Math 1 Toolkit*

Canyon Crest Academy

Student Name:___________________________________________ Year:________________

Teacher Name:___________________________________________ Room:_______________ * Use the toolkit during class work, homework, and in studying for assessments

  1  

Table  of  Contents  Module  1:  Getting  Ready    Equations  (solving  using  balance  analogy) ...........................................................................4  

Distributive  Property ............................................................................................................4  

Expressions  (algebraic) .........................................................................................................5  

Slope .....................................................................................................................................5  

Slope-‐Intercept  Form............................................................................................................6  

Equations  (meaning  of  solution)...........................................................................................6  

Equations  (solving  literal  equations) ....................................................................................7  

Inequalities  (meaning  of  solution  and  solving).....................................................................7  

System  of  Equations  (solving  by  graphing) ...........................................................................8  

Equations  (writing  one  or  a  system  for  a  situation)..............................................................8  

Inequalities  (writing  for  a  situation) .....................................................................................9  

 

Module  2:  Systems  of  Equations  and  Inequalities    Constraint .............................................................................................................................9  

Linear  Inequality  (graphing  on  a  half-‐plane).........................................................................10  

Standard  Form  of  a  Linear  Equation  (finding  intercepts) .....................................................10  

System  of  Linear  Inequalities................................................................................................11  

Feasible  Region.....................................................................................................................11  

System  of  Equations  (solve  by  substitution).........................................................................12  

System  of  Equations  (solve  by  elimination)..........................................................................12  

System  of  Equations  (determining  the  number  of  solutions:  0,  1,  or  infinite) .....................13  

 

Module  3:  Arithmetic  and  Geometric  Sequences    Function  Notation.................................................................................................................13  

Arithmetic  Sequences...........................................................................................................14  

Recursive  and  Explicit  Rules  for  Arithmetic  Sequences ........................................................14  

Geometric  Sequences...........................................................................................................15  

Graphing  a  Table  of  Data  (inputs,  outputs,  and  axes)   .........................................................15  

Recursive  and  Explicit  Rules  for  Geometric  Sequences ........................................................16  

  2  

Module  4:  Linear  and  Exponential  Functions    Discrete  and  Continuous  Relationships  (in  context  and  graphically) ...................................16  

Linear  and  Exponential  Relationships  (in  context  and  graphically) ......................................17  

Point-‐Slope  Form  (given  slope  and  a  point)..........................................................................17  

Simple  Interest......................................................................................................................18  

Compound  Interest...............................................................................................................18  

 

Module  5:  Features  of  Functions    Function  Basics .....................................................................................................................19  

Increasing  and  Decreasing  Intervals .....................................................................................19  

Domain  and  Range................................................................................................................20  

Maximum  and  Minimum  Values...........................................................................................20  

   

Module  6:  Congruence,  Construction,  and  Proof    Translation............................................................................................................................21  

Reflection..............................................................................................................................21  

Rotation ................................................................................................................................22  

Pythagorean  Theorem ..........................................................................................................22  

Parallel  and  Perpendicular  lines ...........................................................................................23  

Quadrilaterals .......................................................................................................................23  

Symmetry  (line  and  rotational).............................................................................................24  

Congruence...........................................................................................................................24  

Similar  Figures ......................................................................................................................25  

Notation................................................................................................................................25  

Triangle  congruence .............................................................................................................26  

Bisector.................................................................................................................................26  

 

Module  7:  Connecting  Algebra  and  Geometry    Distance  Formula..................................................................................................................27  

Vertical  Translation  (of  a  function) .......................................................................................27  

  3  

 Module  8:  Modeling  Data    Histogram .............................................................................................................................28  

Measures  of  Central  Tendency  (mean,  median,  and  mode) ................................................28  

Box  and  Whiskers  Plot ..........................................................................................................29  

Data  Distribution  (shape,  center,  and  spread) .....................................................................29  

Scatterplot ............................................................................................................................30  

Two-‐Way  Frequency  Table ...................................................................................................30  

Relative  Frequency  Table......................................................................................................31  

Line  of  Best  Fit ......................................................................................................................31  

Correlation  Coefficient .........................................................................................................32  

Residual  Plot .........................................................................................................................32  

                                   

 

  4  

Definition    An  equals  sign  can  be  thought  of  as  a  balancing  point  between  the  two  sides  of  an  equation.    You  may  add  or  remove  equal  amounts  to  both  sides  of  the  equation  to  keep  it  in  balance.  

