mecanica cuantica y optica

30/01/2011

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Prof. Luis M. Angelats Silva

[email protected]

Escuela de Ingeniera de Materiales

Departamento Acadmico de Fsica

UNT

Luis Angelats Silva

Curso: Fsica cuntica y ptica - 2010-II

Texto de Refer. Serway-Jewett.-7ma Edic.

Erwin Schrodinger

(1887 1961), Nobel 1933

30/01/2011Luis Angelats Silva

Erwin Schrdinger

(1887 1961), Nobel 1933

Introduccin:

Werner Heisenberg

(1901-1976), Nobel 1932

Albert Einstein

(1879 1955), Nobel 1921

Max Planck

(1858 1947), Nobel 1918

Algunos precursores ms importantes de la Teora Cuntica:


Resumen de hechos e ideas previas:

- Modelo cuntico de Max Plank (1900):

1. La energa de un oscilador slo puede tener ciertos

valores discretos En (La energa est cuantizada) nhfEn

2. Los osciladores emiten o absorben energa slo

cuando realizan una transicin de un estado

cuntico a otro. fiEE

hchf

-El efecto fotoelctrico: (Aporte de Albert Einstein, 1905)

Ampli el concepto de cuantizacin de Planck a las ondas

electromagnticas: Supuso que la luz (o cualquier otra onda

electromagntica) de frecuencia f se puede considerar un flujo de cuantos,independientemente de la fuente de radiacin, llamados FOTONES con

energa E = hf y cantidad de movimiento, p = E /c.

-Efecto Compton: (1922) Arthur Holly Compton

Explica la dispersin de los rayos X por electrones adoptando un modelo de

partcula (en vez de una onda) para los fotones: Efecto Compton


- Naturaleza dual partcula-onda: (1923, Luis De Broglie)

..Ya que los fotones tienen a la vez caractersticas ondulatorias y de partculas,es posible que todas las formas de la materia tengan ambas propiedades..

mv

h

p

h

h

Ef

- Principio de indeterminacin de Heisenberg o principio de

incertidumbre (1927, Werner Heisenberg ):

..fsicamente es imposible medir de manera simultnea la posicin exacta y lacantidad de movimiento exacto de una partcula..

2

px

x, tO

Paquete de onda que representa

una partcula

2

tEy

entonces, ..la luz es una onda o una partcula? Partcula cuntica


Enlace conceptual entre partculas y ondas: Nocin de Probabilidad:

1. Interpretacin de la Mecnica cuntica:

1. Radiacin electromagntica bajo el modelo de las partculas:

V

N

V

adProbabilidProbabilidad por unidad de volumen de hallar un fotn en

una regin determinada del espacio en un instante, es

proporcional al nmero N de fotones por unidad de

volumen en ese tiempo.

IV

N El nmero de fotones por unidad de volumen esproporcional a la intensidad de radiacin.

2. Enlace del modelo de partcula y el modelo de onda:

Como: 2EI (ver tema: ondas electromagnticas)

2adProbabilid EV

La probabilidad por unidad de volumen de hallar una

partcula asociada con esta radiacin (el fotn), es

proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda

electromagntica asociada.


Sea:

la amplitud de probabilidad, o funcin de onda (completa) asociada con un

sistema de partculas

ti

jj ertrrrr )(),...,,...,,,( 321 ,

Donde:

f2 y 1ijr Vector de posicin de la j-sima partcula del sistema

)( jr Funcin espacial (considerando que la energa potencial slodepende de las posiciones de las partculas)

tie Funcin temporal compleja

Considerando una partcula:

Sea dV, un elemento de volumen pequeo,

dVdVzyxP2

),,(Probabilidad de hallar la partcula en el elemento

de volumen dV.

