA CLAYTON
SKRIPSI
Saskia Sahrain
11160940000032
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2021 M / 1442 H
i
EVALUASI PREMI ASURANSI JIWA JOINT LIFE PASANGAN
SUAMI ISTRI DENGAN MENGGUNAKAN COPULA CLAYTON
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh:
Saskia Sahrain
11160940000032
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2021 M/1442 H
ii
PERNYATAAN KEASLIAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR
HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI
SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU
LEMBAGA MANAPUN.
ii
LEMBAR PENGESAHAN
iii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
iv
PERSEMBAHAN DAN MOTTO
For My Beloved Family
MOTTO
“Boleh jadi kamu membenci sesuatu padahal ia amat baik bagimu, dan boleh jadi
(pula) kamu menyukai sesuatu, padahal ia amat buruk bagimu, Allah mengetahui,
sedang kamu tidak mengetahui.”
(QS Al-Baqarah ayat 216)
v
ABSTRAK
Saskia Sahrain, Evaluasi Premi Asuransi Jiwa Joint Life Pasangan Suami Istri
Dengan Menggunakan Copula Clayton. Dibawah bimbingan Irma Fauziah, M.Sc.
dan Mahmudi, M.Si.
Skripsi ini membahas perhitungan premi tahunan asuransi jiwa joint life
berjangka 𝑛-tahun dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas menggunakan
Copula Clayton. Tingkat suku bunga pada penelitian ini diasumsikan sebesar 6%
dengan masa perjanjian 10 tahun dan besar santunan diasumsikan Rp. 100,000,000,-.
Premi tahunan terkecil diperoleh dari asuransi jiwa joint life yang diasumsikan tidak
saling bebas menggunakan Copula Clayton dari pasangan suami istri dengan usia
suami dan usia istri diasumsikan 55 tahun dimana parameter 𝜃 = 2 yaitu sebesar Rp.
1,394,168,-. Sedangkan premi tahunan terbesar diperoleh dari asuransi jiwa joint life
yang diasumsikan saling bebas dari pasangan suami istri dimana usia suami lebih tua
5 tahun dari usia istri. Harga premi untuk pasangan suami istri dengan asumsi tidak
saling bebas menggunakan Copula Clayton lebih murah dibandingkan dengan harga
premi yang dihitung dengan menggunakan asumsi saling bebas. Hal ini disebabkan
karena semakin kecil penyimpangannya dari asumsi saling bebas, maka harga
preminya akan mendekati harga premi dari pasangan suami istri yang diasumsikan
saling bebas.
Kata Kunci : Asuransi Jiwa Berjangka 𝑛 −tahun, Copula Clayton, Joint Life, Saling
Bebas, Tidak Saling Bebas.
vi
ABSTRACT
Saskia Sahrain, Evaluation of Joint Life Insurance Premiums for Married Couples
Using Copula Clayton. Under the guidance of Irma Fauziah, M.Sc. and Mahmudi,
M.Si.
This research discusses the calculation of annual premiums for n-year joint
life insurance assuming independen and dependen to use Copula Clayton. The
interest rate in this study is assumed to be 6% with a 10-year agreement period and
the amount of compensation is assumed to be Rp. 100,000,000,-. The smallest annual
premium is obtained from joint life insurance which is assumed not to be free to use
Copula Clayton from married couples with the age of husband and wife age is
assumed to be 55 years where the parameter 𝜃 = 2 is Rp. 1,394,168,-. While the
largest annual premiums are obtained from joint life insurance that is assumed to be
free from married couples where the husband is 5 years older than the wife's age. The
premium price for married couples assuming they are dependen to use Copula
Clayton is cheaper than the premium price calculated using the independen
assumption. This is because the smaller the deviation from the assumption of
independen, the premium price will be close to the premium price of married couples
who are assumed to independen.
Keywords: Life Insurance Futures n-year, Copula Clayton, Joint Life, Independent,
Dependent.
vii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillahirabbil’alamin puji dan syukur kehadirat Allah Subhanahu wa
Ta’ala yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi yang berjudul “Evaluasi Premi Asuransi Jiwa Joint Life
Pasangan Suami Istri Dengan Menggunakan Copula Clayton”. Shalawat serta salam
semoga tercurah kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad Shallallah ‘Alayhi wa
Sallam, serta keluarga dan para sahabatnya, yang telah memberikan tauladan yang
baik kepada kita semua, semoga kita termasuk umatnya yang kelak mendapatkan
syafa’at di akhirat nanti.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis mendapatkan banyak bantuan, saran dan
bimbingan dari berbagai pihak. Untuk itu, penulis menyampaikan terimakasih kepada
:
1. Ibu Prof. Dr. Lily Surraya Eka Putri, M.Env.Stud selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika dan Ibu
Irma Fauziah, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Ibu Irma Fauziah, M.Sc selaku pembimbing I yang sudah membimbing, dan
memberikan arahan serta saran kepada penulis selama proses penyusunan
skripsi ini hingga selesai.
viii
4. Bapak Mahmudi, M.Si selaku pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, arahan serta saran kepada penulis selama proses penyusunan
skripsi ini hingga selesai.
5. Bapak dan ibu dosen Matematika yang tidak bisa penulis sebutkan satu
persatu. Terima kasih penulis ucapkan karena berkat kesabarannya dalam
mengajar penulis.
6. Kedua Orang tua penulis, Bapak Noer Sugiarto dan Ibu Yulia Farida, yang
tidak pernah berhenti memberikan doa, kasih sayang, semangat, dukungan
moril maupun materil sehingga penulis dapat menyelesaikan kuliah dan
mendapatkan gelar Sarjana Matematika.
7. Adik penulis, Alzena Azalia dan Aliza Alfaleri yang telah menghibur dan
memberikan candaan kepada penulis selama penyusunan skripsi ini.
8. Riyadi Dwi Prasetio, seseorang yang spesial dan selalu ada saat penulis
merasa kesulitan dalam pengerjaan skripsi, yang telah memberikan begitu
banyak perhatian serta support kepada penulis.
9. Aqmarina Khairiah, Sri Haryani, Laila Siti Nur Asyifa, Nadila Amalia, Cucun
Cunaeti, Kenia, dan Puji Julianti, sahabat yang selalu menghibur dan
memberikan semangat kepada penulis.
Penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan dalam menyusun skripsi
ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan saran yang bersifat membangun
agar lebih baik untuk kedepannya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan
menambah wawasan bagi para pembaca.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Jakarta, Januari 2021
Penulis
ix
DAFTAR ISI
PERNYATAAN KEASLIAN ....................................................................................... ii
LEMBAR PENGESAHAN ........................................ Error! Bookmark not defined.
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ............................................................ iii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO ............................................................................... iii
ABSTRAK .................................................................................................................... v
ABSTRACT ................................................................................................................. vi
KATA PENGANTAR ................................................................................................ vii
DAFTAR ISI ................................................................................................................ ix
DAFTAR TABEL ....................................................................................................... xii
DAFTAR SIMBOL .................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang Masalah ..................................................................................... 1
1.2 Perumusan Masalah ............................................................................................ 3
1.3 Tujuan Penelitian ................................................................................................ 4
1.4 Batasan Masalah ................................................................................................. 4
1.5 Manfaat Penelitian .............................................................................................. 5
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 6
2.1 Bunga Majemuk .................................................................................................. 6
2.2 Sisa Waktu Hidup Individu Berumur 𝒙. .............................................................. 6
2.3 Peluang Hidup dan Peluang Meninggal Individu Berumur 𝒙. ............................ 7
2.4 Anuitas Hidup ...................................................................................................... 7
x
2.5 Asuransi Jiwa ...................................................................................................... 7
2.5.1 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏-tahun ................................................................. 8
2.6 Status Joint Life ................................................................................................... 8
2.6.1 Peluang Hidup pada Status Joint Life ........................................................... 9
2.6.2 Peluang Gagal pada Status Joint Life ......................................................... 10
2.6.3 Anuitas Hidup pada Status Joint Life ......................................................... 10
2.6.4 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏 −Tahun pada Status Joint Life ....................... 10
2.7 Tabel Mortalita .................................................................................................. 11
2.7.1 Tabel Mortalita Joint Life ........................................................................... 12
2.8 Copula ............................................................................................................... 13
2.9 Copula Archimedean ......................................................................................... 13
2.9.1 Copula Clayton ........................................................................................... 14
BAB III METODOLOGI PENELITIAN.................................................................... 17
3.1 Data Penelitian .................................................................................................. 17
3.2 Pengolahan Data ................................................................................................ 17
3.3 Alur Penelitian ................................................................................................... 19
HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................... 20
4.1 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun dengan
Asumsi Saling Bebas ........................................................................................ 20
4.1.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi
Saling Bebas ............................................................................................... 20
4.1.2 Penentuan Nilai Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
dengan Asumsi Saling Bebas ..................................................................... 23
xi
4.1.3 Penentuan Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
dengan Asumsi Saling Bebas ..................................................................... 26
4.2 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun dengan
Asumsi Tidak Saling Bebas Menggunakan Copula Clayton ........................... 28
4.2.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10
Tahun Untuk Copula Clayton..................................................................... 28
4.2.2 Penentuan Nilai Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
Untuk Copula Clayton ................................................................................ 35
4.2.3 Penentuan Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
Untuk Copula Clayton ................................................................................ 40
4.3 Perbandingan Hasil Simulasi Premi Tahunan ................................................... 43
BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 47
5.1 Kesimpulan ........................................................................................................ 47
5.2 Saran .................................................................................................................. 47
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 48
LAMPIRAN ................................................................................................................ 50
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Fungsi Copula Archimedean dan Parameter……………………………...15
Tabel 4. 1 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari
berbagai Variasi Usia .................................................................................. 22
Tabel 4. 2 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari
berbagai Variasi Usia .................................................................................. 24
Tabel 4. 3 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari
berbagai Variasi Usia .................................................................................. 27
Tabel 4. 4 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton
dari Berbagai Variasi Usia .......................................................................... 34
Tabel 4. 5 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton dari
Berbagai Variasi Usia ................................................................................. 39
Tabel 4. 6 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton
dari Berbagai Variasi Usia .......................................................................... 41
xiii
DAFTAR SIMBOL
𝑥 : Peserta berusia 𝑥 tahun
𝑦 : Peserta berusia 𝑦 tahun
𝑣 : Faktor diskonto
𝑖 : Tingkat suku bunga
𝑇(𝑥) : Sisa umur hidup 𝑥
𝑝𝑥𝑡 : Peluang seseorang berusia 𝑥 tahun yang bertahan hidup mencapai usia (𝑥 +
𝑡) tahun
𝑞𝑥𝑡 : Peluang seseorang berusia 𝑥 tahun akan meninggal sebelum usia (𝑥 + 𝑡)
tahun
𝐹(𝑡) : Fungsi distribusi
𝑆(𝑡) : Fungsi survival
𝑏𝑘+1 : Benefit dari usia k+1
𝐴 1 𝑥:�̅�⌉
: Premi tunggal asuransi berjangka 𝑛-tahun dengan pembayaran manfaat
kematian sebesar 1 unit
�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ : Anuitas awal berjangka 𝑛-tahun untuk seseorang berusia 𝑥
𝐹𝑇(𝑡) : Peluang 𝑇 < 𝑡
𝑑𝑥 : Banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang meninggal sebelum mencapai usia
(x+1) tahun
𝑙𝑥 : Banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang bertahan hidup
𝜑 : Fungsi pembangkit (generator) dari copula 𝐶
1
BAB I PENDAHULUAN
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Setiap orang pasti pernah membuat rencana dalam hidupnya dan berharap
perjalanan hidupnya berjalan sesuai rencana yang telah dibuatnya. Contohnya adalah
orang tua, dimana orang tua pasti merencanakan kehidupan yang terbaik untuk anak-
anaknya, yaitu dengan membiayai kehidupan anak-anaknya hingga mereka tumbuh
dewasa. Namun, terkadang ada saja halangan yang menyebabkan rencana-rencana
tersebut tidak berjalan semestinya. Kita tidak bisa menghindari bencana-bencana tak
terduga tersebut, tetapi kita dapat menanggulangi sejak dini kemungkinan bencana
yang menghampiri kita.
Untuk menanggulangi bencana yang mungkin terjadi dalam hidup kita, maka
diperlukan pihak yang bertanggung jawab atau pihak yang dapat mengatur finansial
kita. Pihak tersebut adalah perusahaan Asuransi. Asuransi merupakan sarana yang
dapat digunakan untuk mengatur keuangan kita agar terhindar dari bencana yang akan
datang.
