mecanica-fractura

8/13/2019 MECANICA-FRACTURA

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Apuntes de Mecnica de la Fractura (v 0.6)

Rafael Gallego SevillaEsther Puertas Garca

Curso 2011-12


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ndice general

1. Recordatorio de la elasticidad 11.1. Campos de desplazamientos y acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Vector de tensiones internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Tensor de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Simetra del tensor de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Tensor de tensiones en otros sistemas de coordenadas . . . . . 61.3.3. Relacin entre el vector tensin y el tensor de tensiones . . . . 81.3.4. Ecuaciones de equilibrio en el dominio . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Tensor de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1. Ecuaciones de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2. Clculo del campo de desplazamientos a partir del campo dedeformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3. Tensor de deformaciones en coordenadas curvilneas . . . . . . 16

1.5. Ecuaciones de comportamiento o leyes constitutivas . . . . . . . . . . 171.5.1. Anisotropa general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2. Ortotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.3. Isotropa transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.4. Isotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. El problema elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. Estados elsticos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8. Crculo de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1. Crculos de Mohr en tensin plana y deformacin plana . . . . 291.9. Tcnicas analticas de resolucin de problemas planos . . . . . . . . . 29

1.9.1. Funcin de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9.2. Funcin de Airy en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . 341.9.3. Funcin de Airy utilizando potenciales complejos . . . . . . . 48

2. Mecnica de la Fractura Elstica Lineal 552.1. Solucin para el problema de una grieta nita en un medio innito . . 55

2.1.1. Desarrollo asinttico de la solucin . . . . . . . . . . . . . . . 58

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NDICE GENERAL NDICE GENERAL

2.2. Comportamiento asinttico del campo de tensiones en las inmedia-ciones del vrtice de una grieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.1. Caso simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2.2. Caso antisimtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.3. Expresiones tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3. Factores de intensidad de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3.1. Modos de fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.4. Postulado de Irwin: criterio de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.1. Criterio de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.2. Valores de la Tenacidad a la Fractura en materiales de inters 72

2.5. Rango de validez de la solucin singular asinttica . . . . . . . . . . . 722.6. El F.I.T. para casos de carga y geometra complejos . . . . . . . . . . 752.6.1. Grieta supercial en un dominio semi-innito . . . . . . . . . 762.6.2. Grieta centrada en pieza de ancho nito . . . . . . . . . . . . 762.6.3. Dos grietas superciales en pieza de ancho nito . . . . . . . . 782.6.4. Probeta a traccin con una grieta supercial . . . . . . . . . . 792.6.5. Probeta a exin con una grieta supercial . . . . . . . . . . . 812.6.6. Grieta nita en medio innito bajo carga concentrada en una

cara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.7. Factor de Intensidad de Tensiones para problemas tridimensionales . 83

2.7.1. Grieta circular plana en un medio innito con tensiones remo-tas uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7.2. Grieta elptica plana en un medio innito con tensiones remo-tas uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.7.3. Grieta semielptica supercial con tensiones remotas uniformes 862.8. Otros parmetros de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3. La Zona plstica en el Vrtice de la Grieta 893.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2. La correccin plstica de Irwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3. Modelo de Dugdale-Baremblatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4. Forma de la zona plstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.5. Tensin plana vs deformacin plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.6. Efecto del espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.7. Factor de restriccin de plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

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Captulo 1

Recordatorio de la elasticidad

Para el anlisis local del fenmeno de fractura es necesario manejar las tcnicas dela Mecnica de Medios Continuos. En este captulo vamos a recordar los conceptosbsicos de la elasticidad lineal, as como alguno de los mtodos de resolucin delproblema elstico, aplicables a problemas planos.

1.1. Campos de desplazamientos y acciones

Dado un cuerpo deformable un punto P cuyas coordenadas cartesianas ini-ciales son (x1, x2, x3)1 se desplaza a la posicin P de coordenadas (x1, x2, x3), enel mismo sistema de coordenadas, cuando se aplican sobre el mismo unas solicita-ciones externas. El slido que ocupa la regin se transforma en mediante lasecuaciones,

xi = xi (x1, x2, x3) (1.1)

que supondremos son biyectivas y continuas hasta el grado necesario.Podemos denir el campo de desplazamientos como el vector u cuyas componen-

tes son ui = xi x i . El campo de desplazamientos es funcin de la posicin inicialdel punto P , de modo que u = u (x ). En estas notas consideraremos nicamente elcaso en que |u | H siendo H una dimensin general del slido, es decir, la Teora Lineal de la Elasticidad .

La solicitacin externa puede ser de dos tipos: fuerzas de volumen o de supercie.Las fuerzas de volumen actan en cada punto x del slido, como pueden ser elpeso propio o las fuerzas de inercia. Denotaremos a este tipo de fuerzas medianteb = b (x ) = ( b1, b2, b3), cuya dimensin es de FL3 , es decir,

fuerzas por unidad de volumen .

1 Utilizaremos esta notacin para las coordenadas cartesianas, o bien la notacin habitual (x,y,z )

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1.2. Vector de tensiones internas Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

Figura 1.1: Slido deformable

Por otra parte, las fuerzas de supercie actan en el contorno del slido , ylas denotaremos por t = t (x ) = ( t1, t2, t3), que tendrn unidades de FL2 .

El objetivo de la Mecnica de Slidos Deformables , o Mecnica de Medios Con-tinuos , es desarrollar una metodologa para obtener el campo de desplazamientos uen un slido sometido a unas acciones (b , t ) en su interior y supercie, respecti-vamente.

(b , t ) uPara la resolucin de este problema es necesario denir unos campos adicionales,

que permitan abordar el problema de manera general: el campo de tensiones, y elcampo de deformaciones.

1.2. Vector de tensiones internas

El concepto del campo de tensiones puede derivarse del siguiente experimentomental . Consideremos un slido bajo la accin de una serie de cargas exteriores P i ,que se encuentra en equilibrio. En el interior del slido se producirn unas fuerzas internas , para mantener unidas entre s sus diversas partes. Para ver la magnitud dedichas fuerzas internas consideremos que el slido se divide en dos partes a travsde una seccin S (ver gura).

Cada una de las partes A y B en que se ha dividido el slido, tambin esten equilibrio, por lo que en la seccin S debemos considerar la existencia de unas fuerzas internas , distribuidas sobre la seccin S . La intensidad de estas fuerzas,

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1.2. Vector de tensiones internas Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

Figura 1.2: Slido en equilibrio: fuerzas internas en una seccin

es decir, su magnitud por unidad de rea es lo que se denomina tensin . Segnesta denicin, la tensin en un punto O de la seccin S podra obtenerse con elsiguiente procedimiento: consideramos el rea A de un entorno alrededor del puntoO en la seccin S y obtenemos la resultante de fuerzas en O de las fuerzas internasdistribuidas 2 en A que denominaremos F . Calculamos ahora el cociente entre estaresultante y el rea del entorno, FA . El vector de tensiones en el punto O, segn laseccin S , vendr dada por el lmite,

t = lmA 0

FA

Ntese que esta es una denicin conceptual , y no hay que considerar la expresinanterior como una frmula prctica para el clculo del vector tensin.

Del concepto de tensin interna es necesario destacar varias ideas:

1. Las dimensiones del vector tensin son las de FL2 , es decir, fuerza por unidad de supercie .

2. El vector tensin t puede tener una direccin cualquiera, por lo que podremosdescomponerlo en dos direcciones: una componente segn la normal a S enel punto O (componente normal ), y una componente perpendicular a esta, olo que es lo mismo, segn un plano tangente a S en O, que denominaremos,componente tangencial

2 Podra considerarse tambin la existencia de un momento resultante, pero en la teora queestamos considerando se supone que se anula al hacer tender a cero el rea A. La teora de medioscontinuos que considera estos momentos se denomina, teora micropolar

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1.3. Tensor de tensiones Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

Figura 1.3: Elemento diferencial sometido a tensiones en sus caras

3. La componente normal puede tener el sentido de la normal exterior a S en O,o su contrario. Es decir, de manera general, la componente normal puede serde compresin o de traccin .

4. Queda claro entonces, que la naturaleza de las fuerzas internas en un slido esms compleja que las de un lquido , que se reducen a una presin aplicada enel rea A.

1.3. Tensor de tensiones

El concepto de tensiones internas visto en el apartado anterior podemos apli-carlos a un elemento diferencial centrado en un punto cualquiera P (ver gura(1.3)).

En cada cara del elemento diferencial habr un vector tensin que se describesegn sus componentes normal y tangencial. A su vez, la componente tangencialen cada cara, se descompone segn los ejes cartesianos. Por la continuidad de lasfuerzas internas, y por aplicacin de la tercera Ley de Newton (principio de accin yreaccin), las tensiones en caras paralelas del elemento diferencial tendrn el mismovalor y sentido opuesto. Observamos entonces que en cada par de caras opuestas cuyanormal est en direccin i, acta un vector tensin que tendr de tres componentes,de modo que en total, existirn, inicialmente, 9 componentes independientes.

Emplearemos notaciones diversas para denominar a las componentes del tensorde tensiones. En la notacin ms general, ij denota la componente segn el eje jdel vector tensin que existe en una cara cuya normal va segn la direccin del eje

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i (en sentido positivo, o negativo). En otras ocasiones se utilizaran los nombres delos ejes como sub-indices, en vez de los nmeros 1, 2 y 3. As, xz = 13 . Por ltimo,para distinguir entre las componentes tangenciales y las normales, se reservar laletra para estas ltimas, y se utilizar para las primeras.

El sentido positivo de ij ser segn el sentido positivo del eje j , si en la caraque estamos considerando, la normal va segn el sentido positivo del eje i, y alcontrario, si va segn el eje negativo. Para recordar esta regla podemos denir en elelemento diferencial, como se hace en Resistencia de Materiales en las rebanadas,las caras frontales , como aquellas cuya normal exterior va segn el sentido positivodel eje cartesiano correspondiente, y caras dorsales , las opuestas. Segn esta regla,

en cada par de caras opuestas, cuya normal est en la direccin del eje i, actuarun vector tensin cuyas componentes sern t f = ( i1, i2, i3) en la cara frontal, yt d = ( i1, i2, i3) en la dorsal.Ntese que el tensor de tensiones as denido representa en realidad un campotensorial ya que su valor cambia con la posicin, es decir, = (x ).

