método de euler. de donde proviene el método de euler para ecuaciones diferencilaes

MÉTODOS NUMERICOS

DE DONDE SALE EL MÉTODO DEEULER

Por: manuel alejandro vivas riverol

Una vez que hayas leido toda ésta presentación, entenderás con precisión de donde saleel método de euler para resolver ecuaciones diferenciales con valores iniciales mediante elrealcionar las fórmulas utilizadas para el desarrollo de este método con la ecuación de la recta.

Además, aprenderás a CODIFICAR éste método en SAGE e inclusive te dejaré un enlace auna página donde podrás simular cualquier ecuación diferencial ordinaria con valores inicialesen tiempo real. Para ésto te describiré a detalle el código para programar el método de eulerque puedes utilizar con sage. ;-)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1

1.5

2

2.5

3

y′(x) =2xy con h=0.1y′(x) =2xy con h=0.05

Figura 1. Simulación para la ecuación diferencial y 0(x)=2xy con SAGE para los incrementos h=0.1y h= 0.05

¾CUALES SON LOS MÉTODOS UTILIZADOS PARA LASOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES?

Tres métodos son considerados para la resolución de ecuaciones diferenciales en la actualidad:

! El método analítico

! El método cualitativo

! El método numérico

CÓMO VER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA ENTENDERLA MEJOR

Una ecuación diferencial contiene en sí misma mucha información acerca del fenómenoque modela. Generalmente aprendemos ver una ecuación diferencial como una ecuación

matemática nada mas y se nos olvida que el propósito de ésta es modelar sistemas dinámicosque ocurren en la naturaleza. Viéndola desde el punto de vista físico podemos entendermejor las expresiones matemáticas que la integran y encontrar formas más asequibles deentender su abstracción.

De esta forma una ecuación diferencial puede ser interpretada desde LOS TRES PUNTOSDE VISTA, mencionados: Analítico, Cualitativo, Numérico:

1.- Analíticamente. Como tradicionalmente la vemos que es como una ecuación matemáticaque se resuelve simbólicamente (analíticamente):

Figura 2. Ecuaciones diferenciales vistas y resueltas desde el punto de vista analítico.

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2.- Cualitativamente. Ésta aproximación hacia las ecuaciones diferenciales analiza einterpreta su signi�cado matemático en terminos generalmente grá�cos para conocer elcomportamiento del fenómeno simulado. Aquí los conceptos importantes a entender son:¾Qué es una derivada? [Una pendiente, una variación de una cantidad respecto de otra],¾Qué representa una pendiente?[una razon de cambio] y ¾Qué representa una solución deuna ecuación diferencial?[la obtención de un conjunto de curvas]. Teniendo estos conceptosbásicos en mente se puede obtener mucha información de una ecuación diferencial y visulizardicha información gra�candola.

Figura 3. Ecuaciones diferenciales vistas y resueltas desde el punto de vista cualitativo.

Alejandro Vivas Riverolhttp://es.gravatar.com/adiutor




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Obviamente es menester poseer otros conceptos matemáticos para la interpretación más claray precisa de los análisis y de las grá�cas obtenidas.

3.- Numéricamente. Aquí el enfoque desde el cual se estudian las ecuaciones diferencialeses mediante el utilizarlas como un principio básico para la construcción de algoritmoscomputacionales de aproximación muy exactos.

Figura 4. Ecuaciones diferenciales vistas y resueltas desde el punto de vista numérico.

Dentro de los métodos numéricos mas utilizados para resolver ecuaciones diferencialesse encuantran el método de Rung-Kutta de cuarto orden y los métodos de Runge-kuttaadaptativos. Para iniciar el estudio de estos métodos generalmente se rrecurre a el métodode Euler, el cual es un algoritmo básico de aproximación de soluciones para ecuacionesdiferenciales que en realidad es poco utilizado en problemas reales debido a que el error













de las curvas generadas con respecto a su comportamiento real es mayor que el error quese genera mediante otros métodos.

