matematikens historia i gymnasieskolan1258885/... · 2018. 11. 19. · l arob ockerna hade aven...

U.U.D.M. Project Report 2018:40

Examensarbete i matematikdidaktik, ämneslärarprogrammet, 15 hpHandledare: Anders ÖbergExaminator: Veronica Crispin QuinonezAugusti 2018

Matematikens historia i gymnasieskolanEn analys av läroböcker för matematik 1b

Maja Eriksson

Department of MathematicsUppsala University

Sammanfattning

I gymnasieskolans samtliga kursplaner for matematik ingar matematikens kulturhistoria som ett

centralt innehall. Avsikten ar att vara motivationsskapande och gora matematiken mer levande.

Eftersom larobocker har en central roll i matematikundervisningen var syftet med uppsatsen att

studera hur forlagen tolkar Skolverkets krav, men aven undersoka om larare kan anvanda ma-

tematikens historia i undervisningen pa fler satt. For att besvara fragestallningarna gjordes en

laromedelsanalys for kursen matematik 1b. Larobockerna undersoktes utifran forekomsten av upp-

gifter med koppling till matematikens historia, om det fanns faktarutor med historia och om ma-

tematikens historia anvandes for att introducera och forklara nya delar av matematiken. For att

besvara fragestallningen angaende hur larare kan komplettera larobockerna gjordes studier av artik-

lar och bocker gallande hur matematikens historia kan forbattra undervisningen. Resultatet visade

att larobockerna ofta utnyttjar matematikens historia for att introducera nya avsnitt. Forskning

visar att det ar fordelaktigt att presentera matematik i den kontext som den upptacktes och detta

kan vara en anledning till att forfattarna har valt att inkludera historia i de introducerande texter-

na. Larobockerna hade aven uppgifter med koppling till matematikens historia. Utover detta kan

matematikens historia vara anvandbar i lararens planering av undervisningen. Den kan forutsaga

elevers svarigheter och ge ideer pa hur dessa kan overkommas. Larare kan aven belysa matematikens

historia for att ge eleverna forstaelse for matematikens utveckling.

Innehall

1 Inledning 6

1.1 Bakgrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Syfte och fragestallning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Litteraturgenomgang 8

2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Styrdokumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Amnesplan matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Kursplaner matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Betygskriterier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Fordelar och nackdelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Undervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1 Forsta elevers svarigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.2 Undervisningsstrategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.3 Historiska problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.4 Visa att matematiken ar dynamisk och en mansklig konstruktion . . . . . . . 15

2.4.5 Mangfaldsperspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Metod och material 16

4 Resultat 17

4.1 Exponent 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Taluppfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.3 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.4 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.5 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.6 Sannolikhetslara och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Origo 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2.1 Tabeller och diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2.2 Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3

4.2.3 Algebra och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.4 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.5 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.6 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.7 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.8 Geometri och bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Matematik 5000 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1 Aritmetik - Om tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.2 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.4 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


4.3.6 Grafer och funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Matematik M 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.1 Numerisk rakning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4.2 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.3 Uttryck och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.4 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.5 Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.6 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Tabell av resultatet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Analys 35

5.1 Jamforelse mellan bockerna for de olika avsnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.1 Aritmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.2 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.4 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1.5 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


5.2 Jamforelse av larobockernas innehall med kursplan och amnesplan . . . . . . . . . . 40

4

5.2.1 Exponent 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.2 Origo 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.3 Matematik 5000 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.4 Matematik M 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Allmanna kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Diskussion 45

7 Referenser 48

5

1 Inledning

1.1 Bakgrund

Uppslaget till uppsatsen uppkom da jag vikarierade pa en lektion for elever pa Samhallsvetenskapliga

programmet. Nar jag berattade att jag var lararstudent ville de veta i vilka amnen jag skulle un-

dervisa och jag svarade da matematik och fysik. Kommentarena som sedan foljde tycker jag var

tankvarda. De kunde forsta att man ville bli fysiklarare eftersom det gar att fora diskussioner med

eleverna och att det ingar praktiska laborationer. Dock var det for dem helt obegripligt att nagon

ville bli matematiklarare eftersom matematik bara var trakiga regler, som inte kunde diskuteras

utan bara foljas, och att eleverna bara raknade i bockerna hela tiden. Tanken som da slog mig var

att dessa elever skulle fa en battre forstaelse och storre gladje av matematiken om undervisningen

lade en storre vikt vid matematikens historia.

Jag har sjalv sett pa matematiken pa liknande satt som de har gymnasieeleverna men under min

utbildning till larare har jag gatt tva kurser i matematikens historia. Det var egentligen forst da

som jag fick verklig forstaelse for att en cirkels area ar A = r2 · π. Tidigare har jag bara anvant

formeln och tankt att det ar rimligt att en kvadrat av radien multiplicerat med tre ar lika stor som

arean av cirkeln. Nar jag fick lara mig om Arkimedes cirkelsats blev det klart for mig varfor formeln

galler. Pa samma satt forstod jag hur pq-formeln fungerar genom att se babyloniernas geometriska

losning av andragradsekvationer.

Artiklar som jag har last styrker att det ar fordelaktigt att anvanda historia i undervisningen.

Darfor har jag valt att undersoka saken vidare och speciellt analysera hur larobockerna inkluderar

matematikens historia pa olika satt.

6

1.2 Syfte och fragestallning

Matematikundervisningen ar ett amne som traditionellt sett anvander laroboken i hog utstrackning.

Det ses som en trygghet for larare eftersom den tacker in stora delar av kursplanen, och av elever

eftersom om de lar sig bokens innehall anser de att de har tillrackliga kunskaper for att klara kursen

(Johansson, 2006). Darfor ar det intressant att undersoka hur larobockerna inkluderar kravet pa att

behandla matematikens kulturhistoria och om olika larobocker behandlar matematikens historia pa

olika satt. Syftet ar aven att fa en inblick i vad forskningen sager om amnet och hur larare kan

komplettera larobockerna.

• Hur framstalls matematikens historia i larobocker?

• Hur kan larare anvanda matematikens historia for att komplettera larobockerna och starka

sin undervisning?

7

2 Litteraturgenomgang

Detta avsnitt tar upp texter som har betydelse for hur matematikens historia behandlas i under-

visning och larobocker. Det som kommer tas upp ar de dels olika styrdokumenten som amnesplan

och kursplan och dels teorier om betydelsen av matematikens historia i undervisningen. Forst en

kort definition av det innebar.

2.1 Definition

Att undervisa matematikens historia brukar ofta syfta pa tva olika synsatt. Det forsta ar att anvanda

matematikens historia som ett verktyg for att lara ut det matematiska innehallet och det andra ar

att sjalva historien ar ett mal i sig (Janqvist, 2009). Butuner (2016) beskriver att matematikens

historia anvands som ett verktyg for larande da larare anvander den for att undervisa ett visst

moment. Detta kan exempelvis vara Pythagoras sats. Istallet for att endast presentera satsen som

forhallandet mellan sidorna i en ratvinklig triangel sa kan lararen inkludera historien bakom satsen,

var den uppkom, hur den har anvants i olika kulturer eller att det var Pythagoras som forst bevisade

satsen. Det ar i slutandan sjalva forhallandet som lararen vill att eleverna ska lara sig men historien

ar ett verktyg for att ge dem en djupare forstaelse. Det kan ocksa fungera som ett verktyg for att

hjalpa eleverna att komma bort fran att inte vaga gora misstag. Det hjalper sallan att uppmuntra

misstag genom att endast papeka det sjalv. Med hjalp av historien kan larare faktiskt visa att

aven de stora matematikerna gor fel och att det ibland kan leda till nya upptakter. Ett annat

verktyg kan vara att hjalpa eleverna inse att problem ofta kan losas pa fler an ett satt. Ett satt

for att visa detta kan vara att jamfora olika losningsmetoder genom historien med varandra for

att se att det finns bade for- och nackdelar med olika losningsmetoder. Forhoppningsvis kan detta

inspirera eleverna att hitta alternativa losningar da de jobbar med andra problem. Matematikens

historia kan ocksa ses som ett mal i sig. Exempel pa det kan vara for att visa att matematiken

ar en mansklig konstruktion. Genom att beratta om varfor och hur ett visst matematiskt fenomen

uppkom far eleverna forstaelse for att det ar manniskor som utvecklar matematik for att losa

manskliga problem eller fragestallningar. Exempel pa detta ar tal, alla tal har inte alltid funnits, de

har uppkommit da det funnits ett behov av dem. Detta visar ocksa att matematiken inte ar nagot

statiskt utan utvecklas standigt. Ett annat mal med att anvanda historia ar for att visa samband

mellan matematik och andra amnen, som exempelvis musik och fysik.

8

2.2 Styrdokumenten

Lararens uppdrag ar att undervisa eleverna utifran de olika styrdokumenten som ar utfardade av

Skolverket. I bade amnesplanen for matematik och i de olika kursplanerna behandlas matematikens

historia.

2.2.1 Amnesplan matematik

Citatet nedan ar hamtat ur amnesplanens beskrivning av amnet:

Matematiken har en flertusenarig historia med bidrag fran manga kulturer. Den

utvecklas saval ur praktiska behov som ur manniskans nyfikenhet och lust att utforska

matematiken som sadan. Kommunikation med hjalp av matematikens sprak ar likartad

over hela varlden. I takt med att informationstekniken utvecklas anvands matematiken

i alltmer komplexa situationer. Matematik ar aven ett verktyg inom vetenskap och

for olika yrken. Ytterst handlar matematiken om att upptacka monster och formulera

generella samband.

I beskrivning av amnets syfte star det att undervisningen ska bidra till att hjalpa eleverna att

utveckla sin formaga till att satta in matematiken i olika sammanhang, och att se vilken betydelse

den har for bade individ och samhalle. Det star aven att eleverna ska arbeta matematiskt vilket de

i kommentarerna beskriver som:

Matematik kan ofta uppfattas som ett amne dar det endast finns ratt eller fel och

att gora fel ar detsamma som att inte ha ett matematiskt kunnande. Men matematiskt

kunnande utvecklas aven om man staller ”fel” hypoteser, tvingas gora om och tanka

nytt. Det kravs ofta hart och langvarigt arbete innan professionella matematiker far

fram resultat som de ar nojda med. Kanske finns det ocksa mer an en losning pa ett

problem.

