1

3. BRZINE PRENOSA TOPLOTE I MASE

3.1 Molekulski prenos toplote i mase

Posmatrajmo sloj nepokretnog gasa ili tečnosti ili sloj čvrstog materijala čiji krajevi tj. granične površine imaju različite temperature.

Kao rezultat spontane težnje ka uspostavljanju termičke ravnoteže dolazi do prenosa toplote u smeru od toplije prema hladnijoj površini.

U pitanju je molekulski mehanizam prenosa toplote, koji je rezultat haotičnog termičkog kretanja molekula supstance pri čemu. dolazi do prenošenja kinetičke energije u smeru u kome temperatura opada (sa bržih na sporije molekule)

Izuzetak su metali, gde su glavni prenosioci toplote slobodni elektroni.

Fluks toplote : količina toplote koja u jedinici vremena prođe kroz neku površinu S. Ako se temperatura u posmatranom medijumu menja samo u jednom koordinatnom pravcu, T = T(z)

Furijeov zakon glasi

dQ

dtS

T

zJ s= −λ ∂

∂( / ) (3.1)

S je veličina površine normalne na pravac po kome se temperatura menja (osa z). Specifični toplotni fluks ili gustina toplotnog fluksa,:

)/(1 2smJ

z

Tq

Sdt

dQ

∂∂λ−==⋅ (3.2)

Znak “-” u jedna čini (3.2) daje informaciju o smeru provođenja toplote, tj. o smeru toplotnog fluksa q, koji je ustvari vektorska veličina.Pozitivna vrednost fluksa znači da je njegov smer jednak pozitivnom smeru z - ose, a ako smo dobili negativnu vrednost fluksa, znači da je njegov smer suprotan od usvojenog pozitivnog smera z - ose (vidi sl. 3.1).

2

Posmatrajmo stacionarno provođenje toplote kroz ravan zid debljine δ, čija se jedna površina (veličine A) nalazi na temperaturi T1, a druga (iste veličine) na temperaturi T2.

sl. 3.2. Stacionarno provođenje toplote kroz zid Pretpostavimo da je λ = const. Ako unutar zida uočimo beskonačno tanak sloj debljine dz, pošto je proces stacionaran, mora biti:

qzA = qz+dz A 21, zzzconstq ≤≤=⇒

Sada možemo da integrišemo diferencijalnu jednačinu (3.2)

qdT

dz= −λ , T(z1) = T1

2111 ,)()(11

zzzzzq

TzTdTdzqT

T

z

z

≤≤−λ

−=⇒λ=− ∫∫ (3.3)

Dakle, stacionaran temperaturni profil kroz ravan zid, pri λ = const. je linearan (slika 3.2).

Dalje, iz (3.3) nakon smene z = z2 i T = T2 možemo da nađemo specifični toplotni fluks kroz

zid:

∂∂T

zq< >0 0,

3

qT T T= − − = −λ

δ δ λ2 1 ∆

/

odnosno, apsolutna vrednost fluksa je:

λδ=∆

= /, tt

RR

Tq

Analogija sa Omovim zakonom:

• Rt, - tremički otpor ,

• razlika ∆T = T2 - T1 odgovara potencijalnoj razlici,

• fluks q odgovara jačini struje.

PRIMER 3.1. Termički otpor jedinice dužine cilindrične cevi unutrašnjeg poluprečnika r1 i spoljašnjeg poluprečnika r2 pri λ = const., je :

λπ

−=s

t r

rrR

212

gde je sr rS srednji logaritamski poluprečnik:

1

2

12

lnr

rrr

rs

−= .

Ukupni fluks toplote kroz bilo koji od koaksijalnih cilindara unutar zida cevi, dužine L i poluprečnika r1 ≤ r ≤ r2 mora imati jednaku vrednost da bi se održala stacionarnost:

dQ

dt

dT

drS

dT

drrL const= − = − =λ λ π2 (W)

Fluks po jedinici cevi qL:

q rdT

drconstL = − =2π λ (W/m)

Dobićemo ga integracijom poslednje jednačine u odgovarajućim granicama:

qdr

rdT q

r

rTL

r

r

T

T

L

1

2

1

2

2 22

1∫ ∫= − ⇒ = − ⋅πλ πλln ∆

qT

r

r

Tr

r

L = − = −2

22

1

2

1

πλ∆

πλln ln / ( )

∆ ⇒

st r

rr

r

rrr

rrr

r

Rπλ−=−πλ

−=πλ

=2

ln22

ln12

1

2

12

121

2

4

Molekulski prenos mase

U nepokretnim medijumima, analogno prenosu toplote, difuzija komponenata je rezultat termičkog kretanja molekula i naziva se molekulska difuzija.

Matematičko opisivanje molekulske difuzije je znatno složenije od opisivanja provođenja toplote jer je reć o smešama više komponenata (bar dve) čiji difuzioni fluksevi utiču jedni na druge.