El método numérico más básico es: el Método de Euler

Los métodos numéricos como el método de euler son generalmente utilizados cuando lasecuaciones diferenciales no tienen una solucion analítica. Un ejemplo de un ecuación que notiene solución analítica es el siguiente:

y 0= 0.1 yp

+ 0.4x2 (1)

Para resolver, entonces, este tipo de ecuaciones diferenciales se parte del concepto de derivadarecordando que la derivada es la pendiente de la tangente a una función o curva existente,que se puede interpretar físicamente como la rapidez con la que cambia el valor de dichafunción matemática, según cambie el valor de su variable independiente (lo que determinauna inclinación o pendiente), de esta forma si recordamos que:

dy

dx= y 0= rapidez de cambio(inclinacion)

Entonces vemos que en la ecuación diferencial (1), el segundo miembro de la mismarepresenta, no solo una única pendiente para una curva, si no todo un conjunto de pendienteso CAMPO de DIRECCIONES, es decir:

y 0= f(x; y)

Donde:





















f(x; y):Campo de direcciones

Por ejemplo, el campo de direcciones para la ecuación diferencial y 0= 0.2xy, es el siguiente:

Solución del PVI:y ' = 0.2x y

yH1L = 1; yH2.5L

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 5. Campo de direcciones para la ecuación diferencial y 0=2xy. En la grá�ca se puede ver enrojo la construccion, mediante el método de Euler, de la solución para el problema de valores inciales:y 0=2xy, y(1)=1, y(1.5).




















En la Figura 5, vemos en rojo la grá�ca generada mediante el método de Euler para para elproblema de valores iniciales y 0=2xy, y(1)=1, y(1.5) en el intervalo 1<x<2.5. Los datosutilizados para la grá�ca se muestran en la siguiente Tabla 1.

Tabla 1. Valores gra�cados para elProblema de Valores Iniciales:y 0=2xy , y(1)= 1, y(1.5)

xn yn1 11.1 1.020611.2 1.04371.3 1.069421.4 1.097951.5 1.12947... ...

De modo que, al tratar el segundo miembro de la ecuación diferencial dydx= f(x; y) como una

pendiente o un conjunto de ellas podemos empezar a visualizar el cómo desplazarse entredichas pendientes mediante la obtención de valores puntuales provenientes de los datos de lamisma ecuación diferencial.

CONCEPTOS PARA LA LINEALIZACIÓN DE UNA CURVA

Ahora, para aterrizar el hecho de que se puede hallar un �camino� entre las pendientes de uncampo de direcciones que nos permita VER el comportamiento de una ecuación diferencial,




recurriremos a los conceptos de:

! Ecuación de la Recta, calculada mediante un punto y su pendiente

! Linealización mediante una recta tangente

! Campo de direcciones resultado de la interpretación cualitativa de una EcuaciónDiferencial

a) La Ecuación de la Recta que pasa por un punto y su pendiente

y¡ y0x¡x0

=m (2)

Donde:

-Punto: (x0; y0)

-Pendiente: m (recordar que: m= dy

dx= y 0= f 0(x))

-Punto buscado: (x; y)

b) Recta tangente y linealización

De�niciones:

-Recta tangente: recta que toca en un solo punto a una curva

-Linealización L(x): es la aproximación lineal a una curva existente y= f(x) en un puntoespecí�co x=x0, utilizando la ecuación de la recta (2) y un punto (x0; y0), para construirla recta tangente: L(x) = y0 + f 0(x0; y0)(x ¡ x0), y así, con esta recta tangente poder













encontrar un punto posterior al original, es decir, poder encontrar el punto (x1; y1). Dichopunto posterior se obtiene mediante agregar un incremento (que lo podemos de�nir comoh) al punto original x0; es decir, x1=x0+h.

c) Cómo interpretar el Campo de Direcciones en relación con las rectas tangentes y unaecuación diferencial:

Razonamiento. Entendiendo que dentro de un campo de direcciones se puede hallaruna ruta o camino en el cual una ecuación diferencial se mueve, y que éste debeseguir el �ujo de las lineas del campo de direcciones (ver la Figura 5), entoncespodemos hallar dicho camino con el uso de Rectas Tangentes a la curva buscada,que se posicionen en puntos especí�cos dentro de dicho campo y cuya orientación ysentido está dado por el segundo miembro de la ecuación diferencial que deseamosresolver. Como sabemos ese segundo miembro es: f(x; y), proveniente de la ED:dy

dx= f(x; y), como ya hemos mencionado anteriormente.

