Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 23 de Julio 2005

Resolución

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

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Tabla de Contenido

1. Resolución.

2. Forma Normal Clausal

3. Ejercicios

4. Bibliografía

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Objetivos

• Exponer el método de resolución.• Exponer el método de conversión a la forma

normal clausal.

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Resolución

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Resolución

• Es un mecanismo de prueba que opera sobre estatutos

que han sido convertidos a forma clausal y produce

pruebas por refutación, es decir que para probar si un

estatuto es verdadero (demostrar que es válido ) intenta

mostrar que la negación de ese estatuto produce una

contradicción.

forma clausal = forma clausulada

CNF : conjuntive normal form

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Resolución• La resolución fue introducida como una regla de inferencia• Resume muchos esquemas de inferencia clásicos.• Es un procedimiento completo de inferencia, por que solo

con ella pueden diseñarse sistemas deductivos consistentes y completos.

• Se aplica a sentencias que tienen que estar escritas forma clausulada.

• Para toda sentencia se puede encontrar una sentencia equivalente en forma clausulada.

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Forma Normal Clausal• Un literal es una variable proposicional o una variable

proposicional negada (o sea, con el símbolo ¬ delante).• En el primer caso diremos que es un literal positivo, y, en

el segundo, que es un literal negativo.

• Una cláusula es una sentencia de la forma:

L1 V L2 V Ln

donde los Li son literales y están unidos por disyunciones.

• Una sentencia está en forma clausulada si tiene la forma:

(L11 V L12 V...) Λ (L21 V L22 V..) Λ ...

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Conversión a Forma Clausal1. Eliminar condicionales y bicondicionales, aplicando la

equivalencia (9), es decir: A B ≡ ¬A V BA B ≡ (A B) Λ (B A) ≡ (¬A V B) Λ (¬B V A)

2. Introducir negaciones mediante las equivalencias (1) (doble negación), (2) y (3) (de Morgan): ¬(¬A) ≡ A ¬(A V B) ≡ ¬A Λ ¬B¬(A Λ B) ≡ ¬A V ¬B

4. Distribuir las Λ con la equivalencia:L1 V (L2 Λ L3) ≡ (L1 V L2) Λ (L1 V L3)

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Ejercicio 1• G Λ (R => F)• Paso 1: G Λ (¬R V F)• Paso 2: no es necesario • Paso 3: no es necesario

• ¬(G Λ (R => F)) • Paso 1: ¬(G Λ (¬R V F)) • Paso 2: ¬(G Λ ¬(R Λ ¬F))• ¬G V ¬¬(R Λ ¬F)• ¬G V (R Λ ¬ F)• Paso 3: (¬G V R) Λ (¬G V ¬F)

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Ejercicio 2• S (P (Q V R))

• (P (Q V R)) Λ (P V Q) Λ R

• (R V Q V P) (P Λ Q)

• (R Λ (Q V P)) (P Q)

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Aplicación de la regla de resolución• Si recordamos la regla de inferencia de resolución: a V b, ~b V c

a V c• Se puede aplicar a dos cláusulas cualesquiera que

compartan un literal con distinto signo.• Estas cláusulas le llaman generatrices (padre), y la

conclusión, cláusula resultante de la disyunción del resto de literales, resolvente.

• Todas las sentencias deben estar en forma clausulada.

Si hay n premisas inicialmente en Δ0, al ponerlas en forma clausulada resultarán m cláusulas (m > n), y la estrategia de control se reduce al problema de decidir, en cada Δi, a qué pareja de cláusulas aplicar una regla de resolución única, la regla de resolución.

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Aplicación de la regla de resolución• La propiedad extraordinaria de la regla de resolución es

que casi todas las reglas de inferencia se reducen a ella si previamente se escriben las premisas en forma clausulada.

Forma Normal ImplicativaModus Ponens P Q

PQ

Modus Tollens P Q¬Q¬P

Encadenamiento P QQ RP R

Forma Normal ConjuntivaModus Ponens ¬P V Q

PQ

Modus Tollens ¬ P V Q¬Q¬P

Encadenamiento ¬P V Q¬Q V R¬P V R

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Aplicación de la regla de resoluciónAsumir que se tienen un conjunto de cláusulas F y el estatuto a probar P

• Convertir todos los estatutos de F a la Forma clausal

• Negar P y convertirla a forma clausal. Agregar al conjunto de cláusulas obtenidas en el paso anterior

• Repetir hasta que una contradicción sea alcanzada:

– Seleccionar dos cláusulas y llamarlas cláusulas padre

– Resolverlas. Para obtener la cláusula llamada resolvente. Buscar en las cláusulas padre un par de literales T1 y T1 de tal forma que T1 pertenece a una y T1 a la otra, eliminar ambas literales y crear el resolvente.

– Si el resolvente es la cláusula vacía (FALSE), la contradicción ha sido encontrada. De otra manera el resolvente se agrega al conjunto de cláusulas.

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Ejercicio 1Axiomas en forma causal:1 M2 ¬M V ¬P3 P V Q V ¬R4 R V Q5 M V ¬R Probar Q6. ¬Q7 P V ¬R (3, 6) Q8 R (4, 6) Q9 ¬M V ¬R (2, 7) P10 ¬M (8, 9) R11 False (1, 10) M

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Ejercicio 2

1. p V q

2. p V r

3. ¬q V ¬r probar p

4. ¬p

5. q (1, 4) p

6. r (2, 4) p

7. ¬r (3, 5) q

8. False (6, 7) r

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Ejercicio 3

1. ¬p V q V r

2. ¬q V ¬s V p

3. ¬r V p

4. s

5. p V q V r

6. ¬q V ¬p

7. ¬r V ¬p

8. ¬q V p(2, 4) s9. p V r (8, 5) q10. p (3, 9)

r11. ¬q (6, 10)

p12. ¬p V r (1, 11) q13. r (9, 12)

p14. ¬r (7, 10)

p15. false (13, 14) r

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Ejercicio 4

Estudiamos la satisfacibilidad de:

Ω = {¬p V ¬q V r, ¬q V ¬r V ¬s V p,¬r V ¬p V s,¬r V ¬s V ¬q}

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Ejercicio 5

Estudiamos la satisfacibilidad de:

Ω= { p V q, ¬p V ¬r, ¬q V ¬r, ¬q V ¬w, r V w, q V r}

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Tarea

1. p r s∨ ∨2. ¬p ¬r s∨ ∨3. ¬p r ¬s∨ ∨4. p ¬r ¬s∨ ∨

1. p q r s∨ ∨ ∨2. ¬q r s∨ ∨3. ¬p r s∨ ∨4. q s∨5. ¬p s∨

1. ¬p q∨2. q ¬r s∨ ∨3. ¬p ¬q r s∨ ∨ ∨4. ¬r

5. q

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Forma Normal Conjuntiva• Se supone que todas las disyunciones (V) de la BC se

agrupan en una conjunción (Λ) implicita grande, por lo que a esta forma se le denomina forma normal conjuntiva (CNF), aún cuando cada oración en particular es una disyunción (V)

Forma Normal Conjuntiva

¬P V QP

Forma Normal Implicativa

P QVerdad P

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Bibliografía• AIMA. Capítulo 8, primera edición.• AIMA. Chapter 9, second edition.

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PREGUNTAS