1

MehanikaMehanika

2

• Jednoliko pravocrtno gibanje• Jednoliko promjenljivo pravocrtno gibanje• Slobodni pad• Kružno gibanje• Mirovanje s obzirom na pomicanje• Uvjeti mirovanja s obzirom na rotaciju• Sile na poluzi• Sile na kosini• Trenje• Rad• Snaga• Energija

3

Mehanika proučava ponašanja tijela, te njihovo meñudjelovanje.

Područja mehanike su:� Statika proučava mirovanje tijela� Kinematika proučava gibanje tijela bez obzira na uzroke gibanja� Dinamika proučava meñudjelovanje tijela, te uzroke gibanja.

S obzirom na vrstu tvari koju proučava, mehanika se razvrstava na:� Mehaniku čvrstih tijela� Mehaniku fluida: tekućina (kapljevina) i plinova� Mehaniku elastičnih i plastičnih tijela

4

Gibanje

Gibanje je mijenjanje položaja tijela tijekom nekog vremenskograzdoblja s obzirom na neku referentnu (usporednu) točku.

Gibanje ili mirovanje ustanovljavaopažač relativno prema odabranom mirnom tijelu.

Gibanje se često opisuje u koordinatnom sustavu.

xy

z T

5

Tijekom gibanja tijelo prolazi kroz neprekinuti niz točaka u prostoru koji nazivamo putanja. Putanja se matematički opisuje različitim funkcijama. Često nas zanima samo duljina dijela putanje, tj. preñeni put.

Put s(t) ili, kraće, put s je put preñen od trenutka 0 do trenutka t.Ili: to je put preñen u vremenskom intervalu ∆t koji je po iznosu jednak završnom trenutku t.

Funkcija s(t) može se tumačiti i kao položaj u trenutku t (mjeren duž putanje), u odnosu na položaj s=0 u trenutku t=0.

t =0 t∆t = t - 0

s = s(t)

6

Gibanja

obzirom na putanju

pravocrtna krivocrtna

po otvorenoj krivulji po zatvorenoj krivulji

po pravilnojkrivulji

po pravilnojkrivulji

po nepravilnojkrivulji

po nepravilnojkrivulji

7

Gibanja

u vremenu

periodična neperiodična

Gibanja s obzirom

na brzinu

konstantna brzina promjenljiva brzina

Konstantno ubrzanje Promjenljivo ubrzanje

8

Iznos brzine

U nekom vremenskom intervalu ∆t tijelo prijeñe put ∆s

U tome intervalu (na tome putu) prosječni iznos brzine računa se kao preñeni put kroz proteklo vrijeme:

“preñeni put u jedinici vremena”

12ttt −=∆

12sss −=∆

t

sv

∆

∆=

dt

ds

t

sv

t=

∆

∆=

→∆ 0lim

Trenutni (pravi) iznos brzine dobije se tako da se oko odabranog trenutka promatraju sve kraći intervali. Kaže se da je to granična vrijednost (limes) kada ∆t “teži” prema nuli:

Joj, matematika

1 2

Iznos brzine je derivacija puta po vremenu.

Jedinica m/s ,

km/h .

9

Ubrzanje (akceleracija) kod gibanja po pravcu

U nekom vremenskom intervalu ∆t

brzina se promijeni za ∆v

U tome intervalu prosječno ubrzanje

računa se kao promjena brzine kroz proteklo vrijeme:

“promjena brzine u jedinici vremena”

12ttt −=∆

12vvv −=∆

t

va

∆

∆=

dt

dv

t

va

t=

∆

∆=

→∆ 0lim

Trenutno (pravo) ubrzanje dobije se tako da se oko odabranog trenutka promatraju sve kraći intervali. Kaže se da je to granična vrijednost (limes) kada ∆t “teži” prema nuli:

1 2

Ubrzanje je derivacija iznosa brzine po vremenu.

Jedinica m/s2 Ako gibanje nije pravocrtno, brzina mijenja smjer. Tada ubrzanje mora opisati i promjenu iznosa i promjenu

smjera brzine (koristimo vektore).