LINEALIZACIÓN MEDIANTE ENCONTRAR RECTAS TENGENTES A UNACURVA EN UN CAMPO DE DIRECCIONES

Las rectas tangentes a encontrar se obtienen mediante linealizar las curvas de un campo dedirecciones mediante la utilizacion de los puntos y pendientes a dichas curvas o solucionesque conforman el campo de direciones. Pongamos un ejemplo para ver este concepto.




Ejemplo 1. Si tenemos el problema del valor inicial (PVI)

y 0= 0.1 yp

+ 0.4x2; y(2)= 4 (3)

Donde podemos observar que tenemos:

1). Un punto: y(2)= 4 ) (2; 4)

2). Una pendiente general dy

dx= f(x; y) = 0.1 y

p+ 0.4x2 que puede ser evaluada para

dicho punto y así encontrar la pendiente particular , que para éste ejemplo es:

f(2; 4)= 0.1 4p

+ 0.4(2)2= 0.1(2)+ 0.4(4)= 0.2+ 1.6= 1.8

Podemos aproximar valores a la curva solucion y(x) mediante la linealización y(x)=L(x), lacual la obtenemos con la ecuación de la recta que pasa por un punto y se conoce su pendiente,como se ve a continuación.

Formula de la recta mediante un punto y su pendiente

y¡ y0x¡x0

=m

Donde:

-Punto (x0;y0)

-Pendiente = m













-Punto buscado: (x; y)

De modo que, sustituyendo los valores de la fórmula anterior por los datos del PVI, tenemos:

-Punto: (2; 4)

-Pendiente: m= y 0= f(2; 4)= 1.8

-Recta tangente:

y¡ 4x¡ 2 = 1.8

y¡ 4 = 1.8(x¡ 2)y = 1.8(x¡ 2)+ 4= 1.8x¡ 2 � 1.8+4= 1.8x¡ 3.6+4= 1.8x+ 0.4

-Punto Buscado: (x; y)

Por tanto la ecuación de la Recta Tangente buscada es:

L(x)= 1.8x+ 0.4 (4)

Ésta última ecuación es la linealización de la curva y(x) en x=2.














Esto implica, que si por ejemplo queremos calcular el valor numérico y(x1), donde el puntobuscado sería: (x1; y1), de la curva solución de la ecuación diferencial (3), podemos utilizar larecta tangente (4) anterior para aproximarlo tomando en cuenta de que si x1 se encuentra enla vecindad de x=2, la recta tangente (4) es casi igual a la curva solución, como lo muestrala siguiente Figura 6.

Figura 6. Grá�ca que muestra que en la vecindad del punto (2; 4) (circulo en azul), la curvasolución de la ecuación diferencial y 0(x)= 0.1 y

p+ 0.4x2 y la recta tangente L(x) = 1.8x+ 0.4 son

aproximadamente iguales.



De ésta forma podemos notar que si incrementamos un poco el valor de x en la vecindadde x = 2, entonces la recta tangente L(x) = 1.8x + 0.4, aún representa una buena opciónpara aproximar un valor de la curva (solución de la ecuación diferencial). Por ejemplo, siseleccionamos x1= 2.1 entonces:

L(x+h) = 1.8(x+h)+ 0.4L(x1) = 1.8(x1)+ 0.4L(2.1) = 1.8(x1)+ 0.4

= 3.78+ 0.4= 4.18

Viendo ésto grá�camente:











Figura 7 a. Grá�ca de coincidencia de puntos sobre la recta tangente L(x) = 1.8x + 0.4 y la curva SOLUCIÓN dela ecuación diferencial y0(x)= 0.1 y

p+ 0.4x2. El circulo en azul muestra los valores vecinos al punto utilizado para la

linealizacion donde se pueden obtener aproximaciones numericas adecuadas para el calculo de la curva solucion y(x)

gra�cada en color cafe.










