mechanika imedia1.iplace.cz/.../statika_pap.pdf2. statika 2.1. Ú vod, Úkoly statiky, zÁkladnÍ...

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I © M.H. 2003

- 1 -

MECHANIKA I

STATIKA , PRUŽNOST A PEVNOST

Studijní obor (kód a název): 23-41-M/001 Strojírenství


- 2 -

Úvodem Cílem tohoto učebního textu je sloužit jako pom ůcka (nahrazuje učebnici a částečně pracovní sešit) při výuce předmětu MECHANIKA v 1. ročníku oboru STROJÍRENSTVÍ. Jednotlivé kapitoly jsou rozvrženy do vyučovacích hodin, celková hodinová dotace za školní rok činí 68 hodin .

Obsah Úvodem 2 Obsah 2 1. Úvod do mechaniky 3

1.1. Obsah a význam, rozdělení mechaniky, pohybové zákony 3 1.2. Opakování fyzikálních veličin, základní jednotky SI 3

2. Statika 3

2.1. Úvod, úkoly statiky, základní pojmy 3 2.2. Soustava sil na společné nositelce 4 2.3. Rovinná soustava sil se společným působištěm 4 2.4. Rovinná soustava sil neprocházející jedním bodem 7 2.5. Prostorová soustava sil 17 2.6. Prutové soustavy 18 2.7. Těžiště a stabilita 26 2.8. Statika jednoduchých mechanismů s pasivními odpory 36 2.9. Opakování statiky 49

3. Pružnost a pevnost (PaP) 49

3.1. Definice PaP, základní druhy namáhání 49 3.2. Tah, tlak 52 3.3. Prostý smyk 60 3.4. Průřezové moduly pro namáhání krutem a ohybem 62 3.5. Opakování 67


- 3 -

vyučovací hodina: 1. 1. ÚVOD DO MECHANIKY 1.1. OBSAH A VÝZNAM , ROZDĚLENÍ MECHANIKY , POHYBOVÉ ZÁKONY Studiem přírodních jevů na zemi i ve vesmíru se zabývá několik vědních oborů, které společně označujeme přírodní v ědy . Patří sem zejména fyzika, chemie, biologie a astronomie . Součástí fyziky je i mechanika , jež se zabývá studiem mechanického pohybu – to je mechanického přemísťování hmoty v prostoru a čase. Rozdělení mechaniky:

- mechanika tuhých a poddajných t ěles (pružnost, pevnost) - mechanika tekutin (kapalin, par a plynů) - termomechanika (působení tepla na látky)

Další dělení: - statika (pojednává o rovnováze tuhých těles, kapalin a plynů) - kinematika (vyšetřuje pohyby bez zřetele na příčiny) - dynamika (pojednává o pohybu a jeho příčinách)

vyučovací hodina: 2. 1.2. OPAKOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH VELI ČIN, ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SI Pohyb hmoty se děje v prostoru a čase, proto hmotnost, délka a čas jsou základními veličinami mechaniky. Namísto hmotnosti lze zavést sílu jako příčinu pohybu. Rozdělení fyzikálních veličin:

- skaláry – jsou určeny pouze velikostí (hmotnost, čas, energie) - vektory – jsou určeny velikostí, směrem a smyslem (síla, rychlost, zrychlení)

K číselnému vyjádření hodnot veličin používáme jednotky. Jednotky rozdělujeme na základní a druhotné (odvozené). Uzákoněné základní jednotky jsou jednotky Mezinárodní m ěrové soustavy SI (Systém Internationál d´Unités). 1. metr [m] základní jednotka délky 2. kilogram [kg] základní jednotka hmotnosti 3. ampér [A] základní jednotka elektrického proudu 4. sekunda [s] základní jednotka času 5. stupe ň [deg; K; °C] základní jednotka teplotního rozdílu 6. kandela [cd] základní jednotka svítivosti Násobky jednotek vyjadřujeme pomocí předpon a značek. Předpona: tera giga mega kilo mili mikro nano piko Značka: T G M k m µ n p Význam: 1012 109 106 103 10-3 10-6 10-9 10-12 Příklad: Mpa = 106 Pa; km = 103 m vyučovací hodina: 3. a 4.

2. STATIKA 2.1. ÚVOD, ÚKOLY STATIKY , ZÁKLADNÍ POJMY Část mechaniky STATIKA pojednává o skládání, rozkládání a rovnováze sil za klidu nebo při rovnoměrném přímočarém pohybu. Složit síly znamená nahradit tyto síly silou jedinou tak, aby měla na těleso tentýž účinek. Skládané síly se nazývají složky , síla která je nahrazuje je výslednice .


- 4 -

Rozložit sílu do složek znamená nahradit tuto sílu dvěma nebo více silami tak, aby měly s rozkládanou silou stejný účinek. Síly jsou v rovnováze , ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice. Těleso je v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V technické praxi se jen vyjímečně vyskytují osamělá tělesa. Převážně jsou spolu spojena v soustavu těles. Jednotlivé členy soustavy na sebe vzájemně působí. Toto vzájemné působení nazýváme síla . Síla je vektor – je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Základní jednotkou síly je newton [N]. Definice: síla 1N udělí tělesu o hmotnosti 1kg zrychlení 1m.s-2. Zápis síly: F [ x; y; αααα°; velikost v N ]

F1 [ 20; -10; 150°; 100 N ] x,y ... souřadnice působiště

měřítko síly: mF: 1mm = ? N αααα° …. směrový úhel

vyučovací hodina: 5. a 6. 2.2. SOUSTAVA SIL NA SPOLE ČNÉ NOSITELCE Působiště síly (sílu) můžeme po nositelce libovolně posouvat aniž se změní její účinek.

Výslednice sil FV působí v téže vektorové přímce a rovná se algebraickému součtu všech sil.

∑=++=n

1

i321vFFFFF

Síly jsou v rovnováze, je-li algebraický sou čet všech sil roven nule! Příklad: Stanovte graficky i početně výslednici sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). vyučovací hodina: 7. a 8. 2.3. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL SE SPOLE ČNÝM PŮSOBIŠTĚM 2.3.1. Grafické zjišt ění výslednice a uvedení silové soustavy do rovnováhy Platí, že výslednice musí mít společné působiště s danou soustavou sil. Dvě síly o společném působišti skládáme pomocí rovnob ěžníku sil (silového obrazce ).


- 5 -

Dáno: x,y ... souřadnice působiště αααα° …. směrové úhly sil s osou x Fi = … [N] velikosti sil

rovnoběžník sil silový obrazec Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy dvou sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). Výslednici několika sil v rovině o společném působišti řešíme metodou postupného skládání dvou sil. F1, F2 nahradíme částečnou výslednicí F1,2, tu složíme se silou F3 na konečnou výslednici FV.

zadání rovnoběžník sil silový obrazec

rovnoběžník sil silový obrazec silový mnohoúhelník Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). Uvedení silové soustavy do rovnováhy Jak jsme již uvedli, síly jsou v rovnováze, ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice. Silovou soustavu F1, F2, F3 uvedeme do rovnováhy přidáním síly FR, která je stejně velká jako FV ale opačného smyslu. Silová soustava je v rovnováze, jestliže je silový mnohoúhelník uz avřen šipkami v jednom sledu.


- 6 -

vyučovací hodina: 9. 2.3.2. Řešení výslednice dvou navzájem kolmých sil po četně

rovnoběžník sil silový obrazec Dle Pythagorovy věty platí:

( )22

21V

22

21

2V FF F F F F +=⇒+=

Příklad: Stanovte početně výslednici soustavy dvou kolných sil podle zadání. 2.3.3. Početní řešení výslednice soustavy obecných sil o spole čném působišti Řešení provádíme tak, že každou sílu rozložíme do dvou kolmých složek (do osy x a y). Příslušné složky algebraicky sečteme do složek výslednice. Celkovou výslednici vypočteme z pravoúhlého trojúhelníka. Směr a smysl rovněž stanovíme z výsledného trojúhelníka.

x

y

F

Ftg =α

Příklad: Stanovte početně velikost, směr a smysl výslednice soustavy sil podle zadání (viz učebnice,

pracovní sešit). vyučovací hodina: 10. a 11. 2.3.4. Dvě složky síly, rozklad sil, rovnováha sil Rozklad síly do dvou různoběžných složek je opakem skládání. Proto i zde při grafickém řešení používáme rovnoběžník sil nebo silový obrazec (trojúhelník). Početní řešení je opět obdobné. Příklad: Rozložte sílu do dvou složek podle zadání. Proveďte graficky i početně (viz učebnice,

pracovní sešit).


- 7 -

vyučovací hodina: 12. 2.4. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEPROCHÁZEJÍCÍ JEDNÍM BODEM 2.4.1. Moment síly k bodu a k ose Moment M síly F k bodu A vyjadřuje velikost a smysl točivého účinku síly F vzhledem k bodu A.

rF M ⋅= [N.m]

r … rameno síly (kolmá vzdálenost)

Moment považujeme za kladný, jestliže dojde účinkem síly k otáčení proti smyslu pohybu hodinových ručiček. Jednotkou momentu síly je newtonmetr N.m. Momentová věta: Moment výslednice k libovolnému bodu se rovná algebraickému sou čtu moment ů jednotlivých složek k témuž bodu.

∑=

=n

1iiMM

Příklad: Určete výslednici F sil F1 =10 N a F2 =5 N, které jsou od sebe vzdáleny r1 = 2 m.

