mechanika i. (statika)

Agrdy Gyula Lubly Lszl

MECHANIKA I. Statika

Kszlt a HEFOP 3.3.1-P.-2004-09-0102/1.0 plyzat tmogatsval.

Szerzk: Agrdy Gyula egyetemi adjunktus

dr. Lubly Lszl fiskolai docens

Lektor: dr. Mesk Andrs fiskolai adjunktus

Szerzk, 2006

Mechanika I. A dokumentum hasznlata

A dokumentum hasznlata | Tartalomjegyzk Vissza 3


A dokumentum hasznlata

Mozgs a dokumentumban A dokumentumban val mozgshoz a Windows s az Adobe Reader meg-szokott elemeit s mdszereit hasznlhatjuk.

Minden lap tetejn s aljn egy navigcis sor tallhat, itt a megfelel hivatkozsra kattintva ugorhatunk a hasznlati tmutatra, a tartalomjegy-zkre, valamint a trgymutatra. A s a nyilakkal az elz s a kvet-kez oldalra lphetnk t, mg a Vissza mez az utoljra megnzett oldalra visz vissza bennnket.

Pozcionls a knyvjelzablak segtsgvel A bal oldali knyvjelz ablakban tartalomjegyzkfa tallhat, amelynek bejegyzseire kattintva az adott fejezet/alfejezet els oldalra jutunk. Az aktulis pozcinkat a tartalomjegyzkfban kiemelt bejegyzs mutatja.

A tartalomjegyzk hasznlata

Ugrs megadott helyre a tartalomjegyzk segtsgvel Kattintsunk a tartalomjegyzk megfelel pontjra, ezzel az adott fejezet els oldalra jutunk.

Keress a szvegben A dokumentumban val keresshez hasznljuk megszokott mdon a Szerkeszts men Keress parancst. Az Adobe Reader az adott pozci-tl kezdve keres a szvegben.

Mechanika I. Tartalomjegyzk



Tartalomjegyzk

1. Elsz ............................................................................................. 6 2. Bevezets ........................................................................................ 8 2.1. A mechanika alapelemei, szemllet- s trgyalsmdja .......................... 8 2.2. A mechanika terletei.................................................................................. 8 2.3. A mechanika anyagai ................................................................................... 9 2.4. A mrnki modellalkots..........................................................................10 2.5. A mechanika anyagmodelljei .................................................................... 10 2.6. A mechanika szerkezeti modelljei............................................................ 17 2.7. A mechanika tehermodelljei ..................................................................... 19 2.8. A mechanika szmtsi-viselkedsi modelljei ......................................... 20 2.9. A mechanikai szmtsok pontossga..................................................... 22 2.10. A mechanikai szmtsok eredmnykzlse ........................................ 23 2.11. Ellenrz krdsek ..................................................................................23

3. Erk errendszerek ................................................................... 24 3.1. Az er fogalma ........................................................................................... 24 3.2. Az er defincija ....................................................................................... 25 3.3. Mveletek erkkel......................................................................................29 3.4. Az erk helyettestse ................................................................................35 3.5. Az erk egyenslyozsa.............................................................................61 3.6. Megoszl erk ............................................................................................71 3.7. Ellenrz krdsek ....................................................................................79

4. Srlds ........................................................................................ 83

5. Egyszer tartk ............................................................................ 91 5.1. A knyszerek...............................................................................................91 5.2. A statikai vz...............................................................................................96 5.3. Az egyszer tartk alaptpusai.................................................................. 97 5.4. A tartszerkezet megtmasztottsgnak minstse...........................107 5.5. Ellenrz krdsek ..................................................................................110

6. sszetett tartk ........................................................................... 111 6.1. A tartelemek bels kapcsolata..............................................................111 6.2. A kt tartelem befogott kapcsolata .....................................................111 6.3. A kt tartelem kttmasz kapcsolata ............................................115

Mechanika I. Tartalomjegyzk



6.4. A kt tartelem csukls kapcsolata .......................................................121 6.5. A kt tartelem hrom rudas kapcsolata ..........................................127 6.6. Csukls tbbtmasz gerendatartk .....................................................132 6.7. Feszt- s fggesztmves tartk ........................................................140 6.8. A szimmetria.............................................................................................144 6.9. sszefoglals ............................................................................................146 6.10. Ellenrz krdsek ................................................................................146

7. Rcsostartk ................................................................................149 7.1. A rcsostartk bels kapcsolatainak minstse..................................150 7.2. A rcsostartk csomponti kialaktsa .................................................155 7.3. A rcsostartk hlzati megoldsai .......................................................157 7.4. A rcsostartk alakja................................................................................159 7.5. A rcsostartk rdermeghatrozsi mdszerei .................................160 7.6. Rcsos kialakts sszetett szerkezetek...............................................186 7.7. Ellenrz krdsek ..................................................................................188

8. Bels erk ignybevtelek ........................................................190 8.1. Az ignybevtel fogalma .........................................................................190 8.2. Az ignybevtelek meghatrozsa .........................................................195 8.3. Az ignybevteli fggvnyek brzolsa...............................................198 8.4. Egyszer s sszetett tartk ignybevteli bri..................................213 8.5. Ellenrz krdsek ..................................................................................232

9. Hatsbrk-maximlis brk ..................................................... 233 9.1. A hats s a hatsbra fogalma ..............................................................233 9.2. Az ignybevteli brk s az ignybevteli hatsbrk kapcsolata....234 9.3. Az ignybevteli hatsbrk tulajdonsgai............................................238 9.4. Az ignybevteli hatsbrk ellltsa statikai mdszerrel ...............240 9.5. Az ignybevteli hatsbrk ellltsnak kinematikai mdszere....252 9.6. A hatsbrk leterhelse..........................................................................255 9.7. A hatsbrk mrtkad leterhelse......................................................256 9.8. Az ignybevteli maximlis brk..........................................................257 9.9. Ellenrz krdsek ..................................................................................266

10. Trbeli erk-szerkezetek .......................................................... 268 10.1. Trbeli erk ............................................................................................268 10.2. Trbeli szerkezetek ................................................................................282 10.3. Ellenrz krdsek ................................................................................292

Mechanika I. Elsz



1. Elsz

Tisztelettel s szeretettel kszntjk az Olvast, aki egy nagyon szp, nagy hagyomnyokkal (s nem kevsb nagy jvvel!) rendelkez szakma m-velsre kszlve forgatja ezt a kiadvnyt. Elssorban is btorsgot s kitartst kvnunk ehhez a nem mindig knny, de mindig rdekes stdi-umhoz, amelynek a vgn bszkn mondhatja magt MRNK-nek, olyan szakemberek egyiknek, akik megptettk a piramisokat s a knai nagy falat, a rmai thlzatot s aquaductusokat, a kzpkori katedrli-sokat s a vgvrakat, az EIFFEL tornyot s a Golden Gate hidat, a Szent Bernt alagutat s a GROSSGLOCKNER-Hochalpenstrasse-t, s ezzel megalkottk az ember szmra az lhet, ptett krnyezetet. A MR-NK sz eredeti jelentse pp ezeket az alkot embereket jellte, s az j szakterletek mveli (gpszek, villamossggal, agrriummal foglalkozk) mind egy-egy jelzvel igyekeztek megklnbztetni magukat a klasszikus MRNK fogalmtl. A magyar nyelv a mi szakmnkat valamikor a KULTRMRNK szval jellte, s a klfldi gyakorlatban mg ma is CIVILENGINEER ill. CIVILINGENIEUR a nevnk. Ma itthon ezt a szakterletet az PTMRNK sz fedi le a legjobban. gy ht, br szakmnk fejldsi trendje nem olyan ltvnyos, mint a jrm-ipar, nem olyan gyors, mint az informatik, nem olyan nyeresges, mint a bankszektor, bszkn vllalhatjuk, hogy a mi feladatunk volt s marad az EMBERI KRNYEZET kialaktsa, belertve az pletek, ptm-nyek megvalstst, de belertve a termszeti krnyezet minl tklete-sebb vst, megrzst is. Nem kell teht attl tartanunk, hogy nem ma-rad szmunkra feladat az talakul vilgban, az viszont igaz, hogy feladata-ink hatkony megoldshoz neknk is ismernnk s alkalmaznunk kell a hagyomnyos tuds mellett az j lehetsgeket is. s mg egy gondolat: ez a kiadvny a MECHANIKA trgy megrtsnek, elsajttsnak segtsgre kszlt. Mindig emlkezzenek azonban arra, hogy a szakma NEM tantrgyakbl ll. A mrnkt elssorban egy speci-lis szemllet, a problmalt s -megold (az elsajttott, megismert elm-leti s gyakorlati ismeretek felhasznlsn alapul, de azon sokszor tlmu-tat) vilgszemllet jellemzi, amelyben a fizikai trvnyek, a gazdasgi trvnyek s a jogi trvnyek kztt kell a legjobb megoldst megkeresni. Mikzben teht egy-egy tantrggyal foglalkoznak, mindig prbljk meg az ott tanultakat ms tantrgyak ismereteivel is, s gyakorlati tapasztalataikkal is sszekapcsolni, hogy vgl az egsz megszerzett tudsanyaguk ne csak az ismeretek trhza legyen, hanem a tuds organikus szvete, amely egy-

Mechanika I. Elsz



egy konkrt krds felvetdse esetn a mszaki lehetsgeket a krnyeze-ti hatsokkal, a gazdasgi kvetelmnyekkel s a jogi lehetsgekkel egytt komplexen elemzi, s mindezek figyelembevtelvel hatrozza meg az OPTIMLIS MEGOLDSt. A mrnki munkban mindig egymsnak feszl, egymssal szemben ll felttelek, hatsok kztt kell a megoldst keresnnk, az egyenslyt megta-llnunk. Ez az egyenslykeress jellemzi leginkbb a mrnki munkt:

a szerkezetet r hatsok egyenslya a felhasznlni kvnt anyagok-technolgik s az emberi erfor-

rsok egyenslya a megvalsts kltsgeinek s a mobilizlhat forrsainak egyen-

slya a funkcionalits s az eszttika egyenslya a hagyomny s a modernits egyenslya a dnts s a vgrehajts egyenslya a munka s a szrakozs egyenslya s vgl a mrnk, az ember sajt, bels egyenslya.

Kvnjuk, hogy letkben minden szmonkrsnl (belertve a MECHA-NIKA vizsgkat is!) talljk meg ezt az egyenslyt, s mind trsadalmilag, mind anyagilag elismert, megbecslt emberknt lhessenek, dolgozhassa-nak.

Mechanika I. Bevezets



2. Bevezets

2.1. A mechanika alapelemei, szemllet- s trgyalsmdja

2.1.1. A mechanika helye a termszettudomnyok kztt A MECHANIKA nvvel fizikai tanulmnyaink sorn tallkoztunk el-szr: a MECHANIKA a testek mozgsnak, ill. a testek (elmozdulsi jel-lemzket befolysol) egymsra hatsnak trvnyszersgeivel foglalko-zik. Ily mdon a MECHANIKA trgykre igen szles: a kozmolgia pp-gy hasznlja a MECHANIKA trvnyszersgeit, mint a nanotechno-lgia, a molekulris folyamatok vizsglata.

2.2. A mechanika terletei

A kinematikai vizsglatokban csak a mozgs, mint jelensg tulajdonsgai-val foglalkozunk, figyelmen kvl hagyva a ltrehoz okot, mg a dinamikai vizsglatok a mozgsokat a ltrehoz ok(ok)kal egytt, komplex egysg-ben elemzik. A statika a dinamiknak az a specilis esete, amikor a mozgs zrus rtk, a test nyugalomban van (egy, ltalunk vlasztott, a test el-mozdulsi lehetsgeihez kpest mozdulatlannak tekinthet testhez viszo-nytva).

A MECHANIKA

KINEMATIKA (A MOZGSOK

GEOMETRIJA)

DINAMIKA

STATIKA(A NYUGALOM TUDOMNYA)

KINETIKA (A MOZGS

TUDOMNYA)




2.3. A mechanika anyagai A MECHANIKA MEREV vagy SZILRD testek, FOLYADK vagy GZ llapot anyagok ill. ezek rszecski MOZGSLLAPOTNAK ill. ALAK- MRETVLTOZSNAK vizsglatval, elemzsvel, ssze-fggseinek feltrsval foglalkozik. A mrnki gyakorlatban els kzeltsben a szmts egyszersge miatt elszeretettel ttelezzk fel anyagainkat vgtelen merevnek, de tudjuk, hogy a pontos(abb) eredmnyek elrse, a szerkezetek (tnylegesen min-dig kialakul) alakvltozsainak meghatrozsa csak a szilrd anyagtulaj-donsgok figyelembevtelvel lehetsges. Szerkezeti anyagknt a folykony s gznem anyagokat nem hasznlhat-juk, de a vzptsi mtrgyak tervezse-kivitelezse elkpzelhetetlen a folyadkok mechanikjnak ismerete nlkl, egyre magasabbra tr ple-teink, antennatornyaink szlteherre trtn vizsglatt pedig csak a gzok mechanikjnak ismeretben tudjuk helyesen elvgezni.

