MATEMATIKA INDUKCIJA UVOD
U nauci postoje dva osnovna naina zakljuivanja: dedukcija (lat. deduction-izvoenje) i indukcija (lat. induction-uvoenje). Deduktivni nain razmišljanja bazira se na pronalaenju opštih rešenja pomou kojih rešavamo pojedinane probleme. Za razliku od dedukcije, indukcija je zakljuivanje kojim se iz stavova koji se odnose na ogranien broj pojedinanih sluajeva iste vrste izvodi jedan opšti stav, tj. stav koji se odnosi na sve sluajeve te vrste. Ovakav metod zakljuivanja takoe se naziva i nepotpuna ili empirijska indukcija. Ovom metodom moe se doi kako do tanih tako i do netanih zakljuaka (ili do zakljuaka koji su tani samo za odreen broj sluajeva). Uprkos tome, indukcija je izuzetno znaajna u eksperimentalnim prirodnim naukama gde je dovela do mnogih znaajnih saznanja. Nepotpuna indukcija u matematici pomae da se otkrije neka injenica, koju zatim treba i dokazati, npr. matematikom indukcijom.
Metod matematike indukcije je poseban metod matematikog dokazivanja koji nam ne dozvoljava da donosimo zakljuke o opštem pravilu na osnovu pojedinanih sluajeva, bez odreenih dokaza.
Znaaj sinteze indukcija-dedukcija dobro je formulisao ruski matematiar A. J. Hinin (1894-1959) ija misao glasi:
“Onaj koji praktikuje indukciju ne odevajui se u formalna pravila (tj. ne vršei njenu sintezu sa deduktivnom formom), prestaje da bude matematiar; on se bavi empirijskim uopštavanjem bez ikakve veza sa matematikom naukom. Obratno, vršei dedukciju neoploenu induktivnim sadrajem, matematiar prestaje da stvara zato što bez elementarne indukcije, tj. bez dobijanja opštih zakljuaka na osnovu pojedinanog materijala, nema i ne moe biti naunog stvaralaštva. Nauka poinje tamo gde po prvi put sreemo uopštenje.”
MATEMATIKA INDUKCIJA
Pri strogom zasnivanju teorije brojeva aksioma prirodnih brojeva koju nazivamo aksiomom matematike indukcije osnova je jednog karakteristinog rasuivanja u matematici koje nazivamo metod matematike indukcije. Ta aksioma glasi ovako:
Ako je A podskup skupa N sa osobinom:
1)
A
Î
1
je oznaka za funkciju sledbenik)
Ovo tvrenje prua mogunost za dokazivanje velikog broja tvrenja koja se odnose na prirodne brojeve.
Metod matematike indukcije, esto nazivan i principom matematike indukcije, sastoji se u sledeem:
Neka je
n
. Tada je on taan za sve prirodne brojeve ako su ispunjeni uslovi:
a)
N
n
Î
)
(
)
(
))]
Ako je tano
)
U matematikoj praksi se upotrebljavaju izvesni nazivi za delove formule
ind
)
)
(
u ovoj implikaciji naziva indukcijska hipoteza (pretpostavka).
)
(
)
(
Ako se ne provere oba uslova, mogu nastati greške, npr.
2
)
Þ
n
P
n
P
oigledno nije tana. eša greška je da se ne dokae baza, a dokae se samo indukcijski korak, npr.
1
2
1
.
Princip matematike indukcije se suštinski razlikuje od tzv. empirijske indukcije koja se sastoji u posmatranju ili eksperimentisanju, naješe u prirodnim naukama. Ovakvo rasuivanje ima svoju primenu i u matematici jer je pomou njega otkriveno, a kasnije dokazano više vanih stavova, ali ponekad moe dovesti i do formulacija tvrenja za koje se pokazuje da su pogrešna.
Tako je npr. uveni francuski matematiar Pjer Ferma posmatrajui brojeve
1
2
2
1
2
2
1
2
5
2
n
p
.
Empirijskom indukcijom, kao što je ve reeno, mogu se naslutiti neke fornule (jednakosti, nejednakosti i slino) koje zavise od prirodnog broja
n
, a metod matematike indukcije omoguuje da u mnogim sluajevima utvrdimo da li je postavljena hipoteza tana ili nije.