Uzmimo na primer najjednostavniji slučaj binarne gasne smeše komponenata A i B. Ako postoji promena koncentracije komponente A u pravcu z, mora da postoji i promena koncentracije komponente B, jer pri datom pritisku ukupan broj molekula u jedinici zapremine mora u celom sistemu biti konstantan. Tako, pošto je: CA + CB = Ctot. = const (mol/m3) važi

dC

dz

dC

dzA B= − (3.5)

pa difunduju obe komponete i to u suprotnim smerovima.

Gustina difuzionog fluksa komponente A u pravcu ose z pri izotermskim uslovima (temperatura je uniformna):

N DC

z

mol

smA AA= −

∂∂ 2

(3.6) (Fikov zakon)

Koeficijent DA (m

2/s) se naziva molekulski koeficijent difuzije i u opštem slučaju zavisi od koncentracije, pritiska i temperature. Kao i za koeficijent provodljivosti, za izračunavanje difuzionog koeficijenta postoje u literaturi teorijske, poluempirijske i empirijske jednačine.

Uzimajući u obzir uslov (3.5) izvodimo, uz uslov .constDA = , linearne koncentracijske profile komponenata A i B ( uz uslov , .)constDA = kao i vezu između flukseva : BABA DDNN =−= , (3.7) Opisanu difuziju u binarnom sistemu zovemo ekvimolarna suprotnostrujna difuzija . U praksi, ovaj slučaj imamo kod destilacije binarne smeše, pri kojoj lakše isparljiva komponenta difuduje iz tečnosti u paru, a teže isparljiva komponenta u suprotnom smeru.

Analogno jednačini (3.4) za difuzioni fluks NA važi:

NC

RR DA

A

DD A= =∆

, / ( . )δ 3 8

RD - difuzioni otpor

5

δ - debljina sloja kroz koji komponenta difunduje Drugi slučaj stacionarne difuzije u binarnom sistemu je kada A difunduje kroz nepokretnu komponentu B. To će biti slučaj ako je granica sistema propusna samo za komponentu A. Primer je apsorpcija komponente A u tečnosti. Zbog nestajanja komponente A u blizini granične površine gas - tečnost došlo bi do pada pritiska u toj oblasti. Da bi se pritisak održao konstantnim pojaviće se strujanje gasa prema površini. Rezultat je povećanje fluksa komponente A u odnosu na onaj koji daje Fikov zakon (3.6) i može se izvesti:

NC

CD

dC

dzAA

BA

A= − +

1 (3. 9)

Vidimo da je važnost Fikovog zakona (3.6) ograničena. Tako, on važi strogo ili približno u sledećim slučajevima (pri čemu se pretpostavlja izotermičnost):

• ekvimolarna binarna difuzija

• difuzija u razblaženim multikomponentnim sistemima tj. smešama u kojima je inertna komponenta ili rastvarač u velikom višku, u odnosu na komponentu A i druge prisutne rastvorke. Na primer u slučaju difuzije A kroz nepokretan sloj komponente B, B je inert i ako je CB >> CA relacija (3.9) postaje bliska jednačini (3.6)

• multikomponentna difuzija pri jednakim difuzionim koeficijentima svih komponenta jer tada nema međusobnog uticaja fluksova

Ako je neizotermičnost (neuniformnost temperature) jako izražena, neophodno je pri modelovanju difuzije uzeti u obzir i fenomen termodifuzije - difuzija koja nije uslovljena neuniformnošću koncentracije, tj. postojanjem koncentracijskog gradijenta već neuniformnošću temperature tj. postojanja temperaturnog gradijenta.

Analogija između fenomena prenosa Uočljva je analogija izraza za gustine flukseve toplote (Furijeov zakon), komponente

(Fikov zakon) i količine kretanja pri strujanju Njutnovskog fluida (Njutnov zakon):

)9.3()(

)9.3()(

)9.3()(

2

2

2

cmNdz

dw

bmsmoldz

dCDN

amWdz

dTq

AAA

µ−=τ

⋅−=

λ−=

τ - tangencijalni napon (fluks količine kretanja)

µ - dinamički viskozitet

w - brzina sloja, koji se kreće u pravcu normalnom na z - osu

6

Formulacije fluksova q i τ, preko koncentracija veličina koje se prenose su:

qc

d c T

dza

d c T

dzp

p p= − = −λρ

ρ ρ( ) ( ) (3.10)

ρ - gustina; cp - specifična topota a - termička difuzivnost (m2/s)

τ µρ

ρ ν ρ= − = −d w

dz

d w

dz

( ) ( ) (3.11)

ν - kinematski viskozitet (m2/s)

Za modelni sistem - binarna gasna smeša molekula A i B iste veličine i mase, za koju važi kinetička teorija, za sva tri transportna koeficijenta izvodi:

molekulaputa slobodnog duzina srednja-

brzinamolekulska srednja-w

(3.12)3

1

l

l⋅=ν== waDA

3.2 Molekulska difuzija i provo đenje toplote kroz porozni medijum. Efektivni koeficijenti pren osa Kvazihomogen matemati čki model

Dvofazni sistem fluid - čvrsto zamenjuje se kvazi - homogenim medijumom, kao da molekuli difunduju kroz celu površinu preseka bloka poroznog čvrstog materijala, S, a ne samo kroz površinu S’ koju čine površine preseka pora:

