mecanica cuantica postulados

8/19/2019 Mecanica Cuantica Postulados

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Parte 2: MECÁNICA CUÁNTICAParte 2: MECÁNICA CUÁNTICA

1. Los postulados de la Mecánica Cuántica.2. Estados Estacionarios.3. Relación de Incertidumbre de Heisenber .4. Teorema de compatibilidad.

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Un breve repaso de Mecánica Clásica

. queda determinado a partirde su posición y su

.2. Ambas variables tienen

valores precisos, bien mdefinidos en cada instantede tiempo.

r v

.

menos en principio, medirambos valores sin F

el sistema.

4. Conociendo las fuerzas que vmd ,aplicación de la 2ª ley deNewton permite determinar

dt

22

instante de tiempo, a partirde las condiciones iniciales.


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LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICALOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Postulado 1: La descripción del estado

Postulado 2: La descripción de las magnitudesfí i

Postulado 3: Resultados de las medidas.

Postulado 5: La medida. El colapso del vector.

Postulado 6: La ecuación de Schrödinger.

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del estado cuántico

Cada sistema cuántico tiene asociado un.

El estado del sistema se representa por

un vec or e .

Sistema S Espacio de Hilbert H

H Estado de S


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Postulado 2: La descri ciónde las magnitudes físicasCada magnitud física del sistema está

autoadjunto (observable).

Magnitu A pera or autoa junto:

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Postulado 3: Los resultadosde las medidas

Cuando se mide una magnitud física de ,que se pueden obtener son los valores

propios del operador que la representa.

;i i i i

A R

1 2, , ............., n Resultados posibles al medir A:

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de los resultados

La probabilidad de obtener un determinadoau ova or en a me a, es gua a

cuadrado del módulo del producto escalar

del autovector correspondiente a dicho

sistema.

2( )i iP

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colapso del vector de estado.El vector de estado inmediatamente después

correspondiente al valor obtenido de dicha.

Se produce lo que se denomina “colapso del” .


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Ejemplo n=2 (espacio de Hilbert bidimensional)

Magnitud: Observable:

Aˆ

a ores prop os: Vectores propios: Probabilidades:

1 2

1 2 , i j ij y

1 1 2 2c c 2 22 2 2( ) | | | | |P c

1 1 1c

1 2 1 2c c

Ejemplo gráfico (NO RIGUROSO) del colapso:

)( t 2

991 1

1)( t


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Vector propio 2

Aestado

De la magnitud A

Vector propio 1

De la magnitud A

Se mide la magnitud A

SISTEMA

medida=vector propio 1

1

1010

autovalores


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SchrödingerLa evolución temporal del vector de estado del sistema,

cuando no se roducen medidas está obernada orla ecuación de Schrödinger:

ˆd dt

ˆ

h

es e o serva e asoc a o a a energ a e s s ema, y sedenomina Hamiltoniano.

; . .2

s

c e e anc .

1111


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• La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal, de

primer orden en el tiempo. Por tanto, la suma de dos soluciones estambién solución de la ecuación. El operador de evolución, definidoor:

0 0

ˆ| ( ) ( , ) | ( ) , .t U t t t e s lin e a l

• Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, el operador deevolución puede expresarse de la forma siguiente:

00

ˆ ˆ

0 01ˆ ˆ( , )

t

t ni i H dt H t t

niU t t e e t t H

• Se puede demostrar que el operador de evolución es unitario:

10 0

ˆ ˆ( , ) ( , )U t t U t t


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Sistema S Espacio de Hilbert H

s a o e “ ” ˆ

S

“A”?no e sus au ova ores

¿Qué información nos proporciona elconocimiento del vector de estado justo as pro a a es eobtener los distintos

¿Cómo cambia el estado del Colapsa al autovectorsistema en la medida? obtenido en la medida

¿Cómo evoluciona el estado

1313cuando no se mide?Ecuaci n de Schrödinger


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La función de ondaPara una partícula cuántica en el eje OX, su estado está representado por una

( , ) x t C función de onda: Las funciones de onda de un sistema tienen estructura de espacio deLas funciones de onda de un sistema tienen estructura de espacio de HilbertHilbert..

Producto escalar:Producto escalar: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x dx f x g x g x f x

El con unto de funciones ro ias de cual uier o erador ue re resenta aEl con unto de funciones ro ias de cual uier o erador ue re resenta auna magnitud física del sistema constituye una baseuna magnitud física del sistema constituye una base ortonormalortonormal..

( ) ( ) A Ai j ij f x f x

ˆ ˆ, ( ) ( ) x x x x x x

pera ores pos c n y can a e mov m en o:pera ores pos c n y can a e mov m en o:

ˆ ˆ, ( ) x x x p p p xi x i x

O eradores ener ía cinética ener ía otencial ener ía mecánica:O eradores ener ía cinética ener ía otencial ener ía mecánica:2 2

2ˆ ˆ ˆ, ( ) ( )

2C P P P

Ec E E x E E xm x

2 2

2ˆ ˆ ˆ ˆ( )

2C P C P P

E E E E E E E xm x


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Valor medio y dispersión• Supongamos que realizamos un gran número de experimentos, donde se mide, siempre en el mismo

esta o cu ntico, un o serva e. Por ejemp o, so re un n mero muy gran e e sistemas i nticospreparados en el mismo estado, se mide la misma magnitud.

