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lunes 21 de mayo de 2007

El efecto túnel

El desarrollo de la mecánica cuántica hace posible el descubrimiento de nuevos efectos,

imposibles desde un punto de vista clásico. Quizás el más popular es el efecto túnel,

donde, haciendo una comparación rápida y mala, es como si al tirar una pelota a una

pared, la atravesara sin tocarla. Así es como se desprende de un análisis de una situación

análoga, a través de la ecuación de Schrödinger.

La pared cuántica

Veamos primero qué se entiende por “pared”, y qué le ocurre a un electrón cuando llega

a ésta. La energía de una partícula siempre es la suma de su energía cinética, y la

energía potencial. Por tanto, su energía siempre será igual o mayor que la potencial. Los

casos en que la energía es menor que a potencial, desde la física clásica, representan

estados imposibles de alcanzar por parte de una partícula. Así, el punto en que la

energía total se iguala a la potencial representa un “punto de retorno”, la partícula no

puede avanzar, sino que debe retroceder. Es el equivalente a una “pared”.

En la figura, la energía del electrón de arriba es mayor que el escalón, y por tanto lo

supera, perdiendo un poco de energía cinética. El electrón de abajo en cambio, debe

retroceder tras llegar al punto en que su energía es igual a la energía potencial, y por

tanto, su energía cinética se anula en ese punto.

Analicemos la situación del segundo electrón desde el punto de visto cuántico, con la

ecuación de Schrödinger.

La ecuación a resolver es la siguiente:

cuya solución, vimos en la entrada anterior, es una combinación de seno y coseno. La

combinación de seno y coseno, por la fórmula de Euler, es equivalente a una función

exponencial imaginaria, y más útil para el análisis que sigue. Así, la función de onda se

puede expresar de forma general como:

Tal como vimos anteriormente, k (el vector de onda) está relacionado con el momento

cinético, y por tanto, el sentido en que se desplaza la partícula. Un signo + significa que

se desplaza en el sentido creciente de x (va de izquierda a derecha). El signo – describe

un movimiento en sentido contrario. Tal como se ha planteado el dibujo, estamos en el

primer caso, es decir, el electrón se desplaza de izquierda a derecha, situación que en la

función de onda describe el primer término(k positivo). Por tanto, en nuestro caso

concreto, se debe escoger B=0 para anular el segundo término.

Veamos ahora las dos regiones del espacio que delimita el escalón. A la izquierda, (E-V)

es una cantidad positiva,(energía total mayor que la potencial), y la ecuación de onda

representa a un electrón libre (una exponencial imaginaria, o una combinación de

funciones seno y coseno). En cambio, en la zona derecha, (E-V) es negativo (energía

menor que la energía potencial), el vector de onda es imaginario, y la función de onda

representa una exponencial real decreciente. Es decir, aún siendo una zona prohibida

según la física clásica, en la mecánica cuántica una partícula puede existir en esa zona,

pero con una probabilidad cada vez menor, según se profundiza en la pared.

La distancia que puede penetrar un electrón en la zona prohibida antes de que su

probabilidad sea prácticamente nula, depende de la diferencia entre su energía y el valor

del potencial. Cuanto mayor sea la diferencia E-V, más rápidamente cae la probabilidad.

En el caso extremo en que V tiende a infinito, la profundidad de penetración tiende a

cero, es decir, el electrón no entrará en la pared (tal como se asumió cuando hablábamos

del pozo cuántico).

El efecto túnel

Por tanto, un partícula puede penetrar en una pared de potencial, algo imposible según

la física clásica. Una partícula puede penetrar una distancia (pequeña), aunque la

probabilidad de encontrar a la partícula en ese lugar disminuye según se profundiza.

¿Qué ocurre si la pared de potencial termina antes de que esta probabilidad se extinga, o

se reduzca demasiado?. En este caso, al “otro lado” de la pared la función de onda

vuelve a describirse por un electrón libre. Es por tanto posible que un electrón llegue a

una barrera, la atraviese, y aparezca al otro lado de ésta, con una probabilidad

determinada, aunque menor que la que tenía antes de atravesar la barrera.

La probabilidad de atravesar la barrera depende de la masa de la partícula, de la altura

de la barrera, pero sobre todo, de su anchura. Las distancias típicas para que la

probabilidad sea suficiente para hacer túnel está en el orden de los angstroms y

nanómetros.