1.3.1. Simetra del tensor de tensiones

Las nueve cantidades independientes ij denen en cada punto P del slido untensor de segundo orden, que puede entonces representarse mediante una matriz,

=11 12 1321 22 2331 32 33

=xx xy xzyx yy yzzx zy zz

=xx xy xz yx yy yz zx zy zz

Es fcil comprobar que el equilibrio de momentos implica que ij = ji . Veamos,por ejemplo, la componente x del momento resultante en el centro del elemento. Enla gura (1.4) se representan las nicas componentes del tensor que proporcionanmomento segn dicha direccin. Estamos suponiendo que las fuerzas volumtricasque pueda haber sobre el elemento diferencial son constantes, por lo que no danlugar a momento al reducirlas al centro del mismo. Teniendo en cuenta que lascomponentes del tensor de tensiones son fuerzas por unidad de rea , en las carassegn el eje x2 habr un par de fuerzas de valor f 2 = 23dx1dx3 mientras que en lascaras segn el eje x3 habr un par de fuerza f 3 = 32dx1dx2. Calculando el momentode cada cara, e igualando obtenemos,

f 2dx2 = f 3dx3

y por tanto,23dx1dx2dx3 = 32dx1dx2dx3

de donde se obtiene que,23 = 32

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Figura 1.4: Equilibrio de momentos segn el eje x1 en el elemento diferencial

De igual forma pueden deducirse las igualdades 13 = 31 , y 12 = 21 , de dondese concluye que el tensor de tensiones es simtrico.

1.3.2. Tensor de tensiones en otros sistemas de coordenadasEn sistemas de coordenadas curvilneos pueden denirse las componentes del

tensor de tensiones tomando el elemento diferencial correspondientes. As por ejem-plo, en coordenadas cilndricas (r,,z ), las componentes del tensor se muestran enla gura (1.5).

En estas coordenadas el tensor de tensiones ser,

=rr r rzr zzr z zz

En este caso, dado que las coordenadas son ortogonales, la simetra del tensorimplica de nuevo que la matriz que lo representa es simtrica.

De igual forma, en coordenadas esfricas (,,), el tensor de tensiones tendr lascomponentes que se muestran en la gura (1.6), y matricialmente podr expresarsemediante,

=

que de nuevo es simtrica.

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Figura 1.5: Componentes del tensor de tensiones en coordenadas cilndricas

Figura 1.6: Componentes del tensor de tensiones en coordenadas esfricas

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Figura 1.7: Equilibrio de tensiones sobre un tetraedro diferencial

1.3.3. Relacin entre el vector tensin y el tensor de tensiones

Recordemos la expresin que relaciona el vector tensin t en un punto P que ac-tua en dicho punto segn un plano de corte cuya normal exterior es n = ( n1, n 2, n 3),

con el tensor de tensiones en dicho punto.Para ello, observemos el tetraedro de la gura (1.7), el cual se ha obtenido cortan-

do el solido mediante cuatro planos: uno de normal n , y otros tres perpendicularesa los ejes coordenados de modo que las aristas del tetraedro tienen una longitud di-ferencial. Las tensiones segn estas tres caras, sern las correspondientes a las carasdorsales del elemento diferencial que deniamos en el entorno del punto P , tal ycomo se representan en la gura.

Veamos, por ejemplo, el equilibrio segn el eje x1. Teniendo en cuenta de nuevoque el vector de tensiones es una fuerza por unidad de rea , en la cara inclinada deltetraedro, la fuerza segn x1 ser t1A, mientras en las otras tres caras sern i1Ai

siendo Ai , el rea de dichas caras. El equilibrio de fuerzas quedara entonces,t1A = 11A1 + 21A2 + 31A3

Por otra parte es fcil deducir que Ai = n i A siendo n i la componente segn xi dela normal a la seccin A, de modo que la ecuacin de equilibrio se reduce a,

t1 = 11n1 + 21n2 + 31n3

De la misma manera pueden obtenerse las componentes t2 y t3. De maneracompacta estas tres ecuaciones pueden expresarse en notacin indicial,

t i = ji n j = ij n j (1.2)

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Figura 1.8: Proyeccin del elemento diferencial: equilibrio en direccion x1

o en notacin vectorial,t = T n = n

En las ultimas igualdades de estas ltimas ecuaciones se ha aplicado la simetra deltensor de tensiones. La notacin vectorial es conveniente cuando se quieran manejarexpresiones generales, ya que es independiente del tipo de sistema de coordenadasen que se representen las magnitudes vectoriales o tensoriales.

Ntese que estas relaciones tambin han de cumplirse en el contorno, y por lotanto tambin podemos denominarlas ecuaciones de equilibrio en el contorno , yaque ligan el valor de la tensin aplicada t en un punto x con el valor del tensorde tensiones en dicho punto.

1.3.4. Ecuaciones de equilibrio en el dominio

Para obtener las ecuaciones de equilibrio en el dominio consideremos un elemento

diferencial y coloquemos sobre le mismo todas las acciones que actan sobre l, peroteniendo en cuenta que el tensor de tensiones es un campo , de modo que los valoresdel mismo sern distintos en las caras dorsales y frontales.

Veamos en detalle el equilibrio en una direccin, por ejemplo x1. En la gura (1.8)se muestra un proyeccin del elemento diferencial en el plano x1x3 con las tensioneso acciones que van dirigidas en direccin x1. Ntese, que tal y como se ha comentado,el valor de las tensiones en la cara frontal se ve incrementado respecto a la cara dorsal,debido a la variacin del campo en la longitud correspondiente. Teniendo en cuentaque las tensiones son fuerzas por unidad de rea, y que las acciones volumtricas

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1.4. Tensor de deformaciones Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

son fuerzas por unidad de volumen, el equilibrio en esta direccin ser:

11 + 11x 1

dx1 11 dx2dx3 + 21 + 21x 2

dx2 21 dx1dx3+31 +

31x 3

dx3 31 dx1dx2 + b1dx1dx2dx3 = 0Simplicando se obtiene,

11

x 1+

21

x 2+

31

x 3+ b1 = 0

que en notacin indicial quedara como,

j 1,j + b1 = 0

De la misma forma puede obtenerse el equilibrio segn las direcciones x2 y x3,obtenindose ecuaciones similares. Las tres ecuaciones de equilibrio se escriben deforma compacta mediante,

ji,j + bi = 0 i = 1, 2, 3 (1.3)

Recurdese que en esta ecuacin j es un ndice mudo, lo cual implica sumatoriorecorriendo los valores de j = 1, 2, 3, mientras que i es un ndice jo, no implicasumatorio, que tambin puede valer i = 1, 2, 3.

El equilibrio de momentos implica que ij = ji . Al hacer el equilibrio de mo-mentos no habamos considerado la variacin entre los valores de las caras dorsalesy frontales. Puede comprobarse sin embargo, que si se incluyeran estas variacionessu contribucin sera despreciable, dando lugar a las mismas relaciones de simetraque se obtuvieron.

Por ltimo, hay que destacar que las ecuaciones de equilibrio (1.3) han de cum-plirse para todo punto x

1.4. Tensor de deformaciones

Cuando un slido se deforma, cambia la distancia entre dos puntos cualesquieraantes y despus de la deformacin. Consideremos dos puntos P y Q, muy cercanosen el estado original, de modo que Qi P i = dxi sean las componentes del vectorque une ambos puntos. Despues de la deformacin, los puntos se trasladan a P y Qrespectivamente, y el vector que los une ser ahora dx i = Qi P i . Por denicin delvector desplazamiento, es claro que dx i = dxi + du i . Comparemos ahora la variacin

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de longitud al cuadrado entre los estados antes y despues de la deformacin. Antesde la deformacin, la distancia entre P y Q es,

dl2 = dxi dx i = dx21 + dx22 + dx

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mientras que tras la deformacin ser,

dl 2 = dx idx i = dx 21 + dx2

2 + dx2

3

Teniendo en cuenta que dxi = dxi + dui = dx i + u ix k dxk la expresin anterior se

transforma en,

dl 2 = dx i + u ix k dxk dx i + u ix k dx

k = dl2 + 2 u ix k dxidxk + u ix k u

ix l dx

k dx l

Puesto que los indices, i, k y l son mudos, la expresin anterior puede modicarsepara obtener,

dl 2 = dl2 + 2 ij dx i dx jdonde,

ij = 12

u ix j

+ u jx i

+ ukx i

u kx j

(1.4)

El tensor de segundo orden ij se denomina tensor de deformaciones . Puede com-

probarse, de la propia denicin, que es un tensor simtrico, ya que ij = ji , i, j =1, 2, 3. (3.15)Cualquier tensor simtrico puede reducirse a sus ejes principales, lo cual quiere

decir que los ejes de coordenadas pueden elegirse de manera que todos los elementosdel tensor se anulen, salvo los de la diagonal. Ntese que el tensor de deformacioneses un campo , y que por lo tanto los ejes que diagonalizan el tensor en un punto serdistintos de los que lo diagonalizan en otro.

Considerando la forma diagonal del tensor en un punto, la longitud deformadadl 2 podr escribirse de la siguiente forma,

dl 2 = (1 + 2 (1) )dx21 + (1 + 2 (2) )dx22 + (1 + 2

(3) )dx23

siendo (i ) la deformacin segn el eje principal i-simo.Esta expresin se descompone en tres trminos independientes, lo cual implica

que en un elemento diferencial, la deformacin puede considerarse como el conjuntode tres deformaciones independientes a lo largo de tres direcciones mutuamenteortogonales (las direcciones principales del tensor). Cada una de estas deformaciones,consiste nicamente en un alargamiento o acortamiento a lo largo de la direccincorrespondiente: la longitud dxi a lo largo de i-simo eje principal, se convierte enla longitud dxi a lo largo del mismo eje, y cuyo valor es,

dx i =

1 + 2(i )dx i

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La elongacin relativa a lo largo del eje principal i-simo ser entonces,dx i dx i

dx i= 1 + 2(i ) 1

La deformacin se considera pequea , si el cambio de distancia es mucho menorque la distancia original. En otras palabras, la deformacin ser pequea si la elon-gacin relativa es mucho menor que la unidad. Este es el caso que consideramos enestas notas.

