Pólya György Pólya György ésés

a sík 17 elemű a sík 17 elemű kristálycsoportjának kristálycsoportjának

vizualizációja vizualizációja Kántor Sándorné Varga TündeKántor Sándorné Varga Tünde

Debreceni Egyetem, Matematikai IntézetDebreceni Egyetem, Matematikai Intézete-mail: e-mail: tkantortkantor@@science.unideb.huscience.unideb.hu

Pólya György (1887-1985Pólya György (1887-1985)) Pólya György (1887-1985) kiváló tudós és nagyszerű Pólya György (1887-1985) kiváló tudós és nagyszerű

tanáregyéniség volt.tanáregyéniség volt. A matematika különböző területeivel foglalkozott: A matematika különböző területeivel foglalkozott:

kombinatorika, valószínűségszámítás, valós- és komplex kombinatorika, valószínűségszámítás, valós- és komplex függvények, analízis, geometria, számelmélet, algebrai függvények, analízis, geometria, számelmélet, algebrai egyenletek elmélete, matematikai fizika.egyenletek elmélete, matematikai fizika.

Neve összeforrt a modern heurisztikával, a felfedezés Neve összeforrt a modern heurisztikával, a felfedezés tudományával, tudományával,

Munkásságának egy érdekes színfoltja a rajznak, mint a Munkásságának egy érdekes színfoltja a rajznak, mint a geometria nyelvének az alkalmazása . geometria nyelvének az alkalmazása .

A sík 17 kristálycsoportjáról készített rajzai ihlették meg A sík 17 kristálycsoportjáról készített rajzai ihlették meg M. C. Escher holland grafikust. Így Pólya és Escher M. C. Escher holland grafikust. Így Pólya és Escher ugyanazt a nyelvet beszélték, a geometriai alakzatok ugyanazt a nyelvet beszélték, a geometriai alakzatok nyelvét. nyelvét.

Pólya György (1887-1985Pólya György (1887-1985) )

Pólya György ismertebb munkáiPólya György ismertebb munkái A probléma megoldás iskolájaA probléma megoldás iskolája A gondolkodás iskolájaA gondolkodás iskolája A matematika gondolkodás művészete I-II. A matematika gondolkodás művészete I-II.

( Indukció és analógia, A plauzibilis következtetés)( Indukció és analógia, A plauzibilis következtetés) Matematikai módszerek természettudomá-Matematikai módszerek természettudomá-

nyokbannyokban 250 cikke és társszerzőkkel együtt 10 könyve, 250 cikke és társszerzőkkel együtt 10 könyve,

illetve monográfiája jelent meg, közülük számosat illetve monográfiája jelent meg, közülük számosat több nyelvre lefordítottak. több nyelvre lefordítottak.

Összegyűjtött műveit 4 kötetben adták ki Összegyűjtött műveit 4 kötetben adták ki Cambridge-ben 1974 és 1984 között.Cambridge-ben 1974 és 1984 között.

ÉletrajzaÉletrajza Pólya György 1887. december 13-án született Pólya György 1887. december 13-án született

Budapesten.. Édesapja Pólya (Pollák) Jakab Budapesten.. Édesapja Pólya (Pollák) Jakab kiváló közgazdász, aki számos könyvet írt, az kiváló közgazdász, aki számos könyvet írt, az MTA levelező tagja volt. Édesanyja Deutsch MTA levelező tagja volt. Édesanyja Deutsch Anna. Anna.

Hatan voltak testvérek 4 fiú és 2 lány. Testvérei Hatan voltak testvérek 4 fiú és 2 lány. Testvérei közül kiemelkedő munkásságot fejtett ki a közül kiemelkedő munkásságot fejtett ki a matematikához is erősen vonzódó Pólya Jenő matematikához is erősen vonzódó Pólya Jenő sebészprofesszor (1876-1944?), akiről sebészi sebészprofesszor (1876-1944?), akiről sebészi eljárást neveztek el. eljárást neveztek el.

