matematičke osnove računarske tehnike
TRANSCRIPT
Matematičke osnove računarske tehnikeII deo
Predstavljanje označenih brojeva u binarnom sistemu Znak i apsolutna vrednost Komplement dvojke Pokretni zarez
Sabiranje i oduzimanje označenih brojeva u komplementu dvojke
Opsezi neoznačenih i označenih brojeva
U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi sepredstavljaju znakom ldquo-rdquo (pozitivni znakom ldquo+rdquo ili se znakizostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnuvrednost broja
U binarnom brojnom sistemu je ovakav načinpredstavljanja označenih brojeva nemoguć jer računarimogu da prepoznaju samo dva znaka a to su ldquo0rdquo i ldquo1rdquoSamim tim je znakove ldquo-rdquo i ldquo+rdquo potrebno na neki načinpredstaviti pomoću ldquo0rdquo i rdquo1rdquo
Označavanje brojeva
Označavanje binarnih brojeva
Postoje tri načina za predstavljanje označenihbinarnih brojeva
Pomoću znaka i apsolutne vrednosti
U komplementu dvojke
U pokretnom zarezu
Vežbe
Komplement dvojke
Postupak zapisivanja broja
pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja
negativan ceo broj se dobija tako što se
ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0
sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)
Komplement dvojke (1)
Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj
26(10)=11010(2)
Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj
+26(10)=011010(2)
Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke
-26(10)=100101+1=100110(2)
572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)
57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)
Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi sepredstavljaju znakom ldquo-rdquo (pozitivni znakom ldquo+rdquo ili se znakizostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnuvrednost broja
U binarnom brojnom sistemu je ovakav načinpredstavljanja označenih brojeva nemoguć jer računarimogu da prepoznaju samo dva znaka a to su ldquo0rdquo i ldquo1rdquoSamim tim je znakove ldquo-rdquo i ldquo+rdquo potrebno na neki načinpredstaviti pomoću ldquo0rdquo i rdquo1rdquo
Označavanje brojeva
Označavanje binarnih brojeva
Postoje tri načina za predstavljanje označenihbinarnih brojeva
Pomoću znaka i apsolutne vrednosti
U komplementu dvojke
U pokretnom zarezu
Vežbe
Komplement dvojke
Postupak zapisivanja broja
pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja
negativan ceo broj se dobija tako što se
ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0
sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)
Komplement dvojke (1)
Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj
26(10)=11010(2)
Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj
+26(10)=011010(2)
Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke
-26(10)=100101+1=100110(2)
572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)
57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)
Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Označavanje binarnih brojeva
Postoje tri načina za predstavljanje označenihbinarnih brojeva
Pomoću znaka i apsolutne vrednosti
U komplementu dvojke
U pokretnom zarezu
Vežbe
Komplement dvojke
Postupak zapisivanja broja
pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja
negativan ceo broj se dobija tako što se
ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0
sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)
Komplement dvojke (1)
Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj
26(10)=11010(2)
Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj
+26(10)=011010(2)
Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke
-26(10)=100101+1=100110(2)
572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)
57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)
Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Vežbe
Komplement dvojke
Postupak zapisivanja broja
pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja
negativan ceo broj se dobija tako što se
ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0
sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)
Komplement dvojke (1)
Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj
26(10)=11010(2)
Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj
+26(10)=011010(2)
Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke
-26(10)=100101+1=100110(2)
572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)
57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)
Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Komplement dvojke
Postupak zapisivanja broja
pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred binarnogzapisa koji odgovara apsolutnoj vrednosti broja
negativan ceo broj se dobija tako što se
ispred binarnog zapisa apsolutne vrednosti broja doda cifra 0
sve binarne cifre se invertuju (jedinice se zamene nulama anule jedinicama)
dobijeni broj se sabere sa 1
Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)
Komplement dvojke (1)
Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj
26(10)=11010(2)
Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj
+26(10)=011010(2)
Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke
-26(10)=100101+1=100110(2)
572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)
57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)
Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Primer 1 Predstaviti u komplementu dvojke broj -26(10)
Komplement dvojke (1)
Korak 1Polazi se od neoznačenog broja 26 koji treba pretvoriti u binarni broj
26(10)=11010(2)
Korak 2Dodavanjem nule ispred binarnog broja dobija se označen pozitivan broj
+26(10)=011010(2)
Korak 3Invertovanjem cifara pozitivnog broja i sabiranjem sa 1 dobija se vrednost za-26 u komplementu dvojke