Gustina fluksa veličine

koja se prenosi

Koncentracija veličine koja se

prenosi (potencijal)

Koeficijent prenosa

prenos toplote q (W/m2) ρcpT (J/m3) a (m2/s)

prenos mase NA (mol/m2s) CA (mol/m3) DA (m2/s)

prenos kol. kretanja τ (N/m2) ρW (kg/m2s) ν (m2/s)

S’

S

S’ - ukupna površina preseka svih pora S - ukupna površina preseka bloka poroznog čvrstog materijala

7

Slika 3. 3. Presek poroznog bloka nekom površinom Fluksevi toplote i komponente kroz površinu u poroznom sistemu, normalnu na pravac provođenja toplote odnosno difuzije glase:

)(WSdz

dTSq

dt

dQ effλ−=⋅= (3.13a)

−==s

molS

dz

dCDSN

dt

dn AeffAA

A (3.13b)

S - ukupna površina preseka poroznog bloka

• Efektivni koeficijent molekulske difuzije DAeff komponente A kroz porozni medijum

je parametar, koji kad se zameni u “kvazi - homogeni” izraz za fluks komponente (3.13b), daje pravu veličinu fluksa.

• Efektivni koeficijent provođenja toplote λeff se definiše analogno

3.3 Konvektivni prenos toplote i mase. Prelaz toplo te i mase.

Molekulski transport toplote i mase je rezultat haotičnog (neuređenog) kretanja molekula u nepokretnom fluidu. Molekulski mehanizam prenosa toplote i mase je takođe važeći i pri strujanju fluida , ako je ono laminarno (slojevito), a smer fluksa normalan na smer strujanja.

U slučaju razvijenog turbulentnog strujanja fluida, prenos toplote i mase je intenzivniji nego u nepokretnom fluidu, zbog haotičnog kretanja velikih grupa ili klastera (cluster) molekula, vidljivih i golim okom, koji se zovu vrtlozi (eddy). Opisani prenos toplote i mase se naziva konvektivni prenos.

Prelaz toplote

Posmatrajmo stacionarno jednodimenziono prinudno (pod dejstvom pumpe) turbulentno strujanje fluida duž ravnog zida ili ploče vrlo velike (teorijski beskonačne) površine. Uspostavljeni brzinski profil w = w(z),

• je rezultat usporavajućeg dejstva zida na struju fluida potiskivanu pumpom, odnosno rezultat prenosa količine kretanja u pravcu normale na zid (osa z).

• ima horizontalnu asimptotu w = wf, ako zamislimo da je sloj fluida vrlo debeo.

Sloj fluida uz zid u kome brzina fluida raste od nula (u tački z = 0, tj. uz sam zid) do vrednosti 0.99wf naziva se hidrauli čni granični sloj debljine δH. Za z > δH može se smatrati da je brzina uniformna i jednaka asimptotskoj vrednosti wf, koja predstavlja brzinu turbulentne mase fluida.

8

Slika 3.4 Brzinski i temperaturni profil

Analogno, ako temperatura zida Tz i temperatura dolazećeg fluida Tf nisu jednake, kao

rezultat prenosa toplote u z - pravcu formiraće se temperaturni profil sličnog oblika, sa horizontalnom asimptotom T = Tf . U toplotnom graničnom sloju, širine δT se temperatura menja od temperature zida Tz ( z = 0) do 1.01Tf.

U laminarnom podsloju uz zid fluid struji laminarno i

• u njemu su najveće promene brzine strujanja i temperature fuida, tj. gradijenti dw

dz

dT

dzi .

• imamo molekulski mehanizam prenosa količine kretanja i toplote

• brzinski i temperaturni profili su približno linearni

U međusloju (preostalom delu graničnog sloja) imamo :

• prelazni režim strujanja .

• gradijenti brzine i temperature postepeno opadaju praktično do nule , jer

• vrtlozi intenzifikuju prenos količine kretanja i toplote

U masi fluida, snažno vrtloženje uslovljava uniformisanje brzina i temperatura .

Debljina hidrauli čnog graničnog sloja će biti utoliko veća ukoliko je veći fluks količine kretanja između zida i fluida (kočeće dejstvo zida), odnosno ukoliko je veći kinematski viskozitet ν (difuznost količine kretanja), vidi jedn. 3.11.Analogno, debljina toplotnog graničnog sloja δT (rastojanje do koga se “oseća” efekat zagrejane ploče na temperaturu fluida) raste sa toplotnom difuznošću a (vidi jedn. 3.10). Tako odnos δH i δT raste sa količnikom ν/a, koji se zove Prandltov kriterijum :

3/1

3/1Pr

ν==δδ

aT

H

tecnosti)(

3.12) vidigas,idealan (

metali) (tecni

1Prza1

1Prza1

1Prza1

>>==<<

δδ

T

H

9

Teorija filma

Od praktičnog interesa je količina toplote koju zid u jedinici vremena preda fluidu , računato po jedinici površine:

qdT

dzzz

=

=

= −

0

0

λ (3.19)