2211r*Fr*Fr*F ++++==== ; 2211 rFrFrF ⋅+⋅=⋅ ; 0r2 =

0r2

==== … … dopočítejte si vyučovací hodina: 13. 2.4.2. Moment silové dvojice Silovou dvojici tvoří dvě stejně velké síly stejného směru, opačného smyslu, které jsou od sebe vzdáleny o r (rameno dvojice).

Účinkem takové silové dvojice je rotace. Silová dvojice bude rotovat v rovině proložené oběma silami. Smysl rotace je určen vzájemnou polohou obou sil. Moment považujeme za záporný, jestliže dojde k otáčení proti smyslu pohybu hodinových ručiček.


- 8 -

Účinek silové dvojice se nazývá moment silové dvojice

r F M ⋅= [N.m] r … rameno síly (kolmá vzdálenost)

Silovou dvojici můžeme v rovině rotace přeložit a její účinek se nezmění.

Silovou dvojici můžeme v rovině rotace natočit a její účinek se nezmění.

Silovou dvojici můžeme v rovině rotace nahradit jinou silovou dvojicí v tom případě, má-li stejný účinek (M = M).

rF2r2FM ⋅⋅=⋅= rF2rF2M ⋅⋅=⋅= Máme-li několik silových dvojic v jedné rovině, potom se jejich účinky sčítají .


- 9 -

21 MMM += yFM 11 ⋅−= xFM 22 ⋅−=

xFyFM 21 ⋅−⋅−=

Silová dvojice může být v rovnováze jen s jinou silovou dvojicí, která má stejně velký moment a je opačně orientovaná.

2211 rFrF ⋅=⋅

Příklad: Řešte silové rovnice dle zadání vyučovací hodina: 14. 2.4.3. Moment silové soustavy Působí-li soutava několika sil, je jejich výsledný účinek roven účinku výslednice. Z toho vyplývá, že součet moment ů jednotlivých sil soustavy se rovná momentu výslednice.

∑=

=n

1iiMM …… momentová v ěta

Úloha: Aplikace momentové věty - Nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem síly jedné

(výslednice).

∑=

=n

1iiMM k počátku O

2211 rFrFrF ⋅+⋅=⋅ ; 0r2 =

21 FFF +=

121

11

1 rFF

Fr

FF

r ⋅+

=⋅=

Příklad: Proveďte nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem výslednice. Dáno F1[0;0;0°;20N],

F2[0;-30;0°;40N] vyučovací hodina: 15.


- 10 -

2.4.4. Nahrazení síly silou na rovnob ěžné nositelce Danou sílu F na nositelce p přeneseme na rovnoběžnou nositelku q.

Přenesením F na novou nositelku q musíme přidat moment M=F.r. Opačný postup – sečteme-li přenesenou sílu F1 a moment M, dostaneme původní sílu na nositelce p. Příklad: Nahraďte sílu F[40;0;90°;50N] a moment (silovou dvojici) M =1,5N.m jedinou silou. Proveďte

početní kontrolu obou soustav, účinky porovnejte.

30mm0,03m501,5

FM

r ====

Kontrola:

1. Původní soustava

∑ = 0Fx ; N50Fy =∑ ; ∑ −=−=⋅−= Nm5,025,104,0FMM i

2. Nová soustava se silou F1

∑ = 0Fx ; ∑ == N50FF 1y ; ∑ −=⋅−= Nm5,001,0FM 1i Závěr: Účinky soustav jsou stejné. vyučovací hodina: 16. 2.4.5. Výslednice soustavy rovnob ěžných sil - GRAFICKY Postup: Zvolíme dvě pomocné síly S0, S0

´, které se vzájemně ruší a zadanou soustavu neovlivní. Jejich nositelku vedeme tak, aby protímala nositelku síly F1 v bodě A0. Síly F1 a S0 sečteme pomocí silového trojúhelníka mimo hlavní obrázek. Výslednice S1 bude procházet A0. Musí vždy platit, že tři úsečky


- 11 -

které tvoří v pólovém obrazci trojúhelník (S 0, F 1, S 1) se musí v základním obrazci protínat v jednom bodě (A 0)! Začínám tedy:

- složím S0 a F1 a dostanu výslednici S1. Musí se protínat v bodě A0 pokračuji dále:

- složím S1 a F2 a dostanu výslednici S2. Musí se protínat v bodě A1 - složím S2 a F3 a dostanu výslednici S3. Musí se protínat v bodě A2

a nakonec - složím S3 a S0

´ a dostanu výslednici FV. Musí se protínat v bodě A3 Tím dostanu velikost i polohu výslednice. Příklad: Zjistěte graficky velikost a polohu výslednice tří rovnoběžných sil. F1[10;0;90°;20N];

F2[25;20;270°;50N]; F 3[50;0;270°;20N]

Při praktickém řešení nevyznačujeme částečné výslednice (S1,S2,S3), ale pouze přímky a úsečky jim odpovídající. Čára A0A1A2A3A0 je výslednicová čára, čára F1 F2 F3 FV (v pólovém obrazci) je složková čára, úsečky 0,1,2,3 jsou pólové paprsky (vlákna) a bod P je pól . Říkáme, že jsme provedli řešení pomocí pólového (vláknového) obrazce . Postup:

1. zvolíme měřítko sil 2. nakreslíme obrazec umístění 3. nakreslíme vláknový obrazec => zjistíme velikost výslednice 4. vedeme rovnoběžky s vlákny v obrazci umístění 5. zjistíme polohu výslednice

průsečík [0,1,F1] => A0

průsečík [1,2,F2] => A1 průsečík [2,3,F3] => A2 průsečík [3,0,FV] => A3


- 12 -

Rovnováha: Podmínkou rovnováhy je nulová výslednice i nulová výsledná dvojice.

∑ = 0Fi ; ∑ =⋅ 0rF ii Graficky – uzavřená složková čára se šipkami v jednom směru a také uzavřená výslednicová čára. vyučovací hodina: 17. 2.4.6. Výslednice soustavy rovnob ěžných sil - POČETNĚ Souřadný systém zvolíme tak, aby např. osa y byla rovnoběžná s nositelkami sil. Pak tedy i výslednice bude rovnoběžná s osou y. K určení velikosti FV použijeme složkové rovnice do směru osy y.

∑=

=n

1iiV FF

K určení polohy lze využít momentovou větu.

∑=

⋅=⋅n

1iiiVV xFxF

Může se stát, že FV=0. Soustava nemá výslednici, ale její účinky lze nahradit výslednou dvojicí MV o momentu

∑=

⋅=n

1iiiV xFM

Pokud i MV=0, jde o rovnováhu. Příklad: Vypočítejte velikost a polohu výslednice soustavy sil FV a xV. F1[10;0;90°;20N]; F 2[25;20;270°;50N]; F 3[50;0;270°;20N].

∑=

−=−−=−+−+==n

1i321iV N50205020)F()F(FFF směr dolů

∑=

⋅−⋅−⋅=⋅=⋅=n

1i332211iiVVV xFxFxFxFxFM

mm4150

502025501020FM

xV

VV =

−⋅−⋅−⋅== porovnejte s grafickým řešením


- 13 -

Kontrola: 1. Původní soustava

N50205020Fy −=−−=∑ ; ∑ −=⋅−⋅−⋅= Nmm2050502025501020M i

2. Nová soustava

∑ −== N50FF Vy ; ∑ −=⋅−= Nm20504150MV Závěr: Účinky soustav jsou stejné. vyučovací hodina: 18. a 19. 2.4.7. Řešení vazbových sil na páce graficky i po četně Vazbové síly = síly druhotné, reakce. Tělesa působí na podpory silami prvotními = akčními. Podpory kladou odpor silami druhotnými = reakčními. Podle třetího pohybového zákona platí, že akce = reakce . Proto reakce (vazbové síly) určujeme z podmínek statické rovnováhy. Kloubové spojení Může přenášet sílu všemi sm ěry . Síla prochází středem kloubu.

Obecná podpora Může přenášet sílu působící jen kolmo na podporu !

PÁKA – jeden pevný podporový bod – kloubové spojení . Úloha: Je dána síla F2 a směr síly F1. Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové

páce. Proveďte grafické i početní řešení. GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Při grafickém řešení musí být splněny dvě základní podmínky rovnováhy:

- Abychom mohli určit směr reakce v kloubové podpoře, musíme nalézt spole čné působišt ě.

- Síly musí tvořit uzavřený silový trojúhelník


- 14 -

POČETNÍ ŘEŠENÍ Početní řešení provedeme pomocí podmínek statické rovnováhy.

1. ∑ = 0M i a

bFF0bFaF 2

121

⋅=⇒=⋅−⋅ vylučuje otáčení

2. ∑ = 0Fix 2RxRx2 FF0FF =⇒=− vylučuje pohyb v ose x

3. ∑ = 0Fiy 1Ry1Ry FF0FF =⇒=− vylučuje pohyb v ose y

2

22

1R FFF += [N] Příklad: Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové páce. Proveďte grafické i

početní řešení. Dáno: F2= 50N; a=50mm; b=30mm. Jednoramenná páka Úloha: Je dána síla F1 a směr síly F2. Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu.

Proveďte grafické i početní řešení.