Desintegración alfa

La emisión de partículas alfa está relacionada con el efecto túnel. Una partícula alfa es

un átomo compuesto por 2 protones y 2 neutrones, sin electrones. Corresponde a un

núcleo de Helio 4 (4He

2+). Un átomo con un número elevado de protones y neutrones

mantiene estas partículas pegadas entre sí gracias a la interacción fuerte. Un esquema de

la energía potencial en el interior de un átomo es como sigue:

Existe una zona de barrera de potencial en la transición entre el dominio de la

interacción fuerte y la electrostática. Superar esa barrera requeriría aportar una gran

cantidad de energía. Sin embargo, una partícula alfa es capaz de atravesar la barrera por

efecto túnel, desintegrando así el núcleo al que pertenecía.

El microscopio de efecto túnel

El efecto túnel es la base hoy día de algunos dispositivos, como son diodos, láseres y

detectores. Pero una de las aplicaciones más importantes está relacionada con la

microscopía de superficies.

Ver STM: Microscopio de efecto túnel

Escrito por Julio a las 8:36:00 AM 2 comentarios

Etiquetas: Fundamentos, Mecanica cuántica

jueves 19 de abril de 2007

La ecuación de Schrödinger en acción

La ecuación de Schrödinger determina la función de onda de un sistema. En particular,

aplicado a un electrón, describe cómo se comporta cuando está un entorno específico

descrito por la energía potencial V(x), y unas condiciones de contorno. Según la

expresión de este potencial y condiciones, la ecuación es más o menos sencilla de

resolver. Vamos a ver un par de casos sencillos, de donde se deducen consecuencias

importantes.

El electrón libre

La situación más simple es cuando un electrón no se halla sometido a ningún tipo de

interacción. En este caso, la energía potencial es nula, y se habla de un “electrón libre”.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo queda entonces como

La solución a esta ecuación es:

(x)=A·sen(kx)+B·cos(kx)

Por cada valor de k, hay una autofunción, o estado del sistema. El significado de la

variable k está relacionado con el momento cinético. Al sustituir la función de onda en

la ecuación de Schrödinger, se puede deducir el valor de la energía en función de la

variable k:

de donde se deduce que k es proporcional al momento cinético. A la variable k se le

denomina vector de onda, dado que si recordamos la expresión del momento para un

fotón,

k está relacionado con la longitud de onda.

La relación entre E y k se denomina relación de dispersión, y describe los estados

posibles del electrón. En el caso del electrón libre, toda su energía es únicamente la

cinética, debida a su movimiento. El electrón se halla lejos de cualquier interacción y no

hay ninguna condición especial sobre k o sobre E, y por tanto, el electrón puede tener

cualquier valor de energía cinética. Es decir: un electrón libre no tiene cuantizada su

energía, su energía es un continuo, y existen infinitos estados posibles para él.

El pozo cuántico infinito

El segundo ejemplo es llamado el pozo cuántico. La energía total del electrón siempre

es la suma de su energía cinética y potencial. Si limitamos una región del espacio donde

el potencial es nulo, pero fuera de éste se hace infinito, entonces el electrón se halla

confinado, metido en un pozo, limitado entre las posiciones x=0 y x=L.

No tiene sentido plantear la ecuación de Schrödinger en una zona de potencial infinito,

dado que el electrón nunca tendrá una energía total mayor que ésta; pero sí se puede

plantear dentro del pozo. No obstante, ahora es necesario incluir condiciones de

contorno: la probabilidad de encontrar al electrón en una zona donde no tiene sentido

planteárselo tiene que se nula; es decir:

(0)=0

(L)=0

La solución a la ecuación de Schrödinger en la región del pozo sigue siendo la misma

que para el electrón libre. Al aplicar las condiciones de contorno, sin embargo:

De la primera condición, se deduce que todas las autofunciones se describen sólo por la

función seno, y no por la suma de seno y coseno, como en el electrón libre. Pero la

condición más importante es la segunda: sólo puede ser cero cuando A·sen(kL)=0. Una

solución es que A=0. Pero al ser el seno una función periódica, esto también ocurre

cuando kL es un múltiplo entero . De esta forma, se revela que el vector de onda k está

cuantizado: no puede existir cualquier estado, sino sólo aquellos cuyo vector de onda

sea un múltiplo entero de /L. Y como consecuencia, la energía también está

cuantizada:

Es decir, aún cuando siguen existiendo infinitos estados posibles para un electrón en un

pozo infinito, la energía de éstos no puede ser cualquiera, sino que está cuantizada.