Properties    

• Perform  the  same  math  to  both  sides  of  the  equation  to  get  the  variable  alone  on  one  side  

• Solved  equations  look  like  this:                                                            m  =  5          or          x  =  -‐3          or          2  =  N    

Example  (diagram  to  equation)      

 

Example  (equation  to  solution)                                        

   Definition    The  distributive  property  takes  a  multiplier  on  the  outside  of  parentheses  and  multiplies  each  term  inside  the  parentheses.  

Properties    

• Terms  in  parentheses  are  separated  by  addition  or  subtraction  

• Each  term  in  parentheses  gets  multiplied  by  the  outside  multiplier  

Example  

 Example  

   

   

Equations:  Balance  Analogy  

Distributive  Property  

  5  

Definition    An  algebraic  expression  has  at  least  one  variable  and  usually  numbers  and  math  operations.  

Properties    

• Most  expressions  use  addition,  subtraction,  multiplication,  and  division  

• Some  formats  are  more  typical                            e.g.  use  “n  +  3”  instead  of  “3  +  n”                            e.g.  use  “6y”  instead  of  “y6”  

Examples  

 Nonexamples  

   

   Definition    Slope  can  be  defined  as:  

• The  steepness  of  a  line  

•    

rise

run  or  

ΔyΔx

 or  vertical  change

horizontal  change  

• two  sides  of  a  slope  triangle  on  a  grid  

•    

y2− y

1

x2− x

1

 or  y1− y

2

x1− x

2

 

 

Properties    

• Positive  slope  looks  like  this:        

• Negative  slope  looks  like  this:  

Example  (two  points  on  grid)  

   

Example  (two  points  –  no  grid)  

   

Expressions:  Algebraic  

Slope  

  6  

 Definition    The  slope-‐intercept  form  of  a  linear  equation  presents  the  slope  and  y-‐intercept  as  values  in  the  equation.    In  the  form,  the  variable  “y”  must  be  alone  on  one  side  of  the  equation.      

Properties    

• In    y =mx + b  the  value  of    “m”  is  the  slope  and  the  value  of  “b”  is  the  y-‐intercept  

• In    y = a+ bx  the  value  of    “b”  is  the  slope  and  the  value  of  “a”  is  the  y-‐intercept  

   

Example  

 Example  

   

   Definition    To  solve  an  equation  means  to  determine  the  value(s)  of  the  variable(s)  that  make  the  equation  true.  

Properties    

• To  verify  a  solution  substitute  the  variable(s)  with  value(s)  to  see  if  a  true  statement  results.  

Example  (one  variable)    Is      x = 7  a  solution  to      5+ x = 11?      

Example  (two  variables)    Is  the  ordered  pair    (−3,  1)  a  solution  to      2x + y = −5 ?    

 

Slope-‐Intercept  Form  

Equations:  Solution  Meaning  

  7  

 Definition    An  equation  is  solved  for  a  variable  when  that  variable  is  isolated  on  one  side  of  the  equation.  

Properties    

• Some  equations  contain  several  variables  but  are  solved  for  only  one  of  them  

• The  solution  is  one  variable  written  in  terms  of  the  other  variables  and  numbers  

Example    Solve      3x + 5y = −4  for  y.  

 

Example    Solve      A(B+C)= 5  for  B.    

   Definition    To  solve  an  inequality  means  to  rewrite  it  so  that  the  variable  is  alone  on  one  side  of  the  inequality  sign.    Unlike  most  equations,  inequalities  have  many  solutions.  

Properties    

• When  solving  an  inequality,  only  switch  the  inequality  sign  if  you  multiply  or  divide  both  sides  with  a  negative  number  

• Solved  inequalities  look  like  this:    

Example  

   

Example  

   

 

Equations  (literal):  Solving  

 

Inequalities:  Meaning,  Solving  

  8  

 Definition    A  system  of  equations  usually  involves  two  equations  using  the  same  two  variables.    A  solution  to  a  system  of  equations  is  usually  one  point  (x,  y)  

 

Properties    

• Graph  both  equations  on  the  same  grid  to  find  their  point  of  intersection  

• The  point  of  intersection  is  the  solution  

• Verify  that  this  point  makes  both  equations  true  

                           

Example    Solve      y = 3x −1,  y = −x + 3  by  graphing.    

   

   Definition    A  situation  requires  you  to  define  variable(s)  and  write  equation(s)  that,  when  solved,  answer  the  question.  

Properties    

• Clearly  define  what  each  variable  represents  

• Verify  the  accuracy  of  your  solution(s).  

