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Winkeldreiteilung und der Satz von HagaVon: syngola

Datum: Sa. 01. Januar 2005 00:00:41Thema: Mathematik

Winkeldreiteilung und der Satz von Haga

In diesem Artikel werde ich zeigen wie manmittels Origami beliebige Winkel dreiteilenkann und einen interessanten Satzbeweisen.Die Kunst des Origami wird uns dabeihelfen, denn alles was wir im folgendenbrauchen werden ist ein quadratisches BlattPapier. Origami heisst ganz schlichtuebersetzt Papierfalten (ori=Papier,kami=falten; in der Zusammensetzung wirdaus dem k ein g) und so unglaublich dasklingt, reicht es dennoch aus um klassischeProbleme der Geometrie zu bewaeltigen,wie etwa die erwaehnte Winkeldreiteilung,

die Verdopplung des Wuerfels und der Konstruktion von n-Ecken.

1. Winkeldreiteilung

Das klassische Problem der Trisektion eines beliebigen Winkels ist mit der klassischenGeometrie, also unter von Verwendung von Zirkel und Lineal, im allgemeinen nicht zubewerkstelligen. Der Beweis hierfuer gelang Pierre Laurent Wenzel, indem er zeigte,dass die Winkeldreiteilung bereits fuer einen Winkel von 60 Grad unmoeglich ist.Schauen wir uns aber die folgende Konstruktion an, so werden wir feststellen undbeweisen, dass es doch geht, wenn man die Beschraenkungen von Lineal und Zirkelaufgibt.

1.1 Konstruktion der Trisektion

Als erstes nehme man sich ein beliebiges rechteckiges Blatt Papier. Hierbei ist nichtwichtig, dass es genau quadratisch ist.

Vor uns ausgebreitet falten wir zunaechst zwei Hilfslinien ins Papier, wobei dieentstehenden Rechtecke gleichgross sein sollen. Dabei muss nur eines gelten: die

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Strecken AB und BC muessen gleich lang sein, die tatsaechliche Laenge spielt keineRolle:

In diese Konstruktion hinein falten wir nun unseren beliebigen Winkel, der zwischen derunteren Kante und dem gerade gefaltetem Knick (Strecke DG) liegen soll:


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als naechsten Schritt muessen wir nun den Punkt D auf die Strecke EB und den Punkt Fauf die Strecke DG falten:


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Die Punkte F, E und D erzeugen nun neue Punkte F', E' und D', wir markieren die Geradedurch diese Punkte durch einen weiteren Knick. Dann drittelt der "Knick" durch DD'unseren Winkel.


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1.2 Beweis:


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Bezeichne der Punkt I das von D' aus senkrecht gefaellte Lot, dann sind nachKonstruktion die Dreiecke DF'E', DE'D' und DD'I kongruent und der Winkel damit exaktgedrittelt.

2 Satz von Haga und Verallgemeinerung

Wenden wir uns nun einem anderen interessanten Thema zu, dem Satz von Haga. Mitdiesem Satz kann man tatsaechlich fuer jedes natuerliche n>1 ein Quadrat in n^2Teilquadrate unterteilen.

2.1 Satz von Haga

Fuer diesen Satz faltet man ein quadratisches Blatt Papier zunaechst in Mitte, so dasszwei kongruente Rechtecke entstehen:


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Im naechsten Schritt faltet man A auf B, es entsteht folgende Figur:


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Markiert man die entstehenden Dreiecke ergibt sich folgendes Bild:


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Der Satz von Haga lautet dann:

Satz 1:

Die Dreiecke IHG, BDC und BEF sind aehnlich zueinander und ihre Seiten stehen jeweilsim Verhaeltnis von 5:4:3 zueinander.

Beweis:


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Aus diesem Satz kann man noch weitere Schlussfolgerungen ziehen:

Corollar 1.

Beweis:

Corollar 2.


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Beweis:

2.2 Die Verallgemeinerung des Satzes von Haga

Eben haben wir nur bewiesen, wie der Satz von Haga aussieht, wenn man von einerinitialen Teilung einer Quadratseite in zwei Haelften ausgeht. Man kann dies jedochverallgemeinern, da man mit dem obigen Satz aus der Zweiteilung der Seite eineDreiteilung erzeugen kann und diese als neue Ausgangssituation verwendet. DasFaltmuster, das dabei entsteht aendert sich im wesentlichen nicht, es werden nur dieeinzelnen Punkte etwas verschoben (kann man sich durch einfaches Nachfalten klarmachen).

Satz 2.

Beweis

Mit n=2 erhaelt man dann wieder den Satz von Haga.

Analog lassen sich auch die Folgerungen verallgemeinern. Es gilt dann:

Corollar 1'


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Beweis:

Analog zum Beweis von Corollar 1. qed

Corollar 2'

Beweis.

Abermals analog zum Beweis von Corollar 2. qed

3. Schlussbemerkung

Mit den vorangegangenen Konstruktionen kann man allerhand anfangen, wenn man sichfuer Origami interessiert. Mittlerweile ist diese vermeintliche Beschaeftigung fuer Kinderlaengst zu einem (kleinen) Teilgebiet der Mathematik herangewachsen und Arbeiten wiedie von Tomoko Fuse (absolute Expertin fuer modulares Origami) beweisen, dass mitdurch Papierfalten ermoeglichten Geometrie erstaunliche Dinge vollbracht werdenkoennen. Im Internet findet man daher auch einiges an Material (Stichworte "mathorigami"), darunter auch ein Axiomensystem als Grundlage fuer eine "richtige"ausgefeilte Geometrie.

Ich hoffe also, dass ich dem ein oder anderen vermitteln konnte, dass Origami nicht nuraus Kraniche falten besteht und durchaus ein vielleicht nicht ganz ernst zunehmendesThema fuer Mathematikinteressierte sein kann. In Zukunft koennte ich mir vorstellen diesen Artikel noch etwas zu erweitern, z.b. durchdie Konstruktion der dritten Wurzel aus 2 oder gewissen regulaeren n-Ecken, die nichtalle mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind.

Gruss, syn.

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