A MECHANIKA krben trgyalt anyagok, s azok trgyalsmdja

MEREV SZILRD FOLY-KONY

GZ-NEM

rugalmas kplkeny

MEREV TESTEK STATI-KJA

SZILRD-SGTAN,

RUGALMAS-SGTAN

SZILRD-SGTAN,

KPLKENY-SGTAN

HIDROMECHA-

NIKA HIDRO

DINAMI-KA

GZOK MECHA-NIKJA AERO

DINAMI-KA




2.4. A mrnki modellalkots A mrnki munka sorn a valsgot teljes rszletessggel, minden hats-val brzolni, vizsglni s elemezni nem lehet, de nem is rdemes. A mr-nk els feladata az szszer egyszersts, olyan MODELL alkotsa, ami a vals, vizsgland szerkezetet vagy jelensget minden LNYEGES tulajdonsgban kell pontossggal megkzelti, de emellett a rendelkezs-re ll szakmai s szmtstechnikai erforrsokkal gazdasgosan vizsgl-hat. A modellalkots a szerkezetptsi gyakorlatban ngy szinten valsul meg: a szerkezeti ANYAG, a SZERKEZET, a TERHLS s a VI-SELKEDS modelljnek meghatrozsban.

2.5. A mechanika anyagmodelljei Az anyagmodellek vizsglata sorn az egyirny terhels s az ennek nyo-mn keletkez, ugyanazon irnyban fellp alakvltozs sszefggst elemezzk. A fggvnyeket grafikusan is bemutatjuk. A bemutatott diag-ramok tartalmaznak mg nem definilt fogalmakat is (ezeket a ksbbiek sorn fogjuk trgyalni), de az anyagmodellek jellemz viselkedsnek be-mutatsra gy is alkalmasak.

2.5.1. Merev anyag A mrnki szmtsokat jelentsen egyszersti, ha a szerkezetek anyagait (vgtelen) merevnek tekintjk, azaz felttelezzk, hogy a szerkezetek a terhels folyamata sorn semmilyen alakvltozst nem szenvednek. Ez a tulajdonsg rendkvl elnys, hiszen a terhels folyamatban nem kell tekintettel lennnk a szerkezet alakvltozsnak a terhek elhelyezkedst esetleg mdost hatsra. A valsgban anyagaink sohasem ilyenek, de a szerkezeteinken a legtbb esetben olyan kis mrtk deformci alakul ki, amely a szerkezet alakjt, mg pontosabban a terhels elhelyezkedst csak elhanyagolhat mrtkben vltoztatja meg, gy az eredeti, deformcimentes geometrin elvgzett szmtsok eredmnyei csak elha-nyagolhat mrtkben klnbznek az alakvltozsokat is figyelembe vev szmtsi eredmnyektl. Az ilyen esetekben megengedhet, s a szmtsok szempontjbl igen elnys, ha az anyagot vgtelen MEREVnek tekintjk.

A mrnki szerkezetek vizsglata sorn els kzeltsben figyelmen kvl hagyhatjuk a szerkezet alakvltozst, s a szmtsokat a merev




testekre rvnyes sszefggsek alapjn, a terheket az eredeti alakon m-kdtetve vgezhetjk el (megmerevts elve).

A merev (idealizlt) anyag er-elmozduls diagramja Termszetesen ha a szerkezet alakvltozsnak meghatrozsa a cl, akkor ez az egyszersts nem alkalmazhat, pontosabban: magnak az alakvl-tozsnak a kiszmtsa sorn nem alkalmazhat. Akkor is szmtsba kell vennnk a szerkezet alakvltozsait, ha a defor-mcik miatt (a terhek helyzetnek megvltozsa rvn) a szerkezet igny-bevtelei nveked(het)nek.

A tart alakvltozsa a tehernek a meg-tmasztsoktl mrhet (vzszintes) t-volsgban nem okoz vltozst, a szer-kezet (kicsiny alakvltozsok mellett) megvltozott alakjban is az eredetivel azonosan viselkedik, a szmtsok az eredeti alakon is vgezhetk (I. rend elmlet).

A tart alakvltozsa rvn a tehernek a megtmasztstl mrhet (vzszintes) tvolsga nvekszik, a szerkezet a de-formci rvn kedveztlenebb helyzet-be kerl (tbblet ignybevtelt kap), szl-s esetben tnkremegy, vagy funkcijt veszti, a szmtsok csak a megvlto-zott alakon vgezhetk (II. vagy III. rend elmlet).

er vagy

elmozduls vagy

fajlagos er

fajlagos elmozduls

szakt-tr er vagy szakt-tr szilrdsg




2.5.2. Rugalmas anyag

Az idelisan rugalmas anyag a terhel hatsokra a terhels mrtkvel egyenesen arnyos deformcival vlaszol, s a tehermentests utn eredeti alakjba tr vissza. A rugalmas anyag szerkezet az alakvltozta-tsra fordtott munkt (rugalmas energiaknt) trolja, s az alakvltozst okoz teher megszntetsvel ez az energia vissza is nyerhet.

A rugalmas anyagmodell is idealizlt, de a tnyleges szerkezeti anyagaink a terhelsi folyamat egy-egy szakaszban mind rugalmas viselkedst mutat-nak, vagy legalbbis elfogadhat kzeltssel tekinthetk idelisan rugal-masnak. Ez a leggyakrabban alkalmazott anyagmodell, vizsglatval a MECHANIKn bell egy kln tudomnyterlet, a rugalmassgtan foglalkozik. A rugalmas anyagok krben a terhels-alakvltozs egyenes arnyossga az sszefggsek linearitsa miatt igen elnys trgyals-mdot s szmtsi megoldsokat tesz lehetv. A(z idelisan) rugalmas anyag er-elmozduls diagramja

2.5.3. Kplkeny anyag

Az idelisan kplkeny anyag a terhelsre egyenletesen nveked (a terhe-ls mrtkvel arnyos sebessg) alakvltozssal reagl, s ez a kpl-keny alakvltozs a teher megsznsvel nem tnik el, nem ll vissza, csak nem nvekszik tovbb. A kplkeny anyagok alakvltoztatsra fordtott munka teht az anyagban nem troldik, s gy nem is nyerhet vissza.

er vagy

elmozduls vagy

fajlagos er

fajlagos elmozduls

fajlagos szakad nyls- fajlagos trsi sszenyomds

szakt-tr er vagy szakt-tr szilrdsg




Az idelisan kplkeny anyagok (mint pl. a mz!) tartszerkezeti felhaszn-lsra alkalmatlanok, de pl. szigetelanyagknt ez a tulajdonsg elnys lehet. Tartszerkezeteink anyagai a teher nvelse sorn mind mutatnak kpl-keny tulajdonsgot is. A kplkeny alakvltozsok figyelembevtele azon-ban csak a fggvnykapcsolatok linearitsnak feladsval lehetsges, azaz szmtsaink (esetenknt igen jelentsen) bonyolultabb vlnak. Ugyanak-kor sszetett szerkezetekben a (helyi) kplkeny alakvltozsok megenge-dse lehetv teszi a terhek-ignybevtelek trendezdst, vgs soron a szerkezet teherbrsnak nvelst (az alakvltozsok nvekedse rn). A(z idelisan) kplkeny anyag er-elmozduls diagramja

2.5.4. Merev-kplkeny anyag A(z idealizlt) merev-kplkeny anyag a teher egy (az anyagra jellemz) hatrrtkig, az n. folysi hatrig a terhet alakvltozs nlkl veszi fel, ha viszont a teher ezt az rtket elrte, az anyag tovbbi terheket nem kpes felvenni, s a terhek tartsa mellett is kplkeny viselkedst mutat. A me-rev-kplkeny anyag er-elmozduls diagramja a merev s a kplkeny modell diagramjainak egyestsvel llthat el, ezt kln nem brzoltuk.

2.5.5. Rugalmas-kplkeny anyag A rugalmas-kplkeny anyag az anyagra jellemz folysi hatrig (idelisan) rugalmasan viselkedik, a folysi hatrt elr teherre viszont kplkeny vi-selkedst mutat. A terhet a folysi hatr al cskkentve (visszaterhels) visszanyeri rugalmas tulajdonsgt, s viselkedse az eredeti llapottal azo-nos paramterekkel lerhat rugalmas viselkeds lesz.

er vagy

elmozduls vagy

fajlagos er

fajlagos elmozduls


folysi er vagy feszltsg




A(z idelisan) rugalmas-kplkeny anyag er-elmozduls diagramja

Visszaterhels sorn az ilyen anyagokban az er-elmozduls fggvny az eredeti, lineris szakasszal prhuzamos lesz, azaz a lineris hatrt meghala-d terhekbl mr kplkeny, marad alakvltozsok is keletkeznek, az alakvltoztatsra fordtott energia csak rszben troldik, csak rszben nyerhet vissza, msik rsze az anyagban kplkeny alakvltozst okozva elnyeldik.

2.5.6. Rugalmas-lgyul anyag A rugalmas-lgyul anyag egy jellemz lineris hatrig, a folysi hatrig (idelisan) rugalmasan viselkedik, az ezt meghalad teherre az idelisan rugalmas tulajdonsg szakaszhoz kpest ugyanakkora tehernvekedsre nagyobb alakvltozsnvekedssel reagl, kisebb meredeksg, de szin-tn lineris (bi-lineris) er-elmozduls diagrammal jellemezhet viselke-dst mutat. A rugalmas-lgyul anyagmodell alkalmazsa sorn teht az er-elmozduls sszefggsek egyszeren kezelhet lineris fggvnyek maradnak. A(z idelisan) rugalmas-lgyul anyag er-elmozduls diagramja

er vagyfajlagos er visszaterhels

er vagy

elmozduls vagy

fajlagos er

fajlagos elmozduls


lineris hatr

marad fajlagos alakvltozs

visszaterhels

elmozduls vagy fajlagos elmozduls marad fajl. alakvltozs






2.5.7. Az (idealizlt) anyagmodellek A fentiekben ismertetett anyagmodellek mindegyike idealizlt, a modell tulajdonsgait nem a vals szerkezeti anyagok mrsi adatai, hanem az egyszer szmthatsg, a tiszta viselkeds alapjn vettk fel. A szerkezeti anyagok vals, mrt diagramjai termszetesen mutatnak hasonlsgot, esetenknt igen j egyezst az idealizlt modellek diagramjaival, s ennek alapjn a tnyleges szerkezeti anyagok (legalbbis a terhelsi folyamat egyes szakaszaiban) jl helyettesthetk az idealizlt anyagmodellekkel. A bemutatott anyagmodelleken kvl ms, mg sszetettebb, bonyolultabb, a vals viselkedst jobban kzelt modellek is hasznlatosak, st a szm-tstechnika fejldse lehetv teszi, hogy egy-egy specilis feladatra akr magunk alaktsuk ki a legjobban megfelel anyagmodellt.. A legmegfele-lbb (mr elegenden pontos, de mg elegenden egyszer) anyagmodell kivlasztsa a tervez mrnk egyik igen fontos feladata, amelyhez mind a tnyleges anyagtulajdonsgok, mind a rendelkezsre ll anyagmodellek, mind pedig a szerkezetekre vonatkoz szmtsi eljrsok alapos ismeret-re szksg van. A tnyleges szerkezeti anyagok esetben a vals diagramot mutatjuk be. ACL Az aclt, mint szerkezeti anyagot a megfelel szaktrgyakban a ksbbiek-ben rszletesen fogjk trgyalni, itt most csak tjkoztatsul mutattuk be a leggyakrabban alkalmazott szerkezeti acl jellegzetes diagramjt.

er vagy

elmozduls vagy

fajlagos er

fajlagos elmozduls

fajlagos szakad nyls-


szakt er

szakt feszltsg




BETON A betont, mint szerkezeti anyagot a megfelel szaktrgyban a ksbbiek-ben rszletesen fogjk trgyalni, itt most csak tjkoztatsul mutattuk be a beton egy jellemz (nyom)er-elmozduls diagramjt.

er vagyfajlagos er

elmozduls vagy fajlagos elmozduls

fajlagos szakad nyls

tr er-szilrdsg




2.6. A mechanika szerkezeti modelljei ltalnossgban a terhelt szerkezetnk alakjra semmifle megszortst nem tesznk. Az ilyen esetekre vonatkoz trvnyszersgeket az LTA-LNOS SZILRDSGTAN trgyalja. A legtbb szerkezetnk azonban olyan geometriai kialakts, hogy mretarnyai folytn van dominns di-menzija, amelyhez kpest a msik (a tbbi) mret lnyegesen kisebb, s gy a hatsok vltozsa ezen kis mretek mentn elhanyagolhat, vagy egyszer kzeltssel vehet figyelembe.