Esta gráfica representa los valores de energía que puede tener una partícula dentro de un

pozo infinito, representado por las dos líneas verticales azules. Superpuesta a cada

energía, está puesta la función de onda correspondiente a ese estado.

La consecuencia más importante de estos dos ejemplos es entender que una partícula

que se halla confinada entre dos barreras de potencial, no puede tener cualquier

energía, sino que la tendrá cuantizada. Por el contrario, cuando una partícula se halla

libre de cualquier interacción, no hay condiciones para su energía, sino que es

continua.

El átomo de Schrödinger

¿Cuál es el potencial de energía de unos electrones en el átomo? Este potencial no es

otro que el electrostático, que es inversamente proporcional a la distancia:

donde r es la distancia en el eje radial, y Z el número de protones del átomo. En este

potencial se pueden ver dos zonas claramente separadas, dependiendo de la energía del

electrón:

Una zona donde un electrón sería considerado “libre”, y por tanto, fuera del átomo y

con energía continua (Zona A), y una zona donde el electrón se halla confinado por el

potencial (Zona B), y por tanto su energía cuantizada. La solución de la ecuación de

Schrödinger para este potencial es complicada, pero hace aparecer finalmente la misma

cuantización que Bohr y Sommerfeld tuvieron que postular para describir los electrones

del átomo.

La frontera entre las zonas A y B se denomina "nivel de vacío", es la energía de

referencia respecto de la cual se refieren las otras., y representa la diferencia entre un

electrón ligado, o confinado dentro del átomo, y un electrón que ha conseguido escapar.

Según se toma esta referencia, las energías de los electrones ligados son negativas,

mientras que la de los electrones libres son positivas.

Para arrancar un electrón de un átomo, es preciso darle una energía al menos igual a la

de su ligadura. Con eso, su energía queda en el nivel de vacío. Si se le suministra más,

esa energía extra se emplea en poner en movimiento al electrón, energía cinética, que al

ser ya un electrón libre, no tiene ningún tipo de condición especial.

Escrito por Julio a las 9:10:00 AM 0 comentarios

Etiquetas: Fundamentos, Mecanica cuántica

lunes 2 de abril de 2007

La interpretación de Copenhague

Tras el desarrollo de la mecánica cuántica ondulatoria de Schrödinger, y la matricial de

Heisenber, Paul Dirac dio un paso más allá explicando como ambas teorías eran la

misma, con distinta descripción. Más aún, Dirac profundizó en el desarrollo incluyendo

la radiación electromagnética y efectos relativistas, de donde surgió la electrodinámica

cuántica, y la predicción de la existencia de partículas exactamente iguales a las ya

conocidas, excepto que su carga estaba invertida: Dirac descubría así las antipartículas.

Paralelo al desarrollo, se trabaja igualmente en la interpretación de la teoría cuántica. Si

la mecánica clásica trata de situaciones y sistemas cotidianos, que se traducen a

ecuaciones, en la física cuántica si bien los primeros descubrimientos (radiación de

cuerpo negro, efecto fotoeléctrico, etc…) responden a este esquema, al desarrollar en

profundidad la mecánica se presenta el caso contrario, en las que se desarrollan

soluciones matemáticas a las que hay que encontrar una interpretación física. (Las

antipartículas son un caso así, por ejemplo)

No fue hasta la conferencia de Solvay de 1927 en Bruselas que la interpretación quedó

finalmente establecida, debido principalmente a Niels Bohr. Una interpretación no

exenta de debate, ya que científicos de la talla de Einstein no la compartieron, e

intentaron una y otra vez ponerla a prueba con experimentos mentales, tratando de

demostrar algún tipo de contradicción.

Probabilidad y función de onda

La interpretación de la función de onda no es algo trivial de hacer. Dependiendo del

problema, el sistema puede hallarse en distintos estados representados por su posición,

momento cinético, momento angular, o cualquier otra cantidad observable; estados que

se describen a través de su energía.

Pero el principio de incertidumbre de Heisenberg muestra que es imposible determinar

con total precisión estos mismos valores. Max Born (1882-1970) llegó a la conclusión

de que la función de onda representa entonces la probabilidad de encontrar a un sistema

en un estado determinado. Para un átomo, representa la probabilidad de encontrar a un

electrón en una posición dada, pero no va a describir cómo éste orbita alrededor del

núcleo, de igual forma la física clásica describe la trayectoria de un planeta alrededor

del Sol.