Cuando la deformacin es pequea, en el sentido establecido arriba, las derivadasde los desplazamientos sern pequeas. Por tanto, en la expresin general dada por

la ecuacin (1.4) el ltimo trmino ser despreciable y puede omitirse, y por tantoel tensor de deformaciones tiene la expresin,

ij = 12

u ix j

+ u jx i

(1.5)

Adems, teniendo en cuenta que 1 + x 1 + 12 x hasta primer orden, la elon-gacin relativa se reduce a,dx i dx i

dx i= (i )

es decir, la deformacin principal segn el eje considerado.Recerdense, por otra parte, el signicado fsico de todos los trminos del tensor

de deformaciones en unos ejes cualesquiera, que se resumen en la gura (1.9).Para trminar, recordemos las siguientes expresiones:

Alargamiento unitario segn una direccin cualquiera Dado un vector uni-tario m , la elongacin unitaria a lo largo de la direccin indicada por el vectorvendr dada por la expresin:

= dl 2 dl2

dl2 = ij m im j

Decremento del ngulo entre dos direcciones ortogonales Dados dos vecto-res unitarios ortogonales m y n , el decremento del ngulo que forman vienedado por la expresin:

= 2ij m in j

Incremento de volumen unitario El incremento unitario del volumen de un ele-mento diferencial viene dado por la expresin,

V = ii

Recerdese que la traza del tensor ( ii ) es un invariante del mismo.

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(a)

(b)

Figura 1.9: Signicado fsico de las deformaciones: a) longitudinales, b) Transversales

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1.4.1. Ecuaciones de compatibilidadDado un campo de deformaciones cabe preguntarse si los valores de sus seis

trminos pueden ser funciones cualesquiera de la posicin. Obsrvese que los seiselementos del tensor ij se calculan a partir de las tres componentes del vector dedesplazamientos ui tal y como muestra la ecuacin (1.5). Esto implica que, necesa-riamente, deben existir tres ecuaciones que los liguen ( 3 = 6 3). La obtencin deestas tres ecuaciones es simple utilizando la notacin indicial.

Partimos de la relacin desplazamiento-deformacin dada por la ecuacin (1.5)y tomamos dos derivadas respecto a dos coordenadas cualesquiera,

ij,kl = 12 (u i,jkl + u j,ikl )

A continuacin, permutando indices, y teniendo en cuenta que, para cualquier fun-cin f ,ij = f ,ji , podemos escribir las cuatro relaciones siguientes,

ij,kl = 1

2 (u i,jkl + u j,ikl )

kl,ij = 1

2 (uk,lij + ul,kij )

jl,ik = 1

2 (u j,ikl + ul,kij )

ik,jl = 1

2 (u i,jkl + uk,lij )

A la vista de estas expresiones, podemos concluir que,

ij,kl + kl,ij jl,ik ik,jl = 0 (1.6)Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad y su cumplimiento

supone que el campo de deformaciones puede integrarse de manera que resulte uncampo de desplazamientos vlido , es decir, que represente una transformacin posiblede un slido.

En realidad, la ecuacin anterior represente 81 ecuaciones distintas, dado que loscuatro ndices que aparecen son libres. Todas, salvo seis de ellas, son identidades odependientes de las otras seis. A su vez, de estas seis ecuaciones, slo ser necesarioque se cumplan tres de ellas en el volumen , y las otras tres en su contorno .Puede demostrarse nalmente que, en el supuesto de que el slido sea simplementeconexo3 las ecuaciones son adems sucientes 4 .

3 Un slido sin agujeros.4 Para slidos multiplemente conexos habrn de cumplirse ecuaciones adicionales que aseguren

la conexin de las deformaciones.

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Las seis ecuaciones que son independientes son las siguientes:

11 ,22 + 22,11 212,12 = 022,33 + 33,22 223,23 = 033,11 + 11 ,33 213,13 = 0

13,12 + 12,13 11 ,23 23,11 = 012,23 + 23,12 22,13 13,22 = 023,13 + 13,23 33,12 12,33 = 0

Aunque estrictamente estas son las que se denominan ecuaciones de compatibili-dad , utilizaremos tambin este nombre para las relaciones desplazamiento-deformacin,dadas por la ecuacin (1.5), que son las ecuaciones cinemticas que tendrn mayorutilidad.

1.4.2. Clculo del campo de desplazamientos a partir delcampo de deformaciones

La ecuacin (1.5) dene las deformaciones a partir de un campo de desplazamien-tos dado. Es posible obtener unas relaciones inversas que nos proporcionen el campode desplazamientos, a partir del campo de desplazamientos. Para ello partimos dela expresin del diferencial de desplazamiento en trminos de sus derivadas,

du i = ui,j dx j

e integramos entre dos puntos cualesquiera Q y P pertenencientes a ,

P

Qdu i = ui (P ) ui (Q) =

P

Qu i,j dx j

Por otra parte,

ui,j = 12(ui,j + u j,i ) + 12

(ui,j u j,i ) = ij + ijsiendo ij el tensor de deformaciones y ij = 12 (u i,j u j,i ) el tensor de rotaciones.Utilizando esta descomposicin se obtiene,

u i (P ) = ui (Q) + P

Qij dx j +

P

Qij dx j

Segun esta expresin, el clculo de los desplazamientos requerira conocer tantoel tensor de deformaciones como el de rotaciones. Sin embargo es posible manipular

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la ltima integral de la frmula anterior para eliminar la necesidad de integrar estetensor. Para ello observemos en primer lugar que dx j = d(x j xP j ) siendo xP j lascoordenadas, jas, del punto P . La integral se transforma entonces en,

P

Qij dx j =

P

Qij d(x j xP j )

A continuacin realizamos una integral por partes, llamando u = ij y dv = d(x j xP j ), de modo que du = ij,k dxk y v = x j xP j . Realizando esta tranformacin seobtiene,

P

Q

ijdx

j =

ij(Q)(xP

j xQ

j ) +

P

Q(xP

j x

j)

ij,kdx

k

siendo ij (Q) el tensor de rotacin en el punto de referencia Q.Veamos por ltimo que ij,k puede ponerse en funcin del tensor de deformacio-

nes. Efectivamente,

ij,k = x k

12

(u i,j u j,i ) ==

12

(ui,jk u j,ik ) ==

1

2(ui,jk + uk,ij

uk,ij

u j,ik ) =

= 12

(ui,kj + uk,ij ) 12

(uk,ji + u j,ki ) =

= x j

12

(u i,kj + uk,ij ) x j

12

(uk,ji + u j,ki ) =

= ki,j kj,iTeniendo en cuenta esta expresin, y renombrando adecuadamente los ndices

mudos, se obtiene nalmente que,

u i (P ) = ui (Q) + ij (Q)(xP j

xQ j ) +

P

Q

ik + ( xP j

x j )(ki,j

kj,i ) dxk

La expresin obtenida se denomina frmula de Cesaro . Obsrvese que, para un campo de deformaciones compatible la integral de lnea que aparece en la derechade la expresin es independiente del camino de integracin que se utilice, por lo quepodr adoptarse el ms apropiado en cada caso.

1.4.3. Tensor de deformaciones en coordenadas curvilneas

Las expresiones anteriores son vlidas en coordenadas cartesianas. En otros sis-temas de coordenadas, tales como las coordenadas esfricas o cilndricas, la relacin

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1.5. Ecuaciones de comportamiento o leyes constitutivas Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

entre las componentes del tensor de tensiones y el vector desplazamientos es mscompleja 5 .

Tensor de deformaciones en coordenadas cilndricas

rr = u r

r ; =

1r

u

+ urr

; zz = uz

z (1.7)

z = 12r

u z

+ 12

u z

; rz = 12

u zr

+ 12

u rz

; r = 12

u r

12

ur

+ 12r

u r

(1.8)

Tensor de deformaciones en coordenadas esfricas

= u

; =

1 sen

u

+ u

+ cot

u ; (1.9)

= 1

u

+ u

; = 1

2 sen u

+ 12

u

cot 2

u ; (1.10)

= 12

u

+ 12

u

u2

; = 12

u

+ 1

2 sen u

u2

(1.11)

1.5. Ecuaciones de comportamiento o leyes consti-

tutivasLas ecuaciones de comportamiento o leyes constitutivas , son las ecuaciones que

ligan las tensiones a que est sometido un elemento diferencial, con las deformacionesque sufre. En estas notas vamos a recordar muy brevemente las ecuaciones para elcaso elstico-lineal6 y algunos casos particulares, incluyendo el caso istropo, que esel nico que vamos ha utilizar en los problemas de fractura.

1.5.1. Anisotropa general

El caso ms general de relacin lineal entre los tensores de tensin y deformacinviene dado por las ecuaciones,

ij = C ijkl kl

Las constantes C ijkl se denominan constantes elsticas del material y conforman untensor de cuarto orden con un total de 81 elementos. Dada la simetra del tensor de

5 Si se utiliza la derivada covariante en vez de la derivada parcial habitual, las expresiones si sonvlidas en cualquier sistema de referencia

6 Como escribi Hooke (1679) en su obra Lectiones Cutlerian, or A collection of lectures:physical, mechanical, geographical, & astronomical describiendo sus publicaciones futuras ceiii-nosssttuv que descrifrado signicaba ut tension sic vis, o lo que es lo mismo tal deformacin,tal fuerza

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en que el nmero de constantes elsticas independientes se reduce a 9. La forma dela matriz de constantes, expresada en los ejes de simetra (interseccin de los tresplanos de simetra) es la siguiente:

C 11 C 12 C 13 0 0 0C 12 C 22 C 23 0 0 0C 13 C 23 C 33 0 0 00 0 0 C 44 0 00 0 0 0 C 55 00 0 0 0 0 C 66

Obsrvese que en un material orttropo, las tensiones y deformaciones longitudi-nales y las de cizalladura estn desacopladas. Es decir, que las tensiones longitudina-les solo producen deformacin longitudinal, y las tangenciales, solo cizalladura. Peroesto ocurre nicamente en los ejes de simetra elstica . En otros ejes cualesquiera lamatriz de constantes elsticas es llena, por lo que seguir existiendo acoplamientoentre unos modos y otros de tensin-deformacin.