Aby byla rovnováha, výslednicová čára musí být uzavřena. Dostanu tak směr vlákna 2 a přenesu ho do pólového obrazce. Zde získám velikost F2 a směr a smysl reakce FR. průsečík [0,1,F1] => A1

průsečík [1,2,F2] => A2 průsečík [2,0,FR] => A3


- 15 -

Početně:

∑ = 0M 0i b

aFF0aFbF 1

212

⋅=⇒=⋅−⋅ podmínka vyloučí otáčení

∑ = 0Fiy 12RR12 FFF0FFF −=⇒=−− podmínka vyloučí posuv

∑ = 0Fix v ose x síly nepůsobí ! podmínka vyloučí posuv

Příklad: Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu. Proveďte grafické i početní

řešení. Dáno: F1= 50N; a=50mm; b=30mm. vyučovací hodina: 20. a 21. 2.4.8. Řešení vazbových sil nosníku na dvou podporách Úloha: Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce

v podporách FA a FB. GRAFICKÉ ŘEŠENÍ průsečík [1,2,F1] => 1

průsečík [2,3,F2] => 2 průsečík [3,4,F3] => 3

průsečík [1,4,F ] => 4

průsečík [1,5,FA] => 5 průsečík [4,5,FB] => 6

POČETNÍ ŘEŠENÍ

∑ = 0M iA podmínka vyloučí otáčení

∑ = 0Fiy podmínka vyloučí posuv

∑ = 0Fix podmínka vyloučí posuv


- 16 -

∑ = 0M iA BB321 F0lF)cba(F)ba(FaF ⇒=⋅−++⋅++⋅−⋅

( ) ( )[ ]cbaFbaFaFl1

F 321B ++⋅++⋅−⋅⋅=

∑ = 0Fiy ABA231 F0FFFFF ⇒=−−−+

B231A FFFFF −−+=

∑ = 0Fix v ose x síly nepůsobí

Velikost výslednice

∑ +== BAiy FFFF [ N ]

Vzdálenost xF výslednice od bodu A

∑ = 0M iA FBF xlFxF ⇒⋅=⋅

F

lFx B

F

⋅= [ mm ]

Příklad: Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce

v podporách FA a FB. Proveďte grafické i početní řešení, výsledky porovnejte. Uspořádání dle obrázku.

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Určíme měřítka: mF: 1mm = 10 N ; ml: 1mm = 10 mm

průsečík [1,2,F1] => 1

průsečík [2,3,F2] => 2 průsečík [1,3,F] => 3 průsečík [1,4,FA] => 4 průsečík [3,4,FB] => 5


- 17 -

POČETNÍ ŘEŠENÍ

∑ = 0M iA podmínka vyloučí otáčení

∑ = 0Fiy podmínka vyloučí posuv

∑ = 0Fix podmínka vyloučí posuv (v ose žádné síly nepůsobí!)

∑ = 0M iA BB21 F0800F600F300F ⇒=⋅−⋅+⋅

( ) ( )6002003001008001

600F300F8001

F 21B ⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=

N5,187FB =

∑ = 0Fiy A21BA F0FFFF ⇒=−−+

5,187200100FFFF B21A −+=−+=

N5,112FA =

Velikost výslednice

N300200100FFFF BAiy =+=+==∑

Vzdálenost xF výslednice od bodu A

∑ = 0M iA FBF x800FxF ⇒⋅=⋅

mm500300

8005,187F800F

x BF =⋅=⋅=

vyučovací hodina: 22. Praktické aplikace vyučovací hodina: 23. a 24. 2.5. PROSTOROVÁ SOUSTAVA SIL Prostorovou soustavu sil tvoří síly mimoběžné, nebo síly různoběžné, jejichž vektorové přímky (nositelky) neleží v téže rovině. Výslednice soustavy sil o společném působišti v prostoru Každou sílu prostorové soustavy sil nejdříve rozložíme do os x, y, z. K výpočtu složek použijeme pravoúhlý trojúhelník

αcosFFx ⋅= βcosFFy ⋅= γcosFFz ⋅=

Rozložíme-li takto celou soustavu, dostaneme tři soustavy navzájem na sebe kolmých sil. Velikost těchto částečných výslednic vypočteme stejně jako u sil v rovině

∑=

=n

1iixx FF ∑

=

=n

1iiyy FF ∑

=

=n

1iizz FF


- 18 -

Tyto částečné výslednice složíme v celkovou výslednici

V rovině xy leží částečné výslednice Fx a Fy a ty složíme v další částečnou výslednici Fxy.

2

y2

xxy FFF +=

Celková výslednice bude

2z

2y

2x

2z

2xy FFFFFF ++=+=

FF

cos x=α F

Fcos y=β

FF

cos z=γ

Rovnováha:

0F;0F;0F0F zyx ===⇒=

vyučovací hodina: 25. 2.6. PRUTOVÉ SOUSTAVY Nosnou konstrukci mostů, jeřábů, sloupů, letadel, atd. tvoří často soustava prutů, tzv. příhradový nosník .


- 19 -

Tato prutová soustava se skládá z jednotlivých prutů, které jsou spolu spojeny styčníkovými plechy, na kterých jsou pruty přinýtovány, přivařeny, přišroubovány, apod.. Toto spojení prutů na styčnících zjednodušujeme a nahrazujeme spojením kloubovým. Při řešení prutové soustavy (PS) musí být splněny všechny podmínky rovnováhy a dodržována následující pravidla:

1. PS musí být dokonale tuhá, pruty musí tvořit staticky určité obrazce, kterými jsou trojúhelníky. Podmínka statické určitosti:

( ) 3i23i23z −⋅=−⋅+=

z ….. počet prutů i …… počet styčníků

2. Na uvolněných prutech musí být rovnováha sil 3. Musí být rovnováha sil působících v jednotlivých styčnících

Je-li soustava dokonale tuhá (viz obr.), můžeme snadno určit síly vzájemného působení v podporách A(kloub) a B(obecná podpora).

4. PS nikdy nezatěžujeme mezi klouby! Potom všechny pruty přenášejí sílu pouze ve své ose (osovou).

táhne ze styčníku +

tlačí do styčníku – 2.6.1. Řešení prutové soustavy – Cremonova metoda - grafická Princip a použití bude vysvětleno v následující kapitole. 2.6.2. Řešení prutové soustavy – Sty čníková metoda – grafická, po četní Styčníková metoda vychází z požadavku rovnováhy sil působících v jednotlivých styčnících, což je rovnováha sil o společném působišti. Obvykle nemí nutné kreslit silový obrazec pro každý styčník zvlášť. Provádíme tedy řešení v jednom obrazci – Cremon ův diagram .


- 20 -

Zásady postupu řešení:

1. Nejdříve stanovit reakce. 2. Stanovit smysl obcházení jednotlivých styčníků. 3. Začít styčníkem, kde působí jen dvě osové síly. 4. Pokračovat tím styčníkem, kde jsou neznámé opět jen dvě osové síly.

vyučovací hodina: 26. Úloha: Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku. Pro názornost a pochopení provedeme určité kombinace řešení:

o Styčníkovou metodu - pouze grafickou část včetně grafického stanovení reakcí. Pro každý styčník provedeme silový obrazec zvlášť.

o Cremon ův diagram – reakce stanovíme početně.

o Styčníkovou metodu – jen početně, reakce převezmeme z předchozího řešení.

STYČNÍKOVÁ METODA - GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Určíme si měřítka: mF: 1mm = 1 kN ; ml: 1mm = 0,05 mm


- 21 -

Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček. 1, 2, 3, 4, 5 ….. označení prutů I, II, III, IV ….. označení styčníků Změřením a vynásobením měřítkem byly stanoveny reakce a síly v prutech: FA= FB = 25 kN S1= -35,5 kN S2= 25 kN S3= 50 kN S4= -35,5 kN S5= 25 kN Poznámka: Pro názornost používáme označení vnitřních sil v prutech S. CREMONŮV DIAGRAM

1. Nejdříve stanovíme reakce


- 22 -

∑ = 0M iA kN252

502F

F04F2F BB ===⇒=⋅−⋅

∑ = 0Fiy kN252550FFF0FFF BABA =−=−=⇒=−+

2. Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček.

Pořadí: I … FA, 1, 2 II … 1, 4, 3 III … 2, 3, 5, F IV … 5, 4, FB

Změřením a vynásobením měřítkem byly obdobně stanoveny reakce a síly v prutech: FA= FB = 25 kN S1= -35,5 kN S2= 25 kN S3= 50 kN S4= -35,5 kN S5= 25 kN vyučovací hodina: 27. STYČNÍKOVÁ METODA – POČETNÍ ŘEŠENÍ

1. Stanovení reakcí (převezmeme z předchozího řešení).

∑ = 0M iA 2

502F

F04F2F BB ==⇒=⋅−⋅

N25000FB =

∑ = 0Fiy 2550FFF0FFF BABA −=−=⇒=−+

N25000FA =

2. Styčník I

∑ = 0Fix S1 musíme rozložit do složek v osách x, y

∑ = 0Fiy S2 složku v ose y nemá


- 23 -

∑ = 0Fiy 0FS Ay1 =− ; °

=°

=⇒°⋅=45sin

2500045sin

FS45sinSS A

11y1

N35355S1 =

∑ = 0Fix 0SS x12 =− ; °⋅=⇒°⋅= 45cosSS45cosSS 121x1

°⋅= 45cos35355S2

N25000S2 =

3. Styčník II

∑ = 0Fix °⋅==⇒=− 45cosSSS0SS 1x1x4x4x1

11x1x4

4 S45cos

45cosS45cos

S45cos

SS =

°°⋅

=°

=°

=

N35355S4 =

∑ = 0Fiy °⋅+°⋅=+=⇒=+− 45sinS45sinSSSS0SSS 41y4y13y43y1

N50000S3 =

4. Styčník III

∑ = 0Fix 2552 SS0SS =⇒=−

N25000S5 =

∑ = 0Fiy FS0FS 33 =⇒=− …. Platí

5. Styčník IV

Jelikož již všechny síly v prutech známe, je možné řešit styčník IV pro kontrolu.


