matematika - fizika - halapa

1

Zadatak 601 (Anica, ekonomska škola)

Izraz 3 6

3 6

x x

x x+

− −+

iznosi:

. 9 . 18 . 18 . 3x x x x

A B C D−

Rješenje 601

Ponovimo!

( ), , , , .1

1

a

a c a d b c n a d nn n nba n a b a bn cb d b d b ca

d

⋅ + ⋅ ⋅−= + = = = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

( )

3 6

3 6 3 6 3 6 1 1 18 .1 13 6 6 3 6 3

3 6 3 6

3 6

3 6

3 6 3 6

x x

x x x x x xx

x x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x

+

+ + += = = = =− −

+ + ++⋅

+

+

⋅ ⋅

Odgovor je pod B.

Vježba 601

Izraz 2 5

2 5

x x

x x+

− −+

iznosi:

. 10 . 8 . 10 . 7x x x x

A B C D−

Rezultat: A.

Zadatak 602 (Zlatko, maturant)

Koliki je broj troznamenkastih brojeva kojima je prva znamenka jednaka trostrukoj trećoj?

. . . .20 25 30 35A B C D

Rješenje 602

Ponovimo!

Kako zapisati da je b trostruki broj broja a?

3 .b a= ⋅

Troznamenkasti brojevi kojima je prva znamenka jednaka trostrukoj trećoj su oblika:

3 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 1 6 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9 2 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 3

Dakle, u svaku kućicu možemo staviti znamenke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ili 9. Ima ih ukupno 30.

3 10 30.⋅ =

Odgovor je pod C.

Vježba 602

Koliki je broj troznamenkastih brojeva kojima je prva znamenka jednaka dvostrukoj trećoj?

. . . .40 45 35 50A B C D

Rezultat: A.

Zadatak 603 (Sandra, maturantica)

Koju znamenku treba dopisati zdesna broju 9077 tako da dobiveni peteroznamenkasti broj bude

djeljiv sa 6?

. . . .1 4 6 9A B C D

Rješenje 603

2

Ponovimo!

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da

vrijedi .a b q= ⋅

Prirodni je broj djeljiv s 2 ako mu je posljednja znamenka 0, 2, 4, 6 ili 8.

Prirodni je broj djeljiv s 2 ako je paran broj. Prirodni je broj djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenki djeljiv s 3.

Prirodni je broj djeljiv sa 6 ako je istodobno djeljiv s 2 i s 3. Neka je n tražena znamenka. Broj 9077n bit će djeljiv sa 6 ako je istodobno djeljiv s 2 i s 3.

• Broj 9077n je djeljiv s 2 ako završava parnom znamenkom. Od

ponuđenih brojeva to su 4 i 6.

Dakle n = 4 ili n = 6. Pitanje je sad!

• Broj 9077n je djeljiv s 3 ako je zbroj znamenki 9 + 0 + 7 + 7 + n

djeljiv s 3. Uzmemo li znamenku n = 4 vidimo da tvrdnja vrijedi!

49 0 7 7 27 3 9.+ + + + = = ⋅

Treba dopisati znamenku 4.

Odgovor je pod B.

Vježba 603

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 604 (Tomislav, maturant)

Proizvođač jogurta smanjio je pakiranje s 0.8 L na 0.6 L i cijenu s 8.92 kune na 7.20 kuna. Kako se pritom promijenila cijena 1 L jogurta?