1.5.3. Isotropa transversal

Un material tiene isotropa transversal, y se denomina transversalemente istropo

si son iguales las deformaciones para cualquier estado tensional que sea simtricorespecto a un eje. En este caso, el nmero de constantes independientes se reducede nuevo, a cinco, teniendo la matriz de constantes la forma siguiente,

C 11 C 12 C 13 0 0 0C 12 C 11 C 13 0 0 0C 13 C 13 C 33 0 0 00 0 0 C 44 0 00 0 0 0 C 44 00 0 0 0 0 12 (C 11 C 12)

donde se ha supuesto que el eje x3 es el eje de simetra elstica. Obsrvese que eneste caso se cumplen las siguientes relaciones: C 22 = C 11 , C 23 = C 13 , C 55 = C 44 yC 66 = 12 (C 11 C 12).

1.5.4. Isotropa

En un material istropo, todas las direcciones son elsticamente equivalentes,es decir, que si en dos direcciones distintas aplicamos las mismas tensiones, lasdeformaciones resultantes han de ser las mismas. Esto conduce a nuevas relaciones

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que reduce el nmero de constantes elsticas a dos. La forma de la matriz es ahora,C 11 C 12 C 12 0 0 0C 12 C 11 C 12 0 0 0C 12 C 12 C 11 0 0 00 0 0 12 (C 11 C 12) 0 00 0 0 0 12 (C 11 C 12) 00 0 0 0 0 12 (C 11 C 12)

Existen formas alternativas de nombrar las constantes elsticas, que son de usoms comn en la Mecnica de Medios Continuos. Una de ellas es la que propuso

Lam tomando dos constantes y , que se corresponden con las siguientes, = C 12; =

12

(C 11 C 12)Con esta nomenclatura, la matriz de constantes elsticas queda de la siguientes

forma, + 2 0 0 0

+ 2 0 0 0 + 2 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0 La segunda de estas constantes se denomina mdulo de rigidez tranversal . Lasrelaciones tensin deformacin pueden escribirse de forma compacta en este caso,utilizando notacin indicial,

ij = 2ij + kk ij

La relacin inversa sera,

ij = 12

ij

2(2 + 3 )kk ij

pero sta suele escribirse en funcin de otras dos constantes distintas, el mdulo de elasticidad E , y el coeciente de Poisson , de la siguiente manera,

ij = 1 +

E ij

E

kk ij

Se deduce de la equivalencia entre estas formulas que,

= E

2(1 + ); =

E (1 + )(1 2 )

o recprocamente,

E = (3 + 2 )

+ ; =

2( + )

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1.6. El problema elstico Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

1.6. El problema elsticoEn las secciones anteriores hemos visto dos magnitudes, el tensor de tensiones y

el tensor de deformaciones, que describen la dinmica (fuerzas) y cinemtica (defor-maciones) en un elemento diferencial de un slido deformable. Hemos visto tambinlas ecuaciones de equilibrio , compatibilidad y comportamiento , que relacionan estoscampos con las acciones exteriores b y t , y con los desplazamientos que se producen(u ).

El esquema de relaciones que tenemos es el siguiente:

Comprobemos que existe igual de ecuaciones e incognitas:

Incgnitas: Total 15 incgnitas.

Campo de desplazamiento: 3 incgnitasCampo de tensiones: 6 incgnitasCampo de deformaciones: 6 incgnitas

Ecuaciones: Total 15 ecuaciones.

Ecuaciones de equilibrio en el dominio: 3 ecuacionesEcuaciones de comportamiento: 6 ecuacionesRelaciones deformacindesplazamiento: 6 ecuaciones

Adems de estas ecuaciones es necesario establecer las condiciones de contornoadecuadas. Para que el problema elstico est bien planteado, estas condiciones hande establecer, para cada una de las direcciones del sistema de referencia, y para cadapunto del contorno que, o bien el desplazamiento es conocido (condiciones esencia-les o tipo Diritchlet) o bien es conocido el vector tensin (condiciones naturales, o

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1.7. Estados elsticos planos Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

Figura 1.10: Estado de deformacin plana

tipo Neumann). Puede haber condiciones de contorno ms complejas, como las con-vectivas , en las que es conocido el valor de una combinacin lineal del desplazamientoy el vector tensin.

No vamos a recordar en estas notas las diversas alternativas que existen paraplantear el problema elstico, pues nos centraremos en este aspecto para los proble-mas planos.

1.7. Estados elsticos planos

Existen estados que por sus condiciones de geometra y cargas, dan lugar a que enel anlisis se elimine una de las direcciones coordenadas. Estos estados se denominanestados planos . Aunque las hiptesis que conducen a ellos son totalmente distintas,las ecuaciones resultantes son formalmente las mismas, y nicamente dieren en lasconstantes elsticas a utilizar. Tambin dieren en cmo son las componentes de losdesplazamientos, el tensor de tensiones y el tensor deformaciones fuera del plano enque se dene el problema. Supondremos que el plano en que se dene el problemaes el x1x2, de modo que el eje x3 es normal al mismo.

En las guras (1.10) y (1.11) se muestran las condiciones geomtricas y de cargaque conducen a los estados de deformacin plana y tensin plana . Considerandonicamente el caso istropo, las ecuaciones de ambos estados sern exactamente lasmismas que se han obtenido para un slido general, salvo que ahora los ndices serestringen al conjunto I 2 = 1, 2.

Veamos la denicin de ambos problemas, y a continuacin veremos los aspectosen los que dieren9

9 Para un desarrollo detallado ver [ ? , ? ] por ejemplo. Hay que tener en cuenta que en el caso

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Figura 1.11: Estado de tensin plana

Campo de desplazamientos:

u (x1, x2) = ( u1, u2)

Campo de fuerzas volumtricas:

b (x1, x2) = ( b1, b2)

Vector de tensiones en el contorno:

t (x1, x2) = ( t1, t2)

Tensor de tensiones: (x1, x2) =

11 1212 22

Tensor de deformaciones:

(x1, x2) =11 1212 22

de tensin plana se utilizan valores promediados en el espesor de las tensiones, deformaciones ydesplazamientos, aunque en estas notas no se van a diferenciar con una notacin especial

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Equilibrio en el dominio:

, + b = 0 , 1, 2Equilibrio en el contorno:

t = n , 1, 2Relaciones deformacin-desplazamiento:

=

1

2 (u, + u, ) , 1, 2Ecuaciones de compatibilidad: De las seis, slo queda una de ellas ctiva.

11 ,22 + 22,11 212,12 = 0Ley de comportamiento:

= 2 + ,, 1, 2 bien,

= 1 + E E ,, 1, 2Las diferencias entre ambos estados planos se reeren a las variables segn el eje

x3 y a las constantes elsticas, y se compendian en la tabla siguiente: 10

-plana -planau3(x1, x2, x3) = 0 u3(x1, x2, x3) = 0

33 = 0 33 = 1 (11 + 22)33 = (11 + 22) 33 = 0 = =

2

+ 2 = =

E = E 1 2

E = E

= 1

=

10 Los desplazamientos u3 en tensin plana sern antisimtricos respecto al eje x3 , es decir,u 3(x 1 , x 2 , x 3) = u3(x 1 , x 2 , x 3). En el plano medio de la laja se cumple que u3(x 1 , x 2 , 0) = 0 .Como se ha comentado en la nota 9, el estado de tensin plana se dene a partir de valorespromediados en el espesor. El valor promedio de u3 cumple que u 3(x 1 , x 2) = 0

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1.8. Crculo de Mohr Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

Veamos de manera ms grca la diferencia entre los tensores de deformacionesy tensiones en ambos estados, incluyendo las componentes en el eje x3:

Tensiones y deformaciones en deformacin plana

=11 12 012 22 00 0 33

; =11 12 012 22 00 0 0

Tensiones y deformaciones en tensin plana

= 11 12 012 22 00 0 0

; = 11 12 012 22 00 0 33

Como regla nemotcnica, tensin plana, indica que en el tensor de tensiones sonnulos los elementos del tensor de tensiones de la tercera la o columna, mientrasque deformacin plana, indica que son nulos estos elementos, pero del tensor dedeformaciones .

1.8. Crculo de Mohr

Recrdemos brevemente la representacin grca del tensor de tensiones planoconocida como crculo de Mohr . Cualquier tensor plano simtrico puede represen-tarse de esta manera, pero en la Teora de la Elasticidad Lineal, su aplicacin altensor de tensiones es la que utilizaremos con ms asiduidad. Recerdese tambinque este caso deriva del caso ms general aplicado a un tensor simtrico de rango3, (ver gura (1.12)) en el cual el vector de tensiones en equilibrio con un tensorde tensiones dado se encuentra en la regin delimitada por tres crculos tangentescuyos dimetros son las diferencias I II y II II I , siendo K las tensionesprincipales ordenadas ( II I < II < I ).

Sean, en el caso plano, I y II las tensiones principales en los ejes x1x211

.Lo valores de la componente normal del vector de tensiones ( ) y la componentetangencial del mismo ( ) para un plano que forma un ngulo antihorario con ladireccin de I , estn relacionados con los valores principales mediante la ecuacin,

( I )( II ) + 2 = 0ecuacin que en unos ejes representa un crculo con centro I + II 2 , 0 y radio I II 2 , tal y como se observa en la gura (1.13). En la gura (1.14) se recoge elcriterio de signos que hay que utilizar para interpretar los valores obtenidos en elcrculo de Mohr.

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Figura 1.12: Crculos de Mohr para un tensor simtrico de rango 3

Figura 1.13: Crculo de Mohr para un tensor simtrico de rango 2

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Figura 1.14: Criterio de signos para las componentes normal y tangencial del vectortensin

Pueden obtenerse analticamente los valores de y ,

= I + II

2 +

I II 2

cos2

= I II

2 sen2

(1.12)

aunque no es necesario memorizar estas expresiones, ya que es fcil obtenerlas de laconstruccin grca.