Jedn (3.19) zahteva poznavanje temperaturnog profila )(zT , čije je dobijanje vrlo kompleksno (rešavanje sistema od dve diferencijalne jednačine: bilans količine kretanja i energetski bilans)

Slika 3.5 Stvarni i aproksimativni temperaturni profil

Pravi profil zamenjujemo izlomljenim , koji se sastoji od

• kose duži (deo tangente povučene u tački z = 0) sa nagibom dT

dz z

=0

• horizontalog dela - asimptote T = Tf. Tačka preloma, tj. presek tangente i asimptote, definiše debljinu fiktivnog toplotnog graničnog sloja, δT ili filma . Nagib kosog profila je,

0

'=

=δ−

zT

zf

dz

dTTT

pa dobijamo :

)('0 zfT

z TTq −δλ−=

=

Ako se količnik λ/δT’ zameni novim koeficijentom α,

'Tδλ=α (W/m2K) (3.20)

10

dobijamo izraz za prelaz toplote sa zida na fluid:

(3.21)

α - koeficijent konvekcije ili koeficijent prelaza toplote.

Sličnim pristupom, za fluks koli čine kretanja sa zida na fluid dobijamo :

(3.22)

fC - bezdimenzioni parametar koji se naziva koeficijent trenja (friction

coefficient).

Primena teorije sli čnosti

Umesto simultanog rešavanja diferencijalnih jednačina prenosa količine kretanja i toplote,

• definiše se skup bezdimenzionih grupa ili kriterijuma, (prevođenjem dif. jednačina u bezdimenzioni oblik), koje karakterišu posmatranu pojavu.

• na bazi eksperimenata, definišu se kriterijalne jedna čine, koje povezuju bezdimenzione kriterijume, za

o pojedine klase sistema, koje se karakterišu istom geometrijom (da bi mogao da se ostvari uslov geometrijske sličnosti) i

o isti režim strujanja fluida (zbog hidrodinamičke sličnosti).

Tako za prinudnu konvekciju , kriterijalna jednačina glasi:

Pr)(Re,Nu fL =λα=

i uobičajeni oblik je:

nmc PrReNu = , 0.5 ≤ m ≤0.8, 0.3 ≤ n ≤0.5 (3.23)

Za koeficijent trenja, pri laminarnom strujanju kroz glatku cev važi:

Re

644 == fCf (3.24)

f– frikcioni faktor

Značenja bezdimenzionih kriterijuma

2

00 2 f

f

zz w

C

dz

dw ρ=µ=τ=

=

)(0 zfz TTq −α−==

11

• Re - mera relativnog uticaja inercijalnih sila (brojioc) i sila trenja (imenioc),

• Pr - odnos intenziteta prenosa količine kretanja i prenosa toplote, odnosno i odnos otpora prenosu toplote (1/a) i otpora prenosu količine kretanja (1/ν)

• Nu - odnos uticaja turbulentnog (brojioc) i molekulskog (imenioc) mehanizma prenosa toplote, ili odnos otpora provođenju toplote L/λ i otpora konvenktivnom prenosu toplote 1/α

PRIMER 3.2 Pokazati da je termički otpor prelaza toplote sa fluida na zid (ili obrnuto) cilindrične cevi, računat po jedinici dužine cevi, jednak:

Rrt =1

2π α

Protok toplote

qrLAqdt

dQ⋅π=⋅= 2 (q dato jednačinom 3.21)

po jedinici dužine cevi,

t

L R

T

r

TTrqrq

∆=

απ

∆=∆απ=π=

2

122 (W/m)

PRIMER 3.3 Parovod spoljnjeg prečnika 10 cm sa temperaturom spoljne površine od 110 0C je izložen vetru brzine 8 m/s sa pravcem normalnim na osu parovoda. Temperatura vazduha je 4 0C. Odrediti gubitke toplote u atmosferu po 1 m parovoda. Podaci: toplotna provodljivost i

kinematski viskozitet vazduha na srednjoj temepraturi (57 oC) su ⋅⋅

=λoRhft

BTU.01640 i

h

cm2670=ν . Proračun izvesti paralelno sa dve kriterijalne jednačine:

5485

4132

3121

31 0.805

282000

Re1

Pr

401

Pr0.62Re0.3Nu

PrRe0270Nu

+

++=

=

.

.

Iz tablica za srednju temperaturu vazduha: Pr = 0.708. (Rešenje u Mathcad -u)

PRIMER 3.4 Idealno izolovan protočni grejač vode u obliku cevi sa električnim grejačem, dug je 5 m i ima unutrašnji prečnik 3 cm.

a) Izračunati snagu grejača koja obezbeđuje zagrevanje 10 l/min vode od 150C do 650C

b) Proceniti temperaturu unutrašnje površine grejača na izlazu, imajući u vidu da je gustina fluksa konstantna duž električnog grejača.

12

Potrebni podaci: termofizičke osobine vode na srednjoj temepraturi (40oC) su

⋅⋅

=λoRhft

BTU.3650 ,

h

ft.

202550=ν ,

kgK

cal.Cp 1998= i

39920

cm

g.=ρ .