9

Lite langre ner forklaras det vad som menas med olika uttrycksformer :

Den verbala uttrycksformen, till exempel retorisk algebra, ger eleven mojlighet att

visa sitt matematiska tankande pa ett annat satt an symboliskt. Den retoriska algebran,

dvs. att eleven ger verbala beskrivningar av vilka procedurer som ska genomforas for

att na en losning pa ett problem, kan kopplas till algebrans ursprung. Den symboliska

algebran borjade utvecklas forst i borjan av 1600-talet.

2.2.2 Kursplaner matematik

Dessutom ar ”matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria” ett centralt

innehall for samtliga matematikkurser, dar beskrivningen for matematikens kulturhistoria ar:

Ett exempel pa anknytning till matematikens kulturhistoria ar manniskans upptackt

av ett samband mellan en cirkels omkrets och dess diameter som representeras av talet π.

Tanken med det kulturhistoriska innehallet ar att gora matematikundervisningen mera

levande och motivationsskapande, och att eleverna via matematiska problem far ta del

av manniskorna, den tidsepok och den kultur som upptackte de matematiska samband

och begrepp som behandlas i kursen.

Ett matematiskt problem ar enligt Hagland, Hedren & Taflin (2011) en speciell typ av uppgift som

uppfyller tre kriterier. Det forsta ar att en person behover eller vill losa uppgiften, det andra ar att

personen inte har en pa forhand given procedur och det tredje ar att det kravs en viss anstrangning

for att losa uppgiften.

2.2.3 Betygskriterier

Betygskriterierna kring matematikens historia innebar att eleverna ska kunna relatera kursens in-

nehall till matematikens kulturhistoria. For betyget E racker det att nagot i kursens innehall relate-

ras och att det fors enkla resonemang om dess relevans. Kriterierna for betyget C innebar att de ska

kunna relatera nagra fler omraden och att resonemangen om dess relevans ska vara valgrundade.

For betyg A ska resonemangen dessutom vara valgrundade och nyanserade (Skolverket, 2011).

10

2.3 Fordelar och nackdelar

Nar det kommer till att behandla matematikens historia i undervisningen pa gymnasieskolan finns

det bade de som anser att det ar en tillgang for inlarningen och de som anser att det ar ett

moment vid sidan om. Tzanakis & Arcavi (2002) listar nagra vanliga argument for och emot att

anvanda matematikens historia i matematikundervisningen som larare kan ha. Nagra argument for

att anvanda historia i undervisningen ar att det underlattar elevers larande eftersom koncept blir

lattare for elever att ta till sig da de forstar hur och varfor de uppkom. Det kan utveckla elevers syn

pa matematikens natur. Exempelvis att misstag ar en del av matematiken och att fa elever att sjalva

formulera fragestallningar och undersoka dessa. En annan fordel ar att matematikens historia visar

att matematiken som en mansklig konstruktion. Det finns aven larare som argumenterar mot att

anvanda historia i matematikundervisningen av bade filosofiska och praktiska skal. Sadana argument

kan vara att historia inte ar matematik och darfor ska matematikundervisningen inte innehalla

historia. Att elever inte ar intresserade av historia som amne och darfor skulle de inte heller vara

intresserade av matematikens historia. Att en extra dimension som historia skulle forvirra elever

mer an hjalpa. Ett annat argument av mer praktiskt natur ar att det inte finns tid att behandla

matematikens historia i matematikundervisningen. Antalet undervisningstimmar ar begransade och

det ar mycket som ska hinnas med. Jag tror att larare som ar negativt installda till att undervisa

matematikens historia enbart ser det som ett mal i sig och darav ett extra moment som det inte finns

tid att behandla. Exempelvis gjorde en student pa Uppsala universitet en intervju med en larare

om just historia i matematikundervisningen. Lararens installning var att tidsbrist i kombination

med att de nagot abstrakta centrala innehallet och kunskapskravet gor att matematikens historia

far mindre utrymme i undervisningen (Johansson, 2013). Om larare istallet anvande matematikens

historia som verktyg skulle det innebara en viss forandring i arbetet men inte mer tidskravande an

nagot annat. Personligen tror jag att det finns mycket att hamta fran matematikens historia for att

gora undervisningen bade mer levande och pedagogisk. Nagra aspekter ar att; forsta svarigheter

som eleverna kan ha, fa hjalp med strukturen av sin undervisning, visa att matematiken konstrueras

av manniskor, samt att den ar en uppgifts-bank fylld med intressanta problem.

11

2.4 Undervisning

Detta avsnitt handlar om hur matematikens historia pa olika satt kan vara en tillgang for larande

och undervisning.

2.4.1 Forsta elevers svarigheter

Att som larare ha kunskap om matematikens historia kan medfora en battre kansla for vilka begrepp

och koncept som eleverna kommer ha svart med. Om nagot har varit svart att forsta for datidens

matematiker sa ar sannolikheten stor att det aven kommer vara svart att forsta for nutidens gym-

nasieelever. Med facit i hand kan man ocksa inse varfor det ar ett knepigt koncept och darmed vara

battre rustad for att hjalpa eleverna att overkomma svarigheterna (Butuner, 2016).

Ett koncept som kan vara svart for elever ar att acceptera negativa tal och att utfora operationer

med dessa, som exempelvis att a− b ar ekvivalent med a+ (−b) eller att (−a)(−b) = ab. Historiskt

sett har matematiker haft ett komplicerat forhallande till de negativa talen. Redan under 500-talet

utvecklade matematiker i Indien och Kina rakneregler for de negativa talen. Men flera arhundraden

senare finns det inte med i arabernas matematik aven om de var medvetna om hinduernas bidrag

till matematiken och detta visar pa att forstaelsen for negativa tal inte ar given. Langt senare,

under 1600-talet ansag aven den franska matematikern Blaise Pascal att det inte fanns nagot behov

av negativa tal och sa sent som pa 1800-talet var negativa tal helt obegripliga for den engelska

matematikern Augustus de Morgan. En studie fran Israel ger stod at att om larare ar medvetna

om de negativa talens historia sa kan de ocksa lattare forsta vilka svarigheter som eleverna stalls

infor. Anvandning av symbolisk notation ar nagot som inte heller varit en sjalvklarhet historiskt

sett och nagot som manga ganger staller till det for eleverna, som att de forenklar nedanstaende

uttryck sahar:

��cos�x

��cos2�x=

1

2

(Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s4-5).

Ett annat fenomen som elever brukar ha problem med ar komplexa tal. De blir forvirrade nar

de forst har fatt lara sig att negativa tal inte har kvadratrotter for att sedan forsoka overtygas

att de faktiskt har rotter. De undrar naturligtvis varfor reglerna plotsligt har andrats. Om man

12

ser till historien tog det ungefar 400 ar fran det att de komplexa talen upptacktes till att de blev

generellt accepterade. Matematikbocker brukar hoppa over den historiska analysen och ga direkt

pa definitionen att√−1 = i utan nagon narmare forklaring. Detta ar nagra av alla de begrepp

som har en lang historia men dar man hoppar direkt till slutet vilket skapar problem for elevernas

forstaelse av matematiken. Om larare ar medvetna om historien kan de ocksa forutsaga och forsta

vad eleverna tycker ar svart. Med den informationen ocksa kan de skapa strategier for att ta itu med

svarigheterna. Dessa strategierna kan mycket val vara hamtade fran hur problemet lostes historiskt

(Katz, Dorier, Bekken, Sierpinska, 2002).

2.4.2 Undervisningsstrategier

En strategi for att hjalpa eleverna med svarigheter i matematiken kan vara att presentera mate-

matiken med utgangspunkt i hur den upptacktes. Matematiska ideer presenteras sallan pa samma

satt som de upptacktes utan resultatet har genomgatt en lang process dar det har kokats ner till

allmanna principer som kan vara svara att koppla till den vardagliga forstaelsen. Om eleverna forst

far kannedom om bakgrunden till ett visst matematiskt koncept kan det bli det enklare for dem att

ta till sig de allmanna ideerna och lara sig matematiken (Tzanakis & Aravi, 2002, s204). Ofta har

matematiken utvecklats genom att man har haft ett specifikt problem som sedan har generaliserats,

exempelvis utgick den egyptiska och babylonska matematiken nastan enbart fran specifika problem.

Det var grekerna som forst borjade anvanda generella teorem och det ar ocksa sa man ska tanka da

man lagger upp sin undervisning. Alltsa att forst ga igenom ett specifikt problem eller en intuitiv

tanke for att sedan gora generaliseringar, det eftersom nar elever ska lara sig nagot nytt behover

de en referensram som de kan relatera det nya materialet till. Det vanliga ar dessvarre att larare

gor tvart om alltsa; definition, teorem, bevis och till sist exempel. Detta skapar storre forvirring

hos eleverna och de undrar hur nagon kunde komma pa definitionen bara sadar (Swetz, Fauvel,

Bekken, Johansson, Katz, 1995, s6). Genom historien har nya problem uppkommit som resultat

av redan losta problem, exempelvis fragade grekerna sig ”Vi vet hur man fordubblar arean av en

kvadrat, men hur blir det om man fordubblar volymen av en kub?”. Denna nyfikenhet leder till mer

kunskap och det ar sa larare ofta vill att elever ska tanka. Tyvarr ar eleverna inte vana att jobba

pa det sattet. Nar de har lost en uppgift och fatt ratt svar gar de vidare till nasta uppgift utan att

nyfiket stalla foljdfragor (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s9). Genom att beratta

om fragornas stora betydelse for den matematiska utvecklingen kan larare uppmuntra elever till att

13

undersoka matematiken runt det som star i bokens uppgifter och darmed fordjupa sina kunskaper

och oka motivationen.

2.4.3 Historiska problem

Ett utmarkt satt att inkludera matematikens historia i undervisningen, och dessutom anvanda

bra uppgifter for undervisningen, ar att leta bland problem fran historien. Matematikens historia

bidrar med en reservoar av genuina matematiska problem som uppkommit genom tusentals ar

av manniskors matematiska nyfikenhet (Tzanakis & Aravi, 2002, s204-205). Forutom att sjalva

uppgifterna kan anvandas som de ar, kan det aven vara intressant att jamfora olika losningsmetoder.