En la Figura 7a, se puede ver cómo el punto (2.1;4.18), todavía tiene una buena aproximacióna la curva solución de la ecuacion diferencial y 0(x)=0.1 y

p+0.4x2; sin embargo, en la Figura

7b, se deja en evidencial como el seguir utilizando la recta tangente L(x)=1.8x+0.4 arrojaríaun error mas evidente.

Figura 7b. Grá�cas de coincidencia de puntos sobre la recta tangente L(x)=1.8x+0.4 y la curva SOLUCIÓNde la ecuación diferencial y0(x) = 0.1 y

p+ 0.4x2. El circulo en azul muestra los valores vecinos al punto

utilizado para la linealizacion donde se pueden obtener aproximaciones numericas adecuadas para el calculo dela curva solucion y(x) gra�cada en color cafe











Por esta razón es por la cual se necesita recalcular la recta tangente para los nuevos puntosencontrados previamente.

RECALCULANDO LA RECTA TANGENTE PARA OBTENER UNA MEJORCOINCIDENCIA

De modo que, si el punto encontrado en el Ejemplo 1 anterior es: (2.1; 4.18), partimos deéste y recalculamos la recta tangente a la curva solución mediante la ecuación de la recta quepasa por un punto y se conoce su pendiente, como lo hicimos para encontrar (3).

Esto, en vez de utilizar la misma recta tangente para calcular otro punto sobre ella cercanoa la curva solución (como ocurrió con el punto (2.2; 4.36)); calculamos una nueva recta quepasa por el punti y la pendiente conocida, como se describe a continuación:

-Punto: (2.1; 4.18)

-Pendiente: f(2.1; 4.18)= 0.1 4.18p

+ 0.4(2.1)2= 0.204450+ 1.764= 1.9684

De modo que repetimos el procedimiento según los datos del punto y la pendiente nuevas,como se muestra a continuación:

-Recta tangente:

y¡ y0x¡x0

= 1.9684

y¡ 4.18x¡ 2.1

= 1.9684



y¡ 4.18 = 1.9684(x¡ 2.1)y = 1.9684(x¡ 2.1)+ 4.18= 1.9684x¡ 4.13364+ 4.18= 1.9684x+ 0.04636

Por lo que la ecuacion de la nueva Recta Tangente es:

y=L(x)= 1.9684x+ 0.04636 (5)

De modo que si ahora queremos calcular el valor de y(x), para x = 2.2, procedemos comosigue:

L(2.2) = 1.9684(2.2)+ 0.04636= 4.33048+ 0.04636= 4.37684

De la Figura 8a, podemos ver cómo la nueva recta tangente (4, en rojo) aproxima mejorla solución de la ecuación diferencial y 0(x) = 0.1 y

p+ 0.4x2 (en cafe) que la anterior recta

tangente (3, en rosa).





















1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3x

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

y=L(x)

(2, 4)

(2.1, 4.18)

(2.2, 4.37684)

Solucion de la ED: y′(x) =0.1√

y +0.4x2

L(x) =1.8x+0.4

L1(x) =1.9684x+0.04636

(Vector de direccion): --->

Puntos graficados:(2,4), (2.1,4.18) y (2.2,4.37684)

Figura 8a. Comparación de las distancias de separación entre las rectas tangentes L1(x)=1.9684x+0.04636,L(x)=1.8x+0.4, en relación al punto (2.2;4.37684) que se encuentra sobre la curva solución de la ecuacióndiferencial y 0(x)= 0.1 y

p+ 0.4x2.