Islam juga mengajarkan kita bahwa sebagai orang tua kita harus bertanggung
jawab atas kehidupan anak-anak kita. Mulai dari mengurusnya, membiayai
pendidikan mereka, memberi makan, membelikan pakaian yang layak dan lain
sebagainya. Seperti yang disebutkan dalam QS. An-Nisa ayat 9 :
Artinya : “Hendaklah kalian takut kepada Allah orang-orang yang seandainya
meninggalkan dibelakang mereka anak-anak yang lemah, yang mereka khawatir
2
terhadap (kesejahteraan) mereka. Oleh sebab itu, hendaklah mereka bertakwa
kepada Allah dan hendaklah mereka mengucap perkataan yang benar.” (QS. An-
Nisa : 9)
Oleh karena itu, mengikuti asuransi menjadi pilihan yang tepat bagi setiap orang,
khususnya untuk para orang tua. Jika orang tua atau khususnya kepala rumah tangga
mengalami hal-hal yang tak terduga, maka ahli waris akan mendapatkan dana
santunan yang dapat dimanfaatkan sebagai keperluan hidupnya.
Saat ini perusahaan asuransi jiwa tidak hanya menyediakan produk untuk status
hidup perorangan, tetapi juga status untuk produk gabungan (joint status). Misalnya
asuransi untuk pasangan suami istri. Jika benefit dibayarkan kepada ahli waris setelah
keduanya meninggal (pada kematian peserta yang kedua) maka disebut asuransi last
survivor. Sedangkan untuk benefit yang dibayarkan jika ada salah satu yang
meninggal (pada kematian peserta pertama) maka disebut asuransi joint life.
Risiko kematian pasangan suami istri sering diasumsikan saling bebas
(independen) dalam menetapkan harga premi asuransi jiwa gabungan. Namun,
beberapa peneliti, salah satunya Fauziah [1] menunjukkan bahwa terdapat hubungan
antara risiko kematian dari pasangan suami istri. Mereka cenderung mengalami risiko
yang sama terhadap hal-hal berikut : misalnya Stress Cardiomyopathy atau sindrom
patah hati, biasanya hal ini terjadi ketika salah seorang pasangan merasakan
kesedihan yang mendalam atas kepergian pasangannya, biasanya Stress
Cardiomyopathy ini dialami oleh pasangan suami-istri yang berusia 55 tahun keatas.
Kemudian kemungkinan yang kedua yang mengasumsikan adanya keterkaitan antara
kematian suami dan istri adalah kecelakaan yang dialami bersama dan kemungkinan
yang terakhir adalah mengalami penyakit menular. [1]
3
Salah satu pendekatan untuk memodelkan struktur dependensi dari status
pasangan suami istri tersebut adalah dengan metode copula. Copula merupakan suatu
fungsi yang dapat menggabungkan beberapa distribusi marginal menjadi distribusi
bersama. Keluarga copula yang umum dikenal adalah keluarga copula Eliptik yang
terdiri dari copula Gaussian dan copula Student-t, sedangkan copula Archimedean
terdiri dari copula Frank, copula Clayton, dan copula Gumbel. [2].
Fauziah [1] telah melakukan perhitungan premi asuransi jiwa berjangka n-tahun
dengan menggunakan Copula Frank.Hasil penelitiannya adalah produk asuransi last
survivor berjangka untuk pasangan suami istri yang berusia 55 tahun keatas, premi
dimodelkan dengan asumsi dependensi mortalitas pasangan suami istri menggunakan
copula Frank sebagai perlindungan terhadap risiko finansial perusahaan asuransi.
Dan produk asuransi Last Survivor berjangka untuk pasangan suami istri yang berusia
di bawah 55 tahun ke bawah, premi dimodelkan menggunakan asumsi independensi
mortalitas pasangan suami-istri dan asumsi lapse pada setiap status polis Last
Survivor. Selanjutnya Nyoman Widana dan Ni Made Asih [3] mengevaluasi premi
joint life pasangan suami istri dengan menggunakan Copula Frank. Hasil
penelitiannya adalah untuk pasangan suami istri dengan asumsi sisa usianya saling
dependen, lebih murah dibandingkan dengan harga premi yang dihitung
menggunakan asumsi independen. Kemudian semakin kecil penyimpangannya dari
asumsi saling bebas, maka harga preminya akan mendekati harga premi dari
pasangan suami istri dengan sisa usia yang independen.
Berdasarkan uraian tersebut, maka penulis tertarik untuk melakukan penelitian
mengenai bagaimana menentukan harga premi asuransi jiwa joint life dari pasangan
suami istri yang kematiannya dependen dengan menggunakan Copula Clayton.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, maka pertanyaan
peneliatian yang hendak dipecahkan dalam penelitian ini adalah :
4
1. Bagaimana pengaruh selisih usia pasangan suami istri terhadap besarnya
premi asuransi jiwa joint life menggunakan Copula Clayton?
2. Bagaimana perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa joint life yang
diasumsikan saling bebas dan yang diasumsikan menggunakan Copula
Clayton?
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk :
1. Untuk mengetahui pengaruh selisih usia pasangan suami istri terhadap
besarnya premi asuransi jiwa joint life menggunakan Copula Clayton.
2. Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa joint
life yang diasumsikan saling bebas dan yang diasumsikan menggunakan
Copula Clayton.
1.4 Batasan Masalah
Masalah pada penelitian ini dibatasi oleh :
1. Asuransi jiwa gabungan yang digunakan adalah asuransi jiwa joint life untuk
pasangan suami istri, dimana kematian pasangan suami istri diasumsikan tidak
saling bebas.
2. Rentang usia suami dan istri diasumsikan berusia 55 tahun sampai 70 tahun
dimana usia suami dan istri diasumsikan seumuran, usia suami lebih tua 5
tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia istri.
3. Menggunakan salah satu dari keluarga Copula Archimedean, yaitu Copula
Clayton.
4. Suku bunga diasumsikan 6% pertahun.
5. Benefit yang dijanjikan untuk ahli waris sebesar Rp. 100.000.000,00.
6. Benefit diberikan kepada ahli waris ketika kematian pertama dari salah satu
peserta dan diberikan di akhir tahun kematian.
7. Pembayaran premi dilakukan pada setiap awal tahun.
5
8. Premi bersih yang dicari adalah premi bersih asuransi jiwa berjangka 10
tahun.
9. Premi akan hangus jika dalam jangka waktu kontrak asuransi tidak ada peserta
yang meninggal.
10. Diasumsikan selama jangka waktu kontrak asuransi peserta asuransi mampu
membayar premi asuransi setiap tahunnya.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian pada penelitian ini adalah :
1. Bagi Penulis
Penelitian ini berguna untuk melatih kemampuan menulis dan dapat
menambah wawasan peneliti dibidang matematika, serta untuk menerapkan
ilmu yang didapat selama proses perkuliahan.
2. Bagi Masyarakat
Penelitian ini dapat menjadi bahan pertimbangan bagi masyarakat,
khususnya bagi pasangan suami istri yang ingin ikut asuransi jiwa gabungan
joint life.
3. Ilmu Pengetahuan
Secara umum hasil penelitian ini dapat menambah khasanah ilmu
aktuaria, khususnya untuk asuransi jiwa gabungan joint life. Manfaat khusus
bagi ilmu pengetahuan yakni dapat menambah khasanah penelitian sejenis
yang telah ada sebagai referensi bagi penelitian serupa selanjutnya.
6
BAB II LANDASAN TEORI
LANDASAN TEORI
2.1 Bunga Majemuk
Bunga majemuk didefinisikan sebagai suatu perhitungan bunga yang besar
pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan
besar bunga yang diperoleh. Besarnya pendapatan bunga tergantung pada besar
pokok, jangka waktu investasi dan tingkat bunga (𝑖). Dalam bunga majemuk
didefinisikan sebagai faktor diskon (𝑣) sebagai berikut [4]:
𝑣 =
1
1 + 𝑖 (2.1)
2.2 Sisa Waktu Hidup Individu Berumur 𝒙.
Probabilitas seseorang akan meninggal antara usia 𝑥 dan 𝑧 diketahui usianya
lebih dari 𝑥, adalah [5]:
Pr(𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑧|𝑋 > 𝑥) =
𝐹𝑋(𝑧) − 𝐹𝑋(𝑥)
1 − 𝐹𝑋(𝑥)
= 𝑆(𝑥) − 𝑆(𝑧)
𝑆(𝑥)
(2.2)
Jadi, misalkan seseorang berumur 𝑥 tahun, dinotasikan sebagai (𝑥), maka sisa umur
hidupnya :
𝑇(𝑥) = 𝑋 − 𝑥|𝑋 > 𝑥 (2.3)
yaitu variabel acak yang menyatakan (𝑥) akan meninggal sesudah mencapai umur 𝑋
tahun, jika diketahui ia masih hidup pada umur 𝑥 tahun.
7
2.3 Peluang Hidup dan Peluang Meninggal Individu Berumur 𝒙.
Peluang seseorang yang berusia 𝑥 akan mencapai usia 𝑥 + 𝑡 tahun dinotasikan
dengan 𝑝𝑥𝑡 dan peluang seseorang berusia 𝑥 akan meninggal sebelum mencapai usia
𝑥 + 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥𝑡 yang secara berturut-turut dinyatakan sebagai [2]
:
𝑝𝑥𝑡 =
𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥
(2.4)
𝑞𝑥 = 1 −𝑡 𝑝𝑥 = 1 −
𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥=𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥
𝑡 (2.5)
Notasi standar (notasi aktuaria) yang berhubungan dengan peluang tentang 𝑇(𝑥)
dinyatakan sebagai :
𝑞𝑥𝑡 = 𝑃[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡] = 𝐹(𝑡) = 1 − 𝑆(𝑡) (2.6)
𝑝𝑥𝑡 = 1 − 𝑞𝑥𝑡
= 𝑃[𝑇(𝑥) > 𝑡] = 𝑆(𝑡) (2.7)
2.4 Anuitas Hidup
Anuitas hidup (life Annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan
terus menerus atau pada interval yang sama (seperti bulan, kuartal, tahun) selama
seseorang tersebut masih hidup, yaitu terbatas pada jangka waktu tertentu atau
dibayarkan untuk seumur hidup [5].
2.5 Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa adalah sebuah janji dari perusahaan asuransi (pihak
penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwa apabila nasabah mengalami
risiko kematian dalam hidupnya, perusahaan asuransi akan memberikan santunan
(manfaat kematian) dengan jumlah tertentu kepada ahli waris dari nasabah tersebut.
Mengingat asuransi jiwa merupakan kontrak jangka panjang, perusahaan asuransi
harus memperhatikan penetapan suku bunga, administrasi yang efisien, dan investasi
dana yang aman. Selain itu, nasabah juga harus memperhatikan tingkat suku bunga
8
dan kontrak tertulis antara dirinya dan perusahaan. Dalam kontrak, disertakan juga
besarnya premi (sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh nasabah), periode
pembayaran, dan besarnya manfaat kematian yang akan dibayarkan oleh perusahaan
asuransi. Kontrak antara perusahaan asuransi dan nasabah tersebut dinamakan polis
asuransi, sedangkan besarnya manfaat kematian tergantung pada peluang meninggal
(umur, riwayat kesehatan, jenis kelamin, pekerjaan), dan suku bunga ditetapkan oleh
pihak perusahaan asuransi [6].
2.5.1 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏-tahun
Dari asuransi jiwa berjangka 𝑛-tahun yang memberikan 1 unit pada akhir
tahun kematian, diperoleh [6]:
𝑏𝑘+1 = {
1 𝑘 = 0,1, … , (𝑛 − 1)0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
(2.8)
𝑣𝑘+1 = 𝑣𝑘+1 (2.9)
𝑍 = {
𝑣𝑘+1 𝑘 = 0,1, … , (𝑛 − 1)0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
(2.10)
Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi ini diberikan dengan :
𝐴 1 𝑥:�̅�⌉
= 𝐸[𝑍] = 𝑏𝑡∑𝑣𝑘+1 𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘𝑘
𝑛−1
𝑘=0
(2.11)
2.6 Status Joint Life
Status yang berlangsung sepanjang semua anggota masih tetap hidup dan
berakhir jika ada anggota meninggal, dikenal dengan nama status joint life. Status ini
dinyatakan oleh (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚) dengan 𝑥𝑖 menyatakan usia dari anggota grup yang
ke 𝑖 dan 𝑚 menyatakan jumlah anggota grup. Selanjutnya nyatakan variabel random
𝑇 sebagai waktu sampai status joint life berakhir (time until failure of a status).