Exempelvis kan lararen presentera ett historiskt problem och lata eleverna losa problemet som de

ar vana vid, for att sedan undersoka hur det lostes ursprungligen (Katz, 2000, s30). Alternativt lata

grupper av elever fordjupa sig i hur olika kulturer resonerade kring ett specifikt problem och sedan

jamfora dem med varandra. Ytterligare ett tillvagagangssatt kan vara att presentera ett historiskt

problem som datidens matematiker hade besvar med, exempelvis Cauchys teorem, for att sedan

lata eleverna komma pa vad det ar som saknas i beviset. Om de inte skulle komma pa det kan

man beratta att de inte behover vara ledsna for det eftersom inte ens en stor matematiker som

Caushy kunde hitta felet utan det skulle ga 26 ar innan en annan matemaiker Philipp Ludwig

von Seidel lyckades att losa gatan (Katz, 2000, s6). Uppgifter i bocker ar ofta tillrattalagda sa att

det ska finnas ett ratt svar, men faktum ar att manga problem saknar losning. Exempel pa det

ar de tre klassiska antika problemen dar losningen var ”losning saknas”. I vissa fall kan uppgifter

i larobocker vara formulerade som ”visa att ... saknar losning”, men en sadan formulering dodar

karnan i problemet. Ett satt att implementera denna typ av uppgift kan istallet vara att integrera

problem utan losning bland andra problem som har losning, sedan lata eleverna sjalva komma fram

till svaret (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s9). Larare kan ocksa utnyttja historiska

misstag, forandrade uppfattningar och paradoxer i sin undervisning for att fa eleverna att inse att

jobba matematiskt handlar just om att gora misstag och det ar pa den vagen som matematiken

utvecklas.

14

2.4.4 Visa att matematiken ar dynamisk och en mansklig konstruktion

Genom att visa matematiken som en konstruktion istallet for reproduktion kan larare hjalpa elever

att komma bort fran att lara sig regler utantill och istallet far en battre och djupare forstaelse. I

skolan ar exempelvis positionssystemet en fardig struktur. Eleverna far inte lara sig att det bygger

pa kunskaper fran olika kulturer och har utvecklats under lang tid. Babylonierna bidrog med posi-

tionsiden, symbolen for noll som formodligen kommer fran Grekland och siffrorna som vi har idag

har sitt ursprung i Indien (Thompson, 1984). Om elever far upp ogonen for att misstag, osakerhet,

och olika angrepssatt inte bara ar berattigat utan ocksa en viktig del i skapandet av matematiken

kan detta uppmuntra dem till att sjalva stalla fragor, satta upp hypoteser, testa dem och vaga

gora fel(Tzanakis & Aravi, 2002, s205). Matematik upplevs av manga elever som ett trakigt och

inrutat amne utan nagra manskliga inslag (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s10-11).

For att gora matematiken mer levande kan larare darfor lyfta fram den manskliga sidan genom att

beratta historier eller anekdoter som behandlar avsnittet i matematiken som eleverna jobbar med

for tillfallet. Det basta ar om anekdoten bade ar sanningsenlig och underhallande men ibland kan

de utsmyckas en del for att poangen ska ga fram starkare (Katz, 2000, s4).

2.4.5 Mangfaldsperspektiv

Matematik ses ofta som en produkt av vasterlandsk kultur men genom att studera historien kan

larare och elever bli medvetna om andra mindre kanda metoder inom olika kulturer och matemati-

kens betydelse i olika kulturer. Detta kan hjalpa larare i att gora undervisningen mer inkluderande

genom att visa olika kulturers bidrag till matematiken (Tzanakis & Aravi, 2002, s207).

15

3 Metod och material

For att besvara fragestallningarna har inledningsvis en litteraturstudie gjorts. Denna litteratur-

studie bestod av att soka fakta om hur matematikens historia kan anvandas i undervisningen.

Utgangspunkten har till stor del varit studien History in mathematics education - the ICMI study

fran 2002 som ar en omfattande studie dar olika aspekter av matematikens historia i undervisningen

av matematik behandlas. Det ar egentligen inte en studie utan en sammansattning av flera studier.

Varje kapitel ar en studie i sig och de olika forfattarna tar upp olika hanseenden. Andra bocker

och artiklar i amnet har aven anvants for att kunna synliggora olika perspektiv dar matematikens

historia kan gynna undervisningen. Dessa har dels handlat om hur och varfor matematikens historia

bor anvandas i undervisningen och dels litteratur om sjalva matematikens historia. For att granska

hur dagens larobocker inkluderar matematisk historia gjordes en dokumentanalys. En dokumenta-

nalys innebar att analysera en text exempelvis laromedel utifran en viss aspekt (Stukat, 2005, s53),

i mitt fall forekomst och framstallning av matematikens historia i bockerna. Larobockerna har aven

jamforts med varandra for att se om forfattarna har tolkat skolverkets krav pa matematikens histo-

ria pa olika vis. Att gora en sadan jamforelse kallas for att gora en komparativ studie (Stukat, 2005,

s53). Begransningar av materialet har gjorts genom att enbart studera en av matematikkurserna

for gymnasieskolan. Kursen som har valts att behandlas ar matematik 1b som lases av elever pa

samhallsvetenskapsprogram, ekonomiprogram, estetisk- eller humanistiskt program . Anledningen

till valet av just denna kurs ar for att b-sparet lagger storre vikt vid matematik som en del av

samhallet (Skolverket, 2018). Larobockerna som har studerats ar fran fyra olika forlag och alla ar

vanligt forekommande i skolor runt om i Sverige. De olika bokserierna ar Exponent, Origo, Mate-

matik 5000 samt Matematik M. Fokus har varit att undersoka forekomst av problem med koppling

till matematikens historia, om det har funnits speciella faktarutor eller om historia har anvands i

teoriavsnitten dar nya avsnitt eller begrepp forklaras. I resultatdelen redovisas forekomst av mo-

ment med koppling till historia i de olika bockerna och tabell 1 pa sida 34 visar en sammanstallning

av detta. Resultatet diskuteras och kopplas darefter till styrdokument och litteratur i analysdelen.

I diskussionen reflekteras, utifran larobocker styrdokument och litteratur, over hur larare kan dra

nytta av historien for att forbattra undervisningen och stodja elevernas larande och installning till

amnet.

16

4 Resultat

I detta avsnitt redovisas forekomsten av historia i de olika larobockerna.

4.1 Exponent 1b

4.1.1 Taluppfattning

Kapitel 1 handlar om taluppfattning och pa introduktionssidan finns en bild av en lertavla med ba-

bylonisk kilskrift pa. Pa denna sida star det om att tal har funnits under en lang tid i olika kulturer

och med olika uttryckssatt. Exempel pa kulturer dar tal har spelat en viktig roll ar babylonierna,

de indiska, egyptiska och kinesiska kulturerna. Det star aven att ett avsnitt langre fram i kapitlet

kommer behandla babylonska, romerska, och binara tal lite mer ingaende.

Senare i samma kapitel kommer ett avsnitt som behandlar heltal. Aven har finns en sida med

text som beskriver var vart positionssystem kommer ifran. Det star att det forsta talsystem som

manniskan anvande endast inneholl positiva heltal.

Ungefar 1900 f.kr. borjade babylonierna anvanda siffran noll men da betecknades den med en

tom plats i positionssystemet. Sjalva symbolen for noll sags komma fran Indien 500 e.kr. och detta

beskrivs i ett verk av Al-Khwarizmi 825 e.kr. Det indiska namnet for noll var sunuya som betyder

tomrum. Det oversattes senare till latin och blev zephirium detta har i sin tur givit namnet till det

svenska ordet siffra och engelskans zero.

Det star aven om att manniskor hade svart for att acceptera de negativa talen. Babylonierna och

egyptierna kande inte alls till dem utan det var forst pa 600-talet e.kr. som matematiker i Indien

inforde dessa. I Kina anvande man sig av stickor for att representera tal. Dessa fanns i bade rott och

svart da roda var positiva tal och svarta var negativa tal. Aven om de negativa talen hade anvands

i Indien och Kina sa var det manga som fortfarande var tveksamma om det kunde finnas eftersom

”ingenting kunde ju vara mindre an ingenting”.

17

Det finns aven en uppgift i boken dar eleverna ska undersoka Eratosthenes sall:

Eratosthenes sall ar en metod for att hitta primtal som gar till sahar: Borja med

att skriva ner alla tal i ett intervall t.ex. 1 till 100. Vi vet att det forsta primtalet ar

2. Stryk nu alla tal som ar delbara med 2, forutom talet 2. Stryk darefter alla som ar

delbara med 3 forutom 3. Talet 4 ar nu struket. Sedan stryker vi de som ar delbara med

5 forutom 5. Fortsatt sedan med nasta tal som inte ar struket. Vilka primtal hittar du

mellan 1 och 100? (Exponent 1b, uppgift 1061, s.35)

Avsnittet om talsystem forklarar hur de romerska talen ar uppbyggda. Det finns en bild pa Royal

Albert Hall i London dar fasaden ar kladd med romerska siffror. Siffrorna representerar aret da

byggnaden invigdes. Uppgifterna till bilden ar:

a.) Bilden visar en del av fasaden pa Royal Albert Hall i London. Nar invigdes den, enligt inskrip-

tionen?

b.) Skriv talet 436 med romerska siffror.

Efter det kommer 11 ovningar dar alla handlar om att oversatta mellan romerska talsystemet

och det decimala talsystemet, tva av dessa beskriver historiska handelser.

En beskrivning om talsystem berattar att det genom historien har funnits manga olika talsystem.

Ett av de tidigaste var Babylonierna som hade ett positionssystem med basen 60, sa kallat sexage-

simala talsystemet. Det babyloniska systemet lever kvar i vart samhalle an idag eftersom vi har 60

sekunder pa en minut och 60 minuter pa en timme. De anvande kiltecken istallet for tal och tva

exempel visar hur man ska tolka olika tal skrivna med kiltecken. Detta foljs av 8 st uppgifter dar

eleverna ska tolka kiltecken och skriva om decimala tal till tal med basen 60.

4.1.2 Algebra

Kapitel 2 borjar pa liknande satt som kap 1 men nu handlar det om algebra. I den introduce-

rande texten star det om ordet algebras ursprung, det kommer fran ordet al-jabr som betyder

aterstallande. Al-Khwarizmi skrev en bok pa 800-talet som hette Ett kompendium om rakning med

al-jabr och al-muqabal dar al-jabr innebar att addera lika termer i en ekvations bada led sa att

negativa termer forsvinner.

18

De symboler som idag anvands inom algebran utformades under 1500- och 1600 talet men det

var redan pa 200-talet i Alexandria som den forsta matematikern borjade anvanda symboler inom

matematiken. Denna grekiska matematiker var Diofantos som kanske mest ar kand for sina Diofan-

tiska ekvationer. Dessa ekvationer ar pa formen Ax+By = C dar A, B och C ar heltal och A,B 6= 0.

I verket Arithmetica visar han losningar pa sadana ekvationer och ekvationssystem, losningarna har

alltid heltalsvarden for x och y. Dar finns aven en uppgift om Diofantos for eleverna att losa:

Diofantos tillbringade en sjattedel av sitt liv som barn. Efter annu en tolftedel lat

han skagget vaxa. En sjundedel av sitt liv senare gifte han sig. Fem ar darefter foddes

hans son, som blev halften sa gammal som fadern. Diofantos dog fyra ar efter sin son.