Princip matematike indukcije nije dokazan ve detaljno objašnjen. Izvešemo sada jedan dokaz principa matematike indukcije, dokazujui uz put jedno pomono svojstvo prirodnih brojeva, tzv. princip najmanjeg broja:
Teorema 1
Dokaz:
}
)
(
|
{
Prvi uslov
C
Î
1
sledi iz pretpostavke da A nema najmanji element i da je 1 najmanji u skupu N.
Pretpostavimo da je
C
n
s
Î
)
(
bi bio najmanji u A, što protivrei pretpostavci da u A ne postoji najmanji element.
Znai
N
C
=
. Odavde sledi da je A prazan skup što je u kontradikciji sa pretpostavkom.
Vratimo se sada na dokaz principa matematike indukcije.
Pretpostavimo da su
),...
(
),...,
n
P
P
P
)
(
)
(
1
m
P
tano, što je u suprotnosti sa b). Time je dokaz završen.
Drugi oblici primene matematike indukcije
Regresivna indukcija
1.
n
)
n
n
a
a
a
a
EMBED Equation.3
+
+
+
.
1. Najpre matematikom indukcijom po k dokazujemo da tvrenje vai za sve prirodne brojeve oblika
k
n
k
1
{
}
,...
.
2. Pretpostavimo sada da je nejednakost tana za neki prirodan broj
n
1
Primetimo da u datoj nejednakosti (za
2
³
n
n
a
a
a
Rekurentna indukcija
)
(
),...,
n
ka
1
k
)
(
)
(
))
Primer 1.
Ako je
1
Transfinitna indukcija
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
n
ispunjeno
2
³
n
1. Za
2. Neka je
n
k
n
2
1
k
k
n
1
k
i
2
k
vai indukcijska pretpostavka, pa su oni prosti ili proizvod prostih brojevai i u tom sluaju je i
2
1
k
k
n
)
)
(
)
(
)
(
),...,
N
n
Î
.
Tanost ovog principa se ogleda u tome da primenjujui induktivni korak redom na brojeve
k
1
,... za koje tvrenje vai zbog 1. dobijamo da tvrenje vai i za
k
k
k
2
k
k
k
3
Primer 1
5
³
n
gradova moe povezati jednosmernim autobuskim linijama, takvim da se iz svakog grada moe stii u svaki drugi sa najviše jednim presedanjem.
Dokaimo najpre tvrenje za
n
postoji mrea autobuskih linija koje zadovoljavaju uslove zadatka. Uzmimo sada
2
n
grada. Izdvojimo iz tog skupa bilo koja dva grada A i B. Preostalih
n
gradova moemo povezati na eljeni nain, po pretpostavci. Dodavši gradove A i B, mreu jednosmernih linija dopunjujemo na sledei nain: Napravimo liniju od A ka B, zatim, jednosmerne linije od B do svakog od preostalih
n
n
gradova do A. Takva mrea zaista zadovoljava uslove zadatka jer: od A se moe doi do B direktnom linijom, a u bilo koji od preostalih
n
gradova preko B; iz B se moe stii u bilo koji grad direktnom linijom, osim u grad A, u koji se moe stii preko bilo kog od preostalih
n
n
gradova moe se stii do A direktnom linijom, do B sa jednim presedanjem preko grada A, a oni po pretpostavci poseduju mreu autobuskih linija po kojoj se iz svakog grada iz tog skupa moe stii u bilo koji drugi sa najviše jednim presedanjem.
Zakljuujemo da za bilo koji broj gradova
5
³
n
Primena indukcije u geometriji
Izraunavanje pomou indukcije
Najprirodniji nain upotrebe indukcije u geometriji ustvari onaj najblii upotrebi indukcije u teoriji brojeva u algebri, a to je rešavanje raunskih problema u geometriji.
Primer: Dokaimo da je zbir unutrašnjih uglova u konveksnom n-touglu jednak
o
180
o
180
o
(svaki etvorougao se moe podeliti na dva trougla (sl. 2a)).
a) b)
sl. 2.
