métodos Óptimos-1

Mtodos ptimos-1

MSc. OSCAR DUQUE

Basado en las transparencias del profesor Jorge

Luis Daz de la UPA

Mtodos ptimos Mtodos ptimos*

Este mtodo consiste en aproximar la funcin de transferencia en lazo cerrado por una de segundo orden (O2), con dos polos complejos conjugados, de forma que el ngulo que forman con el eje real es de como puede verse en la siguiente figura.

Mtodo de ajuste al Modulo Optimo (MO)

22221

1

sssGLC

7.4rt

4.8st

Indicadores de la Resp. Transitoria:

%.M p 34

121

sssGLA

*Frhr. Introduccin al Control Electrnico. Editorial Marcombo, Madrid, 1986.

Mtodo de ajuste al Modulo Optimo (MO)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Glc_MO

Peak amplitude: 1.04

Overshoot (%): 4.31

At time (sec): 6.2 System: Glc_MO

Settling Time (sec): 8.43 System: Glc_MO

Final Value: 1

System: Glc_MO

Rise Time (sec): 4.72

Respuesta con ajuste al Modulo Optimo

Tiempo (sec)

Am

plit

ud

Mtodos ptimos

Casos prcticos de sistemas regulados mediante Modulo ptimo

Sistema de primer orden

s

KsG s

1

sT

sDi

1

ssTK

sGi

sLA

1

2sTsTK

KsG

iis

sLC

21

1

sK

Ts

K

TsG

s

i

s

iLC

22221

1

sssGLC

si KT 2

si KT2 si KT 22

si KT 2

Mtodos ptimos


Sistema de segundo orden

s

K s

1

sT

sTK

n

nr

1

ssTsTsTKK

sGn

nrsLA

11

1

1

2

11 sTsTKK

KKsG

sr

srLC

2111

1

sKK

Ts

KK

TsG

srsr

LC

rsKKT12 rs KKT122

1TTn

sT11

1

22221

1

sssGLC

sr

K

TK

2

1

Mtodos ptimos


Sistema de tercer orden

s

K s

1

sT

sTsTK

n

vnr

11

ssTsTsTsTsTKK

sGn

vnrsLA

111

11

21

2

11 sTsTKK

KKsG

sr

srLC

2111

1

sKK

Ts

KK

TsG

srsr

LC

rsKKT12 rs KKT122

1TTn

Mtodos ptimos

22221

1

sssGLC

sT21

1

2TTv

sr

K

TK

2

1

sT11

1

Mtodos ptimos

Mtodo de ajuste al Optimo Lineal (OL)

Puede conseguirse que la respuesta del sistema controlado no presente sobreoscilacin alguna, a costa de una mayor lentitud. El mtodo de clculo con Optimo Lineal (OL) pretende esto. Para el caso de asemejar la respuesta del sistema a una de segundo orden, el proceso de clculo es exactamente igual que mediante el mtodo modulo ptimo. Para presentar una respuesta plana se sitan los polos del sistema de segundo orden sobre el eje real y con el mismo valor, como se aprecia en la figura.

Mtodos ptimos

22441

1

sssGLC

Indicadores de la Resp. Transitoria:

141

sssGLA

7.11

%0

s

p

T

M

Situacin de los polos en lazo cerrado mediante un regulador ajustado al

mtodo Optimo Lineal

Mtodos ptimos

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Glc_ol

Settling Time (sec): 11.7

Casos prcticos de sistemas regulados mediante ptimo Lineal

Sistema de primer orden

s

KsG s

1

sT

sDi

1

ssTK

sGi

sLA

1

2sTsTK

KsG

iis

sLC

21

1

sK

Ts

K

TsG

s

i

s

iLC

22441

1

sssGLC

si KT 4

si KT4 si KT 24

si KT 4

Mtodos ptimos


Sistema de segundo orden

s

K s

1

sT

sTK

n

nr

1

ssTsTsTKK

sGn

nrsLA

11

1

1

2

11 sTsTKK

KKsG

sr

srLC

2111

1

sKK

Ts

KK

TsG

srsr

LC

rsKKT14 rs KKT124

1TTn

sT11

1

22441

1

sssGLC

sr

K

TK

4

1

Mtodos ptimos


Sistema de tercer orden

s

K s

1

sT

sTsTK

n

vnr

11

ssTsTsTsTsTKK

sGn

vnrsLA

111

11

21

2

11 sTsTKK

KKsG

sr

srLC

2111

1

sKK

Ts

KK

TsG

srsr

LC

rsKKT14 rs KKT124

1TTn

Mtodos ptimos

22441

1

sssGLC

sT21

1

2TTv

sr

K

TK

4

1

sT11

1

Observaciones sobre los ajuste al mdulo ptimo y al ptimo lineal

Mtodos ptimos

Para los sistemas de clculo mediante mdulo ptimo (O2) y ptimo lineal (OL), se puede obtener el margen de ganancia del regulador que hacen al sistema responder entre un 4.3% de sobreoscilacin y respuesta lisa. Estos datos pueden usarse para el clculo del margen de ajuste de ganancia, en funcin de la respuesta deseada. Evidentemente, cuanto ms rpido se quiera hacer el sistema ms oscilatorio se convierte. Si se desea algo ms de rapidez de la establecida se puede aplicar un ajuste de ganancia por encima del valor dado a costa de obtener ms sobreoscilacin. Las constantes de tiempo del regulador en ambos casos son las mismas, pues su misin es compensar los polos del sistema a controlar. Debe preverse un ajuste de estas constantes en funcin de la variacin de los parmetros del sistema a controlar, o de la incertidumbre de su conocimiento.

Mtodos ptimos

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Glc_mo


Overshoot (%): 4.32

At time (sec): 6.23

System: Glc_mo

Rise Time (sec): 4.72

System: Glc_mo


System: Glc_ol


Modulo ptimo

ptimo Lineal

Observaciones sobre los ajuste al mdulo ptimo y al ptimo lineal

Mtodos ptimos Ejemplos de diseo y ajuste

Ejemplo de diseo y ajuste por los mtodos Mdulo Optimo y Optimo Lineal

12

2

115.0

1

sssssGp

segTTn 11

15012

1

2

1

.K

TK

s

r

1sK seg.50 segT 11

s

s

sT

sTKsD

n

nr

11

seg....T

seg.....T

%.M

r

s

p

352507474

2450484848

34

Parmetros del Reg.:

Indicadores:

Modulo Optimo

segTTn 11

5.05.014

1

4

1

s

rK

TK

s

s

sT

sTKsD

n

nr

15.0

1

Parmetros del Reg.:

Indicadores:

Optimo Lineal

seg.....T

%M

s

p

8550711711711

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Glc_OL


System: Glc_MO

Settling Time (sec): 4.22 System: Glc_OL

Final Value: 1

System: Glc_MO


Overshoot (%): 4.31

At time (sec): 3.1

Modulo Optimo

Optimo Lineal

Respuesta con ajuste al Modulo Optimo y el Optimo Lineal

Tiempo (sec)

Am

plit

ud

Simulacion en matlab G2=tf([3],[4 4 1]) Transfer function: 3 --------------- 4 s^2 + 4 s + 1

D=tf([1/6 1/12],[1 0]) Transfer function: 0.1667 s + 0.08333 ------------------ s >> F=feedback(G2*D,1) Transfer function: 0.5 s + 0.25 ---------------------------- 4 s^3 + 4 s^2 + 1.5 s + 0.25 >> step(F)

Transfer function: 3 --------------- 4 s^2 + 4 s + 1 >> D=tf([1/12 1/24],[1 0]) Transfer function: 0.08333 s + 0.04167 ------------------- s >> F=feedback(G2*D,1) Transfer function: 0.25 s + 0.125 ------------------------------ 4 s^3 + 4 s^2 + 1.25 s + 0.125 >> step(F)

MODULO PTIMO-CONTROLADOR SIN RETARDO Y CON RETARDO

OPTIMO LINEAL -CONTROLADOR SIN RETARDO Y CON RETARDO

>> G1=tf([3],[4 4 1]) % G1(s)= 3/(2s+1)(2s+1) Transfer function: 3 --------------- 4 s^2 + 4 s + 1 >> G1.inputd = 3; % Td=3 seg :Tiempo de Retardo >> Gpade2 = pade(G1,2) % Aproximacin de Pade de

orden 2 Transfer function: 3 s^2 - 6 s + 4 -------------------------------------------- 4 s^4 + 12 s^3 + 14.33 s^2 + 7.333 s + 1.333 >> step(G1) hold on step(Gpade2)

>> G1=tf([3],[4 4 1]) % G1(s)= 3/(2s+1)(2s+1) Transfer function: 3 --------------- 4 s^2 + 4 s + 1 >> G1.inputd = 3; % Td=3 seg :Tiempo de Retardo >> Gpade2 = pade(G1,1) % Aproximacin de Pade de

orden 1 Transfer function: -3 s + 2 ------------------------------------ 4 s^3 + 6.667 s^2 + 3.667 s + 0.6667 >> step(G1) hold on step(Gpade2)

MODULO PTIMO-CONTROLADOR SIN RETARDO Y CON RETARDO-PREFILTRO

OPTIMO LINEAL -CONTROLADOR SIN RETARDO Y CON RETARDO-PREFILTRO

métodos Óptimos-1

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