Hur gammal blev Diofantos?

Pa forsta sidan av avsnittet om potensekvationer star det att den som forst anvande sig en sym-

bolen for rottecken var Leonardo av Pisa, aven kallad Fibonacci, som levde pa 1200-talet. Istallet

for symbolen som vi har idag sa anvande han bokstaven R fran latinets Radix som betyder rot.

Rottecknet harstammar troligtvis fran 1600-talet och fran bokstaven r som sedan blivit√...

4.1.3 Geometri

Kapitel 3 handlar om geometri, pa forsta sidan far eleven lara sig att ordet geometri kommer fran

det grekiska ordet geometria som betyder jordmatning. Redan for 4000 ar sedan anvandes geometri

i Egypten och Mesopotanien for lantmateri och for byggnaskonsten.

Det star aven att all grundlaggande geometri finns i en bok som heter Elementa. Boken ar skriven

av Euklides, 300 f.kr i Alexandria. Elementa ar ett verk i 13 delar och sammanfattar det mesta man

visste om matematik pa den har tiden. Det har varit en viktig bok da den fram till idag har varit

tongivande for larobocker i geometri over hela varlden och ar nast efter Bibeln den mest spridda

bok i vastvarlden. Elementa ar uppbyggd med satser som bevisas med hjalp av definitioner och

axiom, det finns aven en bild pa ett utdrag fran Elementa.

19

Avsnittet om Pythagoras sats beskriver forst att en av de mest kanda satserna inom geome-

trin ar uppkallad efter den grekiska matematikern Pythagoras som levde for cirka 2500 ar sedan.

Sedan forklaras att satsen beskriver sambandandet mellan sidorna i en ratvinklig triangel enligt

a2 + b2 = c2.

Avsnittet om cirkeln inleds med informationen om att det var pa 1700-talet som beteckningen

π infordes av Leonard Euler men att man har funnit lertavlor fran babylonien med narmevarde pa

π till 3.125.

Nar symmetrier behandlas forklaras att ordet symmetri kommer fran grekiska symmetrıa och att

det betyder jamforande matning och i mosaikavsnittet star det att mosaik borjade anvandas redan

for 5000 ar sedan i Sumer som ar nuvarande Irak.

Den inledande texten till avsnittet Argument, definition, axiom, sats och bevis ges ett historiskt

exempel pa vetenskaplig argumentation. Namligen hur Copernicus (1473-1543) argumenterade for

sin teori om planeternas banor kring solen genom att peka pa himlakropparnas rorelsemonster. Det

tog dock manga ar innan han vagade framfora teorierna pa grund av kyrkans installning om att

jorden var solsystemets mittpunkt.

Det star aven om att logiken grundades av Aristoteles som levde for 2300 ar sedan. Logiken utveck-

lades sedan fran och med 1800-talet med hjalp av algebran. I en faktaruta star det att man brukar

skriva VSV vid avslutat bevis, och att man redan pa Euklides tid 300 f.kr. skrev Q.E.D (quod erat

demonstrandum, det som skulle bevisas).

I en gruppaktivitet ska eleverna bevisa Pythagoras sats genom att klippa geometriska figurer i

papper. Det star att sambandet redan var kant av babylonierna men att det fick namn efter Pyt-

hagoras da det var han som forst bevisade den. Det finns en uppgift om Fibonacci dar ska eleverna

ska hitta ett monster i talfoljden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 och bestamma det elfte talet. Sedan

ska de jamfora kvoter av dessa tal med det gyllene snittet. Det finns aven en uppgift om Leonardo

da Vinci. Eleverna far i denna uppgift en bild av Mona Lisa och ska gora matningar i bilden for att

hitta tva stallen som har gyllene snittets proportioner.

20

4.1.4 Procent

Aven i kapitel 4, Procent, finns en historisk bakgrund. Procentrakning anvandes redan under antiken

da det anvandes vid ekonomiska berakningar som ranta vid lan eller berakning av skatt. Ordet

procent kommer fran latinska pro centrum som betyder per hundra. Dock forekommer inga uppgifter

med historisk koppling.

4.1.5 Funktioner

I inledningen av kapitel 5, Funktioner, star det att babyloniska astronomer anvande sig av funktioner

for att studera himlakropparnas rorelser. Genom att betrakta himlakropparnas lage som en funktion

av tiden. Ordet funktion infordes inte forran slutet av 1600-talet av den tyska matematikern och

filosofen Gottfried Wilhelm von Leibniz och termen definerades av den Schweiziske matematikern

Jean Bernoulli i borjan av 1700-talet som en variabel. Leonaro Euler var elev till Bernoulli och

gjorde i sin tur en samlad beskrivning av funktioner som ingar i skolans matematik idag. Det mo-

derna sattet att se pa funktioner definierades pa 1800-talet av Peter Dirichlet, en tysk matematiker.

Det forsta avsnittet i kapitlet tar upp koordinatsystem. Har star att koordinatsystemet skapa-

des pa 1600-talet av Descartes da han anvande tva graderade linjer, en vagrat och en lodrat, for

att dela upp ett plan i fyra delar (kvadranter). En uppgift fran Rhindpapyrusen finns med pa sidan

235:

I den 3600 ar gamla Rhindpapyrusen (en handbok i egyptisk matematik) finns

foljande problem:

Om ett tal, tva tredjedelar av talet, halften av talet och en sjundedel av talet adderas

blir resultatet 97. Vilket ar talet?

4.1.6 Sannolikhetslara och statistik

Kapitel 6, Sannolikhetslara och statistik, innehaller ingen historisk koppling.

(Gennow, Gustavsson & Silborn, 2011)

21

4.2 Origo 1b

I forordet till laroboken star det att det i slutet av varje kapitel finns det ett avsnitt med historia

som beskriver matematiken ur ett idehistoriskt perspektiv.

4.2.1 Tabeller och diagram

Figur 1: Origo 1b, s.19.

Det forsta avsnittet med historia

tar upp Florence Nightingale, att

hon arbetade som sjukskoterska och

forbattrade militarsjukvarden i Eng-

land. Det ar mindre kant att hon

ocksa var en duktig statistiker, vil-

ket hon hade anvandning for da hon

samlade in data och presenterade des-

sa i olika tabeller och diagram. Till

exempel gjorde hon ett diagram over

dodsorsaker av soldater under Krim-

kriget (se figur 1) och visade pa att

den storsta dodsorsaken var smitt-

samma sjukdomar, inte direkta krigs-

skador. Detta gjorde sa att hon fick

igenom sina krav pa forbattrad hygi-

en pa sjukhusen vilket ledde till att

dodligheten minskade bland soldater-

na. For sina insatser blev hon den

forsta kvinnan att bli invald till Royal

Statistical Society 1858. Det finns aven en uppgift dar eleverna ska tolka Florence Nightingales di-

agram av dodsorsaker i kriget.

22

4.2.2 Tal

Kapitel 2 handlar om tal och borjar med att beratta att matematik ar ett sprak som har utvecklats

under flera artusenden. Det star om mayafolket som var en betydelsefull kultur omkring 15000 f.kr.

Deras tro var starkt kopplat till astronomi och astronomiska forutsagelser hade en stark stallning

inom kulturen. De anvande sig av tal for att gora dessa astronomiska berakningar. Vi vet lite om

deras satt att rakna da det har funnits efterlamnade texter pa exempelvis byggnader. I detta kapi-

tel ska eleverna fa lara sig om tal som ar skrivna pa olika satt och om olika talsystem genom historien.

I texten pa nastkommande sida beskrivs tal i olika former och att manniskor i alla tider har anvant

sig av de naturliga talen for att rakna antal foremal som fanns i omgivningen. De negativa ta-

len borjade anvandas i samband med handel och representerade en skuld. Det finns en faktaruta

som kallas for ordboken dar ordet negativ sags komma fran latinets negare som betyder upphava

eller forneka. Och att da exempelvis talet -5 upphaver talet 5 (5 − 5 = 0). Pa samma sida star

aven att de negativa talen och nollan infordes i Indien pa 600-talet. De anvande inte minustec-

ken som vi gor idag utan sma pilar som visar om det ar en skuld eller en tillgang, ungefar som

dagens tallinje. I Europa borjade man inte rakna med negativa tal forran pa 1200-talet och minus-

tecknet kom forst pa 1600-talet. Under avsnittet om primtal och delbarhet star det i faktadelen

att antikens matematiker visade att det finns oandligt manga primtal. I avsnittet om talsystem

star det att det vara 10 fingrar tros ligga till grund for det decimala talsystemet. En ordboksruta

informerar om att ordet prefix kommer fran latinets preafixum som betyder att fasta nagot framfor.

Det finns aven en uppgift pa sidan 42 (uppgift 2179) som sags vara hamtad fran Rhindpapyru-

sen:

Foljande problem ar hamtat ur Rhindpapyrusen (ca 1700 f.kr.):

”Se, dar kommer herden med 70 oxar.”

Den som raknade fragade herden:

”Hur stor del av din talrika hjord for du med dig?”

Herden svarade:

”Tva tredjedelar av tredjedelen. Hur stor ar min hjord?”

23

Pa historiasidan i slutet pa kapitel 2 (figur 2 och 3) star det om olika kulturers talsystem; det

egyptiska, babyloniska, mayafolkets, romerska, indiska och binara talsystemet. Det finns en uppgift

pa sidan dar man ska skriva 182 med mayafolkets talsystem. En uppgift dar man ska tyda ett

egyptiskt tal och en dar man ska skriva artal med romerska siffror finns.

Figur 2: Origo 1b, s.66. Figur 3: Origo 1b, s.67.

4.2.3 Algebra och ekvationer

Kapitel 3 hanterar algebra och ekvationer och pa forsta sidan star det att ordet algebra kommer fran

arabiskans al-jabr och betyder ekvationslosning. 830 e.kr skrevs det forsta vetenskapliga arbetet om

algebra av den persiske matematikern Al-Khwarizmi. Man borjade anvanda bokstaver och symboler

inom algebran forst pa 1600-talet. I slutet av kapitel 3 star det om Fibonacci (se figur 4) och hur

han reste runt Medelhavet och dar kom i kontakt med bade arabiska och grekiska matematiker.