Sehingga [7]:
9
𝑇 = min [𝑇(𝑥1), 𝑇(𝑥2), … , 𝑇(𝑥𝑚)]
(2.12)
dengan 𝑇(𝑥𝑖) menyatakan sisa usia dari (𝑥𝑖) [5].
Untuk kasus 𝑥1 = 𝑥 dan 𝑥2 = 𝑦 maka :
𝐹𝑇(𝑡) = Pr(𝑇 ≤ 𝑡) = Pr (min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ≤ 𝑡)
= 1 − Pr (𝑇(𝑥) > 𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑇(𝑦) > 𝑡)
(2.13)
Jika sisa usia dari (𝑥) dan (𝑦) saling bebas maka :
𝐹𝑇(𝑡) = 1 − Pr(𝑇(𝑥) > 𝑡) Pr(𝑇(𝑦) > 𝑡)
= 1 − 𝑝𝑥𝑡 𝑝𝑦 = 1 − 𝑝𝑥𝑦𝑡
𝑡
(2.14)
Dan peluang status joint life berakhir dalam selang waktu [𝑘, 𝑘 + 1] adalah :
𝐹𝑇(𝑡) = Pr(𝑘 < 𝑇 ≤ 𝑘 + 1)
= Pr(𝑇 ≤ 𝑘 + 1) − Pr (𝑇 ≤ 𝑘)
= 𝑝𝑥𝑦𝑘 − 𝑝𝑥𝑦𝑘+1
(2.15)
2.6.1 Peluang Hidup pada Status Joint Life
Peluang (𝑥) dan (𝑦) berturut-turut mencapai umur 𝑥 + 𝑡 tahun dan 𝑦 + 𝑡
tahun dimana sisa waktu hidup (x) dan (y) saling bebas, dapat dituliskan sebagai
berikut [5]:
𝑝𝑥𝑦𝑡 = 𝑃(𝑇(𝑥, 𝑦) > 𝑡)
= 𝑃(min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] > 𝑡)
= 𝑃(𝑇(𝑥) > 𝑡, 𝑇(𝑦) > 𝑡)
10
= 𝑃(𝑇(𝑥) > 𝑡)𝑃(𝑇(𝑦) > 𝑡)
= 𝑝𝑥 𝑝𝑦𝑡
𝑡
(2.16)
2.6.2 Peluang Gagal pada Status Joint Life
Peluang bahwa setidaknya salah satu dari (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam kurun
waktu 𝑡 tahun dimana sisa waktu hidup (𝑥) dan (𝑦) saling bebas dapat dituliskan
sebagai berikut:
𝑞𝑥𝑦 = 𝑃(𝑇(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡) 𝑃(𝑇(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡)𝑡
= 𝑃(min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ≤ 𝑡)
= 1 − 𝑃(min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] > 𝑡)
= 1 − 𝑃[𝑇(𝑥) > 𝑡, 𝑇(𝑦) > 𝑡]
= 1 − 𝑃(𝑇(𝑥) > 𝑡)𝑃(𝑇(𝑦) > 𝑡)
= 1 − 𝑝𝑥 𝑝𝑦𝑡
𝑡 (2.17)
2.6.3 Anuitas Hidup pada Status Joint Life
Nilai sekarang aktuaria dari pembayaran sebesar 1 satuan pada anuitas hidup
diskrit untuk status joint life yang dibayar di awal tahun selama peserta asuransi
(𝑥, 𝑦) hidup dapat dituliskan sebagai berikut :
�̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ =∑𝑣𝑘𝑛−1
𝑘=0
𝑝𝑥𝑦𝑘 (2.18)
2.6.4 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏 −Tahun pada Status Joint Life
Asuransi jiwa berjangka 𝑛 −tahun pada status joint life adalah asuransi jiwa
untuk peserta (𝑥, 𝑦) dengan benefit sebesar 1 satuan yang diberikan jika salah satu
11
peserta asuransi meninggal dalam kurun waktu 𝑛 −tahun. Benefit diberikan di akhir
tahun kematian peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria dari benefit tersebut ialah :
𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 = 𝑏𝑡∑ 𝑣𝑘+1
𝑛−1
𝑘=0
( 𝑝𝑥𝑦 − 𝑘
𝑝𝑥𝑦)𝑘+1
(2.19)
2.7 Tabel Mortalita
Salah satu tujuan dari asuransi jiwa ialah menanggung kerugian dalam hal
keuangan akibat terjadinya peristiwa kematian. Sangat sukar untuk mengetahui
kapankah seseorang akan meninggal dalam suatu jangka waktu tertentu. Akan tetapi,
kita dapat mengamati jumlah orang meninggal pada suatu kelompok orang dalam
jumlah besar dalam jangka waktu tertentu. Berdasarkan pengalaman tersebut, kita
dapat memperkirakan kerugian yang dialami oleh kelompok tersebut. Alat yang tepat
dan mudah digunakan untuk memperhitungkan kemungkinan mati dan hidupnya
seseorang dalam jangka waktu tertentu ialah suatu daftar yang memuat kehidupan dan
kematian kelompok orang-orang tersebut. Daftar inilah yang kita namakan sebagai
tabel mortalita.
Tabel mortalita akan memuat peluang seseorang meninggal berdasarkan
umurnya pada kelompok orang yang diasuransikan (dalam hal ini pemegang polis
asuransi). Idealnya, tabel tersebut akan sedekat mungkin menggambarkan peluang
yang sesungguhnya pada kelompok orang diasuransikan.
Misalkan kita mengumpulkan sejumlah bayi yang baru lahir pada suatu rumah
bersalin yang tentunya berumur 0 tahun. Kelompok orang seperti ini yang
mempunyai ciri yang sama, dalam arti lahir secara bersamaan disebut cohort.
Kemudian, jumlah bayi-bayi tersebut dinyatakan dengan 𝑙0, selanjutnya bayi-bayi
yang mencapai umur 1 tahun dinyatakan dengan 𝑙1, sehingga diperoleh :
𝑑0 = 𝑙0 − 𝑙1 (2.20)
12
𝑑0 menyatakan bayi berumur 0 tahun yang meninggal sebelum mencapai usia 1
tahun. Kemudian, bayi yang berumur 1 tahun dan mencapai usia 2 tahun dinyatakan
dengan 𝑙2, sedangkan yang meninggal sebelum mencapai usia 2 tahun dinyatakan
dengan 𝑑1 di mana:
𝑑1 = 𝑙1 − 𝑙2 (2.21)
Proses ini dapat terus dilanjutkan hingga semua orang dalam kelompok
tersebut meninggal. Dari keterangan tersebut diperoleh hubungan :
𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 (2.22)
dengan 𝑑𝑥 menyatakan banyaknya orang berumur 𝑥 tahun yang meninggal sebelum
mencapai usia (𝑥 + 1) tahun dan 𝑙𝑥 menyatakan banyaknya orang yang berumur 𝑥
tahun. Data-data inilah yang tercakup dalam tabel mortalita.
2.7.1 Tabel Mortalita Joint Life
Tabel mortalita joint life merupakan tabel tingkat kematian gabungan dari
orang yang berusia 𝑥 tahun dengan orang yang berusia 𝑦 tahun. Fungsi gabungan
yang menyatakan banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang masih hidup dikalikan
dengan banyaknya orang berumur 𝑦 tahun yang masih hidup dinotasikan dengan 𝑙𝑥𝑦
dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑙𝑥𝑦 = 𝑙𝑥𝑙𝑦 (2.23)
Peluang orang berusia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun akan tetap hidup selama 1 tahun
dinotasikan dengan 𝑝𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑝𝑥𝑦 = 𝑝𝑥𝑝𝑦 =
𝑙𝑥+1𝑙𝑥
𝑙𝑦+1
𝑙𝑦=𝑙𝑥𝑦+1
𝑙𝑥𝑦 (2.24)
Peluang orang berusia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun akan tetap hidup selama 𝑡 tahun
dinotasikan dengan 𝑝𝑥𝑦𝑡 dan dirumuskan sebagai berikut :
13
𝑝𝑥𝑦 = 𝑝𝑥𝑡
𝑝𝑦 =𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥
𝑙𝑦+𝑡
𝑙𝑦𝑡 =
𝑙𝑥𝑦+𝑡
𝑙𝑥𝑦𝑡 (2.25)
Peluang salah satu di antara (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam jangka waktu 1
tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑞𝑥𝑦 = 1 − 𝑝𝑥𝑦 = 1 − (
𝑙𝑥𝑦+1
𝑙𝑥𝑦) =
𝑙𝑥𝑦 − 𝑙𝑥𝑦+1
𝑙𝑥𝑦 (2.26)
Peluang salah satu diantara (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam jangka waktu 𝑡
tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥𝑦𝑡 dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑞𝑥𝑦𝑡 = 1 − ( 𝑝𝑥𝑦𝑡
) = 1 − (𝑙𝑥𝑦+𝑡
𝑙𝑥𝑦) =
𝑙𝑥𝑦 − 𝑙𝑥𝑦+𝑡
𝑙𝑥𝑦 (2.27)
2.8 Copula
Copula adalah suatu fungsi yang menggabungkan beberapa distribusi
marginal menjadi distribusi bersama. Copula merupakan pendekatan yang berguna
untuk memahami dan mendeteksi struktur dependensi variabel random. Konsep
copula pertama kali diperkenalkan oleh A. Sklar pada tahun 1959. Kelebihan dari
pendekatan copula adalah distribusi marginalnya tidak harus sama [8].
Definisi. Copula berdimensi 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝐶 adalah fungsi distribusi
multivariate 𝐹 dari variabel-variabel random 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dengan distribusi
marginalnya 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛 berdistribusi uniform standar yaitu 𝑋𝑖~𝑈𝑁𝐼𝐹(0,1), 𝑖 =
1,2, … , 𝑛. Fungsi copula ini merupakan fungsi yang memiliki domain [0,1]𝑛 dan
range [0,1], yang dilambangkan dengan 𝐶: [0,1]𝑛 → [0,1].
2.9 Copula Archimedean
Copula Archimedean merupakan salah satu kelas dari copula yang special,
karena beberapa alas an diantaranya adalah copula ini mudah dikonstruksikan,
banyak variasi keluarga copula yang masuk ke dalam kelas ini, dan struktur
14
dependensinya bervariasi. Copula Archimedean sering digunakan diberbagai bidang
aplikasi, diantaranya pada bidang keuangan dan bidang asuransi. Secara umum,
bentuk Copula Archimedean adalah [8] :
𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑[−1](𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣)), (2.28)
dengan 0 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 1. Dengan demikian, 𝐶(𝑢, 𝑣) adalah Copula Archimedean dan 𝜑
merupakan fungsi pembangkit (generator) dari copula 𝐶 dengan 𝜑(0) = ∞ dan
𝜑(1) = 0 sehingga 𝜑[−1] = 𝜑−1.