• Be  sure  to  answer  the  question  in  a  complete  sentence.  

Example  (write  and  solve)    Erik  paid  $13.20  for  two  pounds  of  dog  food  and  a  three  dollar  dog  toy.    How  much  was  each  pound  of  dog  food?    

Example  (write*,  do  not  solve)    A  teacher  has  eight  siblings.    The  number  of  sisters  is  two  more  than  the  number  of  bothers.    How  many  sisters  and  brothers  does  the  teacher  have?  *use  two  variables  

System  of  Equations:  Solve  by  Graphing  

Equations:  Writing  for  a  situation  

  9  

Definition    Some  words  imply  an  inequality  sign  while  other  words  imply  a  math  operation.    

• greater  than  is  >  • greater  than  or  equal  to  is  ≥  • less  than  is  <  • less  than  or  equal  to  is  ≤  

Properties    

• Addition  can  be  implied  by:  more  than,  increased,  sum,  etc.  

• Subtraction  can  be  implied  by:  less  than,  decrease,  difference,  etc.  

• Multiplication  can  be  implied  by:  product,  times,  etc.  

• Division  can  be  implied  by:  quotient                                                                    

Example  (write  an  inequality)    Six  more  than  the  number  of  girls  is  greater  than  28.  

Example  (write  an  inequality)    The  product  of  5  and  three  less  than  the  cost  of  a  shirt  is  less  than  47.  

   Definition    A  constraint  is  a  fact  or  statement  that  places  a  limit  on  something.                

Properties    

• A  constraint  can  be  an  equation  or  an  inequality  

• A  solution  to  a  situation  must  make  all  constraints  true    

Example    A  bakery  makes  dozens  of  iced  cookies  and  dozens  of  plain  cookies.    Each  dozen  of  plain  cookies  uses  one  pound  of  dough  and  each  dozen  of  iced  cookies  uses  0.7  pounds  of  dough.    The  bakery  has  100  pounds  of  dough  available.    The  ovens  at  the  bakery  can  handle  140  dozens  of  cookies.    Write  constraints  for  the  dough  and  the  oven  space.      

   

Inequalities:  Writing  for  a  situation    

Constraint  

  10  

 Definition    The  graph  of  a  linear  inequality  is  a  shaded  section  of  a  grid  called  a  half-‐plane.  A  half-‐plane  (i.e.  half  of  the  grid)  is  the  part  of  the  grid  cut  in  half  by  the  boundary  line.  A  boundary  line  separates  the  points  that  satisfy  a  linear  inequality  from  the  points  that  do  not.  

Properties    

• The  points  on  the  boundary  line  are  included  and  the  graph  uses  a  solid  line  if  we  have  ≥  or  ≤  

• The  points  on  the  boundary  line  are  not  included  and  the  graph  uses  a  dashed  line  if  we  have  >  or  <  

Example    Graph      y ≥ 3x −1 .  

Example    Graph      y < −x + 3 .  

   Definition    The  standard  form  of  a  linear  equation  looks  like  this:                Ax +By = C    

Properties    

• This  form  it  convenient  for  finding  the  x-‐intercept  and  y-‐intercept  

                           • Using  intercepts  to  graph  the  

equation  can  be  a  quick  method  

Example    Graph      2x + 3y = 12  using  intercepts  

Example    

Graph      5x −2y = 10  using  intercepts  

 

Standard  Form  

 

Linear  Inequality  (graphing)  

  11  

 Definitions    A  system  of  linear  inequalities  is  two  or  more  inequalities  using  the  same  variables.        The  solution  to  the  system  is  the  shaded  area  that  makes  both  inequalities  true.      

Properties    

• To  graph  the  system  first  graph  the  boundary  line  for  each  inequality  

• Then  decide  which  side  of  each  boundary  line  contains  the  solution  for  that  inequality  

• Where  the  shaded  areas  overlap  is  the  solution  

Example      Solve      y ≥ −3x −1,  4x −2y

  12  

 Definition    Solving  a  system  using  substitution  requires  solving  one  equation  for  a  variable  and  then  substituting  this  amount  into  the  other  equation.    This  new  equation  should  only  have  one  type  of  variable  and  can  be  solved  for  this  variable.  

