GEORG PLYA

MATHEMATIK U N D PLAUSIBLES SCHLIESSEN

B A N D 2

Typen und Strukturen plausibler Folgerung

INS DEUTSCHE BERSETZT VON LULU BECHTOLSHEIM

ZWEITE, ERWEITERTE AUFLAGE

1975

B I R K H U S E R V E R L A G B A S E L U N D S T U T T G A R T

INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort 9 Winke an den Leser 11 Kapitel XII. Die nchstliegenden Strukturen 13

1. Verifizierung einer Konsequenz 13 2. Sukzessive Verifizierung mehrerer Konsequenzen 15 3. Verifizierung einer unwahrscheinlichen Konsequenz 19 4. Polgerung auf Grund von Analogie 21 5. Vertiefung der Analogie 23 6. Nuancierte Folgerung auf Grund von Analogie 26 Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel XII, 1 14. [14. Induktive Folgerung aus erfolglosen Bemhungen.] 26

Kapitel XIII. Weitere Strukturen und erste Zusammenhnge 34 1. Untersuchung einer Konsequenz 34 2. Untersuchung eines mglichen Beweisgrundes 35 3. Untersuchung einer widersprechenden Vermutung 36 4. Logische Termini 37 5. Logische Zusammenhnge zwischen Schemata plausibler

Folgerung 40 6. Nuancierte Folgerung 41 7. Tafel 44 8. Kombination einfacher Schemata 45 9. Folgerung auf Grund von Analogie 46

10. Folgerung mit Zusatzbedingung 48 11. ber sukzessive Verifizierungen 51 12. ber Konkurrenzvermutungen 52 13. ber gerichtliche Beweise 54 Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel XIII, 120; [Erster Teil, 1 10; Zweiter Teil, 1120]. [9. ber induktive Untersuchungen in der Mathematik und den exakten Naturwissenschaften. 10. Verall-gemeinerungsversuche. 11. Persnlicher, schwieriger. 12. Eine Gerade ist durch zwei Punkte bestimmt. 13. Eine Gerade ist durch Richtung und einen Punkt bestimmt. Ziehen einer Parallellen. 14. Der nchst-hegende Fall ist vielleicht der einzig mgliche Fall. 15. Wer gibt hier den Ton an ? Macht des Wortes. 16. Dies ist ist zu unwahrscheinlich, um reiner Zufall zu sein. 17. Vervollkommnung der Analogie. 18. Eine neue Vermutung. 19. Noch eine neue Vermutung. 20. Was ist typisch ?] 62

Kapitel XIV. Zufall, die immer gegenwrtige Konkurrenzvermutung . . . . 87 1. Zufallsartige Massenerscheinungen 87 2. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 90

6 Inhaltsverzeichnis

3. Anwendung des Urnenschemas , . 95 4. Die Wahrschemlichkeitsrechnung. Statistische Hypothesen. . . 100 5. Direktes Voraussagen von Hufigkeiten 101 6. Erklrung beobachtbarer Erscheinungen 109 7. Die Beurteilung statistischer Hypothesen 114 8. Die Wahl zwischen verschiedenen statistischen Hypothesen . . 120 9. Die Beurteilung nichtstatistischer Hypothesen 130

10. Die Beurteilung mathematischer Vermutungen 147 Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel XIV, 133; [Erster Teil, 1 18; Zweiter Teil, 1933.]. [19. ber den Begriff der Wahrscheinlich-keit. 20. Wie man den Hufigkeitsbegriff der Wahrscheinlichkeitslehre nicht interpretieren soll. 24. Wahrscheinlichkeit und die Lsung von Aufgaben. 25. Regelmig und unregelmig. 26. Die Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 27. Unabhngigkeit. 30. Permuta-tionen auf Grund von Wahrscheinlichkeit. 31. Kombinationen auf Grund von Wahrscheinlichkeit. 32. Die Wahl einer konkurrierenden statistischen Hypothese: ein Beispiel. 33. Die Wahl einer konkurrieren-den statistischen Hypothese: allgemeine Bemerkungen.] 151

Kapitel XV. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Logik plausiblen Schlieens 167

1. Gibt es Regeln plausiblen Schlieens ? . 167 2. Ein gewisser Aspekt demonstrativen Schlieens 171 3. Ein entsprechender Aspekt plausiblen Schlieens 173 4. Ein gewisser Aspekt der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Schwierigkeiten 178 5. Ein gewisser Aspekt der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein

Versuch 181 6. Untersuchung einer Konsequenz 183 7. Untersuchung eines mglichen Beweisgrundes 188 8. Untersuchung einer widersprechenden Vermutung 189 9. Sukzessive Untersuchung mehrerer Konsequenzen 191

10. ber Indizienbeweise 194 Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel XV, 19. [4. Wahrschein-lichkeit und Glaubwrdigkeit. 5. Likelihood und Glaubwrdigkeit. 6. Der Laplacesche Versuch, Induktion mit Wahrscheinlichkeit zu verbinden. 7. Warum nicht quantitativ? 8. Infinitesimale Glaub-wrdigkeiten? 9. Zulssigkeitsregeln.] 196

Kapitd XVI. Plausibles Schlieen in Entdeckung und Unterricht 218 1. Ziel des gegenwrtigen Kapitels 218 2. Die Geschichte einer kleinen Entdeckung 219 3. Der Lsungsproze 221 4. Deus ex machina 224 5. Heuristische Rechtfertigung 225 6. Die Geschichte einer anderen Entdeckung 227 7. Typische Anzeichen , . . . 232