Kunskaper darifran sammanfattade han i en bok, Liber Abbaci, dar siffror representeras pa samma

vis som vi gor idag. Det berattas aven att den kanda talfoljden 1 1 2 3 5 ... har fatt sitt namn efter

honom och eleverna har fatt uppgiften att fortsatta en skiss av kaniners fortplantning, dar antalet

kaniner beskrivs med talfoljden.

24

4.2.4 Procent

I kapitel 4 finns en ordboksruta som forklarar att ordet procent kommer fran latinets pro centrum

som betyder for varje hundra. En annan ordboksruta forklarar att ordet inflation kommer fran

latinets inflatio som betyder uppblasning. Pa den historiska sidan (se figur 5) star det om kejsar

Augustus skatter, att skatten pa varje sald slav var 4/100 och 5/100 for varje frigiven, en arvs-

skatt pa 5/100 och 1/100 pa saker salda pa auktion. Poangen ar att manniskor har raknat med

hundradelar langt tillbaka i historien. Det star aven att procenttecknet harstammar fran Italien.

Eleverna uppmanas att hitta procenttecken i en gammaldags italiensk text fran 1684. En bild visar

procenttecknets utveckling: fran per cento → per◦c → p◦

◦ → %


4.2.5 Funktioner

Kapitel 5 handlar om funktioner och pa historiasidan star det om kryptering. Ordet kryptering

kommer fran grekiskans krypto som betyder dolja. Det har alltid varit av intresse att skapa hemlig

skrift och knacka hemliga koder, sarskillt i tider av krig och oro. Det finns nagra exempel pa

krypteringar samt tva problem att losa (se figur 6).

25

4.2.6 Statistik

Kapitel 6 handlar om statistik. I borjan star det om statistikens betydelse i Sverige och att det

ar viktigt for att fatta viktiga samhalliga och politiska beslut samt for beslut som fattas inom

foretag (en forutsattning for utveckling). Sverige var det forsta landet i varlden som borjade samla

in statistik redan i slutet av 1600-talet. Pa historiasidan star det om George Gallup som 1932 gjorde

den forsta opinionsundersokningen for att ta reda pa om hans svarmor hade chans att vinna ett

val. Undersokningen gav stod at att hon faktiskt hade en chans och efter valet stod det klart att

hon var vinnaren. Han borjade sedan gora opinionsundersokningar for presidentvalet och lyckades

forutsaga Franklin D Roosevelts seger. Det finns aven med ett problem som bestar av att tolka

resultat fran en opinionsundersokning pa olika satt (se figur 7).


4.2.7 Sannolikhet

Kapitel 7 handlar om sannolikhet. Pa forsta sidan mots vi av historian om Pierre och Blaises som

spelar ett spel. Spelet gar ut pa att singla slant fem ganger, men de blir avbrutna efter endast tre

omgangar. Fragan ar da hur de ska rattvist fordela potten mellan varandra. Pa sidan med historia

star det mer om spel, sannolikhet for tarningskast och komplementhandelser. Det star att spel har

varit en drivande kraft i utvecklandet av sannolikhetslaran. Det finns aven en fraga om sannolikhet

som bestar av att bedoma vad som ar mest sannolikt; att fa minst en sexa vid kast med sex tarningar

eller fa minst ett klatt kort vid drag av sex kort fran en kortlek (se figur 8).

26

4.2.8 Geometri och bevis

Kapitel 8 har titeln Geometri och bevis. I avsnittet om vinklar och trianglar star det att det var

babylonska astronomer som var forst med att mata vinklar. De anvande en cirkel och vinkelspetsen

i mitten och sedan jamforde de cirkelbagen for vinkeln med hela cirkelns omkrets. De valde att

dela upp cirkeln i 360 delar. 360 kommer fran deras tidrakning, ett ar var 12 manader med 30

dagar alltsa 360 dagar pa ett ar. Nar vi raknar vinklar idag gor vi fortfarande pa samma satt, ett

varv ar 360◦, och var gradskiva fungerar pa ungefar samma satt. Det finns ett avsnitt om enheter

dar det beskrivs att SI enheterna infordes 1960 och anvands nu i storre delen av varlden. Tidigare

fanns stora skillnader i de enheter som manniskor i olika delar av varlden anvande (vilket till viss

del aven finns kvar i dag). Det finns flera ordboksrutor i avsnittet exempelvis att ordet volym

kommer fran latinets volumen som betyder rulle, att symmetri kommer fran grekiskans symmetria

och betyder jamforande matning, implikation kommer fran latinets implicstionem vilket betyder

sammanflatning och att ekvivalens kommer fran latinska aequivalentem vilket betyder lika vard. I

avsnittet om satser och bevis star det om modellen med att anvanda bevis kommer fran Euklides

Elementa 300 f.kr.och att elementa ar uppbyggd av enkla definitioner, axiom, satser och bevis. Det

star aven att efter avslutat bevis i elementa star det q.e.d vilket motsvarar vart vsb. Pa historiasidan

far vi lasa mer om Euklides Elementa och en fraga om vad som ar skillnaden pa en definition och

en sats samt skillnaden pa pastaende och sats.


27

4.3 Matematik 5000 1b

I bokens beskrivning star det att det finns avsnitt med historik som har tillhorande uppgifter och

att matematiken satts in i ett historiskt sammanhang.

4.3.1 Aritmetik - Om tal

Figur 10: Matematik 5000, s.57.

Kapitel 1 heter Aritmetik om tal. I

avsnittet om primtal och delbarhet

star det att redan Euklides som var en

matematiker pa 300-talet f.kr. visste

att det finns oandligt manga prim-

tal. Det finns en uppgift pa avsnittet

om brak som handlar om egypternas

stambrak, uppgift 1345 pa sidan 39:

For flera tusen ar sedan raknade man

i Egypten nastan bara med brak dar

taljaren ar 1. Sadana brak kallas for

stambrak.

a.)2

7kan skrivas som summan av tva

olika stambrak. Det ena ar1

4, vilket

ar det andra?

b.) Sju tolftedelar kan skrivas som

summan av tva olika stambrak. Det ena ar1

3, vilket ar det andra?

I avsnittet om talsystem med olika baser star det att vart talsystem ursprungligen kommer fran

Indien och att det har anvants i vastvarlden i ungefar 1000 ar. Detta talsystemet har basen 10

men det finns aven andra baser, som t.ex. babyloniska talsystemet med basen 60 eller mayafolkets

med basen 20. Det finns aven uppgifter dar eleverna ska skriva om tal i olika talsystem. Det finns

ocksa en historisk ruta som gar lite djupare in pa egyptiska talsystemet och mayafolkets talsystem

dar bade basen och deras talsymboler behandlas. Till detta finns 6 stycken uppgifter dar man ska

oversatta fran och till vart talsystem.

28

4.3.2 Procent


Kapitel 2, Procent. Pa historiksidan

star det om varifran procenttecknet

kommer. Att det var den romers-

ka kejsar Augustus skatter som var

borjan till att skriva delar i hund-

radelar och eftersom 100 heter cen-

to pa italienska sa blev en del av

hundra ”per cento” och forkortades

sa smaningom till procenttecknet vi

har idag, per cento→ p 00 → %. Det

finns aven 6 stycken uppgifter pa si-

dan om historiska procentproblem (se

figur 11).

4.3.3 Algebra

Kapitiel 3, Algebra. I problemlosningsavsnittet

finns pa sidan 167 en uppgift och en

bild pa en del av Rhindpapyrusen.

Uppgift 3430:

Pa Rhindpapyrusen, en nastan 4000 ar gammal egyptisk skrift, kan vi hitta foljande problem:

”Ett tal adderat med sin fjardedal blir 15. vilket ar talet?”

29

4.3.4 Geometri


Kapitel 4 behandlar geometri. I den

historiska rutan finns information om

var talet π kommer ifran, namligen

att π =omkretsen

diameternav en cir-

kel. Det star aven att manniskorna

i gamla Egypten 1900 f.kr. hade

en metod for att berakna cirkelns

area: arean = (8

9· diametern)2

och att manga olika kulturer tog

fram ett varde pa π i brakform,

dessutom finns tva stycken uppgif-

ter.

I avsnittet om gyllene snittet finns en

uppgift om Fibonacci. Det beskrivs

att han var en italiensk matematiker

som levde pa 1200-talet och att han givit namn at talfoljden: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 ... .dar varje tal ar

summan av de tva tal foregaende. Det star aven att Fibonaccitalen forekommer i spiralstrukturer i

naturen. Ett exempel ar solrosen som det aven finns en bild av. Antalet spiraler moturs respektive

medurs i solrosen ar 21 respektive 13, alternativt 34 och 21 (tal i Fibonaccis talfoljd). Uppgifterna

ar foljande:

a.) Vilka ar nasta tre tal i talfoljden?

b.) Berakna kvoterna 21/13 och 34/21.

c.) Berakna ytterligare tva kvoter, vad upptacker du?

30


Kapitel 5, Sannolikhetslara och statistik. Ingen historia om sannolikhet och statistik finns med i

kapitlet. Darimot finns ett avsnitt med blandade ovningar fran samtliga moment i boken dar en

uppgift med olika kulturers varde pa π inkluderas. Uppgiften ar att avgora vilket varde som ar mest

korrekt och vilket som ar langst ifran det korrekta vardet samt att berakna en cirkels omkrets med

egypternas varde pa π, uppgiften finns pa sidan 296 och ar hamtad fran ett gammalt nationellt

prov.

Genom historien har matematikerna forsokt komma fram till ett bra narmevarde till

π. Har ar nagra av de varden som anvants:

Indierna:√

10

Egyptierna:256

81

Romarna: 31

8

Grekerna:22

7

a.) Vilket varde ar narmast π och vilket ar langs ifran?

b.) Anvand egyptiernas varde for π och berakna omkretsen for en cirkel med diametern

125 m.

4.3.6 Grafer och funktioner

Kapitel 6, Grafer och funktioner. Inga historiska kopplingar.

(Alfredsson, Brating, Erixon, Heikne, 2011)

31

4.4 Matematik M 1b

4.4.1 Numerisk rakning

Pa forsta sidan i forsta kapitlet finns en sida med rubriken ”Talens historia”. Underrubriker till

denna ar: naturliga tal, hela tal, rationella tal, irrationella tal, reella tal och decimalsystemet.

Naturliga tal har uppkommit eftersom manniskor alltid har haft behov av att rakna och veta

antal som exempelvis hur manga hastar som man ager.

Hela tal beskrivs som de naturliga talen tillsammans med de negativa talen. Det beskrivs att det

var forst pa 1600-talet som dessa accepterades i Europa men att de har raknats med i Kina och

Indien i mer an 1000 ar.