Pierde así sentido el concepto de órbita que se había manejado, y surge el concepto de

orbital, que es la región del espacio en la cual es probable encontrar al electrón. En vez

de una órbita circular, donde un planeta ocupa una posición determinada, existen

regiones del espacio, con más probabilidad que otras de encontrar el electrón allí.

Complementariedad: dualidad partícula – onda

Prácticamente desde el inicio del desarrollo de la mecánica cuántica, quedó patente que

ondas y partículas parecían ser dos propiedades que puede poseer un solo sistema. Para

un físico clásico, estas dos propiedades son excluyentes, y por tanto, una de las dos debe

estar equivocada.

Sin embargo, para un físico cuántico las propiedades ondulatoria y corpuscular no son

excluyentes, sino complementarias. Cual de las dos propiedades se revela en un

experimento, depende del experimento en cuestión. Un mismo experimento nunca

pondrá de manifiesto ambas propiedades, por lo que no es posible discriminar si una es

más correcta que la otra.

La función de onda permite representar esta complementariedad. Una función de onda

que abarque una región de espacio extensa es incompatible con la idea de una partícula

ocupando una posición. Se habla entonces de una función de onda deslocalizada, y el

sistema se comportará más como una onda que como una partícula. Y puede suceder lo

contrario, que la función de onda se halle muy concentrada en una región pequeña del

espacio: entonces el sistema se comportará como una partícula, y se habla de una

función de onda localizada.

Colapso de la función de onda y el gato de Schrödinger

Vimos como la función de onda, matemáticamente, es la suma (o superposición) de una

serie de autofunciones para las cuales se podía resolver la ecuación de Schrödinger.

Estas autofunciones representan además cada uno de los estados posibles de un sistema;

pero cuando se hace una observación (o medida experimental), uno y sólo uno de estos

estados se revela en el experimento, con una probabilidad determinada.

Esto quiere decir, que antes de hacer una medida, el sistema se halla indefinido: el

estado es una mezcla de todos los estados posibles. Pero sin embargo, al observar y

hacer interaccionar el sistema de medida con el sistema de estudio, la interacción hace

que el sistema se decante por un estado en concreto, produce un colapso de la función

de onda a un estado en concreto, el cual mantendrá hasta que se le someta a otro tipo de

interacción distinta.

El ejemplo más conocido que se emplea para ilustrar este colapso, es el experimento

teórico conocido como el gato de Schrödinger. Sin embargo, Schrödinger no era

partidario precisamente de esta interpretación, y lo que intentaba era ilustrar lo absurda

que era:

En un caja, encerramos un gato junto con una fuente radioactiva, un contador Geiger, un

martillo y un recipiente con un gas venenoso. La desintegración de la fuente es un

proceso cuántico, que tiene una probabilidad del 50% de ocurrir. Si ocurre, el contador

Geiger activa un dispositivo por el cual el martillo rompe el frasco del gas, y el gato

muere. Si no ocurre, el gato permanece vivo. Todo está metido en un caja, y la única

forma de saber si el gato sigue vivo o muerto es abriéndola. Por tanto, el gato tiene una

probabilidad del 50% de estar vivo o muerto. Según la interpretación cuántica, mientras

no se abra la caja, el gato está a la vez en un estado vivo y muerto, lo cual parece

ridículo.

Es sin embargo más útil para entender el colapso, hablar del experimento de Stern y

Gerlach. Recordemos: un electrón posee un spin que puede tener dos estados : “arriba”

(s=1/2) y abajo(s=-1/2). Se le hace atravesar una zona con un campo magnético no

uniforme. Antes de atravesarlo, no se sabe si el estado del spin del electrón: tiene un

50% de probabilidad de estar en uno u otro. Pero al atravesarlo, el spin se orienta (en

realidad, la superposición de los estados arriba y abajo colapsa a uno de ellos), de forma

que se el electrón se desvía de su trayectoria en un sentido u otro.

Si ahora ese electrón, con un spin determinado, le hacemos pasar por otro dispositivo de

Stern – Gerlach , con el campo magnético en la misma dirección que el anterior, el

colapso no sucederá, porque el estado ya había sido determinado, y por tanto, tiene un

100% de probabilidad de que al atravesar el campo magnético, el estado final sea el

mismo que el inicial. En ningún caso podrá cambiar al estado contrario.