2. Pretpostavimo da vai da je zbir unutrašnjih uglova bilo kog m-tougla (m<n) jednak
o
180
.Posmatrajmo sada n-tougao A1,A2,...,An.
Pre svega treba dokazati da se svaki poligon moe podeliti dijagonalom na dva poligona sa manjim brojem strana (za konveksni poligon moemo uzeti bilo koju dijagonalu). Neka su A, B, C bilo koja tri susedna temena poligona, a kroz teme B povlaimo sve mogue krake popunjavajui unutrašnjost ugla
ABC
Ð
. Postoje dva mogua sluaja:
a) Svi zraci presecaju jednu istu stranu poligona (sl. 3a)). U ovom sluaju dijagonala AC deli n-tougao na (n-1)-ugaonik i trougao.
b) Ne seku svi zraci jednu istu stranu poligona (sl. 3b)). U ovom sluaju jedan od zraka e proi kroz odreeno teme M tog poligona, a dijagonala BM e podeliti poligon na dva poligona, svaki sa manje strane nego prvobitni poligon.
a) b)
sl. 3.
Vratimo se sada dokazu glavnog problema. Uzmimo dijagonalu A1Ak u n-touglu A1A2...An koji deli n-tougao na k-tougao A1A2...Ak i (n-k+2)-tougao A1AkAk+1...An. Po pretpostavci zbir uglova u k-touglu i (n-k+2)-touglu jednak je redom (k-2)
o
180
o
o
o
180
3
³
Dokazivanje pomou indukcije
Matematika indukcija se takoe moe koristiti u dokazima nekih teorema u geometriji. Prethodni primer se takoe moe posmatrati kao dokaz pomou indukcuje (teorema o zbiru unutrašnjih uglova u n-touglu).
Sada emo videti još nekoliko primera dokaza pomou indukcije.
Primer1:
Dato je n proizvoljnih kvadrata.Dokazati da je mogue isei ih na takav nain, da se od svih iseenih delova moe sastaviti novi kvadrat.
1. Za n=1 ne treba dokaz. Dokaimo da pretpostavka vai za n=2.
Oznaimo duine stranica kvadrata ABCD sa x i A1B1C1D1 sa y i neka je x
³
y. Na stranicama kvadrata ABCD (sl. 4a)), oznaimo take M, N, P, Q.tako da je AM=BN=CP=DQ=
2
y
x
+
'
a) b)
sl. 4.
2. Pretpostavimo da je mogue od n kvadrata seenjem dobiti jedan nov. Treba dokazati da to vai za n+1 kvadrat (K1, K2, ..., Kn+1).
'
'
dobiti jedan nov, što je i trebalo dokazati.
Ovim smo dokazali da se od bilo koliko kvadrata seenjem i spajanjem moe dobiti jedan veliki kvadrat.
a)
b)
sl. 5.
Primer 2:
Dat je trougao ABC sa n-1 pravih CM1, CM2, ..., CMn-1, povuenim kroz teme C, koje dele trougao na n manjih trouglova ACM1, M1CM2, ..., M1CB.Oznaimo sa r1, r2, ..., rn i q1, q2, ..., qn redom poluprenike upisanih i spolja upisanih krugova (svi spolja upisani krugovi su upisani u okviru ugla C (sl. 5a)) i neka su r i q poluprenici upisanog i spolja upisanog kruga trougla ABC. Dokazati:
q
r
q
r
q
r
q
r
n
n
2
2
1
1
. Oznaimo sa P površinu trougla ABC, sa s poluobim; tada je
r
s
P
×
=
. Sa druge strane, ako je O centar spolja upisanog kruga ovog trougla (sl. 5b)), tada je
q
c
s
a
c
b
q
q
c
q
a
q
b
P
P
P
P
OAB
OCB
AOC
2
n
. U ovom sluaju trougao ABC je podeljen pravom CM na dva manja trougla ACM i CMB.
Pomou formule (1) dobijamo:
.