Rationella tal beskrivs forst med exemplet att1

3kallas for ett brak. Sedan star det att for 2500

ar sedan trodde manniskorna att alla tal kunde skrivas pa brakform. Nar de upptackte att det inte

fungerade med alla tal fick de problem.

Exempelvis kunde inte talen√

2 eller π skrivas som ett brak, dessa tal kallas Irrationella tal.

Reella tal ar bade rationella och irrationella tal.

Vart talsystem kallas for Decimalsystemet och ar uppbyggt av siffrorna 0–9 med talet 10 som

bas. Siffrornas position har betydelse for talets varde, exempelvis ar talen 203 och 230 inte lika

stora. Det finns aven andra talsystem som exempelvis ett talsystem med basen 60 som anvandes

for 4000 ar sedan i Mesopotamien. Det ar fran den har tiden vi har fatt 60 minuter pa en timme

och 60 sekunder pa en minut.

Det finns en ruta som heter ”Upptack och visa” dar eleverna rakna med stambrak men det finns

ingen historisk forklaring, eller att stambrak anvandes i gamla Egypten (se figur 28).

Figur 13: Matematik M, s.68.

32

4.4.2 Procent

I kapitel 2, Procent, finns historian till varfor procenttecknet ser ut som det gor. Det star att tecknet

% ursprungligen kommer fran pro centrum vilket ar latin och betyder ”for hundra”. Istallet for att

skriva ut hela uttrycket forkortades det till◦c, sedan blev det

0

0och nu skrivs det som % over hela

varlden.

4.4.3 Uttryck och ekvationer

Det finns en textruta med forklaring till ordet algebras ursprung. Det sags komma fran det arabiska

ordet al-jabr. I en arabisk matematikbok fran 800-talet finns detta ord med och betydelsen ar att

addera lika termer.

4.4.4 Funktioner

I avsnittet om ekvationssystem finns en textruta och bild om Rene Descartes 1596-1650 som sags

vara den forsta matematikern som anvande koordinatsystem. Det ar darfor vanliga koordinatsystem

brukar kallas kartesianskt. Han skulle ha fatt iden da han lag i sangen och studerade en fluga i taket.

Med hjalp av ett tankt koordinatsystem kunde han bestamma flugans fortsatta vag. Det star aven

att drottning Kristina bjod in honom till Stockholm dar han dog.

4.4.5 Sannolikhet och statistik

Det finns en textruta om matematikern, fysikern och filosofen Blaise Pascal (1623-1662). Han be-

skrivs som den som uppfann rouletten och att han har gett namn at enheten som vi mater tryck

i Pa (pascal) samt att vi anvander oss av hans upptackter inom sannolikhetslaran. Det star att

han en gang fick ett brev av en greve. I brevet fanns ett problem for Pascal all losa, och samma

problem finns aven i laroboken nagra sidor framat. Det star att Pascal kunde losa problemet och

eleven fragas: kan du? Detta ar uppgift 5117 som finns pa sidan 271 i boken.

Vilket av A eller B ar enklast att fa?

A: minst en 6:a da jag kastar en tarning 4 ganger

B: minst en dubbelsexa da jag kastar tva tarningar 24 ganger

33

4.4.6 Geometri

I avsnittet om Pythagoras sats beskrivs forst satsen, sedan finns en textruta om Pythagoras och

en bild av honom. I textrutan star det att han ar kand for satsen a2 + b2 = c2 som ar ett uttryck

for sambandet mellan sidorna i en ratvinklig triangel. Sambandet var kant langt tidigare men

Pythagoras var forst med att bevisa satsen och darfor har den namngivits efter honom. Det star

att det anvandes i Egypten for att konstruera rata vinklar, de egyptiska trinanglarna hade sidorna

3,4 och 5. En ruta som heter ”Kommunicera” uppmanar eleverna att ta reda pa vilka langdenheter

som anvandes ”forr i tiden”. Det pastas att manga hanger samman med manniskokroppen och att

eleverna ska kontrollera om de verkar stamma.

(Holmstrom, Smedhamre & Sjunnesson, 2011)

4.5 Tabell av resultatet

Tabell 1:

Fakraruta/

Historisk sida

Introducerande

textUppgifter Kommentarer

Exponent 1b 0 16 23

Det historiska perspektivet kommer

in i introduktionen av kapitlen och

i borjan av olika avsnitt. Det finns

inte renodlade rutor med historia.

Origo 1b 8 8 11

Historia forekommer dels i introduktionen

av nya avsnitt och dels som faktarutor i

slutet av varje kapitel. Faktarutorna har

tillhorande problem i sma rutor, dessa ar

inte numrerade som de vanliga uppgifterna.

”Ordboken” ar sma rutor med historisk

forklaring till olika matematiska ord.

Matematik 5000 1b 3 3 18

Historiska sidor med flera tillhorande

uppgifter kopplade till texten.

Det finns aven en del uppgifter med

historisk koppling i bokens ”vanliga”uppgifter.

Matematik M 1b 5 1 1

Faktarutor med historiska personer

som har haft betydelse for

matematikens historia. Det finns fa

problem med koppling till matematikens historia.

34

5 Analys

5.1 Jamforelse mellan bockerna for de olika avsnitten

De olika avsnitten i bockerna jamfors med varandra. Det finns aven en tabell som visar vilka begrepp

som finns med for de olika bockerna, ett X betyder att det finns med och tom ruta innebar att det

inte finns med.

5.1.1 Aritmetik

Larobockerna hade alla utom Origo avsnittet om aritmetik som det forsta kapitlet i boken. Nam-

nen pa kapitlet skiljde sig nagot bockerna emellan. ” Taluppfattning” i Exponent, ”Tal ” i Origo,

”Aritmetik – om tal ” i Matematik 5000 och ”Numerisk rakning” i Matematik M. Tabell 2 visar

vad de olika larobockerna behandlar med ett historiskt perspektiv.

Tabell 2: Aritmetik

Exponent 1b Origo 1b Matematik 5000 1b Matematik M 1b

Positiva talens historia X X

Negativa talens historia X X X

Nollan X X

Talsystem Babylonien X X X

Talystem Egypten X X

Talsystem decimala X X X

Talsystem Mayafolket X X

Talsystem romerska X X

Talsystem Indiska X

Talsystem Binara X

Al-Khwarizmi X

Primtal X X

Diofantos X

Fibonacci X

Rottecken X

35

Utifran tabellen syns att Exponent och Origo har nagot fler moment med historia och det syns

ocksa i bockerna. Dessa bocker har historia som en rod trad genom hela kapitlet medan Matematik

5000 och Matematik M har fokuserat att behandla historia pa en specifik sida. Vad dessa bocker har

fokuserat pa skiljer sig ocksa at Matematik 5000 har valt att skriva om Egyptens och Mayafolkets

talsystem i bade text och med uppgifter. Matematik M har skrivit om talens historia.

Jag anser att avsnittet om tal och talsystem vinner mycket pa att inkludera ett historiskt per-

spektiv sa som Exponent och Origo har gjort. Det blir ett naturligt inslag som hjalper eleverna att

forsta att det ar manniskor som uppfinner och utvecklar matematiken. Historia om tal visar att

olika typer av tal har uppkommit allt eftersom det har funnits ett behov av dem. Tidigt i historien

var det viktigaste att kunna rakna med positiva heltal, for att kunna rakna antal av objekt i sin

omgivning. Nar manniskor borjade med handel behovdes ett verktyg for att redogora skulder, det

var da negativa tal uppfanns. Att visa olika talsystem visar att det finns olika satt att beskriva

samma sak och att matematik har varit en viktig del i alla kulturer.

5.1.2 Procent

Alla larobocker hade ett kapitel med namnet Procent. Det skiljde sig at var placeringen av detta

kapitel. Exponent och Origo hade procent som kapitel 4 medan Matematik 5000 och Matematik M

placerade detta som kapitel 2. Tabell 3 visar vad de olika larobockerna behandlade historiskt.

Tabell 3: Procent


Tidiga anvandningsomraden X X X

Ordet procent X X X X

Procenttecknet X X X

Det finns inte lika manga historiska inslag som kapitlet med tal och talsystem. Det ar kanske

inte sa konstigt eftersom procent inte ar ett lika brett begrepp utan mer begransat och darmed

inte lika mycket tillhorande historia. Detta ar kanske ocksa anledningen till att bockerna tar upp

ungefar samma saker, namligen tidiga anvandningsomraden, vad ordet procent kommer ifran samt

procenttecknets historia. Pa Origos historiaruta finns big-mac- index. Big mac-index ar ett matt

for att jamfora olika landers valutor men jag forstar inte riktigt varfor det hor till matematikens

36

historia. Kanske finns det med som en relativ ny metod for att gora jamforande matningar och pa

sa vid visa att matematik fortsatter att utvecklas. Eller sa saknade de tillrackligt med historiskt

material for att fylla en hel sida sa detta fick helt enkelt bli utfyllnad.

5.1.3 Algebra

Exponents kapitel Algebra, Origos kapitel Algebra och ekvationer, Matematik 5000’s kapitel Algebra

och Matematik M’s kapitel Uttryck och ekvationer behandlade alla algebra. Tabell 4 visar innhall

med historia.

Tabell 4: Algebra


Ordet algebra X X X

Al-Khwarizmi X X

Inforandet av symboler X X

Symboler vi har idag X X

Rottecken X

Fibonacci X X

Rhindpapyrus X

Det ar tydligt utifran tabellen att Exponent och Origo ar de bocker som inkluderar mest historia i

kapitlet algebra. Orsaken till att de har med sa mycket ar for att de ofta har en historisk inledning

i teoriavsnitten. Den historia som finns i Matematik M ar en faktaruta om Algebrans ursprung och

i Matematik 5000 ar det en uppgift fran Rhindpapyrusen.

I Matematik M finns en sida som behandlar magiska kvadrater. Detta presenteras som nagot statiskt

utan historia om vad det kommer ifran. Jag tanker att det har hade varit intressant att fa veta

nagot om dess historia.

37

5.1.4 Geometri

Alla bockers kapitel heter Geometri, utom Origos som heter Geometri och bevis. Tabell 5 visar vad

de olika bockerna behandlar historiskt.