. Cijena se povećala za 85 lipa. . Cijena se povećala za 1.72 kune.A B

. Cijena se smanjila za 85 lipa. . Cijena se smanjila za 1.72 kune.C D

Rješenje 604

Ponovimo! 1 10 .0kn lp=

Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je: a – prvi član omjera,

b – drugi član omjera,

k – vrijednost (količnik) omjera. Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⋅ = ⋅

8.92 kn

Pakiranje jogurta od 0.8 L stoji 8.92 kn. Pitamo se koliko stoji 1 L jogurta. Označimo tu cijenu (u kunama) slovom x Vrijedi razmjer:

3

0.8 : 8.92 1 : 0.8 8.92 1 0.8 8.92 0.8 8.92 11.15 ./ : 0.8x x x x x kn= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =

7.20 kn

Pakiranje jogurta od 0.6 L stoji 7.20 kn. Pitamo se koliko stoji 1 L jogurta. Označimo tu cijenu (u kunama)

slovom x Vrijedi razmjer:

0.6 : 7.20 1 : 0.6 7.2 / :0 1 0.6 7.20 0.6 7.20 12 .0.6x x x x x kn= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = =

Cijena se povećala za 85 lipa. 12.00 11.15 0.85 .kn kn kn− =

Odgovor je pod A.

Vježba 604

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 605 (Tomislav, maturant)

Prosječna masa svih peciva ispečenih u nekoj pekari tijekom jednoga dana iznosila je 70.1 g. Trećina

količine tih peciva imala je prosječnu masu 69.3 g. Kolika je bila prosječna masa preostalih dviju trećina

količine peciva ispečenih toga dana?

. 69.7 . 69.9 . 70.5 . 70.9A g B g C g D g

Rješenje 605

Ponovimo!

.a a c

b b

c

⋅=

Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3

a a a an Tada je aritmetička sredina ili prosjek An

brojeva a1, a2, a3, … , an definirana izrazom

...1 2 3 .

a a a anAn

n

+ + + +=

Vrijedi:

...1 2 3

.n A a a a an n⋅ = + + + +


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Označimo slovom n broj svih peciva ispečenih u pekari. Neka je m1 masa trećine količine tih peciva čija je

prosječna masa 69.3 g.

3 31 1 169.3 69.3 69.3 23.1 .

11

3

/3

m m mm n

n nn

n⋅ ⋅= = = = ⋅⋅

⋅

Neka je m2 masa dviju trećina količine tih peciva čija je prosječna masa, na primjer, x.

3 3 22 2 2 69.3 .22 2 2

/3 3

2

3

m m mx x m n x

n n

n

n

⋅ ⋅= = = = ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅⋅

⋅

Budući da je prosječna masa svih n peciva jednaka 70.1 g, vrijedi jednadžba:

4

21 2 1 270.1 70.1 70.1 23.1 70.11 2 3

/m m m m

m m n n n x nn

nn

+ += = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⋅

223.1 70.1 69.3 2 210.3 2 210.3 69.3

3

3/n n x n

nx x ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = −⋅

2 141 2 14 / : 21 70.5 .x x x g ⋅ = ⋅ = =

2 ⋅⋅⋅⋅ n

3

n

3

m2

m1

Odgovor je pod C.

Vježba 605

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 606 (Silvija, maturantica)

Koji je najmanji prirodni broj koji pri dijeljenju sa svakim neparnim jednoznamenkastim brojem,

osim s 1, daje ostatak 1?

Rješenje 606

Ponovimo!

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Neparni su oni brojevi koji nisu djeljivi sa 2.

Da je neki prirodan broj n neparan znači da se može napisati u obliku

( )2 neki prirodan broj 1 2 1 .,,m m k k N= ⋅ + = ⋅ + ∈

Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa

sobom, a veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se

složenim brojevima. Složen broj je prirodan broj veći od jedan koji je djeljiv brojem 1, samim sobom i barem još jednim brojem. Svaki se složeni broj može rastaviti na proste faktore. Broj 1 nije ni prost, ni složen broj.

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da vrijedi

.a b q= ⋅

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem. Prirodni broj ima beskonačno

višekratnika. Na primjer, višekratnici broja n su: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ...n n n n n n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Zajednički višekratnici dvaju ili više brojeva su brojevi koji su djeljivi s svim zadanim brojevima. Najmanji

zajednički višekratnik dvaju ili više brojeva je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim zadanim brojevima.