2.9.1 Copula Clayton
Copula Archimedean satu parameter dibentuk menggunakan generator 𝝋𝜽(𝒕),
dengan index parameter 𝜃. Dengan memilih satu fungsi generator, maka akan
diperoleh subkelas bagian atau family dari copula Archimedean, diantaranya
subfamili Gumbel, Clayton, Frank, dan lain sebagainya [8]:
Fungsi generator untuk Copula Clayton adalah :
𝜑𝜃(𝑡) = (𝑡−𝜃 − 1) (2.29)
Dan fungsi inversnya adalah
𝜑𝜃−1(𝑡) = (𝑡 + 1)−
1𝜃 (2.30)
Maka dengan mensubstitusikan fungsi generator dan fungsi invers dari Copula
Clayton ke dalam persamaan (2.28), diperoleh persamaan Copula Clayton sebagai
berikut :
𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑[−1](𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣))
= 𝜑[−1][(𝑢−𝜃 − 1) + (𝑣−𝜃 − 1)]
= 𝜑[−1][𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 2 ]
15
= [(𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 2) + 1]−1
𝜃
= (𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1)−1𝜃
Maka persamaan Copula Clayton yang dihasilkan yaitu :
𝐶𝜃(𝑢, 𝑣) = (𝑢
−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1)−1𝜃, 𝜃 > 0 (2.31)
Kemudian menurut Syemyakin [9] parameter untuk Copula Clayton adalah sebagai
berikut :
Tabel 2. 1 Fungsi Copula Archimedean dan Parameter
Kelas
Copula
Fungsi Copula
Parameter
Frank
𝐶𝐹(𝑢, 𝑣; 𝜃) = −1
𝜃𝑙𝑜𝑔 [1 +
(exp(−𝜃𝑢) − 1)(exp(−𝜃𝑣) − 1)
exp(−𝜃) − 1]
𝜃 ≠ 0
Clayton
𝐶𝑐(𝑢, 𝑣; 𝜃) = (𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1 )
−1𝜃
𝜃 > 0
Gumbel
𝐶𝐺(𝑢, 𝑣; 𝜃) = 𝑒𝑥𝑝 {−[(− log𝑢)𝜃 + (− log 𝑣)𝜃]
1𝜃}
𝜃 ≥ 1
16
Peluang salah satu tertanggung dari suami ataupun istri akan hidup mencapai usia
𝑥 + 𝑘 dan 𝑦 + 𝑘 tahun dinotasikan dengan 𝑝𝑥𝑦̅̅̅̅𝑘 berdasarkan copula clayton
dinyatakan sebagai [9]:
𝑝𝑥𝑦̅̅̅̅𝑘 = 1 − ( 𝑞𝑥
−𝜃 + 𝑞𝑦−𝜃 − 1𝑘
𝑘 )
−1𝜃 (2.32)
Anuitas awal berjangka 𝑛 tahun untuk status joint life dinotasikan dengan �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅
menggunakan copula clayton, yang besarnya adalah
�̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ = ∑𝑉𝑡( 𝑝𝑥 +𝑡 𝑝𝑦 − (1 − ( 𝑞𝑥
−𝜃 + 𝑞𝑦−𝜃 − 1𝑡
𝑡 )
−1𝜃)𝑡
)
𝑛−1
𝑡=0
(2.33)
Nilai tunai manfaat asuransi berjangka 𝑛 tahun atau premi tunggal bersih asuransi
joint life menggunakan copula clayton adalah
𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 = 𝑏𝑡∑ 𝑉𝑡+1 {[ 𝑝𝑥𝑡
+ 𝑝𝑦 − (1 − ( 𝑞𝑥−𝜃 + 𝑞𝑦
−𝜃 − 1𝑡
𝑡
)−1𝜃)
𝑡
]
𝑛−1
𝑡=0
− [ 𝑝𝑥𝑡+1 + 𝑝𝑦𝑡+1
− (1 − ( 𝑞𝑥−𝜃 + 𝑞𝑦
−𝜃 − 1𝑡+1
𝑡+1
)−1𝜃)]}
(2.34)
Dan besar preminya adalah
𝑃 =
𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅1
�̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ (2.35)
17
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Data Penelitian
Penelitian ini akan menghitung besar premi pada asuransi jiwa Joint Life
berjangka 10 tahun dimana premi diasumsikan saling bebas dan tidak saling bebas
dengan menggunakan Copula Clayton. Peserta asuransi diasumsikan pasangan suami
istri dimana rentang usia suami dan istri diasumsikan berusia 55 tahun sampai 70
tahun, dengan usia suami dan istri diasumsikan seumuran, usia suami lebih tua 5
tahun dan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia istri. Kemudian menurut BI 7-Day
Repo Rate suku bunga tertinggi dari tanggal 21 April 2016 sampai 13 Oktober 2020
adalah 6%, maka penelitian ini menggunakan suku bunga 6%. Untuk menentukan
peluang hidup dan peluang kematian menggunakan Tabel Mortalita Indonesia (TMI)
tahun 2011 untuk laki-laki dan perempuan [10]. Parameter untuk perhitungan Copula
Clayton pada penelitian ini adalah parameter yang diperoleh pada penelitian
sebelumnya, Dicky dkk. (2017) mengasumsikan parameter untuk Copula Clayton
dengan nilai 𝜃 sebesar 1, 1.5, dan 2.
3.2 Pengolahan Data
Penelitian ini menggunakan software Rstudio dalam melakukan perhitungan
premi baik untuk asumsi saling bebas maupun asumsi tidak saling bebas, yaitu
menggunakan Copula Clayton. Langkah-langkah perhitungan premi asuransi jiwa
Joint Life berjangka 10 tahun adalah sebagai berikut :
1. Menentukan usia peserta, jangka waktu perjanjian, dan mengasumsikan besar
santunan.
2. Mengasumsikan parameter untuk Copula Clayton.
3. Menghitung nilai premi tunggal 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10
tahun yang diasumsikan saling bebas menggunakan persamaan (2.19).
18
4. Menghitung nilai anuitas �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun
yang diasumsikan saling bebas menggunakan persamaan (2.18).
5. Menghitung premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun yang
diasumsikan saling bebas menggunakan persamaan (2.35). Premi tahunan
yang dihitung yaitu premi untuk rentang usia suami dan istri diasumsikan
berusia 55 tahun sampai 70 tahun dimana usia suami dan istri diasumsikan
seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun
dari istri.
6. Menghitung nilai premi tunggal 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10
tahun yang diasumsikan tidak saling bebas menggunakan persamaan (2.34).
7. Menghitung nilai anuitas �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun
yang diasumsikan tidak saling bebas menggunakan persamaan (2.33).
8. Menghitung premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun yang
diasumsikan tidak saling bebas menggunakan persamaan (2.35). Premi
tahunan yang dihitung yaitu premi untuk rentang usia suami dan istri
diasumsikan berusia 55 tahun sampai 70 tahun dimana usia suami dan istri
diasumsikan seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih
muda 5 tahun dari istri menggunakan parameter Copula Clayton yang
berbeda-beda.
9. Membandingkan premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun
dengan asumsi tidak saling bebas, untuk usia pasangan suami istri yang
seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun
dari istri.
10. Membandingkan premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun
dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas, untuk usia pasangan suami
istri yang seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda
5 tahun dari istri.
19
3.3 Alur Penelitian
Prosedur pada penelitian ini adalah sebagai berikut :
Mulai
Menentukan usia peserta, waktu perjanjian, dan asumsi besar santunan
Dengan asumsi saling bebas Dengan asumsi tidak saling bebas
Menghitung nilai 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1
Menghitung nilai �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅
Memperoleh premi
asuransi jiwa joint life
Mengasumsikan parameter
untuk Copula Clayton
Menghitung nilai 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1
Menghitung nilai �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅
Memperoleh premi
asuransi jiwa joint life
Membandingkan premi asuransi jiwa joint life yang
diasumsikan tidak saling bebas berdasarkan usia
Membandingkan premi asuransi jiwa joint life yang
diasumsikan saling bebas dan tidak saling bebas
Selesai
20
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun
dengan Asumsi Saling Bebas
Pada pembahasan ini, usia peserta yang digunakan yaitu suami istri dengan
rentang usia 55 sampai 70 tahun dimana usia suami dan istri diasumsikan seumuran,
usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia istri.
Kemudian besarnya santunan yang diperoleh yaitu sebesar Rp. 100,000,000,- dengan
jangka waktu perjanjian selama 10 tahun.
4.1.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi
Saling Bebas
Nilai premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun pada kasus
saling bebas dapat dinotasikan dengan 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 dimana peserta laki-laki berusia 60
tahun dan peserta perempuan berusia 55 tahun serta masa perjanjian adalah 10 tahun,
maka diperoleh :
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 ∑ 𝑣𝑘+1( 𝑝60:55𝑘
− 𝑝60:55𝑘+1 )
10−1
𝑘=0
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [𝑣
1( 0𝑝60:55 − 1𝑝60:55) + 𝑣2( 1𝑝60:55 − 2𝑝60:55) + 𝑣
3( 2𝑝60:55 − 3𝑝60:55)
+
𝐴60: 55; 10 𝑣4( 3𝑝60:55 − 4𝑝60:55) + 𝑣5( 4𝑝60:55 − 5𝑝60:55) + 𝑣
6( 5𝑝60:55 − 6𝑝60:55) +
𝐴60: 55; 10 𝑣7( 6𝑝60:55 − 7𝑝60:55) + 𝑣8( 7𝑝60:55 − 8𝑝60:55) + 𝑣
9( 8𝑝60:55 − 9𝑝60:55) +
𝐴60: 55; 10 𝑣10( 9𝑝60:55 − 10𝑝60:55) ]
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [𝑣
1( 0𝑝60 0𝑝55 − 1𝑝60 1𝑝55)+ 𝑣2( 1𝑝60 1𝑝55 − 2𝑝60 2𝑝55)+
21
𝐴60:55;10 = 𝑣3( 2𝑝60 2𝑝55 − 3𝑝60 3𝑝55) + 𝑣
4( 3𝑝60 3𝑝55 − 4𝑝60 4𝑝55) +
𝐴60:55;10 = 𝑣5( 4𝑝60 4𝑝55 − 5𝑝60 5𝑝55) + 𝑣
6( 5𝑝60 5𝑝55 − 6𝑝60 6𝑝55) +
𝐴60:55;10 = 𝑣7( 6𝑝60 6𝑝55 − 7𝑝60 7𝑝55) + 𝑣
8( 7𝑝60 7𝑝55 − 8𝑝60 8𝑝55) +
𝐴60:55;10 = 𝑣9( 8𝑝60 8𝑝55 − 9𝑝60 9𝑝55) + 𝑣
10( 9𝑝60 9𝑝55 − 10𝑝60 10𝑝55)]
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [𝑣
1 (𝑙60𝑙60∙𝑙55𝑙55−𝑙61𝑙60∙ 𝑙56𝑙55)+ 𝑣2 (
𝑙61𝑙60∙ 𝑙56𝑙55−𝑙62𝑙60∙ 𝑙57𝑙55)
+ 𝑣3 (𝑙62𝑙60∙ 𝑙57𝑙55−𝑙63𝑙60∙ 𝑙58𝑙55)+ 𝑣4 (
𝑙63𝑙60∙ 𝑙58𝑙55−𝑙64𝑙60∙ 𝑙59𝑙55)
+ 𝑣5 (𝑙64𝑙60∙ 𝑙59𝑙55−𝑙65𝑙60∙ 𝑙60𝑙55)+ 𝑣6 (
𝑙65𝑙60∙ 𝑙60𝑙55−𝑙66𝑙60∙ 𝑙61𝑙55)
+ 𝑣7 (𝑙66𝑙60∙ 𝑙61𝑙55−𝑙67𝑙60∙ 𝑙62𝑙55)+ 𝑣8 (
𝑙67𝑙60∙ 𝑙62𝑙55−𝑙68𝑙60∙ 𝑙63𝑙55)
+ 𝑣9 (𝑙68𝑙60∙ 𝑙63𝑙55−𝑙69𝑙60∙ 𝑙64𝑙55)+ 𝑣10 (
𝑙69𝑙60∙ 𝑙64𝑙55−𝑙70𝑙60∙ 𝑙65𝑙55)] (4.1)
Dalam persamaan (4.1), untuk mencari nilai 𝑙60+𝑡
𝑙60 dan
𝑙55+𝑡
𝑙55 dapat dilihat pada Tabel
Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 yang akan ditampilkan pada lampiran 1.
Kemudian berdasarkan persamaan (4.1) diperoleh nilai premi tunggal asuransi jiwa
joint life berjangka 10 tahun dengan usia suami lebih tua 5 tahun dimana usia suami
60 tahun dan usia istri 55 tahun yaitu :
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 18,506,490
Selanjutnya, penentuan premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 10
tahun dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dari berbagai variasi
usia disajikan pada Tabel 4.1 berikut.
22
Tabel 4. 1 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas
dari berbagai Variasi Usia
Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Premi Tunggal
60 55 Rp 18,506,490
61 56 Rp 19,856,260
62 57 Rp 21,307,910
63 58 Rp 22,899,200
64 59 Rp 24,630,970
65 60 Rp 26,500,960
66 61 Rp 28,505,050
67 62 Rp 30,645,060
68 63 Rp 32,934,990
69 64 Rp 35,368,580
70 65 Rp 37,962,210
Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Premi Tunggal
55 60 Rp 17,197,230
56 61 Rp 18,510,500
57 62 Rp 19,924,230
58 63 Rp 21,444,170
59 64 Rp 23,060,980
60 65 Rp 24,777,230
61 66 Rp 26,604,960
62 67 Rp 28,547,230
63 68 Rp 30,623,330
64 69 Rp 32,823,440
65 70 Rp 35,133,110
Usia Suami dan Istri Seumuran
Usia Suami Usia Istri Premi Tunggal
55 55 Rp 14,673,480
56 56 Rp 15,750,920
57 57 Rp 16,894,300
58 58 Rp 18,118,890
59 59 Rp 19,443,500
60 60 Rp 20,877,960
23
61 61 Rp 22,434,200
62 62 Rp 24,120,080
63 63 Rp 25,961,710
64 64 Rp 27,932,940
65 65 Rp 30,024,160
66 66 Rp 32,231,040
67 67 Rp 34,550,460
68 68 Rp 36,990,390
69 69 Rp 39,556,480
70 70 Rp 42,256,800
Berdasarkan Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa premi tunggal asuransi jiwa joint
life dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dengan usia suami lebih
tua 5 tahun nilainya paling besar diantara nilai premi dari pasangan suami istri dengan
usia suami lebih muda 5 tahun dan usia suami yang seumuran dengan usia istri.