M medidas de la magnitud A, sobre el.

ii

N M 1 1 2 2, , .................., i i N N N

• PROBABILIDADES Y VALORES MEDIOS

( ) ; ( )n n

i ii i i i

N N p A p Experimental:

1 1i i

Predicciones de la Mecánica CuánticaPostulado 4 2

2 ˆn

erc c o : emos raresta igualdad.

1i i

i

n 2n

1515

1 i ii

Si c

1

i i

i

c


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• DISPERSIÓN

22222 2)( A A A A A A A A A

.

Supongamos que el estado de un sistema cuántico es

magnitud A. Entonces, se puede predecir con certezaque el resultado de la medida de A sobre dicho estado es

el valor propio correspondiente a dicho vector propio. Enesta situación, la dispersión vale cero.

j A A ˆ ˆ i i i A

2 2

( ) 1 j j j j

p ( | ) 0i p i j

16161616Los vectores propios de un observablese denominan también autoestados .0 A


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ESTADOS ESTACIONARIOS El Hamiltoniano no dependeSISTEMA CU NTICO CONSERVATIVO explícitamente del tiempo

ˆ ˆLos vectores propios y los valores

H E n E n H n

ˆd

tiempo. En este caso, los vectorespropios del hamiltoniano sedenominan estados estacionarios.

t t dt

nn

n c E dc

i

nt ct n n

)()(

t iE

nn

n

ect c

)0()(

nect

t iE

n

n

)0()( n

2

t iE t iE t iE nnn

,, pcececec p nnnnnn


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• En un sistema cuántico conservativo, las probabilidades asociadas a los valores que

se pueden obtener al medir la energía no dependen del tiempo.• Por tanto, ni el valor medio ni la dispersión de la energía tampoco dependen del

.

• Si el sistema se encuentra inicialmente en un estado propio de la energía (estado

estacionario), sus propiedades físicas no cambiarán con el tiempo. Esto es debido aque e es a o en un ns an e cua qu era es re ac ona o con e es a o n c a a rav sde un factor de fase, que no tiene relevancia física. En este caso, las probabilidades delos autovalores de cualquier observable, son independientes del tiempo.

j)0( jet t iE j

)( Demostración:

ˆ ;i i i i

A R

2 2 2( , ) | ( ) | | | | | ( , 0) jiE t

k k k k k p t t e j j p


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El Princi io de incertidumbre de Heisenber

El conmutador de dos operadores se define como:

A B B A B A ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[

Los operadores conmutan cuando satisfacen la relación:

A B B A B A ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[

ˆˆ

RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Magnitudes A y B

2

, B A Observables Â

ˆ

Estado del sistema El producto de las desviaciones estándar asociadas ala medidas de dos observables en un estado cuántico,es mayor o igual que el módulo del valor medio del

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conmutador de ambos observables en dicho estado,

dividido por 2.


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Ejemplo: Para una partícula cuántica en el eje OX, el conmutador de losoperadores posición y cantidad de movimiento no es nulo. Por tanto,

ambas magnitudes no pueden tomar valores definidos simult neamente.

x x ˆ )(ˆ)(ˆ)(]ˆ,ˆ[ x f x x f x x f p x x

x x x x )()(ˆ

)()()(')(' x f i x f x xf x xf

xi p p x x

ˆ

xi x p x

i p x x ]ˆ,ˆ[

2 x


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Magnitudes compatibles e incompatibles

Magnitudes A y B Operadores ˆˆ

Magnitudes Compatibles

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, Bdespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincide conel de la tercera medida.

Magnitudes Incompatibles

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B , , ,

en general, con el de la tercera medida.


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1. A y B son compatibles.

2. Los observables asociados a dichas magnitudesconmutan.3. Los observables asociados a dichas magnitudes

oseen una base común de vectores ro ios.

Para Magnitudes Incompatibles:

1. A y B son incompatibles2. Los observables asociados a dichas magnitudes

.3. Los observables asociados a dichas magnitudes

no poseen una base común de vectores propios.


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MAGNITUDES COMPATIBLES

A B B A B A ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ Magnitudes A y BObservables Â 1) Se mide A: hay probabilidad no nula de

B̂obtener cada autovalor.

2) Inmediatamente después semide B:el estado no se destru e.

1 1 1ˆ

ˆ

A

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3) Inmediatamente después semide de nuevo A: se obtiene con

2 2 2

ˆ B

certeza el mismo valor que seobtuvo en la primera medida.

.

2 2 2

ˆ B 11

e va or e a magn u se pue e pre ec r con cer eza, am n se pue e predecir con certeza el valor de la magnitud B.

Si se miden de forma consecutiva “simultáneamente” rimero A B después, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidirá conel de la tercera.


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MAGNITUDES INCOMPATIBLES (I)

A B B A B A ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[

La medida de A (B), en un

autoestado de B (A), lo destruye.

2 2 2 2

'| 1

1

1 1

Si el valor de una de las magnitudes se puede predecir con certeza, entonces

no se uede redecir con certeza el valor de la otra ma nitud.


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