2.6.1. Rdszerkezetek Azokat a szerkezeteket, amelyek elemein az egyik (hossz-)mrethez kpest a msik kt irny mret lnyegesen (legalbb egy nagysgrenddel) kisebb, RDSZERKEZETEKnek nevezzk. A rdszerkezet elemei a mechanikai vizsglatok sorn a tengelyvonalaikkal jelenthetk meg.

A zalaegerszegi deltavgny vasti hdja ves trbeli rcsos szerkezet

Matematikailag gy jelenik meg az egyszerstsi lehetsg, hogy a szerkezet pontjaihoz rendelhet hatsok lersra a hatsok hromvltozs fggvnyei helyett egy, a tengely mentn bekvetkez vltozst ler egyvltozs fggvnyt, s egy, a keresztmetszet pontjai kztti vltozst ler ktvltozs fggvnyt alkalmazhatunk.




Mechanikai tanulmnyaink sorn a tartszerkezeteknek csak ezzel a cso-portjval fogunk tallkozni: skbeli s trbeli, tbbnyire egyenes tengely elemekbl sszelltott rdszerkezetekkel fogunk foglalkozni.

2.6.2. Felletszerkezetek Azokat a szerkezeteket, amelyekben az egyik (vastagsgi) mret a msik ketthz viszonytva lnyegesen (legalbb egy nagysgrenddel) kisebb, FELLETSZERKEZETEKnek nevezzk. Ezek vizsglata meghaladja jelen mechanikai tanulmnyaink lehetsgeit, de elnevezsket s viselke-dsk lnyegt mr most clszer megismerni. LEMEZ Azt a ktdimenzis, sk felletszerkezetet, amelyre csak a skjra merle-ges teher mkdik, LEMEZnek nevezzk.

LIFT-SLAB technolgival kszl irodahz fdmlemezei




TRCSA Azt a ktdimenzis, sk felletszerkezetet, amelyre csak a skjval prhu-zamos teher mkdik, TRCSnak (esetenknt faltartnak) nevezzk. A fenti kpen szerepl fdmlemez a vzszintes terhek elosztsban tr-csaknt viselkedik. HJ Azt felletszerkezetet, amely a trben legalbb egy irnyban grblt, HJnak nevezzk.

A sidney-i Operahz hjszerkezete Az oroszlnyi vztorony

A szmtgpes alkalmazsok sok esetben hjknt definiljk a sk, grbletmen-tes felletelemeket is, ha azokra mind a skjukra merleges, mind azzal prhu-zamos teher mkdik.

2.7. A mechanika tehermodelljei A MECHANIKA szmra (ahogyan az anyagokat s a szerkezeteket) a terheket s hatsokat is matematikailag kezelhet formban kell megjelen-tennk, modelleznnk kell. A mrnki szerkezeteinkre hat terhek s ha-tsok kzl a leggyakoribb a slyteher (rszben magnak a tartszerkezet-nek a sajt slya, rszben az ltala hordozott szerkezetek, jrmvek, anya-gok, emberek, stb. slya). E slyteher valjban az anyag minden egyes pontjra mkdik, teht trfogaton megoszl teher. Felletszerkezetek esetben a szerkezet kicsiny vastagsga miatt a slyterhet a vastagsg men-tn sszegezve, az idealizlt kzpfelleten felleti teherknt mkdtet-hetjk. Rdszerkezetekben a keresztmetszet mindkt mrete kicsiny a tart hosszhoz viszonytva, gy a sly a keresztmetszetre koncentrlhat,




s csak a hossz menti, lineris megoszlst kell figyelembe vennnk. V-gl olyan esetekben, amikor a teher igen kis felleten (pontszeren) ad-dik t a tartszerkezetre (akr felletszerkezetre, akr rdszerkezetre) koncentrlt terhet alkalmazhatunk.

Vannak olyan terhelsfajtk, amelyek eleve csak felleti teherknt lteznek (szlteher, hteher, stb.), de megfelel geometriai felttelek esetn ezek is egyszersthetk s helyettesthetk vonalmenti megoszl vagy koncent-rlt teherrel.

Ms megkzeltsben a teher lland teher, ami mindig mkdik a szer-kezeten (pl. nsly), esetleges teher, ami vletlenszeren terheli a szerke-zetet (pl. hasznos teher, meteorolgiai terhek) s rendkvli teher, ami csak igen kis valsznsggel fordul el az lettartam sorn (pl. fldrengs, vezetkszakads, jrm-tkzs). A szerkezet terheibl a legkedveztle-nebb, n. mrtkad teher meghatrozsi mdjt szablyzatok rjk el, ezzel a szaktrgyakban fognak megismerkedni. A MECHANIKban a teher jellegvel nem kell foglalkoznunk, csak hatsait kell meghatroz-nunk.

2.8. A mechanika szmtsi-viselkedsi modelljei A mechanikai szmtsokban az alkalmazott anyagtulajdonsgokat, a szer-kezeteket, a terheket is egyszerstett, matematikailag kezelhet modellek-kel szerepeltetjk. Vgl a megkvnt, elvrhat pontossgot kielgt kzelt felttelek alkalmazsval a szerkezetek viselkedst lekpez sz-mtsi eljrsokat is egyszersthetjk, modellezhetjk.

2.8.1. Megmerevtett modell Az anyagmodellek trgyalsnl lttuk, hogy a merev testekben a terhekbl semmifle alakvltozs nem keletkezik, gy a szmtst mindig az eredeti geometriai adatokon lehet elvgezni. Az gy leegyszerstett viselkedsi modellt alkalmazzuk a STATIKA trgykrben.

2.8.2. I. rend viselkedsi modell Ha a szerkezet alakvltozsaira is szksgnk van, akkor a merev anyag-modell helyett a szilrd anyag-modellre kell ttrnnk. Ugyanakkor lttuk, hogy a gyakorlati szerkezetek s terhek tbbsgben a keletkez kis el-mozdulsok a terhek pozcijban, s gy hatsban csak elhanyagolhat mrtk vltozst okoznak, gy a megtmasztsokra add hatsok meg-hatrozsra az eredeti, deformlatlan szerkezeti geometria alkalmazhat.




Az I. rend elmletben a hasznlt (esetenknt egyszerstett) fggvny-kapcsolatok linerisak, gy a kln-kln mkdtetett terhek hatsainak sszege (a szmtott elmozdulsokban is!) megegyezik az egyttesen m-kd terhekbl szmthat hatssal, azaz az egymsra halmozs alkalmaz-hat.

Az I. rend elmletben a szilrd anyagmodellen s a deformlatlan geo-metrin mr szmtjuk a keletkez alakvltozsokat, de elhanyagoljuk en-nek (vissza)hatst a szerkezet viselkedsben. Mrnki szmtsaink tl-nyom tbbsge az I. rend elmlettel vgezhet.

2.8.3. II. rend viselkedsi modell Ha a szerkezet deformcija a teher pozcijban kedveztlen vltozst okoz, akkor az alakvltozs visszahatst mg akkor sem hanyagolhatjuk el, ha az a szerkezet mreteihez kpest kicsiny mrtk. Ilyen esetekben rvnyben tarthatjuk az elmozdulsszmtsban alkalmazott linearizl kzeltseket, de a kiszmtott elmozdulsokkal korriglt geometrin jra el kell vgeznnk a szmtsokat. Ltjuk, hogy ez egy iteratv folyamat lesz, aminek egyik kvetkezmnye, hogy a terhek-hatsok egymsra halmozha-tsga megsznik, msik kvetkezmnye pedig, hogy bizonyos szerkezet-teher-geometria kombincikban ez az iterci divergens eredmnyt ad, azaz a szerkezet nem kpes a megadott kombinciban a terhek viselsre.

A II. rend elmletben a szilrd anyagmodellen s a deformlt geometrin vgezzk iteratv mdon a szmtsokat, de az alakvltozsok szmts-ban rvnyben tartjuk a kis elmozdulsokra rvnyes linearizl kzelt-seket. Ezt a szmtsi eljrst kell alkalmaznunk pl. stabilitsra rzkeny, kzpontosan vagy klpontosan nyomott elemek vizsglata sorn, ill. lapos ktelek-ktlhlk, vek, hjak stb. vizsglata sorn.

2.8.4. III. rend viselkedsi modell Ha a szerkezet alakvltozsai olyan mrtkek, hogy emiatt a szerkezet geometrija is jelentsen mdosul, akkor az elmozdulsok kzelt, line-ris szmtsa nem ad kielgt pontossgot. Ilyen esetben pontosabb, a trigonometriai sszefggseken alapul eljrst kell alkalmaznunk.




A III. rend elmletben a szilrd anyagmodellen s a deformlt geometri-n vgezzk iteratv mdon a szmtsokat, s az alakvltozsok szmt-sban a vals, trigonometriai sszefggseket alkalmazzuk. A III. rend elmlet alkalmazsra igen ritkn (pl. hjszerkezetek horpadsi vizsglata sorn, nagy belgs ktelek-ktlhlk vizsglata sorn van szksg).

2.9. A mechanikai szmtsok pontossga A MECHANIKA mrt fizikai mennyisgekkel dolgozik (mretek, terhek, ellenlls, alakvltozs), gy bemen adatai is mindig hibval terheltek (va-lsznsgi vltozk). gy is felfoghatjuk, hogy minden adathoz egy t-rsmez tartozik, s a tnyleges rtk e trsmezn bell brmi lehet. Ha konkrt trsmezt nem rendelnk az adatokhoz, akkor a szmadat rt-kes jegyei alapjn llapthatjuk meg az adat pontossgt. Pldul:

MRT RTK TRSMEZ A LEHETSGES TNYLEGES R-TK

1,2 m 1 % 1,188 m 1,212 m 1,2 m 0,1 % 1,1988 m 1,2012 m 1,2 m nincs megad-

va 1,15 m 1,24 m

1,20 m nincs megad-va

1,195 m 1,204 m

1,200 m nincs megad-va

1,1995 m 1,2004 m

0,0012 km nincs megad-va

1,15 m 1,24 m


1,195 m 1,204 m


1,1995 m 1,2004 m

Az adatokkal vgzett mveletek sorn a vletlenszer hiba halmozdik. Minthogy az ptiparban a geometriai adatokban cm rend (aclszerkeze-tek esetben mm rend) pontossg vrhat el, a terhek felvtelnl pedig ennl is nagyobb a bizonytalansg, szmtsainkban az eredmnyt 1 % trsmezvel helyesnek fogadhatjuk el. Ahhoz, hogy ezt a felttelt az




eredmnyeinkben teljesteni tudjuk, a szmts sorn az adatokat legalbb egy nagysgrenddel pontosabban kell felvennnk.

A mechanikai szmtsokban ngy-t rtkes jeggyel kell dolgozni, ennl tbb jegyet figyelembe venni viszont flsleges, mert az adatok bi-zonytalansga miatt ezeknek a jegyeknek mr nincs informcitartalma.

2.10. A mechanikai szmtsok eredmnykzlse A MECHANIKA eljeles fizikai mennyisgekkel dolgozik, gy az eredm-nyek megadsnl a mrtkegysg kzlse mindig ktelez!! Emellett az eredmnyek hibalehetsgnek cskkentsre az eredmny grafikus jelt, irnyt is meg szoktuk adni. Mechanikai szmtsaink eredmnyeit mindig a kvetkez formtumban kell megadni:

eljel mrszm (4-5 rtkes jegyre) mrtkegysg irny

2.11. Ellenrz krdsek Sorolja fel a mechanika terleteit! Mi a klnbsg a vgtelen merev s a szilrd test kztt? Sorolja fel a legfontosabb mechanikai anyagmodelleket! Mi jellemzi a merev anyagmodellt? Mi jellemzi a rugalmas anyagmodellt? Mi jellemzi a kplkeny anyagmodellt? Mi jellemzi a merev-kplkeny anyagmodellt? Mi jellemzi a rugalmas-kplkeny anyagmodellt? Mi jellemzi a rugalmas-lgyul anyagmodellt? Mi jellemzi a rdszerkezeteket? Mi jellemzi a felletszerkezeteket? Milyen teherfajtkat ismer? Milyen mechanikai szmtsi-viselkedsi modelleket ismer? Hogyan definilhat az I. rend viselkedsi modell? Hogyan definilhat az II. rend viselkedsi modell? Hogyan definilhat az III. rend viselkedsi modell?