A la vista de esta construccin se puede concluir que dos puntos en el crculo deMohr separados por un ngulo 2, representan dos planos en el espacio fsico cuyas

normales forman un ngulo .No es necesario recordar aqu todas las tcnicas disponibles para trabajar con elcrculo de Mohr. Veamos nicamente como construir el crculo de Mohr conocido eltensor de tensiones en unos ejes cualesquiera.

Construccion del crculo de Mohr conocido el tensor de tensiones en unosejes cualesquiera Supongamos conocidos 11 , 22 y 12 . Si esto es as, conocemoslos valores de y en dos planos ortogonales. En el plano cuya normal es x1 tenemos

11 En deformacin plana la otra tensin principal ser II I = ( I + II ), mientras que en tensinplana ser II I = 0

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Figura 1.15: Construccin del crculo de Mohr conocido el tensor de tensiones enunos ejes cualesquiera

que (1) = 11 y (1) = 12 , mientras que en el plano cuya normal es x2, (2) = 22y (2) = 12. Adems, las normales a ambos planos forman un ngulo = 2 en elespacio fsico, por lo que en el crculo de Mohr, estos los puntos S (1) = ( 11 , 12)y S (2) = ( 22 , 12) estarn separados por un ngulo 2 = . A la vista de estasconclusiones, el centro del crculo se encontrar en la interseccin con el eje ( = 0)con la lnea que une los puntos S (1) y S (2) , tal y como se observa en la gura (1.15)

Teniendo en cuenta esta construccin, es posible establecer las ecuaciones (1.12)en funcin del tensor de tensiones en unos ejes cualesquiera,

= 11 + 22

2 +

11 222

cos2 + 12 sen2

= 11 22

2 sen2 12 cos 2

(1.13)

siendo ahora el ngulo antihorario que forma la normal al plano bajo consideracin

con el eje x1 positivoA partir de estas ecuaciones (1.13) pueden obtenerse los valores del tensor detensiones en unos ejes x1x2 girados un ngulo respecto a unos originales cuales-quiera,

11 = 11 + 22

2 +

11 222

cos2 + 12 sen2

22 = 11 + 22

2 11 22

2 cos2 12 sen2

12 = 11 22

2 sen2 + 12 cos 2

(1.14)

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1.9. Tcnicas analticas de resolucin de problemas planos Cap. 1. Recordatorio de la elasticidad

Utilizando esta expresin pueden obtenerse las tensiones en coordenadas polarespara un punto de coordenadas (r, ) a partir de su expresin en cartesianas,

rr = 11 + 22

2 +

11 222

cos2 + 12 sen2

= 11 + 22

2 11 22

2 cos2 12 sen 2

r = 11 22

2 sen2 + 12 cos2

(1.15)

1.8.1. Crculos de Mohr en tensin plana y deformacin plana

En los casos planos es posible obtener resultados de tensiones en el plano x1 x2 trabajando nicamente con el crculo delimitado por las tensiones principalesI y II . Sin embargo, no debe olvidarse que el estado tensional (y deformacional)tridimensional, es totalmente distinto en ambos casos. En la gura (1.16) se observanlos crculos de Mohr para ambos estados planos. En lnea gruesa se representa elcrculo correspondiente al plano x1x2.

Puede observarse que, por ejemplo, la tensin tangencial mxima en el caso dedeformacin plana, se da en el plano x1x2 y vale mx = I II 2 , mientras que entensin plana, la tensin tangencial mxima se da en el plano x1x3 y su valor es mx = I II I

2 , que es, adems, mayor que el anterior.

1.9. Tcnicas analticas de resolucin de problemasplanos

En esta seccin estudiaremos nicamente problemas en los que las cargas volu-mtricas son nulas. Aunque esto puede parecer muy restrictivo 12 , tngase en cuentaque para encontrar la solucin de un problema general,

, + b = 0

puede buscarse una solucin particular cualquiera del sistema anterior, de modo quela solucin completa del problema sea,

= (0) +

( p)

de modo que( p), + b = 0

12 Es posible aplicar esta tcnica al caso en que las fuerzas deriven de un potencial, b = V . Ver

detalles en [ ? ]

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(a) (b)

Figura 1.16: Crculo de Mohr para los estados planos: a) tensin plana, b) deforma-cin plana

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y(0), = 0

A la hora de buscar la solucin ( p), no es preciso tener en cuenta las condiciones de contorno , por lo que ser mucho ms sencillo encontrar alguna solucin particular.

Por ejemplo, para el caso de cargas de la forma b = (0 , ), como sera el pesopropio, una solucin particular ser, para las tensiones,

( p)11 = ( p)12 = 0;

( p)22 = x 2

y para los desplazamientos,

u( p)1 =

4( + )x 1x2

u( p)2 = ( + 2)8( + )

x22 + 1

x21

Otro ejemplo til es el de la fuerza centrfuga debida a la rotacin del slidoalrededor del eje x3 con velocidad angular . En este caso b = ( 2x1, 2x2), y lasolucin particular es,

( p) =

2 + 4( + 2 )

2

(x21 + x

22)

2( + 2)

2

x x

u( p) = 2

8( + 2 )(x21 + x

22)x

Conocida una solucin particular, quedara el problema de resolver el problemahomogneo, pero sometido a unas condiciones de contorno que sern t(0) = t t

( p)

donde t sea conocido y u(0) = u u

( p) donde lo sea u .

A la vista de esta descomposicin, estudiemos ahora la resolucin general delproblema homogneo, pero eliminamos en lo que sigue el superndice (0).

1.9.1. Funcin de Airy

Las ecuaciones de equilibrio que ha de cumplir el campo tensional supuestascargas volumtricas nulas sern,

, = 0 (1.16)

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De esta ecuaciones puede deducirse la existencia de una funcin escalar U (x1, x2)denominada funcin de Airy 13 , tal que las tensiones sean,

11 = U ,2222 = U ,11 (1.17)12 = U ,12

Puede comprobarse fcilmente que con esta denicin, las ecuaciones de equilibrio(1.16) se satisfacen automticamente.

Adems de las ecuaciones de equilibrio, los campos elsticos han de satisfacer

las ecuaciones de compatibilidad y comportamiento. Bajo el supuesto de cargasvolumtricas nulas, este conjunto de ecuaciones se reduce a (ver, p.e. [ ? ]),

2(11 + 22) = 0

siendo 2 el operador laplaciano, que en coordenadas cartesianas es 2 = 2 x1 + 2 x2. Sustituyendo en esta ecuacin las expresiones de las tensiones en funcin de

la funcin de Airy U (x1, x2) se obtiene,

2

2U = 0

o, en coordenadas cartesianas,

U ,1111 + 2 U ,1122 + U ,2222 = 0

Est ecuacin se denomina ecuacin biarmnica . Las soluciones de esta ecuacinpueden ser multivaluadas, pero sus segundas derivadas han de ser univaluadas, paraque representen un campo de tensiones vlido.

La conclusin de este desarrollo es que, para encontrar la solucin de un pro-blema elstico plano, basta con encontrar una solucin de la ecuacin biarmnica.Esto supone una disminucin drstica de la complejidad del problema, dado que elproblema elstico plano es un conjunto de 8 ecuaciones algebraico-diferenciales enderivadas parciales, y queda reducido a 1 ecuacin diferencial en derivadas parciales.

A esta ecuacin es necesario aadirle las condiciones de contorno en trminosde U que se derivan de las mismas del problema elstico. No es fcil derivar lasrelaciones entre los desplazamientos y la funcin de Airy, salvo utilizando potencialescomplejos como veremos ms adelante, por lo que vamos a centrarnos, por ahora,en las condiciones de contorno naturales.

13 Sir George Biddell Airy (27/06/18012/01/1892) astrnomo britnico, public esta tcnica en1863, para el problema del clculo de tensiones en una viga (Phil. Trans. 1863, Vol.153, pp. 49-80).Ms adelante lo utiliz para determinar el campo de tensiones alrededor del vrtice de una grietacontribuyendo de esta manera al desarrollo posterior de la Mecnica de la Fractura

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Supongamos que en cada punto del contorno x , cuya coordenada de arco sea s ycuya normal sea n = ( n1(s), n 2(s)) , es conocido el vector tensin t = ( t1(s), t2(s)) .Entonces, teniendo en cuenta que t i = ji n j y las ecuaciones (1.17), se cumplir que,

U ,22n1 U ,12n2 = t1(s)U ,12n1 + U ,11n2 = t2(s)

Las componentes de la normal estn relacionadas con el vector tangente mediantelas ecuaciones,

n1 = dx2

ds ; n2 =

dx1

dsy por tanto, la relacin entre el vector tensin y la funcin de Airy puede escribirsecomo,

dU ,2ds

= t1(s)

dU ,1ds

= t2(s)

Integrando a los largo del contorno , a partir de un punto cualquiera s0 seobtiene,

U ,1(s) = s

s 0t2(s)ds f 1(s)

U ,2(s) = s

s 0t1(s)ds f 2(s)

Las derivadas de U no estn determinadas completamente en el contorno , yaque el punto s0 es arbitrario. Ms an, en el caso de dominios multiplemente conexos,las integrales han de realizarse sobre cada uno de los subcontornos i que delimitanel dominio , y las funciones f i (s) resultantes no han de ser uni-valuadas. De todasformas, es lgico que haya cierto grado de indenicin en la funcin U , en la medidaque las tensiones se determinan mediante la segunda derivada. Es decir, la funcinU y sus primeras derivadas U , pueden no estar completamente determinadas porlas ecuaciones de la elasticidad, pero si lo estarn sus segundas derivadas, de las quese obtienen las tensiones.

En resumen, el problema biarmnico a resolver se reduce a,

2

2U = 0 en U , = f (s) en

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siendo f las integrales de las tensiones a los largo del contorno, que sern conocidas.Es posible expresar de manera alternativa las condiciones de contorno, obtenindose,

2

2U = 0 en U = f (s) en

dU dn

= g(s) en

siendo,

f (s) =

s

s 0f

dx

ds ds

g(s) = f 1dx2ds f 2

dx1ds

1.9.2. Funcin de Airy en coordenadas polares

Veamos en este apartado la solucin del problema elstico para problemas sim-ples, utilizando la funcin de Airy en coordenadas polares.

