m©todo de euler y euler modificado

Download M©todo de Euler y Euler Modificado

Post on 07-Jul-2016

17 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Métodos numéricos para resolver derivadas

TRANSCRIPT

Mtodo de EulerEl Mtodo de Euler o de las Tangentes constituye el primer y ms sencillo ejemplo de mtodo numrico para la resolucin de un problema de valor inicial: Interpretando la e.d.o. como un campo de direcciones en el plano y la condicin inicial como un punto de dicho plano, podemos aproximar la funcin solucin por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese punto:

donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: y, en consecuencia:. Calculamos as de manera aproximada el valor de la solucin y en el punto de abscisa como:

y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el mtodo para obtener otro punto aproximado de la forma:

y as sucesivamente. Es habitual en este mtodo tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la solucin aproximada en puntos de la forma: , siendo el paso del mtodo. De esta forma se obtienen las frmulas que nos determinan la solucin aproximada en la forma:

Desde el punto de vista geomtrico, tenemos en definitiva que el Mtodo de Euler aproxima a la funcin solucin por medio de una lnea poligonal, la aproximacin ser a tanto peor cuanto mayor sea en nmero de pasos, es decir, cuanto ms lejos nos encontremos del punto inicial Por otro lado, el error ser evidentemente tanto mayor cuanto ms grande sea el paso del mtodo, .

Ejemplo: Resolveremos el problema de valor inicial

por el mtodo de Euler con para los puntos En este problema tenemos y la funcin es: . Por tanto:

Dado que el problema se puede resolver tambin de forma exacta, presentamos en la tabla y grafica siguientes los resultados:

Sol. Exacta

0144

11.14.24.21276

21.24.425434.45210

31.34.677874.71976

41.44.959045.01760

51.55.270815.34766

Mtodos de Runge-Kutta

La idea general de los Mtodos de Runge-Kutta es sustituir el Problema de Valor Inicial:

por la ecuacin integral equivalente:

para proceder a aproximar esta ltima integral mediante un mtodo numrico adecuado(recordemos que es desconocida). Si nuevamente planteamos el problema paso apaso tendremos:

Mtodo de Runge-Kutta de segundo orden

La primera opcin que podemos aplicar es integrar mediante el mtodo de los trapecios,es decir tomando:

Al ser desconocida en la expresin anterior, lo aproximaremos por donde es la estimacin de que resultara aplicando el mtodo de Euler. Tendremos as:

con

y llegaremos a la expresin del mtodo:

Lo normal es presentar el mtodo con las expresiones siguientes:

Mtodo de Runge-Kutta de tercer ordenconsiste en variar el Mtodo de Euler tomando la pendiente de la recta tangente en el punto medio en vez de la tangente en el punto propiamente dicha. Finalmente, lo ms usual es tomar una combinacin de las dos opciones3:

Podemos entonces resumir el Mtodo de Runge-Kutta de tercer orden en la forma:

Mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden Los Mtodos de Runge-Kutta de cuarto orden se deducen de una manera similar a la expuesta en la seccin anterior para el caso de tercer orden. Ahora se introduce un nuevo paso intermedio en la evaluacin de la derivada. Una vez ms se presentan varias opciones en la evaluacin y es posible ajustar de tal manera que se garantice el error local de manera proporcional a h5 (es decir garantizando exactitud en el cuarto orden en el polinomio de Taylor), lo cual lleva a un error global proporcional a h4. El Mtodo de cuarto orden ms habitual es el determinado por las formulas siguientes

Ejemplo: Resolver por un mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden el problema de valor inicial:

en el intervalo , con . Tenemos que y Para l ordenada correspondiente ser:

con

Y as:

De manera anloga se determinan los puntos:

La solucin exacta es:

De manera que:

Mtodo de Euler-GaussVeremos a continuacin una variante del Mtodo de Euler, llamado habitualmente Mtodo de Euler Modificado. Se trata de un mtodo ms preciso que el de Euler y adems ms estable. La idea fundamental del mtodo modificado es usar el mtodo de los trapecios para integrar la ecuacin Tomaremos as, en el intervalo

Repitiendo el razonamiento, tendremos

Si la funcin es lineal en la variable y, entonces es posible despejar fcilmente en la ecuacin anterior. Si no es lineal, entonces necesitamos un mtodo numrico para calcular la correspondiente , tpicamente se utiliza el mtodo de las sustituciones sucesivas.Ejemplo. Si consideramos la ecuacin lineal.

Entonces:

Recommended

View more >