Supongamos en cambio, que un electrón desplazándose en el eje y, con un spin arriba

tras atravesar un campo magnético no uniforme en el eje z, atraviesa otro dispositivo de

Stern – Gerlach , pero con el campo magnético en el eje x. En este caso, el spin fue

determinado respecto del eje z, pero no lo fue respecto del eje x, y por tanto se vuelve a

la situación inicial: habrá un 50% de probabilidad de que el spin se oriente hacia un

sentido u otro en el eje x.

“Dios no juega a los dados”

(Albert Einstein a Niels Bohr acerca de la mecánica cuántica)

Esta interpretación de la mecánica cuántica fue principalmente expuesta por el danés

Niels Bohr, de ahí que lleve el nombre de interpretación de Copenhague. Su

característica principal es que está basada en probabilidades, pero que son propias de la

naturaleza.

La descripción de gases, o de sistemas con muchas partículas, está basada en la

estadística, probabilidades y azar. Pero son probabilidades basadas en la ignorancia, e

imposibilidad práctica de manejar un número elevado de ecuaciones, que se usan para

hallar valores promedio que determinan las propiedades del sistema.

La mecánica cuántica en cambio es probabilística por naturaleza. No hay elementos

desconocidos que nos impidan determinar su propiedades, sino que esas probabilidades

son las únicas propiedades que podemos conocer. Esta visión de la naturaleza de la

interpretación de Copenhague no le gustaba, entre otros, a Einstein, quien durante

tiempo intentó demostrar que debían existir variables ocultas que impedían conocer y

determinar propiedades más allá de sus probabilidades. Cosa que hoy día aún no ha sido

posible demostrar.

“Deja de decirle a Dios lo que debe de hacer”

(Niels Bohr respondiendo a Albert Einstein)

Escrito por Julio a las 8:07:00 AM 2 comentarios

Etiquetas: Fundamentos, Mecanica cuántica

jueves 29 de marzo de 2007

La mecánica ondulatoria de Schrödinger

La mecánica matricial de Heisenberg fue un éxito ya que de ella se podían deducir los

resultados ya conocidos de física cuántica, pero partiendo de principios generales

válidos para cualquier sistema. Sin embargo, el desarrollo es farragoso, y bastante

abstracto, lo cual hacía a la teoría de Heisenberg poco atractiva.

A Erwin Schrödinger (1887-1961) le desagradaba tanta abstracción, y prefirió

desarrollar la mecánica a través de conceptos más reales. Partió de la teoría de Louis de

Broglie, en la que se podían considerar a las partículas como ondas. Si este era su

comportamiento (al menos uno de ellos), entonces matemáticamente ese sistema debía

ser descrito por ecuaciones correspondientes a ondas.

Gracias al desarrollo matemático de Joseph Fourier (1768-1830), se sabe que cualquier

función puede ser descrita como una combinación infinita de funciones seno y coseno:

que son precisamente las que describen a las ondas más simples. De esta forma, un

sistema y su evolución, se describe por una suma de ondas. La mecánica de Schrödinger

es llamada así mecánica ondulatoria, y se resume en una única ecuación en derivadas

parciales, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

(Versión simplificada, donde es la función de onda que describe el sistema, y V(x) es la energía

potencial del sistema. La ecuación se puede generalizar a las 3 dimensiones del espacio, usando geometría

cartesiana, cilíndrica o esférica)

Pero, ¿qué significa esta ecuación?

La mecánica trata de hallar la evolución de un sistema, partiendo de los factores que lo

afectan. La mecánica de Newton trata de hallar la trayectoria en el espacio de un móvil,

sabiendo cómo actúan determinadas fuerzas a través de las tres leyes de Newton.

William Hamilton (1805-1865) desarrolló una mecánica equivalente a partir de

conceptos distintos. En vez de tratar con el intuitivo concepto de fuerza (una fuerza

produce un cambio en el movimiento de una partícula, una aceleración), usó el más

abstracto y general energía. Un sistema posee una energía cinética debida a su

movimiento. Cuando nada interacciona con el sistema, esa es su única energía. Sin

embargo, cuando sí hay una interacción, hay un intercambio de energía a través de una

energía potencial. Este intercambio es el que produce las fuerzas en la descripción de

Newton.

