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Matroids, greedy algorithm,independent set polytope

Ingo Kleinert

Institut fur Mathematik, TU [email protected]

Seminar:Algorithmische Diskrete Mathematik

17. Juni 2008

[email protected]

Ubersicht Matroide Greedy-Algorithmus Independent Set Polytop Zusammenfassung

Ubersicht1 Matroide

Definition, BegriffeBeispieleAlternative Charakterisierungen

2 Greedy-AlgorithmusDefinitionBeispieleEffizienz

3 Independent Set PolytopDefinitionCharakterisierungFolgerung

4 Zusammenfassung

Ingo Kleinert


Definition, Begriffe

Matroid, unabhangig, Basis, Rang

Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:

1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.

Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig

Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.

Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.

Ingo Kleinert





1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I

2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.




Ingo Kleinert





1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.




Ingo Kleinert


Beispiele

uniformer Matroid:

Gegeben sei eine Menge S und eine Zahl k ∈ N. Dieunabhangigen Mengen seien die Teilmengen I ⊆ S mit |I| ≤ k .Dieser so konstruierte Matroid heißt k-uniformer MatroidUk

n , n = |S|.

Ingo Kleinert


Beispiele

linearer Matroid:

Lemma

Gegeben sei eine Matrix A ∈ Rm×n. Die Menge allerTeilmengen mit unabhangigen Spaltenvektoren von A bildeneinen Matroiden.

Beweis.

1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I: ist klar.2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I:

Sei I, J ∈ I und |I| < |J|. Dann spannt I einen |I|-dimensionalen Raum auf, und J einen |J| -dimensionalenRaum. Es gibt also einen Vektor z ∈ J \ I, der unabhangigzu den Vektoren aus I ist. Also: I + z ∈ I und z ∈ J \ I.

Ingo Kleinert


Beispiele

Kreis-Matroid:

Lemma

Sei G = (V , E) ein Graph und I bestehe aus allen Teilmengenvon E, die einen Wald bilden.Dann ist M = (E , I) ein Matroid.

Beweis.


Sei F ⊆ E . Dann ist nach Definition jede Basis B ⊆ Fmaximaler Wald von F. Also ist B Spannbaum von (V , F )mit |V | − k Elementen (k ist Anzahl an Komponenten von(V , F )). Jede Basis von F hat also gleich viele Elemente.

Ingo Kleinert


Beispiele

Kreis-Matroid:

Lemma


Beweis.

1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I: ist klar.

2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I:Sei F ⊆ E . Dann ist nach Definition jede Basis B ⊆ Fmaximaler Wald von F. Also ist B Spannbaum von (V , F )mit |V | − k Elementen (k ist Anzahl an Komponenten von(V , F )). Jede Basis von F hat also gleich viele Elemente.

Ingo Kleinert


Beispiele

Kreis-Matroid:

Lemma


Beweis.


Sei F ⊆ E . Dann ist nach Definition jede Basis B ⊆ Fmaximaler Wald von F. Also ist B Spannbaum von (V , F )mit |V | − k Elementen (k ist Anzahl an Komponenten von(V , F )). Jede Basis von F hat also gleich viele Elemente.

Ingo Kleinert


Alternative Charakterisierungen

Charakterisierung mittels Basen

Theorem

Sei S eine Menge und ∅ 6= B ⊆ 2S.Dann sind aquivalent:

1 B besteht aus Basen eines Matroiden;2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.

Ingo Kleinert




Theorem


1 B besteht aus Basen eines Matroiden;

2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.

Ingo Kleinert




Theorem


1 B besteht aus Basen eines Matroiden;2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B

3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.

Ingo Kleinert




Theorem


1 B besteht aus Basen eines Matroiden;2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.

Ingo Kleinert



Charakterisierung mittels Kreisen

Theorem

Sei S eine Menge und ∅ 6= C ⊆ 2S, so dass keine Menge in CTeilmenge einer anderen Menge aus C ist. Dann sindaquivalent:

1 C besteht aus Kreisen eines Matroids;2 C, C′ ∈ C, x ∈ C ∩ C′ ∧ y ∈ C \ C′ ⇒ (C ∪ C′) \ {x} enthalt

eine Menge aus C, die y enthalt.

Ingo Kleinert




Theorem


1 C besteht aus Kreisen eines Matroids;

2 C, C′ ∈ C, x ∈ C ∩ C′ ∧ y ∈ C \ C′ ⇒ (C ∪ C′) \ {x} enthalteine Menge aus C, die y enthalt.

Ingo Kleinert




Theorem


1 C besteht aus Kreisen eines Matroids;2 C, C′ ∈ C, x ∈ C ∩ C′ ∧ y ∈ C \ C′ ⇒ (C ∪ C′) \ {x} enthalt

eine Menge aus C, die y enthalt.