Kriterijalna jednačina: 40 0.8 PrRe0230Nu ..= Iz tablica za srednju temperaturu vode: Pr = 4.32. (Rešenje u Mathcad -u)

Prelaz mase (komponente)

Analogno prenosu toplote, definiše se fluks prelaza komponente sa međufazne površine na fluid koji struji, ili obrnuto:

(3.25)

CA,f

- koncentracija u turbulentnoj masi fluida

CA,s - koncentracija na međufaznoj površini pri čemu je z - osa postavljena normalno na posmatranu površinu i usmerena od površine ka fluidu (vidi Sliku.3.5)

Koeficijent prelaza komponente A, βA je u skladu sa teorijom filma :

'D

AA

D

δ=β (m/s) (3.26)

δD’ - debljina fiktivnog difuzionog graničnog sloja (filma)

Kiterijalnajedna čine za prinudnu konvekciju:

)Sc(Re,Sh f= (3.27)

uobičajeni oblik:

nmc ScReSh= , .5 ≤ m ≤0.8, 0.3 ≤ n ≤0.5

Šervudov (Sherwood) kriterijum koji je analogan Nuseltovom:

A

A

D

Lβ=Sh

Šmitov (Schmidt) kriterijum , analogan Prandtlovom:

AD

ν=Sc

U tabeli 3.2 dati su izrazi za fluks prelaza komponente, koji se koriste u praksi

Tabela 3.2 - Konzistentni parovi pogonska sila - koeficijent prelaza komponente

( )s,Af,AAA CCN −β−= (mol/m2 s)

13

gde su,

AC - molska koncentracija komponente, 3mmol

Ac - masena koncentracija komponente, 3mkg

−Ap parcijalni pritisak komponente u gasnoj smeši, Pa

−Ax molski udeo komponente u smeši

PRIMER 3.5 Naći formule za preračunavanje koeficijenata prelaza pri promeni načina izražavanja pogonske sile.

s

AA

AAA M

xx

V

n

n

n

V

nC

ρ=ρ=== *

n - ukupan broj molova u smeši,

ρ* - molska gustina, mol/m3

MS - mol. masa smeše,

ρ - gustina smeše (kg/m3)

ρ = const ⇒ s

AA M

xC

∆ρ=∆

što nakon smene u prvi od flukseva u Tabeli daje:

AxAs

AAA x

M

xN ∆β−=∆ρβ−= ,

odnosno,

s

AxA M

ρβ=β , (*)

Veza:

pA = xA p .constp=

⇒ ∆pA = ∆xA p što nakon smene u drugi od flukseva u Tabeli daje: ppAxA ., β=β (**)

fluks pogonska sila koef. prelaza NA = - βA ∆CA ( smmol 2 ) ∆CA (mol/m3) βA (m/s)

AAA cm ∆β−= ( smkg 2 ) Ac∆ ( 3mkg ) βA (m/s)

NA = - βA,,p ∆pA ( smmol 2 ) ∆ pA (Pa) βA,,p (mol/m2 Pa s)

NA = - βA,x ∆xA ( smmol 2 ) ∆ xA ( - ) βA,x (mol/m2s)

14

Iz (*) i (**) :

As

ApA Mppβρ=βρ=β

*

,

Ako je smeša idealan gas važi: RTp *ρ= i :

RTA

pA

β=β ,

Analogija trenja pri proticanju fluida, prelaza top lote i prelaza mase

I u slučaju konvektivnog prenosa toplote i mase, pored očigledne kvalitativne, postoji i kvantitativna veza, što se može naslutiti iz opštih formi kriterijalnih jednačina za prenos toplote i mase u slučaju prinudne konvekcije (3.24, 3.27). Eksperimenti su pokazali da bezdimenzione grupe ( tzv. j- faktor za toplotu i j– faktor za masu)

1/3PrRe

Nu=Hj (3.29a)

1/3ScRe

Sh=Dj (3.29b)

imaju u oblasti turbulentnog režima strujanja, približne iste brojne vrednosti:

jH - faktor za prenos toplote i jD - faktor za prenos mase.

što se prema autotima naziva analogija Čilton-Kolborn -a (Chilton-Colburn) . Iz te analogije sledi veza između koeficijenata prelaza komponente i toplote:

32 /

A

pA

a

D

C

ρα=β (3.31)

PRIMER 3.6 Pri strujanju suvog vazduha temperature 25 0C i pritiska 1 atm brzinom 2 m/s

preko površine od 0.3 m2 pokrivene slojem naftalina, izmerena količina isparenog naftalina u

toku od 15 min je 12 g. Napon pare naftalina na 25 0C je 11 Pa a njegova difuzivnost u

vazduhu je DA,B = 0.61×10-5 m2/s. Proceniti koeficijent prelaza toplote za vazduh, pri istim

uslovima proticanja i istoj geometriji sistema. Specifična toplota i toplotna difuzivnost vazduha

na 25 0C su: smakgK

kJcp

251018.2,01.1 −×== . Iz izračunate vrednosti koeficijenta

prelaza mase Aβ , izračunati ApAx ,, i ββ

2

fjj DH == (3.30)

15

(Rešenje u Mathcad-u) Prenos toplote i mase kroz višeslojni medijum. Prolaz toplote i mase Prolaz toplote Prolaženje ili prolaz toplote toplote predstavlja prenos toplote kroz tri sloja: fiktivni toplotni granični sloj prvog fluida, zid i fiktivni toplotni granični sloj drugog fluida. Na Slici 3.3 dat je uprošćen temperaturni profil (u skladu sa teorijom filma), pri stacionarnom prolaženju toplote između dva fluida sa temperaturama T1 i T2, kao i šema termičkih otpora.