10

Ako promatramo vremenski interval od trenutka 0 do trenutka t, dobijemo:

Jednoliko i jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

t

s

t

sts

t

sv =

−

−=

∆

∆=

0

)0()(

t

vv

t

vtv

t

va 0

0

)0()( −=

−

−=

∆

∆=

0=a

vv=

vts=

aa=

0vatv +=

tvta

s0

2

2+=

)(ta

)(tv

)(ts

FunkcijaJednoliko (v=konst)

Jednoliko ubrzano(a=konst) Preñeni put kod

jednoliko ubrzanog gibanja dobije se tako da se za srednju brzinu uzme brzina u sredini vremenskog intervala:

02v

tav +=

11

Galileo Galilei 1564-1642

Slobodni pad – jednoliko ubrzano gibanje bez početne brzine

Ubrzanje slobodnog padag=9.81 m/s2

visina2

2tg

h = vrijeme padanja

g

ht

2=

konačna brzina ghvk 2=

gtv=

2

2tg

s=

12

Kružno gibanjeKružno gibanje opisuje se:� linearnim ili obodnim veličinama s, v...� kutnim veličinama φ, ω...

Kutna brzina računa se iz kuta zakreta kao što se brzina računa iz preñenog puta, npr. srednja kutna brzina je

Iz definicije kuta u radijanima slijedi veza:

Ako se ta jednakost podjeli s vremenom (derivira po vremenu), dobije se slična veza izmeñu brzine i kutne brzine.

r

j

sφ

Stoga za svako kružno gibanje vrijedi:

s = φ r

v = ω r

tt

t

t

ϕϕϕϕω =

−

−=

∆

∆=

0

)0()(

rsr

sϕϕ =⇒=

13

Jednoliko kružno gibanje

Periodično gibanje.

Period je trajanje jednog ophoda T .

Frekvencija ili učestalost f je broj ophoda u jedinici vremena; računa se kao recipročna vrijednost perioda

Tt

nf

1== Jedinica herc (Hz=s-1)

r

j

sφ

Kao i za jednoliko gibanje po pravcu, za iznos brzine i preñeni put vrijedi:

T

rv

⋅=

π2

fT

⋅== ππ

ω 22

vv= vts=

ωω = tωϕ =

Za kutne veličine vrijede analogni izrazi:

Brzina i kutna brzina mogu se izraziti pomoću perioda ili frekvencije:

Skica ilustrira izvod centripetalnog ubrzanja za jednoliko gibanje po kružnici (stalni iznos brzine ). Promjenu brzine čini promjena smjera (zeleni vektor na skici) .

Iznos promjene brzine približno je jednak duljini luka koji opisuje vrh vektorabrzine; oni postaju točno jednaki za vrlo mali kut (limes ∆t prema nuli). Centripetalno ubrzanje dobije se tako da se ta promjena brzine podijeli s vremenom, tj. pomoću

14

Kod svakog kružnog gibanja brzina stalno mijenja smjer.

Centripetalno ubrzanje opisuje kako se brzo mijenja smjer brzine. Usmjereno je prema središtu (centru) kružnice, tj. okomito je na brzinu (inače bi joj mijenjalo iznos).

ϕ∆⋅v

ωϕ

⋅=∆

∆⋅v

t

v

∆φ

v2

v1

r

Centripetalno ubrzanje

12vvvrrr

−=∆

vr

∆

pa je njegov iznos jednak:r

vrva

cp

2

2 =⋅=⋅= ωω

v

∆φ

vr∆

1vr

2vr

15

Sile, skelet, stabilnost tijelaSile, skelet, stabilnost tijela

16

Newtonovi zakoniNewtonovi zakoni gibanja (aksiomi)gibanja (aksiomi)

1. Newtonov zakon (zakon tromosti)

Ako na tijelo ne djeluje sila, ono ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu.

17

• Svojstvo tijela: tromost ili inercija

• Mjera tromosti tijela – masa

• Jedinica mase je kilogram, gram,..• Produkt brzine i mase se naziva količina gibanja

(jedinica kg m/s)

• Koristi se i naziv veličina gibanja, nalet i impuls

vmprr⋅=

18

2. Newtonov zakon (temeljni zakon gibanja)

Sila masi daje ubrzanje, proporcionalno sili i u smjeru sile:

Sila F i ubrzanje a su vektori istog smjera

Jedinica za silu je njutn, N=kg m/s2

Općenitiji oblik zakona: brzina promjene količine gibanja tijela jednaka je sili koja na njega djeluje.