- 24 -

Příklad: Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku. Proveďte řešení: a) styčníkovou metodou – graficky(včetně reakcí) b) Cremonovým diagramem – reakce početně c) styčníkovou metodou – početně Získané výsledky porovnejte a proveďte rozbor.

vyučovací hodina: 28. 2.6.3. Řešení prutové soustavy – Pr ůsečná metoda – po četní Tato metoda spočívává v tom, že prutovou soustavu p řerušíme myšleným řezem nejvýše ve třech prutech, z nichž pouze dva pruty s neznámými silami mohou vycházet z téhož sty čníku. Použijeme t ři podmínky statické rovnováhy a z nich vypo čteme t ři neznámé osové síly v přerušených prutech . Úloha: Stanovte síly v prutech 6,7,8, prutové soustavy podle obrázku.


- 25 -

Postup: 1. Stanovení reakcí

∑ = 0Fiy ; 0FFFF 21BA =−−+ vidíme, že BA FF =

kN100FF BA =+

kN50FF BA ==

2. Stanovení sil v prutech.

Ke zbylé levé části soustavy musíme připojit síly, kterými odebraná pravá část na zbylou působila aby nebyla porušena rovnováha. U sil předpokládáme tah a díváme se na ně jako na síly vnější . Síly v prutech řešíme pomocí tří podmínek statické rovnováhy.

Pro styčník IV ∑ = 0M i ; 5023

F23

S02S3F A66A ⋅=⋅=⇒=⋅−⋅

kN75S6 =

∑ = 0Fiy ; 771A71A SsinSFF0sinSFF ⇒⋅=−⇒=⋅−− αα

0S7 = protože 0FF 1A =− a 0sinS7 =⋅ α a 0sin ≠α

∑ = 0Fix ; 0ScosSS 876 =+⋅+ α ( )0S7 =

6886 SS0SS −=⇒=+

kN75S8 −=

Záporné znaménko znamená, že volený smysl S8 nebyl správný, síla působí v opačném smyslu. Předností průsečné metody je, že můžeme nosník přerušit v kterémkoliv poli myšleným řezem a vypočítat tři neznámé síly. Při praktickém početním řešení používáme obvykle kombinace metody sty čníkové a pr ůsečné. Příklad: Stanovte síly v prutech 2,3,4, prutové soustavy podle obrázku.


- 26 -

1. Stanovení reakcí

∑ = 0Fiy ; ……….

2. Stanovení sil v prutech

Pro styčník II

∑ = 0M i ; ………..

∑ = 0Fix ; ………..

∑ = 0Fiy ; ………..

vyučovací hodina: 29. 2.7. TĚŽIŠTĚ A STABILITA 2.7.1. Těžišt ě složených čar Každé těleso se skládá z nekonečného počtu částic, tzv. hmotných bod ů. Každá tato částice má určitou hmotnost, která se projevuje tíhovou silou. Těžišt ěm tělesa T nazýváme bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech hmotných bod ů, ať těleso natočíme jakkoliv.

Těžišt ě úsečky V důsledku souměrnosti je těžiště uprostřed její délky.

Souměrná lomená čára Těžiště leží na ose souměrnosti a na spojnici těžišť obou úseků (ramen), z nichž se čára skládá.


- 27 -

Nesoum ěrná lomená čára Do těžišť obou ramen zavedeme síly F1, F2 úměrné délkám čar (F1=30, F2=20). Řešení provedeme pomocí momentové věty pro osy x a y.

Početně: 50baFV =+=

Pro stanovení x

∑ = 0M ; ( )ba2a

xxF0F2a

F2

V21 +⋅=⇒⋅=⋅+⋅

mm9x = Pro stanovení y

∑ = 0M ; ( )ba2b

yyF2b

F0F2

V21 +⋅=⇒⋅=⋅+⋅

mm4y =

vyučovací hodina: 30. Těžišt ě křivky Vycházíme z představy, že každou křivku lze přibližně nahradit lomenou čarou, složenou z úseček. Čím budou úsečky kratší, tím bude výsledek přesnější. Těžiště úseček už řešit umíme. V technické praxi se vyskytují nejčastěji čáry složené z úseček a kruhových oblouků.


- 28 -

Kruhový oblouk Těžiště T kruhového oblouku je na ose souměrnosti oblouku ve vzdálenosti y od středu oblouku.

• Půlkružnice

r32r2

y ⋅≅⋅=π

[ mm ]

• Kruhový oblouk

°°⋅=

αα

arcsin

ry [ mm ]

°⋅=° απα180

arc

Délka oblouku jednotkové kružnice (r=1), který přísluší středovému úhlu α° se nazývá arcus úhlu αααα°.

Při řešení t ěžišt ě složených čar nejdříve složenou čáru rozdělíme na dílčí čáry, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích čar určíme a zavedeme do nich síly úm ěrné délkám čar. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové v ěty . Součet momentů dílčích čar (v osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T . Početně:

∑=

=n

1iiV FF ….. velikost výslednice (délka složené čáry)

Pro stanovení xv

∑=

⋅=⋅n

1iiivv xFxF

Pro stanovení yv


- 29 -

∑=

⋅=⋅n

1iiivv yFyF [ mmN ⋅ ]

vyučovací hodina: 31. Příklad: Stanovte početně souřadnice těžiště složené čáry podle obrázku.

74,282Fl 11 ==

200Fl 22 == 74,782FF iV ==∑

300Fl 33 ==

stanovení xv

V321iivv x330F180F90FxFxF ⇒⋅+⋅+⋅=⋅=⋅ ∑

( )330F180F90FF1

x 321V

V ⋅+⋅+⋅=

( )3303001802009074,28274,782

1xV ⋅+⋅+⋅⋅=

20598,204xV ≈= [ mm ] stanovení yv

V321iivv y0F100F260FyFyF ⇒⋅+⋅+⋅=⋅=⋅ ∑


- 30 -

( )100F260FF1

y 21V

V ⋅+⋅=

( )10020026074,28274,782

1yV ⋅+⋅⋅=

5,119yV = [ mm ] vyučovací hodina: 32. 2.7.2. Těžišt ě složených ploch Při určování těžiště ploch vycházíme z poznatku, že těžiště obdélníka je v průsečíku jeho úhlopříček. Pak jakoukoliv plochu rozdělíme na proužky o stejné tloušťce, které budeme považovat za obdélníky. V nich najdeme těžiště, do kterých zavedeme síly, úměrné plochám těchto obdélníků. Výslednice takto vzniklých soustav rovnoběžných sil (v osách x a y) prochází těžišt ěm plochy T.

Početně:

∑=

==n

1iiyx FFF

Pro stanovení xT

∑=

⇒⋅=⋅n

1iTiiTy xxFxF

Pro stanovení yT

T

n

1iiiTx yyFyF ⇒⋅=⋅ ∑

=


- 31 -

Těžišt ě plochy čtverce, koso čtverce, obdélníka, kosodélníka, kruhu, elipsy Je v průsečíku jejich os souměrnosti (úhlopříček). Těžišt ě plochy trojúhelníka Je v průsečíku spojnic bodů, půlících strany trojúhelníka a protilehlých vrcholů.

Těžišt ě plochy lichob ěžníka

vyučovací hodina: 33. Těžišt ě plochy p ůlkruhu


- 32 -

rπ

rπ

ryy ⋅≅

⋅⋅=⋅⋅=⋅=

94

342

32

32

´ [ mm ]

Těžišt ě plochy výse če kruhu

°°⋅⋅=⋅=

αα

arcsin

r32

y32

´y [ mm ]

Při řešení t ěžišt ě složených ploch nejdříve složenou plochu rozdělíme na dílčí plochy, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích ploch určíme a zavedeme do nich síly úm ěrné plochám . Vlastní řešení provedeme pomocí momentové v ěty . Součet momentů dílčích ploch (v osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T . Početně:

∑=

=n

1iiV FF ….. velikost výslednice (obsah složené plochy)

Pro stanovení xv

∑=

⋅=⋅n

1iiivv xFxF

Pro stanovení yv

∑=

⋅=⋅n

1iiivv yFyF


- 33 -

vyučovací hodina: 34. Příklad: Stanovte početně souřadnice těžiště složené plochy podle obrázku.

Rozdělení na plochy v tomto případě provedeme tak, že od obdélníka (600x500) odečteme obdélník (200x200), kruh (φ150) a trojúhelník.

300000500600F1 =⋅= velký obdélník

40000200200F2 =⋅= malý obdélník - vybrání

5,176714

150F

2

3 =⋅= π kruhový otvor

112502150150

F4 =⋅= trojúhelník – zkosení hrany

Výsledná plocha(síla)

112505,1767140000300000FFFFFF 4321

n

1iiV −−−=−−−==∑

=

5,231078FV = [ N ] Stanovení xv

V4321iivv x550F100F200F300FxFxF ⇒⋅−⋅−⋅−⋅=⋅=⋅ ∑

( )550F100F200F300FF1

x 4321V

V ⋅−⋅−⋅−⋅=

( )550112501005,17671200400003003000005,231078

1xV ⋅−⋅−⋅−⋅⋅=

4,320xV = [ mm ]


- 34 -

Stanovení yv

V4321iivv y50F100F400F250FyFyF ⇒⋅−⋅−⋅−⋅=⋅=⋅ ∑

( )50F100F400F250FF1

y 4321V

V ⋅−⋅−⋅−⋅=

( )50112501005,17671400400002503000005,231078

1yV ⋅−⋅−⋅−⋅⋅=

2,245yV = [ mm ] Těžišt ě těles – pro informaci

• Koule a krychle – těžiště je v jejich geometrickém středu

• Válec a hranol (i kosý) – těžiště je v polovině spojnice těžišť obou podstav

• Kužel a jehlan – těžiště je v jedné čtvrtině spojnice těžiště podstavy s vrcholem U složitějších těles určíme těžiště rozložením tělesa na tělesa jednoduchá a v jejich těžištích necháme působit síly úm ěrné objem ům těles . Další postup je stejný jako u čar a ploch. Guldinovy v ěty Slouží k vypočítání povrchu a objemu rotačních těles. Povrch rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li délku tvořící čáry l drahou těžiště čáry T při otáčení kolem osy.

lx2P T ⋅⋅⋅= π [ 2mm ] Objem rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li obsah tvořící plochy S drahou těžiště plochy T při otáčení kolem osy.