Donde:*2

Densidad de probabilidad (siempre real y positivo)

y:*

Complejo conjugado de


Ejemplo: Para una partcula libre que se mueve a lo largo del eje x con

longitud de onda, = h/px (segn De Broglie):

xikxAex)(

Donde: /2k (Nmero de onda angular de la onda querepresenta la partcula)

A Amplitud (constante)

Funciones de onda unidimensionales y valores permitidos:

dxdxxP2

)(

La probabilidad de que la partcula se encuentre en el intervalo dx alrededor delpunto x, es:


Para un intervalo arbitrario, a x b, es: dxP

b

a

ab

2

xa b

2

Pab

Pab La probabilidad de hallar la partcula en el intervaloa x b (representada por el rea bajo la curva entre

los puntos a y b) y,0 Pab 1

Qu significa que Pab = 0.30?

Como la partcula debe estar en algn lugar a lo largo del eje x,

12dx

Nota:

Si una funcin de onda satisface esta expresin, se dice

que est Normalizada (existe en algn punto en el espacio)

La posicin promedio, llamado Valor esperado de x, se

define por:dxxx *

Para cualquier funcin f(x), el valor esperado es: dxxfxf )(*


Pregunta de anlisis:

Considere la funcin de onda para la partcula libre como:

En qu valor de x es ms probable que la partcula se encuentre en un tiempo

determinado?

ikxAex)(

Ejercicio:

1.Considere una partcula cuya funcin de onda se grafica en la figura y se

proporciona por:

(a) Cul es el valor de A si se normaliza esta funcin de onda?, (b) cul es el

valor esperado de x para esta partcula? Rpta. (a) A= (2a/ )^(1/4), (b) 0.

2

)( xAex

(x)

x0

2

)( xAex


2. La partcula cuntica bajo condiciones de frontera:

(a) Partcula de masa m y rapidez v,confinada a rebotar entre dos

paredes impenetrables

(Movimiento Newtoniano,

Modelo CLASICO)

U(x)

0 x L0 L

(b) Funcin de energa potencial

para el sistema (Modelo

Cuntico)

(0)= 0 (L) = 0

)2

()( xsenAx

(x)

Consideremos una funcin de onda unidimensional que no depende del tiempo

para la partcula en la caja:

La funcin de onda debe satisfacer

las condiciones de frontera: = 0x = 0 (1)

x = L (2)


Anlisis:

)2

(0)( LsenALPara: (2 / )L = , 2 , = n .,

n

Ln

2Donde, n = 1, 2, 3, (nmero cuntico)

)()( xL

nsenAxny

Normalizando n(x), se encuentra que:L

A2

Demostrar!!!

)(2

)( xL

nsen

Lxn

(Modelo CUNTICO)

U = U =

Pozo infinito

U = 0, 0 < x < L

U = , x < 0 y x > L1(x)

2(x)

3(x)

30/01/2011

hp

m

pE

2

2

Para cada valor de n se tienen valores correspondientes de p, y E:

A partir de la relacin de De Broglie: y,

Diagrama de niveles de energa

(Los niveles de energa posibles)2

222

82 mL

hn

m

pE nnL

nhhp

n

n2

y,

(n = 1, 2, 3,)

Cambios de energa: infsup EEE

Luis Angelats Silva

2

2

18mL

hE

Estado fundamental

1

2EnEn

30/01/2011

Ejemplo 1: Si la partcula atrapada es un electrn y la caja tiene un ancho de 5.0

x 10-10 m (un poco mayor que un tomo) Cul es el nivel de energa mas bajo

para el electrn?

Solucin:

En la ecuacin:

Si la partcula fuese un protn o neutrn ( m = 1.67 x 10-27 kg) y L = 1.1 x 10-14 m (ancho

medio del ncleo)?

eV5.1J104.2)m105)(kg1011.9(8

)J.s10626.6()1( 1921031

2342

1 xxx

xE

2

22

8mL

hnEn

MeV7.11E! 106 veces mayores que las

energas de los e- en los tomos

Si la partcula fuese una esfera de billar ( m = 0.2 kg) y L = 1.5 m (ancho entre las bandas

de la mesa)?

eV........250.000000..eV105.2J104 48671 xxE

!Los efectos cunticos no tienen mucho efecto en un juego de billar

,

Luis Angelats Silva


Ejemplo 2: Un electrn est confinado entre dos paredes impenetrables con una

separacin de 0.20 nm. (a) Determine los niveles de energa para los estados n =

1, 2 y 3. (b) encuentre la rapidez del electrn en el estado n = 1, Rptas. (a) 9.42

eV, 37.7 eV, 84.8 eV., (b) 1.82x106 m/s.

