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Prof. Dr. Klaus Hasemann

Universität Hannover

Institut für Didaktik der Mathematik und Physik

Mathematisches Denken und mathematische Einsichten von

Kindern im Vorschulalter

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1. Erste mathematische Einsichten von Kindern

2. Kenntnisse vor Schulbeginn

3. Unterschiede in der Art des Denkens

4. Ausblick auf den mathematischen Anfangsunterricht

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Erste mathematische Einsichten von Kindern

• Zählen / Mengen

• Geometrische Einsichten

• Die allgemeine kognitive Entwicklung

• Die Entwicklung der Zählkompetenz

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Zählen / Mengen- Zahlwortreihe (einszweidrei...)

- Zählen (eins, zwei, viele)

- Schätz-Algorithmus

Lit.: Dehaene, S.: Der Zahlensinn oder warum wir rechnen können. Basel, 1999

Caluori, F. : Die numerische Kompetenz von Vorschul-kindern - Theoretische Modelle und empirische Befunde. Hamburg, 2005

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Geometrische Einsichten

- Die Welt von oben sehen- Körperschema- Raum- / Lagebeziehungen- Geometrische Formen und Körper- Eigenschaften („der Ball rollt weg“)

Lit.: Hasemann, K.: Anfangsunterricht Mathematik. Heidelberg, 2003

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Raum- und Lagebeziehungen:

Umgang mit Begriffen wie

lang, kurz, gerade, schräg, schief, oben, unten, vorn, hinten, dazwischen, daneben, innen, außen, rechts, links

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Erkennen und Benennen räumliche Körper und ebener Figuren anhand konkreter Gegenstände und Plättchen:

Kugeln, Würfel, Quader und Säulen bzw. Kreise, Quadrate, Rechtecke und Dreiecke.

Die Kinder erkennen und unterscheiden die Objekte zunächst an ihrer äußeren Gestalt, erkennen aber zunehmend auch Merkmale (z.B. rund, eckig, die Anzahl der Ecken bzw. Kanten).

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Hier siehst Du Bilder mit Hühnern und Eiern. Kannst Du das Bild finden, in dem jedes Huhn jeweils ein Ei gelegt hat? Du darfst Linien zeichnen.

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Hier siehst Du Kerzenhalter und Kerzen. In jeden Kerzenhalter passen Kerzen. Kannst Du Linien zeichnen von den Kerzen zu den passenden Kerzenhaltern?

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Hier siehst Du Hunde. Jeder Hund soll einen Stock bekommen. Ein großer Hund bekommt einen großen Stock und ein kleiner Hund bekommt einen kleinen Stock. Zeichne Linien von den Hunden zu den Stöcken, die sie bekommen.

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Die Entwicklung der Zählkompetenz

Eins, zwei, drei,auf der Stiege liegt ein Ei,wer darauf tritt,spielt nicht mit.

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Die Entwicklung der Zählkompetenz

• Phase 1 (verbales Zählen): Die Zahlwortreihe ist noch nicht strukturiert, sie wird wie ein Gedicht aufgesagt und kann noch nicht zum Zählen eingesetzt werden.

• Phase 2 (asynchrones Zählen): Im Alter von etwa 3 ½ bis 4 Jahren benutzen die Kinder die Zahlwörter zum Zählen in der richtigen Reihenfolge, jedoch wird oft noch ein Objekt übersehen oder das gleiche Objekt zweimal gezählt.

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Die Entwicklung der Zählkompetenz

• Phase 3: Wenn ungeordnete Objekte gezählt werden sollen, fangen die Kinder mit etwa 4 ½Jahren an, die Objekte beim Zählen zu ordnen.

• Phase 4: Im Alter von etwa 5 Jahren wissen die Kinder, dass sie beim Zählen mit der Eins anfangen müssen, dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl der Objekte angibt.

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Die Entwicklung der Zählkompetenz

• Phase 5 (abkürzendes Zählen): Die Kinder im Alter von 5 ½ bis 6 Jahren erkennen oder bilden Strukturen wie z. B. das Zahlenbild der Fünf. Sie können von einer Zahl an aufwärts zählen, sie können in Zweierschritten und auch rückwärts zählen. In dieser Phase können die meisten Kinder bereits einfache Rechnungen ausführen.