- 35 -

Tx2SV ⋅⋅⋅= π

vyučovací hodina: 35. 2.7.3. Stabilita sou částí Působí-li na těleso kromě tíhy ještě síla F, která jej vychýlí z rovnováhy, poté přestane působit:

a) a těleso se vrací do své původní polohy – má rovnováhu stálou neboli stabilní b) a těleso se pohybuje dál – je jeho rovnováha vratká neboli labilní c) a těleso zůstane v nové poloze – má rovnováhu volnou neboli indiferentní

Při pohybu je důležitá poloha těžiště:

a) stoupá b) klesá c) zůstává ve stejné výši


- 36 -

vyučovací hodina: 36.

Klopný moment bFMKL ⋅= [N.m] Moment stability aGMS ⋅= [N.m] Pro rovnováhu platí: 0aGbF =⋅−⋅ V praxi se požaduje, aby SM byl vždy větší:

1M

MnnMM

KL

SKLS >=⇒⋅=

n …. míra bezpečnosti proti překlopení ( )5,1až2,1n = Z uvedeného plyne, že stabilní jsou dostatečně těžká tělesa s velkou podstavou. vyučovací hodina: 37. 2.8. STATIKA JEDNODUCHÝCH MECHANISM Ů S PASIVNÍMI ODPORY 2.8.1. Význam t ření a jeho druhy K uvedení tělesa z klidu do pohybu a k udržení tělesa v pohybu po podložce je třeba určité vnější síly. Pohybující se těleso se zastaví, přestane-li tato vnější síla působit. Příčinou je odpor proti pohybu ve stykových plochách těles. Tento odpor se nazývá tření. Příčinou je to, že těleso ani podložka nejsou dokonale hladké.


- 37 -

Tření užitečné - brzdy, třecí spojka, řemenové a lanové převody, vozovka-pneumatika, klíny, šrouby, třecí převody, …

Nežádoucí tření - čepy v ložiskách, tření ve vedeních, … Navíc při tření vzniká teplo, které je nutno bez užitku odvádět do okolí! Je proto nutné dobré mazání. Druhy t ření Smykové - vzniká při pohybu tělesa smykem (kluzem, vlečením). Působí vždy ve stykové ploše

a vždy proti směru pohybu. Valivé - vzniká při pohybu valivém mezi válcem a podložkou, protože nejsou dokonale tuhé. Čepové - vzniká v čepu uloženém v ložiskách a působí proti smyslu rotačního pohybu. Vláknové - vzniká při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše. vyučovací hodina: 38. 2.8.2. Tření smykové – vodorovná podložka, naklon ěná rovina Jednoduchým pokusem se zjišťovala velikost síly, která je zapotřebí k tomu, aby se břemeno pohybovalo rovnoměrným pohybem. Pro břemeno 1G to byla síla 1F , pro 2G síla 2F a pro 3G síla 3F .

Zjistilo se, že platí:

f.konstGF

...G

F

GF

GF

3

3

2

2

1

1 ====== …. součinitel smykového tření

f závisí na drsnosti stykových ploch, na materiálech stykových ploch a na tom, jsou-li plochy suché, nebo potřeny tenkou vrstvou maziva. Odpor smykového tření tF je přímo úměrný kolmému (normálovému) tlaku nF .

tFF nt ⋅=

Hodnoty f lze najít v tabulkách. Kov na kov - neopracované 0,22 – 0,31 - hladce opracované, suché 0,15 – 0,20 - hladce opracované, mírně mazané 0,12 – 0,15 - hladce opracované, vydatně mazané 0,03 – 0,08 Kov na dřevo - suché 0,38 – 0,56 - mazané 0,10 – 0,15 Kov na ledě - 0,02 Ferodo, fibr na kov - 0,40 – 0,7


- 38 -

Pohyb na vodorovné podložce Určete sílu F , která utáhne rovnoměrným pohybem břemeno tíhy G . 0FF t =−

fGFF t ⋅== GFn =

Bude-li síla odkloněna o úhel α pak

αcosFFx ⋅=

αsinFFy ⋅=

( ) ( ) fsinFGfFGF yt ⋅⋅−=⋅−= α

tx FF = … podmínka rovnoměrného

pohybu αα sinFfGfcosF ⋅⋅−⋅=⋅

( ) GfsinfcosF ⋅=⋅+⋅ αα

αα sinfcos

fGF

⋅+⋅= [N]

vyučovací hodina: 39. Pohyb po naklon ěné rovin ě

GFn = ; fFF nt ⋅= ; fF

fFF

Ftg

n

n

n

t =⋅

==ϕ

Má-li zůstat těleso v klidu, pak tFF ≤

Velikost tF je funkcí třecího úhlu ϕ

Velikost F je funkcí úhlu α Má-li zůstat těleso v klidu, pak ϕα ≤


- 39 -

Při pohybu musí platit naopak tFF ≥ tedy ϕα ≥ .

Podle obrázku lze také dokázat, že platí ϕϕϕ

tgcossin

f == .

Nyní stanovme sílu F , která utáhne břemeno G po nakloněné rovině směrem nahoru, působí-li síla rovnoběžně s nakloněnou rovinou. Reakce podložky αcosGFn ⋅=

Tření αcosGfFt ⋅⋅=

Podmínka pohybu αsinGFF t ⋅+≥

αsinGFF t ⋅+=

αα sinGcosGfF ⋅+⋅⋅=

( )αα cosfsinGF ⋅+⋅= [N] Nakloněná rovina je samosvorná , udrží-li se na ní těleso bez zvláštní zdržující síly ϕα ≤ .

Kdyby neexistovalo tření, byla by ideální síla pro tažení břemena αsinGFi ⋅=

Účinnost nakloněné roviny αα

αηcosGfsinG

sinGFFi

⋅⋅+⋅⋅==

1cosfsin

sin <⋅+

=αα

αη [--]

u samosvorné nakloněné roviny je 5,0<η . vyučovací hodina: 40. 2.8.3. Vzepření tyče ve vedení Tyč vedenou ve dvou vedeních nelze posunout, jsou-li tato vedení příliš blízko u sebe a nepůsobí-li síla přesně v ose. Tyč se ve vedení vzpříčí, je samosvorná.


- 40 -

vyučovací hodina: 41. a 42. 2.8.4. Tření na oblé ploše Jednošpalíková brzda

Začínáme vždy u rotujícího členu. PÁKA působí na BUBEN normálovou silou

nF , která vyvolá tření tF , působící proti

smyslu pohybu. BUBEN působí na PÁKU stejnými silami, ale opačného smyslu. Tyto síly zachytíme RÁMEM. Podmínka rovnováhy pro BUBEN

0rFM t =⋅−

Podmínka rovnováhy pro PÁKU

0bFcFaF nt =⋅−⋅−⋅

Třecí podmínka

fFF nt ⋅=

Řešíme tři rovnice o třech neznámých

rfM

F0rfFM nn ⋅=⇒=⋅⋅−

0bFcfFaF nn =⋅−⋅⋅−⋅

rfbM

rrM

brf

Mcf

rfM

aF⋅⋅+⋅=⋅

⋅+⋅⋅

⋅=⋅

arfbM

arcM

F⋅⋅

⋅+⋅⋅=

+⋅

= cfb

arM

F [N]

Úloha: Odvoďte vztah pro stanovení brzdné síly pro jednošpalíkovou brzdu dle obrázku.


- 41 -

vyučovací hodina: 43. 2.8.5. Tření čepové Otočné spojení členů mechanismu provádíme čepem uloženým v ložisku. Ve stykové ploše mezi čepem a ložiskem vzniká tření, které působí proti pohybu. Čep radiální - síla působí kolmo k ose otáčení Čep axiální - síla působí v ose otáčení

Čepy radiální Pro zjednodušení budeme uvažovat uložení čepu ve volné pánvi. Zde dochází ke styku v přímce. Při otáčení se čep posune ze středu otáčení a tím se posune i vzájemné působení.

Při rotaci výslednice vzájemného působení AF tvoří se zatížením G silovou dvojici. Tuto silovou

dvojici, které říkáme moment čepového t ření Č

M , musíme při otáčení čepu překonávat.

ρ⋅= GMČ

ϕρρϕ sinrr

sin ⋅=⇒=

ϕsinrGMČ

⋅⋅= Čfsin =ϕ … součinitel čepového tření

ČČfrGM ⋅⋅= [N.m]


- 42 -

Čepy axiální U nezaběhaného čepu předpokládáme, že se kolmý tlak rozloží rovnoměrně po styčné ploše.