Tabell 5: Geometri


Ordet geometri X

Tidiga anvandningsomraden X X

Euklides X X

Elementa X X

Pythagoras sats X X

π X X

Symmertrier X X

Fibonacci X X

Q.E.D X X

Enheter X X

Aven i detta kapitel ar finns flest kryss for Exponent. Nagot som jag tyckte var intressant i detta

kapitel var hur larobockerna behandlade Pythagoras sats. Alla bocker inkluderade Pythagoras sats

men inte med en historisk bakgrund. Origo och Matematik 5000 presenterade satsen utan nagon

historia alls. Matematik M hade en faktaruta efter presentationen av sjalva satsen som berattade om

att Pythagoras har gett namn at satsen a2+b2 = c2, men att den har anvands flera tusen ar tidigare i

exempelvis Egypten. Exponent har ett annorlunda upplagg. De forklarar forst att Pythagoras sats ar

uppkallad efter den grekiske matematiker Pythagoras som levde for cirka 2500 ar sedan och darefter

forklaras satsen. Om jag hade skrivit en larobok sa skulle jag gora en blandning av Exponent och

Matematik M, alltsa den lite mer utforliga historian fran Matematik M, och placeringen fore satsen

som Exponent.

Bade Exponent och matematik 5000 har historia om talet π. Talet π ar ett litet tal med mycket

historia sa jag blev lite forvanad da det endast fanns i tva av de fyra bockerna. Orsaken kan vara att

det ar repetition fran grundskolan. Det ar meningen att de redan fran hogstadiet ska ha kunskaper

om detta.

38

5.1.5 Funktioner

Kapitlet heter Funktioner i Exponent, Origo, Matematik M men Grafer och funktioner i Matematik

5000. Tabell 6 nedan visar vad larobockerna belyser historiskt. I kapitlet om funktioner var det mest

Tabell 6: Funktioner


Tidiga anvandningsomraden X

Inforandet av termen funktion X

Utveckling av begreppet X

Descartes X X

Rhindpapyrus X

Kryptering X

Exponent som hade med historia. Origo behandlade historien bakom kryptering pa historiasidan

och Matematik M inkluderade Descartes i avsnittet om koordinatsytstem. Jag vet inte riktigt vad

anledningen till att larobockerna inte har valt att inkludera mer historia i detta avsnitt. Det som

var mest forvanande var att Origo som i tidigare kapitel anvant sig mycket av historia i teorin inte

hade nagot i detta kapitel.


Alla larobockerna utom Origo hade ett gemensamt kapitel for sannolikhet och statistik medan Origo

hade separata kapitel, ett for sannolikhetslara och ett for statistik. Dessutom hade Origo ett kort

kapitel i borjan av boken som hette Tabeller och diagram vilket jag har raknat in har. Tabell 7

visar de olika bockernas inslag av historia.

39

Tabell 7: Sannolikhet och statistik


Betydelse i Sverige X

Opinionsundersokningar X

Spel X

Nightingale X

Pascal X

Origo hade klart flest historia om sannolikhet och statistik. Detta kan eventuellt dels forklaras

med att det fanns tre kapitel jamfort med ett hos de andra.

5.2 Jamforelse av larobockernas innehall med kursplan och amnesplan

I utdragen fran styrdokumenten, som presenterades i bakgrunden till uppsatsen, finns flera stycken

dar matematikens historia poangteras. Vid beskrivningen av amnet matematik betonar Skolverket

matematiken ur ett historiskt perspektiv. De skriver att matematiken ar ett amne med flera tusen

ars historia och att manga olika kulturer har bidragit till dess utveckling. De framhaver aven att det

ar manniskors nyfikenhet som har gjort denna utveckling mojlig. I slutet av stycket star dock att

matematiken ytterst handlar om att upptacka monster och formulera generella samband. Jag tror

att forlagen har tagit till sig olika delar av denna information. Exponent och Origo har generellt

sett presenterat matematiken med bakgrund i historien medan Matematik 5000 och Matematik M

i storre utstrackning endast presenterat den som generella samband och metoder.

Amnesplanen framhaller aven att matematik ofta uppfattas som ett amne dar det endast finns

ratt eller fel och att gora fel likstalls med att vara matematisk okunnig. De menar pa att det mate-

matiska kunnandet utvecklas aven om fel antaganden gors och att det ofta finns flera satt att losa

ett problem. En anledning till att matematik ofta uppfattas som ett amne med ”ratt eller fel” tror

jag kan vara larobockernas upplagg. De flesta moment i larobockerna borjar med ett teoriavsnitt

dar en viss procedur forklaras och ett par exempel visas. Darefter foljer uppgifter dar eleverna ska

ova pa samma procedur, det finns alltsa ett ratt satt att ta sig an uppgifterna. Dessutom ar det

viktigt for eleverna att fa samma svar som facit, alltsa finns det ett ratt svar. Eleverna behover

saklart trana pa de olika procedurerna men de behover ocksa trana pa exempelvis problemlosning.

40

Darfor hade det varit bra att aven inkludera mer oppna problem dar det inte finns nagon given

metod eller ett givet svar.

I amnesplanen beskrivs aven att den symboliska algebran ar en ny foreteelse i matematikens histo-

ria, att den borjade utvecklas forst i borjan av 1600-talet. Fore detta anvandes sa kallad retorisk

algebra vilket innebar att verbala beskrivningar av olika procedurer gors. Det star att elever bor

ges mojlighet till att visa sitt matematiska tankande pa fler satt an endast symboliskt, exempelvis

genom den retoriska algebran. Samtliga larobocker i undersokningen har nagon form av diskus-

sionsfragor dar eleverna ska diskutera olika fragor eller pastaenden med varandra. Har ar det inte

meningen att de ska anvanda sig av den symboliska algebran utan diskutera och forklara med egna

ord.

Det centrala innehallet i kursen matematik 1b som uttryckligen behandlar matematikens histo-

ria ar ”problem med anknytning till matematikens kulturhistoria” som det star i kursplanen. Da

larobockerna undersoktes hittades flera bra exempel dar matematikens historia anvandes. Nedan

ges nagra exempel fran varje larobok.

5.2.1 Exponent 1b

Uppgifter i boken som kan anses vara problem kopplade till matematikens kulturhistoria ar till ex-

empel nar eleverna far uppgiften att tolka babyloniska kiltecken, uppgiften om Diofantos eller upp-

giften att finna fler tal an de angivna i Fibonaccis talfoljd. I denna uppgift far eleverna forklaring

till talfoljden och jag tycker att det forstor lite av problemet. Nar de redan vet att nasta tal ar

summan av de tva foregaende blir det mer en procedur att utfora. Om de istallet endast hade fatt

borjan av talfoljden och sjalva fatt undersoka hur den ar uppbyggd hade uppgiften blivit mer pro-

blemlosning. Ett annat bra problem med koppling till matematikens historia ar da elever ska bevisa

Pythagoras sats (se figur 14). Detta ska goras genom att rita och klippa ut trianglar. Bokforfattarna

sjalva har inte bedomt att uppgiften tranar formagan problemlosning, utan formagorna som ingar

ar: begreppsformaga, procedurformaga samt kommunikationsformaga. Jag anser dock att uppgiften

skulle kunna vara problemlosning. Eventuellt skulle en viss modifiering gora uppgiften till ett battre

problem. Det skulle kunna goras med lite mer oppen formulering som exempelvis att de ska forsoka

bevisa Pythagoras sats, och sedan ge ledning om det skulle behovas.

41

Figur 14: Exponent 1b, s.144.

5.2.2 Origo 1b

Problem i Origo 1b med koppling till matematikens kulturhistoria ar bland annat uppgiften dar

eleverna ska tolka Florence Nightingales diagram om dodsorsaker i kriget. Det finns aven uppgifter i

samband med olika talsysytem dar eleverna far jobba med mayafolkets- det egyptiska och romerska

talsystemen. Ett annat problem ar kaniners fortplantning som representeras med Fibonaccis talfoljd.

5.2.3 Matematik 5000 1b

Det finns en uppgift om stambrak dar det forst beskrivs att det var med denna typ av brak som

man raknade med i gamla Egypten. Det finns aven uppgifter om det egyptiska- och mayafolkets

talsystem. Ett problem som ar taget fran Rhindpapyrusen finns med i boken. Ytterligare ett problem

ar att studera olika kulturers varde pa π.

5.2.4 Matematik M 1b

Jag anser att matematik M ar den larobok som samst tacker in det centrala innehallet. Det finns ett

problem som kan uppfylla det centrala innehallet, men det bygger pa att eleverna laser faktarutorna

och att de inte foljer ordningen av uppgifter i boken. Pa sida 242 stod det att Blase Pascal loste

en viss uppgift och samma uppgift finns i boken pa sida 271. Eftersom det sedan inte star nagon

information om detta vid sjalva uppgiften sa kan eleverna missa den historiska kopplingen.

42

Andra uppgifter skulle kunna tacka in det centrala innehallet om de modifieras nagot. Det ena

exemplet ar uppgiften om att rakna med stambrak. Eftersom det inte finns nagon historisk fakta

om stambrak sa far problemet ingen historisk koppling som det star i boken. Larare kan darfor

anvanda sig av denna uppgiften men komplettera med historia om anvandandet av stambrak i

Egypten. Jag tror aven att detta ar en sadan uppgift som skulle vinna pa att inkludera historia for

att underlatta elevernas forstaelse. Det andra exemplet dar larare kan komplettera boken for att

tacka in det centrala innehallet ar de magiska kvadraterna.

5.3 Allmanna kommentarer

Alla bockerna har, i olika utstrackning, introducerande texter dar de tar upp historia. Exponent

inleder alla kapitel, utom det om sannolikhetslara och statistik, med en historisk bakgrund. Detta

kan vara ett pedagogiskt val som stods av att elever har lattare att ta till sig matematiska koncept

om de forstar bakgrunden till hur och varfor det upptacktes. Origo, Matematik 5000 och Matema-

tik M har nagot farre introduktioner med historia men istallet renodlade sidor med historia eller

faktarutor. Origo avrundar varje kapitel med en historiasida medan matematik 5000 istallet har

sidan i samband med det avsnitt som historian behandlar. Matematik M har flera faktarutor med

matematikens historia. Detta ar ett vanligt satt att inkludera historia i textbocker och detta ar

nagot som forekommer i hela varlden och pa olika nivaer (Tzanakis & Arcavi, 2002).

Origo ar den enda laroboken som inkluderar en kvinnlig matematiker. Charles, Harr, Cech, Hendley

(2014) beskriver att flickors installning till matematik generellt sett ar samre an pojkarnas. Sarskilt

i lander som Sverige dar jamstalldheten mellan konen har kommit langt. Detta forklaras med att

matematik och naturvetenskap inte ses som kvinnliga amnen. Att aven tala om kvinnliga mate-

matiker som exempelvis Aspasia, Hypatia av Alexandria, Sophie Germain (Rothman, 1997) eller

Florence Nightingale som Origo gor kan eventuellt gora sa att flickor lattare kan identifiera sig med

matematiken.