4.1.2 Penentuan Nilai Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
dengan Asumsi Saling Bebas
Nilai anuitas asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun dimana pembayaran
dilakukan pada kematian pertama di akhir tahun kematian dapat diperoleh
menggunakan persamaan (2.18), dengan peserta asuransi laki-laki berusia 60 tahun
dan peserta perempuan berusia 55 tahun serta masa perjanjian selama 10 tahun,
sehingga persamaan (2.18) akan menjadi :
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ =∑𝑣𝑡9
𝑡=0
𝑝60 55𝑡
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = 0𝑝60:55 + 𝑣 ∙ 1𝑝60:55 + 𝑣2 ∙ 2𝑝60:55 + 𝑣
3 ∙ 3𝑝60:55 + 𝑣4 ∙ 4𝑝60:55 + 𝑣
5
∙ 5𝑝60:55 + 𝑣6 ∙ 6𝑝60:55 + 𝑣
7 ∙ 7𝑝60:55 + 𝑣8 ∙ 8𝑝60:55 + 𝑣
9 ∙ 9𝑝60:55
24
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = 0𝑝60 0𝑝55 + 𝑣( 1𝑝60 1𝑝55) + 𝑣2( 2𝑝60 2𝑝55) + 𝑣
3( 3𝑝60 3𝑝55)
+ 𝑣4( 4𝑝60 4𝑝55) + 𝑣5( 5𝑝60 5𝑝55) + 𝑣
6( 6𝑝60 6𝑝55) + 𝑣7( 7𝑝60 7𝑝55)
+ 𝑣8( 8𝑝60 8𝑝55) + 𝑣9( 9𝑝60 9𝑝55)
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ =𝑙60
𝑙60∙𝑙55
𝑙55+ 𝑣 (
𝑙61
𝑙60∙ 𝑙56
𝑙55) + 𝑣2 (
𝑙62
𝑙60∙ 𝑙57
𝑙55) + 𝑣3 (
𝑙63
𝑙60∙ 𝑙58
𝑙55) + 𝑣4 (
𝑙64
𝑙60∙ 𝑙59
𝑙55)
+ 𝑣5 (𝑙65
𝑙60∙ 𝑙60
𝑙55) + 𝑣6 (
𝑙66
𝑙60∙ 𝑙61
𝑙55) + 𝑣7 (
𝑙67
𝑙60∙ 𝑙62
𝑙55) + 𝑣8 (
𝑙68
𝑙60∙ 𝑙63
𝑙55)
+ 𝑣9 (𝑙69
𝑙60∙ 𝑙64
𝑙55) (4.2)
Untuk menghitung nilai �̈�60:55;10|̅̅ ̅̅̅ pada persamaan (4.2), nilai 𝑙60+𝑡
𝑙60 dan
𝑙55+𝑡
𝑙55 diperoleh
dari Tabel Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 untuk suami berusia 60 tahun dan
istri berusia 55 tahun. Kemudian berdasarkan persamaan (4.2) diperoleh nilai anuitas
asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun dengan usia suami lebih tua 5 tahun
dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun yaitu :
�̈�60:55;10|̅̅ ̅̅̅ = 7.073105
Selanjutnya, penentuan anuitas asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun
dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dari berbagai variasi usia
disajikan pada Tabel 4. 2.
Tabel 4. 2 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari
berbagai Variasi Usia
Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Anuitas
60 55 7.073105
61 56 7.018385
62 57 6.959616
63 58 6.895953
64 59 6.826284
25
65 60 6.749878
66 61 6.666193
67 62 6.574597
68 63 6.474089
69 64 6.365344
70 65 6.246515
Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Anuitas
55 60 7.131380
56 61 7.078597
57 62 7.021206
58 63 6.958542
59 64 6.891277
60 65 6.818657
61 66 6.740166
62 67 6.655469
63 68 6.564547
64 69 6.467103
65 70 6.363237
Usia Suami dan Istri Seumuran
Usia Suami Usia Istri Anuitas
55 55 7.225746
56 56 7.182408
57 57 7.137716
58 58 7.090427
59 59 7.039038
60 60 6.982151
61 61 6.918700
62 62 6.848182
63 63 6.770335
64 64 6.686194
65 65 6.595667
66 66 6.498757
67 67 6.395033
68 68 6.283789
69 69 6.164479
26
70 70 6.035558
Berdasarkan Tabel 4. 2 dapat dilihat bahwa anuitas asuransi jiwa joint life
dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dengan usia suami seumuran
dengan usia istri nilainya paling besar diantara nilai anuitas dari pasangan suami istri
dengan usia suami lebih muda 5 tahun dan usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri.
4.1.3 Penentuan Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
dengan Asumsi Saling Bebas
Setelah menghitung nilai premi tunggal dan anuitas untuk asuransi jiwa joint
life berjangka 𝑛-tahun maka kita dapat menghitung premi tahunan menggunakan
persamaan (2.35), dengan peserta asuransi laki-laki berusia 60 tahun dan peserta
asuransi perempuan berusia 55 tahun dengan masa perjanjian 10 tahun dan benefit
(𝑏𝑡) sebesar 𝑅𝑝. 100,000,000,− dapat ditulis sebagai berikut :
𝑃 =
𝐴
60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅1
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅ ̅.
(4.3)
Berdasarkan persamaan (4.3) diperoleh premi tahunan asuransi jiwa joint life
berjangka 10 tahun dengan usia suami lebih tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun
dan usia istri 55 tahun yaitu
𝑃 =𝑅𝑝. 18,506,490
7.073105
𝑃 = 𝑅𝑝. 2,616,459
Selanjutnya, penentuan premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun
dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dari berbagai variasi usia
disajikan pada Tabel 4. 3.
27
Tabel 4. 3 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas
dari berbagai Variasi Usia
Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Premi Tahunan
60 55 Rp 2,616,459
61 56 Rp 2,829,178
62 57 Rp 3,061,650
63 58 Rp 3,320,673
64 59 Rp 3,608,255
65 60 Rp 3,926,139
66 61 Rp 4,276,061
67 62 Rp 4,661,132
68 63 Rp 5,087,201
69 64 Rp 5,556,429
70 65 Rp 6,077,342
Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Premi Tahunan
55 60 Rp 2,411,487
56 61 Rp 2,614,995
57 62 Rp 2,837,722
58 63 Rp 3,081,704
59 64 Rp 3,346,402
60 65 Rp 3,633,741
61 66 Rp 3,947,226
62 67 Rp 4,289,289
63 68 Rp 4,664,957
64 69 Rp 5,075,448
65 70 Rp 5,521,264
Usia Suami dan Istri Seumuran
Usia Suami Usia Istri Premi Tahunan
55 55 Rp 2,030,721
56 56 Rp 2,192,986
57 57 Rp 2,366,905
58 58 Rp 2,555,402
59 59 Rp 2,762,238
60 60 Rp 2,990,190
28
61 61 Rp 3,242,546
62 62 Rp 3,522,114
63 63 Rp 3,834,627
64 64 Rp 4,177,704
65 65 Rp 4,552,104
66 66 Rp 4,959,570
67 67 Rp 5,402,703
68 68 Rp 5,886,637
69 69 Rp 6,416,842
70 70 Rp 7,001,307
Berdasarkan Tabel 4. 3 dapat dilihat bahwa premi tahunan asuransi jiwa joint
life dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dengan usia suami lebih
tua 5 tahun nilainya paling besar diantara nilai premi dari pasangan suami istri dengan
usia suami lebih muda 5 tahun dan usia suami yang seumuran dengan usia istri.
4.2 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun
dengan Asumsi Tidak Saling Bebas Menggunakan Copula Clayton
Pada pembahasan ini, usia peserta yang digunakan yaitu diasumsikan sama
dengan usia peserta pada penentuan premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka
10 tahun dengan asumsi saling bebas. Parameter 𝜃 yang digunakan untuk Copula
Clayton merupakan parameter yang menyatakan besarnya penyimpangan dari asumsi
saling bebas, pada pembahasan ini nilai parameter untuk Copula Clayton sebesar 𝜃 =
1, 1.5, 2. Kemudian besarnya santunan yang diperoleh yaitu sebesar Rp.
100,000,000,- .
4.2.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10
Tahun Untuk Copula Clayton
Nilai premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun menggunakan
Copula Clayton dapat dinotasikan dengan 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 dan dapat diperoleh menggunakan
persamaan (2.32) dengan peserta laki-laki berusia 60 tahun dan peserta perempuan
29
berusia 55 tahun serta masa perjanjian selama 10 tahun, maka persamaan (2.34)
menjadi :
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 ∑ 𝑣𝑡+1 {[ 𝑝60 +𝑡
𝑝55 − (1 − (( 𝑞60𝑡 )
−2+ ( 𝑞55𝑡
)−2− 1)
−12)
𝑡
]
10−1
𝑡=0
− [ 𝑝60 +𝑡+1
𝑝55 − (1 − (( 𝑞60𝑡+1 )
−2+ ( 𝑞55𝑡+1
)−2− 1)
−12)
𝑡+1
]}
30
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [ 𝑣{[ 𝑝60 +0
𝑝55 − (1 − (( 𝑞600 )
−2+ ( 𝑞550
)−2− 1)
−12)
0
]
− [ 𝑝60 +1
𝑝55 − (1 − (( 𝑞601 )
−2+ ( 𝑞551
)−2− 1)
−12)
1
]}
+ 𝑣2 {[ 𝑝60 +1
𝑝55 − (1 − (( 𝑞601 )
−2+ ( 𝑞551
)−2− 1)
−12)
1
]
− [ 𝑝60 +2
𝑝55 − (1 − (( 𝑞602 )
−2+ ( 𝑞552
)−2− 1)
−12)
2
]}
+ 𝑣3 {[ 𝑝60 +2
𝑝55 − (1 − (( 𝑞602 )
−2+ ( 𝑞552
)−2− 1)
−12)
2
]
− [ 𝑝60 +3
𝑝55 − (1 − (( 𝑞603 )
−2+ ( 𝑞553
)−2− 1)
−12)
𝑡+1
]}
+ 𝑣4 {[ 𝑝60 +3
𝑝55 − (1 − (( 𝑞603 )
−2+ ( 𝑞553
)−2− 1)
−12)
3
]
− [ 𝑝60 +4
𝑝55 − (1 − (( 𝑞604 )
−2+ ( 𝑞554
)−2− 1)
−12)
4
]}
+ 𝑣5 {[ 𝑝60 +4
𝑝55 − (1 − (( 𝑞604 )
−2+ ( 𝑞554
)−2− 1)
−12)
4
]
− [ 𝑝60 +5
𝑝55 − (1 − (( 𝑞605 )
−2+ ( 𝑞555
)−2− 1)
−12)
5
]}
+ 𝑣6 {[ 𝑝60 +5
𝑝55 − (1 − (( 𝑞605 )
−2+ ( 𝑞555
)−2− 1)
−12)
5
]
31
− [ 𝑝60 +6
𝑝55 − (1 − (( 𝑞606 )
−2+ ( 𝑞556
)−2− 1)
−12)
6
]}]
+𝑣7 {[ 𝑝60 +6 𝑝55 − (1 − (( 𝑞606
)−2 + ( 𝑞556 )−2 − 1)−
12)6
]
− [ 𝑝60 +7 𝑝55 − (1 − (( 𝑞607
)−2 + ( 𝑞557 )−2 − 1)−
12)7
]}
+𝑣8 {[ 𝑝60 +7 𝑝55 − (1 − (( 𝑞607
)−2 + ( 𝑞557 )−2 − 1)−
12)7
]
− [ 𝑝60 +8 𝑝55 − (1 − (( 𝑞608
)−2 + ( 𝑞558 )−2 − 1)−
12)8
]}
+𝑣9 {[ 𝑝60 +8 𝑝55 − (1 − (( 𝑞608
)−2 + ( 𝑞558 )−2 − 1)−
12)8
]
− [ 𝑝60 +9 𝑝55 − (1 − (( 𝑞609
)−2 + ( 𝑞559 )−2 − 1)−
12)9
]}
[ +𝑣10 {[ 𝑝60 +9 𝑝55 − (1 − (( 𝑞609
)−2 + ( 𝑞559 )−2 − 1)−
12)9
]
− [ 𝑝60 +10 𝑝55 − (1 − (( 𝑞6010
)−2 + ( 𝑞5510 )−2 − 1)−
12)10
]}]
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 (𝑣{[
𝑙60𝑙60+𝑙55𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙60𝑙60)
−2
+ (1 −𝑙55𝑙55)
−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙61𝑙60+𝑙56𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙61𝑙60)
−2
+ (1 −𝑙56𝑙55)
−2
− 1)
−12
)]}
𝑣2 {[𝑙61𝑙60+𝑙56𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙61𝑙60)−2
+ (1 −𝑙56𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙62𝑙60+𝑙57𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙62𝑙60)−2
+ (1 −𝑙57𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
32
𝑣3 {[𝑙62𝑙60+𝑙57𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙62𝑙60)−2
+ (1 −𝑙57𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙63𝑙60+𝑙58𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙63𝑙60)−2
+ (1 −𝑙58𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
𝑣4 {[𝑙63𝑙60+𝑙58𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙63𝑙60)−2
+ (1 −𝑙58𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙64𝑙60+𝑙59𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙64𝑙60)−2
+ (1 −𝑙59𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
𝑣5 {[𝑙64𝑙60+𝑙59𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙64𝑙60)−2
+ (1 −𝑙59𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙65𝑙60+𝑙60𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙65𝑙60)−2
+ (1 −𝑙60𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
𝑣6 {[𝑙65𝑙60+𝑙60𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙65𝑙60)−2
+ (1 −𝑙60𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙66𝑙60+𝑙61𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙66𝑙60)−2
+ (1 −𝑙61𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
𝑣7 {[𝑙66𝑙60+𝑙61𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙66𝑙60)−2
+ (1 −𝑙61𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙67𝑙60+𝑙62𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙67𝑙60)−2
+ (1 −𝑙62𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
33
𝑣8 {[𝑙67𝑙60+𝑙62𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙67𝑙60)−2
+ (1 −𝑙62𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙68𝑙60+𝑙63𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙68𝑙60)−2
+ (1 −𝑙63𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
𝑣9 {[𝑙68𝑙60+𝑙63𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙68𝑙60)−2
+ (1 −𝑙63𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙69𝑙60+𝑙64𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙69𝑙60)−2
+ (1 −𝑙64𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}
𝑣10 {[𝑙69𝑙60+𝑙64𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙69𝑙60)−2
+ (1 −𝑙64𝑙55)−2
− 1)
−12
)]
− [𝑙70𝑙60+𝑙65𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙70𝑙60)−2
+ (1 −𝑙65𝑙55)−2
− 1)
−12
)]}) (4.4)
Dalam persamaan (4.4), untuk mencari nilai 𝑙60+𝑡
𝑙60 dan
𝑙55+𝑡
𝑙55 dapat dilihat pada Tabel
Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 yang akan ditampilkan pada lampiran 1.