Ejemplo 3: Una partcula de masa m est confinada a una caja

unidimensional entre x = 0 y x = L. Encuentre el valor esperado de la porcin x

de la partcula en el estado caracterizado por el nmero cuntico n. Rpta. L/2.

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3. La ecuacin de Schrdinger:

Permite determinar las funciones de onda y los niveles de energa de varios

sistemas

Para el caso del electrn atrapado en una caja (problema unidimensional):

xsenAkxsenA2

2

hkhp

m

pE

2

2

Usando: m

kh

m

hE

2

22

2

2

82

(Energa total)

Derivando dos veces la ecuacin (x): 222

2

kAsenkxkdx

d

y multiplicando por el factor:m

h2

2

8Ek

m

h

dx

d

m

h))(

8()

8( 2

2

2

2

2

2

2

Edx

d

m 2

22

)2

(

Haciendo: eV10582.6J.s10055.12

1634 xxh

(Ecuacin de Schrdinger; e- atrapado en una caja)

y

Luis Angelats Silva

U (x) = 0, 0 < x < LY considerando :

U (x) = 0, 0 < x < L

30/01/2011

Las expresiones para p y E en funcin de kp m

kE

2

22, son:

Suponiendo que el electrn esta bajo la accin de una fuerza conservativa originada por una

energa potencial U(x):

ExUdx

d

m)()

2(

2

22

1. Determinacin de la funcin de onda y energas para un electrn atrapado en

una caja (o pozo de potencial) con paredes infinitas aplicando la Ec. de Sch.:

U(x) = 0 U(x)U(x)

0 x L0 L

e-

La Ec. de Sch. con U(x) = 0, se expresa como:

Edx

d

m 2

22

)2

( 2

22

2 2k

mE

dx

d

Cules seran las posibles formas de para que sean soluciones de

la ecuacin de Sch.? cules son los niveles de energa permitidos?

Idea clave: !Una funcin de onda para una partcula debe satisfacer tanto la ecuacin de

Sch., como las condiciones de frontera y adems ser no nula en la regin del espacio.

y

Luis Angelats Silva

Aplicaciones:

con,

mEk

2


Planteamos la siguiente funcin de onda (solucin general) que satisface la ecuac.

de Sch:

kxBkxsenAx cos)(

(A y B Constantes determinadas por la condicin de normalizacin y frontera)

Aplicando condiciones de frontera: (x=0)= 0 y (x=L)= 0

0)0(cos)0()0( kBksenA(1) B = 0 Y, kxsenAx)(

(2) 0)()( LksenAL nLmE

kL

2

Los niveles de energa permitidos:2

2

2

)8

( nmL

hEn

Las funciones de ondas (x) permitidas estn dadas por: )()(L

xnsenAxn

Anlisis: Ser solucin de la ec. de Sch. la funcin (x) = Ax +B, para un nivel de energa E = 0?

, xmE

senAx

2)(

30/01/2011

Casos reales:

1. Bidimensional:

2. Tridimensional:

Ncleo

Estados

ligados,

(E < U0)

Pozos de potencial:

U(x)

E, energa total

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Para I y III (fuera del pozo): Donde, U 0 [U(x) = U] en x < 0 y x > L:

De la ecuacin de Sch.: ExUdx

d

m)()

2(

2

2222

2 )(2

EUm

dx

d

CxCx BeAex)(

, se obtiene:

Como (U E) es positivo, expresamos de la forma:

Donde:

Cx

I Aex)(

Teniendo en cuenta que la solucin debe permanecer finita cuando x y (x)adems debe ser continua en x = 0 y x = L,

Cx

III Bex)(

Regin I ( x < 0)

Regin III ( x > L)

Luis Angelats Silva

2

2

2

Cdx

d

22 /)(2 EUmC

La solucin general de la ec. de Sch. Sera:

(Posible funcin de onda para una

partcula en un pozo de potencial finito)

x =0 x =L

e-

(x)

