métodos de análisis ingenieril raíces de ecuaciones m.c. fco. javier de la garza s. cuerpo...

SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S

Métodos de AnálisisIngenieril

Raíces de EcuacionesM.C. Fco. Javier de la Garza S.

Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura

Gama.fime.uanl.mx/[email protected]


• De la ecuación

• Pero en otros casos

a

acbbxcbxax

2

40

22

?0sin

?02345

xxx

xfexdxcxbxax

Raíces de Ecuaciones


Todos Interactivos


• Se requieren dos valores iniciales. Estos valores deben dar resultados con signo distinto al aplicarlos a la ecuación.

• Si una raíz de una función real y continua f(x)=0 esta entre dos valores x=xl, x =xu entoncesf(xl) * f(xu) < 0. (La función cambia de signo)

Métodos de Intervalos


Sin respuesta (no hay raíces)

Sencillo (una raíz)

Dos raíces

Tres raíces


Dos raíces

Función discontinua. Requiere otro método


Muchas raíces

f(x)=sin 10x+cos 3x


Método de Bisección

Para una ecuación de una variable, f(x)=01. Elegir xl y xu de forma que la raíz de

interés quede en medio, revisar si f(xl)*f(xu) <0.

2. Estimar la raíz evaluando f[(xl+xu)/2].

3. Encontrar la pareja de valores • Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]<0, la raíz se encuentra

en el intervalo inferior, entonces xu=(xl+xu)/2 e ir al paso 2.


• Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]>0, la raíz está en el intervalo superior, entonces xl= [(xl+xu)/2, ir al paso 2.

• Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]=0, entonces la raíz es (xl+xu)/2 y terminamos.

4. Comparar s con a

5. Si a< s, detener. De lo contrario repetir el proceso.

%100

2

2

%100

2

2

ul

ulu

ul

ull

xx

xxx

ó

xx

xxx


Evaluación del Método

Ventajas• Sencillo• Siempre encuentra la

raíz• Se puede calcular el

número de iteraciones requeridas para obtener un error absoluto.

Desventajas• Lento• Conocer que entre a y

b esta la raíz• Multiples raíces• No se toma en cuenta

f(xl) y f(xu), Si f(xl) esta cerca de cero, es probable que la raíz este cerca de xl .


¿Cuántas iteraciones se necesitan?

sak

a xL %100

• Longitud inicial Lo=b-a

• Iteración 1 L1=Lo/2

• Iteración 2 L2=Lo/4

• Iteración k Lk=Lo/2


• Si la magnitud absoluta del error es:

y Lo=2, ¿Cuántas iteraciones se requieren para obtener la exactitud requerida en la solución?

410%100

xs

153.1410222

210 44 kk

k


Método de la Falsa Posición

• Si una raíz real esta entre xl y xu de f(x)=0, entonces se puede aproximar la solución haciendo una interpolación lineal entre los puntos [xl, f(xl)] y [xu, f(xu)] para encontrar xr valor que hace l(xr)=0, l(x) es la aproximación lineal de f(x).

)()())((

)()(

ul

uluur

lr

u

lr

l

xfxfxxxf

xx

xxxf

xxxf


Procedimiento

1. Encontrar un par de valores de x, xl y xu tales que fl=f(xl) <0 y fu=f(xu) >0.

2. Estimar el valor de la raíz de la siguiente fórmula

y evaluar f(xr).

)()(

))((

ul

uluur xfxf

xxxfxx


3. Utilizar el nuevo punto para reemplazar uno de los originales manteniendo ambos puntos en lados opuestos del eje x.

Si f(xr)<0 entonces xl=xr = > fl=f(xr)

Si f(xr)>0 entonces xu=xr = > fu=f(xr)

Si f(xr)=0 se a encontrado la raíz


4. Revisar si los nuevo xl y xu están tan cerca para declarar convergencia. Si no lo están, regresar al paso 2.

• Ventajas de este método– Más rápido– Siempre converge para una sola

raíz.

Nota: Siempre se debe revisar el valor estimado de la raíz en la ecuación original para validar que f(xr) ≈ 0.

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