Kemudian berdasarkan persamaan (4.4) diperoleh nilai premi tunggal asuransi jiwa
joint life berjangka 10 tahun menggunakan Copula Clayton dengan usia suami lebih
tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun untuk 𝜃 = 1 yaitu :
𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 15,147,010
Selanjutnya, penentuan premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 10
tahun dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton untuk
pasangan suami istri dari berbagai variasi usia disajikan pada Tabel 4.4
34
Tabel 4. 4 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula
Clayton dari Berbagai Variasi Usia
Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun
Usia
Suami
Usia
Istri
Premi Tunggal
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
60 55 Rp 15,147,010 Rp 14,430,040 Rp 14,037,480
61 56 Rp 16,298,400 Rp 15,537,710 Rp 15,118,510
62 57 Rp 17,547,100 Rp 16,741,870 Rp 16,295,360
63 58 Rp 18,928,340 Rp 18,077,110 Rp 17,602,170
64 59 Rp 20,442,180 Rp 19,542,410 Rp 19,036,900
65 60 Rp 22,086,780 Rp 21,135,200 Rp 20,596,190
66 61 Rp 23,862,330 Rp 22,856,520 Rp 22,281,600
67 62 Rp 25,773,780 Rp 24,711,730 Rp 24,098,580
68 63 Rp 27,840,030 Rp 26,720,960 Rp 26,068,120
69 64 Rp 30,067,680 Rp 28,894,800 Rp 28,203,750
70 65 Rp 32,480,090 Rp 31,258,450 Rp 30,531,980
Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun
Usia
Suami
Usia
Istri
Premi Tunggal
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
55 60 Rp 13,414,012 Rp 12,432,934 Rp 11,786,787
56 61 Rp 14,483,605 Rp 13,437,460 Rp 12,744,464
57 62 Rp 15,642,963 Rp 14,528,366 Rp 13,785,576
58 63 Rp 16,898,949 Rp 15,712,741 Rp 14,917,341
59 64 Rp 18,246,707 Rp 16,986,881 Rp 16,136,862
60 65 Rp 19,690,638 Rp 18,355,521 Rp 17,449,063
61 66 Rp 21,243,666 Rp 19,831,595 Rp 18,866,787
62 67 Rp 22,911,666 Rp 21,421,462 Rp 20,396,651
63 68 Rp 24,715,537 Rp 23,146,035 Rp 22,059,388
64 69 Rp 26,651,611 Rp 25,003,014 Rp 23,853,620
65 70 Rp 28,712,441 Rp 26,986,599 Rp 25,774,706
Usia Suami Istri Seumuran
Usia
Suami
Usia
Istri
Premi Tunggal
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
55 55 Rp 11,548,630 Rp 10,787,510 Rp 10,321,521
35
56 56 Rp 12,425,628 Rp 11,614,566 Rp 11,115,261
57 57 Rp 13,361,372 Rp 12,498,261 Rp 11,963,829
58 58 Rp 14,368,249 Rp 13,449,867 Rp 12,877,542
59 59 Rp 15,462,515 Rp 14,484,770 Rp 13,871,053
60 60 Rp 16,653,041 Rp 15,611,251 Rp 14,952,050
61 61 Rp 17,953,224 Rp 16,843,294 Rp 16,135,033
62 62 Rp 19,372,295 Rp 18,190,307 Rp 17,429,436
63 63 Rp 20,938,016 Rp 19,680,706 Rp 18,864,269
64 64 Rp 22,633,850 Rp 21,300,588 Rp 20,427,568
65 65 Rp 24,454,715 Rp 23,045,571 Rp 22,115,250
66 66 Rp 26,401,147 Rp 24,917,131 Rp 23,929,355
67 67 Rp 28,475,254 Rp 26,918,495 Rp 25,873,851
68 68 Rp 30,691,032 Rp 29,065,268 Rp 27,965,602
69 69 Rp 33,061,119 Rp 31,371,800 Rp 30,220,213
70 70 Rp 35,601,965 Rp 33,856,923 Rp 32,658,409
Berdasarkan Tabel 4.4 dapat dilihat bahwa premi tunggal asuransi jiwa joint
life dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan copula clayton untuk pasangan
suami istri dengan usia suami lebih tua 5 tahun dari istri dengan parameter 𝜃 terkecil
nilainya paling besar diantara nilai premi dari pasangan suami istri dengan usia suami
lebih muda 5 tahun dan usia suami yang seumuran dengan usia istri dengan parameter
𝜃 lainnya.
4.2.2 Penentuan Nilai Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
Untuk Copula Clayton
Nilai anuitas asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun menggunakan Copula
Clayton dimana pembayaran dilakukan pada kematian pertama di akhir tahun
kematian dapat diperoleh menggunakan persamaan (2.33), dengan peserta asuransi
laki-laki berusia 60 tahun dan peserta perempuan berusia 55 tahun serta masa
perjanjian selama 10 tahun, sehingga persamaan (2.33) akan menjadi :
36
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = ∑ 𝑉𝑡( 𝑝60 +𝑡 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−𝜃 + 𝑞55−𝜃 − 1𝑡
𝑡 )
−1𝜃)𝑡
)
10−1
𝑡=0
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = ( 𝑝60 +0 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 10
0 )−
12)0
)
+ 𝑣 ( 𝑝60 +1 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 11
1 )−
12)1
)
+ 𝑣2 ( 𝑝60 +1 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 11
1 )−
12)1
)
+ 𝑣3 ( 𝑝60 +3 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 13
3 )−
12)3
)
+ 𝑣4 ( 𝑝60 +4 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 14
4 )−
12)4
)
+ 𝑣5 ( 𝑝60 +5 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 15
5 )−
12)5
)
+ 𝑣6 ( 𝑝60 +6 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 16
6 )−
12)6
)
+ 𝑣7 ( 𝑝60 +7 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 17
7 )−
12)7
)
+ 𝑣8 ( 𝑝60 +8 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 18
8 )−
12)8
)
+ 𝑣9 ( 𝑝60 +9 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60
−2 + 𝑞55−2 − 19
9 )−
12)9
)
37
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ =
(
𝑙60𝑙60+𝑙55𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙60𝑙60)−2
+ (1 −𝑙55𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣
(
𝑙61𝑙60+𝑙56𝑙55−(1 − ((1 −
𝑙61𝑙60)−2
+ (1 −𝑙56𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣2
(
𝑙62𝑙60+𝑙57𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙62𝑙60)−2
+ (1 −𝑙57𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣3
(
𝑙63𝑙60+𝑙58𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙63𝑙60)−2
+ (1 −𝑙58𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣4
(
𝑙64𝑙60+𝑙59𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙64𝑙60)−2
+ (1 −𝑙59𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣5
(
𝑙65𝑙60+𝑙60𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙65𝑙60)−2
+ (1 −𝑙60𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
38
+ 𝑣6
(
𝑙66𝑙60+𝑙61𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙66𝑙60)−2
+ (1 −𝑙61𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣7
(
𝑙67𝑙60+𝑙62𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙67𝑙60)−2
+ (1 −𝑙62𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣8
(
𝑙68𝑙60+𝑙63𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙68𝑙60)−2
+ (1 −𝑙63𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
+ 𝑣9
(
𝑙69𝑙60+𝑙64𝑙55− (1 − ((1 −
𝑙69𝑙60)−2
+ (1 −𝑙64𝑙55)−2
− 1)
−12
)
)
(4.5)
Untuk menghitung nilai �̈�60:55;10 pada persamaan (4.5), nilai 𝑙60+𝑡
𝑙60 dan
𝑙55+𝑡
𝑙55 diperoleh
dari Tabel Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 untuk suami berusia 60 tahun dan
istri berusia 55 tahun. Kemudian berdasarkan persamaan (4.5) diperoleh nilai anuitas
asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun menggunakan Copula Clayton dengan usia
suami lebih tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun untuk 𝜃 =
1 yaitu :
�̈�60:55;10|̅̅ ̅̅̅ =7.213886
Selanjutnya, penentuan premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 10
tahun dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton untuk
pasangan suami istri dari berbagai variasi usia disajikan pada Tabel 4.5
39
Tabel 4. 5 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton dari
Berbagai Variasi Usia
Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Anuitas
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
60 55 7.213886 7.243816 7.25962
61 56 7.16848 7.200379 7.217285
62 57 7.119155 7.152969 7.170921
63 58 7.065357 7.101143 7.120172
64 59 7.006281 7.044208 7.064428
65 60 6.941407 6.981734 7.003329
66 61 6.870371 6.91344 6.936661
67 62 6.79252 6.838672 6.86377
68 63 6.706829 6.756391 6.783608
69 64 6.613241 6.66629 6.695688
70 65 6.509799 6.566347 6.597933
Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun
Usia Suami Usia Istri Anuitas
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
55 60 7.2864760 7.3264878 7.3519844
56 61 7.2448562 7.2877783 7.3152520
57 62 7.1994622 7.2455338 7.2751704
58 63 7.1497004 7.1991762 7.2311705
59 64 7.0959792 7.1490327 7.1835199
60 65 7.0376312 7.0944600 7.1315930
61 66 6.9741755 7.0349920 7.0749376
62 67 6.9052586 6.9702783 7.0132099
63 68 6.8307643 6.9001853 6.9462696
64 69 6.7503159 6.8243267 6.8737300
65 70 6.6638346 6.7425875 6.7954570
Usia Suami Istri Seumuran
Usia Suami Usia Istri Anuitas
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
55 55 7.3537734 7.3848773 7.4033556
56 56 7.3193154 7.3525703 7.3723900
57 57 7.2835954 7.3190140 7.3401877
40
58 58 7.2456727 7.2833608 7.3059712
59 59 7.2043786 7.2445423 7.2687458
60 60 7.1585910 7.2015146 7.2275244
61 61 7.1074601 7.1534984 7.1815835
62 62 7.0505113 7.1000279 7.1304653
63 63 6.9874669 7.0408307 7.0739072
64 64 6.9188333 6.9762320 7.0120932
65 65 6.8444217 6.9060271 6.9448126
66 66 6.7641258 6.8300958 6.8719434
67 67 6.6774116 6.7478788 6.7929087
68 68 6.5834662 6.6585265 6.7068283
69 69 6.4816018 6.5613176 6.6129574
70 70 6.3701547 6.4545294 6.5095152
Berdasarkan Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa anuitas asuransi jiwa joint life
dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan copula clayton untuk pasangan
suami istri dimana usia suami seumuran dengan usia istri nilainya paling besar
diantara nilai anuitas dari pasangan suami istri dengan usia suami lebih muda 5 tahun
dan usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri
4.2.3 Penentuan Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun
Untuk Copula Clayton
Setelah menghitung nilai premi tunggal dan anuitas untuk asuransi jiwa joint
life berjangka 𝑛-tahun dengan menggunakan Copula Clayton maka kita dapat
menghitung premi tahunan menggunakan persamaan (2.35), dengan peserta asuransi
laki-laki berusia 60 tahun dan peserta asuransi perempuan berusia 55 tahun dengan
masa perjanjian 5 tahun dan benefit (𝑏𝑡) sebesar 𝑅𝑝. 100,000,000,− dapat ditulis
sebagai berikut :
𝑃 =
𝐴
60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅1
�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅ ̅.