La mecánica de Hamilton en primer lugar determina cual es la energía total del sistema:

la suma de energía cinética, y potencial. Esta cantidad recibe un nombre: el

hamiltoniano. Para hallar la trayectoria se hace uso de un principio general de la física:

el principio de mínima acción, por el cual, la evolución de un sistema será tal que hará

que su energía total sea la mínima posible. De todas las trayectorias posibles que pueda

tener un móvil, realizará aquella que minimice su energía.

La ecuación de onda de Schrödinger sigue esta misma filosofía. El primer término del

lado izquierdo de la ecuación se representa la energía cinética, mientras que el segundo

la energía potencial: es el hamiltoniano, pero en versión cuántica.

Cuando un sistema no depende del tiempo, es un sistema estacionario, y la ecuación a

resolver es ésta, llamada ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Mientras en la mecánica clásica de Hamilton trataría de hallar la función tal que el

valor de E sea mínimo, la mecánica cuántica trata de calcular todas las funciones n

con su correspondiente energía En, ya que según el enfoque tomado por de Broglie y

Schrödinger, y gracias también a el desarrollo matemático de Fourier, la descripción

total del sistema es una combinación de todas estas funciones de onda, cada una con su

propia energía.

Los operadores

Si vemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, matemáticamente es un

problema conocido como de autovalores, y que ya había desarrollado Fourier: la

solución a la ecuación son todas esas funciones (llamadas autofunciones) 1,2,3...

tales que al aplicarles una serie de operaciones, resulta un número de veces

E1,E2,E3…(autovalor o valor propio) la misma función 1,2,3... Sólo esas funciones

son válidas, y la solución general al problema es una suma de todas las autofunciones.

De esta forma, hay que hablar de operadores. La ecuación de Schrödinger, hemos dicho

que representa la versión cuántica del hamiltoniano H, una cantidad que contiene la

suma de energía cinética y potencial:

Si queremos asimilar las expresiones clásica y cuántica del hamiltoniano, entonces hay

que identificar al momento lineal p con un operador que actúa sobre la función de onda

calculando su derivada. La energía potencia, una función de la posición x, sería un

operador que multiplica la expresión V(x) por la función de onda.

El significado físico de los operadores es el de calcular una magnitud observable en un

proceso de medición. Más concretamente, dada una función de onda , suma de varias

autofunciones (=A1+B2+C3...), el resultado es en realidad la probabilidad de que

la medida se corresponda con un sistema en el estado 1, 2, ó 3... Por ejemplo, el

operador hamiltoniano H, da como resultado observable la energía total del sistema En,

de cada uno de los estados posibles, y la probabilidad medir tal valor .

La función de onda representa por tanto una probabilidad respecto al estado en que se

encuentra el sistema, y una medida del sistema revela uno y sólo uno de estos estados,

con una probabilidad determinada.

Este es uno de los pilares más importantes para la interpretación de la mecánica

cuántica: antes del proceso de medición, el estado del sistema no está definido, sino que

hay unas probabilidades de que tras realizar una medida, el resultado de la medición sea

uno en concreto. Sin embargo, tras haber sido medido, el sistema permanece en ese

estado determinado. Para un sistema dado, no es posible determinar qué estado se

revelará en un proceso de medición. Sin embargo, sí se puede determinar la

probabilidad de que ese resultado aparezca.

Mecánica matricial vs mecánica ondulatoria

Un resultado importante de la mecánica matricial de Heisenbserg era el principio de

incertidumbre que aparecía durante el proceso de medida. El orden en que se hacen las

medidas hace variar el resultado, de forma que si se miden posición y momento, la

cantidad [x•p – p•x] es distinta de cero (y en particular, un número complejo). Este

resultado sugería la necesidad de utilizar matrices que representen a x y p, ya que la

multiplicación de matrices no es conmutativa.

Desarrollemos ahora con los operadores x y p la diferencia xp – px aplicada a una

función de onda .

Estos operadores, por tanto, tampoco poseen la propiedad conmutativa, sino que hay

una diferencia distinta de cero, e igual a la obtenida por Heisenberg. Esta coincidencia

sugiere por tanto que el tratamiento con operadores es equivalente al tratamiento con

matrices . De hecho, los elementos que forman las matrices se pueden calcular a partir

de los operadores y las funciones de onda.