Neparne jednoznamenkaste prirodne brojeve rastavimo na proste faktore i odredimo najmanji zajednički

višekratnik.

3, 5, 7, 9 3 1, 5, 7, 3 3

1, 5, 7, 1 5

1, 1, 7, 1 7

1, 1, 1, 1 Najmanji traženi broj je

3 3 5 7 1 316.⋅ ⋅ ⋅ + =

5

Vježba 606

Koji je najmanji prirodni broj koji pri dijeljenju sa svakim neparnim jednoznamenkastim brojem,

osim s 1, daje ostatak 2?

Rezultat: 317.

Zadatak 607 (Abacus, gimnazija)

Nađite prirodan broj n koji zadovoljava jednadžbu 8 0.2 3 1

n n n+ − ⋅ =

Rješenje 607

Ponovimo!

( ) ( )2

.2

a b a b a b− ⋅ + = −


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom

( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi

1 ! = 1,

2 ! = 1 ∙ 2, 3 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3,

4 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4,

5 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5, 6 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 itd.

Vidimo da faktorijeli zadovoljavaju formulu n ! = (n – 1) ! ∙ n.

Uočimo da se može pisati, na primjer,

9 ! = 8 ! ∙ 9,

9 ! = 7 ! ∙ 8 ∙ 9,

9 ! = 6 ! ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9, 9 ! = 5 ! ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9,

9 ! = 4 ! ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 itd.

n ! = (n – 1) ! ∙ n, n ! = (n – 2) ! ∙ (n – 1) ∙ n,

n! = (n – 3)! ∙ (n – 2) ∙ (n – 1) ∙ n,

n! = (n – 4)! ∙ (n – 3) ∙ (n – 2) ∙ (n – 1) ∙ n, n! = (n – 5)! ∙ (n – 4) ∙ (n – 3) ∙ (n – 2) ∙ (n – 1) ∙ n itd.

Binomni koeficijent (prva definicija)

Neka je n prirodan broj, a k prirodan broj ili 0 i k ≤ n. Binomni koeficijent označavamo simbolom n

k

i

definiramo

( ) ( ) ( )1 2 ... 1

1 2 3 ...

.

n n n n n k

k k

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Svojstva:

6

1, 0, 1, 2,, .... , 1

1 1 1

n n n nn k n

k k k

+= + = = −

+ +

( ) ( )1 1 18 0 8 0 8 0

2 3 1 3 1 2 3

n n n n n n nn n

+ + ⋅ ⋅ −+ − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ =

⋅ ⋅

( ) ( )( )

2 21 1

28 0 8 0 1 48

66

6/ 0

n n n n

n n n n n

⋅ − ⋅ −

− ⋅ = − ⋅ = ⋅ − − ⋅ =⋅

( ) ( ) ( ) ( )

02 2

1 48 0 49 0 7 7 0 7 0

7 0

n

n n n n n n n n

n

=

⋅ − − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ + = − =

+ =

je prirodan

br

0

7 7.

7oj

n

n n

n

n=

= =

= −

Vježba 607

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 608 (Nata, maturantica)

Džepno računalo daje pogrešan rezultat množenja

123456 780 123456 780 123456 785 123456 775.⋅ − ⋅

Rješenje 608

Ponovimo!

( ) ( ), , .1 2 2n m n m

a a a a a a b a b a b+

= ⋅ = − ⋅ + = −


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Uvedemo oznake: 123456 780 , 123456785 5 , 123456 775 5.x x x= = + = −

Tada je

( ) ( )123456 780 123456 780 123456785 123456 775 5 5x x x x⋅ − ⋅ = ⋅ − + ⋅ − =

( ) 2 22 2 2 225 25 25 25.x x x x x x= − − = − + + =−=

Vježba 608

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 609 (Medo, maturant)

Zapišite neki troznamenkasti broj koji pri dijeljenju s brojem 23 daje ostatak 7.

Rješenje 609

Ponovimo!