amFrr⋅=

19

Težina

• Gravitacijska sila korigirana za učinak centrifugalne sile

• Mjeri se kao sila kojom tijelo tlači podlogu ili napinje objesište

• Tijelo mase m=1 kg ima težinu G=mg=9,81 N

G = m·g G = m·g

m m

a) b)

gmGrr

=

Težina tijela je sila kojom Zemlja privlači to tijelo:

20

3. Newtonov zakon (zakon akcije i reakcije)

Ako jedno tijelo djeluje silom na drugo (“akcija”), to drugo tijelo djeluje na ono prvo silom jednakog iznosa ali suprotnog smjera (“reakcija”).

arFFrr

−=

21

Zbrajanje sila (vektora)

• Smjer sile F pokazuje strelica

• Iznos pokazuje duljina (npr. 1cm=1N)

• Hvatište je točka na koju sila djeluje

• Paralelogram sila

F

22

321 FFFFrrrr

++=

1Fr

2Fr

3Fr

Fr

1Fr

0321=++ FFF

rrr

2Fr

3Fr

24

Slobode gibanjaSlobode gibanja

• Pomicanje ili translacija; točke tijela se gibaju po paralelnim pravcima

• Okretanje, vrtnja ili rotacija; točke tijela se gibaju po koncentričnim kružnicama

• Sva gibanja su složena od pomicanja i okretanja• U trodimenzionalnom prostoru postoji 6 osnovnih

gibanja, 3 neovisne translacije i 3 rotacije

A A

B B

C C

B�B�

B�C�

C�

A�

A�

a)r

b)

25

Mirovanje s obzirom na pomicanje

a) b)

F F = −

F

F

F

F F= − F

Tijelo se ne pomiče ako su sile koje djeluju na njega u ravnoteži, tj. ako je njihov vektorski zbroj jednak nuli

0321 =++ FFFrrr

0....4321

1

=+++=∑=

FFFFFn

i

i

rrrrr

21FFrr

−=

26

((G ili G ili WW == tetežžinaina) ) W = m W = m ⋅⋅ g g

Glavna sila koja djeluje na ljudsko tijelo je Glavna sila koja djeluje na ljudsko tijelo je gravitacijska silagravitacijska sila

Stabilnost tijela u odnosu na Stabilnost tijela u odnosu na gravitacijsku silu omogugravitacijsku silu omoguććava struktura ava struktura kostiju ljudskog kosturakostiju ljudskog kostura!!

Gravitacijska sila Gravitacijska sila WW djeluje na tedjeluje na težžiiššte te TTtijelatijela!! TT ovisi o raspodjele mase u tijelu. ovisi o raspodjele mase u tijelu.

27

Da bi se odrDa bi se održžala ravnoteala ravnotežža vektorska a vektorska suma svih sila mora biti nula!suma svih sila mora biti nula!

28

Mirovanje obzirom na okretanje

• Okretanje ovisi o sili ali i o njenoj udaljenosti od okretišta (kraku sile).

• Fizikalna veličina koja opisuje okretanje oko osi naziva se moment sile M.

• Iznos momenta sile je jednak umnošku iznosa sile F i kraka sile k

Ok

F

M Ok

r

F

j

a) b)

kFM ⋅=

29

• Moment sile je vektorska veličina. Matematički se može opisativektorskim umnoškom vektora r, koji spaja okretište s hvatištem sile, vektora sile F:

FrMrrr

×=

• Iznos vektora momenta sile je umnožak iznosa sile i kraka, a vektor stoji okomito na ravninu koju odreñuju sila i krak. To je ravnina vrtnje koju moment sile ubrzava ili usporava. Pravilo desne ruke pokazuje na koju stranu te ravnine je moment sile usmjeren.

30

Uvjeti mirovanja s obzirom na rotaciju

• Sila ili rezultanta više sila prolazi okretištem

• Momenti sila koje djeluju na tijelo meñusobno se poništavaju

111 FkM =222 FkM =

Ravnoteža dva momenta sila

Općeniti uvjet; zbroj momenata svih sila koje djeluju na tijelo jednak je nuli.

21 MMrr

−=

0

1

=∑=

n

i

iMr

31

Tijelo se pokreTijelo se pokrećće silama mie silama miššiićća koje nastaju stezanjem i a koje nastaju stezanjem i rastezanjem mirastezanjem miššiiććnog tkiva Minog tkiva Miššiiććne sile kontroliraju ne sile kontroliraju pokrete tjelesnih ekstremitetapokrete tjelesnih ekstremiteta..