-26(10)=100101+1=100110(2)
572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)
57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)
Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
572=28 (1)282=14 (0)142=7 (0)72=3 (1)32=1 (1)12=0 (1)
57(10)=111001(2)+57(10)=0111001(2)-57(10)=1000110+1=1000111(2)
Komplement dvojke (2)Primer 2 Predstaviti u komplementu dvojke broj -57(10)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Komplement dvojke
Primer 4 Naći dva puta uzastopno komplement dvojke broja 13(10)
polazni broj (+13) 0000 0000 0000 1101invertovanje 1111 1111 1111 0010sabiranje sa 1 +1puni komplement (-13) 1111 1111 1111 0011
polazni broj (-13) 1111 1111 1111 0011invertovanje 0000 0000 0000 1100sabiranje sa 1 +1puni komplement (+13) 0000 0000 0000 1101
Osobina komplementa dvojke kada se dva putauzastopno primeni na neki broj dobija se polazni broj
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Komplement dvojke
Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja
Polazni binarni broj se podeli na dva dela levi i desni tako dadesni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule kojeslede iza nje dok preostale cifre čine levi deo broja
Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delubroja invertuju (jedinice se zamene nulama a nule jedinicama) adesni deo broja ostaje nepromenjen
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Komplement dvojke
Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2)
polazni broj = 010100100 | 10000levi deo desni deo
komplement dvojke = 10101101110000
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
3682=184 (0)1842=92 (0)922=46 (0)462=23 (0)232=11 (1)112=5 (1)52=2 (1)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 3 Predstaviti u komplementu dvojke broj -368(10)
Komplement dvojke (3)
368(10)= 101110000(2)+368(10)=0101110000(2)-368(10)=1010001111+1-368(10)=1010010000(2)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
5462=273 (0)2732=136 (1)1362=68 (0)682=34 (0)342=17 (0)172=8 (1)82=4 (0)42=2 (0)22=1 (0)12=0 (1)
Primer 4 Predstaviti u komplementu dvojke broj -546(10)
Komplement dvojke (4)
546(10)= 1000100010(2)+546(10)=01000100010(2)-546(10)=10111011101+1-546(10)=10111011110(2)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Komplement dvojke
Određivanje decimalne vrednosti broja
Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog ukomplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledećeformule
00
11
11 2222 aaaaX n
nn
n
Osobina komplementa dvojke pozitivnim brojevima mogu se dodavativodeće nule (ispred cifre najveće težine) a negativnim vodeće jedinice a dase vrednost brojeva ne promeni
0111(2) = 0000000111(2)1001(2) = 11111001(2)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
628162021202121110106
62820212021101066242021212001106
512821212021101155142120212001015
01234)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
0123)2()10(
Komplement dvojke
Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
a 10001010100(2)b 101110101(2)c 0100100(2)d 1111110100(2)
Primer 5 Izračunati decimalnu vrednost označenih binarnih brojeva datih ukomplementu dvojke
Komplement dvojke (5)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
a 10001010100(2)=-1024+64+16+4=-940(10)
b 101110101(2)=-256+64+32+16+4+1=-139(10)
c 0100100(2)=32+4=+36(10)
d1 1111110100(2)=-512+256+128+64+32+16+4=-12(10)
d2 1111110100(2)=10100(2)=-16+4=-12(10)
Komplement dvojke (6)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
2551025508
15101504
1210120 n
xxn
xxn
xx n
Opseg neoznačenih brojeva
Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom oblikudobija se po sledećoj formuli
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
1271011281271288
71018784
1210120za20za12
111-n
1-n
xxn
xxn
xxx
xxnn
Opseg označenih brojeva
Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifaradobija se po sledećim formulama
Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnihcifara su
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
a 34b 68c 320d 127
Opsezi brojeva (1)Primer 6 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni neoznačeni
brojevi u binarnom formatu
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
2n ge x + 1
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256 29=512
a X=34 2n ge 35 n=6b X=68 2n ge 69 n=7c X=320 2n ge 321 n=9d X=127 2n ge 128 n=7
Opsezi brojeva (2)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
a 67b -34c 63d -88
Opsezi brojeva (3)Primer 7 Koliko je cifara potrebno da bi se zapisali navedeni označeni
brojevi u binarnom formatu u komplementu dvojke
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
02012
1-n
1-n
xx
xx
a X=67 2n-1 ge 68 n-1=7 n=8b X=-34 2n-1 ge 34 n-1=6 n=7c X=63 2n-1 ge 64 n-1=6 n=7d X=-88 2n-1 ge 88 n-1=7 n=8
20=1 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=6427=128 28=256
Opsezi brojeva (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Aritmetičke operacije sabiranje i oduzimanje
brojevi se posmatraju kao jedinstvene celine tj znak je sastavnideo broja
operacije se obavljaju isto kao nad binarnim neoznačenimbrojevima
operacija oduzimanja se svodi na operaciju sabiranja
A ndash B = A + (-B)
Komplement dvojke
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Sabiranje
U računaru operacija sabiranja se kontroliše pomoću dva indikatora
indikatora prenosa C (carry) ndash prenos iz najstarijeg razreda
indikatora prekoračenja V (overflow) - računa se pomoćuprenosa iz dva najstarija razreda S i P na sledeći način
ako je C = P onda je V = 0
ako je Cne P onda je V = 1
Rezultat je ispravan ako je V = 0 a neispravan ako je V = 1
Komplement dvojke