Properties    

• Sometimes  one  equation  is  already  solved  for  a  variable  and  this  makes  a  good  equation  to  start  with  

• Remember  to  solve  for  all  variables  to  create  a  complete  solution  

Example      Solve  using  the  Substitution  Method:    

   2x − y = −8,  y = 4x    

 

   

   Definition    Solving  a  system  using  elimination  requires  combining  the  standard  form  equations  using  addition,  subtraction,  and  possibly  multiplication  to  create  a  new  equation.    This  new  equation  should  only  have  one  type  of  variable  and  can  be  solved  for  this  variable.  

Properties    

• Make  sure  equations  are  in  standard  form  

• The  goal  of  combining  equations  is  to  eliminate  a  variable  type  

• Remember  to  solve  for  all  variables  to  create  a  complete  solution  

Example    Solve  using  the  Elimination  Method:    

   2x − y = −8,  y + x = 14    

 

 

 

System  of  Equations  (solve  by  elimination)    

System  of  Equations  (solve  by  substitution)  

  13  

 Definition    A  system  of  equations  may  have  no  solution,  one  solution,  or  an  infinite  number  of  solutions.  

Properties    

• The  no  solution  option  has  a  graph  of  two  parallel  lines  sharing  no  points  

• The  one  solution  option  has  two  lines  that  intersect  at  one  point    

• The  infinite  solutions  option  has  two  lines  that  graph  as  the  same  line  and  share  all  points  

Example  (graph  each  option)  

     

   Definition    Function  notation  indicates  the  function  name  and  the  variable  used.    As  an  example:  the  notation  f(x)  indicates  a  function  named  “f”  using  the  variable  “x”.        

Properties    

• f(x)  is  often  used  in  place  of  y  in  an  equation  

• f(7)  means  use  x  =  7  in  the  function  f  

Example  

   

Example  

   

 

System  of  Equations  (number  of  solutions)    

Function  Notation  

  14  

 Definition      An  arithmetic  sequence  has  terms  created  by  choosing  a  starting  amount  and  adding  the  same  value  each  time  to  create  the  next  term.        

Properties    

• Adjacent  terms  have  a  common  difference,  commonly  called  “d”  

• Some  rules  generate  arithmetic  sequences  

Example  

 Example  

   

   Definition    A  recursive  rule  states  a  formula  that  calculates  the  next  term  based  on  the  previous  term.    An  explicit  rule  states  a  formula  that  calculates  the  term  based  on  the  term  number  you  want  (e.g.  first  term,  fourth  term,  etc.)  

Properties    

• Recall  that  consecutive  terms  of  an  arithmetic  sequence  have  a  common  difference  

Example    Write  both  a  recursive  rule  and  an  explicit  rule  for  the  following  sequence:    11,  16,  21,  26,  31,  36,  …  

   

 

Recursive  and  Explicit  Rules  (arithmetic)  

 

Arithmetic  Sequences  

 

  15  

Definition    A  geometric  sequence  has  terms  created  by  choosing  a  starting  amount  and  multiplying  the  same  value  each  time  to  create  the  next  term.  

Properties    

• Adjacent  terms  have  a  common  ratio,  commonly  called  “r”  

• Some  rules  generate  geometric  sequences  

Example  

 Example  

   

   Definition    A  table  of  data  contains  values  on  the  left  side  and  right  side.    The  left  side  is  the  input  (often  the  variable  “x”)  and  is  called  the  independent  variable.    The  right  side  is  called  the  output  (often  the  variable  “y”)  and  is  called  the  dependent  variable.  

Properties    

• The  independent  variable  (the  input  -‐  often  representing  time)  graphs  on  the  horizontal  axis  

• The  dependent  variable  (the  output)  graphs  on  the  vertical  axis  

• Scale  the  axes  so  the  data  fits  

Example  (table)  

   

Example  (graph)  

   

 

Geometric  Sequences  

Graphing  a  Table  of  Data  

  16  

 Definition    A  recursive  rule  states  a  formula  that  calculates  the  next  term  based  on  the  previous  term.    An  explicit  rule  states  a  formula  that  calculates  the  term  based  on  the  term  number  you  want  (e.g.  first  term,  fourth  term,  etc.)  