Slika 3.3. Temperaturni profil pri stacionarnom prolaženju toplote

Analogija sa Omovim zakonom:

2

22,3

2,1,2

1,11 /1

,/

,/1 α

−=

λ−

=α

−=

TTq

d

TTq

TTq iiii (3.32)

Iz uslova stacionarnosti temperature zida sledi međusobna jednakost flukseva:

q1 = q2 = q3 (= q) (3.33)

Nijedna od jedn. (3.32) ne omogućuje izračunavanje q jer sadrže nepoznate potencijale - intermedijalne temperature Ti,1 Ti ,2. Produžena jednakost (3.33) sadrži dve nezavisne jednačine, recimo q1 = q2; q2 = q3, koje omogućuju da se nepoznate temperature odrede, tj. izraze u funkciji od krajnjih - merljivih potencijala , T1 i T2. Kada se dobijeni izrazi zamene u jednu od tri jednačine (3.33):

)(11 21

21

21 TTKd

TTq T −=

α+

λ+

α

−=

sm

J2

(3.34)

16

q - fluks prolaza toplote

KT - koeficijent prolaza toplote.

U brojiocu je ukupna pogonska sila, a u imeniocu ekvivalentan ili ukupan otpor za tri termička otpora vezana na red (Slika). Tako smo izraz (3.34) mogli da dobijemo neposrednom primenom “električne” analogije. PRIMER 3.7 Gubici toplote iz izolovanog parovoda u atmosferu po jedinici dužine parovoda, se računaju kao:

2211

11

d)(ddd

TTq

rii

i

zz

z

aL

πα+α+

πλδ+

πλδ+

πα

−= (W/m)

gde su:

T, Ta - temperatura pare i temperatura atmosfere d1, d2 - unutrašnji i spoljašnji prečnik izolovanog parovoda δz, δi - debljina zida cevi i debljina sloja izolacije dz - srednji logaritamski prečnik zida cevi di - srednji logaritamski prečnik sloja izolacije λz, λi - toplotne provodljivosti zida i izolacije α1 - koeficijent prelaza sa pare na unutrašnji zid paravoda α2 - koeficijent prelaza toplote sa spoljne površine paravoda u atmosferu αr - efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom Efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom je onaj parametar, koji kad se pomnoži pogonskom silom (T2 - Ta) daje pravu vrednost toplotnog fluksa zračenja. Tako je prema definiciji:

)()( 244

2 ara TTTT −α=−⋅εσ

σ - konstanta zračenja

odnosno αr je parametar koji očigledno zavisi od temperatura,

( )( )aaa

ar TTTT

TT

TT++εσ=

−

−εσ=α 2

222

2

442

ali se može proceniti na bazi procene nepoznate temperature T2. Izvesti datu formulu.

Šema termičkih otpora :

R1 - otpor prelazu toplote sa pare na unutrašnji zid parovoda Rz, Ri - otpori provođenju zida i izolacije R2 - otpor prelazu toplote sa spoljašnjeg zida parovoda na atmosferu Rr - efektivni otpor radijacije

17

222

211

1111

dR,

dR,

dR,

dR,

dR

rr

ii

ii

zz

zz πα

=πα

=πλδ=

πλδ=

πα=

Ekvivalentan otpor :

r

iz

RR

RRRR11

1

2

1+

+++=

i formula se dobija nakon smene ekvivalentnog otpora u jedn. qT

R

T T

RLa= = −∆

PRINCIPI OPISIVANJA BRZINE SLOŽENOG PROCESA Složeni fenomeni se dekomponuju (raščlanjuju) na više jednostavnijih fenomena koji predstavljaju stupnjeve ili stadijume složenog procesa. Oni mogu međusobno biti povezani:

• serijski - uzastopni ili konsekutivni stupnjevi

• paralelno - paralelni ili uporedni stupnjevi

• na složen način koji predstavlja kombinaciju serijskih i paralelnih veza

U Primeru 3.7, gubljenje toplote pare pri transportu kroz parovod smo raščlanili na 5 elementarnih stupnjeva, kao:

Brzine elementarnih fizičkih stadijuma (prenos toplote ili mase) se mogu prikazati u vidu količnika pogonske sile i otpora (vidi, napr., jedn. 3.74.). Ako pogonska sila linearno zavisi od potencijala (temperature ili koncentracije), a otpor nije funkcija potencijala , kažemo da je posmatrani stadijum linearan i njegova brzina je opisana izrazom analognom Omovom zakonu (električna analogija):

rV

R= −

∆ (3.41)

