Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 16 de Julio 2005

Inferencia en Lógica Proposicional

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

22 /42/42

Tabla de Contenido

1. Inferencia.

2. Leyes de la lógica

3. Reglas de Inferencia

4. Bibliografía

33 /42/42

Objetivos

• Exponer los mecanismos de inferencia• Presentar las reglas de inferencia.

44 /42/42

INFERENCIA

¿y ahora qué hago?

55 /42/42

Inferencia• Según la filosofía existen tres modos básicos de

razonamiento:• Deducción. inferencia desde las causas hacia los

efectos, o desde lo universal hacia lo particular.• Inducción. Recorre el camino inverso.• Abducción o retroducción. Relacionado con la génesis

de la hipótesis

Inferencia

Deductiva o analítica

SintéticaInducción

Hipótesis

66 /42/42

Mecanismo de inferencia

• Realiza razonamiento• Verifica la consistencia de una sentencia dada.• Es “completo” si puede encontrar una “prueba” para

cada sentencia que se puede producir .• Es “robusto” si los pasos que se siguen conducen

solamente a sentencias que son consistentes con la base de conocimiento

• Teoría de pruebas: Conjunto de pasos de razonamiento que son “robustos”

Inferencia• Razonamiento “robusto”, inferencia lógica, deducción• Procedimiento que calcula la validez de sentencias• Una sentencia es valida si y solo si es verdadera para

todas las interpretaciones en todos los mundos posibles (sentencias analíticas, tautologías)

• No hay limite en la complejidad de las sentencias• No importa la interpretación que se este utilizando• Un proceso de inferencia confiable se denomina

demostración

Δ |=ρ ωdesde Δ se obtiene ωρ : reglas de inferenciaΔ : conjunto de fórmulas bien formadaΩ: teoremas que se pueden deducir desde Δ

88 /42/42

Regla de inferencia

• Patrón de inferencias que se presenta constantemente

• Si se prueba su robustez una vez, se puede extender a cualquier caso

• Se utilizan para hacer inferencias sin tener que construir tablas de verdad

99 /42/42

LEYES DE LA LOGICA

1010 /42/42

Leyes de la LógicaCorresponden a las siguientes equivalencias lógicas:

Leyes asociativasp (q r) ⇔ (p q) r∨ ∨ ∨ ∨p (q r) ⇔ (p q) r∧ ∧ ∧ ∧

Leyes distributivasp (q r) ⇔ (p q) (p r)∨ ∧ ∨ ∧ ∨p (q r) ⇔ (p q) (p r)∧ ∨ ∧ ∨ ∧

Leyes de idempotenciap p ⇔ p∨p p ⇔ p∧

Ley de la implicaciónp→q ⇔ ¬p q∨

Ley de la doble negación¬¬p ⇔p

Leyes de deMorgan¬(p q) ⇔ ¬p ¬q∨ ∧¬(p q) ⇔ ¬p ¬q∧ ∨

Leyes conmutativasp q ⇔ q p∨ ∨p q ⇔ q p∧ ∧

Leyes de absorciónp (p q) ⇔ p∨ ∧p (p q) ⇔ p∧ ∨

1111 /42/42

Tabla de Verdad

p q ¬p p Λ q p V q p -> q p <-> q p XOR q

1 1 0 1 1 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 0

1212 /42/42

Ejercicios• Clasifica los siguientes enunciados como tautología (T),

contradicción (C)• O me voy de viaje o no me voy.• Si me voy de viaje soy feliz, es decir, no es el caso que me vaya

de viaje y no sea feliz

• Si A es una fórmula tautológica y B una contradicción, indicar si es valida, o no satisfactoria o ninguna :• A B∨ tautología, satisfactible, no contingente• A → B contradicción, no satisfactible, no contingente• A B∧ contradicción, no satisfactible, no contingente

1313 /42/42

Ejercicios1. La fórmula proposicional: es: (P ⇔Q) (P→ Q)∧ ∼

a) Una tautología. b) Una contradicción c) Una fórmula contingente.

2. La forma proposicional (p →q) p es equivalente∼ ∨a) ( p q) p ∼ ∧ ∨b) pc) p q∼ ∨

3. Para cada una de las siguientes sentencias comprobar si son tautologías, contradicciones o indeterminaciones:a). ¬( ¬p ) →p b). p →( p q )∧c). ¬( s q ) ¬q∨ ∨ d). ( p q ) →p∨e). ( p →q ) →( ¬q →¬p ) f). ( p →q ) →( q →p )g). p ( p →q )∨ h). ( p ( q →p ) ) →p ∧i). p ( q →¬p )∨ j). ( p ¬q ) ( ¬p q )∨ ∧ ∨k). ¬p ( ¬( p →q ) )∧ l). p →¬pm)¬p →p

1414 /42/42

Ejercicio• Ver las siguientes sentencias y decidir para cada una es valida, o

no satisfactoria o ninguna. Verificas tus decisiones usando tablas de verdad, o por el uso de las reglas de equivalencia ¿Habría alguno que inicialmente te confundió?