Za prirodni broj a i prirodni broj b postoje jedinstveni prirodni brojevi q i r takvi da je

i 0 , je količnik, je ostata .ka b q r r b q r= ⋅ + ≤ <

To moraju biti prirodni brojevi oblika 23 7 , .q q N⋅ + ∈

Za q = 5 dobije se najmanji troznamenkasti broj koji pri dijeljenju s brojem 23 daje ostatak 7.

[ ]23 7 25 3 5 7 122.qq⋅ + = = ⋅ + ==

7

Za q = 43 dobije se najveći troznamenkasti broj koji pri dijeljenju s brojem 23 daje ostatak 7.

[ ]23 7 243 3 43 7 996.q q⋅ + = = ⋅ + ==

Ili napišemo neki drugi broj!

Vježba 609

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 610 (Medo, maturant)

Jezero je poribljeno novom vrstom ribe. Očekuje se da će se broj riba te vrste mijenjati prema

formuli ( )2000 1 3

, 01 0.05

tB t

t

⋅ + ⋅= ≥

+ ⋅ gdje je B broj riba, a t vrijeme u godinama.

a) Koliko je riba te vrste doneseno u jezero?

b) Nakon koliko će godina prema toj formuli u jezeru biti 61000 riba te vrste?

Rješenje 610

Ponovimo!

.1

nn=


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

a)

Na početku prve godine, tj. za t = 0 u jezero je doneseno 2000 riba.

( )[ ]

( )2000 1 3 2000 1 30

0 2 0002000.

1 0.05 1 0.05 0 1

tB

tt

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = = =

+=

+ ⋅ ⋅

b) Računamo nakon koliko će godina biti 61000 riba u jezeru.

( )[ ]

( ) ( )2000 1 3 2000 1 3 2 000 1 361000 61000

1 0.056

1 0.05 1 0.051000

t t tB

t t tB

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = =

+ ⋅ + ⋅=

+ ⋅

( )( ) ( ) ( )/ 1 0.0

2 000 1 361000 2 000 1 3 61000 1 0.05

55

1 0.0

tt

tt t⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

+ ⋅

( ) ( ) ( )/ :2 200 000 1 3 61000 1 0.05 1 3 30.5 1 0.050t t t t ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

1 3 30.5 1.525 3 1.525 30.5 1 1.475 29.5t t t t t + ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ =

/1.475 29. : 1. 2 .55 047t t ⋅ = =

To će se dogoditi nakon 20 godina.

Vježba 610

Odmor!

Rezultat: …

8

Zadatak 611 (Zlatko, maturant)

Riješite nejednadžbu ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 27! 1 ! 7! 8! ! 1 ! 2 8! !

0.2 2

7! 1 ! 8! !

n n n n

n n

⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅<

⋅ + − ⋅

Rješenje 611

Ponovimo!

( ) ( )21 2

, , .2

2,n n n n m n m

a b a b a a a a a a b a a b b+

⋅ = ⋅ = ⋅ = + = + ⋅ ⋅ +

( ) ( )2

,2

: .n m n m

a a a a b a b a b−

= − = − ⋅ +

0 00 ili

0 0.

a aa b

b b

> <⋅ <

< >


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Skup zadajemo nabrajanjem njegovih elemenata ili opisom karakterističnih svojstava koja posjeduju njegovi

elementi.

Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu A i u skupu B. Označavamo

ga .A B∩


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom

( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi

1 ! = 1,

2 ! = 1 ∙ 2,

3 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3, 4 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4,

5 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5,

6 ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 itd.