V - potencijal (temperatura ili koncentracija) R - otpor (toplotni ili difuzioni)

4. prelaz toplote 1. 2. 3. sa spoljašnjeg prelaz toplote provođenje provođenje zida u atmosferu sa pare na toplote toplote unutrašnji kroz zid kroz izolaciju 5. zid cevi prenošenje toplote sa spolašnjeg zida u atmosferu zračenjem

18

Negativni predznak u izrazu (3.41) nosi informaciju o smeru fluksa (da li je isti kao i smer prostorne ose ili suprotan od njega) pri čemu je prostorna osa usmerena od prvog ka poslednjem stadijumu u nizu Brzina složenog procesa, dekomponovanog na linearne stadijume dobija se pomoću električne analogije (3.41) u koju se kao ∆V zamenjuje ukupna potencijalna razlika a umesto R ukupan ili ekvivalentan otpor. Ako je složeni proces niz od n linearnih uzastopnih stadijuma čije su brzine:

niR

VV

R

Vr

i

ii

i

ii ,...,1,1 =−−=∆−= − (3.42)

Ukupna pogonska sila je:

∆ ∆V V V Vii

n

n= = −=

∑1

0 (3.43a)

a ekvivalentan otpor:

R Rii

n

==

∑1

(3.43b)

pa je brzina procesa:

rV V

RP

n

ii

n= −−

=

∑0

1

(3.44)

Metod limitiraju ćeg stupnja Posmatrajmo prolaz toplote kroz homogeni zid. Brzine tri stadijuma su date jednačinama (3.74):

qT T

Rq

T T

Rq

T T

Ri i i i

11 1

12

1 2

23

2 2

3

=−

=−

=−, , , ,, , (3.46)

Neka je 3. stupanj znatno sporiji od ostalih, odnosno njegov otpor znatno veći od druga dva otpora, što znači:

R

R

R

R1

3

2

3

0≈ ≈ (3.47)

Iz uslova jednakosti brzina prvog i trećeg stupnja:

11,

)47.3(

3

1

22,

1,1)46.3(

31 0 TTR

R

TT

TTqq i

i

i ≈⇒≈=−

−⇒=

Iz drugog uslova, q2 = q3 imamo:

19

1,2,

)7.5(

3

2

22,

2,1,)6.5(

32 0 iii

ii TTR

R

TT

TTqq ≈⇒≈=

−

−⇒=

Dakle, aproksimativni temperaturni profil će izgledati kao na Slici

Pošto smo definisali intermedijalne potencijale:

T T Ti i, ,1 2 1= =

sledi izračunavanje brzine prenosa toplote smenom nađenih vrednosti u izraz za brzinu nekog od stupnjeva. Međutim, pošto su, izrazi za brzine “brzih” stupnjeva q1 i q2

nedefinisani

0

0 preostaje izraz za spori stupanj:

r rT T

RP = =−

31 2

3

Zaključujemo da

• Izrazito najsporiji stupanj definiše tj. limitira ( jer je najsporiji) brzinu složenog procesa, pa se zato zove limitiraju ći stupanj.

• U ostalim (relativno brzim) stadijumima približno se uspostavlja termodinamička ravnoteža, tj. pogonske sile tih su bliske nuli

Poslednji izraz za brzinu procesa smo mogli dobiti i jednostavno, zanemarujući otpore R1 i R2 u odnosu na otpor R3 u izrazu za brzinu dobijenu iz (3.44)

rT T

R R R

T T

RP =−

+ +≈

−1 2

1 2 3

1 2

3

Brzinu složenog procesa limitira najsporiji od konsekutivnih stadijuma. Pri tom, ako je on izrazito spor, tj. njegov otpor izrazito veći od otpora ostalih stadijuma, brzina procesa je približno jednaka brzini kojom bi se odvijao limitiraju ći stupanj, kad bi u svim ostalim stupnjevima bila uspostavljena termodinamička ravnoteža.

Metod limitirajućeg stupnja znatno pojednostavljuje problem određivanja brzine složenog procesa, naročito u slučaju kad su neki od stupnjeva nelinearni.

20

ZADACI 1. (Cengel, E3-3) Prozor sa duplim staklima razdvojenih slojem nepokretnog vazduha ima dimenzije m.. 5180 × . Stakla ( Rhft/BTU. ⋅⋅=λ 4510 ) su debela 4mm, a sloj vazduha ( Rhft/BTU. ⋅⋅=λ 0150 ) 10 mm. Ako je temperatura u sobi 200C, a spoljnja temperatura -100C, izračunati toplotne gubitke i temperaturu unutrašnje površine prozora. Koeficijent

prelaza toplote za unutrašnju površinu prozora je Rhft/BTU. ⋅⋅=α 21 7611 , a za spoljašnju

Rhft/BTU. ⋅⋅=α 212 0447 .