(4.6)
41
Berdasarkan persamaan (4.6) diperoleh premi tahunan asuransi jiwa joint life
berjangka 10 tahun dengan menggunakan Copula Clayton dimana usia suami lebih
tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun yaitu :
𝑃 =𝑅𝑝. 15,147,010
7.213886
𝑃 = Rp 2,099,702
Selanjutnya, penentuan premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun
dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton untuk pasangan
suami istri dari berbagai variasi usia disajikan pada Tabel 4.6
Tabel 4. 6 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula
Clayton dari Berbagai Variasi Usia
Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun
Usia
Suami
Usia
Istri
Premi Tahunan
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
60 55 Rp 2,099,702 Rp 1,992,050 Rp 1,933,639
61 56 Rp 2,273,620 Rp 2,157,902 Rp 2,094,765
62 57 Rp 2,464,773 Rp 2,340,549 Rp 2,272,422
63 58 Rp 2,679,035 Rp 2,545,662 Rp 2,472,155
64 59 Rp 2,917,693 Rp 2,774,252 Rp 2,694,754
65 60 Rp 3,181,888 Rp 3,027,214 Rp 2,940,915
66 61 Rp 3,473,222 Rp 3,306,100 Rp 3,212,150
67 62 Rp 3,794,435 Rp 3,613,528 Rp 3,510,983
68 63 Rp 4,150,997 Rp 3,954,916 Rp 3,842,810
69 64 Rp 4,546,588 Rp 4,334,465 Rp 4,212,226
70 65 Rp 4,989,415 Rp 4,760,401 Rp 4,627,507
Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun
Usia
Suami
Usia
Istri
Premi Tahunan
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
55 60 Rp 1,840,946 Rp 1,696,984 Rp 1,603,212
56 61 Rp 1,999,157 Rp 1,843,835 Rp 1,742,177
57 62 Rp 2,172,796 Rp 2,005,148 Rp 1,894,880
58 63 Rp 2,363,588 Rp 2,182,575 Rp 2,062,922
42
59 64 Rp 2,571,415 Rp 2,376,109 Rp 2,246,373
60 65 Rp 2,797,907 Rp 2,587,304 Rp 2,446,727
61 66 Rp 3,046,047 Rp 2,818,993 Rp 2,666,707
62 67 Rp 3,318,003 Rp 3,073,258 Rp 2,908,319
63 68 Rp 3,618,268 Rp 3,354,408 Rp 3,175,717
64 69 Rp 3,948,202 Rp 3,663,807 Rp 3,470,258
65 70 Rp 4,308,697 Rp 4,002,410 Rp 3,792,932
Usia Suami Istri Seumuran
Usia
Suami
Usia
Istri
Premi Tahunan
θ = 1 θ = 1.5 θ = 2
55 55 Rp 1,570,436 Rp 1,460,757 Rp 1,394,168
56 56 Rp 1,697,649 Rp 1,579,661 Rp 1,507,688
57 57 Rp 1,834,447 Rp 1,707,643 Rp 1,629,908
58 58 Rp 1,983,011 Rp 1,846,657 Rp 1,762,605
59 59 Rp 2,146,266 Rp 1,999,404 Rp 1,908,314
60 60 Rp 2,326,302 Rp 2,167,773 Rp 2,068,765
61 61 Rp 2,525,969 Rp 2,354,553 Rp 2,246,724
62 62 Rp 2,747,644 Rp 2,562,005 Rp 2,444,362
63 63 Rp 2,996,510 Rp 2,795,225 Rp 2,666,740
64 64 Rp 3,271,339 Rp 3,053,308 Rp 2,913,191
65 65 Rp 3,572,941 Rp 3,337,023 Rp 3,184,427
66 66 Rp 3,903,113 Rp 3,648,138 Rp 3,482,182
67 67 Rp 4,264,415 Rp 3,989,179 Rp 3,808,950
68 68 Rp 4,661,835 Rp 4,365,120 Rp 4,169,721
69 69 Rp 5,100,764 Rp 4,781,326 Rp 4,569,848
70 70 Rp 5,588,870 Rp 5,245,452 Rp 5,017,026
Berdasarkan Tabel 4.6 dapat dilihat bahwa premi tahunan asuransi jiwa joint
life dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan copula clayton untuk pasangan
suami istri dengan usia suami lebih tua 5 tahun dari istri yaitu jika semakin besar usia
suami dan usia istri, maka premi tahunannya akan semakin besar namun jika nilai
parameter 𝜃 nya semakin besar maka nilai premi tunggalnya akan semakin kecil.
43
Berdasarkan Tabel 4.6 juga dapat dilihat bahwa premi tahunan asuransi jiwa
joint life dengan asumsi tidak saling bebas baik untuk pasangan suami istri dengan
usia suami lebih muda 5 tahun dari istri maupun untuk pasangan suami istri dengan
usia suami seumuran dengan usia istri yaitu jika semakin besar usia suami dan usia
istri, maka premi tahunannya akan semakin besar, namun jika nilai parameter 𝜃 nya
semakin besar maka nilai premi tahunannya akan semakin kecil.
4.3 Perbandingan Hasil Simulasi Premi Tahunan
Berdasarkan hasil penelitian dan perhitungan diatas, maka dalam menghitung
premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun yaitu terlebih dahulu
menentukan usia peserta, masa perjanjian dan besarnya santunan. Pada penelitian ini
diasumsikan peserta yang mengikuti asuransi yaitu sepasang suami istri dengan
rentang usia 55 tahun sampai dengan 70 tahun, dimana terdapat tiga perbedaan antara
usia dari pasangan suami istri yang diasumsikan pada penelitian ini, yaitu usia suami
dan istri seumuran, kemudian usia suami lebih tua 5 tahun dari istri, dan usia suami
lebih muda 5 tahun lebih muda dari usia istri. Masa perjanjian yang digunakan pada
penelitian ini yaitu selama 10 tahun dengan benefit sebesar Rp. 100,000,000.- Data
yang digunakan untuk menentukan peluang hidup dan peluang kematian pada
penelitian ini yaitu menggunakan Tabel Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011.
Dari tabel mortalita dapat dicari nilai anuitas, premi tunggal, dan premi
tahunan untuk asuransi jiwa joint life yang diasumsikan saling bebas dan tidak saling
bebas menggunakan Copula Clayton. Berikut plot hasil perhitungan premi asuransi
jiwa joint life dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas menggunakan
Copula Clayton dimana asumsi usia suami seumuran dengan usia istri ditampilkan
pada Gambar 4.1.
44
Gambar 4. 1 Premi Tahunan Untuk Usia Suami Istri Seumuran
Berdasarkan Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa premi tahunan terbesar asuransi
jiwa joint life dimana usia suami seumuran dengan usia istri diperoleh dari pasangan
suami istri dengan asumsi saling bebas, kemudian untuk premi tahunan terkecil
diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan
Copula Clayton dan dengan parameter 𝜃 = 2. Kemudian untuk plot premi asuransi
jiwa joint life dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas menggunakan
Copula Clayton dimana asumsi usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri
ditampilkan pada Gambar 4.2
0
1000000
2000000
3000000
4000000
5000000
6000000
7000000
8000000
55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Bes
ar P
rem
i
Usia
Premi Tahunan Untuk Usia Suami Istri Seumuran
θ = 1
θ = 1.5
θ = 2
Saling Bebas
45
Gambar 4. 2 Premi Tahunan Untuk Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun
Berdasarkan Gambar 4.2 dapat dilihat bahwa premi tahunan terbesar asuransi
jiwa joint life dimana usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri diperoleh dari
pasangan suami istri dengan asumsi saling bebas, kemudian untuk premi tahunan
terkecil diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling bebas
menggunakan Copula Clayton dan dengan parameter 𝜃 = 2. Kemudian untuk plot
premi asuransi jiwa joint life dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas
menggunakan Copula Clayton dimana asumsi usia suami lebih muda 5 tahun dari
usia istri ditampilkan pada Gambar 4.3
46
Gambar 4. 3 Premi Tahunan Untuk Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun
Berdasarkan Gambar 4.3 dapat dilihat bahwa premi tahunan terbesar asuransi
jiwa joint life dimana usia istri lebih tua 5 tahun dari usia suami diperoleh dari
pasangan suami istri dengan asumsi saling bebas, kemudian untuk premi tahunan
terkecil diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling bebas
menggunakan Copula Clayton dan dengan parameter 𝜃 = 2.
Dapat dilihat berdasarkan ketiga plot diatas premi tahunan terbesar asuransi
jiwa joint life diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi saling bebas,
kemudian premi terkecil diperoleh dari psangan suami istri dengan asumsi tidak
saling bebas menggunakan copula clayton denga parameter 𝜃 = 2. Kemudian pada
ketiga plot diatas terlihat bahwa semakin kecil nilai parameter 𝜃 maka besar
preminya semakin mendekati nilai premi asuransi jiwa joint life dengan asumsi saling
bebas.
47
BAB V PENUTUP
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan tujuan pada skripsi ini, maka dapat disimpulkan bahwa usia
pasangan suami istri berpengaruh terhadap penentuan besar premi untuk asuransi jiwa
joint life yang diasumsikan tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton. Hal ini
dapat dilihat dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dijelaskan pada bab
sebelumnya, dimana harga premi tertinggi diperoleh dari pasangan suami istri dengan
usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri, kemudian harga premi menengah
diperoleh dari pasangan suami istri dengan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia
istri, dan harga premi terendah diperoleh dari pasangan suami istri dengan usia
seumuran.
Kemudian harga premi untuk pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling
bebas menggunakan Copula Clayton lebih murah dibandingkan dengan harga premi
yang dihitung dengan menggunakan asumsi saling bebas. Karena semakin kecil
penyimpangannya dari asumsi saling bebas, maka harga preminya akan mendekati
harga premi dari pasangan suami istri yang diasumsikan saling bebas.
5.2 Saran
Pada penelitian ini suku bunga yang digunakan adalah suku bunga konstan.
Adapun saran yang dapat diberikan adalah untuk peneliti selanjutnya dapat
dikembangkan dengan menggunakan suku bunga yang berubah secara stokastik dan
benefit dibayarkan tepat saat peserta pertama meninggal dunia.
48
DAFTAR PUSTAKA
[1] I. Fauziah, "Evaluasi Premi Polis Last Survivor Pasangan Suami Istri
Menggunakan Metode Copula Frank," Jurnal CAUCHY, vol. 3, pp. 42-48, 2013.
[2] D. A. Bramanta, I. N. Widana, L. P. I. Harini and I. W. Sumarjaya,
"Perbandingan Asuransi Last Survivor Dengan Pengembalian Premi
Menggunakan Metode Copula Frank, Copula Clayton, Dan Copula Gumbel," E-
Jurnal Matematika, vol. 6 (3), pp. 205-213, 2017.
[3] N. Widana and N. M. Asih, "Evaluasi Premi Joint Life Pasangan Suami Istri
Menggunakan Copula Frank," E-Jurnal Matematika, vol. 7, pp. 32-35, 2018.
[4] F. T., Matematika Asuransi Jiwa Bagian I, Tokyo: Incorporated Foundation
Oriental Life Insurance Cultural Development Center, 1993.
[5] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones and C. J. Nesbitt,
Actuarial Mathematics, The Society Of Actuaries, 1997.
[6] A. R. Effendhie, Matematika Aktuaria Dengan Sofware R, Yogyakarta: Gadjah
Mada University Press Anggota IKAPI, 2016.