Properties    

• Recall  that  consecutive  terms  of  a  geometric  sequence  have  a  common  ratio  

Example    Write  both  a  recursive  rule  and  an  explicit  rule  for  the  following  sequence:    3,  6,  12,  24,  48,  96,  …  

   

   Definition    A  discrete  relationship  creates  data  that  can  only  take  on  certain  values  (e.g.  the  number  of  cars  can  only  be  a  positive  whole  number).    A  continuous  relationship  creates  data  that  can  take  on  any  value,  within  reason  (e.g.  the  length  of  a  snake)  

Properties    

• The  graph  of  a  discrete  relationship  is  a  set  of  unconnected  points  

 • The  graph  of  a  continuous  

relationship  is  a  smooth  line  or  curve  connecting  the  points  

Example  (discrete  data)  

   

Example  (continuous  data)  

   

 

Discrete  and  Continuous  Relationships  

Recursive  and  Explicit  Rules  (geometric)  

 

  17  

 Definition    A  linear  relationship  shows  equal  differences  over  equal  intervals.    An  exponential  relationship  shows  equal  factors  over  equal  intervals.  

Properties    

• A  linear  relationship  creates  values  with  an  adding  pattern  like  an  arithmetic  sequence  

• An  exponential  relationship  creates  values  with  a  multiplying  pattern  like  a  geometric  sequence  

Example  (linear)    Start  =  5  d  =  3  table:  rule:  graph:  

Example  (exponential)    Start  =  5  r  =  3  table:  rule:  graph:  

 

   Definition    The  point-‐slope  form  of  a  linear  equation  is  useful  if  you  want  to  write  a  linear  equation  and  are  given  the  slope  and  one  point.  

Properties    

• The  point-‐slope  form  is:    

                               y − y

1=m(x − x

1)  

 • The  slope  is  the  value  “m”  and  the  

given  point  is      (x

1,  y1)  

Example    slope  =    point  =  

Example    

slope  =    point  =  

 

 

Point-‐Slope  Form  

Linear  and  Exponential  Relationships  

 

  18  

 Definition    Simple  interest  is  a  calculation  that  only  pays  interest  on  the  original  amount  of  money  (called  the  principal).    The  formula  is:    i = Prt    

Properties    

• In  the  formula:  o i  =  the  interest  o P  =  the  principal  (money)  o r  =  the  interest  rate  as  a  

decimal  o t  =  the  time  in  years  

Example    P  =    r  =    t  =  

Example    

P  =    r  =    t  =  

   Definition    Compound  interest  is  a  calculation  that  pays  interest  on  the  original  amount  of  money  (called  the  principal)  and  any  additional  interest  already  earned.    The  formula  is:      A = P(1+ r)

t      

Properties  • In  the  formula:  

o A  =  the  amount  of  money  in  the  account  after  t  years  

o P  =  the  principal  (original  amount  of  money)  

o r  =  the  annual  interest  rate  as  a  decimal  

o t  =  the  time  in  years  

Example    P  =    r  =    t  =  

Example    P  =    r  =    t  =  

 

Compound  Interest  

Simple  Interest  

  19  

Definition    A  function  creates  an  In-‐Out  table  with  only  one  Out  for  every  In.    This  means  that  any  vertical  line  intersects  the  graph  of  a  function  at  exactly  one  point  (i.e.  the  vertical  line  test).  

Properties    

• Functions  can  be  represented  as  a  graph,  table,  set  of  ordered  pairs,  a  rule,  or  a  situation  

• A  function  cannot  have  the  same  input  paired  with  two  different  outputs  

Examples  

 Nonexamples  

   

   Definition    A  graph,  as  read  from  left  to  right  using  horizontal  axis  values,  can  have  sections  of  increasing  intervals  and/or  decreasing  intervals.    Interval  notation  uses  parentheses  when  a  value  is  approached  but  not  reached  and  brackets  when  a  value  is  included.  

Properties    

• In  interval  notation:  o  (2,  ∞)  means  from  two  up  to  

infinity  o  [−3,  4]  means  from  -‐3  to  4  

including  both  values  o  (−∞,  6]  means  from  very  

small  up  to  and  including  6                                

Example  

   

Example  

   

 

Function  Basics  

Increasing  and  Decreasing  Intervals  

  20  

 Definition    The  domain  is  the  set  of  numbers  used  as  inputs  on  the  left  side  of  an  In-‐Out  table.      The  range  is  the  set  of  numbers  used  as  outputs  on  the  right  side  of  an  In-‐Out  table.    

Properties    

• The  domain  is:  o the  horizontal  axis  values  o related  to  the  independent  

variable  • The  range  is:  

o the  vertical  axis  values  o related  to  the  dependent  

variable  

Example  (graph)  

 Example  (rule  and  table)  

   

   Definition    A  graph,  when  read  from  left  to  right,  can  have  high  points  and/or  low  points.  