En estas coordenadas el Laplaciano viene dado por la expresin,

2 = 2

r 2 +

1

r

r +

1

r 2 2

2y las relaciones entre la funcin de Airy y las tensiones son,

rr = 1

rU r

+ 1r 2

2U 2

= 2U

r 2 (1.18)

r = 1r 2

U

1r

U r

= r

1r

U

Vamos a aplicar esta tcnica para problemas planos de geometra y condicionesde contorno sencillas.

Corona circular bajo tensiones uniformes

En la gura (1.17) se representa el problema de elasticidad que vamos a consi-derar.

Se trata de una corona circular de radios interno a y externo b, sometida a unastensiones normales i y e en sus contornos interior y exterior, respectivamente.

Como la geometra es circular, utilizamos coordenadas polares para su resolucin.En este caso, adems, las cargas y la geometra son axilsimtricas, por lo que la

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Figura 1.17: Corona circular bajo cargas axilsimtricas

solucin tambin lo ser. Esto implica que la funcin de Airy depender nicamentede la variable r , pero no del ngulo , y por lo tanto jU = 0. Eliminando lasderivadas respecto al ngulo, el operador laplaciano queda,

2 = d2

dr 2 + 1

rddr

de modo que la ecuacin biarmnica se reduce a,

2

2U = d4U dr 4

+ 2r

d3U dr 3

1r 2

d2U dr 2

+ 1r 3

dU dr

= 0

Esta es una ecuacin diferencial ordinaria lineal 14 que puede reducirse a un ecua-cin diferencial ordinaria lineal de coecientes constantes mediante el cambio devariable r = et . Alternativamente, puede resolverse directamente la ecuacin pro-bando soluciones de la forma U (r ) = r . Si la raiz k del polinomio caractersticoque se obtenga al sustituir esta solucin es multiple, con ndice de multiplicidad m,tambin sern soluciones de la ecuacin las funciones del tipo U (t) = tn e k t para0 n m, o lo que es lo mismo U (r ) = (log r )n r k . Por otra parte, en este casoes posible resolver la ecuacin por integraciones sucesivas teniendo en cuenta que ellaplaciano simplicado puede factorizarse de la siguiente forma,

2 =

d2

dr 2 +

1r

ddr

= 1r

ddr

r ddr

14 Este tipo de ecuacin se conoce como ecuacin de Euler que de forma general tiene la expresina 0x n f (n ) + a 1x n

1 f (n 1) + + a n 1xf + a n f = 0

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Por tanto, para la corona tenemos que,Aa2

+ 2C = iAb2

+ 2C = e

de donde se deduce que,

A = a2b2(i e)

b2 a2

C = eb2

ia2)

2(b2 a2)que sustituidas en la expresin de las tensiones conducen a,

rr = a2b2(i e)

b2 a21r 2

+ eb2 i a2)

b2 a2 =

a2b2(i e)b2 a2

1r 2

+ eb2 ia2)

b2 a2r = 0Un caso particular que utilizaremos ms adelante es aquel en que a b y i = 0,

es decir, el caso de una cavidad nita en un medio innito sometida a tensionesradiales remotas uniformes. Las tensiones se reducen a,

rr = e 1 a2

r 2

= e 1 + a2

r 2r = 0

Obsrvese que en este caso, las tensiones radiales crecen montonamente desde

rr (a) = 0 hasta rr () = e , mientras que las circunferenciales decrecen mon-tonamente de (a) = 2e hasta () = e , tal y como se observa en la gura(1.18)En comparacin con el problema sin cavidad ( a = 0), en el que rr (r ) = (r ) =

e se observa que se produce una concentracin de tensiones en el entorno de lacavidad, en el que la tensin mxima duplica el valor nominal.

Viga circular en voladizo

Consideremos ahora el problema de una viga circular en voladizo, sometida aunas cargas rasantes en su extremo, tal y como se ilustra en la (1.19).

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Figura 1.18: Variacin de las tensiones rr y en una corona circular sometida atensiones radiales uniformes.

Figura 1.19: Viga en voladizo sometida a una fuerza cortante

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Figura 1.20: Viga en voladizo sometida a una fuerza cortante, segn la Teora deVigas

Para ver como es la funcin de tensiones en este caso, puede compararse con elproblema similar de una viga en voladizo, segn la teora de vigas ( Resistencia de Materiales , tal y como se muestra en la gura (1.20).

En este caso, si se calcula el ector en una seccin dada por el ngulo , se obtiene

M= QR sen . Puesto que las tensiones normales en la seccin son = MEI y, siendoy una coordenada radial de la seccin, entonces = QREI y sen . Esta tensin se corresponde con la del problema elstico, de modo que vamos a hacer lasuposicin de que (r, ) = g(r )sen . Teniendo en cuenta la relacin entre U y , concluimos entonces que U (r, ) = f (r )sen .

Sustituimos ahora esta expresin de U en la ecuacin biarmnica,

4U =

2

r 2 + 1

r r

+ 1r 2

22

2r 2

+ 1r

r

+ 1r 2

22

f (r )sen = 0

Desarrollando el primer operador laplaciano tenemos,

2

r 2 +

1r

r

+ 1r 2

2

2f (r )sen =

d2f dr 2

+ 1r

df dr

1r 2

f sen

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y aplicando el segundo laplaciano sobre la expresin obtenida, entonces,

2 d2f

dr 2 +

1r

df dr

1r 2

f sen =

d4f dr 4

+ 2r

d3f dr 3

3r 2

d2f dr 2

+ 3r 3

df dr

3r 4

f sen = 0

Puesto que la ecuacin anterior ha de cumplirse para todo , la funcin f (r ) ha decumplir la ecuacin diferencial lineal ordinaria siguiente,

d4f

dr 4 +

2

r

d3f

dr 3 3

r 2

d2f

dr 2 +

3

r 3

df

dr 3

r 4f = 0

Esta ecuacin, de nuevo una ecuacin de Euler, se transforma en una ecuacinde coecientes constantes mediante el cambio r = et , obtenindose,

d4f dt4 4

d3f dt3

+ 2d2f dt2

+ 4df dt 3f = 0

cuyo polinomio caracterstico es,

4 43 + 2 2 + 4 3 = 0que tiene como races = 1 (doble), = 3 y =

1. La solucin de esta ecuacin

homognea ser entonces,f (t) = Ae3t + Bet + Cet + Dte t

y deshaciendo el cambio de variable r = et se obtiene para f (r ),

f (r ) = Ar 3 + B1r

+ Cr + Dr log r

Las constantes A,B, C , D se determinarn, en principio, a partir de las condi-ciones de contorno.

Para este problema las condiciones de contorno son un poco especiales. Tenemos

cuatro lados, de modo que en cada uno de ellos tenemos que establecer 2 condiciones,

En r = a rr (a, ) = 0r (a, ) = 0

En r = b rr (b, ) = 0r (b, ) = 0

En = 0 (r, 0) = 0

b

a r (r, 0)dr = Q

En = 2

ur (r, 2 ) = 0u(r, 2 ) = 0

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Ntese que tenemos, en principio, ocho ecuaciones distintas, y slo 4 constantesde integracin. Planteemos inicialmente las ecuaciones que estn en trminos detensiones. Para ello obtenemos stas a partir de la funcin de tensiones U mediantelas ecuaciones (1.18), obtenindose:

rr (r, ) = 2Ar 2r 3

B + 1r

D sen

(r, ) = 6Ar + 2r 3

B + 1r

D sen

r (r, ) = 2Ar 2

r 3 B +

1

r D cos

La aplicacin de las 6 condiciones de contorno que estn en trminos de tensionesproporciona nicamente 3 ecuaciones distintas,

2aA 2a3

B + 1a

D = 0

2bA 2b3

B + 1b

D = 0

(b2

a2)A +

1

a2

1

b2 B

log

b

aD = Q

ya que algunas se cumplen de manera automtica, y otras son idnticas a alguna delas anteriores. La solucin de este sistema es,

A = 12N

Q; B = a2b2

2N Q; D =

a2 + b2

N Q

donde N = a2 b2 + ( a2 + b2)log baObtenidos el valor de las constantes, pueden derivarse los valores nales de lastensiones:

rr (r, ) = Q2N 2r + 2a

2b

2

r 3 2(a2 + b2) 1r sen (r, ) =

Q2N

6r 2a2b2

r 3 2(a2 + b2)

1r

sen

r (r, ) = Q2N

2r + 2a2b2

r 3 2(a2 + b2)

1r

cos

En la gura (1.21) se representa en valor de obtenido comparndolo con elproporcionado por la teora de vigas. Obsrvese que la solucin elstica se parecems a la de vigas en la medida que a b y b .

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-0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Figura 1.21: Tensiones normales en un voladizo circular sometido a fuerza cortante;el radio medio de la viga es R = 100 y el canto es h: Solucin segn la Teora de laElasticidad para h = 10, 30, 50 y 70. Cuanto mayor es h ms se aleja la solucin dela lnea recta que pasa por el origen, que es la solucin segn la teora de vigas

Slo quedara una constante por determinar, C , y dos condiciones de contornopor cumplir, las del empotramiento. Sin embargo, la solucin obtenida no puedecumplir ambas condiciones, y a lo sumo puede hacerse que el desplazamiento y larotacin sean nulos en un punto de la seccin = 2 , por ejemplo en el centror = a+ b2 .

Corona circular sometida a tensiones variables

Vamos a explorar otra solucin del problema elstico sobre una corona circularque nos ser util en el siguiente apartado, a la hora de examinar la variacin de lastensiones en un problema simple, debida a la presencia de un defecto interno.