I = A eCx

III = B e-Cx

II = Fsenkx+ Gcoskx

)0()0( III )()( LL IIIIIPara conocer la funcin de

onda completa, se requieren

las siguientes condiciones de

frontera (permite conocer las

constantes A, B, F y G):

dx

xd

dx

xd III )0()0(

dx

Lxd

dx

Lxd IIIII )()(


30/01/2011

Observacin:

Sea2

22

12mL

E

Energa del nivel fundamental de un pozo profundo

(i) : Cuando U >> E1 , (pozo muy profundo), se tienen muchos estados ligados, y las

energas de los mas inferiores son casi iguales

(ii) : Cuando U > E1 , (solo un poco mayor que E1), se tienen slo unos cuntos estados

ligados

Ejercicio: Haga un esquema de niveles de energa dentro de un pozo

cuntico segn sea el caso (i ii).

Luis Angelats Silva


Aplicaciones en nanotecnologa:

1. Quantum corrals (corrales cunticos):

Esta espectacular imagen fue producida en 1993 en AlmadenResearch Center de IBM (California). Los 48 picos formando el

crculo marca las posiciones de tomos individuales de Fe sobre

una superficie de Cu especialmente preparada. El crculo, el cual

es alrededor de 14 nm en dimetro, es llamado QUANTUM

CORRAL (Texto: Fundamentals of Physics, Halliday-Resnick-Walker. Sixth Edition. pp. 979, 991).

2. Quantum dots (Puntos cunticos o tomo por tomo)

tomos artificiales para aplicaciones en la ptica electrnica y tecnologa de

computadoras (fabricacin de chips o dispositivos de memoria).


oo

oE

ch

f

c

3. Nanocristales o (nanopartculas):

Puntos cunticos de CdSe

Podemos determinar cul de estas muestras tiene

cristales mas pequeos?cules son mas grandes?

, o Longitud de onda umbral

, Eo Energa umbral

5. Efecto tnel a travs de una barrera de energa :

Una barrera de potencial es lo opuesto de un pozo de potencial; es una funcin de

energa potencial con un mximo.

Luis Angelats Silva

Leo Esaki, 1968: Propuesta: Efecto Tnel del electrn

Reflexin y "tunelado" de un

electrn dirigido hacia una

barrera de potencial.

(Premio Nbel de Fsica, 1973)

Quantum

Mechanical

Path (Tunnel)

30/01/2011

30/01/2011

Anlisis:

U = 0 U = 0

Las solucin de la Ecuac. de Sch. Para las regiones

x < 0 y x > L (fuera de la barrera):

xmE

GxmE

senFx

2cos

2)(

y para:

CxCx BeAex)(

0 x L (ancho de la barrera), con U = U0:

Qu probabilidad existe de que una partcula inicialmente a la izquierda de la barrera pueda

encontrarse a la derecha de la barrera? (Efecto Tnel)

Sea T Coeficiente de transmisin (probabilidad de que se produzca el efecto tnel):

CLHeT 2 )1(16 UE

U

EH

)(2 0 EUmC, donde: y

Observacin: La probabilidad decrece rpidamente al aumentar L y depende crticamente de

la diferencia de energas U E.

Luis Angelats Silva


Ejemplo 3: Un electrn de 30 eV incide sobre una barrera cuadrada de 40 eV de alto.

(a) cul es la probabilidad de que el electrn penetre por efecto tnel a travs de la

barrera, si su ancho es 1.0 nm? (b) cul es la probabilidad de que el electrn penetre

por efecto tnel a travs de la barrera, si su ancho es 0.10 nm?


1981: Heinrich Roher y Gerd K. Binnig (IBM Zurich)

Invencin de la miscroscopa de efecto tnel (STM), Scanning

Tunneling Microscopy) y la microscopa de fuerza atmica (AFM,

Atomic Force microscopy) y realizan sus primeras observacionesde tomos.

Imagen de una molcula

La imagen muestra los tomos de

hidrgeno en la periferia del pentaceno.

(Premios Nbel de Fsica, 1986)

Aplicaciones del efecto tnel

30/01/2011Luis Angelats Silva 30/01/2011

Nanotransistor - diodo tnel resonante

mecanica cuantica y optica

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