1. Smoke Smoke

2. Smoke Fire

3. (Smoke Fire) (¬ Smoke ¬ Fire)

4. Smoke V Fire V ¬Fire

5. ((Smoke Λ Heat) Fire) ↔ ((Smoke Fire) Λ (Heat Fire))

6. (Smoke Fire) ((Smoke Λ Heat) Fire)

7. Big V Dumb V (Big Dumb)

8. (Big Λ Dumb) V ¬ Dumb

1515 /42/42

Solución

1616 /42/42

REGLAS DE INFERENCIA

Reglas + ObservacionesReglas + ObservacionesReglas + ObservacionesReglas + Observaciones

Δ |=ρ ω

1717 /42/42

Reglas de inferenciaModus Ponens : a b, a

bEliminación-y : a1 a2 …. an

aiIntroducción-y: a1, a2, ….,an

a1 a2 …. anIntroducción-o:_____ai_________

a1 a2 …. an

Eliminación-doble-negación: ~~aa

Resolución Unitaria: a b, ~ba

Resolución: a b, ~b c ~a b, b c a c ~a c

1818 /42/42

Ejercicio• Si pedro le apostó a Pittsburg, entonces se gastó el dinero. Si

Pedro se gastó el dinero entonces su esposa no compra joyas y su esposa pide divorcio. Si su esposa no compra joyas, entonces los niños no comen o la esposa está enojada. Pedro le apostó al Pittsburg y los niños comen por lo tanto su esposa está enojada.

• P: Pedro le apostó a Pittsburg• Q: Pedro se gastó el dinero.• R: Su esposa no compra joyas• S: Su esposa pide divorcio• T: Los niños comen• U: Su esposa está enojada

1. PQ2. QR Λ S3. R¬T V U

4. P5. T U

7. Q modus ponens (1, 4)

8. R Λ S modus ponens (2, 7)

9. R y – eliminación (8)

10. ¬T V U modus pones (3, 9)11. T U ley implicación

1919 /42/42

Base de Conocimientos~S11~S21S12

~B11B21

~B12

R1: ~S11 ~W11 ~W12 ~W21R2: ~S21 ~W11 ~W21 ~W22 ~W31R3: ~S12 ~W11 ~W12 ~W22 ~W13R4: S12 W11 W12 W22 W13

Prueba para encontrar el wumpus:

~S11 y R1 con Modus Ponens (1)(1) con Eliminación-y (2)~S21 y R2 con Modus Ponens (3)S12 y R4 con Modus Ponens (4)Resolución unitaria con (4) y ~W11 (5)Resolución unitaria con (5) y ~W22 (6)Resolución unitaria con (6) y ~W12

1. ~W11 ~W12 ~W212. ~W11, ~W12, ~W213. ~W11 ~W21 ~W22 ~W314. W11 W12 W22 W135. W12 W22 W136. W12 W137. W13

S12 = hedor en [1,2]

2020 /42/42

Ejercicio• Mostrar que (τΛχ),(τν),(χω) |= (vΛω)

1 (τΛχ) Premisa 2 (τ) y-eliminación, línea 1 3 (τv) Premisa 4 (ν) eliminación, 2 y 3 (modus ponens) 5 (χ) Y – eliminación (derecha), línea 1 6 (χω) Premisa 7 (ω) eliminación, 5, 6 (modus ponens) 8 (vΛω) Y - introducción

2121 /42/42

Ejercicios• Formaliza la siguientes proposición:

– Si la banda no toca Rock and Roll, o las bebidas no llegan a tiempo, entonces la fiesta se cancela y Alicia está enojada. Si la fiesta se cancela entonces hay que regresar el dinero de las entradas. No se regresó el dinero. No se regresó el dinero de las entradas. Por lo tanto, la banda toca Rock and Roll.

• Establece la situación en Lógica Proposicional.• Prueba si la toca Rock and Roll utilizando las reglas de

inferencia y las identidades en Lógica Proposicional, mostrando en cada paso la regla o identidad implicada y las premisas utilizadas.

2222 /42/42

Bibliografía• AIMA. Capítulo 6, primera edición.• AIMA. Chapter 7, second edition.

2323 /42/42

PREGUNTAS