Mechanika I. Erk errendszerek



3. Erk errendszerek

Mechanikai tanulmnyaink els szakaszban a szerkezetek egybknt kicsiny sajt deformciit elhanyagolva a merev testek statikjval foglalkozunk.

3.1. Az er fogalma Mrnki szerkezeteinket klnbz hatsok rik, s ahhoz, hogy megfele-l szerkezeteket konstrulhassunk, ismernnk kell ezeket a terhel hatso-kat, s szmolnunk kell velk. A szmtsokban viszont csak olyan meny-nyisgekkel tudunk dolgozni, amelyek mrhetk, szmszersthetk, amelyek matematikailag kezelhetk. A matematika rszben pp a gyakorlati mrnki ignyek nyomn sokfle mennyisg fogalmt s a kezelskre alkalmas algoritmusokat mr megalkotta, gy a terhel hat-sok jellege, tulajdonsgai alapjn kivlaszthatjuk a kezelskre legalkalma-sabb matematikai fogalmakat s eljrsokat.

3.1.1. A szerkezeteinket r hatsok Mozgsllapot-vltoztat hats Kt test egymsra hatsa akr kzvetlen rintkezs nlkl is megvalsul-hat: a gravitcis hats, a mgneses-elektromos tr hatsa, vagy kzvetlen rintkezssel az tkzs a testek mozgsllapott (sebessgt, gyorsul-st) megvltoztatja. A mrnki szerkezetekben azonban igen ritkn alkal-mazunk mozg elemeket, s azok is lass mozgsak (zsilipkapuk, forg-emelhet hidak, emelt fdmek, vztorony-kelyhek, betolt hidak, stb.), gy a tnyleges mozgst megvltoztat hats kvl esik az ptmrnki gyakorlat rdekldsi krn. Tudjuk azonban, hogy a nyugalmi helyzet csak egy specilis mozgsl-lapot, amikor egy ltalunk vlasztott bzishoz (a mrnki gyakorlatban ltalban a talajhoz) viszonytott mozgs zrus rtk. A nyugalmi llapot-ban lv testekre hat gravitci, elektromos-mgneses tr a testek nyu-galmi llapott meg akarja vltoztatni, s ennek megakadlyozsa a mi feladatunk. E tekintetben teht a testek egymsra hatsbl (elssorban a gravitcibl) fakad mozgsllapot-vltoztat hatssal is foglalkoznunk kell.




Alakvltoztat hats A mrnki gyakorlatban a testek egymsra hatsa leginkbb alakvltozta-t hatsknt jelenik meg (pl. slyteher vagy hmrskletvltozs hatsra bekvetkez alakvltozs). Ezek az alakvltozsok a tnyleges szerkezete-inkben a szerkezeti mreteknl nagysgrendekkel kisebbek, gy a szer-kezet geometrijt (a legtbb esetben) alig befolysoljk. Szerkezeteink vizsglata sorn teht tudjuk, hogy keletkeznek deformcik, s (a ksbbiekben) meg is ismerjk ezek meghatrozsi mdjt, de a szmunk-ra legfontosabb feladat, a nyugalmi llapot biztostsa sorn ezek szmba vtele elhagyhat.

A szilrd anyag szerkezeteinket a nyugalmi llapot vizsglata sorn az bred alakvltozsok elhanyagolsval merev testekknt kezelhetjk; ez a megmerevts elve.

Mretvltoztat hats Szerkezeteink terhelse sorn elfordul olyan eset is, amikor a terhel hats nyomn sem a mozgsllapot, sem az alak nem vltozik, csak a szer-kezet mrete (ilyen lehet a gmb alak gztartlyok mretvltozsa a nyoms megvltozsakor, az egyenes rd mretvltozsa egyenletes h-mrskletvltozs hatsra, stb.). Megllapthatjuk azonban, hogy ezek az esetek valjban az alakvltozsi hats vizsglatra vezethetk vissza, hiszen az egsz szerkezeten csak mretvltozst okoz hatsok a szerkezet rszein-elemein alakvltozsokknt jelennek meg.

3.2. Az er defincija A testek egymsra hatst valamilyen mrhet, matematikailag is kezelhet mennyisgknt kell meghatroznunk.

A testek egymsra hatsnak mrtkt ER-nek nevezzk.

3.2.1. Az er tulajdonsgai A testek egymsra hatst a hats nagysgval, irnyval s tmadsi pont-jval jellemezhetjk.




Az ert nagysga, irnya s tmadspontja hatrozza meg (az irny helyett szoks az irnyts nlkli hatsvonalat s az ezen felvett irnytst, rtelmet kln megklnbztetni).

Mindezek alapjn az er matematikailag helyhez kttt vektormennyi-sgknt kezelhet. A merev testek statikjban, a testek alakvltozs-nak elhanyagolsa esetn a tmadspontnak nincs jelentsge, mert az er a hatsvonala mentn (hatsnak megvltozsa nlkl) eltolhat.

3.2.2. Az er megadsa A helyhez kttt vektort akkor tekinthetjk ismertnek, ha egyrtelmen meghatrozott a hely, s egyrtelmen meghatrozott a vektor. A hely azonostshoz a skban kt adat, a trben hrom adat szksges, a (szabad) vektor azonostshoz a skban kt adat, a trben hrom adat szksges. A szmtsok sorn tbbnyire a koordintageometria eszkztrt alkal-mazzuk, ehhez az er helyt a hatsvonal egy pontjnak kt (a trben hrom) koordintjval, a (szabad) vektort pedig kt (a trben hrom) tengelyirny vetletvel azonosthatjuk. Szerkesztses megoldsokban a vektor nagysgval s egy bzisknt el-fogadott flegyenestl szmtott hajlsszgvel is azonosthat. A szer-kesztsekben az erk helyt lptkhelyes geometriai brn szoks meg-adni.

A szmtsi feladatokban az esetek tlnyom tbbsgben a derkszg koordi-ntarendszer alkalmazsa a legclszerbb, de elfordulhatnak tengely- ill. pont-szimmetrikus feladatok, amelyekben a henger-, vagy a gmbi koordintarendszer alkalmazhat clszeren.

Az ltalnos lls erk koordintatengely-irny hatst ktflekppen is megjelenthetjk. Az ert helyettesthetjk vele azonos hatst kifejt, de koordintatengely-irny erkkel, amelyeknek termszetesen sajt vekto-ruk s hatsvonaluk van (a helyettest erk hatsvonalainak a helyettes-tend er hatsvonaln kell metszdnie). Ezeket a tengelyirny helyette-st erket sszetevknek (komponenseknek) nevezzk. A szmtsban a felvett koordintarendszer a tengelyirnyokat kitzi, gy gyakran az erket elegend a tengelyekre vettett (skalr) rtkkkel szere-peltetni. Az erk (vektorainak) koordintatengelyekre vettett rtkeit az er vetleteinek nevezzk.




A skalrvetletekbl a vektorsszete-vket a tengelyirny egysgvektorokkal trtn szorzssal kaphatjuk meg (ez a szorzat a helyinformcit nem tartalmaz-za, ezrt nevezzk az gy kapott mennyi-sget vektorsszetevnek). Az er vektornagysga s llsszge s a vetletnagysgok kztt trigo-nometriai vagy pitagoraszi sszefggsekkel teremthetnk kapcsolatot. FX=|F|cosF FY=|F|sinF ill. (|F|)2=(FX2+FY2) Az szget az X tengely pozitv gtl az ra jrsval megegyez pozi-tvsggal szoks felvenni. Ha az szget a teljes 360-os tartomnyban rtelmezzk, akkor a trigonometriai sszefggsek eljelhelyesen adjk meg a vetletek rtkeit. Ha az szget csak a 0-90-os tartomnyban rtelmezzk, akkor a vetletek eljeleit szemlletbl kell megllapta-nunk. Ha az hajlsszg nem ismert, az er hatsvonalval prhuzamos tfogj, a tengelyekkel prhuzamos befogj derkszg hromszg s az F-FX-FY vektorhromszg hasonlsga alap-jn is meghatrozhatk az er vetletei.

3.2.3. Az er hatsai Az erknek a testekre vonatkoz elmozdt hatst az erfogalom kifejt-se sorn trgyaltuk. A testek skbeli-trbeli kiterjedse miatt azonban az eltol hats mellett az elfordt hatssal is szmolnunk kell.

FY=FYj FX=FXi

F FX

FY

FY

FX

Y

X ij

F

F YA-B

XA-B

Y

X

A

B

FXFY

F

|FY| |F| =

YA-B(XA-B2+YA-B2)

|FX| |F| =

XA-B(XA-B2+YA-B2)




A hatsvonalak kzs metszs-pontja miatt az erk a testet csak eltolni akarjk, elfordt hats nem lp fel.

Az elbbi esettel azonos vektor, de hatsvonalaikban nem kzs met-szspont erk a testre az eltol hats mellett elfordt hatst is kifejtenek.

Az er(k) ltal a sk P pontjra (a tr t tengelyre) kifejtett forgat hatst az er(k) P pontra (t tengelyre) vonatkoz nyomatknak nevezzk.

Az elforgat hats az er nagysgtl s a forgskzppont helyzet-tl fgg.

Az F ernek a P pontra vonatkoz nyomatka az F er nagysgnak s az F hatsvonala s a P pont merleges tvolsgnak (erkar=k) szor-zataknt szmthat. Az er nyomatkt az sszetevk (nem a vetle-tek!) ugyanazon pontra vett nyomatksszegeknt is meghatrozhatjuk.

P P

F

P P P P

Fk F




A forgatnyomatk eljelt az ra-mutat jrsval megegyez forgs-irny esetn tekintjk pozitvnak. Ha a fenti sszefggsbe az erssze-tevket s a koordintkat eljelhelye-sen helyettestjk be, a forgatnyoma-tkot eljelhelyesen kapjuk.

3.3. Mveletek erkkel

3.3.1. Az egyenrtksg Az erkkel-errendszerekkel vgzett mveletek clja jobbra kt ercso-port hatsazonossgnak kimutatsa, bebizonytsa. Ezt a clt tmren, mg a matematikai-szerkesztsi lpsek eltt clszer rsba foglalni.

A kt ercsoport hatsazonossgt kimond egyenlsget egyenr-tksgnek nevezzk. Az egyenrtksgben (vagy ms nevn: egyens-lyi kijelentsben) mindkt oldalon csak az erk felsorolsa szerepel. Az egyenrtksgben (megklnbztetsl) az egyenlsgjel fl pontot is tesznk.

A fenti egyenrtksg szerint az (F) errendszer minden hatsban azonos az R (ered) ervel. Az egyenrtksg alapjn minden olyan ma-tematikai egyenlet, szerkesztsi sszefggs alkalmazhat, ami a fenti hatsazonossgot biztostja.

3.3.2. A statika aximi Vannak a statikban is olyan teljesen termszetes, a gyakorlatban mindig rvnyesl, de (kiindulsi pont hjn) szigor logikval nem bizonythat lltsok, amelyeket alapigazsgoknak, aximknak minstve a tovbbi lltsaink mr bizonythatk. A statikban ngy aximt fogalmazunk meg. A kvetkezkben ezen alapigazsgok szveges, s grafikus megfo-galmazst foglaltuk ssze.

F FX

FY

YT

Y

X

kF(P)

XTXPYPP

T F

MF(P)=-|F|kF(P)

MF(P)=-FX(XT-XP)+FY(XT-XP)

(F1,F2,F3,,Fi,,Fn)=R




1. axima: KT ER AKKOR S CSAK AKKOR VAN EGYEN-SLYBAN, HA HATSVONALUK KZS, VEK-TORUK ELLENTETT.

2. axima: HROM ER AKKOR S CSAK AKKOR VAN EGYENSLYBAN, HA HATSVONALAIK KZS METSZSPONTAK, VEKTORAIKBL PEDIG ZRT, NYLFOLYTONOS VEKTORHROMSZG KPEZHET.

3. axima: EGY ERRENDSZER HATSA NEM VLTOZIK, HA NMAGBAN EGYENSLYBAN LV ER-CSOPORTOT ADUNK HOZZ, VAGY VESZNK EL BELLE.