Properties    

• Maximum  values  (i.e.  maxima)  are  points  that  sit  on  a  “hilltop”  of  a  graph  

• Minimum  values  (i.e.  minima)  are  points  that  sit  on  a  “valley  floor”  of  a  graph  

Example  (graph)  

   

Example  (table)  

   

 

Maximum  and  Minimum  Values  

Domain  and  Range  

  21  

 Definition    A  translation  is  a  transformation  that  slides  an  object  a  certain  distance  in  a  given  direction.  

Properties    

• The  original  object  and  its  translation  have  the  same  size  and  shape  

• Notation  on  the  coordinate  grid:  o e.g.      (x,  y)→ (x + 5,  y − 3)  

makes  every  x  value  5  larger  and  every  y  value  3  smaller  

Example    Graph  a  triangle  and  translate  it  using  

   (x,  y)→ (x −2,  y + 3)  

   

   Definition    A  reflection  is  a  transformation  that  flips  an  object  over  some  line  (called  the  line  of  reflection).  

Properties    

• Each  point  of  the  original  figure  (pre-‐image)  has  an  image  that  is  the  same  distance  from  the  line  of  reflection  but  on  the  opposite  side  

Example:  Diagram  (triangle)      pre-‐image  

 

   

 

Reflection  

Translation  

  22  

 Definition    A  rotation  is  a  transformation  that  turns  a  figure  about  a  fixed  point  (called  the  center  of  rotation).        

Properties    

• The  figure  and  its  rotation  are  the  same  size  and  shape  

• The  angle  of  rotation  measures  the  amount  of  turn  from  the  figure  and  its  rotation  

• The  turn  can  be  clockwise  or  counterclockwise  

Example:    Graph  a  triangle    Rotate  the  triangle    90!  counterclockwise  about  the  origin    

 

   Definition    In  any  right  triangle,  the  sum  of  the  squares  of  the  lengths  of  the  legs  is  equal  to  the  square  of  the  length  of  the  hypotenuse.        

Properties    

• This  is  only  true  for  right  triangles  • Diagram:  

Example:  Graph  a  right  triangle    Determine  the  lengths  of  each  side:                  

Example:  Graph  two  points    

Determine  the  distance  between  the  points:  

 

Pythagorean    Theorem  

Rotation  

  23  

Definitio    PARALLEL  LINES:    Lines  whose  graphs  never  intersect  (i.e.  they  never  cross)      PERPENDICULAR  LINES:  Lines  whose  graphs  intersect  and  form  900    right  angles  

Properties    

• Parallel  lines  have  the  same  slope                              e.g.  6  and  6  

• Perpendicular  lines  have  slopes  that  are  negative  reciprocals  of  each  other  

                           e.g.      

3

4  and  −

4

3  

Example  of  parallel    Graph      line  b :  y = 2x − 3,  line  c :  y = 2x +1  

Example  of  perpendicular    

Graph      line  e :  y = −3x + 4,  line   f :  y =

1

3x +1  

   Definition    A  quadrilateral  is  any  four-‐sided  figure.  

Diagrams  for  the  common  types:      

• Trapezoid  (one  set  of  parallel  sides)        

• Parallelogram  (two  sets  of  parallel  sides)  

 • Rectangle  (a  parallelogram  with  four  

right  angles)        

• Rhombus  (a  parallelogram  with  four  congruent  sides)  

       

   

• Square  (a  rhombus  with  four  right  angles)  

 

Parallel  and  Perpendicular  Lines  

Quadrilaterals  

  24  

 Definition    Line  symmetry  occurs  when  two  halves  of  a  figure  mirror  each  other  across  a  line  (called  the  line  of  symmetry).    Rotational  symmetry  occurs  when  a  figure  has  a  center  point  around  which  the  figure  is  rotated  a  number  of  degrees  and  the  figure  looks  the  same.  

Properties    

• A  line  that  reflects  a  figure  onto  itself  is  called  a  line  of  symmetry  

 • A  figure  that  can  be  carried  onto  

itself  by  a  rotation  is  said  to  have  rotational  symmetry  

Example:  Line  symmetry    The  capital  letter  H:  

Example:  Rotational  symmetry    The  capital  letter  H:  

   Definition    Figures  are  congruent  if  they  have  exactly  the  same  shape  and  the  same  size.  

Properties    

• Congruent  figures  are  duplicates  of  one  another  

• Congruent  polygons  have  corresponding  sides  equal  in  length  and  corresponding  angles  equal  in  degree  

Example:  Congruent  triangles    

 ΔABC ≅ ΔDEF      

   

 

Congruence  

Symmetry  

  25  

 Definition    Figures  are  similar  if  they  have  the  same  shape  but  not  the  same  size.    