Vidimo da faktorijeli zadovoljavaju formulu

n ! = (n – 1) ! ∙ n. Uočimo da se može pisati, na primjer,

9 ! = 8 ! ∙ 9,

9 ! = 7 ! ∙ 8 ∙ 9,

9 ! = 6 ! ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9,

9 ! = 5 ! ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9, 9 ! = 4 ! ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 itd.

n ! = (n – 1) ! ∙ n,

n ! = (n – 2) ! ∙ (n – 1) ∙ n, n! = (n – 3)! ∙ (n – 2) ∙ (n – 1) ∙ n,

n! = (n – 4)! ∙ (n – 3) ∙ (n – 2) ∙ (n – 1) ∙ n,

n! = (n – 5)! ∙ (n – 4) ∙ (n – 3) ∙ (n – 2) ∙ (n – 1) ∙ n itd.

Zapamtimo n je prirodan broj!

9

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 27! 1 ! 7! 8! ! 1 ! 2 8! !

02 2

7! 1 ! 8! !

n n n n

n n

⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅<

⋅ + − ⋅

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

22 2 27! 1 ! 7! 7! 8 ! ! 1 2 8! !

022 2 2

7! 1 ! 8! !

n n n n n

n n

⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ <

⋅ + − ⋅

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

22 2 2 2 27! ! 1 7! 8 ! 1 2 7! 8 !

022 2 2

7! ! 1 7! 8 !

n n n n n

n n n

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ <

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 227! ! 1 7! 8 ! 1 2 7! 8 !

02 2 2 2 22

7! ! 1 7! 8 !

n n n n n

n n n

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ <

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( )

2 2 2 27! ! 1 8 1 2 8

02 2 2 2

7! ! 1 8

n n n

n n

⋅ ⋅ + − ⋅ + − ⋅

<

⋅ ⋅ + −

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( )

( ) ( )

( )

2 27! !

2 27! !

2 2 2 21 8 1 2 81 8 1 2 8

0 02 22 2

1 81 8

nn

n

n nn

nn

⋅ ⋅ + − ⋅ + − ⋅+ − ⋅ + − ⋅

< < + −⋅ ⋅ + −

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 1 8 8 2 64 2 1 8 8 128

0 01 8 1 8 7 9

n n n n n n

n n n n

+ + − ⋅ − − ⋅ + + − ⋅ − − < <

+ − ⋅ + + − ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 29 15 96 135 9 15 135

0 0 07 9 7 9 7 9

n n nn n n n n

n n n n n n

⋅ + − ⋅ +− ⋅ − + ⋅ − ⋅ − < < <

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

9 15 15 159

90 0 0.

7 9 7 7

n n n n

n n

n

nn n

+ ⋅ − ⋅ − − < < <

− ⋅

+

−++ − ⋅

Prvi slučaj

{ }

{ }

16, 17, 18, ...15 0 1515 presjek

s0

7 0 77 kupov1, 2, 3, 4, 5 6 a,

nn nn

n nn n

∈− > >−<

− < <− ∈

prazan s .kup, ∅

Drugi slučaj

{ }

{ }

1, 2, 3, ... , 12, 13, 1415 0 15150

7 0 77 8, 9, 10, 11, ...

presjek

skupova

nn nn

n nn n

∈− < <−<

− > >− ∈

{ }8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 .n ∈

Vježba 611

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 612 (Zara, srednja škola)

Koliko znamenki ima broj 13 10

4 25 ?⋅

Rješenje 612

Ponovimo!

10

( ) ( ), , .m nn n m n m n m n n

a a a a a a b a b⋅ +

= ⋅ = ⋅ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( )13 10 2013 10 2 2 26 20 6 20 20 6 20 20 6

4 25 2 5 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

6 20 202 10 64 10 .= ⋅ = ⋅

Broj ima 22 znamenke.

Vježba 612

Koliko znamenki ima broj 7 10

8 25 ?⋅

Rezultat: Broj ima 21 znamenku.


Prikažite u obliku potencije s bazom 10 sljedeći brojevni izraz: 6 4 4

2 5 6 10 .⋅ + ⋅

Rješenje 613

Ponovimo!

( ),1

, .nn m n m n n

a a a a a a b a b+

= ⋅ = ⋅ = ⋅

( ) ( )46 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 4

2 5 6 10 2 2 5 6 10 2 2 5 6 10 4 2 5 6 10⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =

4 4 4 1 4 54 10 6 10 10 10 10 10 10 .= ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 613

Odmor!