En vez de plantear un problema elstico concreto vamos a examinar, por elcontrario, una posible funcin de Airy, y deducir las condiciones de contorno quepodran representarse con la misma. Consideremos la funcin,

U (r, ) = f (r )cos2

y obtengamos en primer lugar cmo ha de ser f (r ) para que la funcin sea biarm-nica. Evaluando la expresin 2U obtenemos,

2

r 2 +

1r

r

+ 1r 2

2

2f (r )cos2 =

d2f dr 2

+ 1r

ddf

r 4r 2

f cos2

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y aplicando de nuevo el laplaciano a la expresin obtenida se llega,

2

r 2 +

1r

r

+ 1r 2

2

2d2f dr 2

+ 1r

df dr

4r 2

f cos2 =

d4f dr 4

+ 2r

d3f dr 3

9r 2

d2f dr 2

+ 9r 3

df dr

cos2 = 0

de donde se deduce que f (r ) ha de cumplir la ecuacin,

d4f

dr4 +

2

r

d3f

dr3

9

r2

d2f

dr2 +

9

r3

df

dr = 0

para que la funcin U (r, ) supuesta sea biarmnica.Vamos a buscar directamente soluciones de la forma f (r ) = r ya que se trata de

nuevo de una ecuacin de Euler. Sustituyendo esta solucin en la ecuacin diferencialse obtiene el polinomio caractersitico,

( 1)( 2)( 3) + 2( 1)( 2) 9( 1) + 9 =(3 42 4 + 16)

cuyas raices son = {2, 4, 2, 0} y por tanto la solucin general ser de la forma,f (r ) = Ar 2 + Br 4 + C

1r 2

+ D

En conclusin, la funcin,

U (r, ) = Ar 2 + Br 4 + C 1r 2

+ D cos2

es biarmnica, cualesquiera que sean los valores de las constantes A, B, C y D.Conocida U calculamos las tensiones que derivan de la misma, aplicando las

ecuaciones (1.18), de donde se obtiene,

rr (r, ) = 2A + 6r 4

C + 4r 2

D cos2

(r, ) = 2A + 12 r 2B + 6r 4

C cos2

r (r, ) = 2A + 6 r 2B 6r 4

C 2r 2

D sen2

A la vista de estas ecuaciones y a falta de determinar las constantes, observamosque en la variable , las soluciones proporcionadas por esta funcin de Airy se han

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de corresponder con problemas cuyas tensiones normales que varan con cos2 ycuyas tensiones tangenciales varen con sen2.

Consideremos entonces un problema particular, en el que las condiciones de con-torno sean las siguientes,

En r = a rr (a) = 0r (a) = 0

En r = rr () = e cos2r () = e sen2

A la vista de estas condiciones de contorno, dado que r es nita para r

,

y teniendo en cuenta la expresin obtenida para r , se ha de cumplir que B = 0.Aplicando las otras tres condiciones se obtiene,

2A + 6a4

C + 4a2

D = 0

2A 6a4

C 2a2

D = 0

2A = ecuya solucin es,

A =

1

2e

C = a4

2 e

D = a2e

Conocidas las constantes, pueden obtenerse las tensiones en el slido,

rr (r, ) = e 1 4a2

r 2 + 3

a4

r 4cos2

(r, ) = e 1 + 3a4

r 4C cos2

r (r, ) = e 1 + 2 a2

r 2 3a4

r 4sen2

Ntese que si calculamos r para r se obtiene, r (, ) = e sen2, demodo que e no puede tomar un valor cualquiera sino que ha de ser e = e .Placa rectangular sometida a tensiones nominales uniformes con cavidadcircular

Resolvamos ahora el problema de una placa rectangular sometida a tensionesnominales uniformes en direccin x de valor 0, con una cavidad circular en su

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Figura 1.22: Placa sometida a tensiones nominales uniformes con una cavidad cir-cular pequea

interior, tal y como se observa en la gura (1.22). Vamos a suponer que la cavidades muy pequea comparada con las dimensiones de la placa, de modo que podemossuponer que sta es innita.

Dado que el defecto es circular planteamos el problema en coordenadas polares.Para ello, debemos conocer el valor de las tensiones en polares para r , a nde poder aplicar las condiciones de contorno en el innito. En el innito (es decir,lejos de la cavidad) el tensor de tensiones en cartesianas es uniforme y vale,

= 0 00 0

Para obtener las componentes del tensor en coordenadas polares en un punto decoordenadas (r, ) cualesquiera podemos utilizar el circulo de Mohr, tal y como semuestra en la gura (1.23), obtenindose,

rr (, ) = 1

20(1 + cos2)

(, ) = 1

20(1 cos2)

r (, ) = 12

0 sen2

Obsrvese que el valor de no es necesario puesto que para aplicar las condi-ciones de contorno en la circunferencia de radio b slo necesitamos rr y r .

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Figura 1.23: Circulo de Mohr para el clculo del tensor de tensiones en polares

Por otra parte, las condiciones de contorno en la cavidad, r = a, sern,

rr (a, ) = 0; r (a, ) = 0

El problema anterior, con las condiciones de contorno descritas puede descompo-nerse en dos problemas distintos, uno (problema A) cuyas condiciones de contornosean,

En r = a rr (a, ) = 0r (a, ) = 0

En r = rr (, ) = 12 0r (, ) = 0

y un segundo (problema B), cuyas condiciones sean,

En r = a

rr (a, ) = 0

r (a, ) = 0En r =

rr (, ) = 12 0 cos2r (, ) = 12 0 sen2En la gura (1.24) se describe grcamente la descomposicin realizada.Puede comprobarse que A y B son el primer y tercer problemas que hemos

resuelto en la seccin 1.9.2 de modo que la solucin del problema buscado serla suma de los ya resueltos en dicha seccin, particularizando los valores de lascondiciones de contorno que se dan en este caso. Haciendo esta suma se obtienen los

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Figura 1.24: Superposicin de estados simples para resolver el problema de la placainnita con un defecto circular bajo tensiones remotas uniformes

valores de las componentes del tensor de tensiones para el problema conjunto,

rr (r, ) = 1

20 1

a2

r 2+

12

0 1 4a2

r 2 + 3

a4

r 4cos2 (1.20)

(r, ) = 1

20 1 +

a2

r 2 12

0 1 + 3a4

r 4cos2 (1.21)

r (r, ) = 120 1 + 2 a2

r 2 3a4

r 4 sen2 (1.22)

Analicemos las tensiones proporcionadas por esta solucin en una seccin AAde la placa que atraviese la cavidad, tal y como se observa en la gura (1.25). Lospuntos de estas seccin tienen de coordenadas r > a y = / 2 en la parte superior,y r > a y = / 2 en la parte inferior. Vamos a ver solamente la parte superior,ya que por simetra, la inferior es igual.

La tensin tangencial en esta lnea ser = r (r,/ 2). Si evaluamos la ecuacin(1.22) para este valor de se obtiene,

= r (r,/ 2) = 0

cosa que tambin podramos haber deducido por simetra.La tensin normal por su parte ser, = (r,/ 2), cuyo valor viene dado por

la ecuacin (1.21), y que evaluada conduce a,

= (r,/ 2) = 0 1 + 12

a2

r 2 +

32

a4

r 4

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e imaginaria f (z ) = f R (x1, x2) + if I (x1, x2), puede demostrarse fcilmente que lafuncin ser analtica s y slo s se cumplen las ecuaciones,

f Rx 1

= f I x 2

; f R

x 2=

f I x 1

que se conocen como ecuaciones de Cauchy-Riemann . Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se deducen de dos expresiones alternativas para la derivada de f respectoa z ,

df

dz =

f R

x 1+ i

f I

x 1=

= f I

x 2 if Rx 2

Estas expresiones se obtienen de la denicin de la derivada,

f (z ) = lmh

C 0f (z + h) f (z )

h

tomando para h (que es complejo) dos direcciones alternativas: hR y h = i, R .

Una propiedad fundamental de las funciones en el plano complejo es que si existela primera derivada, existen las derivadas de cualquier orden.A partir de las ecuaciones de Cauchy-Riemman puede demostrarse fcilmente que

para cualquier funcin analtica f (z ), tanto Re(f (z )) = f R (x1, x2) como Im(f (z )) =f I (x1, x2) son funciones armnicas. Es decir, se cumple que,

2f R =

2f I = 0

y por lo tanto, la solucin general de la ecuacin,

2W = 0

es, W = Re( f (z )) siendo f (z ) una funcin analtica cualquiera.Del mismo modo puede demostrarse que la expresin general de la solucin de

la ecuacin biarmnica es,

U (x1, x2) = Re[z(z ) + (z )]

o de otra forma,

U (x1, x2) = 12

(z(z ) + z(z ) + (z ) + (z ))

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siendo (z ) y (z ) dos funciones analticas cualesquiera; Z el conjugado de Z , esdecir, si Z = X + iY , Z = X iY .La ventaja de esta representacin es que pueden encontrarse las expresiones expl-citas del tensor de tensiones y de los desplazamientos, cosa que es difcil trabajandoen el plano real x1x2.

Teniendo en cuenta las relaciones entre la funcin de Airy y las tensiones, y trasun proceso elaborado se obtiene que,

11 + 22 = 2[ (z ) + (z )]22 11 + 2 i12 = 2[z (z ) + (z )]

(1.23)

siendo (z ) = (z ).A partir de estas ecuaciones pueden encontrarse las deformaciones aplicando la

ley de Hooke, e integrando se obtienen los desplazamientos,

2(u1 + iu 2) = (z ) z (z ) (z ) (1.24)siendo = 3 4 para deformacin plana y = 3 1+ para tensin plana. En amboscasos > 1.

Estas expresiones son muy convenientes, ya que facilitan la aplicacin de lascondiciones de contorno que han de cumplir las funciones y , a partir de las

condiciones de contorno de los campos elsticos, tanto naturales como esenciales.Para aplicaciones posteriores, es interesante disponer de las tensiones en unos ejes

x1x2 que forman un ngulo antihorario con los originales. Teniendo en cuenta lasecuaciones (1.14) es fcil obtener que,

11 + 22 = 2[ (z ) + (z )]22 11 + 2 i12 = 2e2i [z (z ) + (z )]

Como particularizacin de esta frmula, pueden obtenerse las expresiones paralas componentes de las tensiones en polares,

rr + = 2[ (z ) + (z )] rr + 2i r = 2e2i [z (z ) + (z )]

y tambin es posible obtener la expresin para las componentes polares de los des-plazamientos,

2(ur + iu ) = ei (z ) z (z ) (z )La conclusin de estas consideraciones es que para resolver un problema elstico,

basta encontrar dos funciones analticas y , tales que las tensiones calculadasmediante las ecuaciones (1.23) y los desplazamientos calculados mediante (1.24)

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cumplan las condiciones de contorno del problema elstico. Los procedimientos paraencontrar dichos potenciales sobrepasan los objetivos de este curso, por lo que acontinuacin van a mostrarse algunos casos inversos, es decir, vamos a ver cualesson los campos de tensiones y desplazamientos que se obtienen para unos potencialescomplejos concretos.