Properties    

• Similar  polygons  have  corresponding  angles  that  are  congruent  

• Similar  polygons  have  the  ratio  of  their  corresponding  sides  in  proportion  

Example:  Similar  triangles    

 ΔABC ∼ ΔDEF  

   

   Definition    Many  figures  in  geometry  use  special  notation.  

Notation    

• Segment  (a  fixed  length)        

• Ray  (continues  in  one  direction)  

Notation    

• Line  (continues  in  opposite  directions)  

     

• Angle  (the  joining  of  two  rays)        

Notation    

• Triangles  (equal  markings  implies  congruence)  

 

Notation  

Similar  Figures  

 

  26  

Definition    Triangles  are  congruent  if  they  have  the  exact  same  shape  and  size.    With  limited  information,  two  triangles  can  be  shown  to  be  congruent.    

Methods  to  show  two  triangles  congruent    

• ASA  (angle  –  side  –  angle)  

 • SAS  (side  –  angle  –  side)  

       

• SSS  (side  –  side  –  side)          

     

• AAS  (angle  –  angle  –  side)  

   Definition    A  bisector  divides  an  object  into  two  equal  parts.                

Properties    

• An  angle  bisector  divides  the  angle  into  two  equal  halves  

• A  perpendicular  bisector  of  a  line  segment  intersects  the  segment  at  a  right  angle  and  divides  the  segment  into  two  equal  halves  

Example    

Example      

Bisector  

Triangle  Congruence  

  27  

Definition    The  distance  formula  calculates  the  length  of  a  segment  using  the  coordinates  of  the  endpoints.    Here  is  the  formula:    

   d = (x

2− x

1)2 + (y

2− y

1)2  

 

Properties    

• The  formula  uses  the  endpoints  

   (x

1,y

1)  and  (x

2,y

2)    

• The  formula  is  a  coordinate  geometry  way  of  using  the  Pythagorean  Theorem  

Example        

Example  

   Definition    A  vertical  translation  slides  the  graph  of  a  function  vertically  upward  or  downward.                

Properties    

• A  vertical  translation  of  f(x)  is  written  as  f(x)  +  k  

• If  k  >  0,  the  graph  slides  upward  • If  k  <  0,  the  graph  slides  downward  • If  g(x)  is  a  vertical  translation  of  f(x),  

then  the  translation  form  of  g(x)  is  written  as  g(x)  =  f(x)  +k  

Example    

Example      

Vertical  Translation  

Distance  Formula  

  28  

Definition    A  histogram  displays  data  as  bars  along  a  horizontal  axis.    The  vertical  axis  is  scaled  to  show  the  frequencies  of  each  interval.      

Properties    

• The  scale  on  the  horizontal  axis  shows  the  intervals  of  the  data  

• The  bars  are  rectangular  and  touch  from  interval  to  interval  

Example:  Ask  20  students  for  the  season  of  their  birthday    Spring:  3/21-‐6/20    Summer:  6/21-‐9/20    Fall:  9/21-‐12/20    Winter:  12/21-‐3/20    

     

 

   Definition    Measures  of  central  tendency  give  information  about  a  set  of  data.    The  measures  are  mean,  median,  and  mode.    If  a  set  of  data  is  labeled  X,  the  mean  of  this  set  

is  labeled    X  and  is  called  “X  bar”.    

The  measures    

• Mean  (average):  the  sum  of  the  data  set  divided  by  the  number  of  data  

• Median:  the  middle  value  when  the  data  are  in  numerical  order  

• Mode:  the  value  that  appears  most  in  the  data  set  

Example  (test  scores)    Data:  80,  75,  90,  95,  65,  65,  80,  85,  70,  100    

             

   

   

Histogram  

Measures  of  Central  Tendency  

 

  29  

Definition    A  box  and  whiskers  plot  uses  five  numbers  to  display  information  about  the  data:  minimum,  maximum,  median  (second  quartile),  first  quartile,  and  third  quartile.    Using  a  number  line  containing  these  numbers,  place  a  dot  above  the  line  for  each  number  and  box  all  quartiles  and  extend  whiskers  to  the  minimum  and  maximum  vales.    