4. axima: KT TEST EGYMSRA HATSAKOR A KT TEST LTAL EGYMSRA KIFEJTETT ER EGYMS ELLENTETTJE LESZ (hatsvonaluk azonos, vekto-ruk ellentett, DE: MS-MS TESTRE MKD-NEK!).

F2 F2

(F1,F2)=0F2 F2

(F1,F2)=0

F2F2

(F1,F2)=0

(F1,F2,F2)=0

F1 F2

F3F1F2 F3

(F1,F2,,Fi,,Fn)=R (Q1,Q2,,Qi,,Qn)=0 [(F),(Q)]=R

[(F),(Q)]=R (Q)=0 (F)=R

F12

1F21 2

1 F21

F122 F21=-F12




3.3.3. Kt prhuzamos er eredje Prhuzamos erk esetn az ered nagysga s llsa igen knnyen meg-hatrozhat: az ered hatsvonala az erk hatsvonalaival prhuzamos lesz, az ered nagysga pedig az ernagysgok algebrai sszegeknt addik. Az ered helynek meghatrozshoz a szmtsban az erk for-gatnyomatkainak azonossgt hasznljuk fel, a szerkesztsben pedig segderket vesznk figyelembe. Egy irnyban ll kt prhuzamos er eredje a kt er hatsvonala k-ztt, a nagyobbik abszolt rtk erhz kzelebb van (az ered az ernagysgokkal fordtott arnyban osztja a kt er kztti tvolsgot). Ellenkez irnyban ll kt prhuzamos er eredje a kt er hatsvo-naln kvl, a nagyobbik abszolt rtk er oldaln van (az ered s az erk tvolsgai az ernagysgokkal fordtott arnyban alakulnak). Ellenkez irnyban ll, azonos abszolt rtk kt prhuzamos er eredjnek ervetlete zrus, az errendszer nyomatka viszont a sk brmely pontjra azonos: az ernagysg s a hatsvonalak kztti tvol-sg szorzata. Az ilyen tulajdonsg errendszert erprnak, koncentrlt nyomatknak nevezzk.

F1 F2R

kF1(R) kF2

(R)

R=F1+F2MR

(R)=0=-F1kF1(R)+F2kF2

(R) F1kF1

(R)=F2kF2(R)

kF2(R)

F2

F1kF1

(R)=

(F1,F2)=R|F1|




Kt prhuzamos er eredjnek helyt (segderk felvtelvel) meg is szerkeszthetjk. Vlasszuk meg a vektorbra lptkt gy, hogy az S segder vektora ppen megegyezzk az S hatsvonalnak az F1 s F2 hatsvonala kz es szakaszval. gy (kivtelesen) a geometriai s a vektorbrt egyestve szerkeszthetjk meg. Az S er vektornak folytatsban (az F2 hatsvonalra!!) felmrve az F1 er vektort, a vektorbra kezd- s vg-pontjt sszektve az R1 rszered vektort, s egyttal (minthogy a vek-torbra kezdpontja az S s F1 erk hatsvonalainak metszspontja volt) hatsvonalt kapjuk. Teljesen hasonl mdon az F2 er vektort az F1 hatsvonalra felmrve az S s az F2 erk vektorainak nylfolytonos vek-torbrjt kapjuk, amely az R2 rszered vektort s egyttal hatsvona-lt jelli ki. Az R1 s R2 rszeredk eredje az eredeti F1 s F2 erk ered-jvel azonos, helyt (hatsvonalnak egy pontjt) az R1 s R2 rszeredk hatsvonalainak metszspontja hatrozza meg. A tnyleges szerkesztsben mr nem szksges a teljes gondolatmenetet mindig vgigvezetni, elegend annyit megjegyezni, hogy az F1 er vekto-rt az F2 hatsvonalra, az F2 vektort az F1 hatsvonalra tetszleges helyen felmrve az egyik vektor kezdpontjt a msik vektor vg-pontjval sszektve a kt segdegyenes metszspontja az eredeti erk eredjnek hatsvonalt jelli ki. A szerkeszts ellenttes rtelm erk esetn is alkalmazhat. Erpr esetn a prhuzamosok kz zrt prhu-zamosok ttele miatt a vektorok kezd- s vgpontjait sszekt egyene-sek is prhuzamosak lesznek, azaz az (egybknt zrus nagysg) ered er a vgtelenben lesz, azaz az erpr csak forgatnyomatkkal rendel-kezik.

F1

S S

R

R1 R2

F1 F2

SF2

Az F1 s F2 erk hatsvonalainak prhuzamos-sga miatt az ered helyt a hatsvonalak met-szspontjval nem lehet meghatrozni. Ad-junk hozz az (F) errendszerhez egy S s Serkbl ll, az F erk hatsvonalait metsz, nmagban egyenslyban lv errendszert!

(F2,S)=R2

(F1,F2)=R

(S,S)=0 a harmadik axima szerint:(S,F1,F2,S)=R(S,F1)=R1(R1,R2)=R




3.3.4. Egy er s egy erpr eredje Egy koncentrlt er a sk brmely pontjra azonos eltol hatst, s vltoz elfordt hatst fejt ki, egy erpr pedig a sk brmely pontjra azonos elfordt s zrus eltol hatst fejt ki. Ebbl kvetkezik, hogy eredjk az eltol hatst csak az ertl rklheti, vagyis az ered vekto-rnak ill. vetleteinek az er vektorval ill. vetletnagysgaival meg kell egyeznie. Az erprban megtestesl elfordt hatst az ered (n-magval prhuzamos) eltolsval ptolhatjuk. Az eljrs tetszleges lls er esetn alkalmazhat. Ha az erhatsvonalra merle-ges tengellyel dolgozunk, akkor a merleges kart szol-gltatja, ha a szoksos koor-dintatengelyeket hasznljuk, akkor a mdszer az er s az ered tengelymetszkeinek klnbsgt adja. Kicsit ms gondolatmenettel is ugyanerre az eredmnyre jutunk: helyettestsk az M erprt egy S s egy S* ervel (ezt vgtelen sokflekpp megtehetjk). Vegyk fel az S ert gy, hogy hatsvonala az F hatsvonalval azonos legyen, vektora pedig az F vektornak ellentettje legyen. Ez esetben az S* er vektora az F vektorral azonos lesz, helyt pedig gy kaphatjuk, hogy az S-S* erpr forgatnyomatka mind rtkben, mind eljelben egyezzk meg az M erpr forgat hatsval. Ennek alap-jn az S s az S* erk kztti merleges tvolsgot a kF(R)=M/F hnyados szolgltatja. Az F s az S erk kzs hatsvonalak s ellentett vekto-rak lvn egyenslyban vannak, elvtelk nem vltoztatja az errend-szer hatst, azaz az ered maga az S* er lesz.

F

M

R

kF(R)

F=RMF

(R)+M=MR(R)=0

MF(R)=-FkF

(R)=M

kF(R)=M/F

(F,M)=R

M=(S,S*) (F,M)=R

(F,S,S*)=R (F,S)=0

S*=R

F

MR

kF(R)

S

S*




Egy er s egy erpr eredjt gy kapjuk, hogy az ert nmagval prhuzamosan eltoljuk, olyan irnyba s olyan mrtkkel, hogy az eltolsbl szrmaz nyomatkvltozs az erpr hatst ptolja.

3.3.5. Az er pontra reduklsa Egy ernek egy ismert ponton tmen ervel s egy vele egyidejleg mkdtetett koncentrlt nyomatkkal trtn helyettestst az er pontra reduklsnak nevezzk. A pontra redukls valjban az elz pontban ismertetett feladat, az er s erpr eredmeghatrozsnak in-verz feladata. Ennek megfelelen az ismert A ponton tmen er vektor-nak kell ptolnia az eredeti F er elto-l hatst, teht az A er vektora ill. vetletei az F er vektorval, ill. vetleteivel azonosak lesznek. Az A pontra az A er nyomatka zrus, az F er ltal az A pontra kifejtett forgat hatst teht az MA nyomatk-nak kell ptolnia.

3.3.6. Az erk mrtkegysge A koncentrlt erk mrtkegysge a N, vagy annak megfelel prefixum-mal elltott tbbszrse. A forgatnyomatk mrtkegysge (a szrmaztatsnak megfelelen) Nm, ill. ennek megfelel prefixummal elltott tbbszrse.

F=A

MA=+FkF(A)

F=(A,MA)

A

MA

F

kF(A)A




3.4. Az erk helyettestse

A helyettestsi feladatban olyan ert vagy ercsoportot keresnk, amely kielgti az elre meghatrozott feltteleket, s az eredeti er-rendszert minden hatsban ptolni, helyettesteni kpes. Ha az ere-deti errendszert egyetlen er kpes helyettesteni, ezt az ert az errend-szer eredjnek, ered ernek nevezzk.

Az erk hatsainak trgyalsa sorn megllaptottuk, hogy egy (merev) testre az erk eltol s elfordt, az erprok (koncentrlt nyomatkok) csak elfordt hatst fejtenek ki. Ennek alapjn rgzthetjk, hogy

a csak erprokbl ll errendszer eredje csak erpr lehet a hatsvonalaikkal egyetlen pontra illeszked erk esetben az

ered er hatsvonala is erre a pontra illeszkedik (az ered ha-tsvonaln ennek a pontnak rajta kell lennie)

az eltol hatsaikban (azonos irny vetleteikben) zrust ad errendszerek eredjnek az eltol hats irnyban ll ten-gelyre vett vetlete zrus

a mind eltol hatsaikban (skban kt, nem prhuzamos tengely-re, a trben hrom, pronknt nem prhuzamos tengelyre vett ve-tleteikben), mind pedig elfordt hatsaikban (a skban a skra merleges tengelyre szmtott, a trben hrom, pronknt nem prhuzamos tengelyre szmtott nyomatkaikban) zrust ad er-rendszer eredje zruser, azaz az errendszer egyenslyban van.

3.4.1. Helyettests egyetlen ervel az ered meghatrozsa A fentiekben sszefoglalt ltalnos megllaptsoknak megfelelen az er-rendszert helyettest egyetlen er vetleteinek (nyomatknak), ill. szer-keszts esetn vektornak meg kell egyeznik a helyettestend errend-szer ugyanazon tengelyekre (pontokra) vett, sszegzett vetleteivel (nyo-matkval), ill. vektorsszegvel. Ennek megfelelen zrus vetletsszeg esetn az erednek a vizsglt tengelyre nincs vetlete, teht hatsvonala a tengelyre merleges. Ha a helyettestend errendszer vetletsszege minden (a skban: kt, nem prhuzamos, a trben: hrom, pronknt nem




prhuzamos) tengelyre zrus, akkor az errendszer (egyetlen) ervel nem helyettesthet.

Az ered meghatrozsa szmtssal Az egyenrtksg: A vetleti egyenletek:

X

n

iiX RF =

=1 Y

n

iiY RF =

=1 Z

n

iiZ RF =

=1

Vegyk szre, hogy az ered vetleteinek ellltshoz csak a helyettes-tend erk vetleteinek sszegeire volt szksgnk. Ezek ismeretben az ered er vektora a (trbeli) Pitagorasz-ttel alkalmazsval llthat el: ( )222 ZYXZYX RRRRRRR ++=++= Az ered llst, a koordintatengelyekkel bezrt szgeinek rtkt az n. irnykoszinuszok meghatrozsval kaphatjuk meg:

RRX

X =cos RRY

Y =cos RRZ

Z =cos Ha a helyettestend errendszerben tallhat olyan pont, amelyen min-den hatsvonal keresztlmegy az errendszer kzs metszspont erkbl ll , akkor az ered vektort ehhez a ponthoz illesztve a helyet-test er, az ered helyt is megkaptuk.

Ha a helyettestend errendszer eri nem kzs metszspont erk, ill. a helyettestend errendszerben erpr(ok) is van(nak), akkor amennyiben ltezik az ered vektort, ill. vetleteit a kzs metszs-pont errendszerrel azonos mdon, vetleti egyenletekbl kaphat-juk meg.