Inhaltsverzeichnis 7

8. Induktion im Erfindungsproze 234 9. Ein paar Worte an den Lehrer 240 Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel XVI, 1 13. [1. Fr den Lehrer: ein paar Aufgabentypen. 7. Qui mimium probat, nihil probat. 8. Nhe und Glaubwrdigkeit. 9. Numerische Rechnung und plausibles Schlieen. 13. Strenges Beweisen und plausibles Schlieen.] 244

Lsungen 257 Bibliographie 280

Anhang 1 283

II 296

First steps in

Modal Logic

Sally Popkorn

i CAMBRIDGE W UNTVERSITY PRESS

Contents

Introduction vii

Acknowledgements ix

I Preliminaries 1

1 Survey of propositional logic 3 1.1 Introduction 3 1.2 The language 4 1.3 Two-valued semantics 6 1.4 The proof theory 7 1.5 Completeness 9 1.6 Exercises 11

2 The modal language 13 2.1 Introduction 13 2.2 The language defined 15 2.3 Some particular formulas 16 2.4 Substitution 17 2.5 Two remarks 19 2.6 Exercises 19

II Transition structures and semantics 23

3 Labelled transition structures 25 3.1 Introduction 25 3.2 Some examples 27 3.3 Modal algebras 28 3.4 Various correspondences 30 3.5 The diamond Operation 32 3.6 The structure regained 34 3.7 Exercises 35

v

vi CONTENTS

4 Valuation and satisfaction 39 4.1 Introduction 39 4.2 The basic satisfaction relation 41 4.3 Some examples 42 4.4 The three satisfaction relations 46 4.5 Semantics for modal algebras 48 4.6 Exercises 51

5 Correspondence theory 61 5.1 Introduction 61 5.2 Some examples 61 5.3 The confluence property 64 5.4 Some non-confluence properties 66 5.5 Exercises 69

6 The general confluence result 77 6.1 Introduction 77 6.2 The structural property 79 6.3 The set of formulas 82 6.4 The result 83 6.5 Exercises 84

IM Proof theory and completeness 89

7 Some consequence relations 91 7.1 Introduction 91 7.2 Semantic consequence 92 7.3 The problem 93 7.4 Exercises 94

8 Standard formal Systems 97 8.1 Introduction 97 8.2 Formal Systems defined 98 8.3 Some monomodal Systems 102 8.4 Some polymodal Systems 106 8.5 Soundness properties 108 8.6 Exercises 110

9 The general completeness result 119 9.1 Introduction 119 9.2 Statement of the result 120 9.3 Maximally consistent sets 121 9.4 The canonical structure 124 9.5 The canonical valuation 125

CONTENTS vii

9.6 Proof of the result 126 9.7 Concluding remarks 126 9.8 Exercises 127

10 Kripke-completeness 129 10.1 Introduction 129 10.2 Some canonical Systems 130 10.3 Confluence induced completeness 133 10.4 Exercises 137

IV Model constructions 139

11 Bisimulations 141 11.1 Introduction 141 11.2 Zigzag morphisms 142 11.3 Bisimulations 144 11.4 The largest bisimulation 147 11.5 A hierarchy of matchings 148 11.6 An example 150 11.7 Stratified semantic equivalence 151 11.8 Exercises 154

12 Filtrations 157 12.1 Introduction 157 12.2 The canonical carrying set 159 12.3 The left-most filtration 160 12.4 The right-most filtration 161 12.5 Filtrations sandwiched 163 12.6 Separated structures 164 12.7 Exercises 166

13 The finite model property 169 13.1 Introduction 169 13.2 The fmp explained 169 13.3 The classic Systems have the fmp 172 13.4 The basic temporal System has the fmp 180 13.5 Exercises 182

V More advanced material 185

14 SLL logic 187 14.1 Introduction 187 14.2 The *-closure of a relation 189

viii CONTENTS

14.3 The axioms for SLL 189 14.4 SLL is not canonical 191 14.5 A filtration construction 193 14.6 The completeness result 197 14.7 Exercises 197

15 Lob logic 201 15.1 Introduction 201 15.2 The System defined 206 15.3 The rule of disjunction 206 15.4 The fmp 209 15.5 Exercises 214

16 Canonicity without the fmp 217 16.1 Introduction 217 16.2 The System defined 217 16.3 The characteristic properties 218 16.4 Canonicity 219 16.5 The finite modeis 220 16.6 A particular model 222 16.7 Exercises 222

17 Transition structures aren't enough 225 17.1 Introduction 225 17.2 The System KZ 226 17.3 The System KY 227 17.4 A particular structure 228 17.5 Exercises 232

VI Two appendices 235

A The what, why, where,... of modal logic 237 A.l Introduction 237 A.2 Beginning 237 A.3 About this book 239 A.4 What next? 241 A.5 Some uses of modal logic 242

B Some Solutions to the exercises 247 B.l Chapter 1 247 B.2 Chapter 2 250 B.3 Chapter 3 252 B.4 Chapter 4 254 B.5 Chapter 5 260

CONTENTS ix

B.6 Chapter 6 266 B.7 Chapter 7 267 B.8 Chapter 8 267 B.9 Chapter 9 278 B.10 Chapter 10 280 B.ll Chapter 11 286 B.12 Chapter 12 289 B.13 Chapter 13 293 B.14 Chapter 14 299 B.15 Chapter 15 304 B.16 Chapter 16 306 B.17 Chapter 17 308

Bibliography 311