Properties    

• The  median  separates  the  data  into  two  parts  and  gives  the  second  quartile  

• The  first  quartile  is  the  median  of  the  lower  half  of  the  data  

• The  third  quartile  is  the  median  of  the  upper  half  of  the  data  

Example  (test  scores)    Data:  80,  75,  90,  95,  65,  65,  80,  85,  70,  100  

Example  

   Definition    Data  distribution  refers  to  the  shape,  center,  and  spread  of  data.    Data  modes  can  be  uniform  (no  obvious  mode),  unimodal  (one  main  peak),  bimodal  (two  main  peaks),  or  multimodal  (many  peaks)    Data  that  are  close  together  have  low  variability.    Sometimes  a  center  value  best  describes  the  data  set.  

 

Properties    

• Data  skewed  to  one  side  leaves  a  tail  on  that  side  (e.g.  skewed  left  has  a  tail  on  the  left)  

• Outliers  are  values  that  stand  away  from  the  set  

• A  normal  distribution  is  unimodal  and  symmetric  

Diagrams          Normal  Distribution                  Skewed  Right  

                       Bimodal                                                Skewed  Left  

Data  Distribution    

Box  and  Whiskers  Plot  

  30  

Definition    A  scatterplot  is  a  graph  comparing  two  sets  of  data.        

Properties    

• Do  not  connect  the  points  in  a  scatterplot  

• The  data  can  show  a  positive  correlation,  negative  correlation,  or  no  correlation  

Examples  of  correlation                          Positive                                          Negative    

                                                             No  Correlation  

   Definition    A  two-‐way  frequency  table  is  a  visual  representation  of  the  possible  relationships  between  two  sets  of  categorical  data.    The  categories  are  labeled  on  the  top  and  left  side  with  data  in  the  middle  cells  and  totals  in  the  bottom  row  and  right  column.        

Properties    

• Entries  in  the  body  (middle)  of  the  table  are  called  joint  frequencies  

• Entries  in  the  “totals”  cells  for  any  row  or  column  (except  the  grand  total  cell)  are  called  marginal  frequencies  

Example    Of  60  males,  21  wanted  an  SUV  while  the  rest  wanted  a  sports  car.    Of  180  females,  45  wanted  a  sports  car.  

   

Two-‐Way  Frequency  Table  

 

Scatterplot    

  31  

Definition    When  a  two-‐way  frequency  table  displays  data  as  percentages  instead  of  frequency  counts,  the  table  is  called  a  relative  frequency  table.    The  inner  values  as  a  percent  are  called  conditional  frequencies.    

Properties    

• A  Relative  Frequency  of  Row  Table  uses  row  totals  to  calculate  percentages  

• A  Relative  Frequency  of  Column  Table  uses  column  totals  to  calculate  percentages  

• A  Relative  Frequency  Table  uses  whole  table  totals  to  calculate  percentages  

Example    Of  60  males,  21  wanted  an  SUV  while  the  rest  wanted  a  sports  car.    Of  180  females,  45  wanted  a  sports  car.      

   

 

   Definition    A  line  of  best  fit  is  a  straight  line  that  best  represents  the  data  of  a  scatterplot.    This  line  may  pass  through  some  or  none  of  the  points.            

Properties    

• Lines  of  best  fit  are  also  called  trend  lines  

• Technology  uses  regression  techniques  to  determine  a  line  of  best  fit  called  a  regression  line  

Example    

Example      

Line  of  Best  Fit    

Relative  Frequency  Table  

 

  32  

Definition    The  correlation  coefficient  is  a  value  that  indicates  how  well  a  model  fits  a  particular  set  of  data.    Positive  values  describe  positive  association  (similar  to  slope)  while  negative  values  describe  negative  association.    

Properties    

• The  coefficient  is  designated  by  the  letter  r  

• The  coefficient  falls  into  the  range      −1≤ r ≤1  

• If  r  is  close  to  1  or  -‐1  the  model  is  a  good  linear  fit  while  if  r  is  close  to  zero  the  model  is  a  weak  linear  fit  

Examples                        r  =  0.832                                        r  =  -‐  0.0121          

   

                           r  =  -‐  0.9998                                r  =  0.54  

   Definition    A  residual  plot  shows  how  far  the  actual  data  are  from  the  regression  line.    Residual  values  can  be  positive,  negative,  or  zero.              

Properties    

• A  point  above  the  regression  line  gives  a  positive  residual  value  

• A  point  below  the  regression  line  gives  a  negative  residual  value  

Example  of  plot    

Example  of  plot    

   

Residual  Plot    

Correlation  Coefficient  

 

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