En la Figura 8b, se ve cómo la nueva recta tangente L(x)=1.9684x+0.04636, se aproximamejor a la curva solución del la ecuación diferencial y 0(x)=0.1 y

p+0.4x2, que lo que lo hace

la recta tangente L(x)= 1.8x+ 0.4.

2 2.1 2.2 2.3 2.4x

4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

y=L(x)

(2.1, 4.18)

(2.2, 4.37684)Solucion de la ED: y′(x) =0.1

√y +0.4x2

L(x) =1.8x+0.4

L1(x) =1.9684x+0.04636

(Vector de direccion): --->

Puntos graficados:(2.1,4.18) y (2.2,4.37684)

Figura 8b. Aproximación de las rectas tangentes L(x) = 1.8x+ 0.4 y L1(x) = 1.9684x+ 0.04636,con la curva solución de la ecuación diferencial y 0(x)= 0.1 y

p+ 0.4x2.




Aunque en el anterior caso la variación entre las rectas tangentes y la curva solución, esaparentemente pequeña, por la pendiente de la curva solución, en otros casos esta variaciónpuede ser mucho más pronunciada.

CONSTRUCCIÓN DEL MÉTODO DE EULER A PARTIR DE ENCONTRARRECTAS TANGENTES

De ésta manera, podemos ver que utilizando la ecuacion de la recta para encontrar rectastangentes sucesivas a partir de los valores iniciales de un problema del valor inicial(PVI) yutilizando, tambien, la propia ecuación diferencial como pendiente de la recta tangente aencontrar, podemos ir construyendo un �camino� aproximado que simula el comportamientode la curva solución y(x) de la ecuación diferencial que estamos resolviendo.

Por tanto, para generalizar este proceso, desarrollaremos el caso general de una problema delvalor inicial resuelto mediante este método. Así, procedemos a linealizar, de manera iterada,el siguiente problema del valor inicial.

Tenemos:

y 0(x)= f(x; y)

Sujeto a:

y(x0)= y0







Linealizando. Buscamos una expresión general para la ecuación de la recta tangenteencontrada mediante el punto y la pendiente dadas por el PVI:

y1¡ y0x1¡x0

= f(x; y)

Desarrollamos:

y1¡ y0x1¡x0

= f(x0; y0)

y1¡ y0 = f(x0; y0)(x1¡x0)y1 = y0+ f(x0; y0)(x1¡x0) (6)

La ecuación anterior solo nos sirve para pronosticar un segundo punto (x1; y1), a partir delpunto previo (x0; y0).

Ahora, si queremos hacerla general, para pronosticar cualquier punto posterior a uno previo,basta con suponer un incremento del punto previo, por ejemplo, un incremento = h. De estaforma si suponemos que x1=x0+h, podemos calcular el incremento en y; es decir, podemoscalcular y1, de la siguiente manera:

y0+1 = y0+ f(x0; y0)(x1¡x0)= y0+ f(x0; y0)(x0+h¡x0)= y0+ f(x0; y0)(h)

y1 = y0+h�f(x0; y0) (7)














De la misma forma, para calcular un punto posterior al encontrado (x1; y1), procedemos demanera similar:

y1+1 = y1+ f(x1; y1)(x2¡x1)y2 = y1+ f(x1; y1)(x1+h¡x1)

= y1+ f(x1; y1)(h)y2 = y1+h�f(x1; y1) (8)

Ahora, es mas facil ver que de manera general tendríamos:

yn+1= yn+h � f(xn; yn) (9)

Donde, como sabemos:

xn+1=xn+h (10)

Las ecuaciones (8) y (9) constituyen las ecuaciones generales para aplicar el métodso de Euler.Tomando en cuenta que:

f(xn; yn)= y 0



MÉTODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES



EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES por EL MÉTODO DE EULER, PASO A PASO


Se pueden ver varios ejemplos de resolucion de ecuaciones diferenciales por el metodo de eulercon el metodo de 4 pasos propuesto en el siguiente articulo, da click en el siguiente enlace:






http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/metodo-de-euler-para-ecuaciones-diferenciales



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