VeVeććina miina miššiiććnih sila koristi polugunih sila koristi polugu

Poluga je tijelo učvršćeno samo jednom osi u okretištu oko koje se može okretati

32

Sile na poluzi

21 MM = 2211 FrFr =

Uvjeti mirovanja obzirom na pomicanje

Uvjeti mirovanja obzirom na okretanje

2211 FkFk =1

2

2

1

k

k

F

F=

A

P

P

A

k

k

F

F==η

Omjer aktivne sile (opterećenje) FA i pasivne sile FB

(reakcije koja uravnotežuje aktivnu silu) naziva seučinkovitost ili efikasnost poluge η.

0321 =++ FFFrrr

33

a) Dvokraka poluga jednakih krakova

b) Dvokraka poluga različitih krakova

c) Jednokraka poluga

F F

F

F

a) b)

c)

k

k

k

k

F

Fkk

Okreti{te

Okreti{te

Okreti{te

Ima različitih klasifikacija poluga, ali fizika je ista:

34

Tri primjera sistema polugeTri primjera sistema poluge, , WW je primijenjena je primijenjena tetežžinaina, , FF oslonoslonacac poluge i poluge i MM je sila mije sila miššiiććaa. .

35

Podlaktica kao

a) Dvokraka poluga

b) Jednokraka poluga

ll

NN

F

kk

G

a) b)

36

Biceps svojom kontrakcijom (sila M) podiže podlakticu i savladava težinu podlaktice H (u njenom težištu) i eventualni teret u dlanu W.

37

38

TrenjeTrenje se javlja izmeñu povr se javlja izmeñu površšininaa kojkojee se se meñusobno stimeñusobno stiššćću i kliu i kližžu jedna u jedna u odnosu na druguu odnosu na drugu

N N -- sila reakcije podloge, sila reakcije podloge, okomita okomita je je na na povrpovrššinuinu (opisuje koliko se povr(opisuje koliko se površšine stiine stiššćću)u)

µµkk koeficijent trenjakoeficijent trenja: : gumaguma: : µµkk ≈≈ 0.80.8zglobovi kostizglobovi kosti: : µµkk ≈≈ 0.0030.003

G

N

Ft

Ubrzanje pri kretanju moUbrzanje pri kretanju možže biti uzrokovanoe biti uzrokovanotrenjem, mitrenjem, miššiiććninimm silama ili vanjskim silama ili vanjskim silama (npr. sudarom sa zidom)silama (npr. sudarom sa zidom)..

NF kt µ=

39

• Sile na kosini: F,G,N,Ft

• G: normalna komponenta GN i tangencijalna komponenta GT

Ukupna sila u smjeru gibanja na tijelo je:

Fuk = F – GT – Ft=ma

Ft=µkN=µkGN

GT

G

α

αGN

F

b

h

l

Ft

N

40

j

F

Smjersile

Smjer puta

F cos j�s

FF

a) b)

Rad, snaga, energijaRad, snaga, energija

• Rad sile F je jednak umnošku te sile i puta s koji prijeñe njezino hvatište, ako stalna sila djeluje u smjeru gibanja hvatišta:

Jedinica za rad je džul (J=N m)sFW ⋅=

Ako stalna sila zatvara kut sa smjerom gibanja:

Ako sila nije stalna, rad se računa pomoću integrala.

W = F s cosφ

41

Snaga je brzina vršenja rada. Ako se rad vrši stalnom brzinom, snaga je jednaka radu izvršenom u jedinici vremena:

P = W / t

• Jedinica snage je džul u sekundi, vat (W=J/s).

Energija je sposobnost vršenja rada. Jedinica za energiju je ista kao i za rad (džul J)

• Energija je neuništiva, te može prelaziti iz jednog oblika u drugi. Energija u prirodi:– Mehanička– Toplinska– Električna– Nuklearna– Svjetlosna

42

mghE p =

Mehanička energija pojavljuje se u dva oblika:� Potencijalna energija Ep (energija položaja, oblika, obujma)� Kinetička energija Ek (energija gibanja)

2

2mvE k =

hEk=0

Ep=maks

h

m mv

a) c)

b)

Ep=0

Ek=maks

43

U zatvorenom sustavu (na koji ne djeluju vanjske sile) zbroj potencijalne energije Ep i kinetičke energije Ek je stalan i jednak ukupnoj energiji sustava E.

E=Ep+Ek