Középiskolai tanulmányait a híres II. kerületi Középiskolai tanulmányait a híres II. kerületi Markó utcai főreáliskolában folytatta. 1905-ben Markó utcai főreáliskolában folytatta. 1905-ben érettségizett. Beke Manó tanította matematikára. érettségizett. Beke Manó tanította matematikára. Beke Manó a 20. század elején a magyarországi Beke Manó a 20. század elején a magyarországi matematikatanítási reformtörekvések fő matematikatanítási reformtörekvések fő képviselője volt. képviselője volt.

Pólya György (1887-1985Pólya György (1887-1985

ÉletrajzaÉletrajza Diákkorában jó volt matematikából is, fizikából is. Diákkorában jó volt matematikából is, fizikából is.

Bár szerette a matematikát, de szeretete nem volt Bár szerette a matematikát, de szeretete nem volt kizárólagos.kizárólagos.

A földrajz, a latin nyelv, a magyar nyelv és A földrajz, a latin nyelv, a magyar nyelv és irodalom is kedvenc tantárgya volt.irodalom is kedvenc tantárgya volt.

Egyetemi tanulmányait orvostanhallgatóként Egyetemi tanulmányait orvostanhallgatóként kezdte el, félévig jogot, hallgatott, majd magyar-, kezdte el, félévig jogot, hallgatott, majd magyar-, latin- és görög nyelvszakos volt, 1907-ben pedig latin- és görög nyelvszakos volt, 1907-ben pedig filozófiát tanult. Az alapvizsga letétele után fordult filozófiát tanult. Az alapvizsga letétele után fordult vissza érdeklődése a matematika felé. vissza érdeklődése a matematika felé.

A későbbiekben úgy jellemezte saját magát, A későbbiekben úgy jellemezte saját magát, hogy nem volt elég jó a fizikához, de túl jó volt a hogy nem volt elég jó a fizikához, de túl jó volt a filozófiához, és a matematika a kettő között filozófiához, és a matematika a kettő között helyezkedik el.helyezkedik el.

MunkáiMunkái

Közvetlenül az egyetemi tanulmányainak Közvetlenül az egyetemi tanulmányainak befejezése után 1912-ben benyújtotta befejezése után 1912-ben benyújtotta A A valószínűségszámítás néhány kérdéséről és valószínűségszámítás néhány kérdéséről és bizonyos velük összefüggő határozott bizonyos velük összefüggő határozott integálokról integálokról című doktori disszertációját. című doktori disszertációját.

A disszertáció érdekessége, hogy benne olyan A disszertáció érdekessége, hogy benne olyan elméleti kérdésekkel is foglalkozott, mint pl. elméleti kérdésekkel is foglalkozott, mint pl. milyen eseményeknek tulajdoníthatunk milyen eseményeknek tulajdoníthatunk valószínűséget, mi legyen a valószínűség valószínűséget, mi legyen a valószínűség fogalmának intuitív megfelelője.fogalmának intuitív megfelelője.

ÉleteÉlete 1940-ben barátja 1940-ben barátja Szegő GáborSzegő Gábor meghívására a fasizmus meghívására a fasizmus

elől kivándorolt az USA-ba Először a Rhode Island elől kivándorolt az USA-ba Először a Rhode Island Brown Egyetemen tanított, utána a Smith College Brown Egyetemen tanított, utána a Smith College vendégprofesszora volt. 1942-től a Stanford Egyetemen vendégprofesszora volt. 1942-től a Stanford Egyetemen professzor.1953-ban vonult nyugdíjba, de egyetemi professzor.1953-ban vonult nyugdíjba, de egyetemi előadásait és kutatómunkáját ezután is tovább folytatta. előadásait és kutatómunkáját ezután is tovább folytatta.