2.Pretpostavimo da smo dokazali da teorema vai za n-1 pravu i da imamo n pravih
n
CM
CM
CM
CB
M
CM
M
ACM
n
1
ACM
i
2
1
CM
M
12
12
2
2
1
1
q
r
q
r
q
r
2
ACM
KONSTRUKCUJA POMOU INDUKCIJE
Metod matematike indukcije se moe koristiti za rešavanje konstrukcijskih problema pod uslovom da kao argument u problemu figuriše proizviljan prirodan broj (na primer problem konstrukcije n-tougla). Na sledeem primeru emo videti nain na koji se koristi indukcija u konstrukciji.
Primer: Dato je 2n+1 taaka. Konstruisati (2n+1)-ugaonik, kod koga su date take središta stranica.
1. Za n=1 problem se svodi na konstrukciju trougla. Ovaj problem se lako rešava. Povuemo pravu kroz svaku taku, tako da ona bude paralelna pravoj koja prolazi kroz druge dve take.
2. Pretpostavimo da moemo konstruisati (2n-1)-ugaonik ako su data središta njegovih stranica i neka je dato 2n+1 taaka
1
2
2
1
1
2
2
1
+
-
je ustvari paralelogram (da bi to dokazali dovoljno je povui dijagonalu
n
X
X
2
1
1
2
2
1
2
n
n
A
AA
A
n
2
1
2
1
2
n
X
X
X
, koji se po pretpostavci moe konstruisati. Sada treba odrediti još samo temena
n
X
2
i
1
2
1
X
i
1
2
1
2
1
Primer: Definicija središta dui i teišta n-tougla
1. Središte dui emo nazvati teištem.(sl. 7a))
a) b)
sl. 6.
sl. 7.
3
2
1
A
A
A
onda se mogu definisati kao dui koje spajaju temena trougla sa teištima suprotnih stranica. Kao što znamo teišne dui u trouglu seku se u jednoj taki koja deli svaku teišnu du u odnosu 2:1. Ta taka naziva se teištem trougla.
Definišimo sada teišne dui etvorougla
4
3
2
1
A
A
A
A
4
3
2
1
O
O
O
O
) trouglova koje sainjavaju ostala tri temena. Dokaimo sada da se sve teišne dui seku u jednoj taki koja ih deli u odnosu 3:1. Neka je
S
O
O
A
A
OO
OA
OO
OA
. Znai svake dve susedne teišne dui seku se u odnosu 3:1. Odatle sledi da se sve teišne dui etvorougla seku u jednoj taki koja ih deli u odnosu 3:1. Ta taka se zove teištem etvorougla.
2. Pretpostavimo da smo za svako
n
k
<
definisali teišne dui k-tougla kao dui koje spajaju temena tog k-tougla sa teištem (k-1)-tougla, koji sainjavaju preostalih
1
n
k
definisali teište k-tougla kao presenu taku njegovih teišnih dui. Takoe emo pretpostaviti da za svako
n
k
teište deli teišne dui k-tougla u odnosu (k-1):1.
Definišimo sada teišne dui n-tougla kao dui koje spajaju teme sa teištem (n-1)-tougla .Dokaimo sada da se sve teišne dui seku u jednoj taki koja ih deli u odnosu (n-1):1. Neka je
S
1
1
1
1
1
1
.
Pošto se svake dve susedne dui n-tougla seku u taki koja ih deli u odnosu (
1
n
):1, sledi da se sve teišne dui seku u istoj taki. Tu taku nazivamo teištem n-tougla.
Zakljuujemo da naša definicija teišnih dui i teišta n-tougla vai za svako n.
sl. 8.
Matematika indukcija je veoma znaajna metoda koja zbog svoje matematike strogosti uvek dovodi do tanih zakljuaka. Usavršavajui se i uobliavajui kroz vekove matematika indukcija je tek krajem devetnaestog veka nakon definisanja skupa prirodnih brojeva preko Peanovih aksioma kompletno formirana i jasno definisana.
Teško je i zamisliti šta bi matematika bila bez matematike indukcije. Poevši od najjednostavnijih elementarnih problema vezanih za prirodne brojeve pa do sloenih problema iz teorije matematike mnogi se mogu svesti na matematiku indukciju.