Rezultat: …


Koliko je:

1 15 3 6 3

?1

8 3 7 3

n n

n n

+ −⋅ + ⋅

−⋅ − ⋅

Rješenje 614

Ponovimo!

, , ,1

, .1 b a b b a c bn m n m n

a a a a a a a anc c c ca

⋅ ⋅ −+ −⋅ = = = ⋅ = − =

1, .

a

n a dbnc b c

d

⋅= =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

1.inačica

( )1

3 5 3 61 1 1 115 25 3 6 3 5 3 3 6 3 3 3

1 1 1 78 3 7 3 8 3 7 3 3 3 8 7 8

3

33

3

nn n n n n

nn n n n n

⋅ ⋅ + ⋅+ − −⋅ +⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= = = =− −

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

11

17

17 117

3.17

3 3

= = =

2.inačica

( )( )

( )

( )

1 21 1 3 5 3 6 5 9 65 3 6 3 45 6 51

3.1 1 1 24 7 178 3 7 3 8 3 73 8 3

13 51

1 1737

nn n

n n n

n

n

−+ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ + ⋅ +

= = = = = =− − −⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ −

−

−

Vježba 614

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 615 (Marina, maturantica)

U skupini od 50 ljudi prosječna je starost 41.2 godine. Ako se izdvoje najmlađa i najstarija osoba,

prva starosti 23, druga 69 godina, kolika je prosječna starost ostalih?

Rješenje 615

Ponovimo!

Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3

a a a an Tada je aritmetička sredina ili prosjek An

brojeva a1, a2, a3, … , an definirana izrazom

...1 2 3 .

a a a anAn

n

+ + + +=

Vrijedi:

...1 2 3

.n A a a a an n⋅ = + + + +

U skupini od 50 ljudi prosječna je starost 41.2 godine. Ukupan broj njihovih godina je

41.2 50 2060.⋅ =

Ako se izdvoje dvije osobe starosti 23 i 69 godina prosječna starost ostalih 48 ljudi iznosi:

2060 23 6941.

48

− −=

Vježba 615

U skupini od 50 ljudi prosječna je starost 41.2 godine. Ako se izdvoje najmlađa i najstarija osoba, prva starosti 20, druga 72 godine, kolika je prosječna starost ostalih?

Rezultat: 41.

Zadatak 616 (Željko, srednja škola)

U nekom razredu iz jednog pisanog ispita niti jedan učenik nije dobio ocjenu izvrstan, svaki je šesti

dobio vrlo dobar, svaki treći dovoljan, a svaki je deveti ocijenjen s nedovoljan. Ako je u tom razredu više od 20, a manje od 40 učenika, koliko ih je iz ovog ispita dobilo trojku?

Rješenje 616

Ponovimo!

, .1

n a c a d b cn

b d b d

⋅ − ⋅= − =

⋅

Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da

vrijedi .a b q= ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

12


{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +

Neka je x broj učenika u razredu kojih mora biti više od 20, a manje od 40. Označimo slovom y broj učenika

koji su dobili trojku iz pisanog ispita. Matematički zapis glasi:

20 40 20 40

1 1 1 1 1 1

6 3 9 1 6 3 9

x x

xy x x x x y x x x

< < < <

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅

20 40 20 40

.18 3 6 2 7

18 18

x x

x x x xy y x

< < < <

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅= = ⋅

Budući da je y prirodan broj, slijedi

36.x =

Broj trojkaša iznosi:

7 736

136 14.

1 88y y y= ⋅ = ⋅ =

Vježba 616

Na nekom ispitu niti jedan pristupnik nije dobio ocjenu izvrstan, svaki je šesti dobio vrlo dobar,

svaki treći dovoljan, a svaki je deveti ocijenjen s nedovoljan. Ako je na ispitu bilo više od 50, a manje od 65

pristupnika, koliko ih je iz ovog ispita dobilo trojku?