Egyre növekvő energiával fordult a matematikatanítás Egyre növekvő energiával fordult a matematikatanítás kérdései felé.Beteljesedett egykori matematika-kérdései felé.Beteljesedett egykori matematika-tanárának, későbbi professzorának, tanárának, későbbi professzorának, Beke ManóBeke Manónak a nak a jóslata. jóslata.

Úgy, úgy, maga a filozófiától jön a matematikához. Vissza Úgy, úgy, maga a filozófiától jön a matematikához. Vissza fog térni a filozófiához. De ne térjen vissza túl korán.” fog térni a filozófiához. De ne térjen vissza túl korán.”

Legutolsó egyetemi előadássorozatát 91 éves korában Legutolsó egyetemi előadássorozatát 91 éves korában tartotta kollégái számára.tartotta kollégái számára.

Pólya György emlékezetePólya György emlékezeteEmlékét viseli:Emlékét viseli: az SIAM (Society for Industrial and Applied az SIAM (Society for Industrial and Applied

Mathematics) kombinatorikai Pólya-díjaMathematics) kombinatorikai Pólya-díja az Amerikai Matematikai Társulat Pólya-díja, az Amerikai Matematikai Társulat Pólya-díja,

amellyel a College Mathematics Journal amellyel a College Mathematics Journal ismeretterjesztő cikkeit díjazzákismeretterjesztő cikkeit díjazzák

a London Mathematical Society Pólya-díjaa London Mathematical Society Pólya-díja A 29646 Polya kisbolygó, amelyet 1998. A 29646 Polya kisbolygó, amelyet 1998.

november 16-án fedezett fel P: G. Comba és a november 16-án fedezett fel P: G. Comba és a kisbolygó övben keringkisbolygó övben kering

a Veszprémi Pannon Egyetem Műszaki a Veszprémi Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kara Pólya György díja a Informatikai Kara Pólya György díja a matematikatanárok tehetséggondozás területén matematikatanárok tehetséggondozás területén elért eredményeiértelért eredményeiért

Pólya György munkásságaPólya György munkássága

Pólya György munkásságaPólya György munkássága

Pólya György munkásságaPólya György munkássága

Pólya György munkásságaPólya György munkássága A problémamegoldás iskolája A problémamegoldás iskolája című könyve azok című könyve azok

számára szól, akik saját, vagy mások gondolkodási számára szól, akik saját, vagy mások gondolkodási készségét szeretnék fejleszteni. A könyv előszavában itt készségét szeretnék fejleszteni. A könyv előszavában itt is azt hangsúlyozza, hogy „is azt hangsúlyozza, hogy „aki problémát megoldani akar aki problémát megoldani akar tanulni, annak a problémák megoldását kell gyakorolniatanulni, annak a problémák megoldását kell gyakorolnia.” .”

Pólya György és Szegő GáborPólya György és Szegő Gábor

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata Pólya György Pólya György Über die Analogie der Krystallsymmetrie Über die Analogie der Krystallsymmetrie

in der Ebenein der Ebene ( Z. Kristall 60 (1924) 278-282) című ( Z. Kristall 60 (1924) 278-282) című cikkében a sík 17 kristálycsoportjával foglalkozott.cikkében a sík 17 kristálycsoportjával foglalkozott.

A cikk érdekessége az, hogy Pólya mind a 17 A cikk érdekessége az, hogy Pólya mind a 17 kristálycsoportot rajzzal is szemléltette. M. C. Escher kristálycsoportot rajzzal is szemléltette. M. C. Escher testvére geográfus volt. Amikor ezt a cikket meglátta a testvére geográfus volt. Amikor ezt a cikket meglátta a folyóiratban, felhívta rá grafikus testvére figyelmét. folyóiratban, felhívta rá grafikus testvére figyelmét.

Pólya és Escher ugyanazt a nyelvet értették, a Pólya és Escher ugyanazt a nyelvet értették, a geometriai alakzatok nyelvét.geometriai alakzatok nyelvét.