Potenciales lineales

Supongamos los siguientes potenciales complejos,

(z ) = Az

(z ) = Bz

siendo A y B constantes reales. Evidentemente se trata de funciones analticas.Aplicando las ecuaciones (1.23) se obtiene las tensiones siguientes,

11 = 2A B22 = 2A + B12 = 0

lo cual implica que el tensor de tensiones es uniforme, y que los ejes x1x2 son losejes principales.

Para obtener un estado uniaxial de tensiones de la forma = 0 00 0 basta

con resolver el sistema,

2A B = 02A + B = 0

cuya solucin es A = 14 0, B = 12 0. De modo que los potenciales,(z ) =

14

0z

(z ) = 120z

(1.25)

dan lugar a un estado uniaxial de tensiones en direccin x1. Procediendo del mismomodo, puede obtenerse que los potenciales,

(z ) = 14

0z

(z ) = 12

0z (1.26)

dan lugar al estado tensional uniaxial = 0 00 0

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Potenciales lineales con coecientes complejos

Consideremos ahora los potenciales siguientes,

(z ) = az (z ) = bz

pero siendo ahora a y b valores complejos. En ese caso podremos escribir a = Ae iy b = Be i , siendo A y el mdulo y argumento de a, respectivamente, y B y ,los de B.

Aplicando de nuevo las ecuaciones (1.23) se llega a,

11 = 2A cos B cos 22 = 2A cos + B cos 12 = B sen

De nuevo se obtiene un campo uniforme de tensiones, pues ij no vara con laposicin, pero en este caso los ejes x1x2 no son principales, salvo para los casosB = 0, = 0 o = . Si por el contrario, quisieramos obtener los potenciales

correspondientes al estado tensional == 0 0 0 0, es decir, cizalladura pura,

tendramos que tomar a y b de modo que,

2A cos B cos = 02A cos + B cos = 0

B sen = 0

ecuaciones que tienen innitas soluciones. Una de ellas, por ejemplo, se obtendratomando = = 2 , de modo que B = 0 y A es arbitrario (por ejemplo A = 0).Esto implica que los potenciales,

(z ) = 0(z ) = i 0z

(1.27)

conducen al estado tensional buscado.Para obtener un estado tensional uniforme de valores cualesquiera = xx xyxy yy

,

bastara sumar los potenciales dados por las ecuaciones (1.25), (1.26) y (1.27), to-mando 0 = xx en el primer caso, 0 = yy en el segundo, y 0 = xy en el tercero,obtenendose,

(z ) = 1

4(yy + xx )z

(z ) = 1

2(yy xx + 2 ixy )z

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Potenciales cuadrticos con coecientes complejos

Consideremos ahora los potenciales siguientes,

(z ) = az 2

(z ) = 0

siendo de nuevo a = Ae i . Las tensiones derivadas de estos potenciales son,

11 = 2A(x1 cos 3x2 sen )22 = 2A(3x1 cos

x2 sen )

12 = 2A(x1 sen x2 cos)De igual forma, para

(z ) = 0(z ) = bz 2

se obtienen,

11 = 2B(x1 cos + x2 sen )22 = 2B(x1 cos x2 sen )12 = 2A(x1 sen + x2 cos )

siendo de nuevo b = Bei .En ambos casos se obtienen campos de tensiones generales que varan linealmente

con la posicin. La expresin general del campo tensional con variacin lineal seobtendr sumando ambas soluciones siendo el resultado,

11 = 2x1(AR BR ) + 2 x2(3AI + B I )22 = x1(6AR + 2 BR ) 2x2(AI + B I )12 = 2x2(AR + BR ) + 2 x1(AI + B I )

siendo AR = Acos = Re( a), AI = Asen = Im( a), BR = B cos = Re( b),B I = B sen = Im( b),

Ntese que esta expresin general de un campo de tensiones lineal depende ni-camente de cuatro constantes reales, AR , AI , BR y BI , que se obtendran de lascondiciones de contorno.

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Potenciales para el problema de una cavidad circular en una placa bajotensiones uniformes

Para el problema representado en la gura (1.22) cuya solucin se obtuvo tra-bajando en coordenadas polares, es posible calcular los potenciales complejos co-rrespondientes. Para ello es necesario emplear tcnicas basadas en transformacionesconformes que estn fuera del alcance de estas notas (ver [ ? ] para un desarrollocompleto).

Veamos nicamente el resultado. Efectivamente, los potenciales

(z ) = 1

40z 1 + 2a2

z 2

(z ) = 12

0z 1 + a2

z 2 a4

z 4

conducen al estado tensional,

11 = 0 1 a2(5x41 12x21x22 x42)

26 +

3a4(x41 6x21x22 + x42)28

22 = 1

20

a2

2x41 12x21x22 + 3x42

4 3a2(x41 6x21x22 + x42)

6

12 = 0x1x2 a2

23x22 5x214 + 6a

2 x21 x226siendo aqu a, el radio de la cavidad, y = x21 + x22. Puede comprobarse queesta solucin es la misma que obtuvimos utilizando coordenadas polares, que vienendada por las ecuaciones (1.20), (1.21) y (1.22). Para comprobarlo basta transformara polares el tensor de tensiones mediante las ecuaciones (1.15) y sustituir x1 = cos y x2 = sen .

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Captulo 2

Mecnica de la Fractura ElsticaLineal

En el captulo anterior hemos visto la solucin de un problema elstico particularconsistente en una placa innita con un defecto (cavidad) circular. Hemos visto comose altera el estado tensional nominal debido a la existencia del defecto, y como esaalteracin se traduce en una concentracin de tensiones que en este caso llega a serdel triple de la nominal.

En este captulo vamos a ver cual es la solucin que la elasticidad lineal propor-ciona al problema de fractura. Como veremos a continuacin, la solucin elsticapara el problema de fractura es paradjica, pues da lugar a un campo tensional queno es realista cerca del vrtice de la grieta. A pesar de ello es posible utilizar lasolucin elstica para caracterizar el estado tensional en el entorno de una sura, yproporcionar un criterio de fallo vlido desde el punto de vista ingenieril.

2.1. Solucin para el problema de una grieta nitaen un medio innito

Veamos en esta seccin el problema elstico de una grieta nita de tamao 2a enun medio innito, sometida a tensiones remotas uniformes biaxiales de valor 0, taly como se muestra en la gura (2.1). Este problema fu resuelto por Westergaardhaciendo uso de variable compleja.

Con los ejes tal y como estn establecidos en la gura (2.1), las condiciones de

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2.1. Solucin para el problema de una grieta nita en un medio innitoCap. 2. Mecnica de la Fractura Elstica Lineal

Figura 2.1: Grieta nita de tamao 2a en un medio innito sometida a tensionesremotas uniformes

contorno sern las siguientes:

Para a < x 1 < a y x2 0+22 = 012 = 0

Para a < x 1 < a y x2 022 = 012 = 0

Para x21 + x22 11 = 022 = 012 = 0

En las expresiones anteriores x2 0+ y x2 0 signican que nos acercamosal eje x2 = 0 desde valores positivos de x2, o negativos, respectivamente.Para este problema Westergaard 1 dedujo una expresin de la funcin de Airy

en trminos de una sola funcin analtica, a diferencia de la solucin general quese escribe en trminos de dos funciones. En este caso, Weestergard encontr que lasolucin viene dada por la siguiente funcin de Airy,

U (x1, x2) = Re Z 2(z ) + x2 Im Z 1(z )1 H.M Westergaard, Bearing pressures and cracks, Journal of Applied Mechanics , Vol.6, pp.

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2.1. Solucin para el problema de una grieta nita en un medio innitoCap. 2. Mecnica de la Fractura Elstica Lineal

r/a ar 12 3

4ra

12 5

32ra

32 7

128ra

52 45

2048ra

72

0.00 100 0 0 0 00.01 99.26 0.74 0.16104 0.05104 0.001050.02 98.53 1.48 0.62104 0.43104 0.031050.03 97.81 2.20 1.38104 1.44104 0.171050.04 97.11 2.91 2.43104 3.39104 0.551050.05 96.42 3.62 3.77104 6.59104 1.321050.06 95.74 4.31 5.39104 11.30104 2.731050.07 95.08 4.99 7.28104 17.83104 5.021050.08 94.43 5.67 9.44

104 26.43

104 8.50

105

0.09 93.78 6.33 11.87104 37.38104 13.521050.10 93.15 6.99 14.56104 50.94104 20.47105Cuadro 2.1: Cociente entre las tensiones asinttica y completa para una grieta enun medio innito sometida a tensiones remotas

En la serie anterior, solamente el primer trmino tiende a innito cuando r 0,mientras que el resto tienden a 0. Esto implica que para valores pequeos de r, lacontribucin de los trminos no singulares ser despreciable respecto al primero. Enla tabla (2.1) se muestra la contribucin de cada trmino relativa al valor exacto de

22 para distintos valores de ra , en tanto por ciento.Como puede verse, el primer trmino del desarrollo es dominante para valores

pequeos de r (relativos a la longitud de la grieta). Dado que la zona crtica, aefectos del clculo de tensiones, es la regin cercana al vrtice de la grieta comoprimera aproximacin podemos tomar,

22 0 a 2r

Por razones histricas se aade un factor en el denominador de modo que laexpresin anterior se escribe:

22 0 a 2rEsta expresin representa el trmino dominante cerca del vrtice de la grieta.

Si representamos este trmino dom

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