Az ered helynek meghatrozshoz azonban az erk elforgat hatst, az erk nyomatkt kell felhasznlnunk: az ered (mr ismert) vektor-nak olyan pozciban kell lennie, hogy az ltala kifejtett elforgat hats az egsz errendszer ltal kifejtett, sszegzett elforgat hatssal legyen azo-nos. Ezt az sszehasonltst a sk brmelyik pontjra (a trben brmelyik, nem prhuzamos tengelyprra) felrhatjuk, az egyenlet megoldsa minden-kppen az ered vals helyt, pontosabban: az ered hatsvonalnak

( ) ( )ZYXni RRRRFFFFF ,,,....,,....,, 321 ==




egy pontjt szolgltatja. Minthogy az ered vetleteit, s ezltal vektort mr meghatroztuk, a hatsvonal egy pontjnak ismerete a vektor lls-nak, irnykoszinuszainak ismeretben az ered hatsvonalt is teljesen meghatrozza.

A sk egy tetszleges P pontjra felrva a nyomatki egyenletet, abban csak egy ismeretlen, az ered hatsvonalnak a P ponttl mrhet kRP karja szerepel. A P pont, a hatsvonal llsa s a kar ismeretben az ered hely-zete egyrtelmen meghatrozhat (az egyenletben mind az erk, mind a koncentrlt nyomatkok sszegzett forgatnyomatkt szerepeltettk).

PR

PR

k

jj

n

i

PFii

k

jj

n

i

PFi kRMMkFMM ==+=+

==== 1111

A fenti, ltalnos megolds jelentsen egyszersthet, ha a forgatnyoma-tkokat az erk tengelyirny vetleteibl hatrozzuk meg, a nyomat-kokat az ltalnos P pont helyett egy knnyebben kezelhet pontra (pl. az origra) rjuk fel, s a szmtsban az eredt valamelyik (egyelre felttele-zett helyzet) tengelymetszsi pontjban kt sszetevjvel helyettestjk. Ha a helyettestend erket egy viszonytsi egyenes (pl. az X tengely) metszsi pontjaiban bontjuk fel sszetevikre, s a nyomatkokat is e vi-szonytsi tengely egy pontjra (esetnkben az origra) rjuk, akkor az erk egyik (esetnkben az X) irny sszetevi a nyomatki egyenletben zrus karral szerepelnek, azaz kihagyhatk. Az ismert vektor, teht mindkt sszetevjben ismert nagysg eredt ugyanezen viszonytsi egyenessel kpzett (egyelre csak felttelezett helyzet) metszspontjban felbontva a nyomatki egyenletben az erednek is csak az egyik (esetnk-ben az RY) sszetevje szerepel, s az egyenletbl egyetlen ismeretlen-

Y

X

F1 F3F2 F4 F5

kF1P kRPkF2P

kF3P

kF4P

kF5P

R

P( ) RFFFFF =54321 ,,,,




knt az ehhez tartoz kart (esetnkben az eredhatsvonal s az X ten-gely metszspontjnak XR koordintjt) hatrozhatjuk meg. (A fenti, ltalnos egyenletben mind az erk, mind a koncentrlt nyomat-kok sszegzett forgatnyomatkt szerepeltettk.) Az erk nagysgnak, llsszgnek s hatsvonala helynek ismeretben az FiY irny sszetevk nagysga s XFi koordintja, valamint az ered RX s RY komponense meghatrozhat, s gy az origra felrt nyomatki egyenletben csak az eredhatsvonal s az X tengely metszspontj-nak XR koordintja az ismeretlen. Ne feledjk, hogy az eljrsban az ered helyt, a metszspont XR koordi-ntjt csak feltteleztk az X tengely pozitv gra, gy a valsgban az akr a negatv oldalon is lehet. XR eljelt a helyettestend errendszer

0011111

+==++=+ =====

XRYOR

k

jj

n

iiX

n

iFiiY

k

jj

n

i

OFi RXRMMFXFMM

Y

X

F1 F3F2 F4 F5

XF1

XR

XF2XF3

XF4XF5

O F1X F3X F5X

RXF1Y

F3Y

F5YRY

R

( ) ( )YX RRRFFFFF ,,,,, 54321 ==

Y

n

i

Oi

RRY

n

i

Oi R

MXXRM

==

== 11




origra sszegzett nyomatknak eljele, az ered Y komponensnek el-jele s az eredhatsvonal (ltalunk felvett!) metszsponti koordintjnak eljele hatrozza meg. Ha XR a szmtsbl pozitvra addik, akkor a met-szspontot az X tengelyen az origtl szmtva helyes oldalra vettk fel, ha az eljel negatv, a kapott tvolsgot az origtl a felttelezett irnnyal ellenttesen kell felmrnnk. Ha az erednek nincs Y irny sszetevje, akkor a fentiekkel analg m-don kereshetjk az Y tengelymetszk helyt is.

Az ered meghatrozsa szerkesztssel Szerkeszts esetn amint azt az aximk esetben mr lttuk kln kell vizsglnunk a vektorokra s kln a hatsvonalakra vonatkoz felttelek teljeslst. Az eredtl azt vrjuk, hogy minden hatsban tkletesen helyettestse az errendszert. Ennek megfelelen az ered vektora az errendszert al-kot erk vektorainak sszegvel lesz azonos. Az ered vektornak megszerkesztshez egy ltalunk vlasztott erlptk vektorbrban nylfolytonosan felrajzoljuk az erk vektorait. Az els s a msodik vek-tor sszegt a parallelogramma-szably alapjn az els vektor kezdpont-jbl a (nylfolytonosan felrajzolt) msodik vektor vgpontjba nyltk-zssel berajzolt vektor adja. Az gy megkapott R1-2 rszered-vektorhoz a fentiek szerint hozzadva az F3 er vektort, az R1-3 rszered vektort kapjuk. Az eljrst azonos mdon folytatva a teljes errendszer eredj-nek vektort tudjuk ellltani.

Egy errendszer eredjnek vektort az els er vektornak kezd-pontjbl az utols er vektornak vgpontjba nyltkzssel be-rajzolt vektor adja.

Vegyk szre, hogy az ered vektornak meghatrozsa sorn az erk hatsvonalait, ill. az errendszerben szerepl (de ervektorral nem ren-delkez!) erprokat nem kellett figyelembe vennnk. Az ered vek-tora teht (azonos erkbl ll) kzs metszspont s ltalnos, szt-szrt errendszer esetn azonos.

Az ered helynek meghatrozshoz a hatsvonalakra vonatkoz sz-szefggseket kell felhasznlnunk. Az els kt er eredjnek hatsvonala t fog menni a kt er hatsvonalnak metszspontjn, ennek megfelelen az R1-2 vektort az F1 s F2 erk hatsvonalainak metszspontjba illesztve




megkapjuk az R1-2 rszered hatsvonalt. Az R1-2 hatsvonalnak s az F3 er hatsvonalnak metszspontjra illeszkedni fog az R1-3 rszered.

A sztszrt skbeli errendszer esetben az ered helyt (az ered hats-vonalnak egy pontjt) a pronknti sszegzssel szekvencilisan felvett utols rszered s az utols er hatsvonalnak metszspontja szolgltatja.

Ha az errendszerben erprok is vannak, azok egyszer algebrai sz-szegzssel mindig egyesthetk, az gy kialakul egyetlen erpr pedig mindig helyettesthet tetszleges nagysg erkbl ll (de termsze-tesen azonos eljel, s azonos forgatrtk nyomatkot szolgltat) kt prhuzamos ervel. Ezek az erk az ered vektornak meghatrozs-ban nem jtszanak szerepet, hiszen a kt er ellentett vektor, de az ered helyt mr mdostani fogjk.

Prhuzamos, vagy kzel prhuzamos lls erk esetben a hatsvonalak metszspontjainak meghatrozsa bizonytalan, ezrt a megbzhat ered-mnyek elrshez a szerkesztst segderk felvtelvel vgezzk el. Az eredeti errendszer hatsa, eredje nem mdosul, ha az errendszer-hez (a III. aximnak megfelelen) nmagban egyenslyban lv er-rendszert adunk hozz. Az S segdert tetszleges nagysgra s llsra vlaszthatjuk, de clszer gy felvenni, hogy az els erhz hozzadva a rszered s a kvetkez er hatsvonalainak metszspontja knnyen megrajzolhat legyen. Ezek utn az S er termszetesen az S ervel azo-nos hatsvonal s ellentett vektor lesz. Az S s S erkkel kibvtett errendszerben az erk sorrendjt az S ervel kezdjk, s az S ervel zrjuk. Ezek utn szerkesszk meg a vektorbrt, pronknt meghatroz-va a rszeredk Si vektorait is. E rszeredk hatsvonalai az ket alkot kt er hatsvonalainak metszspontjain mennek keresztl, gy a hatsvo-nalak brja is megszerkeszthet.




Az egyenrtksgekbl lthat, hogy az utols (esetnkben az S5 jel) rszered valjban a teljes helyettestend errendszer s az S jel segd-er eredje. Ha ehhez hozzadjuk az S er ellentettjt, azaz az S ert, akkor az eredeti errendszer eredjt kapjuk. A vektorbrban jl ltszik, hogy az S vektor megfordtsval kaphat S vektor s az S5 rszered eredje valban (az errendszer vektorbrjbl mr ismert) R ered lesz. gy szemllve viszont az R ered kt er eredjeknt jelenik meg, azaz hatsvonalnak t kell mennie a kt er hatsvonalainak metszs-pontjn. Az S er hatsvonala (az ellentettsg miatt) az S hatsvonalval azonos, az S5 rszered hatsvonalt pedig a szerkeszts szolgltatta. E kt hatsvonal metszspontja az eredeti errendszer eredhatsvonalnak egy pontjt adja meg. A fenti szerkesztsbl kiadd geometriai bra, a hatsvonalak brja megegyezik egy olyan vgtelen hajlkony, slytalan ktl alakjval, amelyet az eredeti errendszer elemei terhelnek, ezrt a hatsvonalak brjt k-tlsokszgnek, magt a szerkesztst pedig ktlsokszg-szerkesztsnek nevezzk. A tovbbiakban a segderk s a rszeredk vektorait vektoridom-sugaraknak, hatsvonalaikat ktloldalaknak fogjuk nevezni, s (br sosem tvesztjk szem ell, hogy ezek a mennyisgek erk) a vektorbrban s a ktlsokszgben szerkeszt vonalakknt dol-

(F1,F2,F3,F4,F5)=R+ (S,F1,F2,F3,F4,F5,S)=R (S,S)=0

A VEKTOROK BRJA A HATSVONALAK BRJA

kkttlloollddaallaakk

F1 F3F2 F4 F5

S1 S2 S3S4

S5 S0

S0

R

F1

F2

F3

F4

F5

R

vveekkttoorriiddoomm--ssuuggaarraakk

S0

S2S3

S4

S5

S1

PLUS

S1=(S0,F1)S2=(S1,F2)

S3=(S2,F3)S4=(S3,F4)

S5=(S4,F5)

S5=(S0,F1,F2,F3,F4,F5)(S5,S0)=R (vektorsokszg) (ktlsokszg)




gozhatunk velk. A vektorbrban a vektoridom-sugarak kzs kezd-pontjt pluspontnak nevezzk, s -val jelljk. A ktlsokszg-szerkeszts a sztszrt skbeli errendszer eredjnek helyt hatrozza meg, az els ert megelz s az utols ert kvet ktloldalak metszspontjaknt azonostva az ered hatsvonalnak egy pontjt.

Vegyk szre, hogy az ered vektornak meghatrozshoz nem volt szksg a ktlsokszg megszerkesztsre, az eredvektort a vektorbra nmagban szolgltatta.

A ktlsokszg tulajdonsgai A vektorbra vektoridomsugarai egy-egy rszered s egy-egy (a vektor-brban hozz csatlakoz) er eredvektorai, a ktlsokszg ktloldalai pedig ugyanezen ered hatsvonalai. E szrmaztats miatt a vektoridom-sugarak s ktloldalak kztt szigor, klcsns megfeleltets rvnyes. Az plus kt koordintjnak s az els ktloldal helynek szabad felv-tele pedig azt jelzi, hogy egy errendszerre (hromszorosan) vgtelen sok ktlsokszg szerkeszthet, vagy msknt fogalmazva: az errendszerre szerkesztett ktlsokszgre hrom geometriai felttelt is szabhatunk.

A vektorbrban egy pontra illeszked vektoridomsugarak megfelel ktloldalai a geometriai brban egy hromszg oldalegyenesei lesznek, s megfordtva: a geometriai brban egy pontban metszd ktloldalak megfelel vektoridomsugarai a vektorbrban egy hrom-szget hatroznak meg.