Forutom att matematikens historia inkluderas i form av text har samtliga bocker aven uppgifter

kopplat till historia. Bade Origo och Matematik 5000 har faktarutor och till dessa finns tillhorande

problem. Skillnaden mellan de bada larobockerna ar att uppgifterna i matematik 5000 ar tydligt

43

numrerade och uppbyggda pa ungefar samma satt som de vanliga uppgifterna (se figur 15). Origo

har istallet sma rutor med problem som vid forsta anblick kan vara svara att upptacka (se figur

16). Exponent och Matematik M har aven de uppgifter med anknytning till matematikens histo-

ria men dessa ar integrerade med de ovriga. Jag kan se bade fordelar och nackdelar med de bada

tillvagagangssatten. Da de ar integrerade med ovriga uppgifter kan det vara lattare att koppla histo-

rien med det matematiska innehallet. Att det ar en naturlig del av matematiken och inte nagot som

hor till en ruta vid sidan om. Daremot kan det vara svart att fa en klar bild av historiens betydelse

och matematikens utveckling i en enda uppgift. Da kan en langre text med tillhorande uppgifter

skapa en klarare bild.

Figur 15: Exempel pa historisk ruta fran Mate-

matik 5000 med tillhorande numrerade uppgifter.

Figur 16: Exempel pa historisk ruta fran Origo

med tillhorande inrutad uppgift.

44

6 Diskussion

Studier tyder pa att historia har en positiv effekt for elevers larande da det anvands i undervis-

ningen. Effekterna av att anvanda matematikens historia i undervisningen kan ge okad kunskap i

flera dimensioner. Rent matematiskt kan det ge en storre forstaelse for olika samband och begrepp.

Det kan aven ge en bredare forstaelse for matematiken som amne och andra uppfattningen om att

”matte ar bara trakiga regler” som klassen pa Samhallsvetenskapliga programmet uttryckte det.

Eftersom larobocker har en central roll i matematikundervisningen ar det ocksa forlagens tolkning

av Skolverkets kursplaner som eleverna far ta del av. Gemensamt for samtliga larobocker ar att de

har anvant sig av matematikens historia for att introducera nya avsnitt samt att det forekommer

uppgifter med historisk anknytning. Det som skiljer dem at ar i vilken utstrackning. Exponent har

fokuserat pa att anvanda historia for att introducera nya avsnitt och som en integrerad del av

teorin. Matematik M har flera faktarutor med olika matematiker. Forfattarna till Origo har istallet

valt att lagga en storre vikt pa att knyta ihop kapitlen med en historisk text i slutet. Det som

utmarker matematik 5000 ar att de har historiska rutor med tillhorande uppgifter sa att eleverna

far jobba lite mer med det historiska stoffet. Detta kan vara en fordel da elever som jag har pratat

med uppger att de brukar undvika textrutor som inte har med uppgifterna att gora.

Jader (2015) bekraftar mina teorier om att elever inte brukar lasa textrutor i larobockerna. Han

skriver att elever brukar hoppa over bade teoritexter och faktarutor i matematikbocker for att

ga direkt pa uppgifterna. Darfor ar det viktigt att bockerna inkluderar uppgifter som kan ge en

god uppfattning av matematikens historia. Jag tror dock att texterna i bockerna kan tillfora en

hel del till undervisningen aven om eleverna inte laser dem. Det kan istallet vara inspiration for

larare som kan anvanda innehallet till genomgangar eller for att fortydliga forklaringar till eleverna.

Jag anser att bockerna generellt sett har inkluderat det centrala innehallet om att behandla problem

med koppling till matematikens kulturhistoria. De har alla nagon eller nagra uppgifter med kopp-

ling till matematikens historia. Har kan givetvis diskuteras om uppgifterna i larobockerna uppfyller

villkoren for ett problem som beskrevs i borjan av uppsatsen. Jag tror att det ar individuellt om

eleverna uppfattar en uppgift som ett problem eller inte, allt beror pa deras forkunskaper. Manga

45

av uppgifterna dar syftet ar att behandla det centrala innehallet om matematiska problem kopplade

till historia skulle trots allt med fordel modifieras sa att de blir mer problem och mindre proce-

duruppgifter. Storre vikt kunde aven laggas pa matematikens utveckling som en dynamisk process.

Det finns med en del av detta; som exempelvis hur procenttecknet utvecklades i flera steg till hur

det ser ut idag, att tal har sett ut pa olika satt genom tiderna eller att vardet pa π beraknades av

olika kulturer med varierande noggrannhet.

Det matematiska arbetssattet som Skolverket beskriver i amnesplanen tycker jag inte riktigt att

bockerna lever upp till. Matematiskt arbetssatt innebar bland annat att eleverna ska lara sig att det

ofta finns flera losningar pa problem och komma bort fran att man inte far gora ”fel”. Anledningen

till ar att uppgifterna inte lever upp till detta ar att de ar upplagda sa att eleverna ska losa dem pa

ett visst satt och fa samma svar som facit. Orsaken till detta kan vara att det inte ar ett centralt

innehall for kursen, men eftersom det star med i amnesplanen bor larare fokusera pa att hjalpa

eleverna med att ”arbeta matematiskt” och detta kan goras med hjalp av matematikens historia.

For att komplettera larobockerna kan larare anvanda matematikens historia som bade mal och

verktyg. Ett exempel pa mal ar att att genom historien lara eleverna att matematiken ar skapad

av manniskor och att exempelvis en matematisk formel inte kommer fardigpaketeterat utan de

utvecklas ofta under lang tid. Nagot som jag under VFU och vikariat har upplevt ar att eleverna

ser pa matematiken som statiska regler. For att hjalpa eleverna att se pa matematiken som nagot

mer dynamiskt tanker jag att larare kan ge en kort bakgrund da de presenterar nya formler och be-

grepp, detta behovs inte goras for alla formler och begrepp men dar det kan tillfora nagot extra till

undervisningen. Ett annat satt kan vara att studera olika kulturers losningar och losningsmetoder.

Ytterligare ett fenomen som jag har mott ute pa skolorna ar att eleverna ofta ar radda for att gora

misstag. Detta kan hamma deras formaga att utvecklas matematiskt om de inte vagar testa nya

saker av radsla for att gora fel. Elever kan ocksa vara radda for att saga till om de inte forstar eller

fraga om hjalp om de fastnar pa uppgifter. Jag tror att detta beror pa nagon forestallning av att

goda matematikkunskaper ar samma sak som att alltid gora ratt. Men om eleverna alltid gor ratt

far de aldrig chansen att utmana sina kunskaper. For att minska elevernas radsla for att gora fel

och misstag kan larare forklara att det ar just sadana som har gjort och gor att den matematiska

utvecklingen gar framat, detta kan goras genom att ge exempel fran historien dar misstag har lett

46

till framgangar.

Larares kunskap om matematikens historia kan aven vara ett verktyg i undervisningen. Ett sadant

verktyg skulle kunna vara att forutse vad elever troligtvis kommer tycka ar svart och hur momentet

lostes historiskt. Olika moment kan ibland med fordel presenteras i ordningen de upptacktes istallet

for att blint folja larobokens ordning.

En sista punkt kan vara anvanda historisk problem. Jag har under arbetet med uppsatsen stott

pa mangder av bra problem. Det svara ar att hitta problem som bade passar in pa det centra-

la innehallet och ligger pa ratt svarighetsniva. Nagra exempel som passar for gymnasieskolan ar:

Eratosthenes sall (primtal), Fibonaccis talfoljd (talfoljder), Zenons paradox (gransvarden), Pa-

scals triangel (binomialkoefficienter), Koningsbergs sju broar (grafteori), Leibniz infinitesimaler och

Newtons fluxioner (derivata).

47

7 Referenser

Alfredsson, L., Brating, K., Erixon, P., & Heikne, H. (2011). Matematik 5000. Stockholm: Natur

och kultur.

Butuner, S. (2016). The use of concrete learning objects taken from the history of mathematics in

mathematics education. International Journal of Mathematical Education in Science

and Technology, 47:8, 1156-1178.

Charles, M., Harr, B., Cech, E., & Hendley, A. (2014). Who likes math where? Gender differences

in eighth-graders’ attitudes around the world, International Studies in Sociology of

Education, 24:1, 85-112,

Gennow, S., Gustafsson, I-M., & Silborn, B. (2011). Exponent 1b. Malmo: Gleerups Utbildning AB.

Hagland, K., Hedren, R., & Taflin, E. (2011). Rika matematiska problem, en inspiration till varia-

tion. Stockholm: Liber.

Holmstrom, M., Smedhamre, E., & Sjunnesson, J. (2011). Matematik M 1b. Stockholm:Liber AB.

Jankvist, T. (2009). Acategorization of the ”whys” and ”hows” of using history in mathematics

education. Springer Science + Bussiness Media B.V.

Johansson, C. (2013). Matematikens historia -Vilken plats far matematikens historia i undervis-

ningen pa gymnasieskolan? Projekt 7 hp. Matematiska instutionen. Uppsala univer-

sitet.

Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks - a classroom and curricular perspecti-

ve. Lulea university of technology department of mathematics.

Jader, J. (2015). Elevers mojligheter till larande av matematiska resonemang. Linkoping: Linkopings

universitet.

Katz, V. (2000). Using history to teach mathematics- an international perspective. Mathematical

association of america.

Katz, V., Dorier, J-L., Bekken, O., & Sierpinska, A. (2002). History in mathematics education - the

ICMI study. kap 5.2.

Krantz. Steven G. (2010).Episodic History of Mathematics. Mathematical Association of America

Rothman, P. (1997). Women in the history of mathematics, Interdisciplinary Science Reviews, 22:2,

101-113.

Skolverket. (2011). Amne -matematik. Stockholm: Skolverket.

48

Skolverket. (2018). Om amnet matematik, Alla kommentarer. Stockholm: Skolverket.

Stukat, S. (2005). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur.

Swetz, F., Fauvel, J., Bekken, O., Johansson, B., & Katz, V. (1995). Learn From The Masters. the

mathematical association of america.

Szabo, A., Larson, N., Viklund, G., Dufaker, D., & Marklund, M. (2011). Matematik Origo 1b.

Stockholm: Bonnier Utbildning.

Thompson, J. (1984). Vad kan vi lara av matematikens historia? Namnaren 1984 nr 1, s. 42-44.

Tzanakis, C., & Arcavi, A. (2002). History in mathematics education - the ICMI study. kap 7 Inte-

grating history of mathematics in the classroom: an analytic survey.

49

matematikens historia i gymnasieskolan1258885/... · 2018. 11. 19. · l arob ockerna hade aven...

Documents