Rezultat: 21.

Zadatak 617 (Alen, gimnazija)

Vrijednost razlomka ( )

( )

24

24

m n m n

m n m n

− + ⋅ ⋅

+ − ⋅ ⋅

za m = 111111, n = 777777 jednak je:

1 16 3 1. . . .

49 9 4 6A B C D

Rješenje 617

Ponovimo!

( ) ( )2 22 2

,2

2 ,2

2 .

nna a

a b a a b b a b a a b b nbb

− = − ⋅ ⋅ + + = + ⋅ ⋅ + =


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

( )

( )

( )

( )

2 22 2 2 24 2 4 2

2 2 2 2 2 22 4 24

m n m n m nm m n n m n m m n n

m m n n m n m m n nm n m n m n

− + ⋅ ⋅ +− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += = = =

+ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ++ − ⋅ ⋅ −

2 2 2 2111111 777 777 888888 8 111111

111111 777 777 666666 6 111111

111111

777 777

m

m n

m

n

n+ + ⋅= = = = = =

=

− − − ⋅= −

2111111 8

111111 6

2 2 28 8 4 16

.6 6 3 9

⋅= = = = − =

− ⋅ − −

Odgovor je pod B.

13

Vježba 617

Vrijednost razlomka ( )

( )

24

24

m n m n

m n m n

− + ⋅ ⋅

+ − ⋅ ⋅

za m = 111, n = 777 jednak je:

1 16 3 1. . . .

49 9 4 6A B C D

Rezultat: B.

Zadatak 618 (Ivana, ekonomska škola)

Ako su 2

3 nekog broja jednake 7, onda je

4

7 tog broja jednako:

. . . .12 10 6 8A B C D

Rješenje 618

Ponovimo!

1 , .1

, ,b a b a b a c a c n

a nc c b a b d b d

⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ = =

⋅


, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

1.inačica

Ako su 2

3 traženog broja jednake 7, onda taj broj iznosi

3 217

2 2⋅ =

pa za njegove 4

7 vrijedi:

4 21

7 2

4 21 2 3 66.

7 2 1 1 1⋅ = ⋅ = ⋅ = =

Odgovor je pod C.

2.inačica

Neka je x traženi broj.

2 2 217 7

3/ .

3 23 2x x x⋅ = =⋅⋅ =

Sada je

4 214 4 21 2 3 66.

7 72 1 127 1x⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

Odgovor je pod C.

Vježba 618

Odmor!

Rezultat: …

Zadatak 619 (Darko, ekonomska škola)

2 2Ako je 10 i 9, onda je:x y x y x y+ + − = − =

. 9 . 20 . 99 . 41A x B x C x D x= = = =

Rješenje 619

Ponovimo!

14

( ) ( )22 2 2

, ,2 .a b a a b b a a a b a b+ = + ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅

( ) ( ) ( )22 2 2 2

2, .a b a b a b a b a a b b+ ⋅ − = − − = − ⋅ ⋅ +

( )2 2

102

/10 10x y x y x y x y x y x y+ + − = + + − = + + − =

( ) ( )2 2

2 100x y x y x y x y + + ⋅ + ⋅ − + − =

( ) ( ) ( ) ( )2 100 2 100x y x y x y x y y y x x yx x y + + ⋅ + ⋅ − + − = + ⋅ + ⋅ − + =+ −

2 2 2 2 2 22 100 2 2 100 2 2 1 0 / : 20x x y x x x y x x y + ⋅ − + = ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ − =

2 250 9 50 50 9 41.

2 29x x y x xx xy− = + − = + = = − =

Odgovor je pod D.

Vježba 619 2 2

Ako je 10 i 9, onda je:x y x y x y+ − − = − =

. 19 . 20 . 59 . 18A x B x C x D x= = = =

Rezultat: C.

matematika - fizika - halapa

Documents