A ktlsokszg e tulajdonsga mindig biztosan eligazt bennnket a szerkeszts sorn, mg akkor is, ha a ktlsokszg alakja nem olyan tisz-ta, ahogyan az brnkban az erk szekvencilis felvtele nyomn kiala-kult. A vektorbrban az erk vektorait tetszleges sorrendben rajzolhat-juk fel, a sorrend vltoztatsa az ered vektort nem rinti, azaz az ervek-torok brmilyen permutcijban ugyanaz marad. A ktlsokszg-szerkesztsben azonban lttuk, hogy a ktloldalak sorrendje szigoran a vektorbrban rgztett ersorrend szerint alakul. Nyilvnval teht, hogy ms ersorrendet vlasztva a ktlsokszgnk teljesen ms alakot




lt, de helyes szerkeszts esetn vgeredmnyknt az eredhatsvonalnak egy (msik) pontjt hatrozza meg. A szerkeszts sorn a clszer a vektoridomsugarak s a ktloldalak azo-nost jeleit magunknak feltntetni, hogy a ktloldalakat mindig azon kt hatsvonal kz rajzoljuk, amelynek vektoraival a megfelel vektoridomsugr a vektorbrban egy pontban tallkozik. A fenti brn ugyanarra az errendszerre ms ersorrenddel szerkesztet-tk meg a ktlsokszget. Ebben az esetben a ktlsokszg kiss kusza, de a jellsek alapjn vgigkvethet a vektoridomsugarak s a k-tloldalak sszefggsnek rvnyeslse. Az els (F3) ert megelz S0, s az utols (F4) ert kvet S5 ktloldal metszspontja itt is kijelli az ered hatsvonalnak egy pontjt. Ellenrzskppen kihalvnytva felrajzoltuk az elz szerkeszts ktlsokszgt is, ami egyrtelmen mu-tatja, hogy a kt ktlsokszg ugyanannak az eredhatsvonalnak egy-egy pontjt azonostja.

Az eredmeghatrozsi feladat lehetsges eredmnyei A helyettestsi feladatok bevezetsben lttuk, hogy az errendszer tulaj-donsgainak fggvnyben az ered lehet egy er, lehet egy erpr, s lehet egy zruser, amikoris az errendszer egyenslyban van. Az eredmeghatrozs szmtsi s szerkesztsi eljrsnak ismeretben cl-

(F3,F1,F5,F2,F4)=R+ (S,F3,F1,F5,F2,F4,S)=R (S,S)=0

A VEKTOROK BRJA (vektorsokszg)

A HATSVONALAK BRJA (ktlsokszg)

kkttlloollddaallaakk

F1 F3F2 F4 F5

S1

S2 S3 S4S5

S0

R

S5=(S0,F1,F2,F3,F4,F5)(S5,S0)=R

vveekkttoorriiddoomm--ssuuggaarraakkF1

F2

F3

F4

F5

R S0

S2

S3

S4

S5

S1 PLUS

S1=(S0,F3)S2=(S1,F1)S3=(S2,F5)S4=(S3,F2)S5=(S4,F4)




szer sszefoglalni, milyen felttelek esetn, az errendszer milyen tulaj-donsgai mellett szmthatunk ered erre, ered erprra ill. egyenslyra.

AZ ERE-D

SZMTS SZERKESZTS

ltalnos er FiX0 S FiY0

a vektorbra kezd- s vgpontja sem X, sem Y irnyban nincs ugyanazon az egye-nesen (a vektorsokszg nyitott)

X irny er FiX0 S FiY=0

a vektorbra kezd- s vgpontja X irnyban azonos egyenesre esik, de Y irnyban nem (a vektorsokszg nyitott)

Y irny er FiX=0 S FiY0

a vektorbra kezd- s vgpontja Y irnyban azonos egyenesre esik, de X irnyban nem (a vektorsokszg nyitott)

erpr FiX=0 S FiY=0 S Mitetszleges pont-ra0

a vektorbra kezd- s vgpontja egybe-esik (a vektorsokszg zrt), de a ktl-sokszg els s utols (ilyen esetekben egymssal mindig prhuzamos!) ktlol-dala nem esik egybe (a ktlsokszg nyitott

zruser (egyensly)

FiX=0 S FiY=0 S Mitetszleges pont-ra=0

a vektorbra kezd- s vgpontja egybe-esik (a vektorsokszg zrt), s a ktl-sokszg els s utols (ilyen esetekben egymssal mindig prhuzamos!) ktlol-dala is egybeesik (a ktlsokszg zrt)




3.4.2. Helyettests egy ismert ponton tmen ervel (s egy, vele egyidejleg mkd erprral) Az eredmeghatrozs sorn lttuk, hogy egy ltalnos errendszer esetn a helyettest ernek mind a nagysga, mind a helye ismeretlen. Ha teht kiktjk, hogy a helyettest er hatsvonalnak egy meghatrozott pontra kell illeszkednie, akkor az errendszernek erre a pontra vonat-koz nyomatkt (amennyiben ez nem zrus), a ponton tmen er nem tudja helyettesteni, ennek ptlst msknt kell megoldanunk. A feladatot gy egyszersthetjk, hogy az errendszert a (mr ismert mdon elllthat) eredjvel helyettestjk, s akkor valjban a feladat gy fogalmazhat t: egy er helyettestse ismert ponton tmen ervel. A helyettests azt jelenti, hogy a helyettestend s a helyettest erk vektorainak, ill. azok vetleteinek rendre meg kell egyeznik, gy a kiegyenltetlen forgatnyomatk helyettestsre csak egy erprt, egy koncentrlt nyomatkot alkalmazhatunk. Ezt a helyettestsi feladatot az er pontra reduklsnak is szoktuk nevezni. Az MA erpr forgat hatsa, nyomatka a sk brmely pontjra azonos, az alkalmazott index csak azt jelzi, hogy ez az erpr az A ervel egytte-sen alkotja a helyettest errendszert. Szmtsi megolds esetn az X s Y tengelyre vonatkoz vetleti egyenle-tekben MA nem szerepel, ezek teht kzvetlenl szolgltatjk az A egyen-slyoz er sszetevinek nagysgt; ha pedig a nyomatki egyenletet az A pontra rjuk fel, abban az A er nem szerepel, teht az MA egyenslyoz nyomatk rtkt is gy hatrozhatjuk meg, hogy korbbi rszeredmnye-inket nem kell felhasznlnunk. A nyomatki egyenletet termszetesen a sk brmelyik pontjra felrhatjuk, az eredmny ettl nem fgg, de az A-tl eltr pontot vlasztva a nyomatki egyen-letben az A er ltalunk szmtott (gy esetleg hibval terhelt) komponenseit is szerepeltetnnk kell.

SZMTS SZERKESZTS FiX=RX=AX FiY=RY=AY

MiA=MRA=MA

az errendszer vektorbrja a helyettest er (R, vagy A) vektort megadja, a helyettest nyomatkot az RkRA szorzattal kaphatjuk meg (kRA az R ered s az A pont merleges tvolsga), l. a 3.5.2. pontban

R=(A, MA)




3.4.3. Helyettests egy ismert ponton tmen, s egy ismert hatsvonalba es ervel

Egy errendszer nemcsak az eredjvel, hanem amint az elz pontban is lttuk egy, ltalunk megszabott feltteleket kielgt msik errend-szerrel (szerencssebb megfogalmazsban: ercsoporttal) is helyettesthe-t. Skbeli errendszerek esetn a helyettests teljes rtk, ha az egye-nrtksg kt oldaln ll ercsoportok kt, egymssal nem prhuza-mos tengelyre szmtott vetlete, s a sk tetszleges pontjra szm-tott nyomatka megegyezik. A hrom statikai egyenlet hrom felttelt jelent, azaz hrom ismeretlen mennyisg meghatrozst teszi lehetv. Az eredkeress sorn semmilyen kln felttelt nem szabtunk a helyette-st erre, a hrom ismeretlen az ered kt vetlete, s a hatsvonal ten-gelymetszsi pontjnak a pozcija volt. Amikor a helyettestst ismert ponton tmen ervel kvntuk megoldani (a pont kt koordintjt meg-szabtuk), akkor ismeretlenknt a helyettest er vetleteit s a vele egyi-dejleg mkdtetend nyomatk nagysgt kellett felvennnk. A helyette-st ercsoportra ms feltteleket is megszabhatunk, csak arra kell vigyznunk, hogy a helyettest ercsoport adatai kztt maradjon h-rom ismeretlen mennyisg.

A lineris egyenletrendszerek elmletbl tudjuk, hogy egyrtelm megoldsra csak akkor szmthatunk, ha az egyenletek s az ismeretlenek szma megegyezik. Ha az ismeretlenek szma meghaladja az egyenletek szmt (tl kevs felttelt szabtunk), akkor a rendelkezsre ll paramter-kombincik vgtelen (a tbblet-ismeretlenek szmval megegyezen, esetlegesen sokszorosan vgtelen) megol-dsi lehetsget biztostanak. Ha pedig az egyenletek szma nagyobb az ismeret-lenek szmnl, akkor tl sok a felttel, s (ltalnos esetben) a rendelkezsre ll paramterkombinci nem kpes az egyenletekben megtestesl sszes felttelt kielgteni.

A mrnki szmtsokban gyakran elfordul feladat, hogy az errend-szert kt ervel kell helyettestennk, ahol az egyik er (A) hatsvonalnak egyetlen pontjt s a msik er (B) hatsvonalt a ismerjk. Ez esetben meghatrozand az A er kt sszetevje (vagy az er nagysga s lls-szge), valamint a B er nagysga.




A helyettest erk meghatrozsa szmtssal A szmtshoz az F1, F2, F3, F4, F5 erket hatsvonalaiknak egy viszonyt-si tengellyel (clszeren az A ponton tmenknt felvett X tengellyel) al-kotott metszspontjaiban a vlasztott (clszeren derkszg) koordinta-rendszer tengelyeivel prhuzamos komponenseikkel helyettestjk. gy a feladat egyenrtksge a kvetkezkppen alakul: Az egyenrtksg kt oldaln ll ercsoport egyenrtksge matema-tikailag azt jelenti, hogy a kt oldalon ll erknek a koordintatengelyekre szmtott vetletsszegei s a sk egy pontjra (pl. az origra) szmtott nyomatksszegei megegyeznek. Szmtsunkban az erk vetleteinek eljelt a komponensek llsa, nyomatkainak eljelt pedig a komponensek llsa s a forgsk-zpponthoz viszonytott helyzete egyttesen hatrozza meg. Az ismert erk esetben ezek az adatok rendelkezsnkre llnak, az ismeretlen erk esetben azonban egyelre nem tudjuk, hogy a komponensek a vlasztott tengelyekkel megegyez vagy ellenttes irnyban fognak-e llni. Tte-lezznk fel az ismeretlen erk komponenseinek valamilyen llst, clszeren a tengelyek pozitv gval megegyez llst, s ennek felhaszn-lsval az ismeretlen erk mind a vetleti, mind a nyomatki egyenletek-ben eljeles mennyisgknt szerepeltethetk. Ha az egyenletek megol-dsaiban a keresett erkomponensek eljele pozitv, az azt jelenti, hogy az er llsban felttelezett irny helyes volt, ha az eredmny negatv, ak-kor a keresett erkomponens az ltalunk felttelezett irnnyal ellentte-sen fog llni.

A mrnki szmtsokban ltalnos, s igen hatkonyan alkalmazhat elv, hogy a keresett eljeles mennyisg eljelt a szmtsban kiindul adat-knt felttelezzk, s gy a szmtst (mintegy) ismert adatokon, kny-nyebben vgezhetjk el. Ilyen esetekben a matematikai megolds elje-le azt mutatja meg (sem tbbet, sem kevesebbet!), hogy az ltalunk felttelezett lls-irny helyes volt-e vagy sem. Ha a felttelezett irnyt mindig az alkalmazott koordintarendszer pozitv gval megegyezen vesszk fel, akkor az eredmny eljele a felttelezs helyessgn tl a komponensnek a koordintarendszerben rvnyes vetleti eljelt is szolgltatja.

(F1X,F1Y,F2,F3X,F3Y,F4,F5X,F5Y)=(A,B)

(F1,F2,F3,F4,F5)=(F1X,F1Y,F2,F3X,F3Y,F4,F5X,F5Y)




Y

XA XF1 XF2 XF3 XF4 XF5 XB

X

F1 F3F2 F4 F5F2 F4A b F1X F3X F5X

F1YF3Y

F5Y

B BX

BY

BAXAY

Vegyk szre, hogy felttelezsnk helyessgt vizsglva egy relatv informci-hoz jutunk, ami csak a mi vlasztsunk szempontjbl rtkelhet. A keresett er irnyt mindig szabadon vehetjk fel, teht a kapott eljel a felvett irny fggv-nyben alakul. Az erknek a vlasztott koordintarendszerben rtelmezett vet-leti eljelei abszolt informciknt minden er esetben csak ugyanazt az irnyt, a koordintatengely, mint abszolt viszonytsi rendszer ltal meghatro-zott irnyt jellhetik. A ksbbiekben ltni fogjuk, hogy a szmts egyszerstsre nemcsak a keresett mennyisg eljelt, hanem nagysgt is felttelezhetjk (pl. egysgnyire), s gy a szmtsi eljrsban csak egy szorzszmot kell keresnnk, ami azt adja meg, hogy az ltalunk felvett (pl. egysgnyi) keresett mennyisg hnyszorosa esetn teljeslnek a matematikai egyenletekben megfogalmazott felttelek.