Istorijat matematike indukcije
Teško je sa sigurnošu utvrditi ko je prvi precizno iskazao princip matematike indukcije. Tragovi dokazivanja pomou potpune indukcije mogu se nai u spisima Zenona, Platona i Euklida.
A.Ostrowski navodi da je Levi Ben Gerson (1288-1344) 1321. godine prvi precizno iskazao princip matematike indukcije.
Kao pronalazai matematike indukcije navode se takoe i F. Maurolico (1494-1575), J. Bornouli(1645-1705), ali prema novijim prouavanjima izgleda da nejviše zasluga za jasno formulisanje principa matematike indukcije ima B. Pascal (1623-1662). Kao što se vidi princip matematike indukcije poznat je ljudime mnogo vekova unazad.
LITERATURA
4.M.Boi, S.Vuli:Matematika logika sa elementima opšte logike
5.D.Lopandi:Zbirka zadataka iz osnova geometrije
www.maturski.org
PAGE
3
_1240345181.unknown
_1241082262.unknown
_1241093896.unknown
_1241100502.unknown
_1241100917.unknown
_1241101561.unknown
_1242061915.unknown
_1242231513.unknown
_1242231530.unknown
_1242391175.unknown
_1242065765.unknown
_1242215084.unknown
_1242063058.unknown
_1241106618.unknown
_1241107151.unknown
_1241107379.unknown
_1241107482.unknown
_1241107823.unknown
_1242061323.unknown
_1241107618.unknown
_1241107442.unknown
_1241107267.unknown
_1241107338.unknown
_1241107213.unknown
_1241106709.unknown
_1241106950.unknown
_1241107020.unknown
_1241106685.unknown
_1241106323.unknown
_1241106440.unknown
_1241106566.unknown
_1241106397.unknown
_1241102203.unknown
_1241102606.unknown
_1241101769.unknown
_1241102062.unknown
_1241101233.unknown
_1241101401.unknown
_1241101524.unknown
_1241101290.unknown
_1241101129.unknown
_1241101195.unknown
_1241101032.unknown
_1241100714.unknown
_1241100818.unknown
_1241100901.unknown
_1241100780.unknown
_1241100601.unknown
_1241100645.unknown
_1241100538.unknown
_1241094694.unknown
_1241095811.unknown
_1241096148.unknown
_1241100483.unknown
_1241096113.unknown
_1241095603.unknown
_1241095694.unknown
_1241095267.unknown
_1241094157.unknown
_1241094252.unknown
_1241094310.unknown
_1241094454.unknown
_1241094211.unknown
_1241094090.unknown
_1241094141.unknown
_1241094067.unknown
_1241087716.unknown
_1241091769.unknown
_1241092023.unknown
_1241092298.unknown
_1241093789.unknown
_1241092222.unknown
_1241091890.unknown
_1241091963.unknown
_1241091838.unknown
_1241091425.unknown
_1241091575.unknown
_1241091637.unknown
_1241091541.unknown
_1241091172.unknown
_1241091315.unknown
_1241087841.unknown
_1241083870.unknown
_1241085852.unknown
_1241086429.unknown
_1241086570.unknown
_1241085932.unknown
_1241085749.unknown
_1241085834.unknown
_1241083942.unknown
_1241083351.unknown
_1241083605.unknown
_1241083731.unknown
_1241083449.unknown
_1241082499.unknown
_1241082660.unknown
_1241082337.unknown
_1240585606.unknown
_1240594048.unknown
_1240594250.unknown
_1240600812.unknown
_1241082062.unknown
_1241082110.unknown
_1241081534.unknown
_1240594803.unknown
_1240595142.unknown
_1240594264.unknown
_1240594169.unknown
_1240594223.unknown
_1240594239.unknown
_1240594210.unknown
_1240594139.unknown
_1240594155.unknown
_1240594065.unknown
_1240593039.unknown
_1240593918.unknown
_1240594020.unknown
_1240594034.unknown
_1240593932.unknown
_1240593826.unknown
_1240593905.unknown
_1240593357.unknown
_1240589828.unknown
_1240591246.unknown
_1240591300.unknown
_1240590900.unknown
_1240591122.unknown