La equivalencia entre ambas descripciones de la mecánica cuántica la demostró el

británico Paul Dirac (1902-1984) en 1925

Escrito por Julio a las 7:55:00 AM 0 comentarios

Etiquetas: Fundamentos, Mecanica cuántica

jueves 22 de marzo de 2007

Mecánica cuántica y principio de incertidumbre

El descubrimiento de de Broglie acerca de la naturaleza ondulatoria de las partículas

lleva asociado un fenómeno nuevo, que en el mundo clásico del sentido común, resulta

sorprendente y en principio antiintuitivo.

Fue Werner Heisenberg (1901-1976) quien llegó a él, pero de una forma totalmente

distinta. Hasta ese momento, el desarrollo de la física cuántica mezclaba la física

clásica, con el añadido de postulados cuánticos, fruto de resultados experimentales. Sin

embargo, un entendimiento total de la naturaleza requiere una teoría más amplia, de la

que se deduzcan estos postulados; hay que desarrollar una mecánica cuántica.

La mecánica clásica parte de las tres leyes de Newton. A partir de ellas, es posible

describir cualquier situación, y llegar a una ecuación de movimiento, es decir, una

ecuación que al resolverla se obtiene la evolución en el tiempo del sistema estudiado. Es

un sistema que vale tanto para describir la oscilación de un muelle, como la órbita de un

planeta alrededor del Sol.

La mecánica cuántica trata de hacer exactamente lo mismo: partir de un punto común

que sea capaz de describir la evolución de cualquier sistema a nivel cuántico. En vez de

tratar cada sistema de forma particular (efecto fotoeléctrico, efecto compton, difracción

de electrones, el modelo de Bohr para las órbitas), se trata de obtener el comportamiento

de cualquier sistema general partiendo de unas ciertas bases.

En el desarrollo de esta mecánica, Heisenberg llegó a un resultado matemático bastante

sorprendente. El desarrollo incluía unas operaciones matemáticas que representan la

observación experimental del sistema. El resultado fue que si se hacían dos

observaciones, por ejemplo de la posición y el momento cinético, el orden en que se

hace influye en el resultado final. Matemáticamente, si se hace una observación A, y

otra B, esto quería decir que A•B es distinto de B•A. De hecho, su diferencia (A•B -

B•A) es un número complejo. Este resultado ocurre sólo para determinadas cantidades

relacionadas, como la posición y el momento, o la energía y el tiempo.

Desde el colegio nos enseñan que la multiplicación tiene la propiedad conmutativa. Sin

embargo, esto es válido cuando hablamos de números. Cuando se trata por ejemplo, de

matrices, entonces esta propiedad no está asegurada. Así es como la mecánica de

Heisenberg está basada en álgebra matricial, y de ahí que el desarrollo de Heisenberg se

le llame mecánica matricial.

Si bien matemáticamente es posible entender que A•B no sea igual a B•A, ¿qué sentido

tiene eso en el mundo real? Implica que el orden en que se realiza una medida, influye

en el resultado final. Uno puede medir la posición de una partícula con una precisión

determinada. Sin embargo, al medir el momento cinético, la precisión tiene un límite, y

es imposible determinarla tan bien como se quiera. Aunque el fenómeno está

relacionado con el proceso de medida y de experimentación, éste en realidad no tiene

nada que ver. El experimento no limita la posibilidad de determinar con la precisión

deseada los valores, sino al contrario, es la propia naturaleza la que limita la precisión

del experimento. Incluso con sistemas de medición idealmente perfectos.

El principio de incertidumbre de Heisenberg se puede comprender teniendo en cuenta

qué es en realidad un proceso de observación experimental. Un sistema se observa a

través de un sistema de medida. Este sistema, para poder dar algún tipo de medida

necesita interaccionar con el sistema de observación, es decir, requiere intercambiar

una energía, y ese cambio de energía, o de estado del medidor, se relaciona con alguna

propiedad del sistema de estudio.

Sin embargo, al igual que el medidor sufre un cambio de estado, el sistema observado

cambia igualmente de estado, por lo que al hacer otro tipo de medida sobre el sistema,

éste ya no está en el mismo estado, y esta segunda medida no es independiente, sino que

depende de la primera.

El determinismo que hasta ese mismo instante era incuestionable, decía que conocidas

las condiciones iniciales, era posible determinar con total exactitud la evolución de un

sistema. Sin embargo, Heisenberg demostraba que es imposible conocer con toda la

precisión que se quiera las condiciones iniciales de un sistema, y por tanto, no es posible

determinar su evolución.