A szmts egyszerstsre a koordintarendszert gy vesszk fel, hogy a viszonytsi tengelyknt (is) szolgl X tengely az A er hatsvonalnak ismert pontjn, az A ponton menjen t. gy a kt keresett ert meghatro-z 3+3=6 adatbl az A er hatsvonalnak XA tengelymetszke, a B er hatsvonalnak XB tengelymetszke s a B er llsszge ismert, s hrom ismeretlenknt az A er nagysgt s llsszgt (msknt: az A er kt sszetevjt ) valamint a B er nagysgt kell meghatroznunk. A felrhat vetleti s nyomatki egyenletek:

XX

n

iiXXXXXX BAFFFFFF +==++++

=154321

YYn

iiYYYYYY BAFFFFFF +==++++

=154321

BYAY

n

i

OiFYFYFYFYFY XBXAMXFXFXFXFXF +==++++

=15544332211




BX

n

iiX BAF cos

1=

=BY

n

iiY BAF sin

1+=

=BBAY

n

i

Oi XBXAM +=

=sin

1

A felrhat hrom egyenletben ismeretlenknt az AX, az AY, a BX s a BY komponens jelenik meg. Vegyk azonban szre, hogy mg az A er ltal-nos llsa miatt az AX s az AY nagysga egymstl fggetlenl vltoz-hat, a B er hatsvonala adott, gy a BX s BY nagysga csak arnyosan, egymshoz kttten vltozhat, a BX s BY esetben a kt sszetev ar-nya kttt. A valban ismeretlen, meghatrozand mennyisgek tte-kinthetsge rdekben a szmtsi megolds sorn clszer a B er kom-ponenseit a B er nagysgval, mint paramterrel kifejezni, felhasznlva a hatsvonal ismert llsszgt.

BX BB cos= BY BB sin=

A kzi szmtsokban a hatsvonalak llsszgt ltalban csak a 0-90 szgtar-tomnyban szoktuk rtelmezni, s az gy kiadd (valjban eljel nlkli) vetlet eljelt szemllet alapjn rendeljk hozz a kiszmtott vetletrtkhez. Ugya-nakkor a gpi szmtsok megkvetelik a nagyon szigor s konzekvens eljel-rtelmezst, ilyen esetekben az llsszget az X tengely pozitv gtl, az ra jrsval megegyez irnyban a (felttelezett) vektorig kell mrnnk, s ezzel a vetletek eljelei automatikusan kiaddnak.

gy a hrom egyenlet a kvetkezkppen alakul: A hrom egyenletbl a hrom ismeretlen egyrtelmen meghatrozhat, de mindegyik egyenlet (legalbb) kt ismeretlent tartalmaz, teht a keresett mennyisgeket csak a teljes egyenletrendszer megoldsval kaphatjuk meg. Kzi szmts esetn a szmts gyorstsa s a kapott eredmnyek hiba-kockzata miatt igen elnys, ha az egyenletek csak egy-egy ismeretlent tartalmaznak. Els egyenletknt a nyomatkok azonossgt vizsglva, s a nyomatki pontot az A pontra vlasztva az egyenletben az A er nem szerepel, az egyenletbl a B ismeretlen kzvetlenl szmthat (megje-gyezzk, hogy amennyiben az A pont az X tengelyen van, akkor a B er-nek csak a msik sszetevjvel kell szmolnunk). Ezek utn, a B er is-meretben a kt vetleti egyenlet mindegyikben mr csak egy-egy isme-retlen marad, azaz az A er kt keresett sszetevje is egyismeretlenes egyenletekbl szmthat (br ez esetben a B eredmny felhasznlsa mi-att az A hibakockzata nagyobb). BX

n

iiX BAF cos

1=

=BY

n

iiY BAF sin

1+=

=)(sin

1ABB

n

i

Ai XXBM =

=




A hibakockzat mrsklsre msodik egyenletknt is vlasztha-tunk nyomatki egyenletet, mgpedig olyan pontra felrva, amelyre csak egy ismeretlen ersszetev fejt ki nyomatkot. Ilyen pont lehet a B er hatsvonalnak X tengelymetszke, hiszen erre a pontra sem a B er, sem az A er X irny sszetevje nem forgat, azaz ebbl az egyenletbl az AY sszetev kzvetlenl szmthat. Elvileg az AX kzvetlen szmtsra is van lehetsg: ha a nyomatki pon-tot a B er hatsvonalnak s az AY sszetev hatsvonalnak metszs-pontjra rjuk fel, ebben a nyomatki egyenletben csak az AX sszetev szerepel. Ezt a megoldst azonban a metszspont meghatrozsnak problmja miatt csak ritkn alkalmazzuk. Abban a meglehetsen gyako-ri esetben, ha a B er az Y tengellyel prhuzamos, akkor az X irny vetleti egyenletbl a B er kiesik, s abbl az A er X irny sszetevje kzvetlenl megkaphat.

Megjegyezzk, hogy a fentiekben bevezetett j egyenletek nem nvelik a fg-getlenl felrhat statikai egyenletek szmt, egy egyenrtksg alapjn tovbbra is csak hrom (matematikailag) fggetlen egyenlet rhat fel, azaz az j egyenletek csak egy msik egyenlet helyett, annak kivltsra alkalmazhatk. A fentiekben bemutatott egyenlet-kombincik teht matematikai, megoldhat-sgi szempontbl teljesen egyenrtkek, klnbsg csak a megolds egy-szersgben, ill. az eredmnyek jrafelhasznlsnak szksgessgben, azaz az eredmnyek szmtsi fggetlensgben, hibakockzatban mutatkozik.

Egy feladat megoldsa sorn tetszlegesen vlaszthatjuk meg az alkalma-zand hrom statikai egyenletet, de az egy egyenrtksgre felrt negyedik egyenlet mr bizonyosan az elz egyenletek matematikai kvetkezmny-egyenlete lesz, azaz azok valamilyen lineris kombincijaknt elllthat. Ezek az egyenletek ismeretlenek meghatrozsra mr nem alkalmazhatk, de a kiszmtott rtkek ellenrzsre igen, hiszen kicsi a valsznsge, hogy hibs szmts esetn egy ms jelleg egyenletbl ugyanaz a (hibs) eredmny addjk.

BX

n

iiX BAF cos

1=

=)(sin

1ABB

n

i

Ai XXBM =

= )(

1BAY

n

i

Bi XXAM =

=




A helyettest erk meghatrozsa szerkesztssel Szerkesztses megoldsban az erk hatsvonalait s vektorait tekintjk ismertnek, s a keresett erk esetben is ezeket az adatokat akarjuk meg-hatrozni. A vizsglt feladatban mind az A er, mind a B er helye ismert, az A er hatsvonalnak egy pontjt, a B ernek pedig a teljes hatsvo-nalt ismerjk. A feladat teht az A s B erk vektorainak ellltsa, aholis a B er vektornak az llsa ismert, csak a vektor nagysgt kell meghatroznunk. Az egyenrtksg alapjn a kt oldalon ll ercsoport eredje mind vek-torban, mind geometriai helyben azonos lesz. A helyettestend er-rendszer vektorbrjt lptkhelyesen felrajzolva a vektorbra K kezd-pontja egyttal az (A,B) ercsoport vektorbrjnak kezdpontja is lesz, V vgpontja pedig (A,B) ercsoport vektorbrjnak vgpontja is lesz. Az egyenrtksgben felvett ersorrendet vlasztva a kezdponthoz az A vektor, a vgponthoz a B vektor csatlakozik. A B er hatsvonala ismert, a B vektornak a vektorbrban ezzel a hatsvonallal prhuzamosnak kell lennie. A helyettestend errendszer vektorbrjnak vgpontjhoz il-lesztve a B hatsvonallal prhuzamos egyenest, mr csak ezen kell megha-troznunk a B vektor kezdpontjnak helyt, ami egyttal az A vektor vgpontja is lesz. Ehhez az informcihoz azonban a vektorbra mr nem elegend, ehhez az erk pozcijt tartalmaz geometriai brt kell ignybe vennnk. Az egyenrtksg kt oldaln ll ercsoportok eredinek nemcsak a vektora, hanem a helye is azonos lesz. Az ered helyt (hatsvonalnak egy pontjt) a ktlsokszg-szerkesztsben az els ert megelz s az utols ert kvet ktloldalak metszspontja hatrozza meg. A helyette-stend s a helyettest errendszer eredinek azonos pozcijt akkor tudjuk garantlni, ha mindkt errendszer ktlsokszgben az els ert megelz s az utols ert kvet ktloldal azonos. Ehhez az szksges, hogy a helyettestend s a helyettest erk vektorbrjban azonos pluspontot vegynk fel, s a geometriai brban az els ert megelz ktloldal egyenest is mindkt ercsoportra azonosra vlasszuk. gy val-jban a kt errendszer vektorbrja egyesthet, s az brban (az A s B vektorok kztti vektoridom-sugr kivtelvel) az sszes vektoridom-sugr megrajzolhat.

(F1,F2,F3,F4,F5)=(A,B)




A vektorbra alapjn a helyettestend erk ktlsokszge is megraj-zolhat, mgpedig gy, hogy az els ert megelz ktloldalt (az llsa megtartsval) szabadon vesszk fel. A korbbiakban megllaptottuk, hogy az ered azonossga rdekben a helyettestend s a helyettest erk vektorbrjnak azonossga mellett a ktlsokszgeik els s utol-s ktloldalainak azonossgt is biztostanunk kell. Ugyanakkor azt is lttuk, hogy a ktlsokszgben egy er hatsvonalt a vektorbrban az er vektorhoz illeszked vektoridomsugaraknak megfelel ktlolda-lak azonos pontban metszik. Minthogy a helyettest erk kzl az egyiknek, az ismert ponthoz rgztett, de ismeretlen llsszg (esetnk-ben A jel) ernek a hatsvonalbl csak egy pont, nevezetesen az A pont ismert, az A vektorhoz csatlakoz kt ktloldal metszspontjaknt csak ezt a pontot hasznlhatjuk fel. Ehhez a ktlsokszg els (a kzs vektorbra alapjn ismert lls) ktloldalt ezen a ponton tmen egyenesknt kell felvennnk. A ktlsokszgek els s utols ktlolda-lnak azonossga alapjn az utols (a B ert kvet) ktloldal a helyette-stend erk ktlsokszgnek utols ktloldalval azonosan szintn felrajzolhat. Az A s B erre szerkeszthet ktlsokszgbl mr csak az a ktloldal hinyzik, amely az A ert kveti s a B ert megelzi, azaz az A hatsvonalt abban a pontban metszi, ahol az els ktloldal, a B hats-vonalt pedig abban a pontban, ahol az utols ktloldal. Ezek a pontok a geometriai brban ismertek, sszektskkel a hinyz ktloldal beraj-zolhat. Ennek alapjn viszont a vektorbrban megszerkeszthet az A vektor vgpontjhoz s a B vektor kezdpontjhoz tartoz (eddig is-meretlen llszg) vektoridomsugr. A B vektor llsnak s az A-B vektorok kztti vektoridomsugr llsnak ismerete a vektorbrban meghatrozza a B vektor kezdpontjt, s ezzel egyttal az A vektor vgpontjt, vagyis az ltalunk keresett ismeretleneket.

A helyettestsi feladat megoldhatsga termszetesen nem fgg a kere-sett erk helyzettl (az ismert pont, amin az egyik helyettest ernek t kell mennie, tetszleges helyzet lehet) s sorrendjtl sem. A szerkeszts elvnek ismeretben azonban lthat, hogy a helyettestend s a helyettest ercso-port ktlsokszgeinek azonossga s az erket megelz-kvet ktlol-dalaknak a hatsvonallal alkotott kzs metszspontja csak gy biztost-hat, ha a ktlsokszg els ktloldalt az ismeretlen lls er hatsvo-nalnak (eg

mechanika i. (statika)

Documents