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Postupak sabiranja
1 oba sabirka se predstave u komplementu dvojke
2 dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja uzpamćenje prenosa između razreda
3 na osnovu zamapćenih prenosa odrede se vrednosti P i S
4 na osnovu P i S izračuna se indikator V koji pokazuje da li jedobijeni rezultat ispravan
Komplement dvojke
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Komplement dvojkePrimer 7 Sabrati brojeve A = +3 i B = +4 (n = 4)
Primer 8 Sabrati brojeve A = +3 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0011puni komplement B 0100zbir 0111 = -0∙23+1∙22+1∙21+1∙20=+7 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
puni komplement A 0011puni komplement B 1100zbir 1111 = -1∙23+1∙22+1∙21+1∙20=-1 (tačno)prenosi 0000C = 0 P = 0 V = 0 ispravno
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Komplement dvojkePrimer 9 Sabrati brojeve A = +7 i B = +1 (n = 4)
Primer 10 Sabrati brojeve A = -7 i B = -4 (n = 4)
puni komplement A 0111puni komplement B 0001zbir 1000 = -1∙23+0∙22+0∙21+0∙20=-8 (netačno)prenosi 0111C = 0 P = 1 V = 1 neispravno
puni komplement A 1001puni komplement B 1100zbir 0101 = -0∙23+1∙22+0∙21+1∙20=+5 (netačno)prenosi 1000C = 1 P = 0 V = 1 neispravno
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
a 103 -98b 87 -27c 24 -72
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (1)
Primer 8 Navedene decimalne brojeve konvertovati u binarne brojeve ukomplementu dvojke a zatim ih sabrati
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
103(10) = 1100111(2) +103(10) = 01100111(2) (n=8)98(10) = 1100010(2) +98(10) = 01100010(2) -98(10) = 10011101 + 1 = 10011110(2) (n=8)
103 + (-98) = +5 (n=4) usvaja se n=8
+103 01100111+ -98 +10011110
+5 (1)00000101
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (2)
a
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
87(10) = 1010111(2) +87(10) = 01010111(2) (n=8)27(10) = 11011 (2) +27(10) = 011011(2) -27(10) = 100100 + 1 = 100101(2) (n=6)
87 + (-27) = +60 (n=7) usvaja se n=8
+87 01010111+-27 +11100101+60 (1)00111100
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (3)
b
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
24(10) = 11000(2) +24(10) = 011000(2) (n=6)72(10) = 1001000 (2) +72(10) = 01001000(2) -72(10) = 10110111 + 1 = 10111000(2) (n=8)
24 + (-72) = -48 (n=7) usvaja se n=8
+24 00011000+-72 +10111000-48 11010000
Sabiranje brojeva zapisanihu komplementu dvojke (4)
c
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Znak Eksponent Mantisa31 0
Predstavljanje realnih brojeva
Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristise
pokretni zarez ndash floating point
Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente znak
eksponent
mantisu
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Pokretni zarezDecimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se poformuli
(ZNAK)MANTISA2EKSPONENT
Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu jestandard IEEE 754
Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754
1 bit za znak
8 bitova za eksponent
23 bita za mantisuZnak
Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0a negativan ako ova cifra ima vrednost 1
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Eksponent
Po IEEE 754 standardu 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikomgenerisanja zapisa Zato se naziva i uvećani eksponent
Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost daeksponent ima i negativnu vrednost
pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255
umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se davrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128
Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa prava vrednost eksponentadobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisuoduzme 127
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
Po IEEE 754 standardu mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji semogu obeležiti sa m1 m2 m23 počevši sa leva na desno
Decimalna vrednost mantise određuje se formulom
Vrednost mantise mora biti između 1 i 2
Po IEEE 754 standardu decimalni broj 0 se zapisuje
pomoću 32 nule pomoću jedinice i 31 nule
Mantisa
2323
2222
22
11
0 22222 mmmm(10)
MANTISA
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
01000001011100000000000000000000
Rešenje0 10000010 11100000000000000000000Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivanEksponent 10000010(2) = 128+2-127 = 3Mantisa 20+2-1+2-2+2-3 = 1+12+14+18 = 158Vrednost broja +158 23 = +158 8 = +15
Određivanje decimalne vrednosti
Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
a 11000000111010000000000000000000(2)b 00111100100000000000000000000000(2)c BF1A0000(16)
Pokretni zarez (1)Primer 9 Izračunati decimalnu vrednost navedenih brojeva zapisanih u
pokretnom zarezu
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
a 1 10000001 11010000000000000000000
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativanEksponent 128+1-127 = 2Mantisa 20+2-1+2-2+2-4 = 1+12+14+116 = 2916Vrednost broja -291622 = -29164 = -294 = -725
Pokretni zarez (2)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
b 0 01111001 00000000000000000000000
Znak cifra znaka je 0 rarr broj je pozitivan
Eksponent 64+32+16+8+1-127 = -6Mantisa 20 = 1Vrednost broja +12-6 = 164 = 0015625
Pokretni zarez (3)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)
c BF1A0000(16)=1011 1111 0001 1010 0000 0000 0000 0000(2)=1 01111110 00110100000000000000000=
Znak cifra znaka je 1 rarr broj je negativan
Eksponent 64+32+16+8+4+2-127 = -1Mantisa 20+2-3+2-4+2-6 = 1+18+116+164 = 7764Vrednost broja -77642-1 = -77128 = -06015625
Pokretni zarez (4)