∑∆== nn FFG

Na velmi malé výseči působí elementární reakce nF∆ v jejím těžišti. Tuto výseč pokládáme za ∆ a

pak vzdálenost těžiště od středu je r32 ⋅ . Elementární reakce nF∆ při otáčení čepu způsobuje

elementární tření fFF nt ⋅∆=∆ . Pak elementární moment čepového tření je

r32

fFr32

FM ntč ⋅⋅⋅∆=⋅⋅∆=∆ .

Výsledný moment čepového tření je

∑ ∑ ∑∆⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∆=∆= nnčč Ffr32

r32

fFMM

Gfr32

Mč ⋅⋅⋅= [N.m]

U zaběhaného čepu je čep více opotřebován na obvodu (delší dráha) a proto je kolmý tlak rozložen

nerovnoměrně. Uvažujeme, že těžiště elementární reakce nF∆ působí ve vzdálenosti r21 ⋅ .

Moment čepového tření potom je

Gfr21

Mč ⋅⋅⋅= [N.m]

Při velkém zatížení může vlivem velkého tlaku poblíž osy otáčení dojít k poruše materiálu. Tomu se předchází vybráním středu čepu. Působiště elementárního tlaku potom uvažujeme na středové kružnici vzniklého mezikruží.


- 43 -

GfrM Sč ⋅⋅= [N.m] ; 2

rrr 21

S

+= [mm]

vyučovací hodina: 44. 2.8.6. Odpor p ři valení Kdyby byly válec i vodorovná podložka dokonale tuhé, nedeformovala by se ani podložka ani válec. Styk by byl pouze čárový, v povrchové úsečce válce. Tíha válce G je v rovnováze s reakcí podložky

nF . Stačila by sebemenší vodorovná síla, aby uvedla válec do valivého pohybu. U skutečných těles dochází k deformaci podložky a tím vznikají silové poměry dle pravého obrázku. Tím se posune těžiště vzájemného působení a vzniklou silovou dvojici musíme překonávat jinou silovou dvojicí.

Podmínka rovnováhy

0GaF =⋅−⋅ ς ; ζ [mm] ... rameno valivého odporu (dzéta)

Rameno valivého odporu ζ závisí na materiálu podložky a válce. Lze jej nalézt v tabulkách. Součin ς⋅G nazýváme momentem valivého odporu.


- 44 -

Síla potřebná k překonání valivého odporu a

GFς⋅= [N]

Síla bude nejmenší, jestliže damax = ; d

GFmin

ς⋅= [N]

Naopak čím menší bude a , tím bude síla F větší. Má to však určitou hranici. Stalo by se, že místo valení se válec bude smýkat. Tento případ nastane, když síla pro smýkání bude menší než síla pro valení.

Pro valení min

max aGF

ς⋅=

Pro smýkání fGF ⋅= Aby nedošlo ke smýkání musí platit FFmax ≤ .

fGa

Gmin

⋅≤⋅ ς ⇒

famin

ς= [-]

Trakční odpory V praxi je většinou spojeno valení s uložením v čepech. Sílu, působící v ose válce lze pak stanovit ze vzorce

0MGrF č =−⋅−⋅ ς

r

MGF č−⋅

=ς

[N]

vyučovací hodina: 45. 2.8.7. Tření vláknové, pásové brzdy Při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše vzniká vláknové tření. Síla na jedné straně je vždy větší. Velikost zvětšení této síly je závislé na úhlu opásání, na použitém nosném prvku a na drsnosti válcové plochy.

Pro zvedání platí GF1 > αf1 eGF ⋅= [N] 21 F,F … síly vláknového tření

G … tíha břemena


- 45 -

Pro spouštění platí GF2 < αf2 e1

GF ⋅= [N] e … základ přirozených logaritmů

f … součinitel smykového tření α … úhel opásání v obloukové míře

Výraz αfe pro různé f a α lze také najít v tabulkách. vyučovací hodina: 46. Pásová brzda Úkolem je určit brzdící sílu F pro ubrždění momentu M .

uvolnění členů zachycení účinků sil do rámu brzdy

2s1s FF > αf2s1s eFF ⋅=

Podmínka rovnováhy členu 2 (začínáme rotujícím členem)

0rFrFM 1s2s =⋅−⋅+

Podmínka rovnováhy členu 3

0bFaF 2s =⋅−⋅ ⇒ ba

FF 2s ⋅=

Podmínka vláknového tření

αf2s1s eFF ⋅=

Získali jsme soustavu tří rovnic o třech neznámých.


- 46 -

0reFrFM f2s2s =⋅⋅−⋅+ α

( ) 01erFM f2s =−⋅⋅− α

( ) 01erba

FM f =−⋅⋅⋅− α

( )1erba

FM f −⋅⋅⋅= α ⇒ 1e

1ab

rM

Ff −

⋅⋅= α [N]

Při změně smyslu otáčení bubnu dojde ke změně brzdícího účinku a tím i síly F . Rovnováha členu 3 0bFaF 1s =⋅−⋅

Změnou smyslu otáčení se změnila síla 2sF na 1sF .

Pásová brzda sou čtová Aby byla rovnováha na páce pro oba smysly otáčení stejná, provedeme následující úpravu konstrukce. Rovnice rovnováhy pro oba smysly 0rFrFM 1s2s =⋅−⋅+

0bFbFaF 2s1s =⋅−⋅−⋅ ⇒ bFbFaF 2s1s ⋅+⋅=⋅

αf2s1s eFF ⋅=

Síla F je větší. Je vidět, že musí překonávat obě síly. Proto se jí říká součtová. (Účinky tahů v páse 1sF a 2sF na páce se

sčítají). Je to cena za to, že se brzda hodí pro oba smysly otáčení.


- 47 -

vyučovací hodina: 47. Pásová brzda rozdílová Potřebujeme-li aby byla ovládací síla F malá.

0rFrFM 1s2s =⋅−⋅+

0cFbFaF 2s1s =⋅−⋅+⋅ ⇒ bFcFaF 1s2s ⋅−⋅=⋅

αf2s1s eFF ⋅=

Z rovnováhy na páce vidíme, že síla 1sF pomáhá brzdící síle F . Účinky tahů v páse 1sF a 2sF na

páce se odčítají. Řemenový p řevod Vlivem smyslu otáčení

2s1s FF >

αf2s1s eFF ⋅= ⇒ αf

1s2s e

FF =

0rFrFM 11s12s1 =⋅−⋅+

Naším úkolem je určit maximální sílu v řemenu, tedy 1sF .

0rFre

FM 11s1f

1s1 =⋅−⋅+ α

−⋅⋅=

−⋅⋅=⋅−⋅= α

α

αα f

f

11sf11s1f1s

11s1 e1e

rFe1

1rFre

FrFM

1ee

rM

Ff

f

1

11s −

⋅= α

α

[N] αf1s

2s e

FF = [N]


- 48 -

vyučovací hodina: 48. Praktické aplikace vyučovací hodina: 49. a 50. 2.9. OPAKOVÁNÍ STATIKY vyučovací hodina: 51.

3. PRUŽNOST A PEVNOST (PaP) 3.1. DEFINICE PAP, ZÁKLADNÍ DRUHY NAMÁHÁNÍ 3.1.1. Definice PaP, základní pojmy Při řešení úloh PaP se předpokládá, že těleso je v klidu nebo v rovnoměrném pohybu. Úkolem nauky o PaP je určit k předepsanému vnějšímu zatížení rozměry a deformaci tělesa tak, aby se nepřekročila nejen mez pevnosti, ale ani mez pružnosti, za kterou se tělesa trvale deformují. Mez pevnosti - při jejím překročení součást praskne Mez pružnosti - při jejím překročení se začíná součást trvale deformovat Druhy namáhání: 1) tahem 2) tlakem 3) smykem (střihem) 4) krutem 5) ohybem 6) vzpěrem Charakteristické zatížení Zatěžující síly dělíme:

a) podle místa působení � VNĚJŠÍ (akční) � VNITŘNÍ (reakční)

b) podle výsledného účinku

� OSAMĚLÉ SÍLY F ⇒ posun � MOMENTY SIL M ⇒ otáčení

c) podle polohy roviny zatížení a roviny průřezu

� KOLMÉ NA PRŮŘEZ � ROVNOBĚŽNÉ S PRŮŘEZEM

Charakteristický pr ůřez

� plocha pr ůřezu S (tah, tlak, smyk) � modul pr ůřezu W (krut, ohyb)


- 49 -

Napětí Podíl, určující průměrnou (střední) hodnotu vnitřních sil, které působí na danou plochu.

Druhy napětí:

a) σ - normálová napětí (kolmá na průřez) b) τ - tečná napětí (rovnoběžná s průřezem)

Charakteristická deformace

a) tah - prodloužení b) tlak - zkrácení c) smyk - posunutí d) krut - zkroucení e) ohyb - prúhyb

Výpočet charakteristické deformace

Součin charakteristického průřezu a modulu pružnosti bývá často nazýván TUHOST. 3.1.1. Zásady dimenzování sou částí Při návrhu součásti musí být splněna podmínka, že součást musí vyhovovat jak po stránce pevnosti, tak i deformace.