2. Kroz zid sastavljen od 4 sloja iste debljine, toplotnih provodljivosti, prenosi se toplota između leve površine, temperature T1 i desne, temperature T2.

a) Skicirati temperaturni profile kroz posmatrani zid ako je treći od 4 konsekutivna stupnja limitirajući i napisati odgovarajuću formulu za fluks toplote, q

b) Skicirati temp. profil i napisati izraz za q ako je : 3241 λ≈λ>>λ≈λ

3. Kroz prikazani složeni blok ograničen sa gornje i donje strane slojem idealne izolacije, prenosi se toplota u smeru z -ose sa njegove leve površine, temperature T1 u okolinu, temperature To.

α

Ti

Izolacija

z

T1 1λ

2λ

3λ

To

D

d

T2

T1

λ1 λ2

λ3 λ4

21

a) Nacrtati šemu termičkih otpora i izvesti izraz za izračunanje specifičnog toplotnog fluksa, q iz zadatih temperatura T1 i To i navedenih dimenzija.

b) Na šta se svodi izraz za toplotni fluks pri uslovima: ∞→λα=λλ>>λ

vaz

Ti

DB,, 312

4. (R.Toledo, E7.5) Čelična cev (λ = 45 W/mK) unutrašnjeg prečnika 0.824in i spoljašnjeg prečnika 1.05in je izolovana slojem fiberglasa (λ = 0.035 W/mK), debljine 2cm .Ako je temperatura unutrašnjeg površine cevi C0150 , a spoljašnje površine izolacije C030 , izračunati

a) toplotni fluks između te dve površine za 1 metar cevi, )( mWqL

b) temperaturu spoljašnje površine cevi.

5. (R.Toledo, E7.4) Radi određivanja toplotne provodljivosti, uzorak govedine oblika cilindra dužine cm5 i prečnika cm75.3 , smešten je između dva cilindra od akrila ( mKW5.1=λ ), istog prečnika i sve je to stavljeno u izolovani kontejner (skica). Slobodne površine akrilnih cilindara (na dnu donjeg i na vrhu gornjeg cilindra) se održavaju na konstantnim temperaturama, pri čemu je donja površina na višoj temperaturi. U oba akrilna cilindra su stavljena po dva termopara i to na rastojanju 0.5 i cm1 od dodirne površine sa uzorkom. Termoparovi (počev od najnižeg) su registrovali sledeće temperature: C013 i 15,43,45 . Izračunati,

a) Specifični toplotni fluks, qkroz uzorak i akrilne cilindre.

b) Temperature donje i gornje površine uzorka

c) Toplotnu provodljivost λ goveđeg mesa.

3.75 cm

5 cm

6. (R.Toledo, E7.12) Unutrašnja cev izmenjivača toplote ima unutrašnji prečnik cm21.2 i zid debeo mm65.1 . Koeficijent prelaza toplote sa unutrašnje strane cevi KmW 2

1 568=α , a sa

spoljašnje, KmW 22 5678=α .Toplotna provodljivost cevi je mKW6.55=λ . Izračunati,

22

a) koeficijent prolaza toplote kroz cev,

b) temperaturu unutrašnje površine cevi, ako je temperatura fluida u cevi C080 , a temperatura fluida oko cevi C0120 7. (R.Toledo, E7.13) 50 hkg koncentrata jabukovog soka ( kgKkJCp 187.3= ) se hladi od

80 do C020 u suprotno-strujnom izmenjivaču toplote, cev u cevi.. Rashladna voda ulazi u izmenjivač na temperaturi C010 , a izlazi na C017 . Koeficijent prolaza toplote u izmenjivaču je

KmWKT2568= . Izračunati,

a) protok rashladne vode

b) potrebnu površinu A toplotne razmene (Razmenjena toplota (W) u izmenjivaču: Q =

KT ∆Tsr A gde je ∆Tsr srednja logaritamska razlika temperatura dva fluida)

8. Izvesti sledeći izraz za termički otpor (otpor provođenju toplote) sferne ljuske sa unutrašnjim i spoljašnjim poluprečnicima r1 i r2

λπ

−=21

12

4 rr

rrRt

9. a) Izvesti izraz za brzinu difuzije FA komponente A kroz porozni zid u obliku sferne ljuske sa unutrašnjim i spoljašnjim poluprečnikom r1 i r2.

12

21,21

)()(4

rr

rCrCDrrF AA

BAA−

−π= (mol/s)

b) (Cengel, P11-44) Helijum je skladišten u sferni rezervoar spoljnjeg prečnika 3 m i debljine zida 5 cm od pireksa na 200C. Molska koncentracija helijuma u pireksu je 0.73 mol/m3 na unutrašnjoj površini zida a zanemarljiva na spoljnjoj površini. Difuzivnost helijuma kroz pireks na 200C DA,B = 4.5×10-15 m2/s. Odrediti dnevne gubitke helijuma difuzijom kroz zid rezervoara. Rešenje: 6.21×10-7 g/dan

10. Za laminarno strujanje kroz cevovod, izvodi se sledeći brzinski profil:

−=

2

12)(R

rwrw sr

gde je srw srednja brzina proticanja,a R unutrašnji poluprečnik cevovoda. Za tangencijalni

napon na površini cevi važi jedn. (3.22), s tim što umesto fw treba staviti srw . Koristeći jedn

(3.22) i Njutnov zakon (3.9c), izvesti izraz (3.24) za koeficijent trenja.