_1240590405.unknown
_1240585806.unknown
_1240586067.unknown
_1240585707.unknown
_1240347245.unknown
_1240583521.unknown
_1240584047.unknown
_1240584376.unknown
_1240585448.unknown
_1240584154.unknown
_1240583801.unknown
_1240583925.unknown
_1240583727.unknown
_1240583185.unknown
_1240583376.unknown
_1240583446.unknown
_1240583240.unknown
_1240583114.unknown
_1240583132.unknown
_1240347370.unknown
_1240346285.unknown
_1240346612.unknown
_1240347016.unknown
_1240347185.unknown
_1240346962.unknown
_1240346401.unknown
_1240346446.unknown
_1240346353.unknown
_1240345477.unknown
_1240346134.unknown
_1240346227.unknown
_1240346035.unknown
_1240345307.unknown
_1240345325.unknown
_1240345234.unknown
_1240331351.unknown
_1240340967.unknown
_1240342992.unknown
_1240344206.unknown
_1240344881.unknown
_1240345111.unknown
_1240345159.unknown
_1240344989.unknown
_1240344723.unknown
_1240344807.unknown
_1240344537.unknown
_1240343877.unknown
_1240344001.unknown
_1240344061.unknown
_1240343927.unknown
_1240343109.unknown
_1240343781.unknown
_1240343012.unknown
_1240341665.unknown
_1240342116.unknown
_1240342630.unknown
_1240342941.unknown
_1240342202.unknown
_1240341866.unknown
_1240341982.unknown
_1240341679.unknown
_1240341429.unknown
_1240341587.unknown
_1240341604.unknown
_1240341513.unknown
_1240341154.unknown
_1240341202.unknown
_1240340986.unknown
_1240336798.unknown
_1240339846.unknown
_1240340541.unknown
_1240340668.unknown
_1240340759.unknown
_1240340571.unknown
_1240340376.unknown
_1240340514.unknown
_1240340359.unknown
_1240337566.unknown
_1240339322.unknown
_1240339411.unknown
_1240339769.unknown
_1240339502.unknown
_1240339365.unknown
_1240337722.unknown
_1240339093.unknown
_1240337663.unknown
_1240337337.unknown
_1240337463.unknown
_1240337306.unknown
_1240332784.unknown
_1240333188.unknown
_1240334032.unknown
_1240336781.unknown
_1240333892.unknown
_1240332876.unknown
_1240332962.unknown
_1240332806.unknown
_1240332483.unknown
_1240332701.unknown
_1240332745.unknown
_1240332500.unknown
_1240332127.unknown
_1240332161.unknown
_1240331380.unknown
_1238922000.unknown
_1238928993.unknown
_1238929672.unknown
_1238929827.unknown
_1240331249.unknown
_1240331306.unknown
_1240331217.unknown
_1238929742.unknown
_1238929797.unknown
_1238929706.unknown
_1238929256.unknown
_1238929519.unknown
_1238929611.unknown
_1238929328.unknown
_1238929154.unknown
_1238929193.unknown
_1238929111.unknown
_1238923849.unknown
_1238928528.unknown
_1238928631.unknown
_1238928777.unknown
_1238928579.unknown
_1238924813.unknown
_1238928373.unknown
_1238923977.unknown
_1238922290.unknown
_1238922396.unknown
_1238923761.unknown
_1238922319.unknown
_1238922198.unknown
_1238922243.unknown
_1238922146.unknown
_1238919249.unknown
_1238920295.unknown
_1238920756.unknown
_1238920855.unknown
_1238920927.unknown
_1238920804.unknown
_1238920474.unknown
_1238920687.unknown
_1238920401.unknown
_1238919696.unknown
_1238919833.unknown
_1238920166.unknown
_1238919758.unknown
_1238919507.unknown
_1238919613.unknown
_1238919280.unknown
_1238917999.unknown
_1238919030.unknown
_1238919144.unknown
_1238919201.unknown
_1238919079.unknown
_1238918702.unknown
_1238918954.unknown
_1238918106.unknown
_1238917702.unknown
_1238917898.unknown
_1238917939.unknown
_1238917767.unknown
_1238917219.unknown
_1238917419.unknown
_1238916126.unknown