Ingo Kleinert



Charakterisierung mittels Rangfunktion

Theorem

Sei S Menge und T , U ⊆ S.Die Rangfunktion r eines Matroiden besitzt die folgendenEigenschaften:

1 r(T ) ≤ r(U) ≤ |U|, fur T ⊆ U;2 r(T ∩ U) + r(T ∪ U) ≤ r(T ) + r(U).

Ingo Kleinert




Theorem


1 r(T ) ≤ r(U) ≤ |U|, fur T ⊆ U;

2 r(T ∩ U) + r(T ∪ U) ≤ r(T ) + r(U).

Ingo Kleinert




Theorem


1 r(T ) ≤ r(U) ≤ |U|, fur T ⊆ U;2 r(T ∩ U) + r(T ∪ U) ≤ r(T ) + r(U).

Ingo Kleinert


Definition

Der Greedy-Algorithmus

Definition

Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.Greedy-Algorithmus:

1 Setze I := ∅2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.

andernfalls stoppe.

Ingo Kleinert


Definition


Definition

Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.

Greedy-Algorithmus:


andernfalls stoppe.

Ingo Kleinert


Definition


Definition



andernfalls stoppe.

Ingo Kleinert


Definition


Definition


1 Setze I := ∅

2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.

andernfalls stoppe.

Ingo Kleinert


Definition


Definition


1 Setze I := ∅2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich

3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.andernfalls stoppe.

Ingo Kleinert


Definition


Definition



andernfalls stoppe.

Ingo Kleinert


Definition

Greedy-Algorithmus auf Matroiden

Theorem

Sei S eine Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S abgeschlossen bezuglichder Teilmengenoperation. Dann:(S, I) ist Matroid⇔ Fur jede Gewichtsfunktion w : S → R+

fuhrt der Greedy-Algorithmus zu einer maximalgewichtetenMenge I ∈ I (bzgl. w).

Ingo Kleinert


Beispiele

Beispiele fur Greedy-Algorithmen

Kruskal-Algorithmus zum Auffinden eines minimalenSpannbaums eines GraphenDijkstra-Algorithmus zum Finden kurzester Wege in einemGraphen

Ingo Kleinert


Beispiele


Kruskal-Algorithmus zum Auffinden eines minimalenSpannbaums eines Graphen

Dijkstra-Algorithmus zum Finden kurzester Wege in einemGraphen

Ingo Kleinert


Beispiele


Kruskal-Algorithmus zum Auffinden eines minimalenSpannbaums eines GraphenDijkstra-Algorithmus zum Finden kurzester Wege in einemGraphen

Ingo Kleinert


Effizienz

Effizienz von Greedy-Alorithmen auf Matroiden

Problem: Beschreibung des Matroiden (S, I), denn Anzahl allerunabhangigen Mengen ist exponentiell zur Große von S.

Annahme: Annahme der Existenz einesUnabhangigkeitstest-Orakels (Algorithmus), welches uberpruft,ob Menge S ⊇ I ∈ I.In Anwendungen meist mittels polynomieller Algorithmen (bzgl.Große von S) moglich.

Corollary

Eine maximal-gewichtete unabhangige Menge eines Matroidenkann in polynomieller Zeit gefunden werden.

Ingo Kleinert


Effizienz

Effizienz von Greedy-Alorithmen auf Matroiden

Problem: Beschreibung des Matroiden (S, I), denn Anzahl allerunabhangigen Mengen ist exponentiell zur Große von S.Annahme: Annahme der Existenz einesUnabhangigkeitstest-Orakels (Algorithmus), welches uberpruft,ob Menge S ⊇ I ∈ I.In Anwendungen meist mittels polynomieller Algorithmen (bzgl.Große von S) moglich.

Corollary

Eine maximal-gewichtete unabhangige Menge eines Matroidenkann in polynomieller Zeit gefunden werden.

Ingo Kleinert


Definition

Independent set polytop

Definition

Die konvexe Hulle der Inzidenzvektoren der unabhangigenMengen eines Matroiden M = (S, I) heißt independent setpolytop Pindset(M).Das bedeutet, Pindset(M) ist ein Polytop in R|S|.

Ingo Kleinert


Charakterisierung

Independent set polytop

Theorem

P(M) ={

x ∈ R|S| : xs ≥ 0, s ∈ S ∧ x(U) ≤ rM(U), U ⊆ S}

.

Ingo Kleinert


Folgerung

Independent set polytop und LP

Sei w : S → R Gewichtsfunktion.Dann finden wir durch Losen des folgenden linearenProgramms eine maximalgewichtete Menge J des MatroidenM = (S, I):max wT x ,s.t . xs ≥ 0 (s ∈ S),

x(U) ≤ rM(U) (U ⊆ S).

Ingo Kleinert


Ende

Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!

Ingo Kleinert

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