� Pevnostní rovnice

Tato rovnice slouží k výpočtu:

a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené

� Deforma ční rovnice

Tato rovnice opět slouží k výpočtu:

a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené d) Maximální deformace


- 50 -

vyučovací hodina: 52. 3.1.2. Základní druhy namáhání

o Namáhání tahem

Definice: Součást je namáhaná tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované

a směřují ven z průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace: prodloužení a zúžení průřezu Pevnostní rovnice:

o Namáhání tlakem

Definice: Součást je namáhaná tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované

a směřují do průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce. Deformace: zkrácení a rozšíření průřezu Pevnostní rovnice:


- 51 -

o Namáhání smykem

Definice: Součást je namáhaná smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně

orientované a rovnoběžné s průřezem. Deformace: posunutí části I proti části II Pevnostní rovnice:

o Namáhání krutem

Definice: Součást je namáhaná krutem, působí-li na ni dvojice sil rovnoběžná s průřezem. Deformace: zkroucení Pevnostní rovnice:


- 52 -

o Namáhání ohybem

Definice: Součást je namáhaná ohybem, působí-li na ni dvojice sil, jejíž rovina je kolmá k rovině

průřezu. Deformace: průhyb Pevnostní rovnice:

vyučovací hodina: 53. 3.2. TAH, TLAK 3.2.1. Tahový diagram Ke zjištění mechanických vlastností v tahu se provádí tahová zkouška: Zkušební tyčinku normalizovaného tvaru upevníme do trhacího stroje, na nějž je napojeno kreslící zařízení. To zaznamená průběh zkoušky do tzv.pracovního diagramu. Pracovní diagram měkké uhlíkové oceli


- 53 -

Protože hodnoty z pracovního diagramu nelze obecně využít (platí jen pro zkušební tyčinku), zavádíme tzv. smluvní diagram. Smluvní diagram měkké uhlíkové oceli

ε … poměrné prodloužení

me RR , ..……. meze zjišťované z diagramu

tPtK σσ ,, , …… meze zjišťované výpočtem

Definice mezí U - mez úměrnosti – (platí Hookův zákon) … obtížně zjistitelná E - mez pružnosti (elasticity) – zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky K - mez kluzu – součást se prodlužuje i přes pokles napětí P - mez pevnosti – objevují se první trhliny S - bod p řetržení Veličiny charakterizující mechanické vlastnosti materiálu

1. Tažnost

1000

0 ⋅−

=l

llδ [ ]%


- 54 -

2. Kontrakce (pom ěrné zúžení)

1000

0 ⋅−

=S

SSψ [ ]%

Obě tyto veličiny charakterizují HOUŽEVNATOST MATERIÁLU . Podle tvaru tahového diagramu se posuzuje zejména pružnost (čím Eσ> , tím je materiál pružnější) a

pevnost (čím Pσ> , tím je materiál pevnější) a dále houževnatost materiálu. Napětí na mezi kluzu je výchozí hodnotou pevnostních výpočtů houževnatých materiálů. U vysokouhlíkových ocelí však není tato mez v diagramu výrazná, proto se za mez kluzu pokládá napětí, při kterém po odlehčení tyčinky zůstává poměrné prodloužení o hodnotě 002,0=ε , tedy

%2,0 původní délky.Tato hodnota se označuje == 2,02,0, PtK Rσ smluvní mez kluzu .

vyučovací hodina: 54. 3.2.2. Hookův zákon v tahu, deforma ční rovnice Až do meze úměrnosti má křivka tahového diagramu tvar přímky => do této meze platí přímá úměra mezi σ a ε . Definice

� Slovně : Až do meze úměrnosti je napětí přímo úměrné poměrnému prodloužení.

� Matematicky: (rovnice přímky)

xky ⋅= dosazením σ a ε

E … modul pružnosti v tahu (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa])


- 55 -

Z Hookova zákona lze odvodit vztah pro výpočet skutečné deformace (prodloužení) l∆ , tj. deforma ční rovnici .

SF

σ = ; 0ll

ε∆=

⇒∆⋅=⇒⋅=

0ll

ESF

εEσES

lFl

⋅⋅

=∆ 0

Obecná deformační rovnice

Odvozená deformační rovnice pro l∆

vyučovací hodina: 55. 3.2.3. Pevnostní rovnice v tahu a tlaku, dovolené nap ětí Obecně platná pevnostní rovnice

Na základě této rovnice můžeme napsat pevnostní rovnice pro namáhání:

a) Tahem

b) Tlakem

Dovolené napětí

Je maximální přípustné napětí, při kterém dochází pouze k pružným deformacím => v tahovém diagramu se bude tedy nacházet pod mezí pružnosti (elasticity).


- 56 -

Protože zjištění této meze je velmi zdlouhavé, dovolené nap ětí se počítá, nebo zjišťuje z tabulek.

� Houževnaté materiály

ck

σc

k

σσ tPtK

tD ⋅⋅

=⋅= ,,,

6,0

Pozn.: míra bezpečnosti k závisí na druhu materiálu, pro oceli obvykle bereme 25,1 ≅=k .

� Křehké materiály

ck

σσ tP

tD ⋅= ,,

Pozn.: míra bezpečnosti k závisí opět na druhu materiálu. Bereme obvykle 64 ≅=k . Mez kluzu se volí:

� Uhlíkové oceli MPaσ tP 700, ≤ …. tPtK σσ ,, 6,0 ⋅≈

� Slitinové oceli ……………………….. tPtK σσ ,, 8,0 ⋅≈

vyučovací hodina: 56. 3.2.4. Druhy zatížení, nebezpe čný pr ůřez Druhy zatížení

I. Statické

II. Míjivé


- 57 -

III. Střídavé

Úloha: Ve ST najděte tabulku součinitelů zatížení. vyučovací hodina: 57. Nebezpečný průřez Je to nejvíce namáhaný příčný průřez součásti, tj. ten, ve kterém je největší napětí => zpravidla nejmenší průřez součásti. Příklad: Nebezpečný průřez táhla, zeslabeného příčným otvorem.

( )dbhS −⋅=

Příklady:

1. Ocelové táhlo s průřezem mmhb 6010 ⋅=⋅ má být zatíženo klidnou silou kNF 69= . Zjistěte, zda rozměry a zatížení vyhovují je-li materiál 11343 , 7=k .

2. Plochá ocelová tyč je zatížena tahem osovou silou kNF 40= . Jaké jsou optimální

průřezové rozměry hb; je-li 4h

b = , střídavé zatížení, materiál 11500 a 2=k .

3. Jak velkou míjivou silou můžeme zatížit táhlo z oceli 11500 , nemá-li napětí překročit tDσ , .

Táhlo je průřezu mm840 ⋅ a je v něm příčná díra mm15 . 2=k .


- 58 -

vyučovací hodina: 58. 3.2.5. Měrný tlak V praxi se často setkáváme s tím, že dvě součásti funkčně spolu spojené (hřídel-ložisko, pero-náboj) na sebe vzájemně působí – tlačí. V těchto případech je nutné zjistit, zda tlak ve styčných plochách, tzv. měrný tlak , nepřesahuje dovolenou hodnotu. Obecný výpočet

Dovolený tlak

� ( ) dDD σp ,9,07,0 ⋅≅= …… pro součásti ve vzájemném klidu. Bere se hodnota té

součásti, která je menší!

� ( ) MPapD 201≅= ………. pro součásti ve vzájemném pohybu. Značně kolísá, závisí na druhu materiálu, tvrdosti, drsnosti povrchů, obvodové rychlosti, mazání, rázech atd.

Příklady:

a) rovinná styčná plocha

� ROVNÁ

[ ]MPaplb

FSF

p D≤⋅

==


- 59 -

� KLÍNOVÁ DRÁŽKA

[ ]Nα

FFF nn sin221 ⋅

==

[ ]MPaplαb

FSF

p D≤⋅⋅⋅

==sin2

b) zakřivená styčná plocha

� TLAK MEZI HŘÍDELEM A LOŽISKEM

[ ]MPapld

FSF

p D≤⋅

==

Poznámka: Další příklady aplikací měrného tlaku budou probírány ve 2. ročníku v předmětu

Stavba a provoz strojů.


- 60 -

vyučovací hodina: 59. 3.3. PROSTÝ SMYK 3.3.1. Definice, pevnostní rovnice Namáhání prostým smykem vzniká tehdy, když dvě stejně velké síly opačného smyslu působí na společné nositelce, procházející těžištěm průřezu. Materiál se brání snaze vnějších sil posunout po sobě obě části vnitřní silou, která se projeví tečným napětím.

Tento ideální případ se vyskytuje jen u velmi přesného stříhání materiálu. V obecném případě síly neleží na společné nositelce a kromě posuvu profilu dojde vždy ještě k ohybu.

V praxi tento přídavný ohyb většinou zanedbáváme, takže pevnostní rovnice má stejný tvar jako rovnice v tahu a tlaku. Pevnostní rovnice

n …….. počet střižných ploch Z diagramu pro zkoušku smykem vyplývá: tksk στ ,, 6,0 ⋅=& => tDsD στ ,, 6,0 ⋅=& …… pro oceli

( ) tDsD στ ,, 18,0 ⋅≅=& .. pro litinu


- 61 -

vyučovací hodina: 60. 3.3.2. Deforma ční rovnice Mysleme si, že nosník se skládá z jednotlivých vrstviček, které by se účinkem síly F po sobě posunuly.