Escher a matematikai részt nem értette, de a rajzokból Escher a matematikai részt nem értette, de a rajzokból ráérzett a kristálycsoport egyes elemeinek a geometriai ráérzett a kristálycsoport egyes elemeinek a geometriai tulajdonságaira, a periodikusságra, a szimmetriára és a tulajdonságaira, a periodikusságra, a szimmetriára és a maga művészi módján Pólya rajzait átformálta, maga művészi módján Pólya rajzait átformálta, madarakat, kutyákat, stb. helyezett rá Pólya ábráira, madarakat, kutyákat, stb. helyezett rá Pólya ábráira, majd a színezés bevezetésével tovább is fejlesztette az majd a színezés bevezetésével tovább is fejlesztette az ábrázolást. ábrázolást.

A sík 17 kristálycsoportjaA sík 17 kristálycsoportja

C1 p1 : 2 eltolásC1 p1 : 2 eltolás C2 p2 : 3 félfordulatC2 p2 : 3 félfordulat C3 pm : 2 tükrözés és egy eltolásC3 pm : 2 tükrözés és egy eltolás C4 pg : 2 párhuzamos csúsztatva C4 pg : 2 párhuzamos csúsztatva

tükrözéstükrözés C6 cm : 1 tükrözés és egy C6 cm : 1 tükrözés és egy

párhuzamos csúsztatva tükrözéspárhuzamos csúsztatva tükrözés

A sík 17 kristálycsoportjaA sík 17 kristálycsoportja D1kk pmm: téglalap oldalaira való 4 D1kk pmm: téglalap oldalaira való 4

tükrözéstükrözés D1gg pmg: 1 tükrözés és 2 fél fordu-D1gg pmg: 1 tükrözés és 2 fél fordu-

latlat D1kg pgg : 2 merőleges csúsztatva D1kg pgg : 2 merőleges csúsztatva

tükrözéstükrözés D2 kkkk cmm : 2 merőleges tükrözésD2 kkkk cmm : 2 merőleges tükrözés D2gggg p4: 1 félfordulat és egy D2gggg p4: 1 félfordulat és egy

negyed fordulatnegyed fordulat

A sík 17 kristálycsoportjaA sík 17 kristálycsoportja

D2kkgg p4m : 45 – 45 - 90 fokos D2kkgg p4m : 45 – 45 - 90 fokos szögű derékszögű háromszög szögű derékszögű háromszög oldalaira vonatkozó tükrözések oldalaira vonatkozó tükrözések

D2kgkg p4g : 1 tükrözés és 1 negyed D2kgkg p4g : 1 tükrözés és 1 negyed fordulatfordulat

D*4 p3 : 2 darab 120 fokos forgatásD*4 p3 : 2 darab 120 fokos forgatás D0 4 p3m1 : 1 tükrözés és 1 darab D0 4 p3m1 : 1 tükrözés és 1 darab

120 fokos forgatás120 fokos forgatás

A sík 17 kristálycsoportjaA sík 17 kristálycsoportja D*3 p31m : Egyenlő oldalú D*3 p31m : Egyenlő oldalú

háromszög oldalaira való vonatkozó háromszög oldalaira való vonatkozó tükrözések tükrözések

D0 3 p6 : 1 félfordulat és egy 120 D0 3 p6 : 1 félfordulat és egy 120 fokos forgatásfokos forgatás

D6 p6m: 30- 60-90-os szögekkel D6 p6m: 30- 60-90-os szögekkel rendelkező derékszögű háromszög rendelkező derékszögű háromszög oldalaira való tükrözésekoldalaira való tükrözések

M. C. EscherM. C. Escher

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Pólya és Escher kapcsolataPólya és Escher kapcsolata