Al principio del desarrollo de la física cuántica, calcular la trayectoria de un electrón

alrededor de su núcleo carecía de sentido porque no había medios para observarlo

experimentalmente. Louis de Broglie hace dudar de la posibilidad de hacerlo al afirmar

que el electrón es una onda. Pero Heisenberg elimina totalmente esta posibilidad, ya que

se hace imposible siquiera imaginar un experimento capaz de medir la posición y

velocidad del electrón con la precisión necesaria.

El principio de incertidumbre es parte de la naturaleza. Pero al igual

que no se observa movimiento ondulatorio de partículas en el mundo clásico, el

principio tampoco se manifiesta en estas escalas. Si tomamos por ejemplo un electrón, y

medimos su posición con una indeterminación de 1 angstrom (el tamaño de un átomo),

entonces la indeterminación en la velocidad será de:

es decir, si se midiera la velocidad del electrón, y estuviera en torno al 5% de la de la

luz (para poder ignorar efectos relativistas), entonces la indeterminación representa un

46% de la medida. Si la velocidad medida fuera mucho menor, este porcentaje sería

mucho mayor. Y si la medida diera un valor por debajo de la propia indeterminación…

es lo mismo que no saber absolutamente nada acerca de su velocidad.

Esa misma indeterminación de un angstrom en la posición de la Tierra (Masa~1024

Kg)

en su órbita alrededor el Sol, da una indeterminación en su velocidad de 6•10-48

m/s. La

velocidad de traslación de la Tierra es de 30.000 m/s, por lo que una indeterminación

del orden de 10-48

m/s es insignificante, representa del orden del 10-51

% de la medida:

se puede decir que la posición y velocidad de la Tierra se hallan perfectamente

determinadas.

Werner Heisenberg recibió el premio Nobel en 1932

Anexo

Heisenberg y los rayos Gamma

Escrito por Julio a las 9:34:00 AM 1 comentarios

Etiquetas: Fundamentos, Mecanica cuántica

Heisenberg y los rayos Gamma

Viene de: Mecánica cuántica y principio de

incertidumbre

Heisenberg ideó un experimento teórico para explicar su principio de incertidumbre.

Queremos ver un electrón a través de un microscopio de rayos Gamma. Esta radiación

posee una longitud de onda del orden de 10-12

metros.

El detector de rayos gamma tiene un tamaño determinado, que cubre un ángulo de

visión 2. La resolución de un sistema así determina el tamaño o distancia mínima que

se puede distinguir, y está relacionada con la longitud de onda y el ángulo de detección:

Esta resolución nos determina la indeterminación en la posición. Si colocamos un

electrón en una posición concreta, la radiación no lo distinguirá de otro que se halle a

una distancia menor de x.

Cuando el fotón de rayos Gamma choca con el electrón, le comunica un momento

cinético Pe, como ocurre en el efecto Compton. El rayo Gamma por su parte sale

rebotado hacia el detector, pudiendo caer entre dos casos límite, marcados en el dibujo

como p1 y p2

Ambos fotones dan la misma señal en el detector, aunque corresponden a un

intercambio del momento cinético con el electrón distintos. En ambos casos, el

momento cinético total en el eje x (electrón+fotón) es igual al momento del fotón p

antes del choque:

Puede parecer que este resultado es debido a limitaciones del experimento. Pero no es

así, sino que es el experimento el que está limitado por la naturaleza. Probemos el caso

totalmente ideal en el que la resolución espacial del microscopio es perfecta, es

decir,x=0, debido a que usamos una radiación no de rayos Gamma, sino de rayos

cósmicos, u otros con una longitud de onda tan próxima a cero como queramos.

El resultado es que la indeterminación del momento se hace cada vez mayor hasta ser

infinita: se hace imposible determinar el momento cinético. Cuanto menor es la longitud

de onda del fotón, mayor es su momento cinético, y mayor es la cantidad que le puede

transmitir al electrón tras el choque.

Supongamos ahora que disminuimos el tamaño del detector hasta hacerlo tan pequeño

como queramos. Esto supone que el ángulo de detección se hace cero, y como

consecuencia, la indeterminación del momento cinético se hace cero: hemos

determinado con una precisión perfecta el momento cinético, p=0.

Sin embargo, la resolución espacial, la indeterminación en la posición x es la que se

dispara a infinito: se hace imposible determinar la posición del electrón.

Escrito por Julio a las 9:20:00 AM 1 comentarios

Etiquetas: anexos, Mecanica cuántica