Původně vodorovné roviny nosníku se skloní o malý úhel γ . zkosγtg =

pro velmi malé úhly platí

γll

γtg =∆= &

Až po mez úměrnosti mezi zkosem a napětím platí

γkτ ⋅= k … konstanta Dosadíme-li Gk = , dostaneme Hookův zákon pro smyk

G … modul pružnosti ve smyku (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa])

( )µE

G+⋅

=12

µ …. Poissonova konstanta EG ⋅=83

& …. pro oceli

Z Hookova zákona lze dosazením získat deforma ční rovnici .

ll

γ∆= ;

SF

τ =

GSF

ll

⋅=∆

GS ⋅ …… tuhost ve smyku


- 62 -

3.3.3. Stříhání materiálu Při stříhání materiálu musíme materiál porušit a proto platí upravená pevnostní rovnice

[ ]mmO … obvod střihu

[ ]mmt …. tloušťka stříhaného materiálu vyučovací hodina: 61. 3.3.4. Praktické aplikace vyučovací hodina: 62. 3.4. PRŮŘEZOVÉ MODULY PRO NAMÁHÁNÍ KRUTEM A OHYBEM Úvod Při namáhání v tahu, tlaku a smyku jsme poznali, že charakteristickými veličinami byla velikost síly a plochy průřezu. To tedy znamená, že u těchto druhů namáhání nezáleží na poloze, tvaru nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Jinak tomu bude u namáhání krutem a ohybem, o čemž se můžeme přesvědčit pokusem. Pokus: Vezměme rovné plastové pravítko obdélníkového průřezu a ohýbejme jej. Zjistíme, že

pravítko se daleko lehčeji ohne naležato než nastojato. Vidíme tedy, že u ohybu (i krutu a vzpěru) není únosnost a deformace závislá jen na velikosti průřezu, ale závisí i na poloze, tvaru a rozložení podél průřezové osy. Charakteristickou veličinou je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU. 3.4.1. Kvadratický moment pr ůřezu je charakteristickou průřezovou veličinou pro krut, ohyb a vzpěr. Označení: zyx JJJ ,, zyx ,, … osy, ke kterým moment počítáme

Výpočet: ∑ ⋅∆= 2ySJ x

[ ]∑ ⋅∆= 42 mmxSJ y

Tyto vztahy potřebujeme při odvozování rovnice pro ohyb, kde jsou vztaženy na neutrální osu ( osu bez napětí a deformace).

Součet součinů 2xS ⋅∆ a 2yS ⋅∆ se vztahuje na celou plochu průřezu. Jelikož kvadratický moment roste s druhou mocninou vzdálenosti od osy, proto se pravítko nastojato daleko méně deformuje než naležato.


- 63 -

POZOR !!! ∑ ⋅∆=/⋅ 22 ySyS T

3.4.2. Vztah mezi kvadratickým a polárním momentem pr ůřezu Kromě kvadratického momentu průřezu rozeznáváme ještě tzv. POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU PJ , který je vztažen k ose, která je k rovině kolmá. Bod 0 , ve kterém osa protíná rovinu obrazce nazýváme PÓLEM.

Jelikož platí, že 222 yxρ += , můžeme pak psát vztah

( )∑ ∑ ∑ ∑ +=⋅∆+⋅∆=+⋅∆=⋅∆= xyP JJySxSyxSρSJ 22222

yxP JJJ +=

Polární moment průřezu je roven součtu kvadratických momentů průřezu ke dvěma vzájemně kolmým osám, které se protínají v pólu. vyučovací hodina: 63. 3.4.3. Kvadratické a polární momenty základních rovinných obrazc ů, průřezové moduly v krutu a v ohybu Kvadratické a polární momenty Hodnoty pro základní geometrické tvary (kruh, čtverec, obdélník, mezikruží, … ) lze najít ve Strojnických tabulkách. Úloha: Vyhledej si ve Strojnických tabulkách hodnoty kvadratického a polárního momentu pro

základní geometrické obrazce. Nalezené výrazy zapiš do tabulky. Průřezové moduly v krutu a v ohybu V úvodní kapitole byly uvedeny vztahy pro určení napětí v ohybu a v krutu

Veličiny oW a kW jsou odvozeny z hodnot J a PJ a platí pro ně:


- 64 -

� Modul pr ůřezu v ohybu

eJ

W xox =

[ ]3mme

JW y

oy =

Tento vztah platí vždy!

� Modul pr ůřezu v krutu

[ ]3mmeJ

W Pk =

U krutu platí pouze pro kruhové průřezy! Úloha: Odvoď (vyhledej) oW a kW pro základní geometrické obrazce a zapiš je do tabulky.

vyučovací hodina: 64. 3.4.4. Steinerova v ěta Osa, která prochází těžištěm se nazývá centrální osa a příslušný kvadratický moment průřezu centrální kvadratický moment průřezu.

K ose x platí ∑ ⋅∆= 2ySJ x

1x platí ∑ ⋅∆= 211 ySJ x

ayy +=1 pak platí

( )∑ ∑ ∑ ∑ ⋅∆+∆⋅⋅⋅+⋅∆=+⋅∆= 2221 2 aSSyaySaySJ x

Druhý člen ∑ ∑ =∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅ 022 SyaSya … lineární moment průřezu k ose procházející

těžištěm (je roven nule)


- 65 -

Po úpravě lze psát Steinerovu v ětu

[ ]421 mmSaJJ xx ⋅+=

Znění: Kvadratický moment průřezu k libovolné ose rovnoběžné s centrální osou se rovná

kvadratickému momentu průřezu k centrální ose, zvetšenému o součin velikosti průřezu a druhé mocniny vzdálenosti obou os.

Centrální osy: - osy k sobě kolmé, procházející těžištěm Poznánky: � Má-li průřez osu souměrnosti, je tato vždy hlavní centrální osou � Druhá osa jdoucí těžištěm je k hlavní ose kolmá � Má-li průřez osu souměrnosti, pak kvadratické momenty obou stran (částí) jsou stejné � Posuneme-li plochu rovnoběžně s osou, ke které kvadratický moment hledáme, pak se tento

kvadratický nezmění vyučovací hodina: 65. 3.4.5. Kvadratické momenty a pr ůřezové moduly složených pr ůřezů Při výpočtu platí zásada: Kvadratické momenty průřezu lze slučovat tehdy a jen tehdy, jsou-li vztaženy ke společné ose! U složených obrazců rozlišujeme dva základní případy:

a) Dílčí plochy mají spole čnou osu soum ěrnosti

Pak platí vztah ∑=

=n

iiJJ

1

n …… počet ploch

Řešení si ukážeme na konkrétní úloze. Úloha: Stanovte xJ složené plochy podle obrázku.

Pro úlohu platí

níkaobdélJkruhuJčtverceJJ xxxx +−=

126412

344 hbdπaJ x

⋅+⋅−=


- 66 -

b) Dílčí plochy nemají spole čnou osu soum ěrnosti Jestliže nemají plochy společnou osu souměrnosti, pak všechny kvadratické momenty průřezu dílčích ploch musíme převést z jejich těžišťových os na rovnoběžnou společnou neutrální osu a teprve pak je sloučit. Pak platí vztah

( )∑ ∑ ∑= = =

⋅+=⋅+=n

i

n

i

n

iiiiiii aSJaSJJ

1 1 1

22 n …… počet ploch

Pro řešení úloh tohoto typu je možno definovat obecný postup:

1. Zjistíme početně nebo graficky polohu těžiště daného složeného průřezu (viz Statika).

2. Rozdělíme průřez na základní obrazce, u kterých umíme kvadratické momenty průřezu určit, nebo je známe.

3. Určíme kvadratický moment průřezu každé dílčí plochy k ose procházející jejím těžištěm,

rovnoběžné s centrální osou. Zatím tyto kvadratické momenty nemůžeme slučovat, protože jsou stanoveny k různým osám.

4. Kvadratické momenty průřezu dílčích ploch převedeme pomocí Steinerovi věty na centrální

osu.

5. Převedené kvadratické momenty dílčích ploch sloučíme a dostaneme celkový kvadratický moment průřezu.

6. Z kvadratického momentu vypočítáme průřezový modul v ohybu.

vyučovací hodina: 66. 3.4.6. Praktické aplikace Úloha: Určete xJ a oxW složeného profilu podle obrázku.


- 67 -

Rozbor úlohy:

OTVORŮŮHELNÍKŮPÁSNICSTOJINY JJJJJ −++=

Vlastní řešení:

1. Stojina

4633

1 105,221230010

12mm

hbJ x ⋅=⋅=⋅=

2. Pásnice

4623

23

2 1049,621551301012

101302

122 mmaS

hbJ x ⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅=

3. Úhelníky

Z norem určíme velikost průřezu, vzdálenost těžiště a kvadratický moment průřezu k těžišťové ose rovnoběžné s osou x .

2656 mmS = ; mme 15= ; 44´ 106,14 mmJ x ⋅=

( ) ( ) 46242´3 104,48135656106,1444 mmaSJJ xx ⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅=

4. Otvory

Vyřešíme bez použití Steinerovy věty rozdílem kvadratických momentů dvou obdélníků.

( ) 46334 1037,92863206

121

2 mmJ x ⋅=−⋅⋅⋅=

Celkový kvadratický moment

4321 xxxxx JJJJJ −++= 6666 1037,9104,481049,62105,22 ⋅−⋅+⋅+⋅=xJ

4610124 mmJ x ⋅=

Modul průřezu v ohybu

356

1075,7160

10124mm

eJ

W xox ⋅=⋅==

vyučovací hodina: 67. a 68. 3.5. OPAKOVÁNÍ Literatura: Mrňák L., Drla A. MECHANIKA – Pružnost a pevnost SNTL 1977 Salaba S, Matěna A. MECHANIKA I - Statika SNTL 1982 Hofírek M. MECHANIKA STATIKA Fragment 1998 Hofírek M. MECHANIKA STATIKA pracovní sešit Fragment 1998

mechanika imedia1.iplace.cz/.../statika_pap.pdf2. statika 2.1. Ú vod, Úkoly statiky, zÁkladnÍ...

Documents