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Die Entwicklung der Zählkompetenz

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Die Entwicklung der Zählkompetenz

Sarah zählt leise aus der Erinnerung die neun Würfelaugen:9!

Sie streckt mit der einen Hand vier Finger und mit der anderen fünf Finger und schaut beide Hände lange an.

4 und 5 ...

Sie stutzt und beginnt zu strahlen:

4 und 5, das ist ja 9!

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Kenntnisse am Schulbeginn

• Zählen (Aufsagen der Zahlwortreihe) bis 20 77%• Weiterzählen von 9 bis 15 72%• In Zweierschritten von 2 bis 14 zählen 50%• 20 geordnete Klötze abzählen 58 %• 20 ungeordnete Klötze abzählen 49 %• 17 Klötze rückwärts zählen 32 %• Wissen, dass 13 Bonbons mehr sind als 9 69 %• Die Summe von zwei Würfeln zusammenzählen 51 %

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Zum Vergleich bis zu 5 Objekte simultan erfassen 83 %

Objekte nach zwei Merkmalen klassifizieren 67 %

Objekte der Größe nach ordnen 75 %

Zwei Reihen der Größe nach vergleichen 67 %

Objekte eins-zu-eins zuordnen (Zählen ist möglich) 75 %

Objekte eins-zu-eins zuordnen (Zählen nicht möglich) 61 %

Kenntnisse am Schulbeginn

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Größer / Höher

Weil das ein Turm ist.• Weil hier mehr Steine auf einem Stapel sind.• Weil es am längsten ist.• Weil es höher ist.• Weil hier ein Bauklotz mehr ist.• Weil man das so sieht.• Weil da vier auf einander sind.

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Größer / Höher

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Welche Zahl ist größer: Die Eins oder die Vier?

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Zeige auf den Kasten mit sieben Punkten.

Unterschiede in der Art des Denkens

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Hier siehst Du 15 Luftballons. Zeige auf den Kasten, in dem genau so viele Punkte sind wie hier Luftballons.

Unterschiede in der Art des Denkens

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Thesen zu den mathematische Aktivitäten im Kindergarten

Überall sind Zahlen (und nicht nur Mächtigkeiten von Mengen).

Die verschiedenen Aspekte des Zahlbegriffs beeinflussen und stärken sich bei der Entwicklung wechselseitig.

Das Denken der 4- bis 6-jährigen Kinder ist an die direkte Wahrnehmung gebunden, viele Kinder bauen aber durchaus schon mentale Vorstellungsbilder auf.

Lit.: Hasemann, K.: „Zähl‘ doch mal!“ - Die numerische Kompetenz von Schulanfängern. In: Sache - Wort - Zahl, Heft 35 (2001), 53-58.

Hasemann, K.: Anfangsunterricht Mathematik. Heidelberg, 2003

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Es gibt in den individuell unterschiedlichen Ausprägungen bei der Zahlbegriffsentwicklung gewisse Risikofaktoren, die schon am Schulbeginn auf spätere Rechenschwächen hindeuten können.

Krajewski hat unter anderem nachgewiesen, dass Defizite in der Mengenerfassung (Invarianz, Mengenvergleich) und im Vorwissen über Zahlen (Zählfertigkeiten ebenso wie elementares Rechnen) solche Risikofaktoren sind.

Krajewski, K. (2003): Vorhersage von Rechenschwäche in der Grundschule. Hamburg.

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Gray, Pitta und Tall (1997, S. 117) : „Die unter-schiedliche Art der Wahrnehmung der mathematischen Objekte (eher als mentale oder eher als physikalische Objekte) macht den zentralen Unterschied in der Art des Denkens aus, der über Erfolg oder Misserfolg in der elementaren Arithmetik entscheidet“.

Gray, E.; Pitta, D; Tall, D. (1997): The nature of the object as an integral component of numerical processes. In: Proceedings of the 21st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Lahti, Finnland, vol. 1, 115-130

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Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ)

(Van Luit, H., Van de Rijt, B. und Hasemann, K., Göttingen: Hogrefe, 2001.)(1) Qualitatives Vergleichen

(2) Klassifizieren

(3) Eins-zu-eins-Zuordnungen herstellen

(4) Reihenfolgen erkennen

(5) Zahlwörter gebrauchen

(6) Zählen mit Zeigen

(7) Zählen ohne Zeigen

(8) Einfaches Rechnen