Escher egy tételeEscher egy tételeEscher rajzainak készítése közben felfedezte a Escher rajzainak készítése közben felfedezte a

következő geometriai tételt:következő geometriai tételt:Tétel: Tétel: Egy tetszőleges háromszög egy tetszőleges Egy tetszőleges háromszög egy tetszőleges

oldalát 5, egy másik oldalát 4, a harmadik oldalát 5, egy másik oldalát 4, a harmadik oldalát 3 egyenlő részre osztjuk. Az oldalát 3 egyenlő részre osztjuk. Az osztópontokat egymással és a csúcsokkal osztópontokat egymással és a csúcsokkal összekötő szakaszok között található 3 olyan összekötő szakaszok között található 3 olyan összekötő szakasz, amely egy ponton megy összekötő szakasz, amely egy ponton megy át, és a metszéspont úgy osztja két részre át, és a metszéspont úgy osztja két részre ezeket a szakaszokat, hogy az osztási arány ezeket a szakaszokat, hogy az osztási arány kis egész számokkal kifejezhető.kis egész számokkal kifejezhető.

Escher egy tételeEscher egy tétele

Escher egy tételeEscher egy tétele

I. csoport: 1-2. eset: I. csoport: 1-2. eset:

a 3 szakasz a 3 a 3 szakasz a 3 csúcsból indul.csúcsból indul.

II. csoport: 3 - 6. II. csoport: 3 - 6. eset : 2 szakasz eset : 2 szakasz indul egy csúcsból.indul egy csúcsból.

III. csoport: 7-14. III. csoport: 7-14. eset: 1 szakasz indul eset: 1 szakasz indul a csúcsból.a csúcsból.

IV. 15-17. eset: IV. 15-17. eset: egyik szakasz sem egyik szakasz sem indul csúcsból.indul csúcsból.

Escher rajzaEscher rajza

Escher rajzaEscher rajza

Coxeter: Geometriák könyvének fedőlapjaCoxeter: Geometriák könyvének fedőlapja

IrodalomIrodalom1.1. Alexanderson, G. L.: The Polya picture album, Alexanderson, G. L.: The Polya picture album,

Basel, 1987 Basel, 1987 2.2. Pólya György: A matematikai gondolkodás Pólya György: A matematikai gondolkodás

művészete I-II. Indukció és analógia, A művészete I-II. Indukció és analógia, A plauzibilis következtetés, Gondolat , plauzibilis következtetés, Gondolat , Budapest, 1988, 1989Budapest, 1988, 1989

3.3. Pólya György: A probléma megoldás iskolája Pólya György: A probléma megoldás iskolája I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967, 1968)I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1967, 1968)

4.4. Pólya György: Matematikai módszerek a Pólya György: Matematikai módszerek a természettudományokban, Gondolat Kiadó, természettudományokban, Gondolat Kiadó, Budapest, 1984Budapest, 1984

IrodalomIrodalom5. Pólya György, Szegő Gábor: Feladatok és 5. Pólya György, Szegő Gábor: Feladatok és

tételek az analízis köréből I-II. tételek az analízis köréből I-II. Tankönyvkiadó, 1980Tankönyvkiadó, 1980

6. Pólya György: Über die Analogie der 6. Pólya György: Über die Analogie der Krystallsymmetrie in der Ebene, Z. Kristall 60 Krystallsymmetrie in der Ebene, Z. Kristall 60 (1924) 278-282(1924) 278-282

7. Ribár Béla: Híres magyar tudósok, JMTT 7. Ribár Béla: Híres magyar tudósok, JMTT KiskönyvtáraKiskönyvtára

8. Schattschneider, D.: Vision of Symmetry 8. Schattschneider, D.: Vision of Symmetry Nortebooks, Pweidic Drawings, and Related Nortebooks, Pweidic Drawings, and Related works of M. C. Echer, W. H. Freeman works of M. C. Echer, W. H. Freeman Company, New York Company, New York

9. Zaal, Ch.:Escher egy tétele. KöMAL.1998/7, 9. Zaal, Ch.:Escher egy tétele. KöMAL.1998/7, 385-387385-387