[7] I. N. Widana and N. M. Asih, "Evaluasi Premi Joint Life Pasangan Suami Istri
Menggunakan Copula Frank," E-Jurnal Matematika, vol. 7(1), pp. 32-35, 2018.
[8] R. B. Nelsen, An Introduction to Copula (2nd ed)., vol. 1, New York: Springer,
2006, pp. 1-10.
[9] A. E. Shemyakin and H. Youn, "Copula Models of Joint Survival Analysis,"
Applied Stochastic Models in Business And Industry, vol. 22, no. 2, pp. 211-224,
2006.
49
[10] T.AAJI, Tabel Mortalita III-2011, Asosiasi Asuransi Jiwa Indonesia, 2012.
50
LAMPIRAN
Lampiran 1 Tabel Mortalita Indonesia Tahun 2011
x qx.lk px.lk lx.lk x qx.pr px.pr lx.pr
0 0.00802 0.99198 100000 0 0.0037 0.9963 100000
1 0.00079 0.99921 99198 1 0.00056 0.99944 99630
2 0.00063 0.99937 99119.63358 2 0.00042 0.99958 99574.2072
3 0.00051 0.99949 99057.18821 3 0.00033 0.99967 99532.38603
4 0.00043 0.99957 99006.66904 4 0.00028 0.99972 99499.54035
5 0.00038 0.99962 98964.09618 5 0.00027 0.99973 99471.68047
6 0.00034 0.99966 98926.48982 6 0.0003 0.9997 99444.82312
7 0.00031 0.99969 98892.85481 7 0.00031 0.99969 99414.98967
8 0.00029 0.99971 98862.19803 8 0.0003 0.9997 99384.17103
9 0.00028 0.99972 98833.52799 9 0.00028 0.99972 99354.35578
10 0.00027 0.99973 98805.8546 10 0.00025 0.99975 99326.53656
11 0.00027 0.99973 98779.17702 11 0.00024 0.99976 99301.70492
12 0.00026 0.99974 98752.50665 12 0.00026 0.99974 99277.87251
13 0.00026 0.99974 98726.83099 13 0.00028 0.99972 99252.06027
14 0.00027 0.99973 98701.16202 14 0.00029 0.99971 99224.26969
15 0.00029 0.99971 98674.5127 15 0.00028 0.99972 99195.49465
16 0.0003 0.9997 98645.8971 16 0.00025 0.99975 99167.71991
17 0.00032 0.99968 98616.30333 17 0.00024 0.99976 99142.92798
18 0.00036 0.99964 98584.74611 18 0.00023 0.99977 99119.13368
19 0.00041 0.99959 98549.2556 19 0.00024 0.99976 99096.33628
20 0.00049 0.99951 98508.85041 20 0.00026 0.99974 99072.55316
21 0.00059 0.99941 98460.58107 21 0.00029 0.99971 99046.79429
22 0.00069 0.99931 98402.48933 22 0.00033 0.99967 99018.07072
23 0.00077 0.99923 98334.59161 23 0.00037 0.99963 98985.39476
24 0.00083 0.99917 98258.87397 24 0.00039 0.99961 98948.77016
25 0.00085 0.99915 98177.31911 25 0.00042 0.99958 98910.18014
26 0.00083 0.99917 98093.86839 26 0.00044 0.99956 98868.63787
27 0.00079 0.99921 98012.45048 27 0.00046 0.99954 98825.13567
28 0.00075 0.99925 97935.02064 28 0.00048 0.99952 98779.67611
29 0.00074 0.99926 97861.56937 29 0.00051 0.99949 98732.26186
30 0.00076 0.99924 97789.15181 30 0.00054 0.99946 98681.90841
31 0.0008 0.9992 97714.83206 31 0.00057 0.99943 98628.62018
51
32 0.00083 0.99917 97636.66019 32 0.0006 0.9994 98572.40186
33 0.00084 0.99916 97555.62176 33 0.00062 0.99938 98513.25842
34 0.00086 0.99914 97473.67504 34 0.00064 0.99936 98452.1802
35 0.00091 0.99909 97389.84768 35 0.00067 0.99933 98389.17081
36 0.00099 0.99901 97301.22292 36 0.00074 0.99926 98323.25006
37 0.00109 0.99891 97204.89471 37 0.00084 0.99916 98250.49086
38 0.0012 0.9988 97098.94137 38 0.00093 0.99907 98167.96044
39 0.00135 0.99865 96982.42264 39 0.00104 0.99896 98076.66424
40 0.00153 0.99847 96851.49637 40 0.00114 0.99886 97974.66451
41 0.00175 0.99825 96703.31358 41 0.00126 0.99874 97862.97339
42 0.00196 0.99804 96534.08279 42 0.00141 0.99859 97739.66605
43 0.00219 0.99781 96344.87598 43 0.00158 0.99842 97601.85312
44 0.00246 0.99754 96133.8807 44 0.00175 0.99825 97447.64219
45 0.00279 0.99721 95897.39136 45 0.00193 0.99807 97277.10882
46 0.00318 0.99682 95629.83764 46 0.00214 0.99786 97089.364
47 0.00363 0.99637 95325.73475 47 0.00239 0.99761 96881.59276
48 0.00414 0.99586 94979.70234 48 0.00268 0.99732 96650.04575
49 0.00471 0.99529 94586.48637 49 0.00299 0.99701 96391.02363
50 0.00538 0.99462 94140.98402 50 0.00334 0.99666 96102.81447
51 0.00615 0.99385 93634.50552 51 0.00374 0.99626 95781.83107
52 0.00699 0.99301 93058.65331 52 0.00422 0.99578 95423.60702
53 0.00784 0.99216 92408.17333 53 0.00479 0.99521 95020.9194
54 0.00872 0.99128 91683.69325 54 0.00542 0.99458 94565.76919
55 0.00961 0.99039 90884.21144 55 0.00607 0.99393 94053.22272
56 0.01051 0.98949 90010.81417 56 0.00669 0.99331 93482.31966
57 0.01142 0.98858 89064.80051 57 0.00725 0.99275 92856.92294
58 0.01232 0.98768 88047.68049 58 0.00776 0.99224 92183.71025
59 0.01322 0.98678 86962.93307 59 0.00826 0.99174 91468.36466
60 0.01417 0.98583 85813.28309 60 0.00877 0.99123 90712.83597
61 0.01521 0.98479 84597.30887 61 0.00936 0.99064 89917.2844
62 0.01639 0.98361 83310.5838 62 0.01004 0.98996 89075.65861
63 0.01773 0.98227 81945.12334 63 0.01104 0.98896 88181.339
64 0.01926 0.98074 80492.2363 64 0.01214 0.98786 87207.81702
65 0.021 0.979 78941.95583 65 0.01334 0.98666 86149.11412
66 0.02288 0.97712 77284.17476 66 0.01466 0.98534 84999.88494
67 0.02486 0.97514 75515.91284 67 0.01612 0.98388 83753.78663
68 0.02702 0.97298 73638.58724 68 0.01771 0.98229 82403.67559
69 0.02921 0.97079 71648.87262 69 0.01947 0.98053 80944.30649
52
70 0.03182 0.96818 69556.00905 70 0.02121 0.97879 79368.32084
71 0.03473 0.96527 67342.73684 71 0.02319 0.97681 77684.91876
72 0.03861 0.96139 65003.92359 72 0.02539 0.97461 75883.40549
73 0.04264 0.95736 62494.1221 73 0.02778 0.97222 73956.72583
74 0.04687 0.95313 59829.37273 74 0.03042 0.96958 71902.20798
75 0.05155 0.94845 57025.17003 75 0.0333 0.9667 69714.94282
76 0.05664 0.94336 54085.52252 76 0.03646 0.96354 67393.43522
77 0.06254 0.93746 51022.11852 77 0.03991 0.96009 64936.27057
78 0.06942 0.93058 47831.19523 78 0.04372 0.95628 62344.66401
79 0.07734 0.92266 44510.75366 79 0.04789 0.95211 59618.9553
80 0.08597 0.91403 41068.29197 80 0.05247 0.94753 56763.80353
81 0.09577 0.90423 37537.65091 81 0.05877 0.94123 53785.40676
82 0.10593 0.89407 33942.67008 82 0.06579 0.93421 50624.43841
83 0.11683 0.88317 30347.12304 83 0.07284 0.92716 47293.8566
84 0.12888 0.87112 26801.66865 84 0.08061 0.91939 43848.97209
85 0.14241 0.85759 23347.4696 85 0.08925 0.91075 40314.30645
86 0.15738 0.84262 20022.55645 86 0.09713 0.90287 36716.2546
87 0.17363 0.82637 16871.40652 87 0.10893 0.89107 33150.00479
88 0.1911 0.8089 13942.0242 88 0.12131 0.87869 29538.97477
89 0.20945 0.79055 11277.70338 89 0.1345 0.8655 25955.60174
90 0.22853 0.77147 8915.588406 90 0.14645 0.85355 22464.5733
91 0.24638 0.75362 6878.108988 91 0.15243 0.84757 19174.63654
92 0.26496 0.73504 5183.480495 92 0.16454 0.83546 16251.8467
93 0.2845 0.7155 3810.065503 93 0.18235 0.81765 13577.76784
94 0.30511 0.69489 2726.101868 94 0.20488 0.79512 11101.86187
95 0.32682 0.67318 1894.340927 95 0.23305 0.76695 8827.312414
96 0.34662 0.65338 1275.232425 96 0.25962 0.74038 6770.107256
97 0.3677 0.6323 833.2113619 97 0.2872 0.7128 5012.45201
98 0.39016 0.60984 526.8395441 98 0.29173 0.70827 3572.875793
99 0.41413 0.58587 321.2878276 99 0.30759 0.69241 2530.560738
100 0.43974 0.56026 188.2328996 100 0.33241 0.66759 1752.18556
101 0.45994 0.54006 105.4593643 101 0.35918 0.64082 1169.741558
102 0.48143 0.51857 56.95438429 102 0.38871 0.61129 749.5937854
103 0.50431 0.49569 29.53483506 103 0.42124 0.57876 458.2191851
104 0.52864 0.47136 14.64012239 104 0.38871 0.61129 265.1989355
105 0.5545 0.4455 6.90076809 105 0.4958 0.5042 162.1134573
106 0.58198 0.41802 3.074292184 106 0.53553 0.46447 81.73760518
107 0.61119 0.38881 1.285115619 107 0.57626 0.42374 37.96466548
53
108 0.64222 0.35778 0.499665804 108 0.61725 0.38275 16.08714735
109 0.67518 0.32482 0.178770431 109 0.65996 0.34004 6.157355648
110 0.71016 0.28984 0.058068211 110 0.70366 0.29634 2.093747214
111 1 0 0.01683049 111 1 0 0.62046105
54
Lampiran 2 Nilai Suku Bunga Indonesia
Tanggal BI 7-Day
13-Oct-20 4.00%
17-Sep-20 4.00%
19-Aug-20 4.00%
16-Jul-20 4.00%
18-Jun-20 4.25%
19-May-20 4.50%
14-Apr-20 4.50%
19-Mar-20 4.50%
20-Feb-20 4.75%
23-Jan-20 5.00%
19-Dec-19 5.00%
21-Nov-19 5.00%
24-Oct-19 5.00%
19-Sep-19 5.25%
22-Aug-19 5.50%
18-Jul-19 5.75%
20-Jun-19 6.00%
16-May-19 6.00%
25-Apr-19 6.00%
21-Mar-19 6.00%
21-Feb-19 6.00%
17-Jan-19 6.00%
20-Dec-18 6.00%
15-Nov-18 6.00%
23-Oct-18 5.75%
27-Sep-18 5.75%
15-Aug-18 5.50%
19-Jul-18 5.25%
29-Jun-18 5.25%
30-May-18 4.75%
17-May-18 4.50%
19-Apr-18 4.25%
22-Mar-18 4.25%
55
15-Feb-18 4.25%
18-Jan-18 4.25%
14-Dec-17 4.25%
16-Nov-17 4.25%
19-Oct-17 4.25%
22-Sep-17 4.25%
22-Aug-17 4.50%
20-Jul-17 4.75%
15-Jun-17 4.75%
18-May-17 4.75%
20-Apr-17 4.75%
16-Mar-17 4.75%
16-Feb-17 4.75%
19-Jan-17 4.75%
15-Dec-16 4.75%
17-Nov-16 4.75%
20-Oct-16 4.75%
22-Sep-16 5.00%
19-Aug-16 5.25%
21-Jul-16 5.25%
16-Jun-16 5.25%
19-May-16 5.50%
21-Apr-16 5.50%
56